La teoria dell utilità attesa

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1 La teoria dell utilità attesa 1

2 La teoria dell utilità attesa In un contesto di certezza esiste un legame biunivoco tra azioni e conseguenze: ad ogni azione corrisponde una e una sola conseguenza, e viceversa. Le azioni possono essere perciò ordinate sulla base dell utilità delle conseguenze. In un contesto di incertezza a ciascuna azione corrispondono più conseguenze. La teoria dell utilità attesa consente di ordinare le azioni quando vi è incertezza. Essa si fonda su due elementi: 1. la probabilità attribuita a ciascuna conseguenza x i di verificarsi: p (x i ); 2. l utilità assegnata alle conseguenze: U(x i ). 2

3 L utilità attesa di un azione è data dalla media ponderata delle utilità delle conseguenze che discendono da quell azione con un peso pari alla probabilità che hanno di verificarsi: E[U(x)] = X U(x i )p(x i ) Il criterio dell utilità attesa generalizza il criterio del valore atteso E (x) = X x i p (x i ) Un gioco è equo se il guadagno atteso è nullo, ovvero se il prezzo (x 0 )chesi paga per partecipare al gioco è pari al valore atteso che ci aspetta di ottenere 3

4 dal gioco E (x) =x 0 Il paradosso di S. Pietroburgo mostra come le insufficienze del criterio del valore atteso siano dovute alla valutazione della somma in termini monetari. Il criterio dell utilità attesa rimuove questa insufficienza valutando le somme vinte in termini di utilità sicché la valutazione non è più lineare nei payoff (gli x i ). L utilità attesa continua a essere lineare nelle probabilità. 4

5 Lancio Esito Probabilità Somma vinta Utilità 1 1 T 2 ln (2) CT ln (2) 2 µ CCT ln (2) µ 1 n 1 n CC...C {z } T 1 2 n n ln (2) n µ =1 Utilità attesa = P i ln (2) = ln (4) 2i V alore atteso = P 2i 2 i = 5

6 Il teorema dell utilità attesa afferma che, se il comportamento individuale si conforma a certi assiomi, allora dire che un azione o una distribuzione di probabilità p è preferita ad un altra distribuzione q equivale a dire che ha un utilità attesa maggiore p  q X U (x i ) p (x i ) > X U (x i ) q (x i ) Gli assiomi su cui si fonda la teoria dell utilità attesa sono i seguenti: Completezza e coerenza. Tutte le distribuzioni possono essere ordinate e in questo ordinamento non vi è contraddizione: p º q oppure q º p o entrambe; se p º q e q º r allora p º r. 6

7 Monotonicità. Si preferiscono le distribuzioni che assegnano le conseguenze migliori con la probabilità più elevata: α δ m (1 α) δ p º β δ m (1 β) δ p seesoloseα β Continuità. Variando la probabilità assegnata alle conseguenze, mutano anche con continuità le preferenze: Esiste un α tale che r α δ m (1 α) δ p 7

8 Esempio Supponiamo che δ p = 0 e δ m = Qual è la probabilità α che rende l individuo indifferente tra ottenere 250 euro con certezza, δ x =250, e partecipare a un gioco in cui può ottenere 0 o 1000 euro con probabilità 1 α e α? Il grafico mostra il caso di un individuo in cui questa probabilità è 1 2. Perciò, u (x) =0.5.Formalmente, ovvero u (250) = 0.5u (1000) + 0.5u (0) = 0.5, ponendo u (1000) = 1 e u (0) = 0. Notare che il valore atteso del gioco è

9 w La funzione di utilità in questo caso è u (w) =. La funzione ordinale 1000 w viene cardinalizzata fissando l origine e l unità di misura. r 1. Quando w =0, anche w èugualea0.nessunamodifica è necessaria. 2. Quando w = 1000, l utilità deve essere pari a 1. Questo viene ottenuto normalizzando a 1 la ricchezza massima, dividendo cioè w per

10 Figura 1: 10

11 Supponiamo che un altro individuo consideri 125 euro con certezza equivalenti alla partecipazione al gioco precedente e quindi u (125) = 0.5 L individuo ritiene equivalente partecipare a un gioco il cui valore atteso è 500 o avere con certezza 125 euro: è perciò più avverso al rischio dell individuo prima visto. La funzione di utilità in questo caso è u (w) = µ w /3. 11

