Rischi di mercato. Francesco Menoncin

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1 Rischi di mercato Francesco Menoncin Sommario Le risposte devono essere C.C.C (Chiare, Concise e Corrette). Il tempo a disposizione è di (due) ore. Esercizi. Su un mercato completo con tre stati del mondo, la probabilità (neutrale al rischio) del secondo stato del mondo è doppia rispetto a quella del primo stato del mondo e la probabilità del terzo è doppia rispetto a quella del secondo. Sapendo che un titolo rende il % nel primo stato del mondo, il 5% nel secondo e il 5:75% nel terzo, calcolare il tasso privo di rischio. Se su questo mercato si inserisce il seguente titolo: F (t) = 95; F (t + ) = ; determinare, se possibile, una strategia di arbitraggio.. Si abbia il mercato dg G = rdt; ds S = dt + dw + dw ; ds S = dt + dw + dw : Dopo aver calcolato la correlazione tra i rendimenti dei due titoli rischiosi, si determini se esistono valori dei parametri per cui questo mercato è privo di arbitraggio e completo (N.B. ci sono almeno tre casi possibili).. Si abbia il mercato dg G = rdt; ds S = ( ln S) dt + dw: Dipartimento di Scienze Economiche, Università degli Studi di Brescia, Via S. Faustino, 74/B, 5 Brescia. Tel: , fax: , menoncin@eco.unibs.it

2 Figura : Funzione di densità di guadagni e perdite f(x) 6 00 O 80 - x Emettendo sul mercato un nuovo titolo nella forma seguente: F = Se t ; si domanda se esistano valori di che eliminano l arbitraggio da questo mercato (commentare opportunamente il risultato). Nel caso ci sia arbitraggio, determinare la composizione del portafoglio che consente di avere un rendimento certo del 00%. 4. I tassi di interesse a pronti sono r (t; T ) = 0:0 + et 50 : Rappresentare gra camente la curva dei tassi r (0; T ). Dopo aver calcolato i tassi a termine istantanei f (t; T ), aggiungere sul gra co anche i tassi f (0; T ). Determinare quanto valgono gli zero-coupon che scadono tra 6 mesi e un anno (capitalizzazione a scelta). Determinare anche valore e duration di un obbligazione che scade tra un anno e che paga cedole semestrali pari a euro e che rimborsa alla pari. Spiegare perché il motivo per cui l obbligazione è quotata sopra o sotto la pari. 5. La funzione di densità dei guadagni e delle perdite (x) è rappresentata nella Figura. Determinare il valore del V ar 0:0. 6. Si hanno i seguenti prezzi storici di un titolo: ; 0:8; 0:5; 0:7; ; :; 0:9: Calcolare V ar 4% ed ES 4% con il metodo della simulazione storica. 7. Una misura di rischio spettrale e continua attribuisce alla prima e alla seconda metà dei guadagni e delle perdite un peso lineare. Se si vuole che T

3 la perdita più grave abbia peso e che il miglior guadagno abbia peso 0, come deve essere fatto lo spettro della misura di rischio? 8. Domanda per ardimentosi. Con t < s < T, dimostrare che vale Soluzioni E F t [B (s; T )] = B (t; T ) B (t; s) :. La probabilità q ha le seguenti caratteristiche: q = q ; q = q = 4q ; q + q + q = ; che implicano q = 7 ; q = 7 ; q = 4 7 : Sotto questa probabilità il rendimento atteso di ogni titolo rischioso deve essere uguale al tasso privo di rischio e, quindi, r = E q S (t + ) S (t) t : S (t) Nel caso dell esercizio: r = % 7 + 5% 7 + 5:75% 4 7 = 5%: Il prezzo del nuovo titolo dovrebbe essere tale da rispettare la condizione di non arbitraggio: F (t) = E q t F (t + ) + 0:05 = :05 = 95:646: Poiché il prezzo del titolo è 95, su questo mercato c è arbitraggio. rendimenti del nuovo titolo F sono = 4:%; = 5:6%; = 6:%: I

