CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale LUOGO DELLE RADICI

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale LUOGO DELLE RADICI Ing. Federica Grossi Tel

2 Proprietà dei sistemi in retroazione Equazione caratteristica Le radici sono i poli del sistema in retroazione Sistema del 1 ordine Nuovo polo Luogo delle radici -- 2

3 Proprietà dei sistemi in retroazione Sistema del 2 ordine Radici reali distinti s=-1, s=-4 Luogo delle radici -- 3

4 Proprietà dei sistemi in retroazione Poli I poli del sistema in retroazione variano al variare del guadagno. Luogo delle radici -- 4

5 Luogo delle radici Strumento per tracciare la collocazione nel piano complesso dei poli di un sistema in retroazione unitaria la variare del guadagno Luogo delle radici -- 5

6 Luogo delle radici: proprietà 1. Ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta Ciascun polo, spostandosi, traccia un ramo 2. Ogni ramo: Parte ( ) dalla posizione di un polo in catena aperta Termina ( ) nella posizione di uno zero del sistema o va all infinito 3. Il luogo è simmetrico rispetto all asse reale 4. Un punto dell asse reale appartiene al luogo se lascia a destra un numero dispari di singolarità (poli e zeri) 5. Ha asintoti in numero pari al grado relativo (zeri all infinito) Luogo delle radici -- 6

7 Luogo delle radici: proprietà 6. Gli asintoti si incontrano in un punto dell asse reale e formano una stella con gli angoli tutti uguali tra loro; il punto di incontro è 7. Gli asintoti formano con l asse reale gli angoli Dove n e m rappresentano rispettivamente il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta. Luogo delle radici -- 7

8 Luogo delle radici: asintoti Luogo delle radici -- 8

9 Luogo delle radici: tracciamento Utilizzando le proprietà enunciate è possibile tracciare rapidamente il luogo delle radici. I passi da seguire sono: 1. Tracciare sul piano complesso zeri e poli del sistema in catena aperta, contrassegnando i poli con una X e gli zeri con un O. 2. Ricavare il numero di asintoti facendo la differenza tra il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta. 3. Trovare il punto di incrocio degli asintoti e gli angoli che formano con l'asse reale. 4. Trovare i punti dell'asse reale che stanno sul luogo delle radici 5. Tracciare il luogo delle radici tenendo conto che esso deve essere simmetrico rispetto all'asse reale. Controlli Cristian Secchi Automatici Luogo delle radici -- 9

10 Sistemi del 1 ordine Zero all infinito Luogo delle radici -- 10

11 Sistemi del 2 ordine Luogo delle radici -- 11

12 Sistemi del 2 ordine con zero δ=0.78 Due poli complessi coniugati Luogo delle radici -- 12

13 Sistemi del 3 ordine Luogo delle radici -- 13

14 Sistemi del 3 ordine Luogo delle radici -- 14

15 Sistemi del 3 ordine con zero Luogo delle radici -- 15

16 Sistemi del 3 ordine con zero Luogo delle radici -- 16

17 Progetto di un controllore in retroazione r(t) + e(t) - C(s) u(t) G(s) y(t) L(s)=C(s)G(s), Guadagno d anello Dato un plant G(s) costruire un controllore C(s) in modo che l uscita y(t) del sistema chiuso in retroazione: soddisfi le specifiche di controllo Controlli Cristian Secchi Automatici Luogo delle radici -- 17

18 Specifiche di controllo Specifiche statiche: specifiche relative al massimo errore a regime tollerato. Si risolvono facendo in modo che il guadagno d anello abbia un numero opportuno di poli nell origine oppure un guadagno a regime minore di un certo valore dipendente dalla specifica. Sono indipendenti dal comportamento dinamico del sistema. Specifiche dinamiche: specifiche relative al comportamento dinamico della risposta, cioè il suo andamento prima di raggiungere il valore a regime. Tipicamente queste specifiche vengono date in termini di massima sovraelongazione percentuale e di tempo di assestamento. Controlli Cristian Secchi Automatici Luogo delle radici -- 18

19 Utilizzo del luogo delle radici Per i sistemi elementari oppure approssimabili come sistemi elementari (cioè in presenza di poli dominanti) risulta semplice identificare regioni del piano in cui devono stare i poli del sistema in retroazione per soddisfare le specifiche. Il luogo delle radici può essere usato per studiare il comportamento dei poli del sistema chiuso in retroazione e per disegnare un controllore in modo da fare in modo che, per certi guadagni, il sistema chiuso in retroazione abbia tutti i poli all interno della regione desiderata. Controlli Cristian Secchi Automatici Luogo delle radici -- 19

20 Passi per la costruzione del controllore 1. Tenendo conto delle specifiche statiche aggiungere poli nell origine. 2. Esaminare il guadagno d anello ottenuto per determinare l ordine (eventualmente trascurando poli recessivi) del sistema 3. Tracciare sul piano di Gauss le regioni relative alle specifiche di controllo 4. Vedere se con una semplice azione proporzionale (C(s)=k) è possibile soddisfare le specifiche dinamiche, cioè far entrare i poli del sistema chiuso in retroazione (più eventuali poli aggiunti nell origine per soddisfare le specifiche statiche) nella regione desiderata. 5. Se non è possibile soddisfare le specifiche con un semplice controllore proporzionale, costruire, per tentativi, un controllore tale che esista un k per cui i poli del sistema controllato stiano nelle regioni desiderata. 6. Fare una verifica simulativa del controllore ottenuto. E possibile utilizzare rltool per verificare la correttezza dell algoritmo di controllo disegnato. Controlli Cristian Secchi Automatici Luogo delle radici -- 20

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