Elettrostatica. di Daniele Gasparri

Transcript

1 lettostatica di Daniele Gaspai Indice: - Legge di Coulomb - Sistema di caiche puntifomi 5 - Distibuzioni continue di caiche 7 - Il campo elettico - Flusso del campo elettico e legge di Gauss - Potenziale elettico 6 - Campo e potenziale pe distibuzioni continue di caiche 9 - Calcolo del campo elettico - Campo elettico pe alcune distibuzioni tipiche di caiche - negia immagazzinata nel campo elettico 3 - negia di una paticella in un campo elettostatico 3 - quazioni dell elettostatica 3 - La capacità 34 - Campo elettico nella mateia (micoscopicamente) 39 - Il dipolo elettico 4 - Momento tocente di un dipolo 44 - Molecole polai e non polai 46 - Campo elettico nella mateia (macoscopicamente) 5 - quazioni dell elettostatica con i dielettici 56 - I 3 vettoi elettostatici 57 - Coente elettica continua 58 - Legge di Ohm 6 - Legge di Ohm genealizzata 63 - Coenti stazionaie e consevazione della caica 64 - Alte leggi speimentali ed elementi cicuitali (cenni) 65 - Modello semplice di conduzione elettica nei metalli 67 - Limiti di validità della legge di Ohm 68 - Sommaio 69

2 Caiche elettiche e legge di Coulomb speimenti condotti su divesi mateiali, alcuni dei quali se stofinati a dei panni acquistano la capacità di attiae alti oggetti, poseo le basi pe lo sviluppo della teoia elettostatica, cioè dello studio dei fenomeni elettici costanti nel tempo (almeno su un ceto intevallo). Analogamente agli espeimenti di Galilei e Newton sul moto di oggetti in un campo gavitazionale, che sfociaono nella teoia delle gavitazione univesale, un pecoso simile fu intapeso pe i fenomeni elettostatici, compesi i isultati ottenuti. La mateia, in base al compotamento che assumeva negli espeimenti, fu divisa in due gandi famiglie: - i Conduttoi: sono mateiali pe lo più metallici che hanno la popietà di pedee la capacità di attae alti oggetti se vengono toccati e la acquistano semplicemente ponendo un metallo caico nelle loo vicinanze. Se definiamo una nuova quantità, detta caica, che iassume in qualche modo la capacità di un oggetto di attiane alti, possiamo notae come nei conduttoi questa popietà iesca a muovesi piuttosto libeamente: nei conduttoi la caica è libea. - Gli Isolanti: sono oggetti non metallici molto comuni, come plastica e veto; contaiamente ai metalli, stofinando un tale oggetto conto un panno di lana, e quindi caicandolo, si osseva che la caica esta concentata sull oggetto anche se lo si tocca con alti; negli isolanti la caica (o meglio, l eccesso di caica in questi casi) non è libea di muovesi. Gli espeimenti che manifestano il compotamento di tali oggetti e la divisione in queste due gandi famiglie, sono chiamati espeimenti di elettizzazione, peché quello che succede a livello macoscopico è che gli oggetti acquistano delle popietà che pima non avevano, spiegabili a livello micoscopico come tasfeimento di potatoi di caica (elettoni) da una pate all alta. Siccome la mateia a livello micoscopico è composta fondamentalmente da elettoni e potoni, la cui caica è bilanciata (almeno in pima appossimazione, in ealtà ciò non è veo: tutti i fenomeni di attito sono infatti dovuti all azione di caiche non del tutto compensate) dallo stesso numeo di potoni ed elettoni, la caica netta che si può sentie ad una distanza molto maggioe della distanza media ta le paticelle è paticamente zeo. Quando elettizziamo un oggetto come una bacchetta di veto o plastica, stofinandola ad un panno di lana, quello che facciamo è togliee o tasfeie elettoni alla bacchetta attaveso l azione di stofinio. A questo punto la caica totale non è più bilanciata e gli effetti si fanno sentie: la bacchetta attia sia isolanti (pezzettini di cata) sia conduttoi, anche se il pocesso che avviene è molto diveso. Nei conduttoi, nei quali la caica si muove libeamente (in ealtà sono solo gli elettoni e non i potoni a muovesi), avvicinando una bacchetta caicata positivamente avemo una migazione di elettoni (caichi negativamente) nella zona più vicina alla bacchetta; siccome la caica positiva attae quella negativa, il isultato netto (macoscopico) è l attazione dei due oggetti. Negli isolanti non abbiamo questa migazione ed essi vengono attiati peché l influenza della caica positiva della vicina bacchetta, defoma gli atomi del eticolo; in paticolae attae gli elettoni e espinge i potoni, con il isultato netto dell attazione (vedemo meglio in seguito). La caica quindi è una popietà della mateia, identificabile a livello micoscopico con le popietà di potoni ed elettoni; un suo eccesso poduce a livello macoscopico una foza attattiva o epulsiva ta due o più oggetti, la quale è invesamente popozionale al quadato della distanza. Siamo aivati alla legge di Coulomb: Supponiamo di pendee due caiche puntifomi (ad esempio due elettoni o due potoni) e di studiae la foza esecitata ta di loo. Lo stesso Coulomb, dopo q q molti espeimenti iuscì a dae l andamento della foza: F k ; la foza esecitata ta due caiche puntifomi (in paticolae la foza che la caica esecita sulla caica ) è un vettoe, la cui

3 diezione è data dal vettoe unitaio (vesoe) che congiunge la pima caica con la seconda. Tattandosi di una elazione vettoiale, dobbiamo stae attenti; q q - il modulo della foza è dato da F k, mente - la diezione è data dal vesoe ed è quindi congiungente le due caiche - Il veso è dato dal segno delle caiche, pendendo pe convenzione il segno + pe le caiche positive (potoni) e il segno pe quelle negative (elettoni). Ad esempio, due caiche uguali ma una positiva ( + ) e una negativa ( - ) poduanno una foza attattiva (segno negativo e veso dalla caica alla ), mente se di segno concode, poduanno una foza epulsiva (di segno positivo e veso dalla caica uscente in diezione opposta alla caica ), (in modo del tutto simile alla gavitazione; le foze attattive sono consideate negative, quelle epulsive positive). La fomula contiene, olte alla distanza, anche la caica, accennata fino ad oa solo in modo qualitativo. Possiamo definie meglio questa popietà della mateia secondo due divese definizioni (totalmente abitaie) ) la caica è la quata gandezza fondamentale della natua (olte alla lunghezza, alla massa e al tempo) e pe la quale possiamo definie un unità di misua abitaia. Questo iguada il sistema intenazionale di misua ( SI ) e possiamo definie l unità di misua della caica il 9 Coulomb, tale che l elettone ha caica : q e.6 C e quindi: q e 8 C 6.4 e. Detto questo, possiamo icavae le unità di misua pe la 9.6 F 3 costante k: [ ] [ ML Q ] k q ; da misuazioni effettuate, si è tovato: 9 k Nm / C 7 c (dove C sta pe Coulomb, e c pe la velocità della luce; 7 vedemo che la elazione k c non è un caso e pota ad impotantissime conseguenze). Questa costante può essee scitta anche in un alto modo, collegandola a popietà fisiche della mateia: k 4π, dove è detta costante dielettica del vuoto: C / Nm ; la legge di Coulomb, nel sistema intenazionale (SI), che icodiamo, appesenta l andamento della foza pe due caiche puntifomi, è data da: q q q q F k 4π (pe la teza legge di Newton icoda che vale: F F ) ) Nel sistema cgs (centimeto, gammo, secondo) si considea la caica come una gandezza deivata; si pone la costante k e dalla misua della foza esecitata si icava il valoe qq della caica: F q [ F ] / ues o Fanklin (ues sta pe unità elettostatica). Questi due metodi di pocedee sono entambi esatti, anche se pofondamente divesi; nelle pagine che seguono ci ifeiemo sempe al sistema intenazionale ( SI ) con solamente qualche cenno al sistema cgs. Andiamo oa ad esaminae quanto è fote questa foza; sappiamo infatti calcolala, abbiamo definito anche l unità di misua, il Coulomb, ma non siamo in gado di die se la foza è fote o no (non abbiamo metodi di paagone, alloa ceiamoli!): pendiamo paticelle atomiche, come un potone ed un elettone e paagoniamo l attazione elettostatica a quella gavitazionale (che coinvolge ogni q q m m copo dotato di massa): F e p e k, F e p G G e quindi: 3

4 F F e G ke k G e m m e p !!! La foza elettostatica ta due paticelle atomiche è volte maggioe di quella gavitazionale!! A livello macoscopico, (nella vita di tutti i gioni) la mateia è neuta e quindi la foza di gavità pevale su quella elettostatica; in ambienti astofisici, caatteizzati da plasmi, la mateia non è più neuta e gli effetti elettostatici diventano molto impotanti (ad esempio emissione di Bemstahlung); inolte, la foza elettostatica può essee sia attattiva che epulsiva e questo pemette di pote schemae una ceta caica cicondandola da caiche di segno opposto (sfea di Debye). Nonostante questa diffeenza d intensità, le due foze sono molto simili; entambe sono foze centali e vanno come ; entambe dipendono da paticolai popietà della mateia (massa pe la gavitazione e caica pe l elettostatica), ma le diffeenze sono comunque evidenti e degne di nota: - la foza di gavità è sempe attattiva; contaiamente alla foza elettostatica il cui veso è dato dal segno delle caiche, in natua non esistono masse negative e quindi il veso della foza non può cambiae. - Sappiamo che la massa ineziale è uguale (in valoe) alla massa gavitazionale, mente nulla di tutto questo succede pe le caiche elettiche. Nel caso della gavitazione, il moto di un satellite attono ad un pianeta non dipende dalla sua massa, mente analizzando un semplice modello atomico (atomo di Boh) non toviamo lo stesso andamento pe le caiche elettiche. Pe un satellite in obita attono alla Tea, applicando la legge di gavitazione univesale e la seconda legge di Newton (consideiamo solo i moduli dei vettoi), si ha:. msat M msatvsat GM F mv G vsat e la sua velocità non dipende dalla sua massa; pe un atomo di Boh in cui l elettone obita attono ad un potone, si ha invece:. qq mv e F mv k v ; la velocità obitale dipende dalla massa 4π m e 4

5 Sistemi di caiche puntifomi Il caso di più caiche puntifomi disposte nello spazio è la nomale evoluzione del nosto pocesso di conoscenza dei fenomeni elettostatici; quando ho più di due caiche, la legge di Coulomb continua natualmente a valee e pe essa vale il pincipio di sovapposizione: la foza che sente una caica dovuta alla pesenza di alte è la somma vettoiale delle foze podotte dalle singole caiche e si calcola consideando una paticella alla volta, tascuando le alte. estemamente impotante icodae che la foza è una gandezza vettoiale e come tale deve essee consideata nella somma. Geometicamente quindi, la foza isultante è abbastanza semplice da calcolae; pe un sistema di te caiche equidistanti si ha: Il metodo quantitativo pe tovae l intensità isultante è quello di scompoe in componenti le singole foze e lavoae su di loo (le quali si possono semplicemente sommae!). siste un alto appoccio pe descivee un sistema di caiche puntifomi (in quiete); nonostante attaveso la legge di Coulomb e il pincipio di sovapposizione si iesca a dae una descizione completa del sistema, il metodo non è molto patico peché bisogna lavoae con gandezze vettoiali; l appoccio enegetico invece, tamite la descizione del lavoo eseguito da un agente esteno, è molto più semplice peché abbiamo a che fae con quantità scalai. Analogamente pe quanto accade pe un sistema gavitazionale, un sistema di caiche è contaddistinto da una ceta enegia elettostatica (analogo dell enegia potenziale gavitazionale). Qualitativamente la pesenza di questa enegia si spiega con il fatto che un sistema di caiche, pe essee costuito ichiede enegia; la foza Coulombiana, che va come, si annulla solo all infinito e quindi pe mettee insieme un sistema di caiche devo fae lavoo (o subie lavoo) sul sistema; il fatto impotante da capie è che la pesenza di una configuazione stabile di caiche ichiede continuamente enegia, in modo da bilanciae pefettamente le foze coulombiane in gioco ed evitae al sistema di collassate e/o dispedesi. Pe tovae questa enegia, consideiamo popio il lavoo (cioè la foza moltiplicata pe lo spostamento che il copo compie in diezione paallela alla foza applicata) compiuto pe costuie un sistema di n caiche; questo lavoo (che alti non è che enegia) si itoveà nel sistema di caiche composto, in quanto l enegia si conseva (a meno di pocessi dissipativi che non consideiamo). Pe esempio, consideiamo un sistema di caiche tutte dello stesso segno; pe costuie e tenee unito un tale sistema, devo compiee del lavoo, cioè spendee enegia; infatti tali caiche si espingono e non c è veso di fale avvicinae da sole. Potei alloa costuie una specie di cintua egolabile, con attaccate le mie caiche e pe avvicinale le une alle alte devo stingee la cintua, cioè compiee lavoo. L enegia che ho speso pe costuie tale sistema non spaisce, ma si tasfeisce nel sistema stesso sottofoma di enegia potenziale, o in questo caso elettostatica; infatti se taglio la cintua che tiene unite le caiche, la loo enegia elettostatica si libea e le fa allontanae 5

6 velocemente le une dalle alte (essa si tasfoma in enegia cinetica, fose la foma di enegia più conceta da capie). Con caiche di segni divesi poste a distanze divese, il discoso non cambia; pe costuie il sistema devo sempe compiee lavoo. Consideo una caica isolata q, posta all oigine del mio sistema di ifeimento catesiano; consideo oa una caica q posta a gande distanza da q e la poto ad una distanza dalla pima caica; siccome devo vincee la foza coulombiana (attattiva o epulsiva) devo compiee lavoo: W F d q q k ( d ) (d ha segno negativo peché è contaio alla diezione assunta positiva pe il vettoe ; posso chiaamente invetie il sistema di ifeimento e cambiae segno a d; l impotante è icodae e capie che e d hanno segni discodi, qualunque ifeimento si penda); integando, toviamo: qq W kqq k. Il lavoo (uno scalae) dipende dal segno del vettoe F espesso mediante il segno delle caiche. Consideiamo oa una teza paticella ( q 3 ), e la potiamo dall infinito ad una distanza 3 ; siccome il mio sistema conta già due caiche, devo consideae il lavoo dovuto alla pesenza di entambe, che posso consideae in due distinti contibuti ( W,W 3 3 ) completamente indipendenti l uno dall alto e tovae il lavoo finale: qq3 qq3 W 3 W3 + W3 k + k. Posso oa definie l enegia potenziale del mio sistema: essa è il 3 3 lavoo totale che l agente esteno deve compiee pe assemblae un tale sistema di paticelle; l enegia potenziale è definita a meno di una costante; in questo caso è utile consideae l enegia qq3 qq qq3 potenziale nulla a distanza infinita e tovae: U k + k + k ; pe un sistema composto da n paticelle si ha: U N N i j i qiq k ij j 3 3 dove il fattoe ½ è stato intodotto peché ogni coppia con questa doppia sommatoia si conta due volte. Quindi, possiamo concludee con alcune impotanti consideazioni: - se l agente esteno compie lavoo positivo nel collocae le caiche, significa che il veso della foza F è positivo e quindi essa è epulsiva; l agente esteno spende enegia pe agguppae paticelle che altimenti si allontaneebbeo le une dalle alte e l enegia potenziale è positiva (il sistema non è legato, ma tende a dispedesi) - se l agente compie lavoo negativo, significa che la foza F è attattiva e che pe compoe il sistema l agente deve fae in modo di tenee sepaate le caiche che tendono ad unisi e l enegia potenziale isulta negativa (il sistema è legato e tende a estae unito). 6

