sedimentazione Approfondimenti matematici

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1 sedimenazione Approfondimeni maemaici considerazioni sulla velocià L espressione p A F = R (1) che fornisce la relazione sulle forze ageni nel processo della sedimenazine, indica che all inizio il moo è un moo accelerao e solo dopo un cero inervallo di empo il moo divena uniforme a causa dell aumeno della forza viscosa. Per calcolare dopo quano empo, e dopo quale percorso, il moo divena uniforme, si deve risolvere in forma generale l equazione (1) dove le espressioni delle singole forze sono dae nella relazione (2). m c g - m l g - k l h v = m c a (2) con a l accelerazione che agisce sul corpo di massa m c. La (2) può essere scria, dividendo per m c ed espliciando la relazione fra massa e, anche come a = 1 - ρ l g - klη v =A-Bv (3) ρ c m c ossia come una relazione lineare fra velocià e accelerazione con A e B due cosani noe dipendeni dalle caraerisiche del corpo e del liquido. La relazione (3) esprime una equazione differenziale poiché a è la derivaa della velocià la soluzione si ricava scrivendo la (4) come dv =A-Bv (4) d dv = d (5) A-Bv e successivamene moliplicando i due ermini, dv e d, per B e sommando a numeraore la cosane A; operazione che non alera i valori dei due ermini poiché la derivaa di una cosane è zero. La relazione (5) divena d(a-bv) A-Bv Quesa equazione ha come soluzione il logarimo del denominaore = -Bd (6) ln(a-bv) = -B + k (7) dove k rappresena le cosani che nel processo della derivazione sono sae cancellae. La relazione (7) si può scrivere, passando agli esponenziali, come A-Bv = e (-B+k) (8) La cosane k incognia si ricava dalle condizioni che il sisema deve soddisfare, ossia che all isane iniziale =, la velocià ha il valore iniziale v e che dopo un empo molo grande la

2 velocià raggiunge il valore che chiameremo veocià asinoica v = A/B, e che è dao dalla relazione (6) del paragrafo sulla sedimenazine. Così le condizioni al conorno si raggruppano = v = v e k =A-Bv = v =A/B (9) da cui la relazione (7) divena A-Bv = e -B (A-Bv ) (1) e in definiiva isolando la velocià v = v e -B + A B (1 - e-b ) (11) La relazione (11) mosra che la velocià è una grandezza variabile che all aumenare del empo ende al valore cosane A/B, la velocià asinoica. Infai, poiché il coefficiene B è posiivo il ermine e -B è un ermine che ende a, per cui la dipendenza dalla velocià iniziale scompare e i ermini in parenesi endono all unià. La presenza della velocià iniziale fa prefigurare la presenza di re differeni scenari. Se v è maggiore della velocià asinoica la velocià diminuirà fino ad aesarsi al valore A/B; se invece v è minore di quella asinoica la velocià aumenerà fino al valore A/B; se v è nulla la velocià parirà da fino ad aesarsi al valore asinoico A/B. Nella figura 3 è indicaa la siuazione per i re scenari velocià di sedimenazione v v > A/B v < A/B A/B v = Figura 3 l andameno della velocià di sedimenazione in dipendenza del valore della velocià iniziale v. considerazioni sul percorso Il percorso che il corpo compie è dao da s = v d (12) con la velocià daa dalla relazione (11) e l inegrale calcolao fra l isane iniziale = e l isane generico. Sviluppando, si oiene ( ) s = 1 B A + A B -v e -B -1 (13)

