Programma (orientativo) secondo semestre 32 ore - 16 lezioni

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1 Programma (orietativo) secodo semestre 32 ore - 6 lezioi 3 lezioi: successioi e serie 4 lezioi: itegrali 2-3 lezioi: equazioi differeziali 4 lezioi: sistemi di equazioi e calcolo vettoriale e matriciale 2-3 lezioi: statistica

2 Lezioe Successioi: defiizioe e comportameto asitotico

3 Successioi. Defiizioe Ua successioe di umeri reali è ua lista ifiita e ordiata di umeri reali s, s 2, s 3,, s,. chiamati termii della successioe. Ua successioe è ua fuzioe che associa ad ogi umero aturale u umero reale s: N R s cioè s = s. La successioe si può rappresetare ache così: (s ) N Esempio: s = 2 2, 4, 6, 8, 0,, 2, (2) N s = 2+,,,,,, N

4 Sommatorie 4 = 5 k=2 4 k= = = 0 k = = 4 3k + 2 = (3 + 2) + (6 + 2) + (9 + 2) + (2 + 2) Calcolare: 5 k=3 2(2k ) =?

5 Esercizi Scrivere i primi 3 termii della successioe s = 4 +. Scrivere il terzo e il quito termie della successioe a = Calcolare la somma dei primi 9 umeri aturali. Calcolare 6 = k=2 2 + k 2

6 Successioi e comportameto asitotico Cosiderado le successioi come fuzioi da N i R, qual è il comportameto asitotico della successioe ( )? Si può determiare tale comportameto per ±? No, solo per Oss: valgoo tutte le proprietà dell operazioe di limite viste el caso geerale delle fuzioi di variabile reale (eccetto quelle che ecessitao della cotiuità della fuzioe come ipotesi. Perché?) lim s = l R ± covergete divergete idetermiata

7 Esempi e esercizi sul comportameto asitotico Esempi. Scrivere per esteso i primi 4 termii delle segueti successioi e studiare il comportameto asitotico s = 3 lim 3 = 0 s = lim = s = 2 lim 2 = 0 s = 5 lim (5) =? s = 4 + s = s = +3 s k = 2 + k 2

8 Successioi e comportameto asitotico Scrivere i primi 6 termii delle segueti successioi e studiare il loro comportameto asitotico: s = per pari per dispari lim s() = 0 per pari per dispari s = 2 per pari per dispari lim s() = 0 0 per pari per dispari Il limite vale 0 La successioe s() è covergete se esiste fiito il limite delle due sotto successioi s(2) e s(2 + ) e tali limiti coicidoo.

9 Somma eesima o ridotta eesima Data ua successioe s = s, si chiama ridotta eesima o somma eesima S la somma dei primi termii della successioe: S = k= La somma dei primi umeri aturali è k= k s k = = ( + ) 2 Dimostrazioe: Scrivedo per esteso i termii da a e da a e sommado si ottiee La somma eesima è S = ( + ) 2

10 Lezioe 2 Serie: defiizioe Serie geometrica

11 Ridotta eesima e Serie Determiado il limite della successioe S per si determia l esisteza della somma ifiita lim S = lim k= s k = s k k= Esempio: S = k= k = ( + ) 2 lim S = (+) lim 2 = la somma o è fiita. Si dice che la serie diverge.

12 Serie Data la successioe di termie geerico S, ovvero S, S 2, S 3,, S, la successioe delle somme parziali S = s, S 2 = s + s 2, S 3 = s + s 2 + s 3,, S = s + s s prede il ome di serie. Se, per il limite della successioe delle somme parziali esiste fiito, si dice che la serie coverge e ha somma fiita lim S cioè = α R α = s = esiste ed è ifiito (,, ), si dice che la serie diverge lim S = = s = ± oppure lim S = o esiste, si dice che la serie è idetermiata. = s =

13 Leggedo su iteret C'è u gruppo ifiito di matematici che etra i u bar. Il primo chiede al barista L di birra, il secodo /2 L, il terzo /4, il quarto /8 e così via. Allora il barista fa: "teete due litri e o rompete che ho da fare!!" (cit. leggermete modificata!) Soo sufficieti 2 litri di birra per gli ifiiti matematici? Se si, soo più del ecessario?

14 Ma ache ai tempi di Zeoe (400 a.c.) Ua persoa scocca ua freccia da u puto A e il bersaglio si trova a ua certa distaza d. Allora la freccia o colpirà mai il bersaglio. Spiegazioe: Ifatti, se suppoiamo che la freccia si muova a velocità costate, e idichiamo co t il tempo impiegato per percorrere metà del percorso d, allora il tempo t/2 sarà quello impiegato per percorrere la prima metà della secoda metà del percorso, cioè d/2, e così via. Per percorrere quidi tutti i tratti ifiiti macati.occorrerà u tempo ifiito! Come risolviamo questo paradosso (detto Paradosso di Zeoe)?

