Logica del primo ordine

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1 Logica del primo ordine Sandro Zucchi Tutti gli uomini sono mortali. Socrate era mortale. Quindi, tutti gli uomini sono Socrate Woody Allen S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 1 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 2 L argomento dei filosofi inaffidabili Questo argomento, come abbiamo già osservato, è valido in italiano (è impossibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa): Premessa uno: Ogni individuo distratto perde le chiavi. Premessa due: Ogni filosofo è distratto. Conclusione: Dunque, ogni filosofo perde le chiavi. Abbiamo osservato inoltre che l argomento è valido in italiano in virtù della sua forma, in quanto tutti gli argomenti della forma seguente sono validi in italiano: Premessa uno: Ogni M è un P. Premessa due: Ogni S è un M. Conclusione: Dunque, ogni S è un P. Rappresentazione in LP L argomento dei filosofi inaffidabili è valido in italiano e lo è in virtù della sua forma. Ma se proviamo a rappresentarlo in LP non otteniamo affatto un argomento valido in LP: Premessa uno: Ogni individuo distratto perde le chiavi. Rappresentazione in LP: p Premessa due: Ogni filosofo è distratto. Rappresentazione in LP: q Conclusione: Dunque, ogni filosofo perde le chiavi. Rappresentazione in LP: r La ragione è che premesse e conclusione dell argomento non sono enunciati composti (cioè, enunciati formati da altri enunciati), e dunque contano come enunciati atomici per LP. Quindi, premesse e conclusione sono rappresentate in LP da lettere proposizionali. Ma LP non ha nessuna regola che consente di provare questo: p, q LP r S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 3 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 4

2 Il problema Abbiamo visto in passato che ci sono argomenti validi in italiano che non sono validi in LP. Ad esempio: Premessa: Questo oggetto è (tutto) rosso. Rappresentazione in LP: p Conclusione: Dunque, questo oggetto non è verde. Rappresentazione in LP: q La differenza è che questo argomento non è valido in italiano in virtù della sua forma, mentre quello dei filosofi inaffidabili sì. Il nostro scopo, quando rappresentiamo un argomento in un linguaggio logico, è di assicurarci che la forma dell argomento garantisca la sua validità. Nel caso dell argomento dei filosofi inaffidabili, la forma ne assicura la validità, ma la sua rappresentazione in LP non è valida! Chiaramente, qualcosa non va: il linguaggio logico con cui rappresentiamo gli enunciati dell italiano deve permetterci di rendere conto del fatto che l argomento dei filosofi inaffidabili è valido in virtù della sua forma. Un nuovo linguaggio Se vogliamo un linguaggio formale in cui argomenti come quello dei filosofi inaffidabili hanno una rappresentazione valida, è chiaro che questo linguaggio deve distinguere enunciati della forma a è P da enunciati della forma ogni M è P. I linguaggi della logica proposizionale non permettono di fare questa distinzione. Per questa ragione, introdurremo ora un nuovo linguaggio: il linguaggio LQ (che appartiene a una classe linguaggi detti linguaggi della logica del primo ordine). (La particolare formulazione di questo linguaggio che adottiamo è quella di Bonevac 2003). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 5 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 6 Il linguaggio LQ i simboli Un insieme infinito di costanti individuali: c 1 c 2 c 3... Un insieme infinito di variabili individuali: x 1 x 2 x 3... Un insieme infinito di predicati a n-posti (per ogni n>0): P 1 1 P1 2 P P2 1 P2 2 P P3 1 P3 2 P [l indice soprascritto indica il numero di argomenti del predicato, l indice sottoscritto distingue uno dall altro i predicati con lo stesso numero di argomenti] La relazione di identità: = I quantificatori: [ è detto quantificatore universale e si legge per ogni, è detto quantificatore esistenziale e si legge esiste. I connettivi: Le parentesi: ( ) (Convenzione: per comodità, negli esempi, useremo a, b, c, d... per le costanti individuali, x, y, z,... per le variabili individuali, P, Q, R, S... per i predicati). Sostituzione Prima di definire l insieme delle formule ben formate di LQ, introduciamo la nozione di sostituzione. In primo luogo, chiamiamo le costanti e le variabili di LQ termini. Se t è un termine, indichiamo con ϕ(t) un espressione che contiene t. Data un espressione ϕ(t), indichiamo con ϕ(t ) l espressione che otteniamo sostituendo ogni occorrenza di t in ϕ(t) con una occorrenza del termine t. In questo caso, diciamo che ϕ(t ) è ottenuta per sostituzione da ϕ(t). Ad esempio, se ϕ(a) è R(a, b), allora ϕ(x) è R(x, b). Oppure, se ϕ(a) è xr(x, a), allora ϕ(y) è xr(x, y). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 7 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 8