7 Distibuzioni continue di caiche Fino ad oa abbiamo visto solo casi in cui le caiche venivano consideate puntifomi; questa è chiaamente un astazione e nella ealtà non esistono caiche puntifomi. Sebbene paticelle elementai come gli elettoni possono effettivamente essee consideate con successo caiche puntifomi peché moto più piccole delle dimensioni scala di ogni poblema, non sempe questo è possibile, sopattutto nell analisi di sistemi macoscopici. Un disco di feo caico non può essee consideato puntifome, così come una bacchetta caica o qualsiasi oggetto della vita di tutti i gioni. La legge di Coulomb non si applica a questi oggetti e d alta pate è ciò può essee giustificato; consideiamo ad esempio un sottile disco unifomemente caico e poniamo una caica esploativa unitaia nelle zone ad esso adiacenti pe misuae la foza che essa sente. Il suo andamento e la sua intensità non sono più date dalla elazione di Coulomb; ad esempio la foza lungo un bodo è minoe di quella sull asse del disco alla stessa distanza da esso; e al cento del disco cosa sento? Ho caica elettica in tutte le diezioni della sua supeficie, quale saà la foza netta? Pe studiae il caso di tali copi continui, possiamo semplicemente suddivideli in tante piccole celle abbastanza piccole da pote essee tattate come sogenti puntifomi, pe le quali vale la legge di Coulomb e poi sommae i contibuti di tutte le n cellette pe ottenee l andamento globale della foza, supposta come fomata da n contibuti coulombiani infinitesimi. Possiamo consideae che la caica su questi copi estesi sia spapagliata in modo unifome e che ci toviamo di fonte ad una disposizione continua. Il metodo da seguie è semplice; consideo un copo di caica globale q, e lo suddivido in celle infinitesime di caica dq. Se l elemento ha un volume infinitesimo dv e una densità di caica costante ρ alloa la caica del volumetto infinitesimo saà data da: dq ρ dv. Analogamente se stiamo palando di un disco, avemo, invece di un volume, una supeficie infinitesima da e una densità di caica supeficiale σ tale che: dq σ da ; se l elemento si considea ad una sola dimensione (ad esempio un filo lungo) alloa si paleà di lunghezza infinitesima dx e densità lineae di caica λ tale che: dq λ dx. Supponiamo di essee in quest ultimo caso; un filo lungo e ettilineo di caica q globale; esso viene scomposto in pezzettini infinitesimi di caica dq λ dx ; se la caica è distibuita unifomemente, alloa la densità lineae saà costante: λ const e la caica totale è data semplicemente da: q λ dx λ L ; analogamente lo stesso agionamento si ha pe L caica distibuita su una supeficie e su un volume. L elemento di caica dq possiamo tattalo come puntifome, pe il quale vale quindi la legge di coulomb e possiamo tovae la foza esecitata da tale elemento su una caica puntifome geneica esploativa q (icoda infatti che la elazione di Coulomb da la foza esecitata da una caica su un alta e quindi devo sempe avee almeno due caiche, altimenti non misuo alcuna foza; vedemo più avanti che pe evitae la dipendenza da un alta caica e pe fa assumee un caattee del tutto geneale alle popietà elettostatiche delle caiche, intoduemo il concetto di campo elettico). Il modulo della foza elementae saà data da: dq q df e la diezione e il veso sono dati da consideazioni sulle posizioni ecipoche 4π delle due caiche e dal loo segno e tovae il vettoe foza infinitesima ( d F ). Integando, cioè sommando il contibuto di tutte le singole d F su tutti gli elementi dq, tovo la foza totale esecitata dal copo su una caica puntifome di pova q : F d F ; essendo un vettoe, dobbiamo Fx dfx lavoae sulle singole componenti: Fy dfy ; putoppo il pocedimento, olte ad essee lungo, F z dfz 7

8 non sempe si può attuae, peché la isoluzione degli integali non sempe è fattibile, peché dipende in ultima analisi dalla foma della supeficie (o volume o lunghezza) del copo in esame, che può essee qualunque. Con oppotune configuazioni e consideazioni di simmetia possiamo ottenee comunque dei isultati inteessanti: filo sottile di lunghezza L: Il filo ha lunghezza L e densità di caica lineae λ ; la caica di pova q sulla quale dobbiamo calcolae la foza è posta sull asse y (nomale alla bacchetta e nella sua posizione media). Pocediamo come abbiamo accennato in pecedenza; dopo ave scelto il sistema di ifeimento, scomponiamo la bacchetta in piccoli tatti di lunghezza dz dotati di caica elementae dq, tali da potesi consideae puntifomi e pote applicae pe ognuno di essi la legge di Coulomb. La densità di caica è supposta costante e quindi pe un pezzettino elementae di bacchetta si ha: qdq dq λ dz, e la foza (il modulo) che la caica q sente dovuta a dq è: df ; è chiao 4π che dobbiamo tovae anche la diezione e il veso del vettoe d F ; nella figua sono mostate le due componenti dfz e df y mente non abbiamo alcuna componente x. Pima di pocedee nel nosto pocedimento è bene analizzae la geometia del sistema pe vedee se si possono fae delle semplificazioni. Infatti a questo punto dovemmo scompoe il vettoe d F nelle due componenti e pe ognuna di esse dobbiamo calcolae il modulo su tutta la bacchetta (integando). Se facciamo peò il pocedimento mentale di scompoe la bacchetta in tanti pezzetti dq possiamo notae che esiste una simmetia ispetto all asse y. Tutti i pezzetti dq che si tovano su z positivi hanno la componente dfz oientata veso il basso, mente tutti i pezzetti a z negativi hanno componenti df z oientati veso l alto; siccome l asse y si tova esattamente nel punto medio della bacchetta, isulta evidente che ogni componente df z si elimina con la componente dfz. L unica componente della foza è solamente sull asse y: df y ; limitiamoci a qdq calcolae quest ultima: La componente è data da: df y df cosθ cosθ. Da 4π y semplici consideazioni geometiche: y + z, cos θ e icodando che dq λ dz si ha: qλ dz y df y 4 ; oa dobbiamo sommae su tutti i tatti dz : π y + z y + z 8

9 F y df y 4π q λ y + L / dz 3 / L / ( y + z ) ; questo integale è facile da isolvee e il isultato è: qq F y 4 ; questa è la foza che la caica q sente nel punto in cui si tova, e il π y y + L / 4 suo andamento è molto diveso a quello della legge di Coulomb pe caiche puntifomi! Possiamo peò scopie con sopesa che se ci allontaniamo dalla bacchetta, ad una distanza qq y > > L la fomula si appossima a: F y che è popio la legge di Coulomb! 4π y Pe alti oggetti si pocede allo stesso modo della baetta appena vista; la difficoltà di questo metodo è quella di isolvee l integale; questo può essee fatto in patica solo pe oggetti la cui foma sia descivibile da elazioni matematiche semplici ed esatte, altimenti non è possibile isolvee esattamente l integale e ci si deve accontentae di metodi analitici e/o appossimati. Vedemo il caso di alti oggetti paticolai dopo ave intodotto la nozione di campo elettico e la legge di Gauss. 9

10 Campo elettico Abbiamo visto, attaveso la legge di Coulomb, come una caica iesca a fa sentie la sua pesenza su di un alto oggetto caico qualsiasi; la foza esecitata dipende sia da chi la poduce che da chi la sente e la sua intensità vaia a seconda di chi la sente. Ai fini patici, è utile descivee in qualche modo la popietà che una caica ha di modificae lo spazio e fa sentie la sua pesenza sugli oggetti, a pescindee dall oggetto che la sente; questa popietà, che pescinde dagli oggetti su cui agisce la foza di Coulomb, è chiamata campo elettico. Il campo elettico è una egione di spazio in d F ogni punto del quale è definito un vettoe campo elettico nel seguente modo: ; il campo dq elettico è cioè la deivata della foza ispetto alla caica che la sente; esso, pe una caica q puntifome è quindi definito come:. Come possiamo vedee l espessione è uguale 4π alla foza di Coulomb, solamente che quest ultima è definita pe come agisce su un alta caica, mente il campo elettico è definito pe una caica e ne descive le sue popietà. Il campo elettico è un vettoe e pe esso vale il pincipio di sovapposizione: il campo geneato da q j n caiche puntifomi è la somma algebica dei singoli campi: TOT k j. Se la foza di Coulomb si calcola su una caica q che occupa una ceta posizione, il campo elettico si calcola pe un geneico punto P la cui distanza dalla caica sia. sso è una popietà dello spazio dovuta alla pesenza di caiche (puntifomi in questo caso) ed è caatteizzato dalle linee di foza, linee la cui tangente in ogni punto ha la stessa diezione e veso del campo. Dato il legame ta campo e foza esecitata su una caica, dalla conoscenza del campo podotto da un copo qualsiasi in ogni punto dello spazio, posso deivae facilmente la foza sentita da una geneica caica puntifome: F q : indipendentemente da come è stato geneato, conoscendo il campo elettico iesco a conoscee tutto di quella zona di spazio e quindi conosco tutto dello stato e del compotamento di un geneico sistema fisico. Studiae i fenomeni elettostatici significa infatti iuscie a definie completamente un sistema; esso è completamente definito se in ogni punto possiamo conoscee il campo elettico isultante e quindi possiamo isalie alle foze in gioco ta le paticelle. Le linee di foza del campo elettico esistono davveo e non sono sei semplici atifici fisicomatematici e si possono facilmente mettee in evidenza attaveso semplici espeienze: j ij

11 Pe descivele completamente, sono ichieste delle convenzioni, spiegate nella seguente figua: - Le linee di foza escono da caiche positive ed entano nelle caiche negative - Le linee di foza non si incociano mai - Il vettoe campo elettico è definito in ogni punto come la tangente alle linee di foza - La loo densità o meglio il numeo di esse che attavesa una supeficie a loo pependicolae è popozionale all intensità del campo elettico geneato. - Le linee di foza geneate da una caica puntifome isolata sono delle semiette che patono dal suo cento e si popagano in diezione adiale e isotopa - Due caiche vicine, una positiva e una negativa, fomano un dipolo elettico e le linee di foza sono appesentate dalla figua b - Le figue c e d appesentano casi più complessi di distibuzione continua di caica che vedemo molto pesto. Le unità di misua del campo elettico si deivano dalla elazione vettoiale: d F che da: dq F - SI : [ ] [ MLT Q ] N / C q F F - Cgs : [ ] Dyne / Fanklin / q F La popietà sottolineata in gassetto è molto impotante e ci pota a definie una gandezza che ci saà molto utile sopattutto negli esecizi:

12 Il flusso del campo elettico Il numeo delle linee di foza è popozionale all intensità del campo elettico; se pendo delle supefici fissate con la stessa oientazione ispetto al campo elettico (pependicolae ad esso) questa condizione è veificata; ad un campo maggioe coispondono più linee di foza che attavesano la mia supeficie. La misua di quante linee di foza entano in una supeficie pependicolae ad esse è quindi una misua che può fonici infomazioni diette sull intensità del campo elettico in quel punto. Questa gandezza è nota con il nome di flusso e appesenta in geneale la quantità di mateia che ogni secondo fluisce attaveso una ceta supeficie abitaia; l oientazione della supeficie è fondamentale; Se la supeficie è paallela alle linee di foza non avò flusso, mente esso saà massimo se essa è pependicolae alle linee di foza. facile vedee dalla figua che quando ho una supeficie inclinata di un ceto angolo, l aea che ealmente iesce ad intecettae le linee di foza è data dalla poiezione pependicolae alle linee di foza. Possiamo oa definie finalmente il flusso del campo elettico in temini matematici, consideando la quantità di mateia che attavesa una geneica supeficie chiusa pependicolae al campo stesso: Φ nds, dove n è il vesoe che appesenta la nomale alla supeficie, il cui S veso è sempe uscente da essa. La difficoltà del calcolo del flusso, se assumiamo il campo costante, è data dalla foma geometica della supeficie che consideo; siccome la scelta della supeficie è totalmente abitaia, dobbiamo fae in modo di tovane di semplici, la cui aea è facile da calcolae. Pe capie meglio il concetto di flusso, vediamo alcuni esempi: - flusso del campo dovuto ad una caica puntifome attaveso una supeficie chiusa che non contiene la caica: Il campo di una caica puntifome positiva è il seguente:

13 Calcoliamo il flusso attaveso una supeficie chiusa che non contiene la caica; scegliamo una supeficie semplice da descivee e che pota a qualche semplificazione: La supeficie scelta è un tonco di cono, con due basi (a e b, coloate in azzuo) e la supeficie lateale (coloata in giallo). Pe calcolae il flusso del campo elettico attaveso questa supeficie chiusa, calcoliamolo pe tutte le supefici apete e poi facciamo semplicemente la somma algebica. - il flusso attaveso la faccia lateale è zeo; infatti: Φ nds cosθ ds e cos θ, dove θ è l angolo ta la nomale alla supeficie e il campo elettico (9 in questo caso) - il flusso attaveso la supeficie a e b è diveso da zeo, ma la somma è comunque zeo; le due supefici infatti cescono come mente il campo elettico decesce dello stesso fattoe (icoda l espessione del campo pe una caica puntifome) e quindi la somma algebica è zeo. Matematicamente possiamo calcolae i flussi e vedee che essi sono uguali e di segno opposto (il segno è dato dall oientazione ta nomale e il vettoe campo elettico qπ a qπ b ): Φ a + Φ b a b 4π a 4π b Il flusso netto attaveso la supeficie è zeo; questo isultato non deve stupie, ma essee una confema; è chiao guadando l immagine che tante linee di foza entano nella supeficie quante ne escono e quindi non c è un flusso netto. Nonostante abbiamo peso una supeficie non qualsiasi, il isultato vale in geneale (e a pensaci bene la cosa ha un senso!): il flusso attaveso qualsiasi supeficie chiusa che non contenga caiche (cioè sogenti ( + ) o pozzi ( - ) di campo) è sempe nullo. Non lo è se pendo una supeficie non chiusa, come pe le singole facce del tonco di cono appena visto, ma quando la supeficie è chiusa il flusso netto è sempe zeo: tante linee di foza entano quante ne escono. S S 3

14 Se invece consideo una supeficie chiusa che contiene la mia caica, supposta in questo caso puntifome, le cose evidentemente cambiano: il flusso netto non può più essee nullo peché all inteno della supeficie ho una sogente di campo elettico. Consideiamo quindi una caica puntifome +q e una supeficie chiusa qualsiasi che contona la caica ( S ) e vogliamo calcolae il flusso attaveso questa supeficie: Il flusso saà dato da: Φ nds ; tuttavia abbiamo non pochi poblemi nel isolvee questo S integale; infatti: - il campo elettico non è costante lungo tutta la supeficie e quindi dobbiamo tovae un espessione matematica che mi dice come esso vaia con la distanza dal cento ( () ) - la supeficie stessa non ha una foma egolae e, ammettendo (eoneamente) che il campo fosse costante e si potesse potae fuoi dall integale, esso saebbe comunque iisolvibile. Dobbiamo tovae un tucco pe pote calcolae il flusso attaveso supefici qualsiasi, altimenti la sua utilità è paticamente nulla ai fini della isoluzione dei poblemi. Con un po di astuzia, possiamo notae che il flusso netto saebbe lo stesso se consideo un alta supeficie egolae, a mia scelta: in questo caso una supeficie sfeica intena ad S saebbe ideale: La supeficie S è molto utile peché: - essa ha simmetia sfeica, e siccome il campo elettico ha simmetia adiale, esso è costante su ogni punto della ciconfeenza 4

15 - Il campo è sempe pependicolae alla supeficie e quindi il podotto scalae nds si iduce ad un podotto semplice ds - L integale si isolve immediatamente e quindi il flusso attaveso tale supeficie ( S ) è: Φ nds ds ds 4π. S S S Sappiamo che il flusso appena calcolato è uguale a quello della geneica supeficie S e quindi: q q nds ds ds 4π 4π ; abbiamo tovato un isultato 4π S S S impotantissimo: Il flusso del campo elettico attaveso una qualsiasi supeficie chiusa che q contiene una ceta caica netta è dato da: Φ nds dove q è la caica netta contenuta nella supeficie S. Questa è chiamata legge di Gauss ed è molto impotante pe tovae il (modulo del) campo elettico di oggetti che hanno una ceta simmetia (se non c è caica contenuta in S alloa il flusso è zeo). chiao infatti che la scelta della supeficie sulla quale applicae la legge di Gauss è di fondamentale impotanza nella isoluzione dell integale e quindi nel calcolo del campo elettico. La legge ci pemette di calcolae solamente il modulo del campo; indicazioni su diezione e veso devono venie da consideazioni sulla geometia del sistema consideato. La legge di Gauss è un isultato del tutto geneale, più geneale della stessa legge di Coulomb la quale è valida soltanto pe caiche puntifomi; in effetti applicando la legge di Gauss a tali caiche, otteniamo popio la legge di Coulomb: abbiamo appena visto che pe una caica puntifome il flusso attaveso una supeficie sfeica è semplice da calcolae e ci da il campo alla distanza dalla q q caica: Φ nds 4π che è popio il campo podotto da una 4π Sphee caica puntifome; siccome sappiamo che la foza (il modulo) è data da: qq F q che è popio la legge di Coulomb! 4π S F q alloa: Consideando le elazioni ta la costante k e la costante dielettica del vuoto la legge di Gauss può essee scitta consideando sia che k: q Φ nds 4π kq S ispettivamente pe caica contenuta in S e non. Φ nds S 5

