Decomposizione in frazioni semplici e applicazioni all integrazione delle funzioni razionali fratte

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1 Decomposizione in frazioni semplici e applicazioni all integrazione delle funzioni razionali fratte A cura di Simone Secchi 3 gennaio 2005 Sommario Questa dispensa vuole fornire un supporto scritto ad alcuni argomenti trattati durante le esercitazioni. In particolare, enunciamo i teoremi che vengono tacitamente usati nella pratica. Ciò non significa, in alcun modo, che lo studente debba saper ripetere tali enunciati in sede d esame. Tuttavia, è richiesta la capacità di mettere in pratica la teoria, com è ovvio. Ogni riferimento bibliografico è stato volutamente evitato, e pertanto gli eventuali errori tipografici o sviste vanno addebitati esclusivamente all autore della dispensa. Decomposizione di una funzione razionale fratta Definizione. Una funzione reale f, di variabile reale, è detta funzione razionale fratta quando si può scrivere nella forma f() = P () Q(), () dove P e Q sono due polinomi nella variabile, di gradi rispettivamente deg P e deg Q. Se Q (0) = { R Q() = 0} è l insieme degli zeri del polinomio Q, allora f : R \ Q (0) R. Esempio. Le seguenti funzioni sono razionali fratte:. f() = 2. f() = f() = π 4 Per i nostri scopi, conviene osservare che ci si può ricondurre al caso di una funzione razionale in cui il grado del numeratore sia strettamente minore del grado del denominatore. È il contenuto del seguente teorema; la dimostrazione si basa sulla cosiddetta proprietà del minimo per l insieme N dei numeri naturali, ed è pertinenza di studi algebrici più approfonditi.

2 Teorema (Divisione euclidea). Siano P e Q due polinomi, di gradi rispettivi deg P e deg Q, con deg P deg Q. Esistono due polinomi S e R, tali che il grado di R sia minore di deg Q, e inoltre P () = S()Q() + R(). Tali polinomi sono univocamente determinati. Si usa chiamare S il quoziente di P e Q, mentre R si chiama resto della divisione fra P e Q. Non cercheremo in questa dispensa di spiegare l algoritmo con cui si effettua in pratica la divisione fra polinomi. Essendo una tecnica tipicamente insegnata nel biennio delle scuole superiori, la supponiamo senz altro nota allo studente. Useremo poi, più o meno eplicitamente, il seguente risultato, noto come teorema fondamentale dell algebra. Naturalmente, la dimostrazione è omessa. Teorema 2. Ogni polinomio P a coefficienti reali, di grado n, possiede esattamente n radici, ciascuna contata con la propria molteplicità. Osservazione. Una precisazione sull enunciato. È necessario contare le radici tenendo conto della molteplicità. Ad esempio, 2 è un polinomio di grado due, dotato di due radici (±, ovviamente). Anche è un polinomio di grado due, dotato di una radice doppia =, giacché = ( ) 2. In altri termini, = è una radice del nostro polinomio, e la sua molteplicità è due. Corollario. Se due polinomi P () = a 0 n + a n a n Q() = b 0 n + b n b n dello stesso grando n coincidono in ogni punto: P () = Q() per ogni R, allora a j = b j, j = 0,,..., n. Sulla scorta del Teorema, possiamo restringere d ora in avanti la nostra attenzione a quelle funzioni razionali fratte che si presentano come rapporto fra un numeratore di un certo grado, ed un denominatore di grado strettamente minore di quello del numeratore. Infatti, se f = P/Q, allora f = S + R Q, dove S e R sono determinati come nel teorema euclideo. Ma sappiamo dalla tesi di tale teorema, che il grado di R è minore del grado di Q, sicché R si può sempre scrivere come somma di un polinomio S e di una funzione razionale fratta del tipo R/Q. 2