12 Figura 2: 12

13 Supponiamo che il primo individuo con funzione di utilità quadratica debba scegliere tra 250 euro con certezza e una distribuzione di probabilità in cui può ottenere con una probabilità del 10% 810 euro, con una probabilità del 50% una somma di 360 e con una probabilità del 40% una somma di 160 euro. Quale prospetto preferisce? Sappiamo che u (250) = 0.5. Sappiamo inoltre che u (810) = 0.9, u(360) = 0.6 e u (160) = 0.4. Quindi la seconda distribuzione di probabilità prevede di poter ottenere l esito migliore, 1000 euro, con probabilità 0.1 u (810) u (360) u (160) = =0.55 La seconda distribuzione è perciò preferibile. Ma perché possiamo sommare nel modo appena visto? 13

14 Indipendenza o sostituzione. Tra le distribuzioni di probabilità non esiste complementarità: p q α p (1 α) r α q (1 α) r Riduzione. Aifini del giudizio di preferenza conta soltanto la probabilità totale assegnata alle conseguenze e non come essa si forma. Per dimostrare il teorema dell utilità attesa, prendiamo in considerazione una distribuzione p che prevede solo due conseguenze certe, δ x1 e δ x2 : La dimostrazione richiede che p = p 1 δ x1 p 2 δ x2 E [U (p 1 δ x1 p 2 δ x2 )] = p 1 U (δ x1 )+p 2 U (δ x2 ) 14

15 L utilità attesa ha due proprietà: 1) è additiva nell utilità delle conseguenze e 2) lineare nelle probabilità. 1. Assioma di continuità. Ciascuna delle due conseguenze può essere riscritta in termini di δ m (la conseguenza migliore) e δ p (la conseguenza peggiore) δ x1 U (x 1 ) δ m (1 U (x 1 )) δ p δ x2 U (x 2 ) δ m (1 U (x 2 )) δ p 2. Assioma di indipendenza. Ciascuna delle conseguenze può essere sostituita nella 15

16 distribuzione originaria p = p 1 δ x1 p 2 δ x2 p 1 [U (x 1 ) δ m (1 U (x 1 )) δ p ] p 2 δ x2 p 1 [U (x 1 ) δ m (1 U (x 1 )) δ p ] p 2 [U (x 2 ) δ m (1 U (x 2 )) δ p ] 3. Assioma di riduzione. La distribuzione ottenuta può essere scritta in termini delle probabilità totali di δ m e δ p p 2X 1 p i U (x i ) δ m 1 2X 1 p i U (x i ) δ p 16

17 4. Assioma di continuità. P 2 1 p i U (x i ) rappresenta l utilità attribuita a p E [U (p)] = 2X 1 p i U (x i ) 5. Assioma di monotonicità. Tra due distribuzioni viene preferita quella che ha probabilità (utilità) più alta. 17

18 p U (x 1 ) p 1 Á δ x1 Á  Á δ p Á 1 U (x 1 ) δ m  U (x 2 )  δ m  Á δ x2 p 2  δ p 1 U (x 2 ) 18

19 Il teorema dell unicità afferma che una funzione di utilità U(x) rappresenta le preferenze allo stesso modo di una funzione di utilità V (x) se fra le due esiste una relazione lineare: V (x) =a + bu(x),conb>0. 19

20 La scelta in condizioni di certezza A ogni azione corrisponde una e una sola conseguenza. Esempio a c = F (a) 20

21 Insieme delle decisioni Insieme delle conseguenze a 2 c(a 2 ) a 3 c(a 3 ) a 1 c(a 1 ) Figura 3: 21

22 Esempio π (l) = p f (l) w l = p l w l, p =2, w =1 22

23 Insieme delle decisioni Insieme delle conseguenze 1 1 =1 π(l 1 )=1 1 2 =4 π(l 2 )=0 Figura 4: 23

24 La scelta in condizioni di incertezza A ogni azione corrispondono più conseguenze. Di qui le difficoltà di ordinamento in base alle funzioni di utilità tradizionali. Esempio (a, s) c = F (a, s) 24

25 Insieme delle decisioni Insieme delle conseguenze a 1 s 2 c(a 1,s 2 ) s 1 s 2 c(a 2,s 2 ) a 2 s 1 c(a 1,s 1 ) c(a 2,s 1 ) Figura 5: 25

