MAPPA 8 FIGURE. Area dei poligoni e figure equivalenti. Misura dell estensione superficiale. Il metro quadrato. Figure equivalenti

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1 Misua de estensione supeficiae L aea è a misua de estensione supeficiae di una figua ispetto a unità di misua fissata. Indiciamo aea con a ettea. Esempio: R MPP 8 u 1 è aea de ettangoo R secondo unità di misua u. ea dei poigoni e figue equivaenti I meto quadato Ne sistema metico decimae unità di misua de estensione supeficiae è i meto quadato (m ) con i suoi mutipi e sottomutipi. mutipi km m m m dam 100 m meto quadato m sottomutipi dm 0,01 m cm 0,0001 m mm 0, m Figue equivaenti ue figue ce anno a stessa aea sono equivaenti: u 1 cm iteio di equivaenza dei poigoni Se due o più figue sono scomponiii in uno stesso numeo di pati ispettivamente conguenti, aoa sono equivaenti. 1 Peason Paavia uno Mondadoi spa

2 Mappa 8. ea dei poigoni e figue equivaenti ea di acuni poigoni Poigoni Fomue diette Fomue invese Rettangoo Paaeogamma Romo d 1 d 1 d d Quadato d d 1 d d 1 d d d 1 ( ) Tiangoo c a oppue p (p a) (p ) (p c) (appicando a fomua di Eone) Tapezio 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 Peason Paavia uno Mondadoi spa

3 MPP 9 I teoema di Pitagoa e e sue appicazioni Teoema di Pitagoa In un tiangoo ettangoo i quadato costuito su ipotenusa è equivaente aa somma dei quadati costuiti sui cateti: Q a Q Q c Q a ea di Q a a ea di Q a c ea di Q c c Q c c a Q La misua de ipotenusa La misua de ipotenusa di un tiangoo ettangoo è uguae aa adice quadata dea somma dei quadati dee misue dei cateti: a c La misua di un cateto La misua di un cateto di un tiangoo ettangoo è uguae aa adice quadata dea diffeenza ta i quadato dea misua de ipotenusa e i quadato dea misua de ato cateto: a c c a Tene pitagoice Una tena pitagoica è un insieme di te numei natuai c, e a ce veificano e eazioni: c a e c a. Tene pimitive e tene deivate Se una tena è fomata da numei pimi fa oo è detta tena pitagoica pimitiva. Esempio: e tene 3, 4, 5 5, 1, 13 8, 15, 17 sono tene pitagoice pimitive. Se si motipica una tena pitagoica pimitiva c,, a pe un numeo natuae n diveso da zeo, si ottiene ancoa una tena pitagoica, detta deivata. Esempio: motipicando ciascun numeo dea tena pimitiva 3, 4 e 5 pe 7 si ottiene: dove 1, 8 e 35 fomano una tena pitagoica deivata. 3 Peason Paavia uno Mondadoi spa

4 Mappa 9. I teoema di Pitagoa e e sue appicazioni ppicazioni de teoema di Pitagoa Rettangoi d d Quadati Tiangoi isoscei La diagonae divide i ettangoo in due tiangoi ettangoi conguenti. La diagonae divide i quadato in due tiangoi ettangoi isoscei conguenti. d d d d d 0, 01 ( 1,41) Tiangoi equiatei - H L atezza H, eativa aa ase, divide i tiangoo isoscee in due tiangoi ettangoi conguenti. H - L atezza divide i tiangoo equiateo in due tiangoi ettangoi conguenti , 01 (3 1,73) 3 Peason Paavia uno Mondadoi spa

5 Mappa 9. I teoema di Pitagoa e e sue appicazioni Tiangoi ettangoi con angoi paticoai Tiangoi ettangoi isoscei Un tiangoo ettangoo isoscee è a metà di un quadato di ato uguae a ognuno dei cateti. ipotenusa cateto cateto ipo tenusa Tiangoi ettangoi con angoi acuti di 30 e 60 Un tiangoo ettangoo con angoi acuti di 30 e 60 è a metà di un tiangoo equiateo di ato uguae a ipotenusa. cateto minoe ipote nusa cateto maggioe ipotenus a 3 ipotenusa (cateto maggioe ) Peason Paavia uno Mondadoi spa

6 MPP 10 La ciconfeenza e i poigoni inscitti e cicoscitti iconfeenza La ciconfeenza è una inea ciusa costituita da insieme dei punti de piano equidistanti da un punto fisso, detto cento. ecio I cecio è a pate di piano imitata da una ciconfeenza e costituita dai punti inteni o appatenenti aa ciconfeenza. ciconfeenza cento aggio cecio ci e code Un aco è una pate di ciconfeenza imitata da due suoi punti. La coda è i segmento ce unisce due punti dea ciconfeenza. La coda ce passa pe i cento dea ciconfeenza si ciama diameto. aco coda diameto iameto e aggio I diameto è conguente a doppio de aggio: d Popietà di aci e code ci conguenti di una stessa ciconfeenza sottendono code conguenti e vicevesa. La pependicoae condotta da cento dea ciconfeenza a una coda divide a coda in due segmenti conguenti. H 6 Peason Paavia uno Mondadoi spa