16 Potenziale elettico: Pecedentemente, palando di foza di Coulomb, abbiamo cominciato con due caiche puntifomi, allagato il sistema a n caiche (pincipio di sovapposizione) e da esso abbiamo calcolato anche l enegia potenziale (elettostatica) usando la definizione di lavoo. La foza elettostatica è consevativa e quindi abbiamo potuto definie un enegia potenziale. df Il campo elettico è molto simile alla foza elettostatica (come già visto):. Possiamo dq quindi affontate lo stesso pecoso intapeso pe la foza coulombiana con qualche vaiazione sui significati fisici. Consideo una egione di spazio in cui è pesente un campo elettico causato da una caica puntifome e calcoliamoci il lavoo necessaio pe potae una caica unitaia di pova da un punto geneico ( a ) ad un alto punto geneico ( b ), Il lavoo elementae che dobbiamo fae pe spostae di un tatto dl una caica sottoposta alla foza coulombiana F è dato da: dw F dl ma F q e quindi: dw q dl. Il lavoo dipende dalla caica immesa nel campo elettico e da una quantità fissa che dipende dalle popietà dello spazio e non dal valoe della caica che sposto di un tatto dl; questa quantità, analogamente al campo che è una quantità geneale icavata dalla foza ta due caiche, è una gandezza impotante che descive le popietà dello spazio indipendentemente dalla caica che uso pe misuale. A tale quantità, cambiata di segno, si da il nome di potenziale elettostatico (non è l enegia potenziale, ma il potenziale!): dϕ dl dove dl è un tatto infinitesimo supposto lineae. Se ho un pecoso geneico ta posizioni e, il potenziale ta i due punti è dato integando: ϕ ϕ dl ; il lavoo fatto saà alloa dato da: W q( ϕ ϕ ), da cui: ϕ ϕ W q : la diffeenza di potenziale ta due punti non è alto che il lavoo fatto pe unità di caica, cambiato di segno. Si potebbe obiettae che la isoluzione dell integale non è poi così immediata; infatti non abbiamo fatto alcuna consideazione sul pecoso eseguito dal punto al punto ; potebbe essee una etta o una cuva stana e totuosa la cui lunghezza complessiva sia ad esempio volte maggioe del pecoso ettilineo. Come succede in dinamica pe la foza gavitazionale, anche la foza elettostatica, in paticolae il più geneico campo elettostatico, gode di un impotantissima popietà che abbiamo già accennato: essa è consevativa. Cosa significa che una foza o un campo sono consevativi? Significa che il lavoo fatto pe potae un qualsiasi copo (caica nel nosto caso) da un punto ad un alto dello spazio in cui si tova un campo (elettico nel nosto caso) non dipende dal pecoso scelto, ma solamente dagli estemi. Questo significa che posso andae dal punto al punto lungo una etta o lungo qualsiasi alta cuva di divesa lunghezza complessiva, ma avò fatto sempe lo stesso lavoo! Dimostiamo quanto detto, pe il nosto caso del campo elettico: consideiamo una caica +q che poduce un campo elettico nello spazio cicostante, e pendo una caica di pova con la quale effettuae le mie misuazioni; tale caica la consideo unitaia, così non avò nessuna dipendenza delle gandezze in gioco dall oggetto che uso pe fae le misuazioni; devo spostae la mia caica da un punto geneico ( a ) ad un alto ( b ) e voglio calcolae il lavoo necessaio attaveso due pecosi divesi, con gli stessi estemi: ) Il pimo pecoso è il più semplice: 6

17 Vado da a a b passando pe il punto a attaveso un aco di ciconfeenza (di aggio uguale alla distanza ta la caica +q e il punto a e a ) e poi da a a b attaveso una etta paallela alle linee di foza del campo. Calcoliamo quindi il lavoo complessivo (pe unità di caica) da a a b scomponendolo in questi due tatti. Vista l uguaglianza ta lavoo e potenziale, possiamo consideae diettamente un lavoo cambiato di segno (cioè il potenziale, che chiamiamo lavoo in questo caso, anche se eoneamente, pe dimostae la consevatività): b a b W dl dl + dl, ma lungo il tatto di ciconfeenza, pe ogni punto a a a abbiamo dl W ; il lavoo è dato solamente dal tatto ettilineo paallelo alle aa linee di foza del campo: W b dl a q b q b a 4π a 4π 4π q b ) scegliamo oa un pecoso diveso: qualsiasi pecoso si può scompoe in componenti: una paallela alle linee di campo e una pependicolae; ad esempio un tale pecoso: a I tatti di ciconfeenza sono tutti pependicolai al campo elettico e quindi il lavoo è nullo; solamente i tatti paalleli alle linee di foza hanno contano, e pe essi il lavoo non è nullo.; d alta pate è facile capie che la somma di n tatti lineai della figua, poduce un pecoso uguale al tatto ettilineo a b della pecedente, e il lavoo è quindi lo stesso. Abbiamo appena dimostato che il lavoo che un agente esteno deve fae su una caica puntifome immesa in un campo elettico non dipende dal pecoso scelto ma solo dagli estemi: il campo elettico è consevativo e pe esso possiamo definie una funzione chiamata potenziale che è il lavoo compiuto da a a b cambiato di segno (paticamente quello che abbiamo consideato fino ad oa, visto che abbiamo cambiato il segno al lavoo). Il potenziale è definito sempe a meno di una costante; saebbe infatti più appopiato palae di diffeenza di potenziale (analogamente al 7

18 potenziale gavitazionale e all enegia potenziale i geneale che è il potenziale geneico moltiplicato la caica o la massa a seconda dei casi elettostatico o gavitazionale). Il potenziale dovuto alla pesenza di una caica puntifome (che si calcola su come agisce su una mia caica di pova unitaia) è dato semplicemente da: q d q ϕ ϕ dl e in geneale si ha: ϕ k + const. Se taiamo la nosta costante 4π come zeo pe il potenziale posto a distanza infinita, alloa possiamo scivee pe una caica q puntifome: ϕ k con ϕ. Dall analisi dimensionale è facile icavae le unità di misua del potenziale: siccome ϕ alloa: - W SI: ϕ [ ML T Q ] q J / C Volt( V ) - Cgs: ϕ W q eg / Fanklik Statvolt La elazione ta i due sistemi è: Statvolt 3V. Se consideiamo le espessioni del potenziale e del campo elettico podotto da una caica q q puntifome, vediamo che c è un impotante elazione: k e ϕ k (con ϕ ); infatti è facile vedee che: ϕ ; questa elazione è molto impotante; supponiamo infatti di non consideae un ifeimento a simmetia sfeica, ma un geneale ifeimento catesiano ( x, y, z ); la coodinata si scompoà nelle te componenti x, y, z. Consideiamo solamente la componente X, e sciviamo la diffeenza di potenziale pe un incemento x : ϕ [ ϕ ( x + x, y, z ) ϕ ( x, y, z ) ] W x x (dalla definizione; la diffeenza di potenziale è il lavoo ϕ cambiato di segno ta due punti), la quale può essee scitta come: W x x x ; d alta pate, il x lavoo ta x e x + x è dato da: Wx x dl x ϕ, e quindi si ha: x x e quindi: x x ϕ. Se ipetiamo lo stesso pocedimento pe le alte componenti ( y, z ) otteniamo la x elazione geneale: ϕ Appae evidente anche in questo caso che conoscendo il potenziale, con te semplici deivate sono in gado di icavae il campo elettico. Siccome tutte le deivate si possono isolvee (al contaio degli integali), la conoscenza del potenziale è una via altenativa pe il calcolo semplice ed esatto del campo elettico. W q 8

19 Distibuzioni continue di caiche Il passo successivo, come è successo pe la foza di Coulomb, è di estendee il discodo a distibuzioni continue di caiche, che immaginiamo composte da tanti elementi infinitesimi di caica, tali da poteli consideae puntifomi e applicae le nozioni appena viste pe le caiche puntifomi; in effetti il pocedimento è lo stesso e i isultati ottenuti fino ad oa sono completamente genealizzabili; l unica difficoltà soge quando è il momento di sommae tutti i contibuti infinitesimi attaveso l opeazione di integazione. Popio pe la difficoltà di isolvee gli integali, il calcolo del campo e del potenziale non sempe è banale ( a volte impossibile!) e pe questo bisogna tovae vai tucchi sia matematici che fisico-geometici pe la isoluzione dei sistemi continui. I passi da seguie sono gli stessi visti in pecedenza: - consideo il mio copo esteso come composto da una distibuzione di caica continua - suddivido il copo in tanti pezzettini infinitesimi di caica elementae dq, tali da poteli consideae sogenti di caiche puntifomi - a seconda della geometia del copo, posso avee una, due o te dimensioni e definie divese densità di caica: ) densità di caica lineae ( λ ) quando un copo può essee consideato ad una sola dimensione (ad dq esempio un filo ettilineo molto lungo e sottile); unità di misua C/m e pe cui vale: λ dl ) densità supeficiale di caica ( σ ) un copo a due dimensioni, come ad esempio un disco molto dq sottile; unità di misua C / m e pe la quale si ha: σ ds 3) densità volumica di caica ( ρ 3 ): un copo qualsiasi a te dimensioni; unità di misua C / m e pe dq la quale si ha: ρ dv In geneale, pe un pezzetto di caica puntifome, che assumiamo avee una densità di caica dq ρ dv volumica ρ, il campo infinitesimo è dato da: d ; sommando tutti i 4π 4π contibuti, il campo totale è dato da: dq ρ dv 4π π quello che non conosciamo di 4 V un copo è la caica totale q che si icava integando (ad esempio pe un copo a te dimensioni): q ρ dv ; questo è il poblema dell elettostatica: la difficoltà a isolve questo integale. V Le elazioni appena consideate inolte, ci danno il modulo del campo elettico, ma pe dae questo dato devono essee scomposte nelle te componenti (x, y, z) e quindi l integale contiene in ealtà 3 integali sulle singole componenti!infatti, il campo calcolato in un punto P di coodinate (x, y, z ) dq ρ ( x, y, z) dxdydz è dato da: ( x, y, z,) k. Il calcolo del campo elettico in un punto P V V con questo metodo dietto non semba molto vantaggioso, sopattutto pe copi in te dimensioni. Anche il calcolo del potenziale compota te integazioni (se le dimensioni sono te); infatti pocedendo allo stesso modo, scomponiamo il copo in pezzi infinitesimi di caica dq i quali si consideano caiche puntifomi, pe le quali sappiamo calcolae il potenziale (quando non specificato la paola potenziale significa diffeenza di potenziale calcolata pendendo ϕ ): dq ρ dv ρ ( x, y, z) dxdydz dϕ k k e integando su tutto il copo: ϕ. V V 9

20 Calcolo del campo elettico Come abbiamo appena visto, la conoscenza del campo elettico, che ci pemette di descivee completamente un sistema elettostatico, deve passae pe foza attaveso integali, siano essi ta come nel caso del calcolo dietto o solamente uno se icaviamo il potenziale. Siccome la base dell elettostatica è popio il calcolo del campo elettico podotto da vai copi, vale la pena soffemasi sui metodi a disposizione pe calcolalo: ) Metodo dietto: il metodo che abbiamo visto in pecedenza pate dalla definizione del campo elettico come foza pe unità di caica; siccome la elazione è vettoiale, dobbiamo isolvee 3 integali: dxdydz z y x dq k z y x V V ),, (,),, ( ρ Il campo calcolato in un punto P(,, z y x ) di un geneico copo, il cui elemento (qualunque) infinitesimo dq ha coodinate ),, ( z y x è dato da: [ ] [ ] [ ] / 3 / 3 / ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ),, ( ),, ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ),, ( ),, ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ),, ( ),, ( z z y y x x z z dz dy dx z y x z y x z z y y x x y y dz dy dx z y x z y x z z y y x x x x dz dy dx z y x z y x z y x π ρ π ρ π ρ La isolubilità di questi te integali dipende citicamente dalla foma del copo e dal sistema di ifeimento utilizzato e molto spesso non si può applicae (anche peché dove si può, c è sempe un pocedimento altenativo molto più semplice!)

21 ) Potenziale elettostatico: calcolando un solo integale, dato dall espessione del potenziale, ρ ( x, y, z) dxdydz ci icaviamo il campo attaveso te deivate; il potenziale è dato da: ϕ dopodiché isaliamo al campo attaveso l equazione pecedentemente tovata: ϕ. Questo pocedimento non semplifica molto l integale ma evita di calcolane 3 e le successive deivate paziali sulle coodinate sono molto più semplici da effettuae. 3) Legge di Gauss: scegliendo una supeficie chiusa facile da calcolae e la cui foma possa faci intodue impotanti consideazioni sulla simmetia del sistema (in modo da semplificae il calcolo) e se ci limitiamo a dae diezione e veso del campo secondo alti metodi (geometici), possiamo facilmente calcolae il suo modulo usando la legge di Gauss, la quale peò pevede sempe un integazione, anche se questa volta su una supeficie abitaia; saà mia cua scegliee una supeficie appopiata, semplice da calcolae. Pe caiche puntifomi, abbiamo visto che la legge di gauss ci dice che: V Φ nds 4π kq ; è chiao che essa vale anche pe distibuzioni continue di caiche, a patto di scompoe l elemento in pezzetti infinitesimi dq ρ dv (supponendo te dimensioni) e integando su tutto il volume del copo compeso nella supeficie chiusa scelta (chiamata supeficie Gaussiana): Φ nds 4π kq 4π k ρ dv. impotante capie che q nel caso di caiche puntifomi e S q V ρ dv V appesentano la caica totale contenuta nella supeficie gaussiana scelta e non la caica totale del copo! La foma appena vista è detta foma integale della legge di Gauss; utilizzando il teoema della divegenza, possiamo scivee tale legge in foma puntuale, cioè valevole punto pe punto (elazione puntuale); il teoema della divegenza affema che: S S nds V dv cioè il flusso attaveso una supeficie chiusa è uguale all integale sul volume contenuto nella supeficie chiusa della divegenza del campo elettico. La legge di Gauss diventa quindi: nds dv 4π k ρ dv e dalle popietà degli integali possiamo estae le S V uguaglianze ta le funzioni integande: Siccome V ρ 4π kρ : ϕ alloa sostituendo nella elazione puntuale appena tovata abbiamo una nuova elazione puntuale: ϕ 4π kρ quazione di Poisson. Questa equazione ci dice come una geneica densità di caica ρ genei un potenziale e quindi un campo elettico; nei punti in cui tale densità è nulla, l equazione si iduce alla foma di Laplace: ϕ

22 Calcolo del campo elettico pe alcune distibuzioni di caiche: Vediamo di analizzae alcuni esempi di copi con densità di caica supposta continua, pe i quali si possono applicae i metodi del calcolo del campo elettico appena esaminati. ) Filo ettilineo indefinito; il caso è molto simile a quello già esaminato nel calcolo della foza di Coulomb; il filo è sottile, tale da pote consideae una densità di caica lineae λ ; la sua lunghezza questa volta non è definita (in ealtà non seve; l appossimazione che deve valee è che la distanza alla quale calcolo il campo è molto minoe della lunghezza del filo, altimenti ci si iduce al campo di una caica puntifome, come visto in pecedenza!) e al posto della caica di pova, oa consideiamo un punto dello spazio P (o in altenativa una caica unitaia posta nel punto P). Questo caso semba semplice; ho una sola componente, la geometica non semba poibitiva, possiamo calcolae diettamente il campo elettico pe il punto P. Il filo ettilineo non mi da alcuna componente lungo l asse z, mente il campo elettico da esso podotto si sviluppa lungo il piano xy. consideo un elemento dy di caica dq e il campo infinitesimo che esso poduce su un punto P abitaio (ma fissato!); componendo nelle due componenti x e y e ipetendo mentalmente il pocedimento pe ogni pezzettino dy, supponendo che il punto P sia sulla etta pependicolae al punto medio del filo, le componenti d y si annullano e ciò che esta è la sola componente d x x. Pe il pezzetto infinitesimo dq λ dy il campo nel punto P distante R si può consideae dq puntifome; il suo modulo è: d ; consideando solo la componente x: 4π R λ dy d x d cosα cosα. Se integassi oa questa equazione, non toveei alcun 4π R

23 isultato; l integale è infatti sulla lunghezza del filo ( dy) ma non sappiamo quanto esso sia lungo (pe definizione: filo ettilineo indefinito) e non sappiamo neanche come vaiano le alte gandezze con la distanza y (R ad esempio); dobbiamo tasfomae la vaiabile d integazione e sommae su qualche alta gandezza. L unica gandezza che può faci isolvee il poblema è l angolo infinitesimo d α. Se infatti supponiamo il filo indefinito, alloa l angolo α vaieà, dal punto P, ta -9 e +9. Cechiamo oa, attaveso elazioni tigonometiche di cambiae quindi vaiabile d integazione e di endee l integale facile da isolvee: - R cosα R - tan α y cosα Rdα - da y tan α diffeenziando tovo: dy cos Rdα dy cosα λ dy Sostituendo nella elazione d x d cosα cosα si tova: 4π dα cos α α λ dy cosα λ dα cos α cosα λ d x cosα dα ; questa equazione si può 4π R 4π cos α 4π R + / integae facilmente: d x cosα dα [ senα ] π / λ x. π + π / λ λ π 4π π / x e quindi: 4π Calcoliamo oa il campo elettico dello stesso oggetto utilizzando la legge di Gauss: Consideiamo tutte le simmetie possibili, cosa che abbiamo già fatto; ho solamente una componente ( x ) del campo elettico, ed esso è quindi pependicolae al filo uscente da esso (peché causato da caiche positive). Una supeficie chiusa che ci consente di calcolae facilmente il campo è quella pe cui esso è costante su tutto il suo peimeto ( e quindi posso potalo fuoi dall integale) le cui singole supefici siano pependicolai e paallele al campo (in modo da non dove consideae le componenti) e natualmente la sua foma sia facilmente descivibile matematicamente olte che a contenee almeno un po di caica del filo (altimenti il isultato non ha senso!). sistono almeno due supefici che fanno al caso nosto: un cubo (e in geneale un paallelepipedo), e un cilindo. Consideiamo popio quest ultimo; costuiamo un cilindo di altezza l attono al filo di lunghezza indefinita: 3