4 Osserviamo, così, che il titolo F ha rendimenti sempre più elevati di quelli del titolo rischioso. La strategia di arbitraggio, quindi, consiste nell acquistare il titolo F vendendo allo scoperto il titolo rischioso. Si può veri care questo risultato imponendo di investire una ricchezza nulla in un portafoglio formato solo da S ed F ed avere, in t + una ricchezza sempre positiva: S S (t) + F F (t) = 0; S S (t + ) + F F (t + ) > 0: La seconda condizione si può scrivere più in dettaglio come Dalla prima equazione si ha S S (t) + F 95 = 0; S S (t) ( + 0:0) + F 99 > 0; S S (t) ( + 0:05) + F 00 > 0; S S (t) ( + 0:0575) + F 0 > 0: S S (t) = F 95; che, sostituita nelle altre tre equazioni dà sempre F > 0: Questo signi ca, appunto, che bisogna comprare il titolo F, in una qualsiasi proporzione, e vendere allo scoperto 95 volte il titolo S.. Il mercato si può scrivere in forma matriciale come 0 I S ds = dt + dw; 0 da cui si ricava la matrice di varianze e covarianze come = + + : L indice di correlazione tra i due titoli rischiosi, quindi, è = p p : + + La condizione di non arbitraggio è che esista un vettore tale che r = : r 4

5 Questo mercato è sicuramente privo di arbitraggio poiché esistono le soluzioni + = r; + = r; ovvero = r ; = r ; che sono in nite (tante quanti sono i possibili valori di ). A nché il mercato sia completo, tuttavia, la soluzione deve essere unica. Essa è unica se vale una delle seguenti condizioni: a) = 0 pioché, in questo caso, l unica soluzione possibile è = = r ; r ; b) = 0 poiché, in questo caso, l unica soluzione possibile è = r ; = 0; c) = 0 poiché, in questo caso, l unica soluzione possibile è = 0; = r : In tutti questi casi si annulla una componente di rischio e, quindi, si hanno tente fonti di rischio quanti sono i titoli sul mercato.. Utilizzando = = et = 0; si può scrivere il lemma di Ito nella forma seguente: df = Se t + e t S ( ln S) dt + e t SdW; ovvero df = ( + ln S) dt + dw: F La condizione di non arbitraggio su queseto mercato, quindi, si scrive come ln S r = ; + ln S r da cui è evidente che per qualsiasi 6= 0 esiste arbitraggio. Se, infatti, = 0, il titolo F coincide con il titolo S e, quindi, può essere perfettamente 5

6 replicato sul mercato. Il portafoglio formato dai titoli S ed F si evolve secondo la seguente equazione di erenziale dr = (Rr + S S ( ln S r) + F F ( + ln S r)) dt + ( S S + F F ) dw: Il portafoglio che elimina il rischio è S S + F F = 0; S S = F F; e, sostituendo questa condizione nella deriva, si ha dr = (Rr + F F ) dt: A nché il rendimento del portafoglio sia del 00% deve valere Rr + F F = R ovvero 4. Dalla formula f (t; T ) = r + F F R = ; F F R = r (t; T (T t) + r (t; T ) ; ricaviamo f (t; T ) = et T 50 (t T ) + 0:0 + et T 50 : Le due curve r (0; T ) e f (0; T ) sono rappresentate nella Figura. calcolare gli zero-coupon dobbiamo avere i seguenti tassi: r 0; = 0:0 + e 50 = 0:0; r (0; ) = 0:0 + e 50 = 0:074; da cui, con capitalizzazione continua, B 0; = e r(0; ) = e 0:0 = 0:989; Per Il valore dell obbligazione è B (0; ) = e r(0;) = e 0:074 = 0:987: V (0; ) = 0: :987 = 0:; 6

