Fisica Generale B. 3. Esercizi di Ottica. Esercizio 1. Esercizio 1 (III) Esercizio 1 (II) ! 1. = v = c 2.

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1 Fisica Generale B 3. Esercizi di Ottica May 7, 0 Esercizio La fiamma di un fornello, continuamente e regolarmente rifornita di sale da cucina, costituisce una sorgente estesa di luce gialla. Si trova che tale luce gialla è composta di due onde monocromatiche (dette righe D e D del sodio) di frequenza pari a 5.085!0 4 s " e 5.090!0 4 s ". Determinare per tali onde monocromatiche:! La frequenza angolare;! Il periodo;! La lunghezza d onda nel vetro (n.5);! La lunghezza d onda ridotta;! Il numero d onda nel vetro (n.5);! Il numero d onda nel vuoto;! Il numero d onda spettroscopico.! Esercizio (II) Esercizio (III) Frequenza angolare:! "# s % s %! "# s % s % Periodo: T! 5.085"0 4 s #.967 "0#5 s.967 fs T! "0 4 s #.965"0#5 s.965 fs Lunghezza d onda nel vetro (n.5):! v c.998 #0 8 " n".5 # 5.085#0 m #07 m nm! v c.998 #0 8 " n".5# #0 m #07 m 39.7 nm Lunghezza d onda ridotta:! 0 c ".998 # #0 4 m #07 m nm! 0 c.998 #08 " #0 m #07 m nm 3! 4!

2 Esercizio (IV) Esercizio (V) Numero d onda nel vetro (n.5): k!! n# m % m % " c k!! n# m % m % " c Numero d onda spettroscopico:! " 0 # c m% m %! # " 0 c m% m % Numero d onda nel vuoto: k 0! " 0! # c m% m % k 0!! # " 0 c m% m % 5! 6! Esercizio Esercizio (II) Facendo incidere un raggio di luce in un recipiente cilindrico pieno d acqua (n 4/3) e il cui fondo è formato da un emisfero di pleiglas, si nota che, se il raggio passa per il centro O e forma un angolo di 37 con la verticale in corrispondenza della superficie dell acqua, si ha una riflessione all angolo critico per il passaggio acqua-aria. Determinare l indice di rifrazione del pleiglas. L angolo critico per il passaggio acqua-aria è dato da:! c ( acqua " aria) arcsin n arcsin n aria arcsin n n acqua 4 3 arcsin dunque: Se si toglie l acqua dal recipiente, la luce attraversa o no la superficie di separazione pleiglas-aria?! t! c ( acqua " aria) 48.6 Considerando la legge di Snell per la rifrazione pleiglas-acqua: sin! i n acqua " sin37 sin! t n pleiglas sin " sin37 n pleiglas 3/ n pleiglas n pleiglas 4 3# 3 4 sin37 sin '-%', ')*+',!"#%&"'( θ i 7! 8!

3 Esercizio (III) Esercizio 3 Tolta l acqua, l angolo critico per il passaggio pleiglas-aria è dato da:! c ( pleiglas " aria) arcsin n n arcsin Poiché il raggio incide a un angolo di 37 rispetto alla verticale, cioè incide all angolo critico, la luce non attraversa la superficie di separazione pleiglas-aria. n aria n pleiglas arcsin Un fascio di luce, proveniente da un mezzo con indice di rifrazione n 0 incide sulla superficie (parallela al piano y) di un mezzo composto da N strati orizzontali di materiali trasparenti con indice di rifrazione n i formando un angolo! 0 rispetto all asse z. Determinare il valore di (n i sin! i ) per lo strato i-esimo. Generalizzare la relazione precedente per il caso di un mezzo il cui indice di rifrazione è una funzione continua di z, cioè con n n(z). '-%', ')*+', '*%') Supponendo che la Terra sia piatta, determinare l angolo di elevazione relativo " di una stella il cui angolo di elevazione apparente è " 0 5 (l indice di rifrazione dell aria sulla superficie terrestre è n 0.003).!"#%&"'(!"#%&"'() θ i θ i 9! 0! Esercizio 3 (II) Esercizio 3 (III) Per la legge di Snell si ha, nella rifrazione fra lo strato i-esimo e lo strato (i + )-esimo: Se l angolo di elevazione apparente della stella è " 0!!5, l angolo tra la stella e la verticale è: sin! i+ sin! i n i n i+ " n i sin! i n i+ sin! i+! 0 90 " # 0 90 " 5 65 Per quanto abbiamo detto si ha: vremo perciò, per tutti gli strati: n! sin"! n 0 sin" 0 n i sin! i n 0 sin! 0, i,,3, Se l indice di rifrazione è una funzione continua della quota z, cioè n n(z), detto!(z) l angolo del raggio rispetto alla verticale alla quota z si avrà analogamente (sostituendo l indice i con l argomento z): n( z)sin! ( z) n( 0)sin! ( 0) dove n #, in quanto a grande distanza dalla terra c è il vuoto, per cui: sin! " n 0 sin! 0.003# sin65.003# ! " arcsin Infine si ha:! 90 "# 90 " !!