24 Pe tovae il flusso totale attaveso la supeficie chiusa S, scomponiamo il cilindo nella faccia lateale e nelle due basi, calcolando il flusso pe ognuna di esse e poi sommandolo: Φ nds nds + nds + nds λ dy q l dove il segno del flusso è dato S A B L dal veso del vesoe nomale e dal veso del vettoe campo elettico (se essi sono concodi alloa il flusso è positivo, mente esso è negativo se essi sono discodi, ne consegue che pe caiche positive, il flusso uscente è positivo e quello entante è negativo). Sulle facce lateali A e B, il vesoe n è pependicolae al vettoe campo elettico e quindi il podotto scalae è nullo; il flusso invece è diveso da zeo sulla faccia lateale L, e quindi: λ dy λ l l Φ nds. Sviluppando gli integali si ha: Φ ds π l da cui: L λ. π Calcoliamo oa il campo elettico utilizzando il potenziale: Scompongo il filo in tanti elementi di lunghezza dy, pe i quali ho il potenziale di una caica dq λ dy puntifome, dato da: dϕ k k con ϕ R R ; è chiao che siamo nello stesso caso del calcolo dietto del campo; dobbiamo manipolae l equazione affinché possiamo avee una quantità integabile; usando le stesse elazioni tigonometiche viste in pecedenza, e cioè: - dy dα cos α - R cosα L 4

25 Possiamo icavae: ϕ + π / dα cosα dα π α π kλ kλ kλ ln tan ln tan ln tan ln( ) ln() + kλ cos cos 4 kλ α α π / π / Cioè +!!. Questo isultato chiaamente non si può accettae; la divegenza dell integale pota ad un valoe completamente eato e inaccettabile dal punto di vista fisico. Qual è il poblema? Il filo è pe definizione indefinito e quindi il calcolo del potenziale, integando da -9 a +9, ci dice che i tatti di filo lontani sono quelli che poducono gan pate del potenziale, ed essendo il filo indefinito, esso schizza all infinito (è del tutto analogo al paadosso di Olbets in cosmologia); pe evitae la divegenza dell integale dobbiamo tovae un alto punto di zeo e non possiamo più poe ϕ. Talasciamo oa il poblema di calcolae il campo elettico a patie dal potenziale e concentiamoci su come pote calcolae il potenziale di oggetti indefiniti. Il metodo miglioe pe pocedee è di calcolalo in base alla sua definizione: esso è il lavoo cambiato di segno di un agente esteno pe potae una caica puntifome unitaia dall infinito al punto geneico P: ϕ P + π / dl ; conoscendo il campo elettico possiamo vedee come iuscie a calcolae il P λ d λ potenziale: ϕ [ ln ] P ; anche in questo caso l integale divege, π π peché ho infiniti contibuti dati dal mio filo indefinito. Se peò consideiamo la diffeenza di potenziale ta un ceto punto fissato (detto punto di inomalizzazione) ed ( punto λ geneico vaiabile): [ ln ] λ λ ϕ ln + ln ; l integale finalmente non π π π λ λ divege più e ponendo ln const si tova: ϕ ln + const. Il valoe della π π costante non inficia in alcun modo il isultato e sopattutto il calcolo del campo elettico: λ ϕ e le costanti hanno deivata nulla e:. π ) supeficie indefinita caica: Immaginiamo la supeficie coloata in azzuo come indefinitamente estesa e caica con densità supeficiale + σ. Pe calcolae il campo elettico podotto da tale oggetto, usiamo la legge di Gauss; una supeficie che può esseci molto d aiuto è un cilindo pependicolae al piano caico (o in 5

26 altenativa anche un paallelepipedo o un cubo). Il campo elettico è paallelo alla supeficie lateale L e quindi il flusso attaveso di questa saà nullo: Φ n ds, mente non lo è il flusso attaveso le due supefici di base A; il veso del campo e del vesoe nomale è concode e quindi in entambi i casi si avà un flusso uguale e positivo: la legge di gauss ci dice quindi che: q σ A σ Φ nds A + A A ; il campo elettico podotto da una S distibuzione supeficiale indefinita di caica non dipende dalla distanza. 3) due supefici indefinite con caica opposta: condensatoe a facce piane e paallele: L Le due amatue, consideate come singoli piani indefiniti caichi, poducono due campi elettici di uguale intensità indipendenti dalla distanza, che si sovappongono. Quello che dobbiamo fae è calcolae il campo elettico totale. Dall espeienza del piano indefinitamente caico e applicando il pincipio di sovapposizione, siamo già in gado di die tutto sul campo elettico: esso saà nullo al di fuoi delle amatue (somma algebica; i vettoi ed hanno stesso modulo, stessa diezione σ ma vesi opposti), mente all inteno, il campo saà dato da + (il doppio del campo di una supeficie caica indefinita). Questo semplice pocedimento è stato applicato peché abbiamo visto pecedentemente il campo podotto da una distibuzione piana indefinita di caica, ma il isultato di questo caso è chiaamente indipendente dal pecedente e si può icavae con la legge di Gauss; vediamola bevemente: - Pe calcolae il campo immediatamente fuoi dalle supefici, consideiamo il paallelepipedo A, posto a cavallo delle due amatue e applichiamo la legge di Gauss a questa supeficie gaussiana: avò un flusso solamente sulle supefici lateali, la cui nomale è paallela al q campo, ma la caica netta contenuta nella supeficie è nulla: Φ nds S - Il flusso ta le amatue si può calcolae pendendo una supeficie gaussiana a cavallo di una di esse (un cubo o un paallelepipedo); notiamo che in questo caso la caica netta contenuta non è nulla, anche se ho flusso solamente attaveso le supefici lateali ( B ): q σ B σ Φ nds B esattamente il isultato che ci saemmo aspettati. S 4) Sfea unifomemente caica: consideo una sfea con densità volumica di caica ρ e calcoliamoci il campo elettico podotto, secondo te distinti andamenti: 6

27 - Campo elettico all esteno della sfea: (>R); consideo come supeficie gaussiana una sfea e calcolo il flusso, sapendo che il campo elettico saà pependicolae ad ogni punto q q della ciconfeenza: Φ nds 4π ; il campo elettico ha π Sphee 4 la stessa foma del campo podotto da una caica puntifome; una sfea unifomemente caica può consideasi come una paticella di caica puntifome (fuoi dalla sua supeficie) - Campo elettico inteno alla sfea (<R): consideo una supeficie gaussiana sfeica di aggio abitaio puché sia minoe del aggio della sfea ( R ), e calcolo il flusso: q ρ ρ 4 3 ρ Φ nds 4π d 4π 4π π da cui icavo: : 3 Sphee 3 V il campo elettico all inteno della supeficie cesce con l aumentae della distanza dal cento (questo è dovuto al fatto che il campo decesce come / mente la caica aumenta 3 con il volume ( ). - Campo elettico sulla supeficie della sfea (R): senza consideae una supeficie gaussiana (si può anche fae:pendo una supeficie gaussiana di aggio R al aggio della sfea, ma non conviene, peché il isultato c è già!) sappiamo che il campo inteno è popozionale a e quindi sulla supeficie esso assumeà il valoe massimo pima di cominciae a decescee Q ρ R come / : 4π R 3 L andamento complessivo del campo elettico di una sfea è il seguente: 7

28 5) Guscio sfeico di caiche: consideo un sottile guscio sfeico, di spessoe infinitesimo d, con densità di caica supeficiale unifome: inteessante in questo caso, studiae l andamento del potenziale e poi isalie al campo elettico; distinguiamo due divese situazioni: a) (intenamente al guscio); il potenziale è causato dalla pesenza di una caica ad una distanza ( in questo caso) dal punto consideato (consideando ϕ ), quindi: σ dv 4π σ σ σ ϕ 4π e quindi: ϕ const. 4π V Di conseguenza il campo elettico, è dato da: < : ϕ - - : ϕ σ 8

29 b) > cioè fuoi dal guscio: q 4π σ σ ϕ e quindi il campo elettico è 4π π 4 dϕ q σ dato da: ϕ che alti non è che il campo elettico geneato d 4π da una caica puntifome; in effetti anche un guscio sfeico si compota come una caica puntifome (pe punti esteni alla sua supeficie). Riassumendo gli andamenti del potenziale e del campo elettico abbiamo la seguente situazione: kq 4π k σ > kq 4π kσ > ϕ Potenziale : Campo : 4π kσ ϕ 4π kσ < Nel caso del campo elettico notiamo una discontinuità ta la egione intena in cui e la supeficie, in cui impovvisamente il campo aggiunge il valoe 4π kσ. Questa discontinuità è eliminata consideando che all inteno dello spessoe infinitesimo d del guscio, il campo cesce all incica lineamente, patendo da e aivando fino al valoe calcolato ( 4π kσ ); gaficamente la situazione è di questo tipo: Nella zona intemedia allo spessoe infinitesimo, si assume un valoe del campo elettico pai alla media ta supeficie intena ( ) e supeficie estena ( 4π kσ ), cioè: σ ( int + ext ) 9

30 negia immagazzinata nel campo elettico Il caso appena visto di guscio sfeico ben si pesenta ad intodue e fa capie il concetto di enegia immagazzinata nel campo elettico. Abbiamo visto all inizio come pe costuie un sistema di caiche puntifomi, aventi tutte lo stesso segno, l agente esteno deve vincee la foza epulsiva ta le caiche e compiee un ceto lavoo che poi si itova come enegia potenziale elettostatica. Tale enegia viene libeata e convetita in enegia cinetica se lasciamo libee le caiche: esse, a causa della foza epulsiva, si allontaneanno le une alle alte con velocità maggioe quanto minoe ea la loo distanza iniziale (ottenuta spendendo enegia, o meglio facendo lavoo!). Oa che abbiamo intodotto il campo elettico, sappiamo che ogni caica modifica lo spazio cicostante e in tal modo fa sentie la sua pesenza sulle alte. Possiamo anche consideae il guscio sfeico come una supeficie sfeica icopeta da tante caiche elementai dq aventi tutte lo stesso segno; tali caiche si espingono, ma il sistema imane intatto peché la stuttua igida del guscio iesce a bilanciae la foza epulsiva che tendeebbe a distuggelo. D alta pate, pe costuie un tale sistema, si deve spendee enegia, peché tante caiche dello stesso segno vicine non ci stanno senza che qualcuno ( o qualcosa) spenda enegia (compia cioè lavoo). Possiamo quindi pensae al campo elettico che questo sistema genea, come l espessione dell enegia potenziale immagazzinata a seguito della costuzione dello stesso. Maggioe enegia spendo pe costuie un sistema, maggioe enegia potenziale mi itovo immagazzinata nel campo elettostatico e una modifica del sistema, ad esempio una iduzione del aggio del guscio sfeico caico, compota una vaiazione di enegia che si manifesta come vaiazione del campo elettostatico. In patica quanto detto non è alto che l espessione del pincipio di consevazione dell enegia: l enegia contenuta in un sistema di caiche poviene dal lavoo che un qualsiasi agente esteno ha fatto pe costuie tale sistema; l enegia spesa non è andata pesa, ma fa pate del sistema di caiche sottofoma di campo elettico; d alta pate, il campo elettico non poduce enegia dal nulla, peché pe costuie un sistema che possa podulo devo spendee enegia! Questa enegia potenziale esta immagazzinata nel campo del sistema finché c è una foza che bilancia la foza coulombiana di epulsione ta le caiche; nel caso del guscio sfeico è la stessa stuttua del guscio che impedisce al sistema di disgegasi e libeae la sua enegia potenziale; se il guscio fosse fatto da una membana elastica (ad esempio un palloncino) esso cominceà ad espandesi fino a quando la tensione del palloncino non bilanceà pefettamente la epulsione ta le caiche. Pe vedee in modo più quantitativo quanto appena visto qualitativamente, calcoliamo la foza che una caica dq sulla supeficie del guscio sente a causa della pesenza delle alte caiche elettiche (pesenza che si manifesta attaveso il campo elettostatico); questa foza dovà essee bilanciata (e quindi uguale) dalla stuttua igida del guscio: d F dq (la foza totale saà data dalla somma delle singole foze, e cioè F d F S π kσ S ); le caiche all inteno del guscio si distibuiscono su uno spessoe infinitesimo ma non nel senso matematico, e quindi il campo elettico, come già σ visto, ha un valoe medio: ( int + ext ) e quindi la foza sentita da una caica dq saà: d F ext dq π kσ σ ds dietta adicalmente veso l esteno. Calcoliamo oa il lavoo necessaio pe idue di d il aggio del nosto guscio sfeico di supeficie S 4π, passando da a d ; su ciascuna caica bisogna effettuae del lavoo e l enegia spesa saà uguale alla foza che ciascuna caica sente moltiplicato lo spostamento d: dw F d π kσ Sd π kσ 4π d 8π kσ d e quindi: dw 8π kσ d. Sapendo che: - 4π kσ campo sulla supeficie del guscio 3

31 - dv 4π d volume di contazione del guscio - q 4π σ caica totale in supeficie Sostituisco queste gandezze e tovo un espessione pe il lavoo compiuto dall agente esteno pe contae di d il aggio del guscio sfeico: dv dw d. k 8π k Questo è il lavoo che dobbiamo fae pe idue di d il aggio del guscio; natualmente, poiché l enegia si conseva, questa enegia spesa (il lavoo è enegia!) non può scompaie, ma deve itovasi da qualche pate, cioè nel campo elettico, sottofoma di enegia potenziale: infatti, oa, in una zona dove pima non c ea niente, c è un campo elettico, la cui intensità è popozionale al nuovo aggio del guscio sfeico. Possiamo definie una quantità chiamata densità di enegia elettostatica, che è l enegia potenziale immagazzinata nello stato d < <, come l enegia (netta, in più ispetto al vecchio aggio) pe unità di volume (siccome l enegia in più è il lavoo speso, alloa consideiamo diettamente dw quest ultimo): ρ W che possiamo scivee come: dv 8π k - SI : ρ W - Cgs : ρ W 8π Quello appena visto pe un guscio sfeico, può essee tanquillamente genealizzato consideando che le fomule tovate pe la densità di enegia sono del tutto geneali peché non contengono alcuna infomazione sulla paticolae supeficie sfeica scelta, ne sull andamento del campo elettostatico: in un campo elettostatico, che occupa un volume V nello spazio, è immagazzinata una quantità di enegia potenziale W pai all integale della densità di enegia elettostatica sul volume V: W ρ W dv dv dv. Ricodando che: ϕ si ha: 8π k W ( ϕ ) dv V V V V negia di una paticella in un campo elettostatico Analizziamo bevemente l enegia e le caatteistiche di una paticella puntifome (come un elettone) che si muove in una zona in cui è pesente un ceto campo elettico; Se tascuiamo la foza di gavità, l enegia totale della paticella saà: Tot mv + eϕ cioè, come sempe, la somma della sua enegia cinetica e potenziale. Spostando la paticella da un punto geneico P a P la consevazione dell enegia ci consente di scivee: mv + eϕ mv + eϕ. Il lavoo fatto dal campo elettico pe potae la paticella dal punto P a P, saà banalmente la diffeenza di enegia cinetica (e quindi anche potenziale): W mv mv e( ϕ ϕ ). Semplificando l equazione sul bilancio enegetico, possiamo aivae ad un espessione che mette in mosta come la pesenza di un campo elettico (che si manifesta in questo caso con il potenziale ϕ ) sia in gado di acceleae paticelle caiche; Consideo in P un potenziale pai a zeo e suppongo che la paticella pati in P con una velocità nulla; il bilancio enegetico ta i due punti 3

