La teoria dell utilità attesa
|
|
- Raffaella Belli
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 La teoria dell utilità attesa 1
2 La teoria dell utilità attesa In un contesto di certezza esiste un legame biunivoco tra azioni e conseguenze: ad ogni azione corrisponde una e una sola conseguenza, e viceversa. Le azioni possono essere perciò ordinate sulla base dell utilità delle conseguenze. In un contesto di incertezza a ciascuna azione corrispondono più conseguenze. La teoria dell utilità attesa consente di ordinare le azioni quando vi è incertezza. Essa si fonda su due elementi: 1. la probabilità attribuita a ciascuna conseguenza x i di verificarsi: p (x i ); 2. l utilità assegnata alle conseguenze: U(x i ). 2
3 L utilità attesa di un azione è data dalla media ponderata delle utilità delle conseguenze che discendono da quell azione con un peso pari alla probabilità che hanno di verificarsi: E[U(x)] = X U(x i )p(x i ) Il criterio dell utilità attesa generalizza il criterio del valore atteso E (x) = X x i p (x i ) Un gioco è equo se il guadagno atteso è nullo, ovvero se il prezzo (x 0 )chesi paga per partecipare al gioco è pari al valore atteso che ci aspetta di ottenere 3
4 dal gioco E (x) =x 0 Il paradosso di S. Pietroburgo mostra come le insufficienze del criterio del valore atteso siano dovute alla valutazione della somma in termini monetari. Il criterio dell utilità attesa rimuove questa insufficienza valutando le somme vinte in termini di utilità sicché la valutazione non è più lineare nei payoff (gli x i ). L utilità attesa continua a essere lineare nelle probabilità. 4
5 Lancio Esito Probabilità Somma vinta Utilità 1 1 T 2 ln (2) CT ln (2) 2 µ CCT ln (2) µ 1 n 1 n CC...C {z } T 1 2 n n ln (2) n µ =1 Utilità attesa = P i ln (2) = ln (4) 2i V alore atteso = P 2i 2 i = 5
6 Il teorema dell utilità attesa afferma che, se il comportamento individuale si conforma a certi assiomi, allora dire che un azione o una distribuzione di probabilità p è preferita ad un altra distribuzione q equivale a dire che ha un utilità attesa maggiore p  q X U (x i ) p (x i ) > X U (x i ) q (x i ) Gli assiomi su cui si fonda la teoria dell utilità attesa sono i seguenti: Completezza e coerenza. Tutte le distribuzioni possono essere ordinate e in questo ordinamento non vi è contraddizione: p º q oppure q º p o entrambe; se p º q e q º r allora p º r. 6
7 Monotonicità. Si preferiscono le distribuzioni che assegnano le conseguenze migliori con la probabilità più elevata: α δ m (1 α) δ p º β δ m (1 β) δ p seesoloseα β Continuità. Variando la probabilità assegnata alle conseguenze, mutano anche con continuità le preferenze: Esiste un α tale che r α δ m (1 α) δ p 7
8 Esempio Supponiamo che δ p = 0 e δ m = Qual è la probabilità α che rende l individuo indifferente tra ottenere 250 euro con certezza, δ x =250, e partecipare a un gioco in cui può ottenere 0 o 1000 euro con probabilità 1 α e α? Il grafico mostra il caso di un individuo in cui questa probabilità è 1 2. Perciò, u (x) =0.5.Formalmente, ovvero u (250) = 0.5u (1000) + 0.5u (0) = 0.5, ponendo u (1000) = 1 e u (0) = 0. Notare che il valore atteso del gioco è
9 w La funzione di utilità in questo caso è u (w) =. La funzione ordinale 1000 w viene cardinalizzata fissando l origine e l unità di misura. r 1. Quando w =0, anche w èugualea0.nessunamodifica è necessaria. 2. Quando w = 1000, l utilità deve essere pari a 1. Questo viene ottenuto normalizzando a 1 la ricchezza massima, dividendo cioè w per
10 Figura 1: 10
11 Supponiamo che un altro individuo consideri 125 euro con certezza equivalenti alla partecipazione al gioco precedente e quindi u (125) = 0.5 L individuo ritiene equivalente partecipare a un gioco il cui valore atteso è 500 o avere con certezza 125 euro: è perciò più avverso al rischio dell individuo prima visto. La funzione di utilità in questo caso è u (w) = µ w /3. 11
12 Figura 2: 12
