LA TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER l.

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1 LA TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER l. t " : SULUPPO PER VIA GRAFICA n mpionamento del segnale analogico x(t) produce una sequenza xsgts) il cui spettro nel dominio della frequ enza è periodico, sicché dalla conoscenza della trasforrnata Xs(fl nel solo intervallo di frequ enza ( 0 ' LlzTs) si può risalire alla trasformata Xs(O su tu.tto Itasse delle frequenze. In prossimità della frequenza LlzTs si manifesta una evidente sovrapposizione det'te repliche dello speút'ro (ALIASING), derivante dal fatto che, essendolospetúro del segnale x(t) esteso sull'intero asse della frequer, 7;., Ia frequenza di campionamento f5 non potrà mai ess fie scelta in modo da soddisfare il teorema del campíonamento di Nyquist (fg tale fenomeno di aliasing viene naiimt'rm:tzzata facendo precedere I'unità di campionannento da uri filtro passa-basso anti-alíasing.

2 'I],4 TRA,SFORMATA D.TS CRETA DI FOURIER SWLUPPO PER VIAGRAFICA Riassumendo: il campionamento con passo costanúe pani a Ts del segnale an alogico or igi na ri o prod uce n el dom,i,nio detrfla.frequenza una trasformata periodica con periodo l/ts = f5. Si manifesta il fenomeno del aliasing a meno che il segnale non sia preliminarmente filtrato in modo da lf,me,iúa,re Ia sua banda a frequ enze minori di L12ft. n troncamento nel dom'im,io del úernrpo detr segnale mpionato per ottenere un nufir ro fim,flúo N dí camrpioni produce nel dominio della frequenza il fenomeno delrla dispersione spettrale. A seguito di ciò Ie variazíoni nette presenti nello spettro del segnale campionato rísultano smussate.

3 4,A T'RASFORMATA DISCRETA DI FOURIER SVILUPPO PER VIA.GR.A.FTCA n mpionamento con passo cos.tante pani a fs/n nel dominio della frequ enza produce nel dominio det tempo un segnale periodico di periodo N/fs = Nifs = To, cioè i valori effettivamente calcolaú[ dalla DFT sono ricavati a partire non dalla sequenza dei campioni del segnale originario, bensì da una s quenza "Fttútziat' cssúituita dagli N campioni otúenuúi dopo il troncamento periodati con periodo NTs - To. Questo effetto, a volte chiamato "EFFETTO STACCIONA-T?\", può causare errori nella misura di cornrponenifi periodiche presenti nel segnale originario.

4 iil,a TR4$FORMATA DISCRETA DI FOURIER ALGORITMO FFT -.: Una DFT su N punti richiede N noolúipticazioni complesse e f{ addizioni complesse. -"i'',.,i In genere, poichè I'esecuzione di una mdtipùicaz'io,e 'Fichiede ad un calcolatore un tempo molto maggiore rispeúúo alla esecuzione di una addizione, tale ultimo tempo viene trascurato, p r cui diciamo che occorromo s,oùo N moltiplicazioni complesse. troiché i campioni in frequenza da calcolare sno;n,^iilrúu't'to'va ripetrutro N volte, cioè per calcolare una DF'T su N,pun,t'i occorrono Nt molfiplfcazioni com plesse. FEro=

5 .ItiA ÍNRiASFORMATA DIS CRETA DI T'OUNIER ALGORITMO FFT La FFT (Fast Fourier Thansform), o t'rasforma,ta veloce d,i Fourier, non e altro che un algoriúrno particolare, svi[,uppa,to da Cooley ettrkey negli anni '60, per ca'lcolarepiù velocemente la DFTi r;,1 Consideriamo la seguente DFT su N punti: "í*) \,Yl - 2"nkití 5'*(k?:)e-i n_ 0, 1r... r l{ 1 &=o Poichè Ia funzione esponenziale non f,a altro che t'pesare,t in maniera diversa, a seconda del va'iore delltesponente, i cam p ion i del ta sequ e nzax(kts), ireúrod,uci am o u n a "f,unzi one pesott W : e-i2*'ln La DF"T su N punti può pertanto scriversi come: --/nt-\ xi '"1 -\Nl il- I k=o o anche, ponendo per sempticità Ts = 1: x(nln): "i'x(k) wnk &=O

6 :InA, IIRATSFORMATA DIS C.RETA DI FOURIER ALGORITMO FFT i Suddividiamo ta sequenza iniziale di N p'u,laúi in dnre sequ nze più piccole di lunghezzauguale e pari a N/2. La,DFT eseguita ) su ciascuna di tali sequ eilze richiede (N l2)' moltiplicazioni. Poiché le DFT da eseguire soilb due, è richiesf,o un totale di 2N l2)' *olti plicazioni. il risultato di queste due DFT su N/2 punti può essere combinato in rnodo rnotrto semplice per ottenere ladesiderata DFT su N pu'ntd. Le due sequenzedi N/2 campioni sono a loro votta,dfr,mezzate, suddividendo ciascuna di esse in due sottosequenze,d,i N/4 'rmpioni. Ciascuna DFT richiede ora (N/4)2 molúipilricaz,ioni, per un totale di 4(N/4)2moltiplicazioni. Continuando con i dimez tamenti, alla fine aurnive,nemo ad u ile o pe r a zi on e di ca I co I o el e menta re, cmtriúuiiúa'dail'laldffi T, s u drrrc soli punti.

7 ti I ft,ailtra$aorm I i ALGORITMO:FFT il-'ipotesi alla base di tate ragionamento è che N sia una potenza di 2, cioè N = 2n, in cuí-n è il numero totale di dii,rnezzamenti'possibili eseguibile su una sequ enzadi N punti!.;,. cailcolabile matematicamente come n = '' IogzN. n risuùúato finale è un risparmio netto nel numero delle Esempio Stadi necessar,i p r il calcolo delila'fft su N = 16.punti,r (ol,r0 ) x (r) -> +X{.) N, = L6' = 256 2ND)2= 2(1612)' = 128 4N/4)2= 4(L614)' =64 8(N/S)2= 8(16 l8)' =32

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