32 diventa quindi: mv eϕ : la paticella, a causa della diffeenza di potenziale ta i due punti, ha acquistato un enegia cinetica. L unità di misua di tale enegia, ifeita alle paticelle, è l elettonvolt ( ev ) che coisponde all enegia acquistata da una paticella di caica elementae (un 9 elettone: e.6 C ) sottoposta alla diffeenza di potenziale di V. Con qualche piccolo calcolo, toviamo che ev.6 9 C.V.6 9 J quazioni dell elettostatica Quanto visto fino ad adesso può essee già sufficiente pe fae il punto della situazione e scivee tutte le equazioni necessaie pe caatteizzae i campi elettostatici in geneale. Abbiamo già visto all inizio come il nosto scopo fosse quello di descivee con elazioni matematiche (esatte) il compotamento di questa paticolae popietà della mateia, che si manifesta nello spazio. A pescindee dalla natua del copo che poduce il campo e dal compotamento micoscopico della mateia (che vedemo a beve), siamo in gado di die tutto su come un ceto campo elettostatico si popaga nello spazio (supposto fino ad adesso vuoto) (modulo, diezione, veso e dipendenza dalla distanza del campo elettico,) e le caatteistiche e popietà di cui esso gode. Pe avee un idea più quantitativa di quanto appena detto, iassumiamo le equazioni dell elettostatica pe i campi elettostatici nel vuoto. ) Dalla legge di Gauss siamo in gado sia di icavaci il campo elettostatico, sia di avee alte infomazioni su di esso; icodando il già visto teoema della divegenza, possiamo scivee: q Φ nds dv 4π k ρ dv, dalla quale icaviamo la elazione puntuale S V V già vista: 4π kρ e quindi: ϕ 4π kρ e nei punti in cui ρ ϕ. Queste elazioni ci dicono che le sogenti del campo elettico sono le caiche, espesse in questo caso come una densità continua di caica; il campo elettico, o meglio la sua divegenza, è diettamente popozionale alla densità di caica, e quando siamo in un punto in cui essa è nulla, alloa la divegenza è nulla e il campo è costante (o meglio, il campo elettico non dipende più dalla caica, ma può dipendee da alte gandezze, come la distanza, che peò non sono delle popietà caatteizzanti!). ) Sappiamo che il otoe di un gadiente è sempe uguale a zeo (basta fae i calcoli, veà sempe zeo, a pescindee dalla funzione su cui si fanno le opeazioni); questa popietà matematica mi pemette di definine una ben più impotante dei campi elettostatici; facendo infatti il otoe del geneico vettoe campo elettico ( ) e icodando che esso è dovuto al gadiente del potenziale cambiato di segno: ϕ, icaviamo che: x( ϕ ) x. Questa equazione affema che x il cui significato fisico è molto impotante: Il campo elettostatico è consevativo ed esso ammette una funzione, detta potenziale; questo è molto impotante sia dal punto di vista fisico che dal punto di vista dello studio dei campi elettostatici, in cui il potenziale può esseci molto utile. comunque il significato più fisico nascosto nella paola consevativo che è veamente impotante; un oggetto che si muove in un campo consevativo svolge un lavoo che dipende solamente dal punto di patenza e di aivo, indipendentemente dal pecoso effettuato; inolte, il lavoo fatto (o subito) su un pecoso chiuso è sempe uguale a zeo (chiao, peché i punti di patenza e di aivo coincidono). La consevatività del campo elettostatico è pobabilmente una delle popietà più impotanti; se esso non fosse stato consevativo, il mondo saebbe stato completamente diveso (così come pe la foza di gavità e quindi il campo gavitazionale). Vedemo a beve un esempio di campo non consevativo: il campo magnetostatico ( e quindi 3

33 la foza magnetica). La coispondente equazione integale si ottiene consideando che l integale del campo su un pecoso chiuso è sempe zeo: l dl. Riepilogando, le equazioni dell elettostatica nel vuoto sono (icodando che le linee del campo sono state pese, pe convenzione, uscenti dalle caiche positive ed entanti in quelle negative): q nds dv 4π k ρ dv ρ S V V 4π kρ elazioni integali, e puntuali dl x l Andiamo oa ad analizzae le popietà della caica elettica, sia dal punto di vista macoscopico, (elementi cicuitali come condensatoi e esistenze), sia dal punto di vista micoscopico (stuttua della mateia, molecole e atomi). 33

34 Capacità: Questa nuova gandezza caatteizza tutti i sistemi elettostatici, e appesenta in qualche modo la quantità di caica netta che un sistema può immagazzinae. Pima di palae dei condensatoi e vedee il loo compotamento come elementi cicuitali, vale la pena soffemaci sulla definizione di isolanti e conduttoi e vedee alcune impotanti popietà fisiche. I conduttoi, la maggio pate dei quali sono metalli, hanno un alta mobilità delle caiche, che possono essee facilmente tasfeite (vedi ad esempio l espeienza con un elettoscopio); le caiche elettiche sono gli elettoni e pe questo possiamo consideae conduttoi tutti quei mateiali i cui elettoni (o meglio, pate di essi) hanno una ceta mobilità. Gli isolanti al contaio, sono contaddistinti da una ceta igidità delle loo caiche, che non vengono tasfeite ad alti mateiali. In ealtà le definizioni date non sono del tutto igoose pe i mateiali che toviamo in natua: il confine ta conduttoi e isolanti non è così netto, ma si passa attaveso vaie sfumatue: ogni elemento infatti ha una seppu minima mobilità delle sue caiche, ma quello che conta ai fini della classificazione è il tempo scala nel quale le caiche vengono tasfeite. Un buon conduttoe ad esempio pesenta un tempo molto basso di tasfeimento delle caiche, mente un ottimo isolante, ichiede un tempo di tasfeimento molto più lungo (milioni di volte supeioe a quello di un ottimo conduttoe). I conduttoi pefetti sono caatteizzati da impotanti popietà, tutte futto della definizione qualitativa che abbiamo dato: le caiche sono libee di muovesi: ) Le caiche elettiche si tovano tutte sulla supeficie del conduttoe: questo è un isultato scontato se si considea un sistema di caiche elettiche in libeo movimento, posizionate all inteno di un volume V in posizioni casuali: siccome le caiche hanno tutte lo stesso segno, tendeanno a espingesi le une con le alte, posizionandosi il più lontano possibile ta di loo: questo in un volume ben definito e invalicabile significa posizionasi sulla sua supeficie. ) Le supefici dei conduttoi sono equipotenziali: anche questo è un isultato scontato; se lungo la supeficie ci fosse una diffeenza di potenziale, le caiche si muoveebbeo pe colmae tale diffeenza, con il isultato che dopo un ceto tempo, la supeficie avà un potenziale costante. 3) Il campo elettico all inteno del conduttoe è nullo: pe povae questo basta consideae che le caiche sono disposte tutte sulla supeficie, dopodichè applichiamo la legge di gauss consideando una supeficie gaussiana totalmente intena al conduttoe: siccome non ci sono caiche nette, il campo è zeo 4) Il campo esteno al conduttoe e immediatamente vicino alla sua supeficie è pependicolae alla supeficie stessa e vale sempe: ext 4π kσ n. Questo isultato si dimosta applicando sempe la legge di Gauss; vale la pena dimostalo: 34

35 Consideo il cilindetto disegnato nella figua e applichiamo la legge di Gauss: σ Φ nds ext S 4π kσ S ext 4π kσ pe il Sistema Intenazionale e S ext 4π σ pe il sistema cgs Paliamo oa della capacità; questa gandezza è una caatteistica di paticolai oggetti, detti condensatoi, costituiti da due piatti conduttoi e caichi con caica uguale ed opposta, posti l uno vicino all alto e isolati (pe quanto possibile) dall ambiente cicostante. La paticolaità di questi oggetti è che iescono ad immagazzinae enegia sottofoma di campo elettostatico. Ciò che succede è che se ad un condensatoe collego una batteia esso acquista una ceta caica che poduce a sua volta un campo elettostatico che imane anche dopo ave scollegato la batteia. Quello che andiamo a fae adesso è analizzae quantitativamente questo compotamento, sopattutto capie quanta enegia può immagazzinae e da cosa dipende tale quantità. Ciò che si è ossevato dagli espeimenti è che la caica q confeita ad un condensatoe è diettamente popozionale alla diffeenza di potenziale ta i due piatti (o amatue): q V ; la costante di popozionalità pende q il nome di capacità: q C V e quindi essa è definita come: C e secondo la nosta nomenclatua: C q ϕ V. L analisi dimensionale della capacità ci da diettamente la sua unità di misua: pe il Sistema Intenazionale si ha: [ C ] Q Q L T ϕ F Faad (il Faad è un unità di misua molto gande) e Q Q FL pe il cgs: [ C ] [ L] W ϕ FL cm ; la capacità in questo caso ha le dimensioni di una lunghezza (ma non ha nulla a che fae con una lunghezza!). Pe capie in fondo il compotamento di un condensatoe e il significato fisico della capacità, andiamo a vedee qualche esempio conceto: ) capacità di una sfea conduttice isolata. Siccome abbiamo definito la capacità come C q è chiao che essa è una gandezza ϕ geneale e non popia dei soli condensatoi e quindi può essee calcolata pe qualunque oggetto che abbia un potenziale e una caica netta. Nel caso di una sfea il calcolo è paticolamente semplice; sappiamo infatti dalle pagine pecedenti che il potenziale di un conduttoe sfeico geneico di caica q e aggio è dato da: q Sσ ϕ e 4π π 4 q 4π Sσ quindi la capacità è: C 4π (non dipende dalla caica!) ϕ Sσ 6 q In geneale la capacità della tea è di cica C.7 F ϕ 9 9 ) condensatoe a facce piane e paallele. il tipo di condensatoe più diffuso, costituito da due sottili lamine ettangolai con caica uguale ed opposta. Lo schema è quello già visto in pecedenza pe il calcolo del campo elettico: 35

36 Ta i due piatti (o amatue) poste a piccola distanza, c è un isolante (in genee vuoto o aia); sappiamo già che ta le due facce esiste un campo elettico unifome, il cui modulo si calcola q σ B σ con la legge di Gauss: Φ nds B 4π kσ. D alta pate il S potenziale (cioè la diffeenza di potenziale ta le due amatue) è dato da: ϕ dl 4π kσ d, con d distanza ta le amatue. Combinando le equazioni del campo e del potenziale, possiamo scivee: 4π kσ ϕ. A questo punto è molto semplice calcolae la capacità di d un tale condensatoe: - q σ S 4π S S SI: C ϕ 4π kσ d 4π d d - q S Cgs: C. ϕ 4π d Come possiamo notae dalle elazioni tovate, la capacità dipende unicamente dalla configuazione geometica del condensatoe, in paticolae dalla supeficie delle amatue (S è la supeficie di un amatua, che è uguale alla supeficie dell alta) e alla loo distanza d. L enegia immagazzinata da un tale dispositivo si calcola utilizzando la elazione vista nelle pagine pecedenti: W V Sd d Sd d C q q Cϕ 8π k 8π k d 8π kd C C 3) Condensatoe sfeico: esso è costituito da una sfea caica intena e un guscio sfeico esteno, posto a distanza avvicinata alla sfea: 36

37 Il pocedimento è lo stesso seguito pe il condensatoe a facce piane e paallele, ma in questo caso semplificato dalla simmetia adiale del sistema pe il quale è semplice calcolae la diffeenza di potenziale ϕ : ϕ ϕ ϕ kq d kq e quindi: q C ϕ k Condensatoi come elementi cicuitali Usciamo dalla tattazione fisica dei condensatoi e andiamo bevemente ad analizzae il loo compotamento quando inseiti in cicuiti; in paticolae tattiamo le situazioni in cui essi sono inseiti in seie o in paallelo. ) condensatoi in paallelo: si intende la seguente configuazione: In questa situazione valgono 3 popietà pe il cicuito: - Pe andae dal punto al punto occoe scegliee un qualunque cammino, il quale inconta sempe un condensatoe; - Collegando una batteia ta i punti e è evidente che ognuno dei condensatoi è sottoposto alla stessa diffeenza di potenziale; 37

38 - le caiche totali + q e q si dividono equamente ta le due amatue, quindi la capacità q q q q n totale del cicuito può essee scitta come: C ; icodando che ϕ ϕ ϕ ϕ n q ϕ C q C q C n,, n ϕ ϕ n si ha: C C + C C n cioè la somma delle singole capacità. ) Condensatoi in seie; la configuazione è la seguente: Anche in questo caso il cicuito gode di 3 popietà: - Pe andae dal punto al punto si devono incontae tutti i condensatoi in successione - Collegata la batteia agli estemi del cicuito, la sua diffeenza di potenziale è uguale alla somma delle diffeenze di potenziale dei singoli elementi cicuitali - Su ogni condensatoe c è la stessa caica q Quindi, consideando le popietà appena elencate, siamo in gado di isolvee il cicuito; in paticolae il potenziale totale saà: ϕ 3 ϕ + ϕ + ϕ 3 q q q q + + e quindi: C C C3 C + + C C C C. 3 38

39 Campo elettico nella mateia (micoscopicamente) Analizzando il compotamento di caiche micoscopiche ma non più puntifomi come le molecole, andemo a scopie come vaia l andamento del campo elettico con la distanza. Pe gandi distanze infatti, la foma della molecola non è impotante ai fini del calcolo e il campo elettico è nullo (una molecola è genealmente neuta); se analizziamo il suo compotamento ad una distanza confontabile con quelle degli atomi all inteno di essa, ci accogiamo che in quella egione di spazio il campo elettico non è più nullo peché la disposizione delle caiche non può più essee consideata unifome. A distanze intemedie, l andamento del campo elettico può essee assimilato a quello che si avebbe con due caiche di segno opposto poste ad una distanza l le une dalle alte, cioè un dipolo, a pescindee dalla complessità della molecola in esame. Vedemo che il fattoe disciminante pe la tattazione del campo elettico in funzione della distanza è dato dai momenti di multiplo, cioè da fattoi che dipendono in modo diveso dalla distanza che ci danno infomazioni sulla complessità della distibuzione che abbiamo davanti, distibuzione di caica che deve essee descitta con maggioe pecisione mano a mano che ci avviciniamo ad essa. Pe espimee e vedee quantitativamente quello che abbiamo appena descitto, consideiamo una molecola con una ceta distibuzione delle sue caiche e un punto P, posto a distanza dal suo cento, come nella seguente figua: Il nosto obiettivo è calcolae il campo elettico nel punto P causato dalla distibuzione di caiche consideata. Pe fae questo possiamo consideae il potenziale, più semplice da n qi calcolae, che pe una distibuzione di caiche consideata disceta saà dato da: ϕ 4π i Ri, cioè la somma dei potenziali degli n elementi disceti che compongono la distibuzione. Possiamo già vedee un impotante cosa, segno che stiamo andando sulla giusta stada: a distanze molto gandi Ri > > i const e il potenziale diventa semplicemente quello di una n caica puntifome Q data dalla somma delle n caiche q: ϕ q i. Inolte, nel caso di 4π una molecola, pe la quale vale q + q i, a gandi distanze il campo elettico è nullo. A piccole distanze questo non è veo, peché le caiche non sono tutte concentate in un punto. Pe tattae a fondo questo secondo caso, consideiamo la caica puntifome come continua e passiamo ad usae gandezze infinitesime. In questo caso il potenziale in un pnto P geneico 39

40 podotto da una caica infinitesima dq è: i i P R dv z y x R dq ),, ( 4 4 ρ π π ϕ. Questa è la nosta espessione di patenza, che dovemmo modificae pe mostae come il potenziale, e quindi il campo elettico, dipendano dalla distanza alla quale si calcola. Pima di tutto osseviamo la figua e applichiamo il teoema di Canot: [ ] / cos ϑ R i + ; sostituendo: / ) cos ( ),, ( 4 + ϑ ρ π ϕ dv z y x P. Consideiamo oa il punto P tale che la distanza < < e quindi la quantità < <. Se sciviamo la pate sotto adice in temini del appoto possiamo semplificae notevolmente peché è possibile sviluppae in seie di Taylo: ( ) / / cos cos + + ϑ ϑ (ho diviso pe e poi potato fuoi adice); sviluppando in seie ( ( ) / δ δ δ ) : cos cos... cos 8 3 cos ϑ ϑ ϑ ϑ Tascuando i temini di gado supeioe: cos cos... cos 3 cos ϑ ϑ ϑ ϑ Sostituendo questa espessione in quella del potenziale toviamo: + + 3cos cos ),, ( 4 ϑ ϑ ρ π ϕ dv z y x P + + 3cos cos 4 3 ϑ ρ ϑ ρ ρ π dv dv dv Consideo: 3cos cos k k dv k dv ϑ ϑ ρ ρ e definisco quindi: k temine di monopolo; k temine di dipolo; 3 k temine di quadupolo. 4

41 Come possiamo vedee, il potenziale totale nel punto P dipende da questi temini, i quali dipendono in misua divesa dalla distanza: ad esempio, ad una distanza molto gande, i temini di dipolo e, a maggio agione di multipolo, sono tascuabili e quello che ealmente k conta è solo (monopolo) e la distibuzione di caica può essee assimilata quindi ad una singola caica puntifome: ϕ P ρ dv Q 4π. 4π I temini che ci siamo icavati sevono quindi a daci un idea quantitativa sulla tattazione che possiamo fae della nosta distibuzione di caica, che viene assimilata ad un monopolo pe gandi distanze, ad un dipolo pe distanze intemedie, ad un quadupolo pe piccole distanze (si può anche andae olte il quadupolo!); dal semplice studio dei momenti di multipolo possiamo quindi isalie alla distibuzione di caiche della molecola (o almeno ad un appossimazione valida pe il punto P consideato). Nel caso del quadupolo, il fatto che non ci sia momento di dipolo non è causato chiaamente dalla distanza, ma dal fatto che le caiche positive e quelle negative si bilanciano, e il calcolo del momento di dipolo (esso è un vettoe pe cui vale il pincipio di sovapposizione) pota ad un momento nullo. 4