13 Supponiamo che il primo individuo con funzione di utilità quadratica debba scegliere tra 250 euro con certezza e una distribuzione di probabilità in cui può ottenere con una probabilità del 10% 810 euro, con una probabilità del 50% una somma di 360 e con una probabilità del 40% una somma di 160 euro. Quale prospetto preferisce? Sappiamo che u (250) = 0.5. Sappiamo inoltre che u (810) = 0.9, u(360) = 0.6 e u (160) = 0.4. Quindi la seconda distribuzione di probabilità prevede di poter ottenere l esito migliore, 1000 euro, con probabilità 0.1 u (810) u (360) u (160) = =0.55 La seconda distribuzione è perciò preferibile. Ma perché possiamo sommare nel modo appena visto? 13
14 Indipendenza o sostituzione. Tra le distribuzioni di probabilità non esiste complementarità: p q α p (1 α) r α q (1 α) r Riduzione. Aifini del giudizio di preferenza conta soltanto la probabilità totale assegnata alle conseguenze e non come essa si forma. Per dimostrare il teorema dell utilità attesa, prendiamo in considerazione una distribuzione p che prevede solo due conseguenze certe, δ x1 e δ x2 : La dimostrazione richiede che p = p 1 δ x1 p 2 δ x2 E [U (p 1 δ x1 p 2 δ x2 )] = p 1 U (δ x1 )+p 2 U (δ x2 ) 14
15 L utilità attesa ha due proprietà: 1) è additiva nell utilità delle conseguenze e 2) lineare nelle probabilità. 1. Assioma di continuità. Ciascuna delle due conseguenze può essere riscritta in termini di δ m (la conseguenza migliore) e δ p (la conseguenza peggiore) δ x1 U (x 1 ) δ m (1 U (x 1 )) δ p δ x2 U (x 2 ) δ m (1 U (x 2 )) δ p 2. Assioma di indipendenza. Ciascuna delle conseguenze può essere sostituita nella 15
16 distribuzione originaria p = p 1 δ x1 p 2 δ x2 p 1 [U (x 1 ) δ m (1 U (x 1 )) δ p ] p 2 δ x2 p 1 [U (x 1 ) δ m (1 U (x 1 )) δ p ] p 2 [U (x 2 ) δ m (1 U (x 2 )) δ p ] 3. Assioma di riduzione. La distribuzione ottenuta può essere scritta in termini delle probabilità totali di δ m e δ p p 2X 1 p i U (x i ) δ m 1 2X 1 p i U (x i ) δ p 16
17 4. Assioma di continuità. P 2 1 p i U (x i ) rappresenta l utilità attribuita a p E [U (p)] = 2X 1 p i U (x i ) 5. Assioma di monotonicità. Tra due distribuzioni viene preferita quella che ha probabilità (utilità) più alta. 17
18 p U (x 1 ) p 1 Á δ x1 Á  Á δ p Á 1 U (x 1 ) δ m  U (x 2 )  δ m  Á δ x2 p 2  δ p 1 U (x 2 ) 18
19 Il teorema dell unicità afferma che una funzione di utilità U(x) rappresenta le preferenze allo stesso modo di una funzione di utilità V (x) se fra le due esiste una relazione lineare: V (x) =a + bu(x),conb>0. 19
20 La scelta in condizioni di certezza A ogni azione corrisponde una e una sola conseguenza. Esempio a c = F (a) 20
21 Insieme delle decisioni Insieme delle conseguenze a 2 c(a 2 ) a 3 c(a 3 ) a 1 c(a 1 ) Figura 3: 21
22 Esempio π (l) = p f (l) w l = p l w l, p =2, w =1 22
23 Insieme delle decisioni Insieme delle conseguenze 1 1 =1 π(l 1 )=1 1 2 =4 π(l 2 )=0 Figura 4: 23
24 La scelta in condizioni di incertezza A ogni azione corrispondono più conseguenze. Di qui le difficoltà di ordinamento in base alle funzioni di utilità tradizionali. Esempio (a, s) c = F (a, s) 24
25 Insieme delle decisioni Insieme delle conseguenze a 1 s 2 c(a 1,s 2 ) s 1 s 2 c(a 2,s 2 ) a 2 s 1 c(a 1,s 1 ) c(a 2,s 1 ) Figura 5: 25
26 Esempio: Incertezza e profitto L esempio che segue mostra nell ambito della teoria dell impresa che, in presenza di incertezza, il profitto non dipende solo dalle azioni poste in atto, il lavoro impiegato, ma anche dallo stato del mondo, nell esempio dal valore dello shock, che si verifica. 2 stati: s 1 = cattivo tempo, s 2 = bel tempo. Influenzano il prodotto attraverso un disturbo moltiplicativo. π (l, s) = p f (s, l) w l = p s l w l, p =2, w =1, s ( l, s = s1 l 2 l, s = s 2 26
27 Prendiamo in considerazione quattro valori possibili del profitto corrispondenti ai due livelli di impiego di lavoro (1 e 4) che massimizzano il profitto per i due valori dello shock (1 e 2). E importante osservare che non esiste il livello ottimo di impiego di lavoro, perché il profitto dipende anche dallo shock. Per esempio, se s =1conviene impiegare una quantità di lavoro pari a 1 (perché π (1, 1) = 1) enona4(perché π (4, 1) = 0). Viceversa, se s =2conviene impiegare una quantità di lavoro pari a 4(perchéπ (1, 2) = 3) e non a 1 (perché π (4, 2) = 4). Il grafico successivo illustra l andamento del profitto per tutti i valori di L e s. 27
