ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2009

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1 ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 009 Il candidato isolva uno dei due poblemi e 5 dei 0 quesiti in cui si aticola il questionaio. PRLEM È assegnato il settoe cicolae di aggio e ampiezza ( e sono misuati, ispettivamente, in meti e adianti).. Si povi che l aea S compesa fa l aco e la coda è espessa, in funzione di, da S() ( sen ) con [0; ].. Si studi come vaia S() e se ne disegni il gafico (avendo posto ).. Si fissi l aea del settoe pai a 00 m. Si tovi il valoe di pe il quale è minimo il peimeto di e si espima il coispondente valoe di in gadi sessagesimali (è sufficiente l appossimazione al gado). 4. Sia e. Il settoe è la base di un solido W le cui sezioni ottenute con piani otogonali a sono tutte quadati. Si calcoli il volume di W. Figua. PRLEM Nel piano ifeito a coodinate catesiane, otogonali e monometiche, si tacci il gafico G f della funzione f () ln (logaitmo natuale).. Sia il punto d intesezione con l asse della tangente a G f in un suo punto P. Sia il punto d intesezione con l asse della paallela pe P all asse. Si dimosti che, qualsiasi sia P, il segmento ha lunghezza costante. Vale la stessa popietà pe il gafico G g della funzione g () log a con a eale positivo diveso da?. Sia l inclinazione sull asse della etta tangente a G g nel suo punto di ascissa. Pe quale valoe della base è 45? E pe quale valoe di a è 5?. Sia D la egione del pimo quadante delimitata dagli assi coodinati, da G f e dalla etta d equazione. Si calcoli l aea di D. 4. Si calcoli il volume del solido geneato da D nella otazione completa attono alla etta d equazione. Zanichelli Editoe, 00

2 QUESTINRI 4 5 Si tovi la funzione f () la cui deivata è sen e il cui gafico passa pe il punto (0; ). Sono dati gli insiemi {,,, 4} e {a, b, c}. Ta le possibili applicazioni (o funzioni) di in, ce ne sono di suiettive? Di iniettive? Di biiettive? Pe quale o quali valoi di k la cuva d equazione k 4 ha una sola tangente oizzontale? «Esiste solo un poliedo egolae le cui facce sono esagoni». Si dica se questa affemazione è vea o falsa e si fonisca una esauiente spiegazione della isposta. Si consideino le seguenti espessioni: 0, 0 0, 0, 00. quali di esse è possibile attibuie un valoe numeico? Si motivi la isposta Si calcoli: lim Si dimosti l identità n k n k k Si povi che l equazione: n k con n e k natuali e n k ha una adice compesa fa e 0. 9 Nei Discosi e dimostazioni matematiche intono a due nuove scienze, Galileo Galilei descive la costuzione di un solido che si chiama scodella consideando una semisfea di aggio e il cilindo a essa cicoscitto. La scodella si ottiene togliendo la semisfea dal cilindo. Si dimosti, utilizzando il pincipio di Cavaliei, che la scodella ha volume pai al cono di vetice V in figua. D V C Figua. 0 Si detemini il peiodo della funzione f () cos 5. Duata massima della pova: 6 oe. È consentito soltanto l uso di calcolatici non pogammabili. Non è consentito lasciae l Istituto pima che siano tascose oe dalla dettatua del tema. Zanichelli Editoe, 00

3 SLUZINE DELL PRV D ESME CRS DI RDINMENT 009 PRLEM. Indichiamo con: S ( ) l aea del settoe cicolae di aggio e ampiezza, S () l aea del tiangolo isoscele, S () la supeficie compesa fa l aco e la coda. Diffeenziamo i casi in cui l angolo del settoe cicolae è convesso o concavo (figua ): a) se è convesso (0 ) isulta S () S ( ) S (); b) se è concavo () isulta S () S ( ) S (). Figua. a. ngolo convesso. b. ngolo concavo. L aea del settoe cicolae di aggio e ampiezza è S ( ), mente l aea del tiangolo, conoscendo due lati e l angolo compeso, è pe la tigonometia: sen se 0 S () sen ( ) sen se Quindi la supeficie S () diventa: S ( ) S () S ( ) S () se 0 se S () S () S () sen ( sen ) con [0; ]. sen se 0 sen se. Ponendo, diventa S () ( sen ). Tale funzione è continua nell intevallo di definizione [0; ]; agli estemi del dominio isulta S (0) 0, S () ; la sua deivata pima ha espessione: S () ( cos ). Petanto isulta S () 0 pe 0 e S (0) S () 0: la funzione è non decescente e ha tangente oizzontale negli estemi dell intevallo. Zanichelli Editoe, 00

