Esercizi per il corso di Matematica e Laboratorio

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1 Esercizi per il corso di Matematica e Laboratorio Corso di Laurea in Scienze Vivaistiche, ambiente e gestione del verde Prof. Lorenzo Fusi 5 settembre 01

2 Indice 1 Esercizi sulla retta Esercizi sulla parabola 4 3 Esercizi sulla circonferenza 8 4 Esercizi su equazioni algebriche 10 5 Esercizi sulle disequazioni 1 6 Equazioni e disequazioni trigonometriche 15 7 Equazioni e disequazioni logaritmiche 19 8 Esercizi su equazioni esponenziali 9 Esercizi sulle funzioni 6 10 Esercizi su iti e continuità 9 11 Esercizi sulle derivate 36 1 Esercizi sulla regola de l Hôpital Esercizi sugli studi di funzione Esercizi su problemi di ottimizzazione Esercizi sugli integrali 54 1

3 Capitolo 1 Esercizi sulla retta 1.1. Calcolare l equazione della retta passante per A ( 3/; 1/4) e perpendicolare alla retta di equazione 3x + 4y = 0. [R: 16x 1y + 7 = 0] 1.. Calcolare l equazione della retta passante per il punto di intersezione delle rette di equazioni x + y = 0 e x + 3y 8 = 0 e parallela alla retta passante per i punti A (1; 5/4), B ( ; 7/) [R: 6x + 8y 1 = 0] 1.3. Trovare la distanza fra le rette parallele 3x y +5 = 0 e y 3x+ = 0. [R: (7 13)/13] 1.4. Data la famiglia di rette (k )x + (k )y + 1 k = 0 dipendente dal parametro k determinare fra di esse quella passante per l origine. [R: y = x] 1.5. Data la famiglia di rette (k )x + (k )y + 1 k = 0 dipendente dal parametro k determinare fra di esse quella che incontra l asse delle ascisse in un punto la cui distanza dall origine misura. [R: x + y + 4 = 0, x + y 4 = 0] 1.6. Siano A e B i punti di intersezione della retta di equazione 4x+3y 1 = 0 con gli assi di riferimento: si determinino i punti C della retta di equazione x y + 5 = 0 tali che il triangolo ABC abbia area 0

4 CAPITOLO 1. ESERCIZI SULLA RETTA [R: ( 37 7, 7 ), 7 ( 43 ) 7 ; 8 ] Date la famiglie di rette x+3y = a+7 e ax+(3+a)y = 18 a dipendente dal parametro a determinare per quali valori di a le rette corrispondenti a) risultano parallele; b) risultano perpendicolari; c) si incontrano in un punto di ascissa 5; d) si incontrano nel punto Q ( ; 3); [R: a = 1; a = 9/4; a = 3 e a = 1; impossibile;] 1.8. Scrivere l equazione della retta passante per lintersezione delle rette r) : y = x e s) : x + y = 6 e parallela alla retta x y + 4 = 0. [R: y = x] 1.9. Determinare l equazione della retta passante per i punti A ( 1, a) e B (a, 1) e dire: a) per quali valori di a tale retta è parallela all asse delle x o a quello delle y? b) Per quali valori di a è parallela alla prima o seconda bisettrice? Date la famiglia di rette determinare a) quella che passa per l origine, [R: a = 1, a = 1/, a = 0, a =.] x y k(x + 3y 5) = 0 b) quella che passa per il punto A (3, ) c) quella parallela alla retta 5x 3y + 1 = 0 d) quella perpendicolare alla retta 3x y + 7 = 0 [R: k = 1/5, k = 5/4, k = 0, a =.]

5 Capitolo Esercizi sulla parabola.1. Scrivere l equazione del luogo di punti di un piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali equidistanti dalla retta di equazione y + 6 = 0 e dal punto A ( 1; 5) [R: y = x / + x 5].. Determinare i punti di intersezione della parabola di equazione y = x 5x + 4 con la retta di equazione x + y 4 = 0. [R: (4; 0), (0; 4)].3. Determinare i punti di intersezione della parabola di equazione y = x / x + 4 con la retta di equazione 4x 5y 0 = 0. [R: la retta non interseca la parabola].4. Determinare i punti di intersezione della parabola di equazione y = x con la retta di equazione 4x y 4 = 0. [R: retta tangente in (; 4)].5. Determinare i punti di intersezione della parabola di equazione x = y 4y 5 con la retta di equazione x y + 5 = 0. [R: (0; 5), ( 5; 0)].6. Determinare i punti di intersezione della parabola di equazione y = x 4x con la retta di equazione x + y + = 0. [R: (1; 3), (; 4)] 4

6 CAPITOLO. ESERCIZI SULLA PARABOLA.7. Trovare l equazione della parabola della forma y = ax + bx + c sapendo che passa per A (; 1), B ( 1; 14) e C (1; 0). [R: y = x 7x + 5].8. Trovare l equazione della parabola della forma y = ax + bx + c sapendo che passa per A (; 9), B (5; 0) e che in questo punto la tangente ha coefficiente angolare 6. [R: y = x + 4x + 5].9. Trovare l equazione della parabola della forma y = ax + bx + c sapendo che passa per A (3; 1), e che ha vertice in V (; 0). [R: y = x 4x + 4].10. Trovare l equazione della parabola avente come asse di simmetria la retta x = 1, l ordinata del vertice uguale a 5 e passante per A (; 6). [R: y = x x + 6].11. Trovare l equazione della parabola della forma y = ax + bx + c avente vertice in V (0; 4) e tangente alla retta di equazione 4x + y 8 = 0. [R: y = x + 4].1. Determinare l equaizone della parabola con asse parallelo all asse delle Y e passante per i punti A ( 1; 14), B (; 4), C (7/; 5/4). Scrivere poi le equazioni delle tangenti a tale parabola nei suoi punti di intersezione con l asse delle X. [R: y = x 7x + 6, 5x + y 5 = 0; 5x y 30 = 0].13. Determinare l equazione della parabola con asse parallelo all asse delle Y passante per A (3; 4) ed avente vertice in V (1; 0). Trovare poi il raggio della circonferenza avente il centro nel primo quadrante, tangente agli assi ed alla retta tangente alla parabola nel suo punto di ascissa 0. [R: y = x x + 1, r = 3± 5 4 ].14. Determinare l equazione della parabola della forma y = ax + bx + c con a = 1, asse di simmetria di equazione x = 0 e passante per P (1; 3/). Determinare poi le coordinate dei punti T di tale parabola per i quali risulti TA + TB = 8, essendo A e B i punti di coordinate A (1; 0), B (3; 0).