4 Esercizio 4 Esercizio 4 (II) Un fascio di luce si propaga entro un tubo rettilineo lungo km contenente normalmente aria in condizioni normali di pressione e temperatura (NTP) avente un indice di rifrazione n Qual è la differenza del tempo di percorrenza del tubo tra la condizione normale (aria a NTP) e la condizione in cui viene praticato il vuoto entro il tubo? Produrre il risultato con cifre significative, prendendo c.9979!0 8 m/s. La velocità della luce nel vuoto è: c.9979! 0 8 m s mentre nell aria è: v c.9979! 08 m s.99705! 0 8 m s n.0009 Il tempo di percorrenza nel vuoto e nell aria è, rispettivamente: t vuoto s c t aria s v 000m.9979!0 8 m s !0"6 s µs 000m.99705!0 8 m s !0"6 s µs La differenza è perciò:!t t aria " t vuoto ( #0 "6 " #0 "6 )s 9.7 #0 "0 s 0.97 ns!"#! %&'& 3! 4! Esercizio 5 Esercizio 5 (II) Un onda piana incide, parallelamente all asse principale, su di un diottro sferico aria-vetro che rivolge la concavità alla luce. Il raggio del diottro è r 30 cm e l indice di rifrazione del vetro è.5. Trovare il punto F in cui convergono i raggi rifratti. Supponiamo di invertire il verso di provenienza della luce. Si chiede ancora qual è il punto di convergenza F dei raggi rifratti. Un onda piana è prodotta da una sorgente puntiforme situata a distanza infinita. Utilizzando l equazione del diottro: n + n! n " n con!!# si ha, considerando anche che il raggio di luce attraversa il diottro provenendo dalla parte concava, e dunque bisogna prendere!<!0: n! n " n # f! n.5 ( n " n.5 " "30cm ) "90 cm Il segno negativo indica che il fuoco si trova prima del diottro, e quindi che i raggi rifratti divergono. F C O F n n f f 5! 6!

5 Esercizio 5 (III) Esercizio 6 Se il raggio proviene dal vetro, utilizzando nuovamente l equazione del diottro (con gli indici di rifrazione scambiati): n + n! n " n con!!# si ha, considerando anche che il raggio di luce attraversa il diottro provenendo dalla parte convessa, e dunque bisogna prendere!>!0: n! n " n # f! n n " n 30cm "60 cm ".5 Sia dato un diottro sferico aria-vetro con la superficie convessa per chi osserva all esterno, dove il mezzo è vetro di indice di rifrazione n.5. I raggi paralleli all asse ottico convergono in un punto entro il vetro a una distanza di 40 cm dal diottro. Nota la distanza 50 cm del punto oggetto dal diottro, determinare la distanza del punto immagine. Il segno negativo indica che il fuoco si trova prima del diottro, e quindi che i raggi rifratti divergono. F C O F n n f f 7! 8! Esercizio 6 (II) Esercizio 6 (III) In questo caso non conosciamo il raggio di curvatura del diottro, per cui non possiamo utilizzare l equazione del diottro: n + n! n " n Conosciamo tuttavia la distanza focale f 40 cm e i due indici di rifrazione n e n.5, per cui siamo in grado di trovare l altra distanza focale: n f " n! n n # & f n & f f f n n f n.5 40 cm 80 3 cm n! n % e utilizzare n n l equazione: F O C F! f f f 40cm + f! 50cm! 9! vremo: f + f! " f! # f f! 40 cm # f 80 # cm 40 3 # 8 cm 40 cm cm 5 5 cm 85.7 cm n n F O C F! f f 40cm 50cm! 0!

