Esercitazione. Ricorsione. May 31, Esercizi presi dal libro di Rosen

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1 Esercitazione Ricorsione May 31, 2016 Esercizi presi dal libro di Rosen Problema 2 a) sezione 5.3 Data la seguente funzione definita ricorsivamente come: f(n+1) = 2f(n) f(0) = 3 Determinare il valore di f(5) mettendo in evidenza i passaggi che sono eseguiti nel calcolo ricorsivo. 1

2 Problema 2 c) sezione 5.3 Data la seguente funzione definita ricorsivamente come: f(n+1) = f(n) 2 2f(n) 2 f(0) = 3 Determinare il valore di f(5) mettendo in evidenza i passaggi che sono seguiti nel calcolo ricorsivo. 2

3 Problema 8 a) sezione 5.3 Data la funzione f(n) = 4n 2 per n 1. a) Definire ricorsivamente la funzione f(n). b) Usare l induzione per provare che la definizione data é corretta. Dire che tipo di induzione si é usata. 3

4 Problema 8 b) sezione 5.3 Data la funzione f(n) = 1+( 1) n per n 1. a) Definire ricorsivamente la funzione f(n). b) Usare l induzione per provare che la definizione data é corretta. Dire che tipo di induzione si é usata. 4

5 Problema 24 b) sezione 5.3 a) Dare una definizione ricorsiva dell insieme di interi positivi potenze di 3 b) Provare che la definizione ricorsiva data individua realmente l insieme di interi positivi potenze di 3 5

6 Problema 37 sezione 5.3 Data una stringa w, denotiamo con w i la stringa ottenuta concatenando i volte w. Definire ricorsivamente w i per i 0. 6

7 Problema 41 sezione 5.3 Provare che dove w é una stringa e i intero i 0. l(w i ) = i l(w) 7

8 Problema 43 sezione 5.3 Sia T un albero binario pieno, n(t) il numero di vertici di T, f(t) il numero di foglie di T. Utilizzare l induzione strutturale per provare che n(t) 2f(T) 1 8

9 Altri esercizi Dare una definizione ricorsiva del a) l insieme di interi positivi multipli di 5 b) Provare che la definizione ricorsiva data individua realmente l insieme di interi positivi multipli di 5 9

10 a) Dare una definizione ricorsiva della sequenza definita da a n = n(n+1) per n 1 b) Provare che la definizione ricorsiva data é corretta 10

11 Si consideri il sottoinsieme S dell insieme delle coppie ordinate di interi definite ricorsivamente come segue: 1. (0,0) S 2. se (a,b) S allora (a+2,b+3) S e (a+3,b+2) S Sulla base della definizione precedente, rispondere alle seguenti domande: a) Dare i primi cinque elementi di S. b) Usare l induzione strutturale per provare che per ogni (a,b) S si ha che a+b é un multiplo di 5. 11

12 Un albero binario completo é un albero binario in cui - tutti i vertici interni hanno esattamente 2 figli, e - tutte le foglie sono alla stessa profonditá. Definite ricorsivamente un albero binario completo 12

13 Definire ricorsivamente il numero di archi di un albero radicato. 13

14 Sia T un albero radicato, n(t) il numero di vertici di T, m(t) il numero di archi di T. Utilizzare l induzione strutturale per provare che n(t) = m(t)+1 14

15 Una stringa binaria é una stringa costituita da soli 0 e 1. Considera la seguente definizione ricorsiva della funzione che conta il numero di 1 in una stringa binaria: 1. conta(ǫ) = 0, dove ǫ é la stringa vuota. 2. conta(1 s) = 1+conta(s) conta(0 s) = conta(s) dove s é una qualunque stringa binaria. Usare l induzione strutturale per provare che conta(s t) = conta(s) + conta(t) 15

16 ALTRI ESERCIZI 1. Data la funzione f(n) = logn per n 1. a) Definire ricorsivamente la funzione f(n). b) Usare l induzione per provare che la definizione data é corretta. Dire che tipo di induzione si é usata. 16

17 2. Si consideri il seguente codice ricorsivo. procedure funz(n) if n=1 then return 0 else if n=2 then return 2 else return funz(n-2) Determinare il valore di funz(5) e funz(6) mettendo in evidenza i passaggi che sono eseguiti nel calcolo ricorsivo. 17

18 3. Sia Σ = {0,1} e sia w Σ. La stringa binaria w é detta quasi certa se é della forma 01 n cioé w é formata dalla concatenazione a 0 di n caratteri 1, dove n 0. Per esempio, le stringhe 011, sono quasi certe, mentre le stringhe 0101, 1100, , non lo sono. a) Definire ricorsivamente le stringhe binarie quasi certe. N.B.: Nella definizione ricorsiva NON deve comparire n. b) Usare l induzione strutturale per provare che la lunghezza delle stringhe binarie quasi certe é uguale al numero di 1 presenti nella stringa piú 1. 18

19 4. Il grafo whell con n vertici, W n = (V,E), dove n 1, é definito come segue V = {v 0,v 1,,v n 1 }, E = {(v 0,v i ) i = 1,,n 1} { (v 1,v 2 ),(v 2,v 3 ),,(v n 1,v 1 )}. - Definire ricorsivamente W n - Definito e(w n ) = il numero di archi di W n, usare l induzione strutturale per provare che e(w n ) = 2(n 1) 19