3 una espressione che non è lineare con il empo, a causa della presenza del ermine esponenziale. Si può noare, uavia, che al passare del empo il ermine esponenziale ende a divenare rascurabile e lo spazio percorso divena proporzionale al empo, ossia il moo divena un moo uniforme. Nella figura 4 sono mosrai i re possibili scenari della dipendenza dello spazio percorso dal valore iniziale della velocià percorso di sedimenazione v < A/B s v > A/B v = Figura 4 l andameno dello spazio percorso in dipendenza del valore della velocià iniziale v. Si può noare che la pendenza delle re linee endono a divenare parallele mosrando la sessa pendenza, ossia la sessa velocià che è, in definiiva, la velocià di sedimenazione. Le condizioni per cui la velocià si sabilizza e divena cosane si verificano relaivamene preso. Lo spazio, e in accordo il empo, risulano abbasanza piccoli. Quesa siuazione la si può osservare in due esempi, uno relaivo alla sedimenazione di globuli rossi nel plasma ed uno relaivo al processo della sedimenazione osservao in laboraorio. Erirosedimenazione In queso caso, per applicare in maniera semplice le espressioni della sedimenazione, la forma degli erirocii è approssimaa a quella di sferee con un diamero pari alle dimensioni lineari dei globuli rossi. I valori delle cosani sono la dimensione dei globuli rossi, la loro, la e la viscosià del plasma e sono indicai nella abella 1 abella 1 alcune caraerisiche degli erirocii e del plasma sanguigno raggio (m) erirocii plasma viscosià (Pa s) , Con quesi valori, la velocià asinoica di sedimenazione è abbasanza bassa, poco meno di m/s. Ciò significa che per fare il percorso di 1 cm occorrerebbero un milione di secondi (circa 11,5 giorni). Le curve della velocià e dello spazio percorso in funzione del empo, sono mosrae nella figura 5 a e 5b

4 velocià di sedimenazione percorso di sedimenazione µm/sec µsec Figura 5-a andameno della velocià in funzione del empo. I cerchiei sono in corrispondenza del 99% della velocià massima pm µsec Figura 5-b andameno della percorso compiuo in funzione del empo. I cerchiei sono in corrispondenza del 99% della velocià massima Dall analisi dei grafici si noa che la velocià aumena fino al valore massimo di sedimenazione pari a 5,7 1-6 m/s, ossia 5,7 µ m/s. Queso valore si raggiunge abbasanza preso. Nella figura 5-a il cerchieo sull asse dei empi, inorno ad un empo di 13 µ s, indica l isane in cui la velocià ha raggiuno il 99% del suo valore massimo. Il cerchieo sull asse delle ordinae mosra il corrispondene valore della velocià. Nella figura 5-b, i cerchiei indicano quano spazio è sao percorso nello sesso empo. Lo spazio percorso è esremamene piccolo, poco meno di 6 pm (picomeri) ossia 6 mila miliardesimi di mero. Ciò significa che la velocià massima viene raggiuna quasi subio. sedimenazione di palline di acciaio Per il secondo esempio consideriamo delle palline di acciaio che sedimenano in glicerina, la classica esperienza di laboraorio eseguia per sudiare queso fenomeno. I dai sono raggruppai nella abella 2 abella 2 alcuni valori relaivi agli oggei considerai palline di acciaio raggio (m) glicerina viscosià (Pa s) 1, ,4 Nella figura 6 a e 6 b sono indicai la velocià e lo spazio percorso in funzione del empo.

5 velocià di sedimenazione percorso di sedimenazione 2,5,6 cm/sec 2, 1,5 1,,5 mm,5,4,3,2,1,,,1,2,3 Figura 6-a - andameno della velocià in funzione del empo. I cerchiei sono in corrispondenza del 99% della velocià massima sec,,,1,2,3 Figura 6-b andameno della percorso compiuo in funzione del empo. I cerchiei sono in corrispondenza del 99% della velocià massima sec Si noi che le condizioni di velocià asinoica, il valore massimo, sono raggiune abbasanza preso. Dopo qualche cenesimo di secondo la velocià ha raggiuno il 99% del suo valore massimo e nello sesso inervallo di empo lo spazio percorso è sao di qualche decimo di millimero. Il processo si sabilizza quasi subio.