Formule di telecomunicazioni

Transcript

1 Frmule di telecmunicazini PAM descrizine generica di un segnale PAM: N/2 s(t) = n = - N/2 a n g(t nt) a n = sequenza di simbli N + 1 = lunghezza della sequenza di simbli (può essere finita infinita) T = temp di simbl g(t) = impuls ttenut per traslazine di un temp T d di un altra frma d nda g 0 (t) g 0 (t) = impuls rettanglare centrat all istante t = 0 durata = T ampiezza = V g 0 (t) = V rect(t/t) g 0 (t) V T g(t) = g 0 (t T d ) 0 t T d = traslazine dall rigine g(t) V T d 0 t T - se T d è nt segnale SINCRONO - se T d è aleatri segnale ASINCRONO UniversiBO

2 2) PPM i segnali PAM cn cstituiti da un tren di impulsi mdulati in ampiezza dai simbli la durata della frma d nda g(t) restituisce un infrmazine relativa al temp per trasmettere gni simbl T = temp di simbl R S = 1/T frequenza di simbl [simbli/sec] = [baud] N/2 s(t) = g Δ (t nt a n T p ) n = - N/2 a n = T p = T = sequenza di simbli a n A = 0, 1, 2,, L-1 frazine del temp di simbl T p = T/L temp di simbl R s = 1/T frequenza di simbl N+1 = lunghezza della sequenza da trasmettere se T d è nt se T d è aleatri segnale sincrn segnale asincrn g Δ (t) = g Δ0 (t T d ) g Δ (t) è ttenuta trasland g Δ0 di T d g Δ0 (t) = un impuls rettanglare centrat in 0 ampiezza = V durata Δ Δ<T g Δ0 (t) V Δ = T/L 0 t Δ UniversiBO

3 Es. L = 2 A = 0, 1 T p = Δ = T/2 I simbli nn vann a mdulare l ampiezza del segnale ma ritardan la frma d nda, ssia la psizine della frma d nda sull asse dei tempi 3) PWM N/2 s(t) = n = - N/2 g Δn (t nt) a n A = 1, 2,, L T p = T/L frazine del temp di simbl se T d è nt se T d è aleatri segnale sincrn segnale asincrn g Δn (t) = g Δn0 (t T d ) g Δn0 (t) = impuls rettanglare centrat in 0 ampiezza = V durata Δ n = a n T p Δ n T g Δn0 (t) V 0 t Δ n Il segnale è un tren di impulsi che nn si svrappngn, ciascun di durata Δ n che dipende dal simbl e ritardati di T p gni impuls quindi è mdulat in durata dai simbli stessi UniversiBO

4 CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI 1) Sistemi lineari Data una n-pla di cefficienti a k e una n-pla di segnali x k (t) a k x k (t) K = 1,, N K = 1,, N N N T [ a k x k (t) ] = a k T [x k (t)] N a k x k (t) K = 1 K = 1 2) Sistemi temp invariante dat un temp τ un sistema è dett temp invariante se la trasfrmazine del segnale x(t) ritardata di τ è uguale alla rispsta y(t) ritardata di un temp τ T [x(t τ)] = y(t τ) τ x(t) Un sistema lineare e temp invariante (LTI) cstituisce la maggir parte dei sistemi all intern del cllegament in alcuni casi si può cnsiderare LTI il mezz trasmissiv 3) Sistemi causali un sistema si dice causale se l uscita y(t) all istante t 0 dipende dall entrata x(t) sl per gli istanti t t 0 t 0 y(t = t 0 ) dipende da x(t) sl per t t 0 t 0 4) Sistemi senza memria un sistema si dice senza memria se l uscita y(t) all istante t 0 dipende sl dall entrata x(t) all istante t 0 e nn dalla stria precedente del segnale y(t = t 0 ) dipende sl da x(t 0 ) UniversiBO

5 5) Sistemi reali un sistema si dice reale se rispnde a ingressi x(t) reali cn uscite y(t) reali x(t) e y(t) e SISTEMI NOTEVOLI 1) ATTENUATORE y(t) = A x(t) A < 1 lineare temp invariante causale senza memria reale 2) AMPLIFICATORE y(t) = G x(t) G e G > 1 lineare temp invariante causale senza memria reale 3) DERIVATORE y(t) = d x(t) dt lineare temp invariante causale senza memria reale UniversiBO

