SCUOLA GALILEIANA - CLASSE DI SCIENZE NATURALI PROVA DI AMMISSIONE A.A.: SOLUZIONE DELLA PROVA SCRITTA DI FISICA

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1 SCUOLA GALILEIANA - CLASSE DI SCIENZE NATURALI PROBLEMA 1. PROVA DI AMMISSIONE A.A.: SOLUZIONE DELLA PROVA SCRITTA DI FISICA a) da g = GM segue: M = gr2 R 2 G b) La forza centripeta che fa descrivere a Luna e Terra moti circolari intorno al loro CM è fornita dall interazione gravitazionale Luna-Terra. Dato che la forza è centrale (passa sempre per il CM) i momenti della quantità di moto sia della Terra che della Luna si conservano e pertanto i moti sono non solo circolari, ma anche uniformi con velocità che valgono v = ωd L e V = ωd T per la Luna e la Terra, rispettivamente. ω = 2π T dal CM, definite da: è la velocità angolare, uguale per i due moti e d L e d T sono le rispettive distanze md l = Md T e d L + d T = D Segue quindi che la massa della luna: m = M d T dl = M D d L d L = M( D d L 1) può essere completamente determinata se si calcola d L. A tale scopo si ricorda che la forza centripeta necessaria per far percorrere alla Luna la sua orbita circolare : f L = mv 2 /d l = mω 2 d l è la forza con cui essa è attratta dalla Terra. Pertanto: G mm R 2 = mω 2 d l e d L = GM D 2 ω 2. Abbiamo quindi: m = M ( D 3 ω 2 GM 1) che si può anche scrivere : m = M ( D 3 ω 2 gr 2 1 ) c) L accelerazione di gravità lunare, definita in analogia a quella terrestre sulla terra, è: g L = Gm r 2. Per determinarla abbiamo quindi bisogno di conoscere il raggio della Luna basta osservare che : sin( ϑ 2 ) = r. D R A tal fine Tenendo conto che l angolo ϑ è molto piccolo possiamo confondere il seno col suo argomento (espresso in radianti) per ottenere: r = (D R) ϑ 2 ed infine: 1

2 [ Gm d) g L = o g (D R) 2 ( ϑ 2 ) 2 L = PROBLEMA 2. R (D R)( ϑ 2 ) ] 2 m M g a) T A0 = 0 C = 273K, dato che la fusione avviene a temperatura costante. b) Per portarsi alla temperatura di equilibrio con B, T AB. il sistema A prima assorbe il calore di fusione del ghiaccio: Q f = m g c f e poi il calore Q = (m g + m a )(T AB T A0 )c (c è il calore specifico dell acqua: c = 1 cal/g = 1000 cal/kg =4186 J/kg ). Durante tutto il processo, il sistema B cede la quantità di calore Q B = m B (T AB T B0 )c (nota che Q B è una quantità negativa, proprio perchè indica calore ceduto) Dato che le pareti del recipiente B sono adiabatiche, la quantità di calore complessivamente scambiata dal sistema A+B col resto del mondo deve esser nulla: Q f + Q + Q B = 0. Pertanto: m g c f + (m g + m a )(T AB T A0 )c + m B (T AB T B0 )c = 0 Da cui: T AB = [m BT B +(m g+m a)t A ]c m gc f (m g+m a+m B ) = ( ) ( ) = 318.6K = 45.6C e c) S A = Q f T A0 = mgc f T A0 = = J/K d) L ambiente ha capacità termica infinita e quindi e il sistema A+B scambia calore con l ambiente la temperatura di equilibrio sarà uguale a quella dell ambiente: T e = 20C = 293K, PROBLEMA 3. Supponiamo che la differenza di carica protone-elettrone sia q. Allora la carica di un atomo di Cs sarebbe Q = Z q, dato che Z è il numero di protoni e di elettroni in un atomo. Ricordiamo che la massa di un atomo è M = A N 0 g, dove N 0 = è il numero di Avogadro. Consideriamo ora la traiettoria di un atomo che si muova lungo l asse x (definito dal collimatore) ed entri nello spazio tra le armature del condensatore con componenti della velocità v x lungo x e v o,y = 0 lungo y. 2