7 Figura : Curve dei tassi di interesse a pronti r (0; T ) (in grassetto) e dei tassi di interesse a termine istantanei f (0; T ) tassi T e la sua duration è D = 0: :987 0: = 0:9906; con una duration che è, ovviamente, poco inferiore a un anno. 5. L area sottesa dalla funzione di densità deve valere. Quindi, chiamando h il punto in cui f (x) interseca l asse verticale, deve valere 00h + 80h = ; da cui h = 90 : La parte di f (x) per valori negativi di x, quindi, deve essere una retta f (x) = x = x: A questo punto possiamo calcolare il V ar 0:0 come il valore (negativo) di x per cui la funzione di ripartizione da 00 no a x assume il valore 7

8 dell %: Z V ar 00 da cui 90 x + x= 8000 x V ar 90 + V ar x dx = 0:0; V ar x= 00 = 0:0; V ar V ar = 0: Abbiamo, così, due possibili valori per il V ar: V ar = 00 p dei quali l unico accettabile è V ar % = 86:584: = 00 6 p 5 = = 0:0; :4 86: Poiché vi sono 6 rendimenti, ognuno pesa 6 e, quindi, per avere le due misure di rischio al 4% mi occorrono le tre perdite peggiori. Dai dati vediamo che esse sono 0:8 0:5 0:8 0:8 0:9 : : avendo, quindi, il seguente schema S = 0:; = 0:75; = 0:5; S P P-cum. 0: = 6:67% 0:5 6 6 = :% 0: 6 6 = 50% che si può riscrivere nel modo seguente S S P P-cum. 0: = 6:67% 0:5 6 6 = :% 7 0: = 4% 0: = 50%

9 6 (p) k O - p Tabella : Spettro di una misura di rischio avendo, in ne, in termini relativi V ar 4% = 0:; ES 4% = e in termini assoluti 0:75 6 0:5 6 0: 50 0:4 V ar 4% = 0:9 0: = 0:8; ES 4% = 0:9 0:0 9 = 0:79 6: = 0:0 9; 7. Lo spettro deve avere la forma rappresentata nella Figura. L unico valore che rimane da calcolare, quindi, è k. Se lo spettro deve essere coerente allora l area al di sotto di esso deve valere e, quindi, da cui k + ( k) + k = : k = ; Poiché k > allora lo spettro che abbiamo ottenuto è crescente nella prima parte e, quindi, non è coerente (viola il principio per cui lo spettro non deve mai essere crescente). 9

10 8. Su (p) sappiamo che vale: (p) 0 R 0 per p [0; ] e (p) dp =. Veri chiamo le stesse proprietà sul nuovo spettro. La derivata (a + b (p) ; che è negativa solo se b è negativo (b 0). Poiché lo spettro è decrescente, a nché esso sia sempre positivo è su ciente che sia positivo per il valore più elevato di p e, quindi, una condizione su ciente è a + b () 0: Lo spettro, in ne, somma a se vale da cui Z 0 (a + b (p)) dp = Lo spettro deve avere la forma Z 0 adp + b a = b: Z 0 b + b (p) ; (p) dp = a + b = ; con b negativo e con b + b () 0: 9. Domanda per ardimentosi. Supponendo di avere euro disponibile in T, il suo valore in t è pari a G (t) B (t; T ) = E Q t ; G (T ) tuttavia esso si può scontare prima in s G (s) E Q s ; G (T ) e poi scontare ancora in t E Q t E Q s G (s) G (T ) G (t) : G (s) I due valore, ovviamente, devono coincidere B (t; T ) = E Q t G (s) G (t) 6 4 EQ s 7 G (T ) G (s) 5 : {z } B(s;T ) 0

11 Il membro di destra si può sempli care mediante il cambiamento di probabilità (usando la probabilità a termine): G (t) B (t; T ) = E F t [B (s; T )] E Q t ; G (s) {z } B(t;s) ottenendo così il risultato E F t [B (s; T )] = B (t; T ) B (t; s) :