6 4) RITARDATORE y(t) = x(t-t d ) lineare temp invariante causale reale 5) QUADRATORE y(t) = x 2 (t) n lineare temp invariante causale senza memria reale nn sn sistemi LTI 6) ATTENUATORE cn attenuazine variabile nel temp y(t) = A(t) x(t) lineare n temp invariante ELEMENTI PER CLASSIFICARE I SEGNALI Dat un segnale generic v(t) (suppniam sempre che i segnali generici sian definiti da a ) definiam: VALOR MEDIO TEMPORALE DEL SEGNALE < v(t) > v(t) lim (1/ T) v(t) dt T - T/2 T/2 UniversiBO

7 ENERGIA DI UN SEGNALE E v v(t) 2 dt POTENZA ISTANTANEA p v (t) v(t) 2 POTENZA DEL SEGNALE P v < p v (t) > = < v(t) 2 > VALORE EFFICACE V eff (P v ) SEGNALI PERIODICI Un segnale si dice peridic di perid T 0 se: v(t + kt 0 ) = v(t) k t quindi il segnale peridic si può scrivere cme: v(t) = m g(t m T 0 ) m = - - nel cas di segnali peridici il valre medi temprale si può calclare cme: T0 / 2 UniversiBO

8 < v(t) > (1/T 0 ) v(t) dt - T0 / 2 ENERGIA FINITA/POTENZA FINITA P = P x ptenza = ptenza del segnale [V 2 ] = [W] R i resistenza eq. di ingress [Ω] SEGNALI COMPLESSI < v(t) > = 0 E v = P v = A 2 SEGNALI PERIODICI: SVILUPPO DI FOURIER v(t) = v( t + k T 0 ) k, t Se v(t) è un segnale peridic allra può essere descritt mediante l svilupp in serie di Furier: SVILUPPO IN SERIE v(t) = c n e j2п n f0 t DI FOURIER n = f = 1/T 0 c n T0 / 2 c n = (1/T 0 ) v(t) e jп n f0 t dt - T0 / 2 cefficiente dell svilupp in serie di Furier il segnale peridic può essere espress cme: v(t) = j (2П n f0 + arg cn) c n e UniversiBO

9 n = - PROPRIETA 1) c 0 = < v(t) > valre medi temprale del segnale 2) se v(t) c -n = c n * 3) se v(t) v(t) = c c n cs (2П n f 0 t + arg c n ) n = 1 TEOREMA DI PARSEVAL (PER SEGNALI PERIODICI) P v = c n 2 n = SEGNALI AD ENERGIA FINITA: TRASFORMATA DI FOURIER { v(t) } = V(f) v(t) e j 2П f t dt ANTITRASFORMATA DI FOURIER - 1 v(t) = {V(f)} = v(t) e j 2П f t df PROPRIETA GENERALI 1) se la trasfrmata di Furier esiste, essa è unica 2) in generale la trasfrmata di Furier è una funzine cmplessa, e quindi può essere scritta nella UniversiBO

10 frma: j arg (V(f)) V(f) = V(f) e v(t) = V(f) e j (2П f t + arg(v(f)) df PROPRIETA FONDAMENTALI TRASFORMATA DI FOURIER 1) la trasfrmata di Furier valutata alla frequenza zer cincide cn l area sttesa da v(t) V(0) = v(t) e j 0 dt 2) se v(t) è reale V(-f) = V(f)* 3) se v(t) è reale v(t) = 2 V(f) cs (2 П f t + arg(v(f)) ) df 0 TEOREMA DI PARSEVAL (PER SEGNALI A ENERGIA FINITA) Dati due segnali v(t) e w(t) entrambi a energia finita, allra: v(t) w(t)* dt = V(f) W(f)* df TEOREMA DI RAYLEICH E v = V(f) 2 df l energia del segnale è data dall area sttesa dalla funzine V(f) 2, cnsiderand il diagramma che riprta l spettr di ampiezza al quadrat V(f) 2 = densità spettrale di energia TRASFORMATA DI FOURIER UniversiBO

11 PROPRIETA 1) prprietà della smma dat v(t) = a 1 v 1 (t) + a 2 v 2 (t) cn a 1, a 2 cstanti allra V(f) = a 1 V 1 (f) + a 2 V 2 (f) 2) prprietà del ritard dat v(t) = v 1 (t - t d ) allra V(f) = V 1 (f) e j 2 П f td 3) prprietà del cambi scala v(t) = v 1 (α t) α, α 0 V(f) = V 1 (f /α ) / α 4) prprietà della mdulazine v(t) = v 1 (t) cs(2 П f 0 t + φ) V(f) = e j φ V 1 (f f 0 ) / 2 + e j φ V 1 (f + f 0 ) / 2 5) prprietà di derivazine v(t) = d n v 1 (t) dt n V(f) = V 1 (f) (j 2 П f) n 6) prprietà di cnvluzine v(t) = v 1 (t)*v 2 (t) = v 1 (ξ) v 2 (t ξ) dξ V(f) = V 1 (f) V 2 (f) 7) prprietà della mltiplicazine UniversiBO

