Frequenze proprie di una catena unidimensionale

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CATANIA Dipartiento di Scienze MM FF NN Corso di Laurea di prio livello in Fisica Frequenze proprie di una catena unidiensionale Cristalli e quasicristalli Oscillazioni e onde Anno Accadeico 2005/2006 Corsaro Enrico Maria Nicola Matricola N 665/000327

2 1 INTRODUZIONE In questo testo, trattiao un breve studio dei oti oscillatori longitudinali prodotti da una catena di asse unidiensionale, collegate fra loro da olle, coe ostrato in figura. Sfruttereo i risultati di tale studio per coprendere il coportaento del reticolo atoico di sostanze cristalline e non. Sostanzialente il reticolo di un cristallo è costituito da un insiee di atoi (o ioni), le cui posizioni di equilibrio sono distribuite in odo ordinato lungo le tre direzioni spaziali. Ogni atoo (o ione) di conseguenza oscilla intorno alla propria posizione di equilibrio con una ben deterinata frequenza. Questo oto oscillatorio può essere opportunaente descritto traite la relazione ce lega la frequenza angolare ω al nuero d onda q; la quale prende il noe di relazione di dispersione ed è una caratteristica propria del reticolo cristallino ce consideriao. Vedreo infine un particolare caso di distribuzione degli atoi (o ioni) in un reticolo, quello ce costituisce un cosiddetto quasicristallo, ovvero una distribuzione aperiodica a non caotica. E interessante a tal proposito vedere coe possano propagarsi in esso le onde (sonore ad esepio, cioè le vibrazioni). 2 FREQUENZE DI OSCILLAZIONE Consideriao dappria una catena unidiensionale costituita da un nuero N di asse, collegate fra loro da N + 1 olle e vediao di ricavare al passo l equazione del oto, sfruttando la seguente figura. Poniao inizialente ce tutte le asse siano differenti, e ce invece la costante elastica sia unica per tutte le olle. Ciaiao a il passo reticolare e consideriao la -esia assa. Se definiao u (t) la funzione del tepo ce ci fornisce lo spostaento della -esia assa dalla sua posizione di equilibrio, abbiao ce per la -esia assa la posizione nel reticolo è: x ( t) = u( t) + a e analogaente per la assa successiva: x + 1 ( t) = u+ 1( t) + ( + 1) a Lo spostaento effettivo da considerare dunque per scrivere l equazione del oto sfruttando la legge di Hooke ce agisce in un sistea assa-olla u& = k l è in questo prio caso l 1 = x+ 1 x a = u+ 1 u Procedendo allo stesso odo relativaente alla assa precedente e soando i contributi dovuti alle due forze agenti, troviao così l espressione delle N equazioni del oto: u& = k( u+ 1 u) k( u u 1) 2

3 u& = k( u+ 1 2u + u 1 ) (2.1) ce costituisce per l appunto un sistea di N equazioni differenziali ordinarie del II ordine. A questo punto, dato ce ci interessa studiare le frequenze di oscillazione, consideriao una soluzione oscillante del tipo iωt u( t) = u e (in odo equivalente si sarebbe potuto considerare una funzione del seno o del coseno) e di seguito derivandola due volte rispetto al tepo e sostituendola all equazione del oto, otteniao: 2 ku+ 1 + ( ω 2k) u + ku 1 = 0 (2.2) Abbiao così trovato un sistea di equazioni lineari. Operando un opportuna sostituzione ce riscali le soluzioni iniziali alle asse, del tipo y u = è possibile portare il sistea ad un problea agli autovalori ce è del tipo k + 1 y + 1 2k k + y 1 r 2 r Ay = ω y y 1 2 = ω y e i cui autovalori sono i quadrati delle frequenze di oscillazione del reticolo ( y è un vettore ad N coponenti). 3 IL RETICOLO CRISTALLINO Per analizzare le caratteristice di un cristallo, riprendiao adesso l equazione (2.2) assuendo ce =, ovvero tutte le asse siano uguali = ku ( ω 2k) u + ku 0 (3.1) Consideriao una soluzione spaziale, ce tenga conto cioè della posizione della assa presente nel reticolo, del tipo iqa u = Ae dove a è il passo reticolare, q è il nuero d onda (ce a diensione dell inverso di una lungezza) e è l indice relativo alla assa ce si sta considerando ( = 1, 2,, N). In pratica, fissato un indice e scelto un ω cerciao le soluzioni del nuero d onda q copatibili con la frequenza scelta. Possiao visualizzare questo se consideriao di fissare la catena in un istante di tepo e vedere coe varia lo spostaento al variare della posizione. Sostituendo la soluzione alla (3.1) otteniao quanto segue iq( + 1) a 2 iqa iq( 1) a kae + ( ω 2k) Ae + kae = 0 3

