C7. Circonferenza e cerchio

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1 7. irconferenza e cerchio 7.1 Introduzione ai luoghi geometrici Un luogo geometrico è l insieme dei punti del piano che godono di una proprietà detta proprietà caratteristica del luogo geometrico. Esempio L asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento. Si era definito precedentemente l asse di un segmento come la retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento stesso. ra si è data una differente definizione di asse di un segmento. Per essere sicuri che le due definizioni coincidano bisogna dimostrare i teoremi seguenti. Teorema 7.1a La retta passante per il punto medio di un segmento e perpendicolare ad esso è formata da punti equidistanti dagli estremi del segmento. Teorema 7.1b I punti equidistanti da e sono tutti e soli quelli che si trovano sulla retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento stesso. Le dimostrazioni dei due teoremi sono abbastanza semplici e sono lasciate per esercizio. M Fig. 7.1 sse di un segmento. Esempio La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell angolo. nche in questo caso si era definita precedentemente la bisettrice come la retta che divide un angolo in due angoli congruenti. Per essere sicuri che le due definizioni coincidano è necessario dimostrare i teoremi seguenti. Teorema 7.1c La retta che divide in due parti congruenti un angolo è formata dai punti equidistanti dai lati dell angolo. Teorema 7.1d I punti equidistanti dai lati dell angolo formano una retta che divide l angolo in due parti congruenti. nche in questo caso le due dimostrazioni vengono lasciate per esercizio. I luoghi geometrici verranno approfonditi in geometria analitica, quando si introdurranno le coordinate cartesiane nel piano. 7.2 irconferenza e cerchio Fig. 7.2 isettrice di un angolo. ato un punto e un segmento r si dice circonferenza di centro e raggio r l insieme dei punti del piano tali che P=r. ato un punto e un segmento r si dice cerchio di centro e raggio r l insieme dei punti del piano tali che P r. Teoria 7-1

2 irconferenza. Fig. 7.3 irconferenza e cerchio. erchio. Un punto è detto interno alla circonferenza se la distanza tra il punto e il centro è minore del raggio. Un punto è detto esterno alla circonferenza se la distanza tra il punto e il centro è maggiore del raggio. In base alle definizioni di punti interni ed esterni il cerchio è l insieme formato sia dai punti della circonferenza che da quelli interni ad essa. nche se risulta ovvio non è dimostrabile dalle definizioni precedenti e si deve prendere la seguente affermazione come assioma. ssioma: ogni segmento avente come estremi un punto interno e uno esterno alla circonferenza interseca la circonferenza in un solo punto. ostruzione ati tre punti, e non allineati trovare la circonferenza passante per i tre punti. Procedimento: eterminare l asse del segmento. eterminare l asse del segmento. eterminare l intersezione degli assi dei segmenti e. Il punto trovato p il centro della circonferenza. Il raggio è il segmento avente come estremi il centro e uno qualunque dei punti, o. Teorema Esiste una sola circonferenza passante per tre punti non allineati. IMSTRZINE La dimostrazione non è altro che la costruzione precedente, in quanto tale costruzione permette, in base a tre punti non allineati, di determinare l unica circonferenza passante per essi. ostruzione dell asse del segmento ostruzione dell asse del segmento L intersezione degli assi dei due segmenti è il centro della circonferenza. Fig. 7.4 ostruzione della circonferenza passante per 3 punti. Teoria 7-2