12 v(t) = v 1 (t) v 2 (t) V(f) = V 1 (f) * V 2 (f) 8) prprietà dell integrazine v(t) t = v 1 (τ) dτ V(f) = V 1 (f) / (j 2 П f) + V 1 (0) δ(t) / 2 dve δ(t) = delta di Dirac 9) prprietà della dualità V(f) = V(-f) = {v(t)]} {v(t)} 10) prprietà della traslazine della frequenza {v(t) e j 2 П f1 t } = V(f f 1 ) SEGNALI AD ENERGIA FINITA Cnsideriam un segnale v(t) dat dalla ripetizine peridica di perid T 0 di un altr segnale g(t) ad energia finita v(t) = g(t - kt 0 ) k = g(t) segnale ad energia finita v(t) segnale peridic quindi a ptenza finita analisi spettrale: g(t) G(f) esiste un legame tra i cefficienti c n di v(t) e la v(t) c n trasfrmata di g(t) n/t 0 = nf 0 c n = 1 G( n/t 0 ) f 0 = 1/T 0 T 0 FORMULA DI POISSON UniversiBO

13 g(t - kt 0 ) = k = n = - (1/T 0 ) G( n/t 0 ) e j2п n t/t0 TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO Un segnale g(t) ad energia finita avente banda racchiusa nell intervall [0, B] è cmpletamente descritt dai sui campini prelevati cn pass t c purché t c 1/2B g(t) = g( n t c ) sinc ( t n t c ) n = - t c SEGNALI PERIODICI per i segnali peridici la trasfrmata di Furier può essere scritta cme: V(f) = c n δ( f- nf 0 ) n = SEGNALI A POTENZA FINITA DISUGUAGLIANZA DI SCHWARTZ Se v(t) e w(t) sn segnali a ptenza finita allra: < v(t) w * (t) > 2 P v P w diventa un uguaglianza se w(t) = a v(t) a PRODOTTO SCALARE Sian v(t) e w(t) segnali a ptenza finita, indic cn prdtt scalare: Z v w < v(t) w * (t) > = lim (1/ T) v(t) w * (t) dt T -T/2 T/2 FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE UniversiBO

14 R v w (τ) < v(t) w * (t-τ) > PROPRIETA FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE: 1) se v(t), w(t) allra R vw (t) 2) R vw (τ) = R wv* (-τ) 3) R vw (τ) 2 P v P w FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE R v (τ) < v(t) v * (t-τ) > PROPRIETA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE 1) se v(t) allra R v (τ) 2) R v (0) = P v 3) R v (τ) = R v* (-τ) 4) R v (τ) P v = R v (0) DENSITA SPETTRALE DI POTENZA d W v (f) { R v (τ) = R v (τ) e j 2П f t dt densità spettrale di ptenza bilatera PROPRIETA DELLA DENSITA SPETTRALE DI POTENZA 1) Prprietà fndamentale d W v (f) = P v Δf Δf 2) P v = W v d (f) 3) W v d (f) è nn negativa UniversiBO

15 4) se v(t) W v d (f) è reale e pari DENSITA SPETTRALE DI POTENZA MONOLATERA S v d (f) = 0 f < 0 2 W v d (f) f 0 PROPRIETA 1) P v = S v d (f) df BANDA IMPEGNATA DA UN SEGNALE IN UN SISTEMA H(f) y(t) in regime fasriale x(t) MODI PER RICAVARE L USCITA nt l ingress 1) x(t) FASORE j (2Пft + φx) x(t) = A x e y(t) = H(f) x(t) 2) x(t) SEGNALE PERIODICO x(t) = c xn e j 2 П n f t n = = c xn e n = j (2 П n f t + arg Cxn) c xn ampiezza del favre arg C xn fase iniziale del favre UniversiBO