3 Il linguaggio LQ le frasi (a) Se P è un predicato a n-posti e c 1,..., c n sono costanti, allora P (c 1,..., c n ) è una frase (atomica) di LQ. Se ϕ e ψ sono frasi di LQ, allora (b) ϕ è una frase di LQ, (c) (ϕ ψ) è una frase di LQ, (d) (ϕ ψ) è una frase di LQ, (e) (ϕ ψ) è una frase di LQ, (f) (ϕ ψ) è una frase di LQ. (g) Se ϕ(c ) è una frase di LQ che contiene la costante c, e v è una variabile che non compare in ϕ(c ), allora v ϕ(v ) e v ϕ(v ) sono frasi di LQ. (h) Se c e u sono costanti, c = u è una frase di LQ. (i) Nient altro è una frase di LQ. (Convenzione: è possibile tralasciare le parentesi, quando non crea ambiguità). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 9 Terminologia ambito e vincolamento In una frase della forma v ϕ o v ϕ, diciamo che v ϕ è l ambito di v e v ϕ è l ambito di v. Diciamo che un occorrenza di una variabile v è vincolata in una espressione se e solo se è nell ambito di v o v in quella espressione. Se un occorrenza di una variabile non è vincolata, è detta libera. Un espressione che contiene un occorrenza di una variabile libera è detta formula aperta. Per esempio, tutte le occorrenze della variabile x sono vincolate nelle espressioni 1-2, mentre le espressioni 3-5 sono formule aperte, in quanto tutte le occorrenze di x sono libere in 3 e x occorre libera nel conseguente in 4 e nel secondo congiunto in 5: 1. x(p(x) Q(x)) 2. x(p(x) Q(x)) 3. P(x) Q(x) 4. xp(x) Q(x) 5. xp(x) Q(x) Notate che, date le clausole (a), (g) e (h) nella definizione di frase del linguaggio LQ, non ci sono variabili libere nelle frasi di LQ. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 10 Modelli Per descrivere la semantica di LQ, dobbiamo in primo luogo spiegare cos è un modello per LQ. Un modello per LQ è una coppia M=<D, F >, dove D è un insieme non vuoto (detto dominio), F è una funzione (detta interpretazione) tale che (a) per ogni costante individuale c, F (c ) è un elemento di D, (b) per ogni predicato P n, F (P n ) è un insieme di n-uple di elementi di D. Diciamo che il valore che la funzione interpretazione assegna a una costante o a un predicato è la denotazione di quella costante o predicato nel modello. Un esempio di modello Facciamo un esempio per mostrare concretamente cos è un modello per LQ. M1 è un modello per LQ: M1 =< D 1, F 1 >, dove D 1 = {Tom, Jerry}, F 1 (a) = Tom, F 1 (b) = Jerry, F 1 (c) = Jerry, per ogni altra costantec, F 1 (P) = {Tom}, F 1 (Q) = {Tom, Jerry}, F 1 (P ) =, per ogni altro predicato P. In altre parole, nel modello M1 il dominio D 1 è l insieme i cui unici membri sono Tom e Jerry, la funzione interpretazione F 1 assegna Tom alla costante a, Jerry alla costante b e a tutte le altre costanti; inoltre F 1 assegna l insieme {Tom} al predicato a un posto P, l insieme {Tom, Jerry} al predicato a un posto Q, e l insieme vuoto a tutti gli altri predicati. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 11 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 12

4 c -varianti Definiamo ora cos è una c -variante di un modello: una c -variante di un modello M è un modello M uguale M eccetto per il fatto che in M la funzione interpretazione può assegnare alla costante c un individuo diverso del dominio di M da quello che la funzione interpretazione assegna a c in M. Un esempio di c -variante Consideriamo di nuovo il modello M1 definito sopra: M1 =< D 1, F 1 >, dove D 1 = {Tom, Jerry}, F 1 (a) = Tom, F 1 (b) = Jerry, F 1 (c) = Jerry, per ogni altra costantec, F 1 (P) = {Tom}, F 1 (Q) = {Tom, Jerry}, F 1 (P ) =, per ogni altro predicato P. Una a-variante di M1 è il modello M2=< D 2, F 2 > tale che M2 è identico a M1 eccetto per il fatto che, in M2, F 2 (a) = Jerry. Inoltre, M1 stesso è una a-variante di M1, dal momento che la funzione interpretazione in una a-variante di M1 può assegnare alla costante a un individuo diverso da quello che gli assegna in M1, ma non è necessario che assegni ad a un individuo diverso da quello che gli assegna in M1. Dal momento che il dominio D 1 ha due soli individui, Tom e Jerry, M1 e M2 sono tutte le a-varianti di M1. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 13 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 14 Denotazione Definiamo ora così la denotazione delle frasi di LQ in un modello M (leggiamo [[α]] M come la denotazione della frase α in M ): 1. se P n è un predicato e c 1,..., c n sono costanti individuali, allora [[P n (c 1,..., c n )]] M = 1 se < F (c 1 ),..., F (c n )> F (P n ); altrimenti [[P n (c 1,..., c n )]] M = se c e u sono costanti individuali, [[c = u ]] M = 1 se F (c )=F (u ); altrimenti [[c = u ]] M = 0. Se ϕ e ψ sono frasi di LQ, 3. [[ ϕ]] M = 1 se [[ϕ]] M = 0; altrimenti [[ ϕ]] M = 0, 4. [[ϕ ψ]] M = 1 se [[ϕ]] M = 1 e [[ψ]] M = 1; altrimenti [[ϕ ψ]] M = 0, 5. [[ϕ ψ]] M = 1 se non si dà il caso che [[ϕ]] M = 0 e [[ψ]] M = 0; altrimenti [[ϕ ψ]] M = 0, 6. [[ϕ ψ]] M = 1 se non si dà il caso che [[ϕ]] M = 1 e [[ψ]] M = 0; altrimenti [[ϕ ψ]] M = 0, 7. [[ϕ ψ]] M = 1 se [[ϕ]] M = [[ψ]] M ; altrimenti [[ϕ ψ]] M = 0. Denotazione cont. Infine, sia c una costante che non occorre in ϕ e ϕ(c/v ) il risultato di sostituire c a ogni occorrenza di v in ϕ: 8. [[ v ϕ]] M = 1 se [[ϕ(c/v )]] M = 1 per ogni c -variante M di M; altrimenti [[ v ϕ]] M = 0, 9. [[ v ϕ]] M = 1 se [[ϕ(c/v )]] M = 1 per qualche c -variante M di M; altrimenti [[ v ϕ]] M = 0. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 15 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 16