28 Figura 6: Alle stessi conclusioni si giunge se guardiamo all uguaglianza tra prodotto marginale 28
29 del lavoro (indicato con d f (L)) nei due stati del mondo (s =1, 2) e salario reale dl ( w p ). Figura 7: 29
30 Non esiste perciò, come invece accade nel caso di certezza, un impiego ottimale di lavoro indipendentemente dallo stato del mondo. 30
31 Insieme delle decisioni Insieme delle conseguenze 1 1 =1 s 2 π(s 2,l 2 )=4 π(s 2,l 1 )=3 s 2 s =4 s 1 π(s 1,l 1 )=1 π(s 1,l 2 )=0 Figura 8: 31
32 Due modi di guardare all utilità attesa 1. Come scelta tra conseguenze che dipendono dallo stato, c = F (a, s). Scegliendo un azione, si sceglie una conseguenza per ciascuno stato del mondo. La conseguenza c viene interpretata come una variabile casuale, le cui realizzazioni sono stato contingenti. L utilità attesa è una funzione di utilità definita sui consumi contingenti E [U (c)] = E [U (c 1,c 2,,c n )].Nell esempio della tabella, si sceglie tra due variabili casuali: 32
33 c 1 = ³ c (a 1,s 1 ), c(a 1,s 2 ) e c 2 = ³ c (a 2,s 1 ) c (a 2,s 2 ). s 1 s 2 a 1 c (a 1,s 1 ) c (a 1,s 2 ) a 2 c (a 2,s 1 ) c (a 2,s 2 ) 33
34 Insieme delle decisioni bene nello stato 2 c(a 1,s 2 ) Insieme delle conseguenze a 1 c(a 2,s 2 ) a 2 c(a 1,s 1 ) c(a 2,s 1 ) bene nello stato 1 Figura 9: 34
35 2. Come scelta tra distribuzioni di probabilità Le conseguenze sono variabili casuali definite in questo caso da distribuzioni di probabilità. Scegliendo un azione, l individuo sceglie in effetti una distribuzione di probabilità. L utilità attesa è una funzione di utilità definita sulle probabilità. E [U (p)] = E [U (p 1,p 2,,p n )] Il postulato di indipendenza afferma che è possibile ordinare le distribuzioni secondo le preferenze guardando alle singole parti che le compongono. Il giudizio dipende solo dalle parti delle distribuzioni che sono diverse. Esempio 35
36 Supponiamo che le distribuzioni abbiano solo due conseguenze, c 1 e c 2. Se,pe q sono valutate allo stesso modo dal consumatore p q p p 1 c 1 p 2 c 2 q q 1 c 1 q 2 c 2 e r è un altra distribuzione definita in modo analogo, allora per l assioma di indipendenza le due distribuzioni che si ottengono combinando p e r da una parte e q e r dall altra sono anch esse indifferenti. α p (1 α) r α q (1 α) r αp 1 +(1 α) r 1 c 1 αq 1 +(1 α) r 1 c 1 αp 2 +(1 α) r 21 c 2 αq 2 +(1 α) r 1 c 2 36
37 Il postulato di indipendenza garantisce inoltre che le curve di indifferenza siano delle rette parallele. Esempio. Supponendo vi siano solo tre conseguenze (il supporto delle distribuzioni è costituito solo da tre conseguenze), si ha E (U) =p 1 U 1 + p 2 U 2 + p 3 U 3, con U 1 <U 2 <U 3 Poiché p 2 =1 p 1 p 3, possiamo scrivere l equazione di una curva di indifferenza, con E (U) =k, come E (U) =k =(U 1 U 2 ) p 1 +(U 3 U 2 ) p 3 + U 2 da cui p 3 = k U 2 U 3 U 2 U 1 U 2 U 3 U 2 p 1 37
38 p 3 1 curva di indifferenza utilità crescente 1 p 1 Figura 10: 38
39 Le curve di indifferenza sono delle rette perché, dall assioma di indipendenza, ogni distribuzione che si trova sul segmento che congiunge p con q, come 1 2 p 1 2 q, deve essere ritenuta indifferente. p q 1 2 p 1 2 q 1 2 q 1 2 q = q 39
40 p 3 1 ½ p+½ q p q 1 p 1 Figura 11: 40
41 1 ¼ p+¾ r p 3 r ¼ q+¾ r q p 1 p 1 Figura 12: 41
42 Le curve di indifferenza sono parallele perché, dall assioma di indipendenza, ogni distribuzione che si trova sul segmento che congiunge r con p oconq, come 1 2 p q, deve essere ritenuta indifferente. 1 2 p q 1 4 p 3 4 r 1 4 q 3 4 r Il paradosso di Allais Nel gioco proposto da Allais vi sono solo tre premi (conseguenze) 1 Premio 2 Premio 3 Premio 5ml. 1ml. 0ml. Il gioco consiste in una scelta effettuata in due stadi. 42
43 IStadio. La scelta viene effettuata tra le due distribuzioni a e b, definite come a 1ml. 1 b 5ml ml ml II Stadio. La scelta viene effettuata tra le due distribuzioni c e d, definite come c 1ml ml d 5ml ml
