Esplorare il futuro dei modelli quantitativi

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1 Risk & Return Italia 2009 Esplorare il futuro dei modelli quantitativi Lo shock del 2008 Il 2008 ha fornito ai risk manager una ampia casistica di eventi estremi sui mercati finanziari che sicuramente arricchiranno i processi di stress test dei modelli di rischio usati per stimare le probabilità di perdite future dei portafogli. In linea generale l approccio di identificare i fattori di rischio del portafoglio e di stimarne correlazioni e probabilità di accadimento si sono scontrati con l insuperabile barriera di dover modellizzare l immaginabile (v. Lehman) Per altro la crisi della struttura bancaria e finanziaria dei paesi sviluppati ha generato shock trasversali su tutta l economia di tali paesi, inventando nuovi processi di contagio fra settori/paesi/valute. Infine un enorme rischio liquidità si è indissolubilmente legato all esplodere del rischio di credito e di default. I modelli basati sui puri segnali generati dai prezzi dovrebbero perciò aver meglio retto la sfide di questi anni. Symphonia Sgr Guppo BIM 1

2 Obiettivo del lavoro L obiettivo di questo lavoro è proprio quello di testare su due diversi intervalli di tempo, uno lungo (99-09) ed uno breve (08-09), dei modelli basati su alcuni approcci (parametrico gaussiano, simulazione storica e bootstrapping filtrato) per verificare se questa affermazione trova riscontro nella realtà dei dati ( Zenti, Pallotta 2001). I test è stato fatto sul VaR con intervallo di confidenza pari al 95% ed orizzonte temporale un mese. Quindi nel caso del metodo parametrico normale si è fatta una stima ML della deviazione standard e la si à moltiplicata per il coefficiente k=1,65 per trovare il VaR 5%. Ne caso della simulazione storica, il VaR 5% corrisponde al quinto percentile della distribuzione realizzata nel periodo campione. Sono stati usati i seguenti indici total return: S&P 500, Eurostoxx 50, FTSE 100, Topix; CRB index, DJ STOXX Global 1800, DJ STOXX 600 Banks, DJ STOXX 600 Personal & Household Goods, DJ STOXX 600 Technology. I dati sono giornalieri (fonte Bloomberg) dal 01/07/1999 al 29/05/2009. Symphonia Sgr Guppo BIM 2 I modelli testati Sono stati testati 5 modelli differenti: 1. BAGV con filtro ARMAX(1,0,0) e EGARCH(1,1) ed errori t-distributed 2. BAGV con filtro ARMAX(0,0,0) e GARCH(1,1) ed errori t-distributed 3. BAGV con ricerca del miglior modello tra i seguenti in ordine di stima: ARMAX(1,0,0) e EGARCH(1,1), ARMAX(0,1,0) e EGARCH(1,1), ARMAX(0,0,0) e EGARCH(1,1), ARMAX(1,0,0) e GARCH(1,1), ARMAX(0,1,0) e GARCH(1,1), ARMAX(0,0,0) e GARCH(1,1). Il criterio di passaggio da un modello al seguente dipende dalla significatività del coefficiente stimato con intervallo di confidenza del 95%. In particolare del coefficiente AR, del coefficiente MA e del leverage. 4. Simulazione Storica (HS) 5. Normale Parametrico con media = 0 Nei modelli BAGV sono stati generati 1000 scenari per la stima del VaR. Symphonia Sgr Guppo BIM 3