5 Come calcolare la denotazione un esempio con frasi quantificate Facciamo un esempio per mostrare come viene computata la denotazione delle frasi quantificate. Consideriamo di nuovo il modello M1, in cui il dominio D 1 è l insieme i cui elementi sono Tom e Jerry, la funzione interpretazione F 1 assegna Tom alla costante a, Jerry alla costante b e a tutte le altre costanti, l insieme {Tom} al predicato P, l insieme {Tom, Jerry} al predicato Q, e l insieme vuoto a tutti gli altri predicati. (M2 assegna invece Jerry ad a ). Qual è la denotazione di x(p(x) Q(x)) in M1? Dunque, per la clausola 8, [[ x(p(x) Q(x))]] M1 = 1 se e solo se [[P(a) Q(a)]] M = 1 per ogni a-variante M di M1 sse (dal momento M1 e M2 sono le uniche a-varianti di M1) [[P(a) Q(a)]] M1 = 1 e [[P(a) Q(a)]] M2 = 1 sse, per la clausola 6, non si dà il caso che [[P(a)]] M1 = 1 e [[Q(a)]] M1 = 0 e non si dà il caso che [[P(a)]] M2 = 1 e [[Q(a)]] M2 = 0 sse, per la clausola 1, non si dà il caso che F 1 (a) F 1 (P) e F 1 (a) F 1 (Q) e non si dà il caso che F 2 (a) F 2 (P) e F 2 (a) F 2 (Q) sse (per la definizione di M1 e M2) (i) non si dà il caso che Tom {Tom} e Tom {Tom, Jerry} e (ii) non si dà il caso che Jerry {Tom} e Jerry {Tom, Jerry}. Dal momento che Tom {Tom, Jerry}, la condizione (i) è soddisfatta e, dal momento che Jerry {Tom}, anche la condizione (ii) è soddisfatta. Dunque, [[ x(p(x) Q(x))]] M1 = 1. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 17 Validità La nozione di validità in LQ è definita così: una frase ϕ di LQ è vera in un modello M se e solo se la denotazione di ϕ in M è 1 (se e solo se [[ϕ]] M = 1); un argomento in LQ con premesse ϕ 1,..., ϕ n e conclusione ψ è valido in LQ (in simboli, ϕ 1,..., ϕ n = LQ ψ) se e solo se non esiste un modello M tale che ϕ 1,..., ϕ n sono tutte vere in M e ψ è falsa in M; una frase ϕ di LQ è valida in LQ (in simboli, = LQ ϕ) se e solo se non esiste un modello M tale che [[ϕ]] M = 0. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 18 Proprietà di LQ equivalenza di v ϕ e v ϕ Questi sono fatti relativi a LQ: v ϕ = LQ v ϕ v ϕ = LQ v ϕ Infatti: se v ϕ è vera in un modello M, allora, per la clausola 3 della definizione di denotazione, v ϕ è falsa in M. Dunque, per la clausola 9 della definizione di denotazione, ϕ(c/v) è falsa in ogni c -variante M di M. Dunque, per la clausola 2 della definizione di denotazione, ϕ(c/v) è vera in ogni c -variante M di M. Dunque, per la clausola 8 della definizione di denotazione, v ϕ è vera in M. Con un ragionamento simile, si prova anche che v ϕ = LQ v ϕ. Proprietà di LQ equivalenza di v ϕ e v ϕ Questi sono fatti relativi a LQ: v ϕ = LQ v ϕ v ϕ = LQ v ϕ Infatti: se v ϕ è vera in un modello M, allora, per la clausola 3 della definizione di denotazione, v ϕ è falsa in M. Dunque, per la clausola 8 della definizione di denotazione, ϕ(c/v) è falsa in qualche c -variante M di M. Dunque, per la clausola 2 della definizione di denotazione, ϕ(c/v) è vera in qualche c -variante M di M. Dunque, per la clausola 9 della definizione di denotazione, v ϕ è vera in M. Con un ragionamento simile, si prova anche che v ϕ = LQ v ϕ. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 19 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 20