3 Esempio 2. Consideriamo la funzione razione fratta: R() = 2. Si tratta di una funzione razionale fratta in cui il denominatore è un polinomio di grado deg Q = 2. Sarebbe comodo, per certi versi, poter riscrivere R come somma di funzioni razionali più banali, ad esempio aventi a denominatore dei polinomi di grado uno. Nel caso specifico, se osserviamo che 2 = ( )( + 2) e cerchiamo due numeri A e B reali tali che 2 = A + B +, (2) facendo il denominatore comune e semplificando i denominatori, arriviamo alla relazione A( + ) + B( ) = che deve vale per ogni. Più esplicitamente, (A + B) + A B =. Siccome questa relazione deve valere per ogni, il coefficiente della deve essere nullo, mentre il termine noto deve essere. In breve, abbiamo il sistema, nelle incognite A e B: { A + B = 0 A B = L unica soluzione di tale sistema è A = /2, B = /2. Infine, Ricapitoliamo schematicamente: R() = Abbiamo trovato le radici del polinomio a denominatore; abbiamo congetturato che si potesse scrivere una identità come (2); abbiamo determinato le costanti A e B uguagliando i coefficienti e risolvendo un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Questo approccio, in realtà, ha portata piuttosto generale, potendosi applicare in una quantità di casi molto ampia. A puro scopo di curiosità, riportiamo senza dimostrazione l enunciato dei teoremi che giustificano gli escamotages utilizzati nella pratica. Le dimostrazioni, qui omesse, richiederebbero ragionamenti piuttosto astratti di algebra dei polinomi. Sarebbe possibile e forse preferibile ambientare questa teoria nella cosiddetta Analisi Complessa, sebbene gli strumenti necessari diventino molto raffinati. 3

4 Teorema 3. Sia Q un polinomio di grado n. Si possono determinare in modo unico r + 2s numeri reali a,..., a r, p,..., p s, q,..., q s, tali che p 2 j 4q j < 0 per j =,..., s, e r + s numeri interi positivi m,..., m r, n,..., n s, e una costante reale c tali che: Q() = c( a ) m ( a r ) mr ( 2 + p + q ) n ( 2 + p s + q s ) ns. (3) Lo studente rifletta brevemente sul significato del teorema precedente: nei fatti, il polinomio Q si fattorizza come prodotto di polinomi lineari elevati a opportune potenze, e in prodotti di polinomi di secondo grado privi di radici reali, anch essi elevati a opportune potenze. Esempio 3. Come abbiamo visto, 2 = ( ) ( + ). Similmente 3 + = ( 2 + ). Teorema 4 (Decomposizione in frazioni semplici). Siano P e Q due polinomi, con il grado di Q maggiore o uguale a uno, e supponiamo che Q ammetta la fattorizzazione (3). Si possono univocamente determinare costanti reali K i j i, L h l n, M h l n, (i =,..., r; j i =,..., m i ; h =,..., s; l h =,..., n h ) e un polinomio S tali che P () Q() = S() + r m i i= j i = Kj i s ( a i ) + m i j i + n h h= l h = 2 Il caso del denominatore di grado 2 L h l h + M h l h ( 2 + p h + q h ) n h l h +. Il teorema di decomposizione in frazioni semplici, sebbene algebricamente elegante, richiede in genere molti calcoli per la determinazione di tutte le costanti. Discutiamo qui, in maggior dettaglio, il caso in cui il denominatore ha grado due. Per quanto detto, ci interessa solo il caso in cui il grado del numeratore è al più uno. Altrimenti facciamo la divisione e ci riportiamo a questa situazione. Sia allora Q() = a 2 + b + c il denominatore della nostra funzione razionale fratta R. È naturale, visto il teorema sopra, distinguere tre casi. Per semplificare la trattazione, ci concentriamo su esempi espliciti, ma facilmente estendibili al caso generale.. Due radici reali distinte Si tratta del caso = b 2 4ac > 0. Sia R() = +7. Il polinomio a 2 2 denominatore possiede le due radici =, 2 = 2. Dunque 2 2 = ( + )( 2). Scomponiamo R secondo la formula = A B 2.