3 Presentazione dei modelli: richiami sul modello BAGV Il modello di Barone Adesi, Giannopoulos, Vosper (BAGV) fa parte dei modelli di classe Monte Carlo. In particolare tale modello si esplicita in pochi semplici passi. Si stima un modello AR(1) per la media condizionale dei ritorni di portafoglio r( τ ) = c + θ ( τ 1) + ε ( τ ) Il modello AR(1) è utile per tenere conto dell autocorrelazione dei rendimenti. Al fine di tenere conto dell eteroschedasticità della volatilità si stima un modello GARCH o EGARCH con disturbi t distribuiti per tenere conto delle Fat Tail. log 2 2 [ σ ( τ )] κ + α log σ ( τ 1) Infine si ottengono i residui standardizzati z [ ] + φ( z( τ 1) E[ z( τ 1) ]) + ϕ z( 1) = τ ( τ ) = ε ( τ )/ σ ( τ ) i. i. d. distribuiti come una t con(n) gradi di libertà Si estraggono casualmente (è una distribuzione uniforme) i residui standardizzati per utilizzarli come innovazioni nel modello ARMA GARCH per la simulazione dei rendimenti futuri Symphonia Sgr Guppo BIM 4 Il processo di testing Negli ultimi 2 modelli, per poter passare da una misura giornaliera ad una misura mensile, viene usata la regola della radice quadrata del tempo. Il test funziona come segue. 1. Rolling window di 500 giorni per la stima del VaR per il mese successivo (20 gg.). 2. Test giornaliero del rendimento del mese successivo. 3. Conteggio del numero di stime errate per difetto (VaR > rendimento realizzato). Innanzitutto, il VaR dovrebbe predire accuratamente il vero ammontare di rischio, in media, ovvero se l intervallo di confidenza è del 95% ci aspettiamo che i ritorni veri siano inferiori al VaR nel 5% dei casi. Per testare se il risultato differisce significativamente dal 5% (test di accuratezza non condizionale) viene usato un test binomiale, presentato da Kupiec (1995). Symphonia Sgr Guppo BIM 5

4 Il test delle misure di VaR Il test di Kupiec si basa sul seguente rapporto di verosimiglianza: * n * N n n N [ ( α (1 α ) ) ln( α (1 α )] n LR( α) = 2 ln ) α = 5% Dove, N è il numero di osservazioni giornaliere, n è il numero di volte che il ritorno mensile eccede la stima del VaR è. α * = n/ N 2 χ (1) Il test è asintoticamente distribuito come una. Nel nostro caso specifico, avendo diversi indici con trading days differenti abbiamo * diversi valori di N. Per il caso dell indice STOXX Banks N=2538 e quindi quando α è nel range [3.9%, 6.10%] la corrispondente stima del VaR è incondizionatamente corretta all 1% di confidenza. Come evidenziato da Lopez (1999), questo test è lo standard scelto dalle Autorità di Vigilanza. Poiché stimiamo il VaR usando campioni sovrapposti, con un set informativo uguale al 99.6% (2 dati diversi su 500), la stima del VaR tende ad esibire correlazione seriale per cui non possiamo procedere ad un test di accuratezza condizionale (Christofferesen (1998)). Symphonia Sgr Guppo BIM 6 Risultati dei Test ( ) In tabella lo sfondo giallo indica le percentuali di fallimenti statisticamente differenti da 5% (intervallo di confidenza del 99%). Si nota che: 1. Il modello BAGV con filtro ARMAX (1,0,0) EGARCH(1,1) appare dominante rispetto ad un modello analogo che non stima la media condizionale (BAGV con filtro ARMAX(0,0,0) 2. Il modello BAGV con la scelta se avere la stima della media condizionale o no sovrastima il rischio per l indice SP500, mentre negli altri casi è allineato con il modello che include sempre la media condizionale. Symphonia Sgr Guppo BIM 7

5 I grafici Symphonia Sgr Guppo BIM 8 I grafici Symphonia Sgr Guppo BIM 9

6 Uno zoom per il periodo L elevata volatilità manifestata dai mercati nel corso del 2008 rappresenta un ottimo stress test per i modelli di stima del VaR ex-ante. E stato quindi testata la qualità della stima dei precedenti modelli sul periodo 1/1/ /5/2008. In questo caso la rolling window di 500 dati usati per la stima dei VaR parte dal 1/1/2005. I risultati del test di Kupiec con intervallo di confidenza del 99% sono riportati nella tabella seguente. Symphonia Sgr Guppo BIM 10 I risultati su un orizzonte ridotto Come ci si poteva aspettare i vari modelli fanno molta più fatica a rispettare la percentuale attesa di fallimenti (5%) In particolare il BAGV con scelta del miglior modello è, insieme a BAGV ARMAX(1,0,0) EGARCH(1,1), quello che fornisce alcuni risultati in linea con le attese. Al di là tuttavia del superamento o meno di un test di significatività della percentuale di errori commessi, si deve notare come il BAGV con scelta del modello e BAGV ARMAX(1,0,0) EGARCH(1,1), risultino dominanti rispetto alla stima fatta con Simulazione storica o con un approccio parametrico normale. In particolare nei grafici seguenti si può apprezzare una proprietà molto importante dei modelli di classe Monte Carlo ed in particolare del BAGV, ovvero la capacità di catturare molto velocemente i primi segnali di quei salti di volatilità che caratterizzano i mercati azionari e che costituiscono una informazione preziosa per attuare una efficace gestione attiva del rischio finanziario. Symphonia Sgr Guppo BIM 11

