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1 Transitorio termico per un Ferro da stiro (esercizio 5.9 di Fundamentals of Heat and Mass Transfer, F.P. Incropera, D.P. Dewitt, T.L. Bergman, A.S. Lavine, 6th Edition, Wiley, La piastra di un ferro da stiro ha uno spessore L = 7 mm, è realizzata con una lega di alluminio (ρ = 2800 kg/m 3, c = 900 J/(kg K, k = 180 W/(m K, ed è caratterizzata da un valore dell emissività superficiale ε = La piastra è riscaldata da una resistenza elettrica disposta sulla Ambiente, T amb sua superficie interna, mentre la superficie esterna è esposta all aria, con T = 20 C, ed alle superfici circostanti, a temperatura T amb = 18 C. Aria Se il flusso termico specifico fornito dalla resistenza elettrica è T, h pari a q = W/m 2, ed il coefficiente convettivo sulla superficie esterna è pari a h = 10 W/(m 2 K, stimare il tempo necessario per portare la piastra, da una temperatura iniziale T i = T, alla temperatura di esercizio T p = 135 C. Nota La costante di Stefan-Boltzmann vale σ = W/(m 2 K 4 SOLUZIONE La soluzione del problema viene affrontata secondo tre diverse modalità: 1. Metodo dei parametri concentrati approccio analitico; 2. Metodo dei parametri concentrati approccio numerico; 3. Metodo generale (dipendenza spaziale della temperatura approccio numerico. Per tutte le tre modalità, le ipotesi semplificative sono le seguenti: Lo scambio termico radiativo avviene fra una superficie piccola, il ferro da stiro, ed una cavità di ampie dimensioni, l ambiente; Il coefficiente convettivo è tempo-invariante; Le proprietà termofisiche sono costanti ed uniformi; Il ferro da stiro si trova inizialmente in condizioni isoterme alla temperatura T i = T. 1. Metodo dei parametri concentrati approccio analitico Per poter utilizzare il metodo dei parametri concentrati, per via analitica o numerica, è dapprima necessario valutare se il numero di Biot, Bi, è inferiore a 0.1. La valutazione del numero di Biot può basarsi sul solo scambio termico convettivo, sul (massimo scambio termico per irraggiamento o, in modo conservativo, sul contributo di ambedue. Utilizzando quest ultima tipologia di valutazione, si ha 4 4 qirr = Asεσ ( T( τ Tamb dove A s è la superficie di un lato della piastra. Assumendo T (τ = cost = T p = 135 C = K, corrispondente alla condizione di massimo scambio termico per irraggiamento, la relazione precedente può essere scritta utilizzando il coefficiente di scambio termico per irraggiamento h r 1/7

2 ( T T qirr As hr p amb con 2 2 h r = εσ ( Tp + Tamb ( Tp + Tamb Nel nostro caso risulta h r 8 W/(m 2 K Possiamo perciò definire il coefficiente di scambio termico globale = h + hirr 18 W/(m 2 K e quindi valutare il numero di Biot 1 L Bi = = k Si tratta di un valore molto basso, che rende perfettamente legittimo l utilizzo del metodo dei parametri concentrati (lumped capacitance method. Il bilancio di primo principio per il sistema fornisce q As qout As = E& st dove A s è la superficie di un lato della piastra, E st rappresenta l energia immagazzinata, e q out è il flusso termico specifico uscente, dovuto allo scambio termico convettivo e per irraggiamento. Esplicitando questi ultimi due contributi si ha dt q As As ( T T = ρ LAs dt q ( T = ρlc La medesima espressione poteva essere ricavata dal caso più generale di analisi con il metodo dei parametri concentrati. Definendo θ = T si ottiene dθ + aθ b = 0 (1 con a = ρlc q b = ρlc Un metodo possibile di soluzione della (1 è quello di definire una variabile ausiliaria b θ θ a da cui, osservando che d θ = dθ, si ottiene dθ + aθ = 0 Separando le variabili ed integrando 1 Nella definizione del numero di Biot si utilizza l intero spessore della piastra, L, e non L/2, poiche lo scambio termico con l ambiente avviene solo da un lato. 2/7

3 θ ln = aτ θi T b a ln = aτ b a da cui T T T T i b a = T T i [ exp( aτ ] + exp( aτ 1 (2 È agevole verificare che per q =0 e b = 0, la (2 diventa h ( = tot As aτ exp τ T = exp ρvc cioè il caso, ben noto, di transitorio termico con solo scambio termico convettivo. Analogamente, per τ si ottiene T b a = cioè q T T + = q h tot che è lo stesso risultato al quale si perviene attraverso un bilancio sulla superficie in condizioni stazionarie h, T q = q = h ( T T conv tot Nel nostro caso = q b = K/s ρ Lc 3 a = = K/s ρ Lc da cui τ s 2. Metodo dei parametri concentrati approccio numerico L analisi è stata effettuata, in MTLAB, per mezzo della funzione ode45, utilizzata per la soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie (ode ordinary differential equations. A differenza del caso analitico, nel quale si assume costante il coefficiente di scambio termico per irraggiamento, in questo caso esso viene valutato in modo esatto. L equazione utilizzata è pertanto la dt 4 4 ρ Lc = q h( T εσ ( T T amb 3/7