42 Il dipolo elettico sicuamente la configuazione di caiche più inteessante (e più semplice!) da studiae, nonché quella più fequente, sopattutto quando paliamo di molecole, pe questo vale la pena appofondie il discoso. Un dipolo elettico è un qualsiasi sistema di due caiche di segno opposto poste a distanza l l una dall alta. Come abbiamo già visto, le linee di foza del campo elettico escono dalla caica positiva pe entae in quella negativa: Pe un tale sistema di caiche calcoliamo di nuovo il potenziale, che saà dato da: ϕ P 4π quantità vettoiale: ρ dv 4 P π ρ dv. A questo punto definiamo momento di dipolo la ρ dv e il potenziale può essee scitto come: P P cosϑ ϕ P dove ϑ è l angolo compeso ta il momento di dipolo e l asse z. Il 4π 4π potenziale di questo dipolo e quindi anche il campo elettico, sono simmetici ispetto all asse z (vedi le popietà del podotto scalae e in paticolae la simmetia del coseno), come si può vedee facilmente dalla seguente figua: Pe vedee l andamento del campo elettico possiamo, pe semplicità di calcolo, consideae un punto p posto ad esempio sul piano xz e icavaci il campo elettico a patie dal potenziale: 4

43 Il potenziale è dato da: ϕ P cosϑ che possiamo semplificae pe il nosto calcolo. 4π Consideiamo infatti: z ( x + z ) cosϑ, sin x / ( x + z ) z cosϑ / ( x + z ) e quindi il potenziale nel piano xz diventa: ϕ Pz 3 / Pz( x + z ) 3 /. Le componenti x e z del ( x + z ) campo elettico saanno date da: ϕ 3 5 / 3Pzx 3Pxz 3P cosϑ sin ϑ x Pz( x + z ) x 5 / 3 / 3 x ( x + z ) ( x + z ) ( x + z ) z ϕ z P z( x 3cos ϑ P 3 + z ) 3 / z 3 ( x + z ) 5 / z P ( x 3z + z ) 5 / ( x + z ) 3 / Il isultato è che il campo elettico è invesamente popozionale al cubo della distanza, mente il potenziale al quadato della distanza, un gado in più ispetto al monopolo, cioè ad una caica (puntifome) isolata. Il caso più semplice di dipolo e di momento di dipolo è quello che abbiamo appena visto, con due caiche uguali ma di segno contaio poste a distanza l l una dall alta; in questo caso il momento di dipolo P è un vettoe che ha come diezione la congiungente le due caiche e veso dalla caica negativa a quella positiva. Il suo modulo è dato dalla isoluzione dell integale: P ρ dv che in questo caso è semplice P lq. Una molecola può consideasi un dipolo a distanze intemedie; pe distanze minoi occoe aumentae la pecisione e inseie elementi di odine supeioe, come il quadupolo, pe descivee la distibuzione delle sue caiche. 43

44 Momento tocente di un dipolo Quando un dipolo viene posto in un campo elettico esteno, esso ne sente in qualche modo la pesenza e si compota in un modo che vale la pena studiae. Pe questo scopo immaginiamo un semplice dipolo elettico immeso in un campo elettico unifome podotto da un condensatoe a facce piane e paallele. Le caiche di cui è costituito il dipolo sentono la pesenza del campo geneato dalle caiche poste sulle amatue del condensatoe ed esso si oienta in modo da tovae una delle due situazioni di equilibio possibili: Nel pimo caso si ha una situazione di equilibio stabile, peché ogni piccola petubazione data al dipolo non ne cambieà la posizione; la foza (il modulo)che sente la caica positiva e quella negativa dovuta alle amatue del condensatoe è: F q e F + + q. Nel secondo caso questo non si veifica; la condizione di equilibio è instabile e una piccola petubazione faà uotae il dipolo e falo uscie da tale equilibio, che non aggiungeà più spontaneamente. Queste due situazioni sono chiaamente un caso paticolae; in geneale, un dipolo posto in un tale campo elettico, inclinato di un angolo ϑ ispetto al campo elettico esteno, saà sottoposto ad un momento tocente N F uguale in ogni punto. Questo caso è del tutto simile al momento tocente visto in dinamica, in paticolae, non basta che la foza netta sia nulla pe non fa uotae il dipolo, ma è impotante, pe qualunque oggetto non puntifome, studiae come e dove agiscono le singole foze: 44

45 Calcoliamo, aiutandoci anche con la figua, il momento tocente di un dipolo costituito da due caiche distanti l, poste con un angolo ϑ in un campo elettico esteno unifome. La fomula base pe il calcolo è quella classica: N F ; esplicitando si ha: l l N qsin ϑ + q sin ϑ ql sin ϑ P sin ϑ, cioè: N F P nel caso elettostatico. A questo punto possiamo calcolae facilmente l enegia (cioè il lavoo) necessaia pe uotae il dipolo di un angolo ϑ qualsiasi: W N dϑ P sin ϑ dϑ ϑ ϑ P( cosϑ ) ; ad esempio, pe uotae il dipolo di 8 seve un lavoo W P. chiao che il caso ancoa più geneale si ha pe un dipolo immeso in un campo elettico qualsiasi e quindi non unifome. Olte al momento tocente, sempe pesente, che è esponsabile della sua otazione, abbiamo anche un moto di taslazione indotto dal campo non unifome dovuto al fatto che la somma delle foze agente sul dipolo non è nulla: F i. L esempio più semplice che possiamo immaginae è costituito dal campo esteno podotto da una caica q puntifome, che sappiamo valee:.il dipolo in questo caso si allineeà lungo le 4π linee di foza del campo podotto dalla caica e allo stesso tempo saà attatto da essa (se la caica che poduce il campo è positiva, esso si allineeà con la caica negativa più vicina; condizione di equilibio stabile). In questo caso, si può dimostae che la foza (il modulo) che sente il dipolo è data da: F s P. s i 45

46 Molecole polai e molecole non polai Il momento di dipolo non è una popietà di sole due caiche uguali; il caso di dipolo analizzato fino ad oa è chiaamente ideale. Lo studio delle molecole ci aiuta a capie meglio il concetto di momento di dipolo e la sua impotanza. Dallo studio della chimica sappiamo che esistono in natua almeno due gandi famiglie di molecole: quelle chiamate polai e quelle non polai. Le molecole polai, come dice la paola stessa, pesentano una polaità, pu essendo nel loo insieme neute, causata dal fatto che la concentazione di caiche positive e negative non si tova nel cento comune della molecola. Ogni volta che i centi di massa delle caiche negative non coispondono a quelli delle caiche positive, la molecola si dice polae ed essa possiede un momento di dipolo pemanente. Un esempio classico è la molecola d acqua: Ossevate con attenzione la figua, sopattutto quella che iguada il modello di Boh, pestando attenzione alla disposizione degli elettoni (in ealtà si dovebbe palae di nuvola elettonica, ma questo esempio ende meglio l idea). evidente che il cento delle caiche negative, tutte spostate pesso l atomo di ossigeno, coincide popio con il nucleo, mente il cento delle caiche positive non può tovasi sul nucleo di ossigeno; pe quanto quest ultimo valga 8 volte la caica dell idogeno, la disposizione non simmetica dei nuclei sposta il cento di simmetia delle caiche positive, sia pu in misua idotta. Affinché ci fosse stata tale simmetia, saebbeo stati necessai due atomi di idogeno posti sullo stesso piano in maniea simmetica ispetto all asse veticale passante pe il cento del nucleo di ossigeno. Nel caso dell acqua quindi, la molecola pesenta una pate più positiva e una pate più negativa; nonostante la foma non popio ideale, essa ha un compotamento uguale a quello di un (debole) dipolo, compeso un (piccolo) momento di dipolo pemanente. Molecole più simmetiche invece, come l anidide cabonica ( CO ) sono non polai: 46

47 In questo caso la disposizione lineae e simmetica ende la molecola non polae (ma non conta solo la simmetica; icoda che anche la diffeenza di elettonegatività in questo caso bassa - svolge un uolo fondamentale nella polaità o meno di cete molecole; infatti a igoe di logica, solo molecole con gli stessi atomi e pe di più simmetiche sono puamente non polai!). Quindi, pu non avendo le fome dei dipoli pefetti visti all inizio, alcune molecole possiedono un momento di dipolo pemanente con tutte le conseguenze che pesto andemo ad analizzae. Le molecole non polai, pu non possedendo un momento di dipolo pemanente, ne acquistano uno quando vengono poste in un campo elettico esteno; in questo caso paliamo di momento di dipolo indotto, peché povocato dal campo elettico che viene applicato. Come si può spiegae tale compotamento? Qualitativamente possiamo immaginae una molecola, o meglio un atomo pe una maggioe semplicità, come quello di idogeno, utilizzando un modello appossimato ma che va comunque bene pe i nosti scopi. Immaginiamo un atomo costituito da una caica positiva puntifome al suo cento (il potone) e da una nuvola elettonica che si estende unifome e continua all inteno di una sfea di aggio (ed è questa l appossimazione maggioe: la nuvola elettonica non è unifome all inteno della sfea di aggio!). L ossevazione di questo sistema, mediata nel tempo, ci dice che esso è totalmente simmetico; l ossevazione mediata su un tempo scala molto maggioe dell obita dell elettone infatti, ce lo fa vedee come pesente unifomemente su tutta l obita (cicolae) e in questo modo la sua caica bilancia pefettamente quella del potone all inteno, o in alte paole, i baicenti delle due caiche coincidono (baicento inteso non come cento di massa ma cento di caica!) e quindi non ho alcun momento di dipolo. 47

48 Immegendo tale atomo in un campo elettico esteno, qualcosa accade: la caica negativa, la nuvola elettonica, viene attatta dalla caica positiva esponsabile del campo esteno, mente il nucleo positivo sente la pesenza della caica negativa estena. Il isultato netto è che si ha un (leggeo) spostamento del baicento delle due caiche, che non coincideà più, dando oigine ad un momento di dipolo indotto dal campo elettico esteno. Con le conoscenze che abbiamo, siamo in gado di calcolae l odine di gandezza dello spostamento del baicento delle caiche elettiche positive e negative. Pe fae questo dobbiamo intodue qualche alta appossimazione: - la nuvola elettonica ha densità di caica costante (questa l abbiamo già vista) ento una sfea di aggio ; - essa, sotto l influenza del campo elettico esteno non si defoma I baicenti delle due caiche si sposteanno fino ad una distanza pe la quale si ha equilibio ta la foza esecitata dal campo esteno e la foza di ichiamo ta i baicenti stessi: + e eeff La foza di ichiamo ta i due baicenti, saà data da: FR, dove e eff è la caica 4π d negativa effettiva. La caica negativa è distibuita su una nuvola di aggio e non è quindi puntifome come quella positiva. Nel calcolo della foza di ichiamo dobbiamo consideae solamente la caica negativa pesente all inteno della sfea di aggio d, mente quella estena non conta. La situazione è identica a quella già vista del calcolo del campo pe una sfea caica. In questo caso dobbiamo calcolae la foza che la caica positiva sente all inteno della nuvola elettonica; come abbiamo già dimostato, ai fini del campo (e quindi della foza!) conta solamente la caica intena, che in questo caso abbiamo chiamato e (efficace). Tale caica si calcola 3 e 4 3 d eeff ρ eff V π d e 3 facilmente: e quindi, la foza di ichiamo diventa: π 3 e F R d 3. Possiamo semplificae notevolmente questa elazione ossevando che 4π e const 3 e quindi la elazione è del tipo: F kx cioè la legge di Hooke vista pe le molle. 4π Questa foza di ichiamo, come già detto, è bilanciata dalla foza che agisce sulle caiche atomiche 3 e 4π di modulo e, e quindi: d e 3 da cui icaviamo: d. A titolo di esempio, se 4π e consideo la nuvola elettonica di aggio m (aggio di Boh) e il campo esteno eff 48

49 6 5 3 V / m, alloa icavo d m femi. A questo punto posso calcolae il modulo del momento di dipolo indotto: 3 P ind ed 4π. In ealtà, in geneale, il dipolo indotto è popozionale al campo elettico esteno e ad una costante ( α ) chiamata costante di polaizzabilità atomica; a titolo di esempio vediamo il suo valoe pe qualche atomo e molecola: 4 3 α.66 cm ( H ) α. α α cm ( Li) 3 cm ( Na) 3 cm ( CH 4 ) Pe quest ultima si ha: α C + 4α H α CH ; α quindi ci da infomazioni sulla stuttua molecolae. 4 49

50 Campo elettico nella mateia (macoscopicamente) Fino ad oa abbiamo visto il compotamento di atomi e molecole immese in un campo elettico esteno; oa è giunto il momento di vedee come si compotano gli oggetti macoscopici: il classico esempio è quello di inseie un isolante (o dielettico) all inteno del campo elettico podotto da un condensatoe e vedee, (come nel caso dell atomo di idogeno) come si compota e cosa succede, senza dimenticae i discosi fatti nelle pagine pecedenti a poposito di atomi e molecole. Consideiamo quindi il nosto solito condensatoe a facce piane e paallele, caicato e poi staccato dalla batteia; se ta le amatue c è il vuoto, alloa sappiamo già tutto; il campo elettico è costante S e la capacità, essendo poste a distanza d, è data da: C mente la caica sulle facce del d condensatoe è data da: Q CVddp. Oa poniamo ta le amatue il nosto dielettico e studiamo cosa succede ad esso e al campo del condensatoe ( e quindi al potenziale e alla sua capacità). Pima di fae discosi quantitativi, è bene iflettee qualitativamente su quale potebbe essee il compotamento di tale sistema: Consideiamo la figua sopa; nel condensatoe c è un dielettico qualsiasi, la cui natua non è impotante. Sappiamo che il campo elettico all inteno di un condensatoe in cui è pesente il vuoto σ è costante e vale. Cosa succede quando inseiamo il dielettico? Abbiamo visto nel pecedente paagafo come a qualsiasi molecola intodotta in un campo elettico esteno venga indotto un momento di dipolo; anche in questo caso succede la stessa cosa: se il dielettico è costituito da molecole polai, che possiedono cioè un momento di dipolo pemanente, il campo elettico del condensatoe tendeà a fa oientae tutti i dipoli pemanenti; se le molecole sono non polai, alloa il campo elettico induà dei dipoli oientati secondo le sue linee di foza. Il isultato è la pesenta di una caica supeficiale netta indotta, detta anche caica di polaizzazione: 5

51 bene pecisae ancoa una volta che un dielettico, cioè un isolante, ha un compotamento molto diveso da quello di un conduttoe, come si vede dalla figua e come abbiamo visto nel caso molecolae pecedente. In questo caso l inseimento di un conduttoe avebbe podotto una migazione di caiche veso la supeficie e l instauazione di un campo elettico uguale e contaio a quello del condensatoe; nel caso degli isolanti questa migazione non c è peché le caiche non sono libee di muovesi; quello che succede è l induzione (nel caso di molecole non polai) e l oientazione di tanti piccoli dipoli a livello molecolae o atomico. Tali dipoli, come abbiamo già visto, sono causati da spostamenti infinitesimali (dell odine del femi)dei baicenti delle caiche positive e negative. La loo oientazione poduce una densità di caica supeficiale e quindi un campo elettico, il cui veso è opposto a quello podotto dalla caica sulle facce del condensatoe, detto campo di polaizzazione. Il valoe di tale campo, pe molte sostanze e deteminati intevalli del campo esteno, cesce popozionalmente a quest ultimo e il motivo è pesto spiegato. La condizione appesentata in figua è infatti un caso ideale; in ealtà un allineamento così peciso dei dipoli è impossibile peché l agitazione temica delle molecole si oppone a tale odinamento. Aumentando l intensità del campo del condensatoe, aumento l intensità del momento tocente che agisce sui dipoli, con il isultato che un numeo maggioe si allineeà, in modo popozionale all aumento del campo elettico. Il campo elettico isultante all inteno del dielettico saà dato dalla somma vettoiale del campo applicato ( ) e di quello di polaizzazione ( ), e dato che la diezione è la stessa, mente il veso cambia, possiamo scivee, icoendo ai moduli: : intoducendo un dielettico in un campo elettico si inducono delle caiche su di esso che poducono un campo che si oppone a quello esteno. Abbiamo anche detto come il campo di polaizzazione cesca lineamente con quello esteno, cioè:, ma siccome alloa. La costante di popozionalità che lega il campo isultante a quello di polaizzazione è chiamata ed è detta costante dielettica elativa, caatteistica di ogni sostanza; il campo elettico isultante saà quindi: con adimensionale e maggioe di indipendente da foma e dimensioni del dielettico ma solo dalla sua composizione chimica. Il valoe della costante dielettica elativa è ottenuto dal appoto con la costante dielettica del vuoto (e pe questo è un numeo puo; vedemo meglio in seguito). Se ad un dielettico continuiamo ad aumentae in campo esteno, ad un ceto punto il campo di polaizzazione (e quindi quello isultante) non cesceà più lineamente peché tutti (o quasi) i dipoli saanno allineati; si aiva così ad un valoe di satuazione, olte il quale si manifesta il fenomeno della scaica elettica: il campo applicato è toppo fote pe tenee insieme gli atomi o le molecole, le quali si ionizzano: gli elettoni a questo punto sono libei di muovesi e la loo migazione avviene piuttosto buscamente, dando vita al fenomeno macoscopico della scaica. L intensità del 5