6 Proprietà di LQ equivalenza di v ϕ e v ϕ Questi sono fatti relativi a LQ: v ϕ = LQ v ϕ v ϕ = LQ v ϕ Infatti: se v ϕ è vera in un modello M, allora, per la clausola 8 della definizione di denotazione, ϕ(c/v) è vera in ogni c -variante M di M. Dunque, per la clausola 2 della definizione di denotazione, ϕ(c/v) è falsa in ogni c -variante M di M. Dunque, per la clausola 9 della definizione di denotazione, v ϕ è falsa in M. Dunque, per la clausola 2 della definizione di denotazione, v ϕ è vera in M. Con un ragionamento simile, si prova anche che v ϕ = LQ v ϕ. Proprietà di LQ equivalenza di v ϕ e v ϕ Questi sono fatti relativi a LQ: v ϕ = LQ v ϕ v ϕ = LQ v ϕ Infatti: se v ϕ è vera in un modello M, allora, per la clausola 8 della definizione di denotazione, ϕ(c/v) è vera in qualche c -variante M di M. Dunque, per la clausola 2 della definizione di denotazione, ϕ(c/v) è falsa in qualche c -variante M di M. Dunque, per la clausola 9 della definizione di denotazione, v ϕ è falsa in M. Dunque, per la clausola 2 della definizione di denotazione, v ϕ è vera in M. Con un ragionamento simile, si prova anche che v ϕ = LQ v ϕ. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 21 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 22 Deduzione naturale per la logica del primo ordine Il sistema Q(NAT) Introdurremo ora un sistema di deduzione naturale per il linguaggio LQ che chiameremo Q(NAT). Il sistema si basa su Bonevac (2003). Il sistema Q(NAT) consiste in queste regole: tutte le regole di LP(NAT); le regole di inferenza e le regole di inscatolamento e cancellazione specifiche di Q(NAT). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 23 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 24

7 Istanze e generalizzazioni Prima di presentare le regole specifiche di Q(NAT), definiamo le nozioni di istanza e generalizzazione. Siano v ϕ(v) e v ϕ(v) frasi di LQ e sia ϕ(c) il risultato che otteniamo sostituendo la costante c a ogni occorrenza della variabile v nella formula aperta ϕ(v): ϕ(c) è detta un istanza di v ϕ(v) e v ϕ(v), v ϕ(v) e v ϕ(v) sono dette generalizzazioni di ϕ(c). Esempi P(a) è un istanza di xp(x) e xp(x) è una generalizzazione di P(a). Infatti, P(a) è ottenuta sostituendo la costante a a ogni occorrenza di x in P(x). y(p(a, y) Q(y, a)) è un istanza di x y(p(x, y) Q(y, x)) e x y(p(x, y) Q(y, x)) è una generalizzazione di y(p(a, y) Q(y, a)). Infatti, y(p(a, y) Q(y, a)) è ottenuta sostituendo la costante a a ogni occorrenza di x in y(p(x, y) Q(y, x)). y(p(a, y) Q(y, x)) non è un istanza di x y(p(x, y) Q(y, x)) in quanto y(p(a, y) Q(y, x)) non è ottenuta sostituendo la costante a a ogni occorrenza di x in y(p(x, y) Q(y, x)). R(a, a) è un istanza di xr(x, a) e xr(x, a) è una generalizzazione di R(a, a). Infatti, R(a, a) è ottenuta sostituendo la costante a a ogni occorrenza di x in R(x, a). F (b) G (b) non è un istanza di xf (x) G (x), in quanto xf (x) G (x) non è della forma ϕ(v). F (b) G (b) è un istanza di x(f (x) G (x)) e x(f (x) G (x)) è una generalizzazione di F (b) G (b). Infatti, F (b) G (b) è ottenuta sostituendo la costante b a ogni occorrenza di x in F (x) G (x). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 25 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 26 Regole di inferenza specifiche per Q(NAT) Regole di inscatolamento e cancellazione di Q(NAT) C è una sola regola di inscatolamento e cancellazione specifica di Q(NAT): dove ϕ(c ) è un istanza di ϕ(v ) e ϕ(v ), e ϕ ( c / u ) è qualunque risultato si ottiene sostituendo la costante c ad alcune o tutte le occorrenze della costante u in ϕ. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 27 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 28

8 Completezza e correttezza Tableaux per LQ È possibile mostrare che Q(NAT) permette di derivare una conclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi in cui le premesse implicano la conclusione in LQ. In simboli: ϕ 1,..., ϕ n Q(NAT ) ψ sse ϕ 1,..., ϕ n = LQ ψ. Per LQ introduciamo il sistema di tableaux Q(TAB). (Q(TAB) è basato su Bonevac 2003). (Come caso particolare, è possibile mostrare che Q(NAT ) ψ sse = LQ ψ). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 29 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 30 Regole di Q(TAB) Le regole di Q(TAB) sono le regole di LP(TAB) + le regole seguenti: dove ϕ(c ) è un istanza di ϕ(v ) e ϕ(v ), e ϕ ( c / u ) è qualunque risultato si ottiene sostituendo la costante c ad alcune o tutte le occorrenze della costante u in ϕ. Tableaux chiusi e terminati Le definizioni di tableau chiuso e terminato e di derivazione sono le consuete: un ramo di un tableaux è chiuso se e solo per qualche frase ϕ, sia ϕ che ϕ occorrono sul ramo; un tableau è terminato se e solo se ogni regola che può essere applicata è stata applicata; un tableau è chiuso se ogni suo ramo è chiuso; altrimenti è aperto; ψ è derivabile in Q(TAB) da un insieme di frasi Σ di LQ se e solo se c è un tableau terminato e chiuso la cui radice consiste nei membri di Σ e nella negazione di ψ. ϕ 1,..., ϕ n Q(TAB) ψ = def. ϕ è derivabile in Q(TAB) dall insieme di frasi {ϕ 1,..., ϕ n }. Q(TAB) ϕ = def. ϕ è derivabile in Q(TAB) dall insieme vuoto. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 31 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 32