7 CAPITOLO. ESERCIZI SULLA PARABOLA [R: y = x / x + 3, (0; 3), (4; 3)].15. Scrivere l equazione della parabola P simmetrica rispetto all asse delle Y e passante per i punti A (0; 1) e B (; 3). Scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola P nei suoi punti di intersezione con gli assi e calcolare l area e perimetro del trapezio deitato da dette tangenti e dall asse delle X. Scrivere poi le equazioni delle tangenti T 1 e T alla parabola P passanti per il punto (0; 5) e calcolare area e perimetro del triangolo avente per lati le rette T 1 e T e la retta di equazione y = 3. [R: y = x + 1; y = 1; x y + = 0; x + y = 0; area 3/; perimetro 3 + 5; 4x y + 5 = 0; 4x + y 5 = 0; area 16, perimetro 4( ).].16. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani XOY sia dato il punto P (a + 3; a 3a 7/4), con a numero reale maggiore di 3/. a) Trovare l equazione del luogo P descritto dal punto P al variare del parametro a b) Scrivere l equazione della tangente T al luogo P passante per il punto A (7; 1) c) Indicato con B il punto di tangenza della retta T con il luogo P, scrivere l equazione della normale al luogo P in B, ossia l equazione della retta perpendicolare alla tangente in B. [R: ramo di parabola y = x /4 3x, con x > 6; 4x y 49 = 0; x + 4y 4 = 0.].17. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani XOY rappresentare la parabola P di equazione y = x + 11x + 6 a) Determinare sull arco parabolico P giacente nel primo quadrante un punto R in modo che l area del quadrilatero OARC sia 48, essendo A e C le intersezioni di P rispettivamente con il semiasse positivo delle X e con l asse delle Y. b) Condurre una retta R, parallela all asse X, in modo che per il rettangolo MNPQ, avente i vertici M ed N nei punti di intersezione della retta R con la parabola P ed i vertici P e Q sull asse X, risulti NP = MN. [R: (5, 11), (1, 15), y = ± 185 4].18. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani XOY sia dat la parabola P di equazione y = x + 4x

8 CAPITOLO. ESERCIZI SULLA PARABOLA a) condurre una retta parallela all asse delle X in modo che il rettangolo ABCD, avente per vertici C e D i punti di intersezione della retta considerata con la parabola P e gli altri due vertici sull asse delle X, abbia perimetro di misura 10; b) Scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola P nei punti C e D prededentemente trovati, verificando che tali tangenti sono simmetriche rispetto all asse della parabola; c) Trovare la misura del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo DEC, essendo E l intersezione delle tangenti trovate in precedenza. [R: y = 3; x + y 9 = 0; x y + 1 = 0; E (, 5), r = 5 1 ]

9 Capitolo 3 Esercizi sulla circonferenza 3.1. Dire per quali valori di k la circonferenza di equazione 3x +3y +3k x 16y 3k = 0 passa per il punto (1; 3). [R: k 1 = 3, k = ]. 3.. Trovare e rappresentare il luogo geometrico dei punti P di un piano tali che PA/PB = 3, con A (; 0) e B ( ; 0). [R: x + y + 5x + 4 = 0] Scrivere l equazione della circonferenza passante per i punti A ( ; 3), B (3; 1) e C (1; ). [R: 19x + 19y x 31y 156 = 0] Scrivere l equazione della circonferenza circoscritta al triangolo di vertici A (3; 3), B (1; 4) e C ( ; 1). [R: 3x + 3y 5x 7y 18 = 0] Determinare se esistono le coordinate dei punti di intersezione della retta R con la circonferenza C aventi equazioni 4x + y 4 = 0 e x + y + 6x 4y + 1 = 0. [R: Non esistono punti di intersezione] Determinare se esistono le coordinate dei punti di intersezione della retta R con la circonferenza C aventi equazioni 3x y+0 = 0 e x +y +6x y = 0. [R: La retta risulta tangente nel punto ( 6; )]. 8

10 CAPITOLO 3. ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA 3.7. Nella famiglia di circonferenze aventi equazione x + y (k + 3)x + (k 1)y k 3 = 0, determinare quelle per cui il raggio sia 4. [R: k = 7, k = 3.] 3.8. Nella famiglia di circonferenze aventi equazione x + y (k + 3)x + (k 1)y k 3 = 0, determinare quelle per cui la retta di equazione y = 1 stacchi una corda la cui misura risulta 37. [R: k = 8, k =.] 3.9. Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x + y 4x + y 4 = 0 passanti per il punto p (5; 1). [R: x = 5.] Scrivere l equazione della circonferenza con centro C (1; 1) che stacca sull asse delle X una corda di misura 6. Condotte poi le tangenti alla circonferenza nei suoi punti di intersezione con gli assi, calcolare l area del quadrilatero ABCD deitato da tali tangenti. [R: x + y x + y 8 = 0; x 3y + 6 = 0; 3x + y 1 = 0; x + 3y + 1 = 0; 3x y + 6 = 0; area del quadrilatero 45] Determinare le posizioni relative delle circonferenze x + y 6y + 7 = 0 e x + y 6x + 1 = 0. [R: Le circonferenze sono tangentinel punto (1; ) e l equazione della tangente in comune risulta y = x + 1] Sono dati i punti A (4; ), B (10; 4), D (3; 5). Dopo aver verificato che le rette AB e AD sono perpendicolari, determinare le coordinate del punto C, vertice del rettangolo ABCD. Scrivere poi l equazione della circonferenza circoscritta a detto rettangolo. [R: C (9; 7), x + y 13x 9y + 5 = 0].

11 Capitolo 4 Esercizi su equazioni algebriche 4.1. Risolvere l equazione x + 1 x = 1 x 1 x 1 [R: ± ]. 4.. Risolvere l equazione 1 x x = 1 3 x + 1 x + [R: impossibile] Risolvere l equazione 5 x x 3 + x + x 1 15 x + 3 = 0 [R: 13 4 ] Dato il polinomio P(x) = x + ax + b, con a, b R, risolvere l equazione P(x) = 0 sapendo che P(1) = 1 e P( 1) = [R: 1 ± 5 ].

12 CAPITOLO 4. ESERCIZI SU EQUAZIONI ALGEBRICHE 4.5. Siano a, b R tali che a + b = q, con q R. Determinare per quali valori di a e b il prodotto p = ab è massimo. [R: a = b = q ] Siano a, b 0 tali che ab = p, con p dato. Determinare per quali valori di a e b la somma q = a + b è minima Risolvere la seguente equazione di grado superiore al primo x 4 7x 3 + 5x + 31x 30 = 0 [R: a = b = p]. [R: x = 1, x = 3, x =, x = 5] Risolvere la seguente equazione di grado superiore al primo x 8 + 3x 4 = Risolvere la seguente equazione di grado superiore al primo 3x + 1 x 1 = 3x x Risolvere la seguente equazione di grado superiore al primo 1 (x 3) 4 + (x 3) 3 = Risolvere la seguente equazione di grado superiore al primo ( ) 4 ( ) x + x = 0 x 4 x 4 [R: ± 1 ]. 1 4 [R: impossibile]. [R: x = 1, x = ]. [R: x =, x = 5, x = 7, x = 10].