4 La deivata seconda vale S () sen : è positiva pe 0, negativa pe, nulla pe 0,, ; la cuva ha petanto un flesso F ;. Nella figua 4 è appesentato il gafico della funzione S (). S() = ( sen ) F Figua 4.. Posta l aea del settoe cicolae S ( ) uguale a 00 m, diventa 00, quindi 0 0 con ]0; ]; isulta alloa che, al vaiae di nell intevallo, la vaiabile è infe- 0 iomente limitata ovveo. Calcoliamo il peimeto P del settoe in funzione del aggio, consideando che si può scivee l angolo in funzione del aggio ovveo 00 : P P () Figua 5. 0 Deteminiamo la deivata pima di tale funzione e studiamone il segno: 0 P () P'() ; P () P() min In figua 5 è ipotato il quado dei segni. La funzione ha un minimo pe 0 m; in tal caso l angolo coispondente misua: 00 0 ad 57, Posto e, fissiamo un sistema di ifeimento otogonale contenente il settoe in modo che coincida con l oigine; isulta alloa che ha coodinate (;0) e (;) (figua 6). La etta ha equazione f () mente l aco è il gafico della funzione g () 4, pe [; ]. Poiché il solido W ha come base il settoe cicolae e ha sezioni otogonali a quadate, si ottiene il suo volume V secondo la seguente fomula: V (W ) 0 0 [ f ()] d [ g ()] d d (4 )d [ ] f() = g() = 4 (; 0) Figua 6. 4 Zanichelli Editoe, 00

5 PRLEM La funzione f () ln ha dominio D ]0; [, inteseca l asse nel punto di coodinate (; 0) ed è sempe cescente. Il coispondente gafico G f di f è ipotato in figua 7.. Consideiamo un punto geneico di G f, P (k; ln k), con k 0; tacciamo pe esso la tangente t alla cuva che inteseca l asse nel punto e la etta paallela all asse che inteseca l asse delle odinate nel punto ; tale punto ha coodinate (0; ln k) (figua 8). Pe deteminae le coodinate di, sciviamo l equazione della etta t, che ha coefficiente angolae f ( P ) k. Quindi, l equazione della etta t è: P f ( P )( P ) ln k ( k) k ln k. k = ln Figua 7. t P (k; ln k) Tale etta inteseca l asse in (0; ln k ), e la lunghezza del segmento è: ln k ln k, che, peciò, è costante. Figua 8. Nel caso in cui la funzione consideata sia g () log a, si può pocedee in modo analogo, tovando: g ( P ) k log a e, coefficiente angolae della etta tangente nel punto P, k log a e log a e, equazione della etta tangente t, (0; log a k log a e), (0; log a k). La distanza ta e è oa: log a k log a k log a elog a e. Possiamo concludee che, fissato il valoe della base a del logaitmo, la lunghezza di imane costante indipendentemente dalla scelta del punto P. sseviamo infine che, pe a e, itoviamo il caso paticolae.. Poiché pe inclinazione si intende l angolo che una etta foma col semiasse positivo delle, si ha che il coefficiente angolae della etta tangente a G g nel suo punto di ascissa è tg. Tale coefficiente coisponde al valoe della deivata pima della funzione calcolata nel punto : g () log a e tg log a e. Se 45, alloa tg. Quindi log a e, cioè a e e il logaitmo isulta natuale; se 5, alloa tg. Quindi: log a e, cioè a e. 5 Zanichelli Editoe, 00

6 . La egione D di cui calcolae l aea (D) è evidenziata nella figua 9. Deteminiamo tale supeficie come diffeenza ta l aea del ettangolo di base e e altezza e l aea sottesa dalla funzione f () ln pe e: (D) e e ln d D = ln Integando pe pati si ottiene: e [ ln ] e e (e e ) e. Figua 9. e 4. peiamo sulla funzione f la taslazione di vettoe v (;0) in modo che l asse di otazione coincida con l asse. La cuva taslata ha equazione ln( ) (figua 0). Pe calcolae il volume di otazione della funzione ln() intono all asse, è necessaio deteminae l equazione della funzione invesa: ln( ) e e. = ln ( ) Il volume ichiesto si ottiene sottaendo al volume del solido di otazione il volume del cilindo inteno di aggio di base e altezza : V (e ) d (e e )d 0 0 e e 0 Figua 0. e e e e 5 (e 4e 5). 6 Zanichelli Editoe, 00