26 Esempio: Incertezza e profitto L esempio che segue mostra nell ambito della teoria dell impresa che, in presenza di incertezza, il profitto non dipende solo dalle azioni poste in atto, il lavoro impiegato, ma anche dallo stato del mondo, nell esempio dal valore dello shock, che si verifica. 2 stati: s 1 = cattivo tempo, s 2 = bel tempo. Influenzano il prodotto attraverso un disturbo moltiplicativo. π (l, s) = p f (s, l) w l = p s l w l, p =2, w =1, s ( l, s = s1 l 2 l, s = s 2 26

27 Prendiamo in considerazione quattro valori possibili del profitto corrispondenti ai due livelli di impiego di lavoro (1 e 4) che massimizzano il profitto per i due valori dello shock (1 e 2). E importante osservare che non esiste il livello ottimo di impiego di lavoro, perché il profitto dipende anche dallo shock. Per esempio, se s =1conviene impiegare una quantità di lavoro pari a 1 (perché π (1, 1) = 1) enona4(perché π (4, 1) = 0). Viceversa, se s =2conviene impiegare una quantità di lavoro pari a 4(perchéπ (1, 2) = 3) e non a 1 (perché π (4, 2) = 4). Il grafico successivo illustra l andamento del profitto per tutti i valori di L e s. 27

28 Figura 6: Alle stessi conclusioni si giunge se guardiamo all uguaglianza tra prodotto marginale 28

29 del lavoro (indicato con d f (L)) nei due stati del mondo (s =1, 2) e salario reale dl ( w p ). Figura 7: 29

30 Non esiste perciò, come invece accade nel caso di certezza, un impiego ottimale di lavoro indipendentemente dallo stato del mondo. 30

31 Insieme delle decisioni Insieme delle conseguenze 1 1 =1 s 2 π(s 2,l 2 )=4 π(s 2,l 1 )=3 s 2 s =4 s 1 π(s 1,l 1 )=1 π(s 1,l 2 )=0 Figura 8: 31

32 Due modi di guardare all utilità attesa 1. Come scelta tra conseguenze che dipendono dallo stato, c = F (a, s). Scegliendo un azione, si sceglie una conseguenza per ciascuno stato del mondo. La conseguenza c viene interpretata come una variabile casuale, le cui realizzazioni sono stato contingenti. L utilità attesa è una funzione di utilità definita sui consumi contingenti E [U (c)] = E [U (c 1,c 2,,c n )].Nell esempio della tabella, si sceglie tra due variabili casuali: 32

33 c 1 = ³ c (a 1,s 1 ), c(a 1,s 2 ) e c 2 = ³ c (a 2,s 1 ) c (a 2,s 2 ). s 1 s 2 a 1 c (a 1,s 1 ) c (a 1,s 2 ) a 2 c (a 2,s 1 ) c (a 2,s 2 ) 33

34 Insieme delle decisioni bene nello stato 2 c(a 1,s 2 ) Insieme delle conseguenze a 1 c(a 2,s 2 ) a 2 c(a 1,s 1 ) c(a 2,s 1 ) bene nello stato 1 Figura 9: 34

35 2. Come scelta tra distribuzioni di probabilità Le conseguenze sono variabili casuali definite in questo caso da distribuzioni di probabilità. Scegliendo un azione, l individuo sceglie in effetti una distribuzione di probabilità. L utilità attesa è una funzione di utilità definita sulle probabilità. E [U (p)] = E [U (p 1,p 2,,p n )] Il postulato di indipendenza afferma che è possibile ordinare le distribuzioni secondo le preferenze guardando alle singole parti che le compongono. Il giudizio dipende solo dalle parti delle distribuzioni che sono diverse. Esempio 35

36 Supponiamo che le distribuzioni abbiano solo due conseguenze, c 1 e c 2. Se,pe q sono valutate allo stesso modo dal consumatore p q p p 1 c 1 p 2 c 2 q q 1 c 1 q 2 c 2 e r è un altra distribuzione definita in modo analogo, allora per l assioma di indipendenza le due distribuzioni che si ottengono combinando p e r da una parte e q e r dall altra sono anch esse indifferenti. α p (1 α) r α q (1 α) r αp 1 +(1 α) r 1 c 1 αq 1 +(1 α) r 1 c 1 αp 2 +(1 α) r 21 c 2 αq 2 +(1 α) r 1 c 2 36