3 sservazione Si applichi il procedimento per trovare la circonferenza passante per tre punti se gli stessi sono allineati. In questo caso si trova che gli assi dei segmenti e risultano essere paralleli e pertanto non si intersecano in alcun punto. Per tale ragione non esiste una circonferenza passante per 3 punti allineati. 7.3 iametri e corde La circonferenza ha un centro di simmetria, che è il centro della circonferenza, e nella figura 7.5 è indicato con. Il segmento che ha come estremi due punti della circonferenza è detto corda. Nella figura 7.5 il segmento è una corda. Se una corda passa per il centro allora è detta diametro. Nella figura 7.5 il segmento è un diametro. Fig. 7.5 iametro e corda. In base alle definizioni precedenti si può affermare che: Il diametro è il doppio del raggio. Tutti i diametri di una circonferenza sono congruenti tra loro. gni diametro è asse di simmetria della circonferenza. Tra tutte le corde di una circonferenza il diametro è quella maggiore. Teorema 7.3a ata una qualsiasi corda di una circonferenza di centro il suo asse di simmetria passa per il centro della circonferenza. IPTESI: la retta r è asse di simmetria della corda. TESI: r. M Fig. 7.6 Il centro della circonferenza appartiene all asse di simmetria di una qualsiasi corda. IMSTRZINE L asse del segmento è formato dai punti equidistanti da e per quanto detto nei teoremi 7.1a e 7.1b. Il centro è equidistante da e da per definizione di circonferenza, quindi esso appartiene all asse del segmento. Teorema 7.3b Il diametro perpendicolare a una corda la divide a metà. IPTESI: è perpendicolare a. TESI: H H. IMSTRZINE: Il triangolo H e il triangolo H sono rettangoli, hanno il cateto H in comune e perché sono entrambi raggi. Per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli avendo congruenti un cateto e l ipotenusa i triangoli H e H sono congruenti. Essendo congruenti lo sono tutti i loro angoli e lati, e in particolare lo sono quindi anche H e H. H r Fig. 7.7 Teorema del diametro perpendicolare a una corda. Teoria 7-3

4 Teorema 7.3c La perpendicolare a una corda passante per il centro di una circonferenza è l asse della corda. IPTESI: è perpendicolare a,. TESI: è l asse di. IMSTRZINE: Sia H il punto di intersezione tra e. al fatto che e sono raggi della stessa circonferenza segue che, dunque il triangolo è isoscele sulla base e H è l altezza del triangolo isoscele poiché per ipotesi. In un triangolo isoscele l altezza relativa alla base è anche mediana, da cui segue che H H. La retta passante per e risulta dunque essere perpendicolare a e passante per il punto medio di, dunque essa è l asse di. H Fig. 7.8 Teorema del diametro perpendicolare a una corda. Teorema 7.3d Se due corde sono congruenti allora esse hanno la stessa distanza dal centro. IPTESI: EF, e EF corde di una circonferenza avente centro, H, G EF. TESI: H G. H E G Fig. 7.9 ue corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. IMSTRZINE Per i teoremi precedenti G e H sono i punti medi di EF e rispettivamente. al fatto che EF per ipotesi segue che H 1 1 EG. 2 2 Si considerino ora i triangoli H e EG. Essi hanno congruenti: E perché sono entrambi raggi della stessa circonferenza. H EG come appena dimostrato. H ˆ GE ˆ perché sono entrambi angoli retti per i teoremi precedenti. I due triangoli sono dunque congruenti per criteri di congruenza dei triangoli rettangoli e dunque hanno congruenti tutti i lati e tutti gli angoli. In particolare risulta H G. Teorema 7.3e Se due corde hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti. IPTESI: H G, e EF corde di una circonferenza avente centro, H, G EF. TESI: EF. H F E G Fig ue corde aventi la stessa distanza dal centro sono congruenti. IMSTRZINE Si considerino ora i triangoli H e EG. Essi hanno congruenti: E perché sono entrambi raggi della stessa circonferenza. H G per ipotesi. Teoria 7-4 F