13 Capitolo 5 Esercizi sulle disequazioni 5.1. Risolvere per via grafica la disequazioni di secondo grado 3x x < Risolvere per via grafica la disequazioni di secondo grado 3x + 3x 4 x 1 6 x Risolvere per via grafica la disequazioni di secondo grado x 7x + 1 < Risolvere per via grafica la disequazioni di secondo grado x + x 6 + (x 1) (x + 1) 5.5. Risolvere per via grafica la disequazioni di secondo grado 1 3 x 3 x 1 0 [R: x < 1, x > ] [R: x, x 1/7] [R: 3 < x < 4] [R: 3/4 x ] [R: x 1, x 3] 1

14 CAPITOLO 5. ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI 5.6. Risolvere la disequazione fratta x 1 x < 0 [R: x < 1, x > ] 5.7. Risolvere la disequazione fratta x + x 3 1 3x 3 x [R: impossibile] 5.8. Risolvere la disequazione fratta x 3x 10 x x 1 0 [R: x 5, x 1] 5.9. Risolvere la disequazione fratta Risolvere la disequazione fratta 3 4 x + 3 < x + 3 x x + 1 x 1 x + 1 x Risolvere la disequazione con il valore assoluto x 3 5 x < 5.1. Risolvere la disequazione con il valore assoluto x + x 3 < [R: 9/4 < x <, 1 < x < ] [R: < x 1/, 1/ < x ] [R: x < 13/4] [R: x < 3, x > 8, x ]

15 CAPITOLO 5. ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere la disequazione con il valore assoluto x 3 x 1 > Risolvere la disequazione con il valore assoluto 3 5x > 3 x Risolvere la disequazione con il valore assoluto x 4 + 3x < Risolvere la disequazione con il valore assoluto 1 1 x > Risolvere la disequazione con il valore assoluto 1 x 1 > Risolvere la disequazione con il valore assoluto 1 + x x Risolvere la disequazione con il valore assoluto x 1 x 1 x + 3 x + 1 [R: x < 4/3, x 1, x > ] [R: x < 0, x > 1] [R: impossibile] [R: < x < 0, 0 < x < ] [R: < x < 0, 0 < x < ] [R: x 0] [R: 1 < x < 1]

16 Capitolo 6 Equazioni e disequazioni trigonometriche 6.1. Risolvere la seguente equazione trigonometrica sin x (cotan x tanx) = (sinx + cosx) [R: x = 3 4 π + kπ] 6.. Risolvere la seguente equazione trigonometrica cos x = cosx 6.3. Risolvere la seguente equazione trigonometrica [R: x = kπ] cos x sin x 1 = 0 [R: x = kπ, x = 3 π + kπ ] 6.4. Risolvere la seguente equazione trigonometrica sin x + cosx = cosx [R: x = π 4 + kπ; x = kπ; x = π + kπ ] 15

17 CAPITOLO 6. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE 6.5. Risolvere la seguente equazione trigonometrica ( cos x 1)(1 sin x) = cosx [R: x = kπ, x = π 4 + kπ ] 6.6. Risolvere la seguente equazione trigonometrica 3sin x sinx 1 + sin x + 1 = 0 [R: x = π 1 + kπ ] 6.7. Risolvere la seguente equazione trigonometrica sin x + cosx = Risolvere la seguente equazione trigonometrica [R: x = (k + 1)π ] tan( π 4 x) = cos(x) [R: x = π 4 + kπ; x = kπ ] 6.9. Risolvere la seguente equazione trigonometrica tan x + cosx = 1 + cos x [R: x = π + kπ ] Dimostrare che sin(3x) = 3 sinx 4 sin 3 x cos(3x) = cosx 4 sin xcosx

18 CAPITOLO 6. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE Dimostrare che 6.1. Trovare le soluzioni di tan(x y) = tan x tan y 1 + tanxtan y sin x cosx = 1 [R: x = π + kπ, x = (k + 1)π] Dimostrare le seguenti identità cosxcos y = cos(x y) + cos(x + y) sinxsin y = cos(x y) cos(x + y) sinxcosy = sin(x y) + sin(x + y) Risolvere la seguente disequazione trigonometrica 3 sin x > [R: π 3 + kπ < x < 3 π + kπ] Risolvere la seguente disequazione trigonometrica ( cos 3x π ) > 1 3 [R: π kπ < x < π kπ] Risolvere la seguente disequazione trigonometrica nell intervallo [0, π] cosx + sin x > 0 [R: 0 x < π, 7π 6 < x < 3π, 11π 6 < x π] Risolvere la seguente disequazione trigonometrica nell intervallo [0, π] cosx + sin x cosx + sin x 0

19 CAPITOLO 6. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE [R: π 4 x < 3π 4, 5π 4 x < 7π 4 ] Risolvere la seguente disequazione trigonometrica nell intervallo [0, π] cosx cosx 1 < 0 [R: π 3 < x < π, 3π < x < 5π 3 ] Risolvere la seguente disequazione trigonometrica nell intervallo ( π, π ) tan x 1 cosx 3 > 0 [R: π < x < π 6, π 6 < x < π 4 ] 6.0. Risolvere la seguente disequazione trigonometrica nell intervallo [0, π] sin x 1 sin x 0 [R: 0 < x π 4, 3π 4 x < π]

20 Capitolo 7 Equazioni e disequazioni logaritmiche 7.1. Risolvere la seguente equazione lnx = ln(x ) [R: x = ] 7.. Risolvere la seguente equazione ln(x 1) + ln(x + 3) = ln(x 1) [R: impossibile] 7.3. Risolvere la seguente equazione 3(lnx 1) (ln x 1) 1 3 = 0 [R: x = e ] 7.4. Risolvere la seguente equazione ln(10 x) ln(4 x) = [R: x = 1] 19

21 CAPITOLO 7. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE 7.5. Risolvere la seguente equazione 7.6. Risolvere la seguente equazione ( ) 1 log x + log 1/ (3 x ) log x = [R: x = 1] 7.7. Risolvere la seguente equazione 1 + ln(x 1) = ln 5 ln( x) ln(3 + x ) = 1 [R: x = e + 5 ] e [R: x = 1 4 ] 7.8. Risolvere la seguente disequazione 7.9. Risolvere la seguente disequazione ln(x 3) ln(3x 1) > ln(1 + x ) [R: impossibile] Risolvere la seguente disequazione ln( 36 x x) > ln( 1 + x x) 35 [R: < x < 35 ] log 3(6 + 5x) 0 4 [R: 6 5 < x 1]