5 Sviluppando il secondo membro, abbiamo A + + B 2 = A 2A + B + B ( + )( 2) Affinché valga l uguaglianza, deve risultare { A + B = 2A + B = 7 = (A + B) 2A + B. 2 2 Risolvendo questo sistema, troviamo A = 2, B = 3. Infine, la decomposizione cercata è = Due radici reali coincidenti Si tratta del caso = b 2 4ac = 0. Sia R() =. Guidati dalla morale del teorema astratto, cerchiamo una decomposizione del tipo = A + + B ( + ) 2. Facendo ancora il denominatore comune e semplificando, arriviamo all identità cioè A( + ) + B =, A + A + B =. Dunque A =, A + B = 0, cioè A =, B =. La decomposizione è infine = + + ( + ) Radici complesse coniugate È il caso in cui = b 2 4ac < 0. In effetti, questo è un caso alquanto degenere, visto che il teorema astratto si limita a dirci che... non si può fare niente! Insomma, = , dato che la nostra funzione è già ridotta all osso, secondo il teorema. Siccome però a noi interessa innanzitutto la possibilità di integrare una funzione razionale fratta, possiamo tentare di mettere in evidenza al numeratore la derivata del denominatore: che ci porta al sistema { 2A = 2 e infine alla soluzione A =, B = 3. A(2 + 2) = B A + B = 5

6 3 Integrazione delle funzioni razionali fratte Il problema che discutiamo in questa sezione è quello della determinazione delle primitive di una data funzione razionale fratta: P () (4) Q() Ripartiamo dunque dalla tesi del teorema di decomposizione: P () Q() = S() + r m i i= j i = Kj i s ( a i ) + m i j i + n h h= l h = L h l h + M h l h ( 2 + p h + q h ) n h l h +. Se non ci sono problemi per l integrazione del polinomio S, giacché siamo capaci di trovare le primitive di quasiasi polinomio, meno ovvia è la determinazione delle primitive delle restanti somme di frazioni. Più precisamente, bisogna capire come integrare il generico termine L h l h + M h l h ( 2 + p h + q h ) n h l h +. L analisi del caso generale è rimandato al prossimo paragrafo, e qui ci limiteremo a trattare i casi di un denominatore di grado due o riconducibile al prodotto di polinomi di grado non superiore a due. A tale scopo, ripercorriamo gli esempi della sezione precedente = = 2 log log 2 + c = + = log + + ( + ) c = Ci soffermiamo su quest ultimo caso, essendo il meno semplice. Come lo studente avrà notato, abbiamo operato algebricamente per far comparire a numeratore la derivata del denominatore, e questo trucco ci consente di concludere subito che = log c. Per concludere, occorre risolvere. Ricordiamo che = arctan + c, 6

7 e questa formula sarà la risposta alle nostre domande. Infatti, = ( + ) 2 + 4, sicché = ( + ) = 4 (( + )/2) 2 + = 2 arctan + + c 2 Che cosa abbiamo fatto, in sostanza? Lo capiamo meglio nel caso generale: ( a 2 + b + c = a 2 + b a + c a = a ) ( ( + b ) ) 2 + c 2a a b2 4a = a ( ( + b ) 2 + 2a ) 4ac b2. 4a 2 Infine, abbiamo messo in evidenza il fattore positivo (4ac b 2 )/4a 2. Invitiamo lo studente ad effettuare personalmente, volta per volta, questo genere di manipolazioni. Imparare a memoria le formule è faticoso, e in quest ambito si corre il rischio di dimenticare qualche costante numerica. Esempio 4. Vogliamo calcolare Seguiamo la strada segnata: facciamo innanzitutto apparire a denominatore la derivata del denominatore, mediante qualche passaggio algebrico: = Il primo termine a destra è 2+ = log Calcoliamo a parte il secondo integrale = ( + /2) 2 + 3/4 = 4 ( 3 ( ) ) 2 + = 4 3 2/ 3 ( ) = 2 ( arctan 3 + ) + c. 3 7