5 H ˆ GE ˆ perché sono entrambi angoli retti per i teoremi precedenti. I due triangoli sono dunque congruenti per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli e dunque hanno congruenti tutti i lati e tutti gli angoli. In particolare risulta H EG. a ciò segue che 2H 2EG EF. Il seguente teorema ha una dimostrazione un po più elaborata che si omette. Teorema 7.3f Se una corda ha distanza maggiore dal centro rispetto a un altra allora la sua lunghezza è minore. IPTESI: H<G. TESI: >EF. 7.4 ngoli al centro E G H Fig ue corde aventi distanze differenti dal centro. gnuno degli angoli che ha come lati due raggi è detto angolo al centro. In figura 7.12 ˆ è l angolo al centro. Le parti della circonferenza delimitate dai due punti, appartenenti alla circonferenza è detta arco. In figura 7.12 uno degli archi di circonferenza è segnato non tratteggiato, mentre l altro è segnato tratteggiato. Se come corda si prende un diametro allora l arco è detto semicirconferenza. La parte di cerchio delimitata da un angolo al centro prende il nome di settore circolare. F sservazione d ogni angolo al centro corrisponde una corda e un arco. d ogni corda corrisponde un angolo al centro e un arco. d ogni arco corrisponde un angolo al centro e una corda. Fig ngolo al centro. sservazione Riferendosi alla stessa circonferenza valgono le seguenti affermazioni: d angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti e corde congruenti. corde congruenti corrispondono angoli al centro congruenti e archi congruenti. d archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti e corde congruenti. Fig orde, archi e angoli al centro congruenti. Teoria 7-5

6 7.5 Posizioni reciproche tra retta e circonferenza Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza minore del raggio si dice che la retta è secante. In questo caso la retta interseca la circonferenza in due punti. Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza uguale al raggio si dice che la retta è tangente. In questo caso la retta interseca la circonferenza in un punto detto punto di tangenza. Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza maggiore del raggio si dice che la retta è esterna. In questo caso la retta non interseca la circonferenza. r r r retta secante retta tangente retta esterna Fig Rette secanti, tangenti, esterne. sservazione Risulta ovvio dalle definizioni precedenti che: Il raggio passante per il punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente. ato un raggio si tracci la perpendicolare ad esso passante per il punto del raggio sulla circonferenza. La retta tracciata è una retta tangente. r s Fig Rette tangenti a una circonferenza condotte da un punto esterno ad essa. Per un punto esterno alla circonferenza passano sempre due rette tangenti, come risulta chiaro dalla figura In questo caso i segmenti indicati con e in figura 7.15 sono detti segmenti di tangente. Per un punto sulla circonferenza passa una e una sola retta tangente, per l osservazione precedente. Per un punto interno alla circonferenza non passano rette tangenti. Teorema 7.5a ondotte le rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno ad essa i segmenti di tangenza sono congruenti. IPTESI: r, s sono le rette tangenti a una circonferenza passanti per un punto esterno ad essa. r =, s =. TESI:. IMSTRZINE Si considerino i triangoli e. Essi hanno congruenti: perché raggi della stessa circonferenza perché in comune ˆ ˆ perché angoli retti per le osservazioni precedenti. Per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli essi sono congruenti, dunque hanno congruenti tutti gli angoli e tutti i lati. In particolare. La dimostrazione precedente permette di dimostrare anche il seguente teorema. Teorema 7.5b ondotte le rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno ad essa la retta passante per il punto esterno ad essa e per il centro della circonferenza è la bisettrice dell angolo formato dalle rette tangenti. Teoria 7-6