22 CAPITOLO 7. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Risolvere la seguente disequazione log 1 (x 8) > 0 [R: 3 < x < 8, 8 < x < 3] 7.1. Risolvere la seguente disequazione lnx lnx [R: e x < 1, x e] Risolvere la seguente disequazione log x 7x+6 ( x > 0 3) [R: x > 3]

23 Capitolo 8 Esercizi su equazioni esponenziali 8.1. Risolvere la seguente equazione esponenziale e x 6e x + 3 = 0 [R: x = ln ( 3 ± ) 3 ] 8.. Risolvere la seguente equazione esponenziale 5 1 x = 5 5 x 1 [R: x = 1; x = 0] 8.3. Risolvere la seguente equazione esponenziale ln(e x + e) = [R: x = 1 + ln(e 1)] 8.4. Risolvere la seguente equazione esponenziale 4 x + x 1 = 3 x x 1 [R: x = log 4/3 (0/9)]

24 CAPITOLO 8. ESERCIZI SU EQUAZIONI ESPONENZIALI 8.5. Risolvere la seguente equazione esponenziale 3 x = [3 x 1 ] 1/3 9 1/x 8.6. Risolvere la seguente equazione esponenziale 9 x+1 31+x = 73x Risolvere la seguente equazione esponenziale x+ ( 3 ) 4x (3 = 16 x 81 ) x+ [R: x = 3; x = ] [R: x = 11 8 ] 8.8. Risolvere la seguente equazione esponenziale [R: x = ] x+ + x = Risolvere la seguente equazione esponenziale x x+ 3 x + x+1 = 3 [R: x = 4] [R: x = ln 5 33 ln ] Risolvere la seguente equazione esponenziale x+3 4 x = x 1 1 x [R: x = 1, x = 6]

25 CAPITOLO 8. ESERCIZI SU EQUAZIONI ESPONENZIALI Risolvere la seguente equazione esponenziale 4 x x x+1 + x 4 x + x+1 = Considerata la seguente equazione esponenziale parametrica [R: x = log 3] 6 x+1 3 = 3 ( x+1 k) a) stabilire per quali valori del parametro k l equazione ammette come soluzione x = ; b) in relazione al valore di k precedentemente determinato, risolvere l equazione ottenuta e stabilire se essa ammette altre soluzioni oltre a quella indicata. [R: k = ; altra soluzione x = log (9 4 ) ] In relazione all equazione trascendente a x a x a 3x 1 = 7 a) dire per quali valori del parametro a l equazione ha senso; b) risolvere l equazione e verifica re che essa ammette due soluzioni; c) stabilire se esiste qualche valore di a per il quale le due radici sono uguali; [R: x 1 = log a ; x = log a ; Non esistono a per cui x 1 = x ] Risolvere la seguente disequazione esponenziale ( ) x 1 3x < Risolvere la seguente disequazione esponenziale [R: x < 1, x > ] 3 x +x 1 [R: x 0; x ]

26 CAPITOLO 8. ESERCIZI SU EQUAZIONI ESPONENZIALI Risolvere la seguente disequazione esponenziale e x + e x < 3 [R: ln(3 ) < x < ln(3 + )] Risolvere la seguente disequazione esponenziale 3 x 1 < 3 4x x 1 [R: x < 0, x > 3 4 ] Risolvere la seguente disequazione esponenziale 1 x + 1+x > Risolvere la seguente disequazione esponenziale 3 x 81 5 (x+)/x Risolvere la seguente disequazione esponenziale x x ( x) x 8.1. Risolvere la seguente disequazione esponenziale [R: x 0] [R: x 4, 0 < x < ] [R: x [0, 1] {x 4}] 3 4x 3 3x 7(3 x ) + 3 x + 6 < Risolvere la seguente disequazione esponenziale (4 ) x ( ) x + 3 > [R: 0 < x < 1] [R: x > 0]

27 Capitolo 9 Esercizi sulle funzioni 9.1. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni f(x) = e x e x, f(x) = ln(1 x 3 ), f(x) = ln(3x) + 4 x 9.. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni [R: x 0, x < 1, x > 0.] f(x) = ln(x + x) x, f(x) = 1 + x ln(4x), f(x) = 3 x 1 x + 1 [R: x > 0 e x < 1, x > 0, x 1] 9.3. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni f(x) = x 5 x 9, f(x) = e x+1 x + 1, f(x) = ln ( ) x + 1 x [R: x ( 3, 3) [5, ), x > 1, x > 0] 9.4. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni f(x) = ln ( ) x, f(x) = ln(x 1 x 3), f(x) = 1 x x x + 6 [R: x (1, ), x > 3 e x < 1, x R ] 6

28 CAPITOLO 9. ESERCIZI SULLE FUNZIONI 9.5. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni f(x) = 1 ln(x x ), f(x) = sin x + 1 (, f(x) = x + 1 ) 1 x x [R: x (0, 1), π 6 + kπ x 7π 6 + kπ, x > 0.] 9.6. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni f(x) = ln(1 + x ) sin(x) x, f(x) = ln(3+ cosx cos x), f(x) = (lnx) 1 ln x [R: x 0, x (k + 1)π, x > 1 ] 9.7. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni f(x) = 1 tan x sin x ln x + cos x, f(x) = 4 e x e x, f(x) = e x 3e x 10 [R: x > 0 e x e e x π + kπ, x 0, x ln 5] 9.8. Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari f(x) = x 1 + x, f(x) = xsin(x), f(x) = cos(x3 ), f(x) = x3 [R: dispari, pari, pari, ne pari ne dispari] 9.9. Sia data la funzione f(x) = 1 x. Calcolare la funzione composta f = f f [R: f = x ] In una soluzione sia [H + ] la concentrazione di ioni di idrogeno (il numero di moli per cm 3 ). L acidità della soluzione è definita come ph = log 10 [H + ]. Se ph < 7 la soluzione si dice basica. Se il ph > 7 la soluzione si dice acida. Calcolare il ph dell acqua sapendo che la concentrazione di ioni idrogeno è 10 7.