6 Esercizio 7 Esercizio 7 (II) Si abbia un diottro aria-vetro con la superficie sferica convessa per chi osserva all esterno e di raggio 5 cm. Sull asse principale, a una distanza di cm dal centro O, nel vetro, vi è una bollicina B. Se l indice di rifrazione del vetro è n.5, qual è la distanza apparente della bollicina? Utilizzando l equazione del diottro: n + n! n " n e considerando che il raggio di luce attraversa il diottro provenendo dalla parte concava, e dunque bisogna prendere!<!0, si ha:.5 cm +! ".5 "5cm #! ".5 "5 cm ".5 cm "0.676 cm 0.0 ".5 cm L immagine si trova ancora entro il vetro, ma a una profondità minore dell oggetto. F C n.5 n BO cm F!! Esercizio 8 Esercizio 8 (II) Un diottro sferico aria-vetro (con la superficie sferica convessa per chi osserva all esterno) ha raggio di curvatura!!0!cm e l indice di rifrazione del vetro vale n.5. Un oggetto di dimensione l cm è posto normalmente all asse principale, a una distanza 50 cm da O. Calcolare:! L ingrandimento lineare trasversale G.! Il rapporto di convergenza K. Utilizzando l equazione del diottro troviamo la posizione dell immagine %: n + n! n " n n!.5.5 n " n " n cm 300 cm.5" 0 cm " 0.05" cm Possiamo ora calcolare l ingrandimento lineare trasversale e il rapporto di convergenza: n.5 G l! n F l! n 300 n K "! "! F C O 0cm 50cm!! 3! 4!

7 Esercizio 9 Esercizio 9 (II) Un doppio diottro è costituito da un blocco di vetro di indice di rifrazione n.5, limitato da una superficie piana e da una superficie sferica di raggio 40 cm. Il suo spessore vale s 0 cm. Determinare la posizione dell immagine di un punto luminoso posto sull asse principale a una distanza 0 cm dal diottro piano (scrivere la distanza dell immagine dal diottro piano e specificare se essa si trovi sullo stesso lato o sul lato opposto del diottro piano rispetto all oggetto). Si tratta di un sistema ottico centrato. Per determinare la distanza dell immagine %% del punto consideriamo l immagine! di nel primo diottro come l oggetto per il secondo diottro. Utilizzando l equazione del diottro sferico (con!"!#) per il primo diottro si ha: n + n! n!.5 n " n " n ".5 # 0 cm "30 cm 0 " 0 cm Il segno negativo indica che il punto! n n.5 n 3 si trova dalla stessa parte di rispetto al primo diottro.!!! F C O! O 40cm % è l oggetto per il secondo diottro. 0cm s 0cm F 5! 6! Esercizio 9 (III) Esercizio 9 (IV) Chiamando #% e #%% le distanze dell oggetto e dell immagine del secondo diottro dal secondo diottro, si ha: "! s #! 0 cm# #30 cm ( ) 40 cm L equazione del diottro, per il secondo diottro, si scrive (considerando che un raggio di luce proveniente da % attraversa il secondo diottro provenendo dalla parte concava, e dunque bisogna prendere!<!0): La distanza dell immagine %% dal diottro piano è perciò:!! s + "!! 0 cm + (#40 cm) #30 cm L immagine si trova a 30 cm dal diottro piano, dallo stesso lato dell oggetto. n "! + n 3 "!! n # n 3 n 3 "!! n 3 # n # n #.5 "! #40 cm #.5 40 cm 0.05 # cm # 0.05 cm #40 cm n n.5 n 3 40cm!!! F C O! O 0cm s 0cm!!!!"!"" F n n.5 n 3 40cm!!! F C O! O 0cm s 0cm!!!!"!"" F 7! 8!