9 Completezza e correttezza È possibile mostrare che Q(TAB) permette di derivare una conclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi in cui le premesse implicano la conclusione in LQ. In simboli: ϕ 1,..., ϕ n Q(TAB) ψ sse ϕ 1,..., ϕ n = LQ ψ. (Come caso particolare, è possibile mostrare che Q(TAB) ψ sse = LQ ψ). Rappresentare l italiano in LQ Come è possibile usare LQ per rappresentare gli enunciati dell italiano? L idea è questa: i connettivi,,, e si usano come al solito per rappresentare i connettivi vero-funzionali dell italiano; le costanti di LQ si usano per rappresentare i nomi propri dell italiano; i predicati di LQ si usano per rappresentare i nomi comuni, i verbi e alcuni aggettivi dell italiano; il predicato di identità = si usa per rappresentare predicati dell italiano come è uguale a, è identico a ; il quantificatore universale si usa per rappresentare parole come ogni, ciascuno, tutti ; il quantificatore esistenziale si usa generalmente per rappresentare parole come un, qualche, qualcuno, qualcosa. Vediamo alcuni esempi. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 33 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 34 Filosofi inaffidabili Validità dell argomento dei filosofi inaffidabili Le frasi 1-3 dell italiano si rappresentano così in LQ (per il momento, rappresentiamo perdere le chiavi con il predicato a un posto P ): 1. Ogni individuo distratto perde le chiavi. x(d(x) P(x)) 2. Ogni filosofo è distratto. x(f (x) D(x)) 3. Ogni filosofo perde le chiavi. x(f (x) P(x)) Per inciso, la rappresentazione in LQ dell argomento dei filosofi inaffidabili è valida in LQ: x(d(x) P(x)), x(f (x) D(x)) = LQ x(f (x) P(x)) Infatti, la conclusione è derivabile dalle premesse in LQ(NAT) e, come sappiamo, se la conclusione di un argomento è derivabile dalle premesse in LQ(NAT), l argomento è valido in LQ. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 35 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 36

10 x(d(x) P(x)) x(f (x) D(x)) Prova: x(f (x) P(x)) P P I Indefiniti polimorfi Questo è un esempio di frasi in cui un e qualcuno sono correttamente rappresentati dal quantificatore esistenziale : Prova: F (a) P(a) F (a) Prova: P(a) I Ass E Leo ha un gatto x(g (x) H(l, x)) qualcuno è entrato x E (x) P(a) F (a) D(a) D(a) P(a) D(a) F (a) F (a) Ass E, 2 E, 1 E*, 7, 9 E*, 8, 10 R, 5 Tuttavia, ci sono anche casi in cui parole come un e qualcuno devono essere rappresentate per mezzo del quantificatore universale per essere fedeli al significato dell enunciato italiano in cui occorrono. Ecco alcuni esempi: un gatto è un felino x(g (x) F (x)) se Leo ha un gatto, gli vuol bene x((g (x) H(l, x)) B(l, x)) se un gatto fa amicizia con qualcuno, dorme con lui x y((g (x) A(x, y)) D(x, y)) S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 37 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 37 Ambiguità di ambito All inizio del corso, abbiamo osservato che la frase (1) è ambigua: (1) Ogni gatto del vicinato è innamorato di una gatta del vicinato. Infatti, (1) può essere interpretata come (a) o come (b): (a) c è una gatta del vicinato di cui tutti i gatti del vicinato sono innamorati; (b) ogni gatto del vicinato è innamorato di qualche gatta del vicinato, non necessariamente la stessa di cui sono innamorati gli altri. Le letture (a) e (b) sono rappresentate così in LQ ( D sta per femmina, M sta per maschio, G sta per gatto del vicinato e I sta per innamorato ): (a ) y(g (y) D(y) x((g (x) M(x)) I (x, y))) (b ) x((g (x) M(x)) y(g (y) D(y) I (x, y))) Così come (b) non implica (a) in italiano, in LQ (b ) non implica (a ). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 38 Un contro-modello Ecco un contro-modello M che ci mostra che x((g (x) M(x)) y(g (y) D(y) I (x, y))) LQ y(g (y) D(y) x((g (x) M(x)) I (x, y))) D = {Romeo, Rossini, Kukla, Luna} F (a) = Romeo F (b) = Rossini F (c) = Kukla F (d) = Luna F (M) = {Romeo, Rossini} F (D) = {Kukla, Luna} F (G ) = {Romeo, Rossini, Kukla, Luna} F (I ) = {< Romeo, Kukla >, < Rossini, Luna >}... È possibile (anche se è un po lungo) verificare che in questo modello la premessa è vera (in quanto ogni gatto è innamorato di una gatta), ma la conclusione è falsa (in quanto non c è una gatta di cui ogni gatto è innamorato). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 39