52 campo applicato pe la quale si ha la scaica è detta igidità elettica ed è anche essa popia di ogni sostanza. Come abbiamo visto, il campo isultante è dato da e siccome il campo elettico (esteno, nel vuoto) è popozionale a, ne consegue che pe ogni dielettico, il campo pesente al suo inteno saà popozionale a. Tutto quello che abbiamo visto fino ad oa in maniea semi-qualitativa, lo vediamo meglio dal punto di vista più quantitativo, utilizzando le gandezze viste nei pecedenti paagafi e intoducendone di nuove, facendo attenzione a descivee quello che accade nel dielettico. Consideiamo quindi di nuovo la figua: All inteno del condensatoe c è un mateiale dielettico costituito da molecole polai, che possiedono un momento di dipolo pemanente (il discoso non cambia pe molecole non polai con dipoli indotti) e il campo elettico povoca l allineamento dei dipoli (tascuiamo l agitazione temica). Speimentalmente si tova che la capacità di un condensatoe ( C ) aumenta di un fattoe e siccome la capacità e la caica sono legati e quest ultima deve consevasi: Q CV const, alloa ne consegue che il potenziale deve diminuie di uno stesso fattoe ; siccome potenziale e campo sono legati: V dl, anche il campo isultante deve diminuie di uno stesso fattoe: abbiamo ottenuto quello detto in pecedenza. Analizziamo oa cosa accade all inteno del dielettico e come nasce il fattoe. Il campo induce tanti piccoli dipoli che si oientano secondo le linee di foza, poducendo come isultato netto una densità di caica supeficiale detta caica di polaizzazione. Consideiamo un cilindetto di aea di base unitaia e altezza l ; Ogni atomo (o molecola) coisponde ad un dipolo e ad esso è associato un momento di dipolo: p ql. Se abbiamo N atomi pe unità di volume, il momento di dipolo indotto pe unità di volume saà: P Nql dove q modulo della caica del dipolo (la pate positiva o negativa) ed l è l altezza del cilindetto uguale all altezza del dielettico. A gandi distanze, il isultato netto che si ha da questo momento di dipolo è uguale al valoe che si avebbe se si avesse un unico gande dipolo con caiche supeficiali + q pol e q pol sepaate da una distanza l, cioè ptot q pol l. La densità supeficiale di caica, indotta dal campo applicato, saà data dalla caica totale di polaizzazione divisa pe la supeficie del dielettico sulla quale si tova la caica (cioè l aea (A) di una faccia del condensatoe). La caica di polaizzazione saà data semplicemente dalla somma delle singole caiche di ogni dipolo ( q ) e cioè: q pol NqlA dove N numeo di molecole/atomi pe unità di 5

53 volume, l altezza del dielettico, A aea supeficiale, q caica di un dipolo. La densità di caica supeficiale saà quindi: σ q pol pol Nql. Questa è la densità di caica di polaizzazione pesente A su una supeficie del dielettico immesa in un campo elettico, isultato dell allineamento dei singoli dipoli molecolai/atomici e del loo contibuto; il isultato macoscopico di tale compotamento a livello micoscopico è la pesenza di una densità di caica supeficiale. Ricodando la elazione del momento di dipolo pe unità di volume, toviamo che: σ P, entambi unifomi. La pesenza di una densità di caica supeficiale di polaizzazione ( σ pol ) è il isultato dell esistenza di una densità di caica cosiddetta libea ( σ lib ) sulle amatue del condensatoe; σ pol esiste peché esiste σ lib. Vediamo oa come vaia il campo, il potenziale e la capacità, aivando a definie anche il coefficiente. Consideiamo la seguente figua e calcoliamoci, con la legge di Gauss, il campo elettico attaveso la supeficie gaussiana in esame: pol Applicando la legge di gauss, ottengo un espessione di questo tipo (non la dimostiamo, vogliamo solo fa capie il agionamento da seguie e da dove viene fuoi e da cosa dipende ): σ libds Φ nds ( + χ / ) A σ lib A e il campo (il modulo) è: ( + χ / ) S σ lib ; questa espessione è composta da due temini; il pimo è quello classico visto ( + χ / ) nel caso del campo di un condensatoe nel vuoto, mente il secondo è popio delle sostanze dielettiche (aia compesa) e ci dice in qualche modo di quanto vaia il campo elettico con il dielettico al posto del vuoto (in paticolae, di quanto si iduce il campo elettico all inteno di esso). Oa è facile calcolae il potenziale, che saà dato da: ϕ V b, dove b distanza ta le amatue σ libb del condensatoe (come visto in pecedenza!) e quindi: V ; la capacità saà data da: ( + χ / ) Q σ libs ( + χ / ) χ S C V σ libb +, cioè dal podotto della capacità nel vuoto pe un d temine che tenga conto della pesenza del dielettico. Come possiamo notae, la capacità aumenta. 53

54 χ In geneale χ dipende dal mezzo ed è chiamata suscettività elettica e si definisce + costante dielettica elativa del mateiale; il temine elativa deiva dal fatto che essa è calcolata elativamente al valoe della costante dielettica del vuoto. è un numeo puo e quindi χ ha le S stesse dimensioni di. La capacità quindi diventa: C e così in tutte le alte gandezze d possiamo intodue la costante dielettica elativa che è popia di ogni mateiale. Pima di andae a vedee le equazione dell elettostatica nella mateia, è inteessante analizzae un caso paticolae, in cui il momento di dipolo pe unità di volume all inteno del dielettico non è costante e quindi non è costante la densità di caica supeficiale di polaizzazione, in quanto: σ P Nql const. Il fatto che σ pol non sia costante nel tempo implica che all inteno del pol dielettico ho un moto di caiche (i dielettici sono degli isolanti ma non esiste in natua un isolante pefetto). Analizziamo bevemente questo moto di caiche; consideiamo una ceta egione di spazio all inteno del dielettico dalla quale escono più paticelle di quelle che entano; la quantità di caica che attavesa la supeficie ds (cioè il flusso delle caiche di polaizzazione) è dato da: dq pol P nds con σ P n. Siccome la caica si conseva, alla caica che esce coisponde una pol diminuzione di caiche all inteno del dielettico, data da: Q P nds ρ poldv in quanto Q ρ dv pol. Oa, applicando il teoema della divegenza ottengo due integali sul volume, dai V quali posso estae le funzioni integande e icavae una elazione puntuale impotante: S P nds PdV ρ poldv e quindi: ρ P. La densità (volumica) di caica di V V pol polaizzazione è podotta dalla vaiazione del momento di dipolo pe unità di volume all inteno del dielettico e quindi dalla vaiazione della densità supeficiale di caica di polaizzazione. Se tali gandezze sono costanti, non ho densità volumica e il dielettico si compota come se non avesse caica netta all inteno di esso (e questo si può giustificae pensando al modello dei dipoli allineati). Nei casi visti fino ad oa abbiamo consideato il sistema condensatoe (cioè campo inducente) + dielettico (campo indotto) e guadato solamente all effetto globale che il dielettico genea sul campo elettico podotto dal condensatoe. utile, pe avee le idee più chiae, analizzae, seppu bevemente, come è fatto e quale è il valoe del campo elettico podotto dal dielettico polaizzato, indipendentemente dall intensità del campo che povoca la polaizzazione. Consideiamo quindi un dielettico polaizzato e analizziamo il campo podotto solamente da esso. Abbiamo già visto che il dielettico assume il compotamento di due supefici di caica uguale e contaia, il cui valoe dipende dalla natua del dielettico e dall intensità del campo esteno, che pe oa non consideiamo. La disposizione di tali supefici di caica avviene pe qualunque foma del dielettico, sia esso un paallelepipedo o una sfea ed esso si compota esattemente come se al suo posto ci fosseo delle supefici conduttici caiche. Anche il campo elettico quindi, avà lo stesso andamento. Nel caso di un dielettico posto ta le amatue di un condensatoe, la densità di caica supeficiale che si viene a fomae, fa si che il dielettico stesso abbia un compotamento uguale a quello di un condensatoe: la densità di caica poduce all inteno di esso un campo elettico costante (se la distanza ta i piatti è piccola e tascuando gli effetti di bodo), il cui modulo è: 4π kσ pol ; allo stesso modo, il campo elettico podotto solamente dal dielettico, all esteno di esso in un punto non toppo distante, è nullo (basta applicae la legge di Gauss come fatto nel caso del condensatoe); pe distanze maggioi e dielettici non indefiniti, il campo assume la foma tipica di un dipolo. Siccome la diezione è la stessa del campo podotto dal condensatoe nel vuoto, ma il veso è contaio, possiamo affemae che il campo isultante podotto da un condensatoe con un S V 54

55 dielettico (polaizzato) all inteno è minoe di quello che si avebbe nel vuoto di un fattoe che tiene conto del campo di polaizzazione podotto da ogni dielettico (che, ento ceti limiti, non dipende dall intensità del campo polaizzante). Il caso di un dielettico sfeico è leggemente diveso ma non toppo. Anche in questo caso possiamo immaginae la sfea polaizzata possedee due densità di caiche supeficiali di polaizzazione: + σ pol e σ pol poste su due sfee leggemente spostate l una ispetto all alta. Il campo elettico all inteno è unifome, mente all esteno esso è il tipico campo di un dipolo elettico 55

56 quazioni dell elettostatica con i dielettici: Dopo ave visto alcuni casi conceti, completiamo il nosto discoso allagandolo al caso più geneale possibile: descizione del campo elettico all inteno di un dielettico, come isultato della pesenza di caiche libee (ioni all inteno del mateiale, condensatoi che poducono il campo polaizzante e così via) e caiche legate popie del dielettico, identificandole sempe con le solite densità di caica ρ lib e ρ pol. ρ Nel vuoto abbiamo visto che la densità di caica genea il campo elettico: 4π kρ. I mateiali dielettici sono i solito isolanti, ma anche negli isolanti si possono tovate (anzi, si tovano) delle caiche libee o addiittua estanee (basti pensae agli ioni disciolti in acqua) olte alle caiche di polaizzazione indotte dalla pesenza di un campo esteno. Nel calcolo del campo podotto da mateiale polaizzato, dobbiamo tenee conto quindi di tutte le caiche elettiche, siano esse ospiti nel dielettico che quelle geneatici del campo polaizzante; l equazione quindi ρ lib + ρ pol ρ lib P P ρ lib diventa: che si può scivee come: +. Dall esame dei campi elettici a livello micoscopico, eavamo aivati alla conclusione che il momento di dipolo è popozionale al campo elettico esteno applicato, e cioè: p α. Consideando il dielettico costituito dagli stessi atomi (o atomi/molecole con lo stesso compotamento), anche il momento di dipolo pe unità di volume saà popozionale al campo elettico applicato: P α χ (con α χ ) e quindi l equazione si può semplificae: χ ρ lib χ ρ lib + + ( ) ρ lib A questo punto, pe semplificae la elazione e inglobae le costanti ed, possiamo definie una nuova gandezza, detta vettoe di induzione elettica D ρ lib D ; in questo caso la elazione diventa:. Questo isultato è valido tuttavia pe casi paticolai, quando il mateiale polaizzato consideato è omogeneo ed isotopo e non vaia con il campo polaizzatoe esteno. Quello che a noi peme di capie è: - la densità di caica totale ( ρ lib + ρ pol ) mi caatteizza il campo elettico; - il vettoe induzione elettica è caatteizzato dalla sola densità di caica libea e quindi, in dielettici classici (in cui genealmente tascuiamo le pochissime caiche libee pesenti) il suo valoe esta costante all inteno di esso peché dipende solamente dalle caiche libee, cioè dalle caiche che poducono il campo polaizzante. - La densità di caica di polaizzazione ( ρ pol ) mi fonisce il vettoe momento di dipolo pe unità di volume o in alte paole, il vettoe densità di polaizzazione. Il vettoe densità di polaizzazione P è definito solamente all inteno dei dielettici polaizzati 56

57 Relazione ta i vettoi, D, P. Il vettoe induzione elettica dipende solamente dalla densità di caica libea ed è quindi indipendente dal mateiale di cui è costituito il dielettico e la elazione geneale che lo lega agli alti due vettoi è la seguente: D + P, indipendente dal tipo di mateiale (e valida anche nel vuoto). Pe il vettoe densità di polaizzazione e il campo elettico (isultante, cioè quello podotto nel vuoto e quello di polaizzazione) si ha: P ( ). Pe sostanze omogenee ed isotope il vettoe densità di polaizzazione è costante e quindi possiamo semplificae l espessione del vettoe induzione elettica: D, che nel vuoto vale peché il vettoe polaizzazione del D vuoto non esiste (o in altenativa la costante dielettica elativa è uno) (si vede inolte che il valoe di D non dipende dalle caiche legate del dielettico ed esso esta costante sia nel vuoto che all inteno di esso, dove il temine ci estituisce esattamente il valoe del campo elettico nel vuoto). Una beve analisi dimensionale ci svela le unità di misua di queste due nuove gandezze nel sistema intenazionale: [ D ] [ P] C / m, mente [ ] N / C ; nel sistema cgs i te vettoi hanno tutti la stessa unità di misua ( ues / cm ). In ealtà l esistenza di queste elazioni incociate ta i te vettoi, ci dice che non tutti sono essenziali al fine dello studio del compotamento di un dielettico polaizzato; in paticolae, secondo alcuni, è popio il vettoe induzione elettica ad essee supefluo. Il suo uso è comunque giustificato da una maggioe comodità e semplicità nel capie il compotamento elettostatico della mateia. Passaggio da un dielettico ad un alto: Analizziamo (bevemente) cosa succede alle gandezze elettostatiche quando devono attavesae due dielettici divesi. Consideo quindi due dielettici con popietà divese e ceco di spiegae come si compota il campo elettico ponendomi sulla supeficie di confine. Consideo oa un cilindo di altezza infinitesima h con basi ds ognuna su un dielettico: Calcoliamo oa il flusso del vettoe di induzione attaveso le due supefici di base. chiao che esso saà nullo peché il dielettico è nel complesso neuto: Φ D D nds + D nds D n Dn ; icodando le elazioni ta D ed valide pe mateiali isotopi ed omogenei, possiamo n scivee anche: n n e quindi:. Analizziamo oa come vaia il campo elettico n attavesando la supeficie di confine ta i due dielettici. sso poviene dall esteno con una ceta 57

58 inclinazione, enta dalla supeficie ed esce dalla supeficie. Siccome l inclinazione di tale campo è casuale, possiamo scompolo in due componenti, una nomale alle supefici di base e una tangenziale. Consideiamo oa la supeficie di confine e calcoliamoci la cicuitazione del campo elettico sulla linea chiusa come in figua: In modo simile al caso pecedente, pocediamo: il campo elettico lungo una linea chiusa è sempe consevativo, cioè la sua cicuitazione è sempe nulla; in paticolae possiamo scivee una elazione pe le componenti tangenziali, che saanno uguali: t t. Come in pecedenza, tenendo conto delle elazioni ta i due vettoi e D : D e D, possiamo scivee: D D t D t t Dt. Quello che le fomule viste ci dicono è che attavesando la supeficie di confine ta due dielettici, la componente tangenziale del campo elettico esta la stessa, mente quella nomale subisce una discontinuità (cioè un cambiamento impovviso); al contaio, pe il vettoe induzione elettica, la sua componente nomale non cambia, mente la componente tangenziale subisce una discontinuità. Tenendo pesente questi isultati e consideando la seguente figua: che appesenta un caso geneale in cui il campo elettico deve attavesae le supefici di due dielettici, possiamo vedee qualitativamente il suo andamento, molto simile alla legge di ifazione pe le onde elettomagnetiche (in ealtà è la stessa legge in quanto la luce è composta da campi elettici e magnetici!). Dalla figua è facile vedee che: tan t θ e n tan θ t n ; dal appoto si ottiene: tan θ tan θ t n t n. Questa è la legge di ifazione pe le lenti. Si vede che pe angoli (ispetto alla nomale) nulli (cioè nessuna componente tangenziale), il campo non subisce discontinuità (ifazione), come accade nel caso di un condensatoe a facce piane e paallele. 58