44 Un altra rappresentazione delle distribuzioni nel paradosso di Allais a b c d Se poniamo i tre premi come esiti di una distribuzione di probabilità, x 1 = 0, ³ x 2 =1e x 3 =5, allora le distribuzioni possono ³ essere rappresentate ³ come vettori p1 p 2 p 3 nel triangolo di Machina: a = 0 1 0,b= , c = ³ ,d= ³ Le quattro distribuzioni sono rappresentate nella figura seguente. 44
45 p 3 1 curve d'indifferenza 0.1 b c d a p 1 Figura 13: 45
46 Si noti che se a viene preferito a b (come nella figura), allora per il postulato di indipendenza c è preferito a d (vedi ancora la figura). Una dimostrazione formale è la seguente a  b U (1) > 0.1U (5) U (1) U (0) 0.11U (1) > 0.1U (5) U (0) = 0.1U (5) + +( ) U (0) 0.11U (1) U (0) > 0.1U (5) + 0.9U (0) c  d TretipidireazionialparadossodiAllais 46
47 1. (Savage) Normativa: gli errori vengono corretti. 2. Teoria del rimpianto (Regret T heory). Si sceglie a rispetto a b perché altrimenti si rimpiangerebbe la possibilità di aver tralasciato una vincita certa di 1ml. 3. (Machina) Teoria del disappunto. Si consideri la seguente struttura delle preferenze. Viaggio a Venezia Film su Venezia Stare a casa Se con queste preferenze ci viene proposto di scegliere tra un gioco in cui si può avere il viaggio a Venezia con il 99% di probabilità oppure guardare un film su Venezia con l 1% di probabilità e un gioco in cui si può avere il viaggio a 47
48 Venezia con il 99% di probabilità oppure stare a casa con l 1% di probabilità, la scelta cade sul primo gioco se si rispetta il postulato di indipendenza. Ma non è detto che questo sia l esito se ci si aspetta che nel caso non si ottenga il viaggio a Venezia i gusti cambieranno: il disappunto di non aver ottenuto il viaggio a Venezia potrebbe essere tale da generare il rifiuto di guardare un film su Venezia. Sia nella teoria del rimpianto che quella del disappunto danno luogo a complementarità perché si preoccupano di ciò che sarebbe potuto accadere. 48
Scelte in condizioni di rischio e incertezza
CAPITOLO 5 Scelte in condizioni di rischio e incertezza Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell anno 500 euro; può investirli in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni
DettagliLa scelta in condizioni di incertezza
La scelta in condizioni di incertezza 1 Stati di natura e utilità attesa. L approccio delle preferenza per gli stati Il problema posto dall incertezza riformulato (state-preference approach). L individuo
DettagliMICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza
MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza 1 Dotazioni iniziali Il consumatore dispone ora non di un dato reddito monetario ma di un ammontare
DettagliScelte in condizione di incertezza
Scelte in condizione di incertezza Tutti i problemi di decisione che abbiamo considerato finora erano caratterizzati dal fatto che ogni possibile scelta dei decisori portava a un esito certo. In questo
DettagliLe scelte del consumatore in condizione di incertezza (cap.5)
Le scelte del consumatore in condizione di incertezza (cap.5) Che cos è il rischio? Come possiamo indicare le preferenze del consumatore riguardo al rischio? C è chi acquista assicurazione (non ama il
DettagliESERCITAZIONE 1. 15 novembre 2012
ESERCITAZIONE 1 Economia dell Informazione e dei Mercati Finanziari C.d.L. in Economia degli Intermediari e dei Mercati Finanziari (8 C.F.U.) C.d.L. in Statistica per le decisioni finanziarie ed attuariali
DettagliCapitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni
Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel
DettagliUn modello matematico di investimento ottimale
Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Preliminari di calcolo delle probabilità
DettagliEsercizi di Ricerca Operativa II
Esercizi di Ricerca Operativa II Raffaele Pesenti January 12, 06 Domande su utilità 1. Determinare quale è l utilità che un giocatore di roulette assegna a 100,00 Euro, nel momento che gioca tale cifra
DettagliTEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS
TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS 1 UTILITÀ Classicamente sinonimo di Desiderabilità Fisher (1930):... uno degli elementi che contribuiscono ad identificare la natura economica di un bene e sorge