11 La verifica verità della premessa in M [[ x((g (x) M(x)) y(g (y) D(y) I (x, y)))]] M = 1 sse per ogni a-variante M di M [[(G (a) M(a)) y(g (y) D(y) I (a, y))]] M = 1 sse per ogni a-variante M di M o [[G (a) M(a)]] M = 0 oppure [[ y(g (y) D(y) I (a, y))]] M = 1 sse per ogni a-variante M di M o [[G (a) M(a)]] M = 0 oppure c è almeno una b-variante M di M tale che [[G (b) D(b) I (a, b))]] M = 1. Ora, nel dominio ci sono 4 individui, quindi 4 a-varianti M di M (incluso M), che assegnano ad a un individuo diverso: Romeo, Rossini, Kukla e Luna. Inoltre, per ciascun M ci sono 4 b-varianti M, che assegnano a b un individuo diverso. Consideriamo la a-variante M di M che assegna ad a Romeo. In questo caso, c è una b-variante M di M tale che [[G (b) D(b) I (a, b))]] M = 1 ed è la b-variante che assegna Kukla a b. Consideriamo ora la a-variante M di M che assegna ad a Rossini. Di nuovo, c è una b-variante M di M tale che [[G (b) D(b) I (a, b))]] M = 1 ed è la b-variante che assegna Luna a b. Le a-varianti M rimanenti assegnano una gatta ad a, quindi [[G (a) M(a)]] M = 0. Dunque, per ogni a-variante M di M o [[G (a) M(a)]] M = 0 oppure c è almeno una b-variante M di M tale che [[G (b) D(b) I (a, b))]] M = 1. Pertanto, la premessa è vera. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 40 La verifica falsità della conclusione in M [[ y(g (y) D(y) x((g (x) M(x)) I (x, y)))]] M = 1 sse, per qualche a-variante M, [[G (a) D(a) x((g (x) M(x)) I (x, a))]] M = 1 sse, per qualche a-variante M, [[G (a) D(a)]] M = 1 e [[ x((g (x) M(x)) I (x, a))]] M = 1 sse, per qualche a-variante M, [[G (a) D(a)]] M = 1 e per ogni b-variante M di M [[(G (b) M(b)) I (b, a)]] M = 1. Ora, consideriamo la a-variante M che assegna Kukla ad a. Per questo M, [[G (a) D(a)]] M = 1, in quanto Kukla è una gatta. Tuttavia, c è una b-variante M di M tale che [[(G (b) M(b)) I (b, a)]] M = 0, ed è la variante che assegna Rossini a b, dal momento che Rossini è un gatto che non ama Kukla. Consideriamo la a-variante M che assegna Luna ad a. Di nuovo, per questo M, [[G (a) D(a)]] M = 1, in quanto Luna è una gatta. Tuttavia, c è una b-variante M di M tale che [[(G (b) M(b)) I (b, a)]] M = 0, ed è la variante che assegna Romeo a b, dal momento che Romeo è un gatto che non ama Luna. Le a-varianti M rimanenti assegnano un gatto ad a e quindi [[G (a) D(a)]] M = 0. Dunque, non c è una a-variante M di M tale che [[G (a) D(a)]] M = 1 e per ogni b-variante M di M [[(G (b) M(b)) I (b, a)]] M = 1. Dunque, [[ y(g (y) D(y) x((g (x) M(x)) I (x, y)))]] M = 0. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 41 Aggettivi intersettivi e non Consideriamo ora come rappresentare gli aggettivi dall italiano in LQ. Una bandiera rossa è una bandiera ed è rossa, un cane nero è un cane ed è nero, un uomo ricco è un uomo ed è ricco. Aggettivi, come rosso, nero, ricco sono intersettivi, vale a dire le espressioni complesse che si ottengono combinando questi aggettivi con un nome equivalgono a delle congiunzioni. Le espressioni composte da un nome e un aggettivo intersettivo possono dunque essere rappresentate per mezzo di congiunzioni in LQ: (c) Leo ha sventolato una bandiera rossa (c ) x(b(x) R(x) S(l, x)) Alcuni aggettivi, tuttavia, non sono intersettivi: un buon pianista non è una persona buona che è anche un pianista e un diamante falso non è qualcosa che è un diamante ed è falso. Predicati come diamante falso devono essere rappresentati come singoli predicati in LQ: (d) Leo ha comprato un diamante falso (d ) x(q(x) C (l, x)) Relative restrittive e non Le frasi relative possono essere restrittive o non restrittive: (e) Un gatto che Leo conosce bene è entrato. (restrittiva) (f) Un gatto, che tra l altro Leo conosce bene, è entrato. (non restrittiva) Le frasi precedenti hanno le stesse condizioni di verità e possono essere rappresentate così in LQ: (e-f ) x(g (x) C (l, x) E (x)) In presenza di quantificatori universali, tuttavia, può fare differenza per le condizioni di verità se la relativa è restrittiva o no. Per esempio, le frasi seguenti non sono sinonime (solo (h) implica che tutti gli studenti si annoiano): (g) Tutti studenti del corso che sono matricole si annoiano. (h) Tutti studenti del corso, che tra l altro sono matricole, si annoiano. In questo caso, la traduzione corretta è la seguente: (g ) x((s(x) M(x)) A(x)) (h ) x(s(x) A(x)) x(s(x) M(x)) S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 42 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 43