15 Serie geometrica Cosideriamo la serie geometrica di ragioe q: essedo =0 esempi: =0 q = 0.2 k=0 q k = q+ q lim S q + = lim q = = si ha che la serie 0.2 = 5 4 =, =2 =0 q q se q < se q se q < se q = = covergete divergete idetermiata

16 Esercizi Dire se le segueti serie soo covergeti, divergeti o idetermiate e se possibile calcolare la somma =0 3 5 =0 3 =0 5 =0 ( 2) =0 5 2 =0 4 =0 ( 4) =3 3 =2 3 5 =4 3 = 5 = ( 2)

17 Risolvere i due problemi Matematici: Litri di birra bevuti: = 2 =0 = 2 Paradosso di Zeoe: Tempo impiegato T, dove t è il tempo impiegato per percorrere metà distaza T = t + t 2 + t 4 + t 8 + t = t = t =0 2 = t = 2t 2 = = Cioè due volte il tempo impiegato per percorrere metà distaza (com è ovvio).

18 Codizioe ecessaria per la covergeza della serie Codizioe ecessaria per la covergeza delle serie è che lim s = 0 ma questa codizioe o è sufficiete. Essedo ecessaria, se lim s 0 oppure se il limite o esiste, allora la serie o è covergete.

19 Esercizi Dire se le segueti serie covergoo, i caso affermativo, calcolare la somma = 2 + =0 6 = 5 2 l = ( 6) = ( 6) =

20 Lezioe 3 Leggi di ricorreza Sistemi diamici discreti

21 I coigli di Fiboacci Leggeda: el 202 l imperatore Federico II di Svevia propose alla corte questo problema: Sia data ua coppia iiziale di coigli adulti che geera ogi mese ua coppia di cuccioli. Gli aimali divetao adulti i u mese e soo i grado di riprodursi. No si cosidera la mortalità dei coigli. E possibile trovare quati coigli ci soo dopo u certo umero di mesi seza seguire il processo passo per passo? F k : umero di coppie di coigli al mese k F 0 =, F = 2, F 2 = 3, F 4 = 5, F 5 = 8, F 6 = 3,.., F k =? F = F + F 2 co F 0 =, F = 2

22 Leggi di ricorreza Ua successioe si dice defiita per ricorreza se il termie eesimo è defiito sulla base di uo o più termii che lo precedoo. Esempio la successioe di Fiboacci: F = F + F 2 co F 0 =, F = 2 Esempio: M = 3M, co M 0 = 3 Esempio: L = L 2, co L 0 = 3 Esempio: P = 3P 2 + 2P, co P 0 =, P = 2 Esercizio: scrivere i primi 5 termii delle successioi M e L e i primi 4 termii della successioe P.

23 Sistemi diamici discreti Molti feomei aturali vegoo modellizzati usado i sistemi diamici discreti, per esempio la legge di duplicazioe cellulare N k = 2 k dove il tempo k varia di ua uità pari al tempo di replicazioe dei batteri. Data ua fuzioe y = f(x) defiiamo sistema diamico discreto la relazioe di ricorreza x k = f(x k ) defiita per k N, co x 0 dato iiziale assegato.

24 Esempio Crescita malthusiaa discreta defiita dalla legge di ricorreza N t = RN t co N 0 dato iiziale assegato, R è il tasso di crescita e il tempo t è misurato i ai.. Scrivere i primi 6 termii della successioe. 2. Qual è il sigificato di N 0? 3. Qual è il quarto termie della successioe? N 3 4. Quale sarà il 2-esimo termie della successioe? N 0 N = RN 0 N 2 = RN = R RN 0 = R 2 N 0 N 3 = RN 2 = R R 2 N 0 = R 3 N 0 N 4 = RN 3 = R R 3 N 0 = R 4 N 0 N k = R k N 0 quidi N (2 ) =?

25 Problemi Calcolare la umerosità di ua popolazioe malthusiaa al quito ao, sapedo che il tasso di crescita è 0.25 e la popolazioe iiziale è di 50 idividui. Ua popolazioe di u predatore selvatico è a rischio di estizioe perché la mortalità supera la atalità e la popolazioe si riduce del 5% auo. Se si descrive il modello co u modello malthusiao discreto e iizialmete si hao 300 esemplari del predatore, i quato tempo la popolazioe si riduce a meo di 50 esemplari?