DettagliLA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ
LA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ In questa Appendice mostreremo come trovare la tariffa in due parti che massimizza i profitti di Clearvoice,
Dettagli1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero
1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero Nel gioco del Nim, se semplificato all estremo, ci sono due giocatori I, II e una pila di 6 pedine identiche In ogni turno di gioco I rimuove una
DettagliLezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale
Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliDecisioni in condizioni di rischio. Roberto Cordone
Decisioni in condizioni di rischio Roberto Cordone Decisioni in condizioni di rischio Rispetto ai problemi in condizioni di ignoranza, oltre all insieme Ω dei possibili scenari, è nota una funzione di
DettagliCapitolo 26: Il mercato del lavoro
Capitolo 26: Il mercato del lavoro 26.1: Introduzione In questo capitolo applichiamo l analisi della domanda e dell offerta ad un mercato che riveste particolare importanza: il mercato del lavoro. Utilizziamo
DettagliCAPITOLO 1 OFFERTA DI LAVORO
CAPITOLO 1 OFFERTA DI LAVORO 1-1. Quante ore allocherà un individuo alle attività di tempo libero se le sue curve di indifferenza tra consumo e beni sono concave verso l origine? Il lavoratore o lavorerà
DettagliCorso di Macroeconomia. Il modello IS-LM. Appunti
Corso di Macroeconomia Il modello IS-LM Appunti 1 Le ipotesi 1. Il livello dei prezzi è fisso. 2. L analisi è limitata al breve periodo. La funzione degli investimenti A differenza del modello reddito-spesa,
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
DettagliCapitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza
Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza 23.1: Introduzione In questo capitolo studiamo la scelta ottima del consumatore in condizioni di incertezza, vale a dire in situazioni tali che il consumatore
DettagliMicroeconomia, Esercitazione 3 Effetto reddito, sostituzione, variazione compensativa, domanda di mercato, surplus del consumatore.
Microeconomia, Esercitazione 3 Effetto reddito, sostituzione, variazione compensativa, domanda di mercato, surplus del consumatore. Dott. Giuseppe Francesco Gori Domande a risposta multipla ) Se nel mercato
DettagliFondamenti e didattica di Matematica Finanziaria
Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo 1-20126 MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1 Unità 9 Contenuti della lezione Operazioni finanziarie, criterio
DettagliLezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore
Lezione 5 Argomenti Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore 5.1 PREESSA Nonostante le preferenze portino a desiderare quantità crescenti di beni, nella realtà gli individui non sono
DettagliCapitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore
Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:
DettagliParte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
DettagliTEORIA DELLE DECISIONI. DOCENTE: JULIA MORTERA mortera@uniroma3.it
TEORIA DELLE DECISIONI DOCENTE: JULIA MORTERA mortera@uniroma3.it 1 Decisioni in Condizioni di Incertezza Sia singoli individui che gruppi di individui (società, governi, aziende, sindacati ecc. si trovano
DettagliCAPITOLO 10 I SINDACATI
CAPITOLO 10 I SINDACATI 10-1. Fate l ipotesi che la curva di domanda di lavoro di una impresa sia data da: 20 0,01 E, dove è il salario orario e E il livello di occupazione. Ipotizzate inoltre che la funzione
DettagliELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso
Esercizio 1 Data la funzione di domanda: ELASTICITÀ Dire se partendo da un livello di prezzo p 1 = 1.5, al produttore converrà aumentare il prezzo fino al livello p 2 = 2. Sarebbe conveniente per il produttore
DettagliECONOMIA DEL LAVORO. Lezioni di maggio (testo: BORJAS) L offerta di lavoro
ECONOMIA DEL LAVORO Lezioni di maggio (testo: BORJAS) L offerta di lavoro Offerta di lavoro - Le preferenze del lavoratore Il luogo delle combinazioni di C e L che generano lo stesso livello di U (e.g.