8 Esercizio 0 Esercizio 0 (II) Calcolare il raggio di curvatura di uno specchio sferico concavo, sapendo che un regolo lungo l cm, posto davanti allo specchio, a una distanza 5 cm dal vertice, ha un immagine reale lunga l# 4 cm. Per calcolare il raggio di curvatura occorre avere la distanza dell oggetto e la distanza dell immagine. Quest ultima si può trovare a partire dall ingrandimento lineare trasversale: G l! l "! #! " l! l " 4cm 5 cm "50 cm cm Il raggio di curvatura può essere calcolato utilizzando l equazione dello specchio sferico:! "! "!!33.3cm!50cm! 5cm! 50 3 cm! C i r!! " F! f Q O 9! 30! Esercizio Esercizio (II) Un punto luminoso si trova sull asse ottico di uno specchio concavo di raggio 40 cm a una distanza 50 cm dal vertice. Determinare: Utilizzando l equazione dello specchio sferico si ha (poiché lo specchio è concavo il raggio è negativo):! La distanza dell immagine;! L ingrandimento di questa. Si ripetano i calcoli per il caso di uno specchio convesso.! "! " + 50 cm +!40 cm cm!33.3 cm 0.0! 0.05 Poiché tale distanza è negativa, l immagine è reale. L ingrandimento lineare trasversale è dato da: Q G l! l "! " " i r!!! " C F O 50cm!!40cm f 3! 3!

9 Esercizio (III) Esercizio Se lo specchio è convesso, il raggio è positivo e si ha:! "! " + 50 cm + 40 cm cm 4.3 cm Poiché tale distanza è positiva, l immagine è virtuale. L ingrandimento lineare trasversale è dato da: Qual è il raggio l dell immagine del Sole ottenuta con uno specchio concavo di raggio 5 m, ammettendo che il raggio del Sole sia /n della distanza del Sole dalla Terra, con n 0. G l! l "! " "0.86 r i Q!! " O! F 50cm! + 40cm C f 33! 34! Esercizio (II) Esercizio 3 Utilizzando l equazione dello specchio sferico si ha (poiché lo specchio è concavo il raggio è negativo):! "! Poiché >>, in questa equazione possiamo porre " #. Una lente biconvessa di indice di rifrazione.5 ha una distanza focale F 40 cm nell aria. Qual è il valore F della distanza focale quando la lente è immersa nell acqua, se l indice di rifrazione dell acqua è n acqua.33?! "! # " f!.5 m Il testo del problema ci dice che il raggio l del Sole è pari a /n della distanza del Sole dalla Terra, con n 0: l n, n 0 Q i L ingrandimento lineare trasversale si scrive: r C F O G l!! " l "!! f da cui: l! "l! " n! "! n " n " "5 m!5m # 0.36 cm 35! 36!

10 Esercizio 3 (II) Esercizio 3 (III) bbiamo visto che la distanza focale di una lente sottile si scrive: F ( n! # ) "! & % "" ' ( con n n n lente n n esterno vremo perciò nell aria: F " # e nell acqua:! % " ' & (! % # (( & ' n! " ( vetro ) (! % # (( & ' n esterno F! # n & # vetro % " ( n acqua '! " & %!! ' ( Dividendo membro a membro le due precedenti equazioni si ha: F! F n " vetro n n ( n " ) acqua vetro vetro n " vetro " n acqua n acqua Ovvero: ( ) ( ).5 ".33 F! n n acqua vetro ".33.5 " F 40 cm 56.5 cm " n acqua 37! 38! Esercizio 4 Esercizio 4 (II) La superficie curva di una lente piano-convessa ha un raggio di curvatura 0 cm. Qual è la sua distanza focale nell aria e nell acqua, se l indice di rifrazione nel vetro è.5 e quello dell acqua è n acqua.33? La distanza focale di una lente sottile si scrive, essendo!! " # (lente piano-convessa): F n! # ( ) "! & % "" ' ( ( n! ) " con: n n n lente n n esterno vremo perciò nell aria: " F aria # e nell acqua:! % ' & " n % vetro! ' F acqua # n acqua & ( ( ( n! vetro ) ( ) F acqua ) F aria ( n acqua! ( 0 cm 0 cm!.5! 0 cm 78. cm.5.33! 39! 40!