4 che per la risoluzione in Matlab viene scritta in forma esplicita come 4 [ q h( T T ( T ] 4 dt 1 = εσ ρlc T amb (3 Il calcolo viene eseguito sfruttando la gestione di eventi (event handler disponibile in MATLAB, considerando quale unico evento il raggiungimento della temperatura T p. Lo script MATLAB è qui riportato: function iron Questo file simula, attraverso il metodo dei parametri concentrati, il transitori termico della piastra in alluminio di un ferro da stiro, soggetta a riscaldamento a flusso costante da un lato, e convezione ed irraggiamento dall'altro. Si desidera valutare il tempo necessario per raggiungere la temperatura di esercizio tp = 135 C. Esercizio no. 5.9 di "Fundamentals of Heat and Mass Transfer", F.P. Incropera, D.P. Dewitt, T.L. Bergman, A.S. Lavine, 6th Edition, Wiley, E. Nobile, tspan = [0 900]; Intervallo (arbitrario, dato che non conosco la durata dell'evento di integrazione temporale [s] Condizioni iniziali T0 = 20; Temperatura iniziale piastra [ C] Temperatura a regime Tp = 135; Temperatura piastra a regime [ C] Materiale piastra rho = 2800; Massa volumica (densità [kg/m^3] c = 900; Calore specifico [J/kg K] L = 7e-3; Spessore piastra ferro da stiro [m] Irraggiamento emiss = 0.8; Emissività della piastra sigma = 5.67e-8; Cost. di Stefan-Boltzmann [W/m^2 k^4] Convezione h = 10; Coefficiente convettivo [W/m^2 K] Flusso imposto q = 12500; Flusso sul lato riscaldato [W/m^2] Condizioni ambientali nf = 20; Temperatura aria ambiente [ C] Tamb = 18; Temperatura superfici ambiente [ C] Setta l'evento: raggiungimento della temperatuta Tp options = Integrazione temporale sino a raggiungere la temperatura Tp [t,y,te,ye] = h,q,nf,tamb; t_final = te; Tempo finale fornito dall'event handler Rappresentazione grafica dell'andamento della temperatura in funzione del tempo 4/7

5 plot(t,y,'go-' grid on title('transitorio termico - Ferro da stiro' xlabel('tempo [s]' ylabel('temperatura [\circ C]' hold on Stampa/Display... Data=date; clc; disp(' ' disp(' ' disp(data disp(' ' disp(' ' disp(' Conduzione non stazionaria nella piastra di un' disp(' Ferro da stiro' disp('(es. 5.9 di Fundamentals of Heat and Mass Transfer,' disp('f.p. Incropera, D.P. Dewitt, T.L. Bergman, A.S. Lavine' disp('6th Edition, Wiley, 2007' disp(' ' disp(' ' disp(strcat('tempo necessario a raggiungere la temperatura Tp =',... num2str(tp,'[ C]' disp(strcat(num2str(t_final,'[s]' disp(' ' disp(' ' function dydt = lumped_iron(t,y,tp,rho,c,l,emiss,sigma,h,q,nf,tamb dydt = [(1/(rho*L*c*... (q - h*(y(1-nf-emiss*sigma*((y( ^4-(tamb ^4]; function [value,isterminal,direction] = events(t,y,tp,rho,c,l,emiss,... sigma,h,q,nf,tamb value = [y(1-tp]; T = Tp: evento isterminal = 1; Termina il calcolo direction = +1; Solo per attraversamenti positivi, cioe' T-Tp >0 L andamento della temperatura della piastra, in funzione del tempo, è illustrato nel grafico seguente: 140 Transitorio termico - Ferro da stiro 120 Temperatura [ C] tempo [s] 5/7

6 Il risultato fornito dallo script è il seguente Apr Conduzione non stazionaria nella piastra di un Ferro da stiro (Es. 5.9 di Fundamentals of Heat and Mass Transfer, F.P. Incropera, D.P. Dewitt, T.L. Bergman, A.S. Lavine 6th Edition, Wiley, Tempo necessario a raggiungere la temperatura Tp =135[ C] [s] Risultato che differisce di circa lo 0.5 da quello ottenuto analiticamente in modo semplificato. 3. Metodo generale (dipendenza spaziale della temperatura approccio numerico La validità dell ipotesi di sostanziale indipendenza spaziale delle temperatura, verificata attraverso la verifica del numero di Biot, viene qua confermata attraverso un analisi numerica nella quale si tiene conto della possibile non uniformità della temperatura della piastra durante il riscaldamento. L analisi viene effettuata tramite il programma agli elementi finiti COMSOL Multiphysics vers. 3.3a. Anche in questa analisi, lo scambio termico per irraggiamento viene calcolato in modo corretto, non facendo uso dell ipotesi semplificativa di coefficiente di scambio termico per irraggiamento costante. Il calcolo è stato effettuato con una griglia di 30 elementi, usando funzioni di forma Lagrangiane-quadratiche, per un totale di 61 Gradi di libertà (g.d.l.. Il grafico allegato (la simulazione ha comunque indicato, com era logico attendersi, la mancanza di dipendenza spaziale della temperatura riporta l andamento della temperatura all estremità della piastra dove avviene lo scambio termico convettivo e radiativo. La simulazione indica un tempo pari a τ s La medesima valutazione effettuata sull estremità riscaldata della piastra, fornisce 6/7

7 τ s La modesta differenza fra i due valori indica nuovamente la pressoché totale indipendenza spaziale della temperatura. Commenti Tutti i tre approcci forniscono, com era logico attendersi visti i valori molto bassi del numero di Biot, pressoché lo stesso risultato. A rigore, in presenza di scambio termico in convezione naturale come in questo caso, anche il coefficiente convettivo h, così come il coefficiente di scambio termico per irraggiamento h r, varia con la differenza di temperatura, da un valore pari a zero a τ = 0, sino ad un valore massimo al tempo τ = 177 s. 7/7

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