29 CAPITOLO 9. ESERCIZI SULLE FUNZIONI [R: ph = 7] Utilizzando il grafico di f(x) = e x disegnare, tramite le operazioni di traslazione, dilatazione e rotazione, i grafici di y = e x, y = 3e x, y = e x 1, y = e x Determinare dominio e immagine delle seguenti funzioni. Nel caso in cui la funzione sia invertibile determinare la funzione inversa y = x 3 + 3, y = e x, y = x x [R: dom = R e Im = R, dom = R e Im = (0, 1], dom = R e Im = R ]

30 Capitolo 10 Esercizi su iti e continuità Calcolare i seguenti iti x x x 6 x 3 + 5x + 8x + 4, x 4 8x + 16 x x 3 8 [R: ±, 0] 10.. Calcolare i seguenti iti x x 3 3x + 4 x 3 x 4x + 8, x 1 x 1 x 3 1 [R: 3 4, 3 ] Calcolare i seguenti iti x 4x 5 + 7x x 3 + 4x + x 1 x 5, + 7 x x 4 [R:, 0] Calcolare i seguenti iti x x ± x 1, x 1 x 1 x 1 [R: +, 1 ] 9

31 CAPITOLO 10. ESERCIZI SU LIMITI E CONTINUITÀ Calcolare i seguenti iti x x + x x 1/3 + 1, x x 1 x + 1 [R: 0, 1 3 ] Calcolare i seguenti iti x + 1 x x + x x 1 (x 1), x x + x [R: 1 4, 1] Calcolare i seguenti iti x 3x 4x 1 + x + 1, x ( ) 1/3 1 (x + 1 ) 1/ x [R: +, + ] Calcolare i seguenti iti x + 5x + 6 x, x ( ) x x 1 + x x [R: 5, 1 ] Calcolare i seguenti iti x Calcolare i seguenti iti (x 8 + 1) 1/8 + (x 4 1) 1/4, (x 5 ) + 1) 1/5 + (x 3 + 1) 1/3 x x 1 x + x [R: 1, 0] x 0 x + 4 x, x 1 x + 1 x3 + 3 [R: 1 4, 3 ]

32 CAPITOLO 10. ESERCIZI SU LIMITI E CONTINUITÀ Calcolare i seguenti iti x 81 3 x 1/4 sin 3x, 9 x1/ x 0 x [R: 1 6, 3] Calcolare i seguenti iti 1 cosx sin5x x 0 x, x 0 sinx [R: 1, 5 ] Calcolare i seguenti iti x ± xsin 1 x, x 0 sin 4 x (1 cosx) [R: 1, 4] Calcolare i seguenti iti x 0 sin 4 x (1 cosx), x 0 sin 4 x (1 cosx) 3 [R: 4, + ] Calcolare i seguenti iti 1 cosx x 0 sin 3x, x 0 3x + tanx sin x + tan x [R: 9, 4] Calcolare i seguenti iti x cosx x, x ±π 1 + sin x 1 sinx sin x [R: 1, ]

33 CAPITOLO 10. ESERCIZI SU LIMITI E CONTINUITÀ Calcolare i seguenti iti x 0 x 3 tanx sin x, x 0 + lnx ln sinx [R:, ln] Calcolare i seguenti iti tan x(1 sinx), x π/ ln( x + 1 x) x [R: 0, ] Calcolare i seguenti iti x 0 + exp ( ln ) x, lnx x 0 x log a (1 + x) [R: 0, lna] Calcolare i seguenti iti x 0 a x 1 e x e sin x, x x 0 x [R: lna, 0] Calcolare i seguenti iti 1 cosx x 0 (e x 1), x 1 1 x x 1 [R: 1, 1 e ] 10.. Calcolare i seguenti iti x 1 ln 3x, x 0 + e x e x x 0 e x e x [R: e, 1 ]

34 CAPITOLO 10. ESERCIZI SU LIMITI E CONTINUITÀ Calcolare i seguenti iti x 0 e ax e bx x 4 x, x ( x + 5)( x 6) [R: a b, 1] Calcolare i seguenti iti x 0 + xlnx, (x 1)log 5 (x 4 4x 3 + 6x 4x + 1) x 1 [R: 0, 0] Calcolare i seguenti iti x 3 x x, (ln x) x x [R: 0, 0] Calcolare i seguenti iti xlnx, x 0 + x x x 0 + [R: 0, 1] Calcolare i seguenti iti x 0 + x1/x, e 1/x x 0 x [R: 0, 0] Calcolare i seguenti iti lnx ln(1 x), x 1 ln x x1/ x 0 + [R: 0, e] Calcolare i seguenti iti x 0 ± x4 1 x, x 1 1 +(x 1) 1 x

35 CAPITOLO 10. ESERCIZI SU LIMITI E CONTINUITÀ Calcolare i seguenti iti [R: se x 0 e 0 se x 0 +, 1] x + x x 0 + sinx, x 0 3x + e x x 3 + ln(x ) Calcolare i seguenti iti ( (x + 1)ln ) x ln(cosx), x + x x 0 x [R: +, 0] [R: 0, 1 ] Calcolare i seguenti iti cos(sin x) 1 x 0 x, (sin x) tan x x 0 [R: 1, 1] Una funzione f(x) è definita nel modo seguente sin x, se x 6 f(x) = ax + 4, se x > 6 dove a R. Determinare a in modo tale che la funzione sia continua in x = 6 [R: a = (sin 6 4)/6] Sia f(x) = x sin(1/x) per x 0. Determinare f(0) in modo tale che f(x) sia continua nello 0 [R: f(0) = 0]

36 CAPITOLO 10. ESERCIZI SU LIMITI E CONTINUITÀ Una funzione f(x) è definita nel modo seguente (1 cos 3 x) f(x) = x(e x 1), se x < 0 ln( x + 1), se x 0 Dire se la funzione è continua in x = 0. [R: La funzione non è continua in x = 0] Una funzione f(x) è definita nel modo seguente ( ) (1 cosx)cos x, se x > 0 f(x) = ln(1 + x) sin x, se x 0 Dire se la funzione è continua in x = 0. [R: La funzione è continua in x = 0]

37 Capitolo 11 Esercizi sulle derivate Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f(x) = x x 1 x, f(x) = 1 + x [R:f (x) = (1 + x ) (1 x ), f (x) = 11.. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni 1 x x(1 + x) ] f(x) = cosx x + 3 f(x) = 3x 4 + 5x + x 3/ x 3 [R: f (x) = sinx(x + 3) 4xcosx (x + 3), f (x) = 1x x + 6x 4 ] Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f(x) = e 3x (x + x 1) f(x) = xlnx [R: f (x) = e 3x ( 3x 4x 1), f (x) = 1 + lnx] Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f(x) = e x ( sin3x 4 cos3x), f(x) = cosx sin x [R: f (x) = e x (16 sin(3x) cos(x)), f (x) = cosx(4 sin x + 1)] 36