7 7.6 ngolo alla circonferenza Si è già definito l angolo al centro. Si dice angolo alla circonferenza l angolo convesso che ha il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza oppure uno secante e l altro tangente. In figura 7.16 l angolo alla circonferenza è ˆ, ed ha come lati due rette secanti la circonferenza, mentre l angolo al centro è ˆ. In figura 7.17 l angolo alla circonferenza è sempre ˆ, ma ha come lati una retta secante ed una tangente, mentre l angolo al centro è ˆ. Fig ngolo al centro e angolo alla circonferenza. ue rette secanti passanti per. Fig ngolo al centro e angolo alla circonferenza. Una retta secante e una tangente passanti per. Teorema 7.6a In una circonferenza l angolo al centro è il doppio dell angolo alla circonferenza. IPTESI: ˆ angolo al centro e ˆ angolo alla circonferenza. TESI: ˆ 2 ˆ. IMSTRZINE La dimostrazione va fatta per casi, a seconda di dove si trovino i punti, e sulla circonferenza. I caso: ˆ ˆ. Fig Teorema degli angoli al centro e degli angoli alla circonferenza. aso I. Il triangolo è isoscele, in quanto i lati e sono entrambi raggi e quindi sono congruenti. La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto, quindi ˆ + ˆ + ˆ π. Ma anche ˆ ˆ + ˆ π. a ciò segue che ˆ + ˆ ˆ. Ma ˆ e ˆ sono congruenti perché è isoscele. Vale dunque2 ˆ ˆ. Ma ˆ è la metà di ˆ e ˆ è la metà di ˆ. Quindi ˆ 2 ˆ. II caso: è interno all angolo ˆ. Fig Teorema degli angoli al centro e degli angoli alla circonferenza. aso II. nalogamente al caso precedente si dimostra che 2 ˆ ˆ e che 2 ˆ ˆ. ˆ ˆ + ˆ 2 ˆ + 2 ˆ 2 ˆ + ˆ 2 ˆ. a ciò segue che ( ) Teoria 7-7

8 III caso:. Il triangolo è isoscele sulla base in quanto in quanto raggi. ome nel primo caso si ha: ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ π 2 ˆ π π + 2 ˆ 2 ˆ. IV caso: è esterno all angolo ˆ. Fig Teorema degli angoli al centro e degli angoli alla circonferenza. aso II. Fig Teorema degli angoli al centro e degli angoli alla circonferenza. aso IV. Per quanto detto precedentemente valgono ˆ 2 ˆ e ˆ 2 ˆ. ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ. a ciò segue che ( ) Il teorema appena dimostrato è importante perché permette di dimostrare agevolmente i seguenti corollari. orollario 7.6b Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti tra loro. Fig ngoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco. IMSTRZINE Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tutti congruenti a metà dell angolo al centro, quindi sono tutti congruenti tra loro. (Figura 7.22). orollario 7.6c I triangoli inscritti in una circonferenza aventi come lato il diametro sono tutti rettangoli. Fig ngoli che insistono su un diametro. IMSTRZINE Tutti gli angoli inscritti in una semicirconferenza sono metà dell angolo al centro che è un angolo piatto, quindi sono tutti angoli retti. (Figura 7.23). Gli angoli che insistono su un diametro sono quindi tutti retti. Teoria 7-8

9 ostruzione partire da una circonferenza di centro e da un punto esterno ad essa tracciare le rette tangenti alla circonferenza passanti per. Procedimento: Si determina il punto medio M del segmento. Si traccia la circonferenza di centro il punto medio M e raggio M. La circonferenza di centro M e raggio M interseca la circonferenza di centro in due punti S e T. Le rette tangenti sono quelle passanti per e S e per e T. Esercizio svolto eterminare gli angoli del quadrilatero in figura Fig ostruzione delle rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno a d essa. Fig ngoli di un quadrilatero. I dati del problema sono gli angoli al centro ˆ 58 e ˆ 82 e l angolo ˆ 40. Teoria 7-9