11 Esercizio 5 Esercizio 5 (II) Date due lenti sottili a contatto di distanza focale F!!30!cm e F!!0!cm, qual è la distanza focale F del sistema risultante? I raggi paralleli provenienti dall infinito vengono fatti convergere sul fuoco, a distanza F 30 cm dalla prima lente. Tale punto, a distanza F 30 cm dalla prima lente, è l oggetto per la seconda lente ( " F "30 cm). Il fuoco del sistema formato dalle lenti è l immagine della seconda lente, la cui distanza si ottiene utilizzando l equazione della lente: + F F! F! F!F + F F!60 cm!0 cm + 30 cm In altre parole la convergenza del sistema è la somma delle convergenze delle due lenti. 4! 4! Esercizio 6 Esercizio 6 (II) Un onda piana incide parallelamente all asse ottico su una lente biconvessa sottile di vetro avente indice di rifrazione n.5. Il fascio di luce proveniente dall infinito parallelamente all asse ottico, incontra nel suo percorso, nell ordine: I raggi di curvatura della lente valgono entrambi 0 cm. La lente galleggia sul mercurio.! Un diottro convesso aria-vetro;! Uno specchio concavo (la superficie di separazione vetro-mercurio);! Un diottro concavo vetro-aria. Dove convergono i raggi dell onda? La distanza del fuoco del diottro convesso aria-vetro si ottiene dall equazione del diottro (diottro convesso, > 0): n aria! + n " aria " n aria " n aria!.5 60 cm.5 " 0 cm " ! 44!

12 Esercizio 6 (III) Esercizio 6 (IV) Per lo specchio concavo l oggetto si trova alla distanza! 60 cm, in quanto è posto al di là dello specchio. Utilizzando l equazione dello specchio si trova la distanza dell immagine prodotta dallo specchio (specchio concavo, < 0): " "! # +! il segno negativo indica che l immagine si trova al di sopra dello specchio. ispetto al diottro concavo vetro-aria, si trova alla distanza! 60/7 cm, in quanto è posto al di là del diottro. "60 cm + "0 cm " 60 7 cm 3 Utilizzando l equazione del diottro si trova la distanza dell immagine 3 prodotta dal diottro (diottro concavo, < 0):! 3 + n aria 3 n aria " n " n aria vetro n aria " n 5 cm ".5 vetro! "0 cm ".5 " 60 7 cm I raggi dell onda convergono nel punto 3 situato nell aria a 5 cm dalla lente. 3 45! 46! Esercizio 7 Esercizio 7 (II) Un tubo cilindrico di lunghezza opportuna è diviso in due parti da una lente biconvessa sottile di vetro (.5) aventi i raggi di curvatura entrambi uguali a 0 cm. Una delle due parti del cilindro è piena d aria, l altra di un liquido trasparente di indice di rifrazione n liquido..! Dove va a convergere un raggio che entra nel tubo parallelamente all asse, dalla parte dove vi è l aria?! Se si inverte il senso di provenienza della luce, dove converge il raggio? Il sistema non può essere trattato come una lente in quanto il primo e il terzo indice di rifrazione sono tra loro diversi. Occorre trattare il sistema come un sistema ottico centrato formato da diottri: il diottro aria-vetro e il diottro vetro"liquido. Un raggio che entra nel tubo parallelamente all asse, dalla parte dove vi è l aria proviene da una sorgente puntiforme posta a!"!#. Possiamo trovare la sua immagine prodotta dal primo diottro utilizzando l equazione del diottro ( > 0 in quanto il raggio vede il primo diottro convesso): n aria! +! n " aria " n aria " n aria.5 60 cm.5" 0 cm " 0 n aria n.5 vetro n. liquido 47! 48!