38 CAPITOLO 11. ESERCIZI SULLE DERIVATE Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f(x) = 1 + x, f(x) = x 1 + x [R: f (x) = x 1 + x, f (x) = 1 + x 1 + x ] Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f(x) = cotx = 1 tanx, f(x) = (sinx)3 [R: f (x) = 1 sin x, f (x) = 3 sin xcosx] Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f(x) = exp ( ) x +, f(x) = e x x 3 ( ) 5 x + [R: f (x) = (x 3) exp, f (x) = 1 x 3 x ex ] Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f(x) = x3 1 x + 5, 1 f(x) = e lnx [R: f (x) = x4 + 15x + x (x + 5), f (x) = 1 1 xln x e lnx ] Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f(x) = e x (x 4 + x), ( ) x g(x) = ln + x [R: f (x) = e x (x 4 + x + 4x x, (x + 1) g (x) = x + x ] Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f(x) = sin x x + 1, g(x) = x x + (x + 1)

39 CAPITOLO 11. ESERCIZI SULLE DERIVATE [R: f (x) = (x + 1)cosx sin x (x + 1), g (x) = Calcolare la derivata delle seguenti funzioni (x + 1)(1 3x) x(x x + (x + 1) ) ] f(x) = ln(sin(x + 1)), g(x) = arctan( 1 + x x) [R: f (x) = x(cos(x + 1) sin(x, g (x) = + 1) Calcolare la derivata destra e sinistra di x 1 + x ( 1 + x x) ] nel punto x = 1 f(x) = lnx [R: D + = 1, D (1) = 1] Calcolare la derivata destra e sinistra di nei punti x = 1, x = 0 f(x) = x 3 x Mostrare che la funzione [R: D + ( 1) =, D ( 1) =, D + (0) = 1, D (0) = 1] x x 1 f(x) = e x 1 x > 1 è derivabile nel suo dominio di definizione Mostrare che la funzione ln(1 + x) 1 x 0 f(x) = x x > 0 è derivabile nel suo dominio di definizione

40 CAPITOLO 11. ESERCIZI SULLE DERIVATE Determinare i valori dei parametri a e b in modo che la funzione sia derivabile in R. x + a x 1 f(x) = bx 3 + ax x > 1 [R: a = e b = 1] Determinare i valori dei parametri a e b in modo che la funzione sia derivabile in R. x + ax x 0 f(x) = b ln(x + 1) x > 0 [R: a = b] Calcolare la derivata seconda di f(x) = 1 x + ln(x + 1) Calcolare la derivata seconda di f(x) = x x + 1 [R: f (x) = x 3 (x 1) (x + 1) ] x 0 x x > 0 [R: f (x) = x(x 3) (x + 1) se x 0 e 0 se x > 0] Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = sin(x) nel punto x = π 3. [R: 3x 6y + (3 3 π) = 0] Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = 3x + x + 1 nel punto x =.

41 CAPITOLO 11. ESERCIZI SULLE DERIVATE [R: 14x y + 15 = 0] 11.. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = lnx nel punto x = 1. [R: y = x 1] Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = cos(ln x) nel punto x = e π. [R: x + πy e π/ ] Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = e x nel punto x = 1. [R: y = e(x 1 ) + e] [R: f (x) = x(x 3) (x + 1) se x 0 e 0 se x > 0] Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = sin(x) nel punto x = π 8. [R: y = (x π 8 ) + ] Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = ln(x + ) 3 nel punto x = 1. [R: y = x ] Un parallelepipedo di base 1m m e altezza 5 m è pieno d acqua. Da un rubinetto posto in prossimità del fondo vengono prelevati 0 litri al minuto. Con quale velocità l altezza dell acqua decresce? [R: m s ] Qual è il tasso di variazione del volume di una sfera ripetto al suo raggio. E rispetto all area? [Sugg. Il volume di una sfera è V (R) = 4 3 πr3, mentre l area della superficie è A(R) = 4πR, dove R è il raggio della sfera].

42 CAPITOLO 11. ESERCIZI SULLE DERIVATE [R: dv dr = 4πR, da dr = 8πR ] Sia data la funzione f(x) = x + sinx. Determinare tutti i punti x in cui il grafico della retta tangente abbia coefficiente angolare nullo. [R: x = 3 π + kπ, k Z ] Dimostrare che la retta y = x è tangente al grafico della funzione f(x) = x 3 6x + 8x. Determinare i punti di tangenza. La tangente interseca la curva in qualche altro punto? [R: La retta y = x è tangente a f(x) nel punto (3, 3). L ulteriore punto di intersezione è (0, 0)] Sia f(x) = (1 + x)(1 x) con x > 0. Trovare f (x), f (x) e f (x). [R: f (x) = x, f (x) =, f (x) = 0] Determinare i coefficienti del polinomio P(x) = ax 3 +bx +cx+d sapendo che P(0) = P(1) = e che P (0) = 1, P (0) = 10 [R: a = 4, b = 5, c = 1, d = ] Ogni lato di un cubo si allunga alla velocità costante di 1 cm al secondo. A che velocità aumenta il volume V del cubo quando la lunghezza di ciascun lato è a) 5 cm, b) 10 cm? [R: dv dt = 300cm3 s ] Due automobili iniziano a muoversi dallo stesso punto. Una procede verso nord con velocità 60 km/h, l altra verso est alla velocità di 5 km/h. A che velocità cresce la loro distanza D dopo due ore? Quanto sono distanti dopo tre ore? [R: dd dt = 130Km h, la distanza dopo tre ore è D = 195, Km] Una nave si muove parallelamente a una costa rettilinea alla velocità costante di 1 nodi (miglia marine orarie) a una distanza di 4 miglia dalla costa. A che velocità v si avvicina a un faro sulla costa nel momento in cui si trova esattamente a 5 miglia di distanza da questo? [R: v = 36 5 nodi ]

43 CAPITOLO 11. ESERCIZI SULLE DERIVATE Un serbatoio d acqua ha la forma di un cono circolare retto con vertice rivolto vero il basso. La sua altezza è di 10 m, mentre il raggio di base è di 15 m. L acqua esce dal fondo alla velocità costante di 1 m 3 /s. Altra acqua viene immessa nel serbatoio alla velocità costante c m 3 /s. Calcolare c in modo che il livello dell acqua salga alla velocità di 4 metri al secondo nel momento in cui l acqua nel serbatoio è profonda metri. [R: c = (1 + 36π)] Una particella si muove lungo la curva y = x. In che punto della curva l ascissa e la l ordinata variano alla stessa velocità? [R: x = 1 ] Stabilire i punti stazionari delle funzioni f(x) = x 3x +, g(x) = x 3 4x e studiare il segno di f (x), g (x) in modo da stabilire la natura di tali punti. [R: Per la f(x) si ha x = 1 min. rel. e x = 5 max. rel. Per la g(x) si ha x = 3 min. rel. e x = 3 max. rel. ] Stabilire i punti stazionari delle funzioni f(x) = x 3 6x + 9x + 5, g(x) = + (x 1) 4 e studiare il segno di f (x), g (x), in modo da stabilire la natura di tali punti. [R: Per la f(x) si ha x = 1 max. rel. e x = 3 min. rel. Per la g(x) si ha x = 1 min. assoluto] Stabilire i punti stazionari delle funzioni f(x) = 1 x, g(x) = x + 1 x e studiare il segno di f (x), g (x), in modo da stabilire la natura di tali punti. [R: La f(x) non ha punti stazionari. Per la g(x) x = 1/3 è minimo relativo.]