12 Ci sono almeno n gatti Attraverso il quantificatore e il simbolo di identità = possiamo esprimere affermazioni numeriche della forma ci sono almeno n individui che sono F. Ad esempio, la frase (i) dell italiano può essere rappresentata in LQ dalla frase (i ), la frase (j) dalla frase (j ), e così via ( x y abbrevia x = y ): (i) ci sono almeno due gatti (i ) x y(g (x) G (y) x y) (j) ci sono almeno tre gatti (j ) x y z(g (x) G (y) G (z) x y y z x z)... (Si noti che è necessario introdurre condizioni come x y, in quanto x y(g (x) G (y)) può essere vera anche se c è un solo gatto). Ci sono al più n gatti Attraverso il quantificatore e il simbolo di identità possiamo esprimere inoltre affermazioni numeriche della forma ci sono al più n individui che sono F. Ad esempio, la frase (k) dell italiano può essere rappresentata in LQ dalla frase (k ), la frase (l) dalla frase (l ), e così via: (k) c è al più un gatto (k ) x y((g (x) G (y)) x = y) (l) ci sono al più due gatti (l ) x y z((g (x) G (y) G (z)) (x = y y = z x = z))... (Possiamo anche esprimere (k) negando la formula che asserisce che esistono almeno due gatti, esprimere (l) negando la formula che asserisce che esistono almeno tre gatti, ecc.) S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 44 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 45 Ci sono esattamente n gatti Descrizioni definite Attraverso i quantificatori e il simbolo di identità possiamo esprimere infine affermazioni numeriche della forma ci sono esattamente n individui che sono F. Ad esempio, la frase (m) dell italiano può essere rappresentata in LQ dalla frase (m ), la frase (n) dalla frase (n ), e così via: (m) c è esattamente un gatto (m ) x(g (x) y(g (y) y = x)) (n) ci sono esattamente due gatti (n ) x y(g (x) G (y) x y z(g (z) (z = x z = y))... Ora che sappiamo come rappresentare in LQ enunciati come esiste almeno un gatto ed esiste al più un gatto, siamo in grado di rappresentare in LQ enunciati che contengono descrizioni definite, cioè espressioni nominali che iniziano con l articolo determinativo singolare, come il gatto, il coniglio di Filippo, l uomo che cadde sulla terra, ecc. Più precisamente, siamo in grado di dare la rappresentazione logica che Russell riteneva che gli enunciati contenenti descrizioni definite avessero. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 46 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 47

13 Descrizioni definite la teoria di Russell Secondo l analisi russelliana, l enunciato (2) equivale alla congiunzione dei tre enunciati quantificati in a-c, e dunque alla formula (3), che a sua volta è equivalente a (4) (ignoro la specificazione di Maria nella rappresentazione): (2) il gatto di Maria dorme. a. Esiste almeno un individuo che è un gatto di Maria, b. esiste al più un individuo che è un gatto di Maria, c. chiunque è un gatto di Maria dorme. (3) xg (x) x y((g (x) G (y)) x = y) x(g (x) D(x)) (4) x(g (x) y(g (y) x = y) D(x)) S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 48 Teorie alternative delle descrizioni definite Secondo l analisi di Russell, le descrizioni non denotano individui (non sono cioè termini singolari). Infatti, la rappresentazione logica proposta da Russell contiene solo dei quantificatori, espressioni che non si riferiscono ad alcun individuo: (4) x(g (x) y(g (y) x = y) D(x)) (Questo, ovviamente, non toglie che (4) sia vera se e solo se esiste un unico individuo che ha la proprietà G, e questo individuo dorme). Frege, a differenza di Russell, riteneva invece che le descrizioni definite fossero termini singolari. Un vantaggio della teoria russelliana è che risolve il puzzle della barba di Platone. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 49 La barba di Platone Supponete ora che due filosofi, McX ed io, differiscano sull ontologia. Supponete che McX sostenga che c è qualcosa che io sostengo non ci sia. McX può, del tutto coerentemente dal suo punto di vista, descrivere la nostra differenza di opinioni dicendo che mi rifiuto di riconoscere certe entità. Dovrei protestare, naturalmente, che la sua formulazione del nostro disaccordo è errata, in quanto io sostengo che per me non ci sono entità, del tipo che egli suppone, da riconoscere; ma il fatto che io trovi la sua formulazione del nostro disaccordo errata non è importante, dal momento che in ogni caso ritengo che si sbagli sull ontologia. Quando io provo a formulare la nostra differenza di opinioni, d altra parte, sembro essere in difficoltà. Non posso ammettere che ci siano delle cose che McX accetta e io no, perché ammettendo che ci siano queste cose starei contraddicendo il mio rifiuto di ammetterle. Parrebbe, se questo ragionamento fosse fondato, che in qualsiasi disputa ontologica il sostenitore del lato negativo patisca lo svantaggio di non essere in grado di ammettere che il suo avversario non è d accordo con lui. Questo è il vecchio enigma platonico del non essere. Il non essere deve in qualche senso essere, altrimenti cos è che non c è? Questa dottrina contorta potrebbe essere soprannominata la barba di Platone: storicamente si è dimostrata dura, smussando spesso il rasoio di Occam. (W. v. O. Quine, On what there is). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 50 Un esempio Possiamo illustrare così il problema sollevato da Quine. Supponete che parlando di Pegaso, il cavallo alato divino destriero di Bellerofonte, io dica: (5) il cavallo alato divino non esiste. Qualcuno potrebbe argomentare che, asserendo (5), mi contraddico. Infatti, 1. se (5) è vero, ha come oggetto il cavallo alato divino; 2. se (5) ha come oggetto il cavallo alato divino, allora il cavallo alato divino esiste; 3. se il cavallo alato divino esiste, (5) è falso. 4. Dunque, se (5) è vero, (5) è falso. Cosa c è di sbagliato in questo ragionamento? S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 51