13 Esercizio 7 (III) Esercizio 7 (IV) L immagine prodotta dal primo diottro diventa l oggetto per il secondo diottro. Se si inverte il senso di provenienza della luce, ragionando come nel caso precedente, si ha per il primo diottro ( > 0): Poiché la lente è sottile, il suo spessore è trascurabile, e dunque tale oggetto per il secondo diottro si trova alla distanza "60 cm (il segno negativo denota il fatto che tale oggetto si trova oltre il secondo diottro). Utilizzando di nuovo l equazione del diottro per il secondo diottro, si ha ( < 0 in quanto il raggio vede il secondo diottro concavo): n liquido! +! n " liquido " n liquido " n liquido.5 00 cm.5 ". 0 cm " 0 + n liquido n " n liquido vetro! n liquido.! n liquido " " n. ".5 vetro "0 cm ".5 "60 cm Il fascio converge nel liquido, a 30 cm dalla lente. 30 cm n aria n.5 vetro n. liquido e per il secondo diottro ( "00 cm, < 0):! + n aria! n " n aria vetro n aria n aria " " ".5 "0 cm ".5 "00 cm 5 cm n aria n.5 vetro n. liquido 49! 50! Esercizio 8 Esercizio 8 (II) Si ha una lente piano-concava, sottilissima, posta orizzontalmente, con la sua concavità rivolta verso l alto, e piena di un liquido il cui indice di rifrazione è n liquido.38. Per quanto visto nell esercizio 5, la convergenza del sistema è la somma delle convergenze delle lenti. Determinare la distanza focale F del sistema ottico così costituito, sapendo che l indice di rifrazione del vetro di cui è costituita la lente è.436 e che il raggio di curvatura della lente è.77 cm. F + F F La convergenza di una singola lente è data da: F n! # ( ) "! & % "" ' ( per cui, per la lente di vetro si ha (% #, %% > 0): # ( n F vetro!)! & # & % "" ' ( (.436!)! %.77 cm ' (!0.46 cm! n liquido.38 mentre, per la lente di liquido, si ha (% > 0, %% #): # & # & n F liquido! ( ) % " ' ( (.38!) %.77 cm ' ( 0.80 cm! n.436 vetro 5! 5!

14 Esercizio 8 (III) Esercizio 9 bbiamo perciò: F + (! )cm!!0.066 cm! F F F!5. cm!!0.066cm Si ha una sorgente puntiforme che è posta sull asse di una lente convergente sottile a una distanza p 40 cm dalla lente stessa, di distanza focale F 5 cm. La lente, a sua volta, dista l 5 cm da un blocco di vetro di indice di rifrazione n.5, che presenta alla lente una faccia piana e normale all asse ottico della lente stessa.! Dove si forma l immagine della sorgente nel vetro?! Supposto che la sorgente non sia puntiforme ma circolare, di diametro r cm, qual è il diametro d dell immagine? n.38 liquido n.436 vetro 53! 54! Esercizio 9 (II) Esercizio 9 (III) L immagine della lente sottile si trova a una distanza dalla lente data dall equazione della lente: + F! F " 66.7 cm 5 cm " 40 cm Tale immagine è l oggetto per il diottro. Essa si trova a una distanza dal diottro pari a (il segno negativo indica che si trova al di là del diottro):! l " 5cm" 66.7cm "5.7cm La distanza dell immagine del diottro si trova utilizzando l equazione del diottro, con " #: n + n n " n 0, per #!! p 40cm l 5cm F F F 5cm n.5 L immagine si forma a 77.5 cm di profondità nel blocco di vetro. L ingrandimento lineare trasversale della lente è: G mentre l ingrandimento lineare trasversale del diottro è: G! n 77.5! n "5.7.5 " L ingrandimento totale è perciò: p 40cm l 5cm n + n 0 "!!! # n! n #.5 (#5.7 cm) 77.5 cm G G G.67! ( )!.67 Infine il diametro dell immagine: d cm G.67cm F F F 5cm n.5 55! 56!

15 Esercizio 0 Esercizio 0 (II) Un oggetto, posto sull asse ottico di una lente sottile convergente, a una distanza p 4 cm da essa, dà un immagine a una distanza q 0 cm e dalla stessa parte dell oggetto. Si avvicini l oggetto di s 0.4 cm alla lente, a partire dalla posizione precedente. Calcolare:! quale distanza dalla lente si formerà l immagine;! Il valore dell ingrandimento G (nella configurazione in cui l oggetto è già stato avvicinato). Per l equazione della lente: p + q F! F p + q Nella seconda posizione si ha: p! p " s ( 4 " 0.4)cm 3.6 cm p! + q! F # q! F " p! 4 cm + "0 cm 6.67 cm " 3.6 cm 6.67 cm "7.8 cm 57! Per quanto riguarda l ingrandimento lineare trasversale si ha: G! "7.8 cm p! 3.6 cm ".7 58! Esercizio Esercizio (II) Due lenti sottili convergenti, di distanza focale f!!5!cm e f!!35!cm rispettivamente, hanno una distanza reciproca di d 0 cm e inoltre sono coassiali. Determinare:! La posizione dell immagine di un oggetto posto a una distanza 50 cm dalla prima lente;! L ingrandimento del sistema. L immagine della prima lente si trova alla distanza da essa: +! f 50 cm f " 5 cm " 50 cm Tale immagine è l oggetto della seconda lente e si trova a una distanza da essa pari a (il segno negativo indica che l oggetto si trova al di là della lente):! d " 0 cm" 50 cm "40 cm L immagine prodotta dalla seconda lente si trova alla distanza da essa: 50cm d 0cm +!! f! " 8.7 cm f! 35 cm " "40 cm 59! 60!