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
DettagliESERCITAZIONE MATEMATICA FINANZIARIA OPZIONI. Matematica finanziaria Dott. Andrea Erdas Anno Accademico 2011/2012
ESERCITAZIONE MATEMATICA FINANZIARIA 1 OPZIONI 2 LE OPZIONI Le opzioni sono contratti che forniscono al detentore il diritto di acquistare o vendere una certa quantità del bene sottostante a una certa
DettagliEconomia Applicata ai sistemi produttivi. 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1
Economia Applicata ai sistemi produttivi 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1 Schema della lezione di oggi Argomento della lezione: il comportamento del consumatore. Gli economisti assumono che il
DettagliEsercitazione 9 Dott.ssa Sabrina Pedrini 29/04/2015. Domande a risposta multipla
Esercitazione 9 Dott.ssa Sabrina Pedrini 29/04/2015 Domande a risposta multipla 1) Il primo teorema dell economia del benessere sostiene che: a) L equilibrio competitivo dipende dal potere contrattuale
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
DettagliCapitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni
Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel
DettagliMarco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 12 Cfu - A.A. 2010/2011 1
Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 1 Esercitazione 1: 4/09/010 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: log a) f() = 5 ( 1). b) g() = log 3 (3 6) log 13.
DettagliLa teoria dell offerta
La teoria dell offerta Tecnologia e costi di produzione In questa lezione approfondiamo l analisi del comportamento delle imprese e quindi delle determinanti dell offerta. In particolare: è possibile individuare
Dettagli1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:
Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliIl mercato assicurativo: selezione avversa, fallimenti del mercato, menù di contratti, assicurazione obbligatoria
Il mercato assicurativo: selezione avversa, fallimenti del mercato, menù di contratti, assicurazione obbligatoria Esercizio 1 Ci sono 2000 individui ciascuno con funzione di utilità Von Neumann-Morgestern
DettagliMercati finanziari e valore degli investimenti
7 Mercati finanziari e valore degli investimenti Problemi teorici. Nei mercati finanziari vengono vendute e acquistate attività. Attraverso tali mercati i cambiamenti nella politica del governo e le altre
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliIl mercato di monopolio
Il monopolio Il mercato di monopolio Il monopolio è una struttura di mercato caratterizzata da 1. Un unico venditore di un prodotto non sostituibile. Non ci sono altre imprese che possano competere con
DettagliUniversità di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015
Università di Milano Bicocca Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza 14 Maggio 2015 Esercizio 1 Un agente presenta una funzione di utilitá u(x) = ln(1 + 6x). Egli dispone di un progetto incerto che
DettagliMetodi statistici per le ricerche di mercato
Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per
DettagliApplicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia
Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia La diversità tra gli agenti economici è alla base della nascita dell attività economica e, in generale, lo scambio di beni e servizi ha
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliLA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO. Giuseppe G. Santorsola 1
LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO Giuseppe G. Santorsola 1 Rendimento e rischio Rendimento e rischio di un singolo titolo Rendimento e rischio di un portafoglio Rendimento ex post Media aritmetica dei rendimenti
DettagliMetodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo
Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo 1 TEST D IPOTESI Partiamo da un esempio presente sul libro di testo.