3 Se il campo elettrico è diretto verso l alto, con un intensità E = V, l atomo si muove d con un accelerazione a = Q E nella direzione y per il tempo necessario ad attraversare il M condensatore. Poiché la velocità lungo x rimane inalterata, tale tempo è t 1 = L 1 v x. Pertanto l atomo esce dal condensatore con una coordinata y 1 = 1 2 a t2 1 = 1 Q E L2 1 e una componente 2 M della velocità lungo y data da v 1,y = a t 1 = Q M E L 1 v x. Uscito dal condensatore l atomo non è più soggetto a forze e quindi si muove di moto rettilineo uniforme fino allo schermo, dove arriva dopo un tempo t 2 = L 2 v x, dato che la componente della velocità lungo x è sempre v x. Al suo arrivo sullo schermo l atomo ha quindi subito una deflessione lungo y data da: y = y 1 + v 1,y t 2 = 1 2 Q E L2 1 Q E L 1L 2 M vx 2 M vx 2 = 1 2 QE Mv 2 x L 1 (L 1 2L 2 ). Possiamo leggere questo risultato facendo il ragionamento a ritroso e concludere che un atomo che sia arrivato sullo schermo con una deflessione y è uscito dal forno con una componente della velocità lungo x data da : v x = A y, dove A = 1 QE L 2 M 1(L 1 2L 2 ). La distribuzione delle velocità iniziali degli atomi che escono dal fornetto è quella di un gas in equilibrio alla temperatura T. La probabilità che un atomo abbia componente della velocità lungo x compresa tra v x e v x + v x è data dalla distribuzione di Maxwell : P (v x ) = Ce Mv 2 x 2k bt, dove C = 2πkb T è la costante di normalizzazione e k B la costante di Boltzmann. M Il numero di atomi che arrivano sullo schermo con una deflessione compresa tra tra y e y+ y è dato da: N(y) = NP (v x ) v x = NP (v x (y)) vx y = NP (y) y, y con P (y) = P (v x (y)) vx y = Ce MA 2 2k b T y A. y 3/2 Vediamo quindi che il massimo nella distribuzione degli atomi sullo schermo si ha quando: dp (y) dy = 0, vale a dire per: y = y m con y m = MA2 = 1 1 QEL 3k b T 3k b T 2 1(L 1 2L 2 ) Il fatto che il potenziale V produce una variazione di y m inferiore a δ implica: 6k b T Q < δ = δ d EL 1 (L 1 2L 2 ) V 6k b T L 1 (L 1 2L 2 ) Sostituendo i valori numerici: Q < C v 2 x 3

4 e quindi il limite superiore sulla differenza di carica tra protone ed elettrone è q = Q/55 = C PROBLEMA 4. a) Prima della chiusura degli interruttori, le cariche sui condensatori sono: Q 1,0 = C 1 V A0 Q 2,0 = C 2 V B0 Q 3,0 = C 3 V C0. Dopo la chiusura degli interruttori, all equilibrio, i punti A, B e C hanno lo stesso potenziale, perchè fanno parte di uno stesso conduttore. Pertanto la carica sui condensatori, all equilibrio è: Q 1 = C 1 V, Q 2 = C 2 V Q 3 = C 3 V. Dato che la carica sul conduttore che contiene i punti A, B e C è la stessa prima e dopo la chiusura degli interruttori, possiamo scrivere : Q 1 + Q 2 + Q 3 = Q 1,0 + Q 2,0 + Q 3,0 e quindi : V = C 1V A0,+C 2 V B0 +C 3 V C0 C 1 +C 2 +C 3. = V b) Prima dell apertura degli interruttori l energia elettrostatica dei condensatori vale: E 0 = 1 2 C 1V 2 A C 2V 2 B0, C 3V 2 C0 = 9.845mJ. Dopo la chiusura degli interruttori, all equilibrio, l energia immagazzinata nei condensatori è: E = 1(C C 2 + C 3 )V 2 = mj E = E E 0 = ( ) = 0.022mJ c) L energia dissipata è esattamente quella mancante ai condensatori E diss = 0.022mJ PROBLEMA 5. Dato che il filo ha diametro 2r, su un tratto di cilindro di lunghezza L saranno avvolte N = L/2r spire, ciascuna di lunghezza l 0 = 2π(D + r). L avvolgimento ha quindi una resistenza totale: R = ρ Nl 0 πr 2 = ρ L(D+r) r 3 ed è percorso da una corrente: 4