16 2) x(t) SEGNALE PERIODICO C yn = C xn H(nf 0 ) 3) x(t) SEGNALE A ENERGIA FINITA Y(f) = X(f) H(f) 4) x(t) SEGNALE A POTENZA FINITA APERIODICO d d W y (f) = W x (f) H(f) 2 FUNZIONI DI TRASFERIMENTO DI SISTEMI LTI 1) AMPLIFICATORE H(f) = G 0 2) RITARDATORE j 2Пf td H(f) = e 3) DERIVATORE H(f) = j2пf 4) INTEGRATORE H(f) = - j / 2Пf PROPRIETA DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO 1) se i segnali in entrata e in uscita sn a energia finita allra H(f) = Y(f) / X(f) 2) se un sistema LTI è reale, la sua H(f) gde di simmetria hermitiana LTI reale H(-f) = H*(f) UniversiBO

17 DISTORSIONE DI UN SEGNALE y(t) è una replica nn distrta di x(t) se y(t) = T 0 x(t t d ) per un qualche valre di T 0 e t d le cndizini di nn distrsine applicate al sistema LTI richiedn che H(f) sia del tip H(f) = T 0 e j 2 П f td sl per le frequenze appartenenti alla banda del segnale di ingress H(f) = T 0 e j 2 П f td f B x FILTRI IDEALI 1) FILTRO PASSABANDA IDEALE IBPF (ideal band pass filter) sddisfa le cndizini di nn distrsine in bande cmprese tra f 0 B/2 < f < f 0 + B/2 BANDA PASSANTE del filtr f 0 B/2 = frequenza di tagli inferire f 0 + B/2 = frequenza di tagli superire B = lunghezza di banda passante f 0 = frequenza di centr banda H(f) = T 0 e j 2 П f td f 0 B/2 < f < f 0 + B/2 0 altrve 2) FILTRO PASSABASSO IDEALE ILPF (ideal lw pass filter) UniversiBO

18 sddisfa le cndizini di nn distrsine in bande cmprese tra 0 f < B B = banda passante del filtr frequenza di tagli H(f) = T 0 e j 2 П f td 0 f < B 0 altrve 3) FILTRO IDEALE PASSA ALTO IHPF (ideal high pass filter) sddisfa le cndizini di nn distrsine in bande cmprese tra f f t f t = frequenza di tagli H(f) = T 0 e j 2 П f td f f t 0 altrve 4) FILTRO ELIMINA BANDA IBRF (ideal band rejectm filter) sddisfa le cndizini di nn distrsine in bande cmprese tra f f t1 ; f f t2 f t1 = frequenza di tagli inferire f t2 = frequenza di tagli superire H(f) = T 0 e j 2 П f td 0 altrve f f t1 ; f f t2 SISTEMI LTI IN CASCATA O IN PARALLELO UniversiBO

19 SISTEMI LTI IN CASCATA H(f) = H 1 (f) H 2 (f) in cascata SISTEMI LTI IN PARALLELO H(f) = H 1 (f) + H 2 (f) in parallel RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI AD UN SINUSOIDE V y V x H(f) φ y φ x + B(f) H(f) = V y / V x B(f) = φ y φ x GUADAGNO DI UN SISTEMA LTI G P y / P x in regime H(f) 2 sinusidale ATTENUAZIONE DI UN SISTEMA LTI A P x / P y in regime 1/G sinusidale PROCESSI ALEATORI MEDIE DI UN PROCESSO ALEATORIO UniversiBO

20 X(t) = E [x(t)] ξ p x (ξ, t) d ξ VARIANZA DI UN PROCESSO ALEATORIO 2 σ x E [(x(t) x(t)) 2 ] = E [x 2 (t)] x(t) 2 FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE DI UN PROCESSO ALEATORIO Da un prcess aleatri V(t), definisc la funzine di autcrrelazine cme C v (t 1, t 2 ) E[ v(t 1 ) v(t 2 ) ] = v 1 v 2 p v (v 1, t 1 ; v 2, t 2 ) dv 1 dv 2 dve v 1 = v(t 1 ) v 2 = v(t 2 ) FUNZIONE DI CROSSCORRELAZIONE DI DUE PROCESSI ALEATORI Dati due prcessi aleatri v(t) e w(t) si definisce la funzine di crsscrrelazine cme C v, w (t 1, t 2 ) E [ v(t 1 ) w(t 2 ) ] PROCESSI ALEATORI ERGODICI prprietà dei prcessi aleatri erdici: 1) E[X(t)] = < x 1 (t) > 2) E [ X(t) 2 ] = < x 1 (t) 2 > = P x (ptenza) 3) C v(τ) = R v(τ) UniversiBO