59 Coente elettica continua Consideiamo un conduttoe (una lasta) e immegiamolo in un campo elettico: le caiche elettiche (pate dei suoi elettoni) sono libee di muovesi e sotto l azione del campo si distibuianno sulla supeficie supeioe, fino a stabilie un campo elettico uguale e contaio a quello esteno: il campo elettico netto all inteno del conduttoe in questo caso si annulleà e così si annulla anche il flusso di caiche, giungendo alla situazione elettostatica. Immaginiamo oa di avee una macchina in gado di pompae via le caiche elettiche che si accumulano sulla supeficie supeioe del condensatoe e e-immettele su quella infeioe; in questo modo il flusso di caiche non si femeà mai peché l equilibio ta i due campi elettici non si aggiungeà e si instaueà un flusso netto e costante nel tempo (se è costante il campo esteno e il modo in cui gli elettoni vengono pompati dalla supeficie supeioe a quella infeioe) di caiche elettiche. Il moto delle caiche genea quella che si chiama coente elettica; questo è un tipo di moto viscoso e molto lento (come vedemo), ma estemamente odinato. Nel caso degli isolanti questo movimento migatoio non c è in quanto le caiche elettiche sono legate al eticolo molecolae/atomico e non sono libee di muovesi come nei conduttoi (pincipalmente metalli), o meglio, la loo mobilità avviene su tempi scala molto lunghi. Palando in temini più fisici, possiamo definie coente elettica qualsiasi movimento di caiche (odinato) che avviene in un conduttoe o nel vuoto: anche un potone che si muove nel vuoto poduce una coente elettica. peò impotante notae che il movimento delle caiche, sia esso nel vuoto o in un conduttoe, è causato dall esistenza di un campo elettico che poduce una diffeenza di potenziale, ed è eso possibile dalla mobilità della caica stessa. Definiamo quindi la dq coente elettica il appoto: i, cioè la quantità di caica elettica che passa attaveso una dt ceta sezione del conduttoe nell unità di tempo (il flusso è netto!). Nonostante sia uno scalae, essa ha un veso che pe convenzione coincide con il moto delle caiche positive (anche se in ealtà sono le caiche negative, cioè gli elettoni, a muovesi). Una gandezza vettoiale legata alla coente elettica è il vettoe densità di coente ( J ) tale che la coente elettica è data dalla seguente elazione: i J nds. ( J è coente pe unità di aea); la sua diezione e veso coincidono con il S moto delle caiche positive. La solita analisi dimensionale ci da infomazioni sulle unità di misua di queste nuove gandezze: Q [ i] [ QT ] C / s A SI: T [ J ] [ QL T ] 59

60 Cgs: Q [ ] [ ] / i M L / T LT T [ ] [ ] / / J M L T Fank / s cm Fank / s ues / s Il passo successivo è capie come queste quantità macoscopiche siano legate a quantità micoscopiche come il numeo di caiche e la loo velocità. Intanto, possiamo subito legae la caica elettica (Coulomb) al numeo di elettoni (che poi sono le paticelle che ealmente si muovono): C C 8 n e 6. 9 ; andiamo oa a vedee come collegae i e J a quantità come e.6 C N numeo di caiche elementai pe unità di volume e < v > velocità media delle caiche. Consideo un volume V all inteno di un conduttoe attaveso il quale scoono delle caiche: All inteno di questo volume V di lato v n t v t cosθ, le caiche hanno tutte la stessa velocità v e tutte attavesano la faccia lateale S in un tempo t. Il volume V è quindi dato da: V v n t S e il numeo delle caiche acchiuse in esso saà dato semplicemente da: n N V e la caica totale: q e n q en V env n t S e la conseguente intensità di coente dq q saà: i en Sv n ; siccome si ha anche: i J nds J n S, si icava: J env. dt t Abbiamo tovato quello che cecavamo, una elazione ta quantità macoscopiche ( i, J ) e quantità micoscopiche ( N, v ), ma non conosciamo la velocità alla quale si muovono gli elettoni, pe questo dobbiamo cecae di icavala. In ealtà le caiche all inteno del conduttoe si muovono con velocità divese (è un moto viscoso); siccome non è pensabile consideae le velocità delle singole ni vi n paticelle, consideiamo un suo valoe medio, così definito: i < v >, con i fazione di N N 6

61 caiche, pe unità di volume, con velocità v i. Nel caso più geneale in cui ho caiche positive e negative in movimento, devo consideae la caica netta, che è quella che poduce la coente elettica; la densità di caica netta saà quindi: J N + q + < v+ > N q < v >. Anche questa elazione è un appossimazione; in paticolae abbiamo consideato solamente caiche positive e negative uguali, ma in ealtà posso avee ioni positivi di divesa caica o ioni negativi al posto degli elettoni come potatoi di caiche negative, ma pe i nosti scopi (calcolo della velocità media) questa appossimazione è più che accettabile. In geneale, siccome si tatta di moto viscoso (e quindi un moto unifome sotto la pesenza di una foza, quella elettica, podotta dal campo elettico), paticelle più massicce avanno velocità minoi, mente quelle meno massicce (leggi elettoni) avanno le velocità maggioi. Pe il calcolo delle velocità tipiche, consideiamo un esempio: pendiamo un conduttoe di sezione 6 S mm m attaveso il quale scoe una coente i. A. Calcoliamoci oa la densità di caica e quindi la velocità media degli elettoni, che consideiamo gli unici potatoi di caica (nel caso di buoni conduttoi metallici questo è veo). Il modulo della densità di coente si calcola i A 5 subito: J A / m. Pe calcolae la velocità media degli elettoni mi sevono 6 S m alte infomazioni: il conduttoe è di ame e al moto patecipano solamente gli elettoni libei che assumiamo essee pe ogni atomo del conduttoe; conoscendo la densità del ame: ρ Cu 8.9g / cm 8.9 Kg / m e la massa di un atomo di ame: M Cu.6 Kg possiamo calcolae facilmente il numeo di atomi pe unità di volume che saà uguale al numeo degli ρ Cu 8 3 elettoni che patecipano al moto pe meto cubo: N e N Cu 8.4 atomi / m. La M velocità media di deiva si icava dalla J N q < v > N q < > consideando solo le Cu v J 6 caiche negative: < v > 7.5 m / s, una velocità estemamente bassa!pe compiee un N ee x meto, gli elettoni impiegano < t > 37h (!!), una velocità estemamente piccola, < v > sopattutto se confontata con la velocità di agitazione temica: / 3 me < v t > kt kt v 3 < t >. 5 m / s m (!!) ben odini di gandezza maggioe! La diffeenza e fondamentale comunque non sta nella velocità, ma nel diveso odine in cui avvengono i due moti. La velocità temica, pu essendo migliaia di miliadi di volte maggioe, è un moto completamente casuale, la cui isultante netta è sempe nulla, mente il moto dovuto al campo elettico, la coente elettica, nonostante sia lentissimo, è molto odinato e la somma delle 3 componenti spaziali di tutte le paticelle non è più nulla, con il isultato netto che si ha un eale flusso di paticelle, sia pu lentissimo confontato con la velocità di agitazione temica. 6

62 Legge di Ohm: Cominciamo un analisi (beve) delle coenti elettiche a livello macoscopico, di come esse scoono e di quali sono le egole e le leggi a cui sono soggette a livello macoscopico. La pima legge che incontiamo è di natua pettamente empiica e come tale la pesentiamo. Ossevando il compotamento di conduttoi attavesati da coente elettica, ci si accose che l intensità della coente che scoe nel cicuito è legata alla diffeenza di potenziale; in alte paole, ci si accose empiicamente che aumentando la diffeenza di potenziale (la causa della coente elettica) aumentava anche l intensità di coente isultante (l effetto). La legge di Ohm affema che se ta due punti A e B di un conduttoe è applicata una diffeenza di potenziale, alloa l intensità di V V coente elettica nel conduttoe è data da: i ϕ dove R è una costante di R R popozionalità chiamata esistenza; il suo valoe dipende dal tipo di mateiale e appesenta la esistenza che quel mateiale oppone al passaggio di coente: essa ci da infomazioni quindi sulla sua natua, in paticolae sulla mobilità delle sue caiche. Le unità di misua sono: ϕ SI: [ R ] Ω Ohm i ϕ Cgs: [ R ] [ L T ] s / cm i Sempe empiicamente si è tovato che la esistenza è legata alla geometia e composizione del l conduttoe: R ρ dove l lunghezza, S sezione e ρ l esistività. Il appoto dipende S S unicamente dalla geometia del conduttoe, come nel caso della capacità di un condensatoe, mente ρ dalla sua composizione chimica; le unità di misua della esistività sono: RS SI: [ ρ ] Ω m l RS Cgs: [ ρ ] [ T ] s l Possiamo anche definie una divesa gandezza, detta conducibilità elettica o conduttanza specifica: σ. ρ La esistività ρ 8 vale di solito ρ 5 pe i metalli e ρ pe gli isolanti. In effetti si può dimostae che esiste un collegamento ta ρ e la viscosità di un ceto fluido, come già intuito, e come si può ben vedee analizzando il suo valoe nei metalli e negli isolanti. ssa dipende anche dalla tempeatua, con una dipendenza di questo tipo: ρ ρ [ + α ( T T )] con ρ esistività alla 3 tempeatua standad di 93 K e α. Come possiamo vedee, a basse tempeatue, la esistività diminuisce; a tempeatue molto basse il suo valoe è molto minoe di e la conseguente esistenza tende a zeo: questo è il caso della supeconduttività. 6

63 Legge di Ohm genealizzata: Andiamo ad analizzae bevemente, con le conoscenze in nosto possesso, come icavae la legge di Ohm in modo più geneale e sopattutto come legae l effetto, cioè la coente elettica, alla vea causa, che non è il potenziale elettico, ma il campo elettico; cechiamo cioè di legae diettamente J ed. Consideiamo un conduttoe come in figua: Quello che già sappiamo è: ) di J nds ) R dl ρ ds 3) dv dl V 4) di dv R popio quest ultima elazione, la legge di Ohm empiica, che consente di icavaci le elazioni ta J ed ; infatti si ha: di dv dlds ds R ρ dl ρ di J n ds ds e quindi: J nds ρ. Analizzando queste elazioni, in paticolae quelle che ci foniscono di, appae evidente che esiste una popozionalità ta le componenti nomali di J e di : ρ J ; in ealtà questa elazione è valida nel caso più geneale, e cioè esiste una popozionalità ta J ed (veificabile speimentalmente): J σ dove σ è in ealtà un tensoe. Questa legge è di natua ρ speimentale peché è stata icavata dalla legge di Ohm empiica e in effetti non può essee icavata dalle leggi fondamentali dell elettomagnetismo a meno di non icoee ad un modello di conduzione elettica nella mateia. La sua validità è comunque accetata da numeosi espeimenti ed oa siamo in gado di capie chi è il esponsabile della coente elettica; infatti, senza andae nei paticolai, una semplice analisi delle elazioni viste, ci può dae molte infomazioni a iguado. Abbiamo visto che ta J e le gandezze micoscopiche, esiste la elazione: J env ma allo stesso tempo il vettoe densità di coente è popozionale al campo elettico, il quale a sua volta è popozionale alla foza: J F ; alloa si ha: J v F e quindi v F, che è il tipico caso di un moto viscoso; abbiamo quindi la pova che le caiche si muovono di moto viscoso all inteno del conduttoe. dq dv (occhio ai segni; > quando <, cioè la caica positiva si muove nella diezione in cui il dt dl potenziale diminuisce). n n 63

64 Coenti stazionaie e consevazione della caica: Il vettoe densità di coente è definito in ogni punto dello spazio in cui avviene il moto delle caiche, in analogia con il campo elettico; in un ceto senso anche J poduce un campo, le cui linee di foza sono tangenti in ogni punto al vettoe stesso e ci indica come vaia la densità dei potatoi di caica in ogni punto dello spazio al vaiae del tempo. Una situazione molto facile da studiae è quando il vettoe J è costante nel tempo; in questi casi è facile capie come il suo flusso su una supeficie chiusa sia sempe nullo (tanta densità di coente enta da una pate quanta ne esce dall alta): Φ J S J nds. Pocedendo allo stesso modo del caso del campo elettico, applichiamo il teoema della divegenza e icaviamoci la elazione puntuale (ma con un isultato diveso!): Φ J nds JdV J e quindi: J. Questo è valido nel caso stazionaio, S V J cioè quando J è costante nel tempo ( ) e se il campo elettico è consevativo, cioè se non ha t votici: ; il campo in questo caso di dice solenoidale. In questo caso paticolamente semplice è evidente che la elazione del vettoe densità di coente ci da anche la consevazione della caica elettica; icodando infatti che J env si vede che tanta caica enta in una ceta supeficie chiusa, tanta ne esce: essa si conseva (anche il fatto che il campo elettico è consevativo è condizione necessaia). Nel caso più geneale di coenti non stazionaie, possiamo icavaci ugualmente la legge di consevazione della caica elettica; in questo caso il vettoe J dipende da t ( J J ( t ) ), ma allo stesso tempo è legato diettamente alla caica elettica; questo significa che la diffeenza di flusso entante ed uscente da una supeficie chiusa, nell unità di tempo, coisponde ad una vaiazione tempoale della caica elettica q che si tova all inteno della supeficie S; in alte paole: q Φ J J nds ; (elazione integale); applicando il teoema della divegenza ed estaendo le t S funzioni integande, icavo le elazioni puntuali (o diffeenziali): JdV ρ dv V t V V ρ dv t ρ con S supeficie chiusa e volume abitaio; icaviamo quindi: J legge di t consevazione della caica elettica: nessuna caica elettica può allontanasi da un ceto punto dello spazio senza che in quel punto non vi sia una diminuzione di caica. 64

65 Alte leggi speimentali: Analizziamo bevemente alte leggi e popietà di natua speimentale sulle coenti continue, paticolamente utili nel caso dei cicuiti elettici. I geneatoi elettici e la foza elettomotice: in un cicuito, sono degli oggetti che poducono e mantengono costante (nel caso di coenti stazionaie e condizioni ideali) la coente all inteno di un cicuito, geneando la cosiddetta foza elettomotice (fem). Abbiamo infatti visto che applicando un campo elettico ta gli estemi di un conduttoe si instaua una diffeenza di potenziale e un conseguente moto di caiche che cecano di annullae tale ddp. In effetti se non ci fosse un macchinaio che pompi le caiche e le e immetta dall alta pate, il campo elettico e quindi il flusso di caiche si esauiebbe in pochissimi istanti, quando le caiche aggiungono l equilibio. I geneatoi elettici hanno il compito di pendee le caiche (negative) accumulate in un capo del cicuito ed immettele nell alto capo dove sentono il campo elettico e ipendono a scoee, cioè quello di mantenee una diffeenza di potenziale ai capi del cicuito. Più specificatamente si dice che i geneatoi elettici poducono delle foze elettomotici ( fem ); comuni geneatoi di fem sono le batteie che tutti noi utilizziamo nella vita quotidiana. L unità di misua della fem è la stessa del potenziale e cioè il Volt ed essa è più popiamente un dl lavoo pe unità di caica: f (infatti anche il potenziale è definito in questo modo!). Pe dq geneae coente continua si utilizzano geneatoi e accumulatoi; un geneatoe ideale è quello che iesce a fonie ai suoi capi una fem indipendente dalla coente eogata e costante nel tempo, senza avee dissipazione di enegia all inteno di esso (cioè con esistenza intena nulla); il suo simbolo cicuitale è. In ealtà non esiste in natua un geneatoe ideale e pate della coente elettica viene dissipata all inteno del geneatoe stesso; in questo caso è più ealistico consideae 65

66 il geneatoe eale come costituito da un geneatoe ideale al quale è accoppiata una esistenza: Il lavoo che compie il geneatoe è quindi, come si vede anche dalla figua, quello di accogliee le caiche positive (consideiamo pe convenzione le caiche positive come potatoi,ma il discoso non cambia) dal mosetto negativo ( V ) a quello positivo ( V + ) compiendo lavoo; in alte paole esso peleva le caiche positive da un livello di potenziale basso pe potale ad un potenziale più alto; le caiche positive a questo punto cominceanno a scoee di nuovo nel cicuito, veso il punto a potenziale più basso La foza elettomotice si misua con uno stumento chiamato voltmeto elettostatico. Legge di Joule: La legge di Joule affema che il passaggio di coente attaveso qualsiasi elemento cicuitale poduce dissipazione di enegia sottofoma di caloe. La causa di tale pedita di enegia è da icecasi nel moto viscoso dei potatoi di caica all inteno del cicuito, incontando quindi una ceta esistenza al loo moto; è facile intuie che maggioe saà la loo velocità, maggioe saà la esistenza del mateiale al loo moto, maggioe saà quindi l enegia dissipata pe effetto Joule (che alto non è l attito dei casi macoscopici). In alte paole, siccome abbiamo visto che la velocità dipende dalla diffeenza di potenziale applicata, maggioe è il potenziale, maggioe saà la dissipazione pe caloe: dw Vdq Vidt. La conseguente potenza dissipata è semplicemente dw l enegia dissipata nell unità di tempo e quindi: P Vi Ri la cui unità di misua è il Watt dt [ J / s] W. Leggi di Kichhoff: Tali leggi sono paticolamente utili nell analisi di cicuiti: Legge dei nodi (pima legge); essa affema che la somma algebica di tutte le coenti che fluiscono in un nodo è sempe nulla: i j ; questa non è alto che l espessione del pincipio di j consevazione della caica. Si definisce nodo un punto in cui convegono almeno due ami del cicuito: Il segno scelto pe la coente è abitaio; l impotante è che si consideino discodi coenti entanti ed uscenti. 66