DettagliScelta intertemporale: Consumo vs. risparmio
Scelta intertemporale: Consumo vs. risparmio Fino a questo punto abbiamo considerato solo modelli statici, cioè modelli che non hanno una dimensione temporale. In realtà i consumatori devono scegliere
DettagliLa distribuzione Normale. La distribuzione Normale
La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una
DettagliFunzioni. Parte prima. Daniele Serra
Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1
DettagliProbabilità discreta
Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che
DettagliMicroeconomia per la Finanza Esercitazione 1 utilità attesa, attitudine al rischio
Microeconomia per la Finanza Esercitazione 1 utilità attesa, attitudine al rischio pcrosetto@luiss.it 8 Aprile 2010 1. Che faremo? Dove torvare i materiali: queste slides: http://docenti.luiss.it/crosetto/;
DettagliStima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una
DettagliEsercitazione Microeconomia (CLEC L-Z) 24.04.2013 Dr. Rezart Hoxhaj
Esercitazione Microeconomia (CLEC L-Z) 24.04.2013 Dr. Rezart Hoxhaj Esercizi: Utilità attesa (Cap.6) Problema 11 (pagina 203, libro) Supponete di avere 10 000 euro da investire in Junk Bonds oppure titoli
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliMaster della filiera cereagricola. Impresa e mercati. Facoltà di Agraria Università di Teramo. Giovanni Di Bartolomeo Stefano Papa
Master della filiera cereagricola Giovanni Di Bartolomeo Stefano Papa Facoltà di Agraria Università di Teramo Impresa e mercati Parte prima L impresa L impresa e il suo problema economico L economia studia
DettagliVC-dimension: Esempio
VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio
Dettaglidella funzione obiettivo. Questo punto dovrebbe risultare chiaro se consideriamo una generica funzione:
Corso di laurea in Economia e finanza CLEF) Economia pubblica ************************************************************************************ Una nota elementare sulla ottimizzazione in presenza di
DettagliIndice. 1 La disoccupazione ---------------------------------------------------------------------------------------- 3. 2 di 6
INEGNAMENO DI EONOMIA OLIIA LEZIONE VIII IL EORE DELL OUAZIONE ROF. ALDO VAOLA Economia olitica Indice 1 La disoccupazione ----------------------------------------------------------------------------------------
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliLe preferenze e la scelta
Capitolo 3: Teoria del consumo Le preferenze e la scelta 1 Argomenti trattati in questo capitolo Usiamo le preferenze dei consumatori per costruire la funzione di domanda individuale e di mercato Studiamo
DettagliEsercizi svolti sui numeri complessi
Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =
DettagliLa Minimizzazione dei costi
La Minimizzazione dei costi Il nostro obiettivo è lo studio del comportamento di un impresa che massimizza il profitto sia in mercati concorrenziali che non concorrenziali. Ora vedremo la fase della minimizzazione
DettagliCapitolo 10 Z Elasticità della domanda
Capitolo 10 Z Elasticità della domanda Sommario Z 1. L elasticità della domanda rispetto al prezzo. - 2. La misura dell elasticità. - 3. I fattori determinanti l elasticità. - 4. L elasticità rispetto
DettagliAssicurazione e contratto assicurativo
Teoria dei giochi, A.A. 2002/03 c Fioravante Patrone 1 Assicurazione e contratto assicurativo Consideriamo il problema di assicurarsi contro un sinistro. Vediamo le ragioni per cui può verificarsi il fatto
DettagliRelazioni statistiche: regressione e correlazione
Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica
DettagliIndice. Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA
UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di pianificazione finanziaria A.a. 2003/2004 1 Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
DettagliEsercitazione relativa al cap. 10 INVESTIMENTI
Esercitazione relativa al cap. 10 INVESTIMENTI GLI INVESTIMENTI FINANZIARI SONO ACQUISTI DI ATTIVITA FINANZIARIE EFFETTUATE NELL ASPETTATIVA DI RICEVERNE UN RENDIMENTO. I PIU IMPORTANTI SONO: - I DEPOSITI
DettagliFunzioni. Funzioni /2
Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme
DettagliLa variabile casuale Binomiale
La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola
DettagliBlanchard, Macroeconomia Una prospettiva europea, Il Mulino 2011 Capitolo IV. I mercati finanziari. Capitolo IV. I mercati finanziari
Capitolo IV. I mercati finanziari 1. La domanda di moneta La moneta può essere usata per transazioni, ma non paga interessi. In realtà ci sono due tipi di moneta: il circolante, la moneta metallica e cartacea,
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
DettagliVINCERE AL BLACKJACK
VINCERE AL BLACKJACK Il BlackJack è un gioco di abilità e fortuna in cui il banco non può nulla, deve seguire incondizionatamente le regole del gioco. Il giocatore è invece posto continuamente di fronte