14 La soluzione di Russell Meinong (1910) nega la premessa 2 del ragionamento e afferma che ci sono degli oggetti che non esistono: 1. se (5) è vero, ha come oggetto il cavallo alato divino; 2. se (5) ha come oggetto il cavallo alato divino, allora il cavallo alato divino esiste; (5) il cavallo alato divino non esiste. Russell nega invece la premessa 1: come abbiamo visto, secondo la sua teoria le descrizioni definite non sono termini singolari, non si riferiscono a individui. Vediamo come Russell cattura la verità di (5). Asserzioni di esistenza Come dobbiamo rappresentare logicamente (6) secondo Russell? (6) il cavallo alato divino esiste. Secondo la sua teoria delle descrizioni, (6) equivale a (7): (7) esiste almeno un cavallo alato divino ed esiste al più un cavallo alato divino e chiunque è un cavallo alato divino esiste. Per Russell tutte le occorrenze del predicato esiste in (7) sono appropriatamente rappresentate attraverso il quantificatore esistenziale. Se questo è corretto, possiamo rappresentare (6) come (8) (per brevità rappresento il predicato italiano cavallo alato divino con un unico predicato di LQ): (8) x C (x) x y((c (x) C (y)) x = y) x(c (x) z(z = x)) La formula (8) è equivalente alla formula più breve (9): (9) x(c (x) y(c (y) x = y)) S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 52 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 53 Esistenziali negativi Ora torniamo a (5): (5) il cavallo alato divino non esiste. Come dobbiamo rappresentare (5) secondo Russell? Per Russell, (5) è ambiguo, ha due rappresentazioni logiche possibili, che corrispondono ad ambiti diversi della negazione rispetto al quantificatore esistenziale. Negazione con ambito ampio Una rappresentazione logica possibile di (5) assegna alla negazione ambito su tutta la formula, come indicato in (10): (5) il cavallo alato divino non esiste (10) ( x C (x) x y((c (x) C (y)) x = y) x(c (x) z(z = x))) La formula (10) è equivalente a (11) ed è vera, dal momento che nel mondo reale non ci sono cavalli alati: (11) ( x(c (x) y(c (y) x = y))) La rappresentazione (10) rende conto della nostra intuizione che (5) è vero. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 54 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 55

15 Negazione con ambito stretto Carità interpretativa L enunciato (5) ha dunque due interpretazioni: Un altra rappresentazione logica possibile di (5) assegna alla negazione ambito solo sull ultima occorrenza del quantificatore esistenziale nella formula, come indicato in (12): (5) il cavallo alato divino non esiste (12) xc (x) x y((c (x) C (y)) x = y) x(c (x) z(z = x)) La formula (12) è contraddittoria, dal momento che asserisce l esistenza di un cavallo alato e al tempo stesso la nega. (5) il cavallo alato divino non esiste un interpretazione vera, che è quella che presumibilmente asseriamo quando proferiamo (5), e che corrisponde alla rappresentazione in cui la negazione ha ambito su tutta la formula; un interpretazione contraddittoria, che corrisponde alla rappresentazione in cui la negazione ha ambito solo sull ultima occorrenza del quantificatore esistenziale. Il fatto che l interpretazione con ambito stretto sia contraddittoria, spiega probabilmente perché, sentendo proferire (5), ignoriamo questa interpretazione. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 56 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 57 Evidenza per la negazione ad ambito stretto Notate tuttavia che, mentre nel caso degli enunciati esistenziali negativi come (5), la lettura con ambito stretto non corrisponde a una lettura percepita dell enunciato, in altri casi (in cui il predicato è diverso da esiste ), la lettura con ambito stretto viene preferita: (5) il cavallo alato divino non esiste Per esempio, (13) è naturalmente inteso come l affermazione che esiste un unico gatto di Maria e quel gatto non dorme: (13) Il gatto di Maria non dorme. (14) x(g (x) y(g (y) x = y) D(x)) Dunque, entrambi gli ambiti della negazione sono effettivamente possibili. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Logica del primo ordine 58