44 CAPITOLO 11. ESERCIZI SULLE DERIVATE Stabilire i punti stazionari delle funzioni f(x) = 1 (x 1)(x + 3), g(x) = x 1 + x e studiare il segno di f (x), g (x), in modo da stabilire la natura di tali punti. [R: La f(x) ha un max relativo in x = 1. La g(x) ha minimo assoluto in x = 1 e max assoluto in x = 1 ] Stabilire i punti stazionari delle funzioni f(x) = x 4 x 9, g(x) = sin x e studiare il segno di f (x), g (x), in modo da stabilire la natura di tali punti. [R: La f(x) ha un max relativo in x = 0. La g(x) ha minimo assoluto in x = kπ/ se k è dispari o zero, mentre ha max assoluto in x = kπ/ se k è pari.] Stabilire i punti stazionari delle funzioni f(x) = x sin x, g(x) = x + cosx e studiare il segno di f (x), g (x), in modo da stabilire la natura di tali punti. [R: La f(x) ha come punti stazionari i punti x = kπ che non sono ne massimi ne minimi. La g(x) ha come punti stazionari x = kπ/ + kπ che non sono ne massimi ne minimi.]

45 Capitolo 1 Esercizi sulla regola de l Hôpital 1.1. Calcolare i seguenti iti facendo uso del Teorema de l Hôpital x 1 x 4 x x 1, x 0 x + sin x x sin x [R: 1 4, + ] 1.. Calcolare i seguenti iti facendo uso del Teorema de l Hôpital x e x e lnx 1, arcsin x (π /16) x / x 1 [R: e, π 4 ] 1.3. Calcolare i seguenti iti facendo uso del Teorema de l Hôpital x + e 1/x 1 arctanx π, xcosx sin x x 0 x 3 [R: 1 π, ] 1.4. Calcolare i seguenti iti facendo uso del Teorema de l Hôpital x + x ln(x + 1) lnx sin(e x 1) x x 0 xarctanx 44

46 CAPITOLO 1. ESERCIZI SULLA REGOLA DE L HÔPITAL [R: 1 ] 1.5. Calcolare i seguenti iti facendo uso del Teorema de l Hôpital e x e x x x 0 x sinx x 1 x x x 1 x + lnx 1.6. Calcolare i seguenti iti facendo uso del Teorema de l Hôpital ( ) x cos x 1 1 x x x + π arctanx x x [R:, ] [R: 0, 4(1 ln )] 1.7. Calcolare i seguenti iti facendo uso del Teorema de l Hôpital x tan x x 0 x sin x x(arctanx x + arccosx ) [R:, 1]

47 Capitolo 13 Esercizi sugli studi di funzione Per ciascuna delle seguenti funzioni determinare il dominio della funzione, dove la funzione è continua, i iti agli estremi del campo di definizione, le intersezioni con gli assi (ove questo sia possibile), eventuali asintoti, gli intervalli di monotonia, massimi e minimi relativi e assoluti, eventuali punti a tangenza verticale, cuspidi e punti angolosi. Disegnare poi un grafico qualitativo della funzione e, dove richiesto, determinare anche la derivata seconda indicando gli intervalli di concavità e convessità Studiare la seguente funzione (con derivata seconda) 13.. Studiare la seguente funzione f(x) = x 3 e x f(x) = (cos(x)) + sin(x) x [ π, π] Studiare la seguente funzione (con derivata seconda) f(x) = x 9 e x Studiare la seguente funzione (con derivata seconda) f(x) = 4x + 1x + ln(x + 3) Studiare la seguente funzione (con derivata seconda) f(x) = 46 x + lnx

48 CAPITOLO 13. ESERCIZI SUGLI STUDI DI FUNZIONE Studiare la seguente funzione (con derivata seconda) Studiare la seguente funzione f(x) = (x + x)e x Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione f(x) = e 3x x 4 f(x) = f(x) = e 5x x + x + 8 e5x 3x Studiare la seguente funzione f(x) = ln( x + x + 3) f(x) = xlnx Studiare la seguente funzione (con derivata seconda) Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione f(x) = x + 3x 1 x + f(x) = x + 3x 1 x Studiare la seguente funzione f(x) = 1 x e 1 x f(x) = xln x 1

49 CAPITOLO 13. ESERCIZI SUGLI STUDI DI FUNZIONE Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione f(x) = x 1 x x + 1 f(x) = lnx + 1 lnx Studiare la seguente funzione f(x) = x x + 1 e x x+1 f(x) = (x + 9) 1 + x Studiare la seguente funzione (con derivata seconda) f(x) = ln ( ) x Studiare la seguente funzione (con derivata seconda) x 13.. Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione f(x) = e x x 1 f(x) = ex x f(x) = x 3 x Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione f(x) = x e x f(x) = e x+1 x 1

50 CAPITOLO 13. ESERCIZI SUGLI STUDI DI FUNZIONE Studiare la seguente funzione ( ) 1 x f(x) = ln 1 + x Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione f(x) = x (x 3)x Studiare la seguente funzione f(x) = xe 4x Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione f(x) = x 4 + x 1 ( ) 1 f(x) = f(x) = arctan x x Studiare la seguente funzione f(x) = e 1+sin x Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione f(x) = x ln x f(x) = ln (1 + ) (x 1) x f(x) = ln x x f(x) = xe 1 3ln x

51 CAPITOLO 13. ESERCIZI SUGLI STUDI DI FUNZIONE Studiare la seguente funzione f(x) = Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione x x + 1 x f(x) = 3 cosx + 1 cosx f(x) = 5 x(x + 1)(x + ) Studiare la seguente funzione Studiare la seguente funzione f(x) = 3 e x 1 f(x) = ln(x 5x + 7) Studiare la seguente funzione f(x) = x (x 1) f(x) = e x x