7 Grafici dei test sugli indici: uno zoom sul st signal of High Risk January st signal of High Risk August 2008 Symphonia Sgr Guppo BIM 12 Grafici dei test sugli indici: uno zoom sul st signal of High Risk September 2008 Symphonia Sgr Guppo BIM 13

8 Grafici dei test sugli indici: uno zoom sul st signal of High Risk July st signal of High Risk September 2008 Symphonia Sgr Guppo BIM 14 Grafici dei test sugli indici: uno zoom sul Symphonia Sgr Guppo BIM 15

9 Un approfondimento su singoli titoli Infine è stata anche effettuato lo stesso tipo di test sul VaR calcolato dagli stessi modelli su alcuni titoli (periodo 1/1/ /5/2009 in valuta locale): Lehman Brothers, AIG, Citigroup, General Electric, Procter & Gamble, Unicredit, Allianz, Komatsu. I risultati sono riportati nella tabella seguente, dove i valori più bassi di fallimenti sono evidenziati in grassetto. Anche in questo set di dati, anzi ancor più che nel caso degli indici, i modelli BGV sono più efficienti degli altri due. Symphonia Sgr Guppo BIM 16 Test su singoli titoli: uno zoom sul st signal of High Risk September nd signal of High Risk March 2008 Symphonia Sgr Guppo BIM 17

10 Test su singoli titoli: uno zoom sul st signal of High Risk November nd signal of High Risk March 2008 Symphonia Sgr Guppo BIM 18 Che uso fare dei dati di VaR ex-ante? Dalle precedenti analisi possiamo quindi trarre alcune considerazioni preliminari: 1. La stima del VaR ex-ante ad un certo livello di probabilità è attività difficile, soprattutto in fasi caratterizzate da shock anomali sui mercati 2. Alcuni modelli sono migliori di altri, in particolare quelli che catturano velocemente i volatility jump e correlation change e tengono conto del trend nella stima del VaR 3. Esistono motivi per provare a testare una risk policy usando i dati di VaR In effetti pur non avendo una stima statisticamente corretta della perdita attesa sull orizzonte di un mese è ragionevole pensare di poter fare il miglior uso dei dati per troncare il più possibile le code negative della distribuzione attesa Ovviamente alla risk policy si può chiedere di essere efficace (e veloce) nel chiudere il rischio, mentre quando si tratta di riaprire le posizioni rischiose, in assenza di una view sui rendimenti attesi, la risk policy non potrà che prescrivere delle azioni molto semplici (anche se disciplinate). Symphonia Sgr Guppo BIM 19

11 Un esempio di definizione della risk policy A puro titolo esemplificativo proviamo a definire una semplice risk policy per testare quale modello di stima del VaR ex-ante può essere più efficace per la sua applicazione. Var 5% dei rendimenti mensili rolling Si noti che la distribuzione dei rendimenti mensili rolling del nostro campione di security presenta dei VaR 5% molto negativi (si vedano i dati a fianco relativi agli indici azionari) Un obiettivo ragionevole della risk policy può essere quello di troncare il VaR 5% al -5%, attraverso una risk policy attiva, applicarla out-of-sample e poi verificare i risultati ottenuti con i diversi modelli. Symphonia Sgr Guppo BIM 20 Una risk policy In pratica la risk policy testata opera in questo modo: 1. Ogni giorno viene testato il VaR ex-ante a 1 mese 2. Se il VaR stimato è superiore a -5%, si rimane investiti nella security rischiosa 3. Se il VaR stimato è inferiore a -5% si combina la security rischiosa con il risk free sino ad ottenere un portafoglio il cui VaR ex-ante 1 mese sia uguale a -5% 4. Se il portafoglio misto risky asset/risk free asset presenta un VaR ex-ante superiore al -5% si riduce il risk free sino a trovare una combinazione con VaR atteso a 1 mese pari a -5%. Alla fine del processo si verifica se applicando questa semplice risk policy la distribuzione dei rendimenti mensili rolling presenta un VaR 5% pari o vicino al -5% Sono stati testati tre modelli, il Parametric Normal, la Historical Simulation ed il BAGV ARMAX(1,0,0) EGARCH(1,1). Symphonia Sgr Guppo BIM 21