7 QUESTINRI Una funzione f () si definisce pimitiva di una funzione g() quando è deivabile e isulta f () g(). L insieme delle pimitive di g() sen è: f k () cos k, con k R. Deteminiamo il valoe di k, imponendo al coispondente gafico il passaggio pe il punto (0;): f k (0) k k. Petanto la funzione f () la cui deivata è sen e il cui gafico passa pe il punto (0;) è f () ovveo: f () cos. Una funzione f : si dice suiettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento di. Poiché {,,, 4} e {a, b, c}, alloa sono suiettive tutte le funzioni in cui due e solo due elementi di hanno uguale immagine in. Le possibili coppie di sono 4 6. gni coppia può essee associata ai elementi di con un totale di 6 8 associazioni. Pe ogni associazione i due elementi di non utilizzati (che hanno quindi immagine distinta in ) possono essee accoppiati in due modi divesi con i due elementi di imasti. Quindi il numeo totale di funzioni suiettive da a è 8 6. Una funzione f : si dice iniettiva quando ogni elemento di è immagine al più di un elemento di. Poiché il numeo degli elementi di è maggioe di quello di, non esistono funzioni iniettive. Una funzione f : si dice biiettiva quando è sia iniettiva, che suiettiva. Poiché non esistono funzioni iniettive, alloa non esistono nemmeno funzioni biiettive. Data la cuva di equazione () k 4, la funzione deivata pima () k è di secondo gado. Posta la deivata pima uguale a zeo, si ottiene un equazione di secondo gado. ffinché la cuva ammetta una sola tangente oizzontale è necessaio che il coispondente disciminante sia nullo: k 0, 4 0 k 9 0 k. Le cuve ichieste sono quindi due: 4, 4. 4 Un poliedo si dice egolae se le sue facce sono poligoni egolai conguenti e i suoi diedi sono conguenti. Petanto gli angoli delle facce di ogni suo diedo devono essee angoli di poligoni egolai e devono essee almeno te. Pe un noto teoema di geometia solida, in ogni diedo la somma degli angoli delle facce deve essee stettamente minoe di 60. Se le facce del poliedo egolae fosseo esagoni, l angolo di ogni faccia di un diedo saebbe di 0 e quindi la somma degli angoli di te facce saebbe uguale a 60, il che è impossibile. L affemazione quindi è falsa. 7 Zanichelli Editoe, 00

8 5 Una fazione è una coppia odinata di numei intei, di cui il secondo è diveso da 0: n, con n, d Z, d 0. d L espessione 0 equivale al valoe numeico 0. Il ecipoco di 0, cioè, è pivo di significato e 0 non coisponde a nessun valoe numeico. Ugualmente le espessioni 0 0 e 00 non coispondono a nessun valoe numeico e sono fome indeteminate. 6 7 Consideiamo il limite lim. Raccogliamo al adicando del numeatoe e potiamolo fuoi dalla adice: lim. Poiché il limite va calcolato in un intono di, isulta 0, possiamo togliee al numeatoe il valoe assoluto alla cambiandone il segno: lim. Data l identità n k n k n k con n e k natuali e n k, si esplicitano i coefficienti binomiali tamite la funzione fattoiale pe entambi i membi. k Pimo membo: n n! n (n ) (n k )(n k) k (k )! (n k )! (k ) k! Secondo membo: n k n k k n! n k k! (n k)! k n (n ) (n k ) k! n k k n (n ) (n k )(n k). (k ) k! Poiché il pimo membo è uguale al secondo membo, l identità è veificata. 8 Consideiamo la funzione f () Cecae le soluzioni eali dell equazione di patenza equivale a deteminae le intesezioni della funzione f () con l asse delle. La funzione è continua in R ed esistono almeno due valoi di in cui la funzione cambia di segno:, f ( ) ( ) ; 0, f (0). 8 Zanichelli Editoe, 00

9 Pe il teoema di esistenza degli zei, esiste almeno un punto c, inteno all intevallo [ ; 0], in cui la funzione si annulla. Calcoliamo la deivata pima di f (): f () Poiché la deivata è sempe positiva nell intevallo, la funzione f () è stettamente cescente; petanto esiste una sola adice dell equazione di patenza, compesa ta e 0. 9 Consideiamo il pincipio di Cavaliei: «due solidi hanno lo stesso volume (sono equivalenti) se si può fissae un piano in modo che ogni alto piano paallelo a esso tagli i due solidi in sezioni equivalenti». Consideiamo un piano paallelo alla base del cilindo distante k da esso, con 0 k (figua ). La sezione fomata con il cono è un cechio di aggio EF. Essendo VEF un tiangolo ettangolo isoscele, isulta EF VE k. Dunque il cechio ha aea: ( k). La sezione del piano con la scodella è una coona cicolae di aggio esteno e aggio inteno EG. Pe il teoema di Pitagoa isulta: EG VG VE (k ) k k. L aea della sezione con la scodella è: [ (k k )] ( k). Pe il pincipio di Cavaliei, poiché, possiamo concludee che la scodella e il cono sono equivalenti. D Figua. V E F G k C 0 sseviamo che la funzione f () cos 5 si ottiene dalla funzione goniometica elementae cos tamite una contazione ispetto all asse di fattoe k 5. Ne segue che, essendo il peiodo di cos, il peiodo di f è ovveo. k 5 tale conclusione si può giungee anche ossevando i gafici delle due funzioni ta 0 e (figua ). In tale gafico si può notae che in un peiodo di cos il gafico di f () cos 5 si ipete uguale pe 5 volte. f() = cos 5 = cos Figua. 9 Zanichelli Editoe, 00

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