52 Capitolo 14 Esercizi su problemi di ottimizzazione Un agricoltore ha L metri di staccionata per chiudere un pascolo rettangolare adiacente a un lungo muro in pietra. Quali sono le dimensioni del pascolo di area massima? [R: Larghezza L/4 e lunghezza L/] 14.. Un agricoltore vuol chiudere un pascolo rettangolare di area A adiacente a un lungo muro in pietra. Quali sono le dimensioni che richiedono lo steccato di misura minore? [R: Larghezza A e lunghezza a] Data una sfera di raggio R, trovare il raggio r e l altezza h del cilindro circolare retto aventa la massima superficie laterale che si può inscrivere nella sfera. [R: r = h, h = R ] Dato un cono circolare retto di raggio R e di altezza H, trovare il raggio e l altezza del cilindro circolare retto di area laterale massima che si può inscrivere nel cono [R: r = R, h = H ] Trovare le dimensioni del cilindro circolare retto di volume massimo che può essere inscritto in un cono circolare retto di raggio R e altezza H. 51

53 CAPITOLO 14. ESERCIZI SU PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE [R: r = R 3, h = H 3 ] Data una sfera di raggio R calcolare, in termini di R, il raggio r e l altezza h del cono circolare retto di volume massimo che si può inscrivere nella sfera. [R: h = 4R 3, r = R ] Trovare il rettangolo di area massima che si può inscfrivere in un semicerchio, quando la base inferiore è sul diametro. [R: Un rettangolo la cui base è il doppio dell altezza] Trovare il trapezio isoscele di area massima che si può inscfrivere in un semicerchio, con la base inferiore coincidente col diametro. [R: Un trapezio la cui base minore coincide con il raggio]

54 CAPITOLO 14. ESERCIZI SU PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE Un cilindro è ottenuto facendo ruotare un rettangolo attorno all asse delle x. La baase si trova sul semiasse positivo delle x e l intero rettangolo si trova all interno della regione compresa fra la curva y = x x + 1 e l asse delle x. Trovare il volume massimo del cilindro. [R: π 4 ]

55 Capitolo 15 Esercizi sugli integrali Calcolare i seguenti integrali indefiniti ln xdx, xe x dx, xcos xdx 15.. Calcolare i seguenti integrali indefiniti [R: xlnx x, e x (x 1), xsin x + cosx] sin xcosxdx, arctan xdx, xsin xcosxdx [R: sin3 x, xarctanx 1 3 ln(x + 1), sin(x) 8 xcos(x) ] Calcolare i seguenti integrali indefiniti cos(ln x )dx, tan xdx, x + (x )(x + 3) dx 16 5 x[ sin(lnx ) + cos(ln x ) ], ln cosx, [R: 4 5 ln x + 1 ln x+3 ] Calcolare i seguenti integrali indefiniti (3x 3 +1) x dx, dx xlnx dx, (x 5 6 +x 3x 1 +)dx 54

56 CAPITOLO 15. ESERCIZI SUGLI INTEGRALI [R: (3x3 + 1) 3, ln lnx, 6x 1/6 3 ln x + x] 7 x Calcolare i seguenti integrali indefiniti 1 x(x + 1) dx, x x + 1 dx, xcosxdx [R: ln x + ln x + 1, 1 ln(x + 1), xsin x + cosx] Calcolare i seguenti integrali indefiniti 1 x(ln x) dx, Calcolare i seguenti integrali indefiniti e x e x dx, 3 e x xdx [R: 1 [ ] lnx, 1 e x 3 + e x, 1 e x ] (x + 5x + 4)e x dx, (cosx) dx, 3e x x dx [R: e x (x + 3x + 1), x + sin(x), 6e x ] Calcolare i seguenti integrali indefiniti lnx x dx, cosx 1 + sinx dx, 1 x + 16 dx [R: 3 ln3/ x, 1 + sin x, 1 ( x ) 4 arctan ] Calcolare i seguenti integrali indefiniti e cos x sinxcos xdx, x + 1 (x + x 3) dx, 1 (x + 1)arctanx dx [R: e cos x (1 cosx), 1 [5 ln x ln x + 1, ln arctanx ] 4

57 CAPITOLO 15. ESERCIZI SUGLI INTEGRALI Calcolare i seguenti integrali indefiniti x 5x + 1 dx, x ln(1 + x)dx, ln( 1 + x)dx [R: 1 5x + 1, 5 1 [(x 3 1)ln(x + 1) x3 3 x) ] + 1, (1 + ] ] 3 + x [ ln( 1 + x) Calcolare i seguenti integrali indefiniti tan x (cos x) dx, [R: tan x, [ 1 3 x 3 1 x dx, 5 (1 x ) 5/ x (1 x ) 3/ Calcolare i seguenti integrali definiti 4x 3 x 5 + 3x 1 dx + x ], x 5 5 x x + 19x 33 ln x + ] 1 0 x cosxdx, e 1/e lnx dx, π/ 0 cos x cos(x)dx ( [R: cos(1), 1 1 ), e 1 3 ] Calcolare i seguenti integrali definiti [R: [ 3 1 x + 1 dx, ( 3 ) ln 1 ( )] 3 + 1, + 1 e x e 4x + 5 dx, 9 4 xe x dx ( ) 1 6 ln, 4(6e 3 e )] Calcolare i seguenti integrali definiti e 1 lnx x(ln x + 1) dx, 1 0 e /(+x) ( + x) 3 dx, π/ 0 cosx sin x + dx [R: (1 ln ), 1 1 e/3, ( 3 )]

58 CAPITOLO 15. ESERCIZI SUGLI INTEGRALI Calcolare i seguenti integrali definiti π 0 xcosxdx, π/4 0 cos(x) sin xdx, 1 0 xe 3x dx Calcolare i seguenti integrali definiti [R:, 1 + e 3 1, ] 9 3π 0 (sin x) dx, 3 1 x lnxdx, [R: 3π 4, 7 6 π/4 0 (cos x) dx ln 3 6 9, π ] Calcolare l area della regione piana deitata dalle curve di equazione y = x x + 1 e xy + = 0. [R: 5 3 ln] Calcolare il valor medio della funzione f(x) = sin x nell intervallo [0, 4] [R: sin cos] Sia f(x) = 1 ex e x + 1. Dopo aver calcolato k 0 f(x)dx calcolare k k 0 f(x)dx [R: π 4 ln 1 ] Determinare l area della regione di piano deitata dall asse x, dalla retta x = 1 e dalla funzione f(x) = xe x. [R: (e )] Disegnare la regione deitata da f(x) = x 1, da g(x) = (x 1) e dalla retta x =. Calcolare poi l area di tale regione. [R: 5 3 ] 15.. Calcolare l area della regione di piano compresa tra le parabole y = x e y = x + 1 [R: 3 3 ]