16 Esercizio (III) Esercizio Per quanto riguarda l ingrandimento, si ha: G G G! ! 50 "40 "0.467 Data una lente sottile convergente di distanza focale f, calcolare a quale distanza dalla lente occorre porre un oggetto affinché la sua immagine reale abbia dall oggetto distanza minima. 50cm d 0cm 6! 6! Esercizio (II) Esercizio (III) Data l equazione della lente: + f si tratta di trovare la distanza che rende minima la somma: l + bbiamo: f! f Si ha: dl 0 d d! f! f ( )!! f dl #% 0 " 0 d &% f dl > 0 " ' d () 0, f * +! f ( ) (! f ) (! f ) (! f ) f! " f % l + #! f ' &! f + f! f! f Nel punto di l minimo si deve avere: dl 0! d d d " f 0 63! Si ha perciò il minimo per f. In corrispondenza di tale minimo: f " f! f f f f! f f # f f % & l + 4 f 64!

17 Esercizio 3 Esercizio 3 (II) Un oggetto si trova sull asse ottico di una lente, a una distanza 8.5 cm da questa. La lente è convergente e sottile e della potenza P.9 diottrie. Dietro la lente si trova uno specchio piano orientato a 45º rispetto all asse ottico. Lo specchio riflette i raggi sulla superficie libera dell acqua contenuta in una bacinella. L indice di rifrazione dell acqua è n.33. La somma delle distanze specchio-acqua e specchio-lente è 0 cm.! Qual è la profondità h che deve avere la bacinella affinché l immagine dell oggetto si formi sul fondo?! Dove si formerà l immagine se al posto della superficie libera dell acqua si mette uno specchio concavo di raggio 0.5 cm? La posizione dell immagine della lente si trova mediante l equazione della lente: + F.9 m!! 8.5 cm.9 m!! F! Tale immagine è l oggetto per il diottro aria-acqua della superficie dell acqua nella bacinella. ispetto a tale superficie esso si trova alla distanza:! 0 cm"48.6 cm "47.6 cm Dunque (segno negativo) si trova oltre tale superficie m.486 m 48.6 cm C + B l 0cm 8.5cm O C h B n.33 65! 66! Esercizio 3 (III) Esercizio 3 (IV) La posizione dell immagine del diottro si trova mediante l equazione del diottro: n + n n " n 0!! ( ).33! "! n n " "47.6 cm Dunque l immagine del diottro si trova a 63.3 cm dal diottro (cioè dalla superficie dell acqua della bacinella). ffinché l immagine dell oggetto si formi sul fondo la bacinella dovrà perciò avere la profondità: h 63.3 cm 63.3 cm C + B l 0cm 8.5cm O C h B n.33 Nel caso in cui al posto della superficie libera dell acqua si mette uno specchio concavo di raggio 0.5 cm, l immagine della lente è l oggetto per tale specchio. Esso si trova, rispetto allo specchio, alla distanza (segno negativo cioè oltre lo specchio):! 0 cm"48.6 cm "47.6 cm Utilizzando l equazione dello specchio (concavo, < 0): " "!! #! + "8.43 cm! "0.5 cm + Il segno negativo indica che l immagine si trova al di sopra dello specchio. Non finisce qui in quanto l immagine dello specchio diviene nuovamente l oggetto per la lente. "47.6 cm C + B l 0cm 8.5cm O C B 67! 68!

