Liceo Scientifico Statale G. Stampacchia Tricase

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1 Luigi Lecci\Compito 2D\Lunedì 10 Novembre Oggetto: compito in Classe 2D/PNI Liceo Scientifico Statale G. Stampacchia Tricase Tempo di lavoro 60 minuti Argomenti: Equazioni e disequazioni immediate contenenti moduli- Equazioni e disequazioni razionali parametriche intere e/o fratte contenenti moduli. Soluzione Es_1) (m)risolvere con procedimento immediato le seguenti equazioni e disequazioni giustificando le risposte x-3 + x-1 >0 1.2 x 2-2x + x-2 =0 1.3 x+3 +2 x x > 0 x Es_2)(m) Risolvere la seguente equazione razionale 2x+1-2 x-1-1=0 Es.3)(m) Risolvere la seguente disequazione razionale fratta x x 4x Collegamenti alla Soluzione Es_1 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 Es_2 Segno_Argomenti_Moduli Studio nell intervallo]- ;-1/2[ Studio nell intervallo [-1/2;1[ Studio nell intervallo [1;+ [ Es_3 Segno Numeratore Segno Denominatore Es_4 4.1 Disequazione parametrica intera- Discussione Soluzioni 4.2 Disequazione parametrica fratta Discussione Segno Frazione Es_4)(m) Risolvere le seguenti disequazioni parametriche x -2x+a-1>0 a R x a < 0 a R 3 2x

2 Luigi Lecci\Compito 2D\Lunedì 10 Novembre Soluzione Es_1) 1.1 2x-3 + x-1 >0 Osserviamo innanzitutto che l espressione algebrica che figura al primo membro ha senso per ogni x reale. Ciò premesso, ricordiamo che il valore assoluto di un numero reale diverso da zero è positivo, pertanto la somma di due valori assoluti è positiva se almeno uno dei due argomenti che figurano in valore assoluto è diverso da zero. Notiamo che 2x-3=0 solo per x=3/2 e x-1=0 solo per x=1. Concludiamo che per x R almeno uno dei due valori assoluti è positivo. La disequazione è soddisfatta perciò da ogni valore reale: S=R 1.2 x 2-2x + x-2 =0 La somma di due valori assoluti è nulla se e solo se entrambi sono nulli, pertanto un valore reale x è soluzione dell equazione solo se annulla contemporaneamente ciascuno dei due argomenti x 2-2x, x-2. Considerato che x-2 =0 solo con x=2 e che tale valore annulla anche x 2-2x, concludiamo che l insieme delle soluzioni dell equazione è S={2}. 1.3 x+3 +2 x-1 0 La disequazione non è soddisfatta da alcun valore reale della variabile x; infatti, per qualunque valore reale almeno uno dei due argomenti in valore assoluto è diverso da zero e dunque è positiva la somma del valore assoluto del primo con il doppio del valore assoluto del secondo. L insieme delle soluzioni è perciò vuoto: S=φ x 1.4 > 0 Il denominatore della frazione è strettamente positivo x R, anzi x possiamo affermare che assume valori maggiori o uguali a tre; il numeratore è non negativo e se escludiamo il valore x=0 che lo rende nullo, per tutti gli altri valori reali è positivo. La frazione assume dunque valori positivi per ogni x reale diverso da 0: S= R-{0}=R o. Es_2) 2x+1-2 x-1-1=0 Per studiare l equazione è opportuno eliminare il segni di valore assoluto e ciò può essere fatto solo dopo aver determinato il segno di ciascuno degli argomenti degli stessi. Risolviamo dunque le disequazioni: 2x+1 0 x-1 0 x -1/2 x 1 La soluzione grafica delle disequazioni è riportata a fianco delle stesse; sono indicati con tratto continuo gli intervalli in cui sono soddisfatte. I due capisaldi 1/2 ed 1 dividono l asse reale in tre intervalli in ciascuno dei quali l equazione in esame assume una particolare forma algebrica. Lo studio dell equazione proposta si esegue analizzando come essa si presenta in ciascuno dei suddetti intervalli; in pratica occorre determinare per ogni intervallo la forma algebrica dell equazione, risolverla e stabilire se le eventuali soluzioni trovate appartengono all intervallo di riferimento. Solo in questo caso i valori saranno accettabili come soluzioni dell equazione. Studio della disequazione nell intervallo ]- ;-1/2[ Poiché in questo intervallo risulta 2x+1<0 ed x-1<0, eliminando il simbolo di valore assoluto si deve cambiare il segno a ciascuno argomento; la forma algebrica dell equazione è: -(2x+1) -2(- x+1) -1=0-2x 1+2x 2-1=0-4=0 L uguaglianza ottenuta è impossibile e quindi l equazione in esame non ammette soluzioni nell intervallo considerato.