37 Il postulato di indipendenza garantisce inoltre che le curve di indifferenza siano delle rette parallele. Esempio. Supponendo vi siano solo tre conseguenze (il supporto delle distribuzioni è costituito solo da tre conseguenze), si ha E (U) =p 1 U 1 + p 2 U 2 + p 3 U 3, con U 1 <U 2 <U 3 Poiché p 2 =1 p 1 p 3, possiamo scrivere l equazione di una curva di indifferenza, con E (U) =k, come E (U) =k =(U 1 U 2 ) p 1 +(U 3 U 2 ) p 3 + U 2 da cui p 3 = k U 2 U 3 U 2 U 1 U 2 U 3 U 2 p 1 37

38 p 3 1 curva di indifferenza utilità crescente 1 p 1 Figura 10: 38

39 Le curve di indifferenza sono delle rette perché, dall assioma di indipendenza, ogni distribuzione che si trova sul segmento che congiunge p con q, come 1 2 p 1 2 q, deve essere ritenuta indifferente. p q 1 2 p 1 2 q 1 2 q 1 2 q = q 39

40 p 3 1 ½ p+½ q p q 1 p 1 Figura 11: 40

41 1 ¼ p+¾ r p 3 r ¼ q+¾ r q p 1 p 1 Figura 12: 41

42 Le curve di indifferenza sono parallele perché, dall assioma di indipendenza, ogni distribuzione che si trova sul segmento che congiunge r con p oconq, come 1 2 p q, deve essere ritenuta indifferente. 1 2 p q 1 4 p 3 4 r 1 4 q 3 4 r Il paradosso di Allais Nel gioco proposto da Allais vi sono solo tre premi (conseguenze) 1 Premio 2 Premio 3 Premio 5ml. 1ml. 0ml. Il gioco consiste in una scelta effettuata in due stadi. 42

43 IStadio. La scelta viene effettuata tra le due distribuzioni a e b, definite come a 1ml. 1 b 5ml ml ml II Stadio. La scelta viene effettuata tra le due distribuzioni c e d, definite come c 1ml ml d 5ml ml

44 Un altra rappresentazione delle distribuzioni nel paradosso di Allais a b c d Se poniamo i tre premi come esiti di una distribuzione di probabilità, x 1 = 0, ³ x 2 =1e x 3 =5, allora le distribuzioni possono ³ essere rappresentate ³ come vettori p1 p 2 p 3 nel triangolo di Machina: a = 0 1 0,b= , c = ³ ,d= ³ Le quattro distribuzioni sono rappresentate nella figura seguente. 44

45 p 3 1 curve d'indifferenza 0.1 b c d a p 1 Figura 13: 45

46 Si noti che se a viene preferito a b (come nella figura), allora per il postulato di indipendenza c è preferito a d (vedi ancora la figura). Una dimostrazione formale è la seguente a  b U (1) > 0.1U (5) U (1) U (0) 0.11U (1) > 0.1U (5) U (0) = 0.1U (5) + +( ) U (0) 0.11U (1) U (0) > 0.1U (5) + 0.9U (0) c  d TretipidireazionialparadossodiAllais 46

47 1. (Savage) Normativa: gli errori vengono corretti. 2. Teoria del rimpianto (Regret T heory). Si sceglie a rispetto a b perché altrimenti si rimpiangerebbe la possibilità di aver tralasciato una vincita certa di 1ml. 3. (Machina) Teoria del disappunto. Si consideri la seguente struttura delle preferenze. Viaggio a Venezia Film su Venezia Stare a casa Se con queste preferenze ci viene proposto di scegliere tra un gioco in cui si può avere il viaggio a Venezia con il 99% di probabilità oppure guardare un film su Venezia con l 1% di probabilità e un gioco in cui si può avere il viaggio a 47

48 Venezia con il 99% di probabilità oppure stare a casa con l 1% di probabilità, la scelta cade sul primo gioco se si rispetta il postulato di indipendenza. Ma non è detto che questo sia l esito se ci si aspetta che nel caso non si ottenga il viaggio a Venezia i gusti cambieranno: il disappunto di non aver ottenuto il viaggio a Venezia potrebbe essere tale da generare il rifiuto di guardare un film su Venezia. Sia nella teoria del rimpianto che quella del disappunto danno luogo a complementarità perché si preoccupano di ciò che sarebbe potuto accadere. 48

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