18 Esercizio 3 (V) Esercizio 4 L immagine dello specchio si trova a una distanza dalla lente pari a:! 0 cm" 8.43 cm 9.6 cm Utilizzando l equazione della lente: +!! F! F "!.9 m " " 9.6 cm L immagine è nello stesso spazio in cui si trova l oggetto, a una distanza di cm dalla lente.. m cm.9 m " " 0.96 m C + B l 0cm 8.5cm O C B Calcolare lo spessore minimo di una lamina a quarto d onda avente indice di rifrazione veloce n v + 000, con 333, e indice di rifrazione lento n l n v + 3, per un onda avente lunghezza d onda ridotta nm. Su tale lamina incide un fascio di luce polarizzato ellitticamente di componenti (detto l asse veloce e y l asse lento): E E 0 cos (!t " kz) *, + E y E cos!t " kz + # ', % & ( ) - Determinare l angolo % che il piano di polarizzazione della luce uscente forma con l asse. 69! 70! Esercizio 4 (II) Esercizio 4 (III) Lo spessore minimo della lamina a quarto d onda è dato dall espressione:!z " 0 4 n l # n v Sostituendo i dati si ha: n v n l n v +!z " n l # n v nm 4.903# nm Se sulla lamina incide l onda polarizzata ellitticamente: ( ) * E E 0 cos!t " kz, + E y E cos!t " kz + # ', % & ( ) - l onda uscente avrà componenti (essendo l asse veloce): + E E 0 cos (!t " kz + # ) -, E y E cos %!t " kz + + # " ( & ' ) * E - cos 0 (!t " kz + # ). 000 e dunque sarà polarizzata linearmente. Il rapporto tra le ampiezze delle due componenti è perciò: E E tan! E y E 000! arctan 333 arctan 0.3 rad Ey0 E ! 7! 7!

19 Esercizio 5 Esercizio 5 (II) Nell esperimento di Young la luce uscente da due fenditure produce frange di interferenza su di uno schermo. Inizialmente, senza lastrina, per la frangia del quarto ordine si ha: r! r 4" Interponendo sul cammino di uno dei raggi una lastrina di vetro, di indice di rifrazione n.5, la frangia centrale di interferenza si sposta nella posizione che prima era occupata dalla frangia di quarto ordine. Se la lunghezza d onda della luce utilizzata è nm, determinare lo spessore della lastrina. Nello stesso punto, dopo avere inserito la lastrina, si deve avere: r! r " 0 dove r% è il cammino ottico del raggio, ovvero, essendo s lo spessore della lastrina e n il suo indice di rifrazione: r! sn + ( r " s)# bbiamo perciò: d r r r! D #% r! r 4" &% r! sn + r! s ( ) 0 d s r 73! 74! Esercizio 5 (III) Esercizio 6 #% r! r 4" &% r! sn + r! s ( ) 0 s 4" 4(500 nm 4 µm n!.5! La lastrina è spessa perciò 4 µm. ' 4"! sn + s 0 ' s( n!) 4" r Tre polarizzatori sono sovrapposti (vedi figura) in modo che l asse di trasmissione facile del terzo è perpendicolare all asse di trasmissione facile del primo, mentre l asse di trasmissione facile del secondo forma un angolo! con l asse di trasmissione facile del primo. Determinare il rapporto I f /I i tra l intensità della luce uscente dal terzo polarizzatore e l intensità della luce (non polarizzata) incidente sul primo polarizzatore. d r r! D I! II d s r III 75! 76!

20 Esercizio 6 (II) Esercizio 6 (III) Poiché l'onda incidente non è polarizzata, supponiamo casuale la sua direzione di polarizzazione, istante per istante; l'intensità I dopo il primo polarizzatore si può ottenere perciò integrando sull'angolo giro la legge di Malus: " I I i cos! I i cos! d! " # I i " " I i 0 Per quanto riguarda il secondo polarizzatore, applichiamo semplicemente la legge di Malus (essendo! l angolo tra il I e il II polarizzatore): I I I cos!! II Infine, analogamente per il terzo polarizzatore (essendo!/! l angolo tra il secondo e il terzo polarizzatore) si ha, per la legge di Malus:! I f I cos % & " # ' ( ) I! II III III 77! 78! Domenico Galli Dipartimento di Fisica domenico.galli@unibo.it