4 da cui ricaviao con opportuni passaggi algebrici la relazione di dispersione dove qa ω = 2ω 0 sin (3.2) 2 ω 0 = è la pulsazione assia del tipo assa-olla. Considerando di seguito delle condizioni a contorno periodice, ad esepio quella cosiddetta di Born-von Kàràn, dobbiao iporre ce il punto finale della catena coincida con quello iniziale (cioè sostanzialente ce la catena sia ciusa). La soluzione generale all equazione del oto (2.1) è iqa+ iωt u( t) = Ae e iponendo le condizioni a contorno di Born-von Kàràn, otteniao iqna u 0 = A e u N = Ae iqna iqna u 0 = un A = Ae e = 1 e dalla forula eravigliosa ricaviao ce iqna i2kπ 2π k e = e k q = dove k è un indice ce rappresenta gli N diversi valori ce può assuere q fissato un nuero N di asse. Per N olto grande q si coporta coe una variabile continua (è in realtà discreta). a N 4

5 Coe ostra il grafico della relazione di dispersione notiao ce per piccoli valori del nuero d onda q la relazione è praticaente lineare (caratteristica di un sistea continuo) entre per valori di q più grandi la linearità si rope fino ad arrivare ad un valore assio. 4 QUASICRISTALLI Passiao adesso, per concludere, ad una rapida trattazione dei quasicristalli. Il concetto di quasicristallo nacque nel 1984 legato ad un problea ateatico posto da Penrose, ovvero quello di tassellare totalente un piano in odo non periodico. La particolarità di un quasicristallo è ce in esso gli atoi (o ioni) si succedono secondo una sequenza ben precisa, la quale, però, ci ipedisce di riscontrare un periodiso e, al contepo, una totale casualità nella distribuzione. Ci avvaliao adesso della cosiddetta successione di Fibonacci, nata dal problea di Fibonacci, posto nel 1202, di conoscere il nuero di conigli generati in un anno da una coppia di conigli. La successione consta di due terini C ed A. C rappresenta la coppia di conigli piccoli (cild) entre A rappresenta la coppia di conigli adulti (adult). Tale successione si basa sul fatto ce ad ogni iterazione C A e A AC proseguendo così otteniao ad esepio per i prii 5 steps C A AC ACA ACAAC... Notiao ce il nuero dei terini ad uno step i-esio, con i > 2, è uguale alla soa del nuero dei terini dei due step precedenti. f i = fi 1 + fi 2 Si a inoltre ce il rapporto dei valori assunti dalla successione a due step successivi è costante e tale valore è uguale alla cosiddetta sezione aurea (un nuero ce spesso ricorre in olte opere arcitettonice e artistice, coe ad esepio nell uoo vitruviano di Leonardo). fi + 1 li 1 + = ϕ = i f 2 i 5 Ritornando dunque alla catena unidiensionale, distribuiao due valori differenti delle asse in odo tale ce esse seguano la successione di Fibonacci, così coe in figura. Quanto così ottenuto è l analogo della struttura del reticolo di un quasi-cristallo. Di seguito, riportando in un grafico la relazione di dispersione (3.2) per un cristallo e confrontandola con quella ottenuta per un quasicristallo al variare del rapporto /M delle due asse coinvolte nella successione, notiao ce copaiono dei cosiddetti gep ovvero dei salti ce corrispondono a valori della frequenza di oscillazione non possibili. Inoltre facendo tendere ad 1 il valore del rapporto tra le due asse, la relazione di dispersione si approssia sepre più a quella di un cristallo e per /M = 1 in particolare coincide proprio con la (3.2). Questo ci dice sostanzialente ce per un quasicristallo esistono dei valori delle frequenze a cui il sistea non può oscillare e per i quali pertanto esso riarrà fero. 5

6 Nel grafico seguente, esplicativo, possiao visualizzare la frequenza di oscillazione in funzione del nuero d onda per diversi valori del rapporto /M (curve in rosso) e notiao coe i gep ce vi copaiono siano sepre più evidenti an ano ce il rapporto /M si discosta dall unità. In questo secondo grafico, infine, invece è riportata la frequenza di oscillazione al variare del rapporto /M delle due asse. Si può ciaraente notare coe vi siano delle fasce vuote, le quali corrispondono a valori non possibili della frequenza di oscillazione. 6

7 BIBLIOGRAFIA Cifr. Corso di Metodi nuerici per la fisica. 2) Sistei di equazioni lineari e problea agli autovalori. - Progetto: Modi norali di una catena unidiensionale: caso periodico e caso quasi-periodico. 7