8 Nella penultima uguaglianza, abbiamo preferito ricondurci a un integrale immediato, ma la sostituzione y = 2 3 ( /2) porta esattamente allo stesso risultato. Infine, possiamo scrivere = ( log arctan 3 + ) + c. 3 Ci auguriamo che gli esempi precedenti abbiano mostrato allo studente quali tecniche sono usate per il calcolo delle primitive delle più semplici funzioni razionali fratte. Brevemente, ci si riconduce sempre a:. integrali di polinomi; 2. integrali di potenze ad esponente negativo di polinomi lineari in ; 3. integrali riconducibili alla forma 2 +β 2. Concludiamo con un esempio atto ad estendere le precedenti considerazioni a denominatori di grado superiore a due, a patto che sia possibile scomporli elementarmente. Esempio Poiché il numeratore ha grado 5, mentre il denominatore ha grado 4, è necessario effettuare prima la divisione esplicita: senza grandi difficoltà si trova = Poiché = 2 ( 2 + ), tentiamo la decomposizione = A + B 2 + C + D 2 +. Mettendo a denominatore comune e semplificando, troviamo dopo pochi calcoli che A = C =, B =, D = 0. Ma allora 5 + = log arctan + c. 4 Il caso generale e una formula ricorrente In quest ultimo paragrafo, tentiamo di rendere algoritmico tutto quanto visto precedentemente. Siccome repetita juvant, ripeteremo alcune cose già scritte nei paragrafi precedenti. Per comodità, cambiamo leggermente alcune notazioni. 8

9 Siano P () = p 0 m + p m + + p m (p 0 0) Q() = q 0 n + q n + + q n (q 0 0) due polinomi, di gradi rispettivi m ed n. Il nostro scopo è quello di trovare una primitiva della funzione f() = P () Q(), definita ovviamente sull insieme { R Q() 0}. Passo : se n = 0 la funzione f è un polinomio di grado m, ed una sua primitiva si ottiene immediatamente. Se invece n, ci si riduce al caso m < n eseguendo la divisione di P per Q: si ottiene P () Q() = S() + R() Q(). Passo 2: si calcolano ora le radici complesse del polinomio Q, che in totale, se contate ciascuna con la suamolteplicità, sono n. Tenuto conto che Q è un polinomio a coefficienti reali, si ha che se z = α + iβ è una radice complessa di Q anche z = α iβ è una radice, avente la stessa molteplicità di z. Inoltre ( (α + iβ)) ( (α iβ)) = ( α) 2 + β 2. Indichiamo con j (j =,..., r) le radici reali di Q e con k j le rispettive molteplicità, e con z j = α j +iβ j, z j = α j iβ j (j =,..., s) le coppie di radici complesse coniugate (non reali) di Q, con rispettive molteplicità h j. Passo 3: supponendo b 0 =, come si può sempre ottenere dividendo numeratore e denominatore per b 0 0, scriviamo il polinomio Q nella forma Q() = ( q ) k... ( r ) kr ( ( α ) 2 + β 2 ) h... ( ( α s ) 2 + β 2 s) hs, dove k + +k r +2h + +2h s = n. La funzione razionale f si può allora scrivere nella forma P () Q() = a a r r b + c ( α ) 2 + β 2 + b s + c s ( α s ) 2 + β 2 s a k ( ) k 9 a rkr ( r ) kr b h + c h + + (( α ) 2 + β) 2 h + + b shs + c shs (( α ) 2 + β 2 ) hs,

10 dove i coefficienti a ij, b ij, c ij sono numeri reali da determinare. Per la loro determinazione (unica, come ci dice il teorema di decomposizione), si moltiplicano primo e secondo membro dell identità precedente per Q() ottenendo così un identità fra polinomi. Uguagliando i coefficienti dei monomi (nella variabile ) di grado uguale si arriva a un sistema lineare che è sempre risolubile. Le soluzioni di tale sistema sono i coefficienti cercati. Passo 4: a questo punto, per calcolare una primitiva di f, basta saper determinare perogni intero r ed ogni a, p, q, 0, α, β R le primitive a ( 0 ) e p + q r (( α) 2 + β 2 ) r. Il primo integrale è elementare, e a ( 0 ) r = { a log 0 + c se r = a ( r 0) r + c se r >. Per il calcolo del secondo integrale indefinito abbiamo p + q p(α + βt) + q (( α) 2 + β 2 ) r = β 2r ( + t 2 ) β dr r = [avendo posto = α + βt] p t dt β 2r 2 ( + t 2 ) + pα + q r β 2r dt ( + t 2 ) r. (5) L integrale indefinito (t/( + t 2 ) r ) dt si calcola facilmente, e si ha { t dt ( + t 2 ) = log( + 2 t2 ) + c se r = r ( + 2( r) t2 ) r + c se r >. L ultimo integrale da calcolare, si trova in generale solo per ricorrenza. poniamo dt I r (t) = ( + t 2 ), r abbiamo la regola per calcolare I r noto I r : (6) Se I (t) = arctan t + c (7) I r (t) = 2r 3 2r 2 I t r (t) +. (8) 2(r )( + t 2 ) r In definitiva, sostituendo all indietro = α + βt e ricordando le equazioni (5), (6), (7) e (8), abbiamo calcolato esplicitamente l integrale indefinito p + q (( α) 2 + β 2 ) r. 0