3 Luigi Lecci\Compito 2D\Lunedì 10 Novembre Studio della disequazione nell intervallo [-1/2;1[ In questo intervallo il primo argomento è non negativo, mentre il secondo è negativo; la forma algebrica dell equazione è: 2x+1-2(- x+1) -1=0 4x 2=0 x=1/2 Considerato che 1/2 appartiene all intervallo [-1/2;1[ è accettabile come soluzione dell equazione. Studio della disequazione nell intervallo [1;+ [ In questo intervallo entrambi gli argomenti in valore assoluto sono non negativi per cui si possono eliminare i simboli di modulo lasciando invariate le espressioni algebriche contenute negli stessi. La forma algebrica dell equazione è: 2x+1-2 ( x-1) -1=0 2=0 l uguaglianza è impossibile e quindi nell intervallo considerato l equazione non ammette soluzioni. Riepilogando, l equazione assegnata nell intervallo ]- ;-1/2[ non ha soluzioni; nell intervallo [-1/2;1[ ammette la soluzione x=1/2; nell intervallo [1;+ [ non ha soluzioni. L unica soluzione dell equazione è perciò x=1/2. x Es_3) 0 2 x 4x La disequazione è razionale fratta ed è già ridotta alla forma normale; se ne può migliorare l espressione algebrica scomponendo in fattori in denominatore. Per determinare il segno della frazione, e determinare successivamente l insieme delle soluzioni della disequazione, è necessario studiare il segno del numeratore e quello del denominatore, quindi procedere alla realizzazione del grafico comparativo. Studio del segno del numeratore N(x)= x Possiamo risolvere velocemente la disequazione impostata osservando che sussistono le seguenti relazioni x x+2 3 (x+2-3) vel (x+2 3) (x -5) vel (x 1). Per quanto concerne il segno del denominatore scriviamo D(x) = x 2-4x>0 x(x-4)>0 Si studiano i segni dei singoli fattori, si costruisce il grafico comparativo, quindi si esegue il prodotto dei segni; L insieme delle soluzioni è dato dall unione degli intervalli nei quali il segno del prodotto è positivo. Dunque D(x)>0 per i punti dell insieme ]- ;0[ ]4;+ [. A questo punto occorre costruire il grafico comparativo delle soluzioni delle disequazioni N(x) 0, e D(x)>0 per determinare il segno della frazione. Il grafico è riportato di seguito

4 Luigi Lecci\Compito 2D\Lunedì 10 Novembre Poiché si richiede che il valore della frazione sia non negativo l insieme delle soluzioni cercato è S=[-5;0[ [1;4[. Es_4 4.1 La disequazione da risolvere è razionale intera e contiene il parametro a. 3-x -2x+a-1>0 a R Si richiede di determinare le sue soluzioni al variare del parametro in tutto l asse reale R. Strategia risolutiva Poiché nella disequazione figura anche un valore assoluto procediamo preliminarmente allo studio del segno del suo argomento; successivamente potremo stabilire quale sarà la forma algebrica della disequazione in ciascuno degli intervalli che emergeranno e caso per caso si risolverà la disequazione. Riportiamo di seguito il grafico della disequazione 3-x 0 Il caposaldo x=3 divide l asse reale nei due intervalli ]- ;3],]3;+ [ e si deve studiare la disequazione in ciascuno di essi.