10 RISLUZINE Il triangolo è isoscele sulla base, e da ciò segue che gli angoli alla base sono congruenti, quindi anche ˆ 40. al fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto segue che ˆ E ora possibile determinare anche l angolo al centro ˆ per differenza considerando l angolo giro di centro. ˆ Si consideri ora il triangolo isoscele sulla base. Sapendo che l angolo al centro ˆ 58 si possono determinare gli angoli ˆ ˆ ( ) : Si consideri ora il triangolo isoscele sulla base. Sapendo che l angolo al centro ˆ 82 si possono determinare gli angoli ˆ ˆ ( ) : Si consideri ora il triangolo isoscele sulla base. Sapendo che l angolo al centro ˆ 120 si possono determinare gli angoli ˆ ˆ ( ) : ra si possono determinare i quattro angoli interni del quadrilatero: ˆ ˆ + ˆ ˆ ˆ + ˆ ˆ ˆ + ˆ ˆ ˆ + ˆ Posizioni reciproche di due circonferenze ue circonferenze sono dette esterne se non hanno punti di intersezione e i centri di ognuna delle due circonferenze sono punti esterni rispetto all altra circonferenza. Fig irconferenze esterne. ue circonferenze sono dette tangenti esternamente se hanno un punto di intersezione e i centri di ognuna delle due circonferenze sono punti esterni rispetto all altra circonferenza. Fig irconferenze tangenti esternamente. ue circonferenze sono dette secanti se hanno due punti di intersezione. Fig irconferenze secanti. ue circonferenze sono dette tangenti internamente se hanno un punto di intersezione e il centro di una è un punto interno all altra. Fig irconferenze tangenti internamente. Teoria 7-10

11 ue circonferenze sono dette interne se non hanno punti di intersezione e il centro di una è un punto interno all altra. Fig irconferenze interne. Un caso particolare di circonferenze interne è quando i centri coincidono. In tal caso le circonferenze sono dette concentriche. Fig irconferenze concentriche. Teorema Si indichino con e i centri di due circonferenze e con r e r i loro raggi. In tal caso valgono le seguenti doppie implicazioni: Le circonferenze sono esterne se e solo se >r+r. Le circonferenze sono tangenti esternamente se e solo se r+r. Le circonferenze sono secanti se e solo se r-r < <r+r. Le circonferenze sono tangenti internamente se e solo se r-r. Le circonferenze sono interne se e solo se <r-r. Le circonferenze sono concentriche se e solo se. La dimostrazione è omessa. 7.8 Poligoni inscritti e circoscritti Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza. In questo caso si dice che la circonferenza è circoscritta al poligono. Fig Poligono inscritto in una circonferenza. Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. In questo caso si dice che la circonferenza è inscritta nel poligono. Fig Poligono circoscritto ad una circonferenza. Teoria 7-11

12 Non tutti i poligoni sono inscrivibili o circoscrivibili a una circonferenza. I triangoli sì, sono tutti sia circoscrivibili che inscrivibili a una circonferenza, mentre per i poligoni è necessario verificare se valgono le seguenti condizioni di circoscrivibilità e inscrivibilità. Teorema 7.8a (condizioni di inscrivibilità di un poligono) Un poligono è inscrivibile in una circonferenza se e solo se tutti gli assi di simmetria dei suoi lati si incontrano in un punto. IMSTRZINE ) Se un poligono è inscrivibile a una circonferenza allora i suoi vertici appartengono tutti alla circonferenza, pertanto il centro ha la stessa distanza da tutti i vertici. L asse di simmetria di ogni lato è formato dai punti equidistanti dai vertici, e se il centro ha la stessa distanza da tutti i lati allora appartiene a tutti gli assi di simmetria. ) Se tutti gli assi di simmetria si incontrano in un punto allora, per definizione di asse di simmetria, tale punto è equidistante da tutti i vertici, e questo punto è dunque il centro della circonferenza. Teorema 7.8b (condizioni di circoscrivibilità di un poligono) Un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza se e solo se tutte le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un punto. IMSTRZINE ) Se un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza allora i suoi lati sono tutti tangenti alla circonferenza. Per il teorema 7.5b la retta passante per un punto esterno alla circonferenza e per il centro della stessa è la bisettrice dell angolo formato dalle rette tangenti, quindi tutte le bisettrici passano per il centro. ) Se tutte le bisettrici si incontrano in un punto allora questo punto è equidistante da tutte le rette tangenti. Esso è dunque il centro della circonferenza e il raggio è la distanza tra questo punto e una qualsiasi delle rette tangenti. Per quanto riguarda in particolare i quadrilateri è possibile fissare delle condizioni per l inscrivibilità che possono essere più semplici da verificare. Teorema 7.8c (condizioni di inscrivibilità di un quadrilatero) Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari. IMSTRZINE ) ato il quadrilatero inscritto in una circonferenza di centro si vuole mostrare che gli angoli opposti sono supplementari. Fig ondizioni di inscrivibilità di un quadrilatero. In riferimento alla figura 7.34 l angolo convesso ˆ 2 ˆ mentre l angolo concavo ˆ 2 ˆ. a ciò segue che ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) 2π concavo + convesso π. a ciò segue che ˆ + ˆ π. ) Se gli angoli opposti sono supplementari si vuole mostrare che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza. Fig ondizioni di inscrivibilità di un quadrilatero. Teoria 7-12