11 Per completezza, e anche perché il procedimento è interessante, dimostriamo la validità di (7) e (8). Innanzitutto, (7) è evidente, in quanto dt = arctan t + c. t 2 + Sia r 2. Dall uguaglianza ( + t 2 ) r = + t2 t 2 (t 2 + ) r = ( + t 2 ) r t 2 ( + t 2 ) r e dalla linearità dell integrale indefinito, deduciamo che t 2 I r (t) = I r (t) ( + t 2 ) dt. r Integriamo per parti l ultimo integrale della formula precedente, derivando t e integrando t/(t 2 + ) r. Infatti ricordiamo che r > per ipotesi: t dt = dy (t 2 + ) r 2 ( + y) r = 2(r )( + y) + c r = 2(r )( + t 2 ) + c r con l ovvia sostituzione t 2 = y e t dt = dy. Quindi 2 t 2 (t 2 + ) dt = t r 2(r )( + t 2 ) + r In definitiva, che è la formula cercata. Ad esempio, dt 2(r )( + t 2 ) r t = 2(r )( + t 2 ) + r 2(r ) I r (t). I r (t) = 2r 3 2r 2 I t r (t) +, (9) 2(r )( + t 2 ) r I (t) = arctan t + c I 2 (t) = 2 arctan t + t 2( + t 2 ) + c I 3 (t) = 3 8 arctan t + 3 t 8 ( + t 2 ) + t 4 ( + t 2 ) + c. 2 Osservazione 2. Un ovvia avvertenza per gli studenti più curiosi: il teorema di decomposizione è del tutto generale, senza vincoli sulla grandezza degli ordini dei polinomi in gioco. D altra parte, come l ultimo paragrafo suggerisce, ciò che conta davvero è la possibilità di identificare tutte le radici (reali e complesse coniugate) del polinomio al denominatore. E questa è la nota dolente. Ad esempio, chi saprebbe determinare esattamente tutte le radici un generico polinomio di quindicesimo

12 grado? Esiste un profondo teorema, dovuto a Evariste Galois, che asserisce l impossibilità di risolvere tutte le equazioni algebriche di grado superiore al quinto, mediante l uso dei radicali. In sostanza, per le equazioni di grado maggiore o uguale a cinque, non esistono formule risolutive generali, e anche per quelle di grado tre e quattro tali formule note ma poco pubblicizzate sono di scarsa utilità pratica. Di riflesso, anche l integrazione delle funzioni razionali fratte, non potrà essere eseguita indiscriminatamente. È questo uno degli aspetti più evidenti della disparità fra derivazione e integrazione: di tutte le funzioni elementari sappiamo calcolare la derivata, mentre di moltissime funzioni elementari non abbiamo speranza di trovare una primitiva in forma elementare. 5 Esercizi Invitiamo lo studente a verificare le seguenti identità, usando il metodo di integrazione per le funzioni razionali, ed eventualmente qualche sostituzione elementare. ( ) = 2 arctan + log + c (0) ( + 2 ) = 2 ( + 2 ) log( + 2 ) + 2( + 2 ) + c () = log 4 ( ) 3 3 ( ) + c (2) 2 e 2 e + 2 = log(e + 2) 2 + c (3) cos 6 cos 2 sin + sin cos = log + c (4) + cos 2

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