5 Luigi Lecci\Compito 2D\Lunedì 10 Novembre Studio della disequazione Per x ]- ;3] Per x ]3;+ [ In questo intervallo l argomento che figura in valore assoluto è non negativo, dunque il simbolo di modulo è ininfluente e perciò si può eliminare ottenendo la seguente forma algebrica per la disequazione: (3-x)-2x+a-1>0 Elaborando il primo membro si ottiene -3x+a+2>0 per la quale le soluzioni sono i valori reali x che verificano la disuguaglianza x<(a+2)/3 A questo punto occorre discutere se detti valori sono accettabili come soluzioni della disequazione in esame. Ricordiamo che stiamo cercando eventuali soluzioni della disequazione nell intervallo]- ;3] per cui occorre confrontare il numero (a+2)/3 con l estremo 3. Osserviamo che (a+2)/3 3 a 7 per cui sussistono i seguenti casi: 1) Con a < 7 la posizione dei capisaldi è rappresentata in Fig.1.1; l insieme delle soluzioni della disequazione, relativamente a + 2 all intervallo ]- ;3] è S ' 1 = ; 3 2) Con a=7 risulta (a+2)/3=3; la rappresentazione grafica è in Fig.1.2. L insieme delle soluzioni della disequazione è ] [ S ' 2 = ;3 3) Con a>7 la posizione relativa dei capisaldi è rappresentata in Fig.1.3; l insieme delle soluzioni della disequazione è S 3 =]- ;3[ In questo intervallo l argomento che figura in valore assoluto è negativo, dunque eliminando il simbolo di modulo occorre scrivere l opposto del suddetto argomento. La forma algebrica per la disequazione è: -(3-x)-2x+a-1>0 che elaborata diventa -x+a-4>0 Questa ammette come soluzioni i valori reali x tali che x<a-4 Al fine di stabilire se detti punti sono accettabili è necessario confrontare il valore a-4 con il punto di riferimento 3, in modo da stabilirne la posizione relativa sull asse reale. Risulta a-4 3 a 7. Sussistono dunque i seguenti tre casi 1) Con a<7 risulta a-4<3 e se x< a-4 x<3 per cui nell intervallo ]3; [ non c è alcuna soluzione per la disequazione: S 1 =. 2) Con a=7 a-4 = 3 e neanche in questo caso esistono soluzioni per la disequazione in quanto i valori cercati devono essere minori di a-4 ma maggiori di 3, perciò S 2 =. 3) Con a>7 la posizione relativa sull asse reale dei punti a-4 e 3 è rappresentata in Fig.2.3. Nella stessa, in colore, è indicato l intervallo delle soluzioni della disequazione. L insieme delle soluzioni è dunque S 3 = ]3;a-4[

6 Luigi Lecci\Compito 2D\Lunedì 10 Novembre Riepilogo delle soluzioni + 2 Con a<7 S= S 1 S 1 = ; a + 2 φ = 3 ; a 3 Con a = 7 S = S 2 S 2 = ]- ;3[ = ]- ;3[ Con a > 7 S = S 3 S 3 = ]- ;3] ]3;a-4[ = ]- ;a-4[ 4.2 La disequazione da studiare è razionale fratta e parametrica. x a + 3 < 0 3 2x Per determinarne le soluzioni si studiano come variano i segni del numeratore e del denominatore, quindi si confrontano i capisaldi al variare del parametro a in modo da poterli collocare sull asse reale di riferimento. N(x)= x-a+3 >0 x > a-3 D(x)= 3-2x >0 x< 3/2 Confronto dei capisaldi 3 9 a 3 > a > 2 2 Discussione del segno della frazione I tre casi sono raccolti nella tabella seguente Discussione del segno della frazione Per a<9/2 Per questi valori del parametro a risulta a-3<3/2. Il grafico comparativo relativo al segno del numeratore e del denominatore è riportato in Fig.1. Per determinare il segno della frazione si deve eseguire il prodotto dei segni. In colore è indicato l insieme delle soluzioni della disequazione. S=]a-3;3/2[ Per a=9/2 Per a>9/2 In questo caso i due capisaldi coincidono. Il grafico dei segni è riportato in Fig.2. Come si vede, il segno della frazione per ogni x diverso da 3/2 è negativo, quindi la disequazione non ha soluzioni In questo caso risulta a-3>3/2; il grafico dei segni è riportato in Fig.3. Si vede che il segno positivo per la frazione sussiste nell intervallo ]3/2;a-3[, che rappresenta pertanto l insieme delle soluzioni cercato. S= ]3/2;a-3[