13 Siano  + ˆ π e ˆ + ˆ π. Esiste sicuramente una circonferenza passante per, e. Si vuole mostrare che anche appartiene alla stessa circonferenza. Supponiamo per assurdo che non vi appartenga. In questo caso si prolunghi fino a incontrare la circonferenza in un punto E. Il quadrilatero E è inscritto in una circonferenza, pertanto gli angoli opposti sono supplementari, ossia  + ˆ π e ˆ + ˆE π. a ˆ + ˆ π e ˆ + ˆE π segue che ˆ ˆE. Non possono esistere due punti, uno sulla circonferenza e uno al suo interno (o esterno) tali che ˆ ˆE, pertanto i punti ed E coincidono e quindi appartiene alla circonferenza. Teorema 7.8d (condizioni di circoscrivibilità di un quadrilatero) Un quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. Fig ondizioni di circoscrivibilità di un quadrilatero. ) ato un quadrilatero circoscrivibile a una circonferenza si vuole dimostrare che + +. Per il teorema 7.5a si sa che i segmenti di tangenza sono congruenti, per cui H E, H G, G F, F E. a ciò segue che + H+H+F+F E+G+E+G +. ) Sapendo che + + si consideri la circonferenza tangente per 3 dei 4 lati del quadrilatero, ossia tangente a, e. Si deve dimostrare che anche il quarto lato è tangente alla circonferenza. Supponiamo per assurdo che non lo sia, in tal caso esiste un punto I tale che il quadrilatero I è circoscritto alla circonferenza. a ciò segue, per il punto precedente, che I+ +I. Sottraendo membro a membro + + e I+ +I si ottiene +-I- +--I, da cui segue -I -I I, ossia I+I. iò è assurdo perché per la disuguaglianza triangolare la somma di due lati in un triangolo è sempre maggiore del terzo lato. a ciò si deduce che non si poteva supporre che il quarto lato non fosse tangente alla circonferenza, quindi anche il quarto lato è tangente alla circonferenza e quindi il quadrilatero è circoscrivibile alla circonferenza. 7.9 Poligoni regolari Fig ondizioni di circoscrivibilità di un quadrilatero. Un poligono regolare è un poligono avente tutti i lati e tutti gli angoli congruenti. Il poligono regolare di tre lati è il triangolo equilatero. Il poligono regolare di quattro lati è il quadrato. Il poligono regolare di cinque lati è il pentagono regolare. Il poligono regolare di sei lati è l esagono regolare. sservazioni Tutti i poligoni regolari hanno tanti assi di simmetria quanti sono i loro lati. Tutti i poligoni regolari con un numero pari di lati hanno un centro di simmetria. Tutti i poligoni regolari sono inscrivibili in una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria è il centro della circonferenza circoscritta ed è detto centro del poligono regolare. Tutti i poligoni regolari sono circoscrivibili a una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria è il centro della circonferenza inscritta ed è detto centro del poligono regolare. Teoria 7-13

14 ato un poligono regolare si considerino la circonferenza inscritta e la circonferenza circoscritta ad esso. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema del poligono regolare. In figura 7.37 l apotema del poligono regolare è il segmento H. Il raggio della circonferenza circoscritta è detto raggio del poligono regolare. In figura 7.37 il raggio del poligono regolare è il segmento E Fig Raggio e apotema di un poligono regolare. Teoria 7-14

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