12 I risultati della risk policy Si noti come anche una semplice risk policy come quella appena descritta sia effettivamente in grado di modificare la forma della distribuzione dei rendimenti mensili, e che il modello BAGV si avvicina al -5% meglio degli altri 2 modelli Symphonia Sgr Guppo BIM 22 Uno zoom sul 2008 e sul rischio specifico Un interessante approfondimento di questo approccio di risk policy può essere svolto applicandola dal 1/1/2008 non solo sugli indici ma anche su alcuni titoli specifici: Lehman Brothers, AIG, Citigroup, General Electric, Procter & Gamble, Unicredit, Allianz e Komatsu. In questo caso si desidera verificare se, pur nella imprecisione statistica della stima del VaR ex-ante a 1 mese, una applicazione disciplinata della risk policy possa consentire di ottenere dei risultati interessanti in termini di distribuzione realizzata dei ritorni. In pratica si intende testare una risk policy che preveda un risk budget a livello di singola security. Il processo di investimento si caratterizzerebbe quindi per una fase di stock selection con cadenza regolare (ad esempio mensile) integrata da un controllo periodico del grado di utilizzo del risk budget assegnato ad ogni singolo titolo. I risultati sono riportati nei grafici seguenti. Symphonia Sgr Guppo BIM 23

13 Risk Policy graphics October 2008: RP force no investment -21% -35% -40% -62% Symphonia Sgr Guppo BIM 24 Risk Policy graphics October 2008: RP force no investment -17% -28% -30% -37% Symphonia Sgr Guppo BIM 25

14 Risk Policy graphics October 2008: RP force no investment -20% -39% -41% -43% Symphonia Sgr Guppo BIM 26 Risk Policy graphics October 2008: RP force no investment -23% -35% -36% -53% Symphonia Sgr Guppo BIM 27

15 Risk Policy graphics 1st signal of High Risk RP force no investment -16% -19% -27% -72% 11/6/08 Symphonia Sgr Guppo BIM 28 Risk Policy graphics 1st signal of High Risk RP force no investment -23% -44% -46% -70% 29/8/08 Symphonia Sgr Guppo BIM 29

16 Conclusioni Dal confronto comparato di alcuni modelli di stima del VaR atteso di un portafoglio emerge il vantaggio ad usare approcci che: 1. Misurino al meglio il livello di volatilità condizionale del portafoglio e quindi siano molto sensibili ai salti di volatilità e ai cambiamenti delle correlazioni fra asset che caratterizzano i mercati finanziari 2. Tengano conto delle presenze di code spesse nella stima della distribuzione dei rendimenti attesi 3. Si misurino con la stima della media di tale distribuzione. L efficacia operativa di una risk policy applicata ai portafogli è fortemente aumentata dall impiego dei suddetti modelli, invece di altri che non presentano tali caratteristiche Il vantaggio competitivo di tali modelli è particolarmente forte nel caso di risk policy applicate ai singoli titoli di un portafoglio. Symphonia Sgr Guppo BIM 30 Bibliografia 1. Barone-Adesi, G., Giannopoulos, K., Vosper, L. (1999). VaR Without Correlations for Portfolios of Derivative Securities. Journal of Futures Markets, August. 2. Efron, B. and Tibshirani, R. (1998), An Introduction to the Bootstrap, 2nd edn. Chapman & Hall. 3. Kupiec, P. (1995). Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models. Journal of Derivatives, Lopez, J.A. (1999). Regulatory evaluation of value at risk models. Journal of Risk, Vol. 1, No Pallotta, M., Zenti, R., (2000) Risk Analysis for asset manager: historical simulation, the bootstrap approach and Value at Risk calculation. EFMA 2001 Lugano Meetings. Symphonia Sgr Guppo BIM 31

17 Contatti: Symphonia Sgr Guppo BIM 32