DettagliIl modello generale di commercio internazionale
Capitolo 6 Il modello generale di commercio internazionale [a.a. 2013/14] adattamento italiano di Novella Bottini (ulteriore adattamento di Giovanni Anania) 6-1 Struttura della presentazione Domanda e
DettagliI ricavi ed i costi di produzione
I ricavi ed i costi di produzione Supponiamo che le imprese cerchino di operare secondo comportamenti efficienti, cioè comportamenti che raggiungono i fini desiderati con mezzi minimi (o, che è la stessa
DettagliAspettative, consumo e investimento
Aspettative, consumo e investimento In questa lezione: Studiamo come le aspettative di reddito e ricchezza futuro determinano le decisioni di consumo e investimento degli individui. Studiamo cosa determina
DettagliModulo 2. Domanda aggregata e livello di produzione
Modulo 2 Domanda aggregata e livello di produzione Esercizio. In un sistema economico privo di settore pubblico, la funzione di consumo è: C = 200 + 0.8Y; gli investimenti sono I= 50. a) Qual è il livello
DettagliEsercitazione del 5/10/09
Esercitazione del 5/10/09 A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.it) Corso di Microeconomia, Docente Luigi Marattin 1 Esercizi. 1.1 Le curve di domanda e di offerta in un dato mercato sono date da:
Dettagli5 Risparmio e investimento nel lungo periodo
5 Risparmio e investimento nel lungo periodo 5.1 Il ruolo del mercato finanziario Il ruolo macroeconomico del sistema finanziario è quello di far affluire i fondi risparmiati ai soggetti che li spendono.
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliLezione 2: Teoria del commercio internazionale: Heckscher-Ohlin
Corso di Economia e Politica economica nei mercati globali S. Papa spapa@unite.it Lezione 2: Teoria del commercio internazionale: Heckscher-Ohlin Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo
DettagliEdited by Foxit PDF Editor Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 For Evaluation Only.
In un mercato del lavoro competitivo esistono due tipi di lavoratori, quelli con alta produttività L A, che producono per 30 $ l'ora, e quelli con bassa produttività, L B, che producono per 5 $ l'ora.
DettagliStatistiche campionarie
Statistiche campionarie Sul campione si possono calcolare le statistiche campionarie (come media campionaria, mediana campionaria, varianza campionaria,.) Le statistiche campionarie sono stimatori delle
Dettagli1. Distribuzioni campionarie
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie
DettagliEsercizio 1 Dato il gioco ({1, 2, 3}, v) con v funzione caratteristica tale che:
Teoria dei Giochi, Trento, 2004/05 c Fioravante Patrone 1 Teoria dei Giochi Corso di laurea specialistica: Decisioni economiche, impresa e responsabilità sociale, A.A. 2004/05 Soluzioni degli esercizi
DettagliIl sistema monetario
Il sistema monetario Premessa: in un sistema economico senza moneta il commercio richiede la doppia coincidenza dei desideri. L esistenza del denaro rende più facili gli scambi. Moneta: insieme di tutti
DettagliComplementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013
Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito
DettagliLe curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di pianificazione finanziaria da Markowitz al teorema della separazione e al CAPM Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz Markowitz
DettagliUn modello matematico di investimento ottimale
Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Investimento per un singolo agente
Dettagli= 8.000 + 2.000 = 5.000.
Esercizio 1 Consideriamo il mercato delle barche usate e supponiamo che esse possano essere di due tipi, di buona qualità e di cattiva qualità. Il valore di una barca di buona qualità è q = 8000, mentre
DettagliCURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.
CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f
DettagliIl concetto di valore medio in generale
Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo
DettagliGli input sono detti anche fattori di produzione: terra, capitale, lavoro, materie prime.
LA TECNOLOGIA Studio del comportamento dell impresa, soggetto a vincoli quando si compiono scelte. La tecnologia rientra tra vincoli naturali e si traduce nel fatto che solo alcuni modi di trasformare
DettagliCAPITOLO 8 LA VERIFICA D IPOTESI. I FONDAMENTI
VERO FALSO CAPITOLO 8 LA VERIFICA D IPOTESI. I FONDAMENTI 1. V F Un ipotesi statistica è un assunzione sulle caratteristiche di una o più variabili in una o più popolazioni 2. V F L ipotesi nulla unita
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016. 1. Esercizi: lezione 24/11/2015
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016 1. Esercizi: lezione 24/11/2015 Valutazioni di operazioni finanziarie Esercizio 1. Un operazione finanziaria
Dettagli