7 Mappa 10. La ciconfeenza e i poigoni inscitti e cicoscitti Posizioni ecipoce di una etta e una ciconfeenza Una etta ispetto a una ciconfeenza può essee: estena quando non a acun punto in comune con a ciconfeenza; tangente se a un soo punto in comune con a ciconfeenza; secante se a due punti in comune con a ciconfeenza. è estena a s è secante a s {, } p è tangente a p {H} H s p Posizioni ecipoce di due ciconfeenze ue ciconfeenze possono essee: Tangenti Intena una Estene Secanti estenamente intenamente a ata ngoi a cento e aa ciconfeenza Si ciama angoo a cento un angoo ce a i suo vetice ne cento di una ciconfeenza. Reazione ta angoi a cento e angoi aa ciconfeenza gni angoo aa ciconfeenza è a metà de coispondente angoo a cento. Si ciama angoo aa ciconfeenza un angoo ce a i suo vetice in un punto dea ciconfeenza e i suoi ati o entami secanti o uno tangente e uno secante. Esempio: ogni angoo aa ciconfeenza ce insiste su una semiciconfeenza è etto. 7 Peason Paavia uno Mondadoi spa

8 Mappa 10. La ciconfeenza e i poigoni inscitti e cicoscitti Poigoni inscitti in una ciconfeenza Un poigono è inscitto in una ciconfeenza quando tutti i suoi vetici sono punti dea ciconfeenza. E ondizioni di insciviiità Un poigono si può inscivee in una ciconfeenza se gi assi dei suoi ati si incontano tutti in uno stesso F punto (detto cicocento). gni tiangoo si può inscivee in E una ciconfeenza. cicocento Un quadiateo si può inscivee in una ciconfeenza soo quando e coppie di angoi opposti sono suppementai. Poigoni cicoscitti a una ciconfeenza Un poigono è cicoscitto a una ciconfeenza quando tutti i suoi ati sono tangenti aa ciconfeenza. I aggio dea ciconfeenza inscitta in un poigono è detto apotema de poigono. E apotema ondizioni di cicosciviiità Un poigono si può cicoscivee a una ciconfeenza E se e iset- incento tici dei suoi angoi si incontano tutte in uno stesso punto (detto incento). gni tiangoo si può cicoscivee a una ciconfeenza. Un quadiateo si può cicoscivee a una ciconfeenza soo quando a somma di due ati opposti è conguente aa somma degi ati due. Poigoni egoai gni poigono egoae si può inscivee e cicoscivee a due ciconfeenze concentice (intene con i centi coincidenti). Rappoto ta apotema e ato di un poigono egoae In un poigono egoae i appoto ta a misua (a) de apotema e a misua () de ato è costante e dipende unicamente da numeo dei ati. Tae vaoe viene ciamato numeo fisso (N). a N da cui a N a N a ea di un poigono egoae L aea di un poigono egoae si ottiene motipicando a misua de peimeto pe a misua de apotema e dividendo i podotto pe due: p a da cui p a a p 8 Peason Paavia uno Mondadoi spa

9 MPP 11 Le figue simii e omotetia oncetto di simiitudine La simiitudine è una tasfomazione geometica ta i punti di uno stesso piano ce mantiene costante i appoto ta segmenti coispondenti. I appoto ta ogni coppia di segmenti coispondenti di due figue simii F e F è costante ed è detto appoto di simiitudine. E F E F Poigoni egoai simii I poigoni egoai con o stesso numeo di ati sono simii. Poigoni simii ue poigoni sono simii se anno: gi angoi coispondenti conguenti; i ati coispondenti in popozione. 4 mm 3 mm P mm 10 1 mm 0 mm P 30 3 mm 40 mm 64 mm 30 itei di simiitudine fa tiangoi I citeio di simiitudine II citeio di simiitudine III citeio di simiitudine ue tiangoi sono simii ue tiangoi sono simii se ue tiangoi sono simii se gi angoi coispondenti anno in popozione due se anno i ati coispon- sono conguenti. coppie di ati coispondenti denti in popozione. e gi angoi fa essi compesi conguenti. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 9 Peason Paavia uno Mondadoi spa

10 Mappa 11. Le figue simii e omotetia Reazioni fa poigoni simii Rappoti Popozioni Peimeti In due poigoni simii i In due poigoni simii i peimeti stanno appoto ta i peimeti è fa oo come e misue di due ati uguae a appoto di coispondenti quasiasi: simiitudine: p k p p p quindi: p p k iagonai, In due poigoni simii i In due poigoni simii e misue di atezze, appoto ta eementi diagonai, atezze, mediane, apotemi mediane, coispondenti è uguae a coispondenti sono in popozione: apotemi... appoto di simiitudine d d... k d k, k... d ee In due poigoni simii i Le aee di due poigoni simii stanno ta appoto ta e aee è oo come i quadati dee misue di due uguae a quadato de ati coispondenti quasiasi o come i appoto di simiitudine: quadati dei due peimeti: k ( ) () (p ) (p) Pimo teoema di Eucide In un tiangoo ettangoo ogni cateto è medio popozionae ta ipotenusa e a poiezione de cateto stesso su ipotenusa. H e H H e H H Secondo teoema di Eucide In un tiangoo ettangoo atezza eativa a ipotenusa è media popozionae ta e poiezioni dei cateti su ipotenusa. H H H H H H H H 10 Peason Paavia uno Mondadoi spa

11 Mappa 11. Le figue simii e omotetia Ingandimenti e iduzioni La costuzione di poigoni simii Se una figua F deve essee tasfomata in una figua F nea simiitudine di appoto K: gi angoi coispondenti devono essee conguenti; i appoto ta i ati deve essee costante: K e K Quando K 1 F è idotta ispetto a F e K è detto di scaa di iduzione. Quando K 1 F è ingandita ispetto a F e K è detto di scaa di ingandimento. Quando K 1 e figue F e F sono conguenti. motetia dietta e omotetia invesa motetia Tasfomazione geometica ne piano in cui i punti coispondenti dee figue omotetice... F F dietta... si tovano sua stessa semietta di oigine ; F F invesa... si tovano su semiette opposte di oigine. F F 11 Peason Paavia uno Mondadoi spa