5 i = V R = V r 3 ρl(d+r) Il campo magnetico al centro del solenoide è parallelo all asse, col verso tale da veder la corrente girare nelle spire in senso antiorario ed ha intensità: B = µ 0 ni = µ 0 V r 2 2ρL(D+r), dove µ 0 è la permeabilità magnetica del vuoto e n è il numero di spire per unità di lunghezza del solenoide: n = N L = 1 2r. La potenza dissipata per effetto Joule dalla corrente che passa nel filo è: P = Ri 2 = V 2 r3 2ρL(D+r) Notiamo che si può scrivere : V = 2ρL(D+r) r 3 P. Inserendo questa espressione in quella scritta sopra per B, otteniamo: B =µ r 0 2ρL(D+r) P Pertanto, trascurando r rispetto a D nel denominatore, vediamo che, a parità di potenza dissipata, B è proporzionale a r e quindi il grafico è un arco di parabola con l asse parallelo all asse r. PROBLEMA 6 Dopo la chiusura dell interruttore I 1, l equilibrio viene raggiunto quando la differenza di potenziale tra le armature del condensatore è uguale alla forza elettromotrice applicata f e la forza elettrostatica con la quale l armatura P 1 è attratta dall armatura P 2, a distanza l d, è bilanciata dalla forza F m = Kd, esercitata dalla molla di costante elastica K. La forza elettrostatica su P 1 si può calcolare come: F e = Q 1 E 1,2 dove Q 1 e E 1,2 sono rispettivamente la carica sull armatura P 1 ed il campo elettrostatico sulla stessa armatura generato dalla carica su P 2. le armature del condensatore. Pertanto: E 1,2 = 1 2 σ ε 0 = 1 f 2 l d σ = ε 0f l d e Q 1 = σs = ε 0f l d S e quindi : F e = ε 0f S 1 l d 2 f = 1 ε 0 f 2 S, l d 2 (l d) 2, da cui possiamo ricavare Tale campo è metà del campo totale tra Uguagliando F e a F m = Kd, possiamo infine ricavare la costante elastica della molla: K = 1 ε 0 f 2 S 2d (l d) 2 5

6 Sostituendo i valori numerici abbiamo quindi: K = 5463 N/m Dopo l apertura dell interruttore I 1 e la chiusura di I 2, il condensatore si scarica e pertanto l armatura P 1, non più soggetta alla forza elettrostatica, si muove sotto l azione della molla e della forza viscosa dovuta agli urti con le molecole del gas contenuto nel recipiente. Il moto continua fino a che tutta l energia potenziale iniziale della molla non viene dissipata in calore da questa forza viscosa, calore che viene assorbito dalle armature provocandone l aumento di temperatura T. Notiamo che la molla ed il gas contenuti nel recipiente possono esser ignorati nel bilancio energetico complessivo, dato che sono trascurabili le loro masse e capacità termiche. Durante la scarica, l energia elettrostatica iniziale del condensatore viene dissipata per effetto Joule sulla resistenza R all esterno del recipiente e quindi, data l adiabaticità delle pareti, può anch essa esser ignorata nel bilancio energetico di quanto avviene all interno,. In formule: 1 2 Kd2 = = 2Mc T se M è la massa di una delle due armature. Pertanto: a) M = Kd2 4c T M = Kg b) La frequenza propria di un oscillatore di massa M e costante elastica K è: ν = 2πω = 2π K M = Hz 6

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