STUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1

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1 STUDIO di FUNZIONE c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1

2 Punti di estremo: punto di massimo assoluto Def. Sia 0 dom(f) = D. Si dice che 0 è un punto di massimo assoluto per f se f( 0 ) f() dom(f) ovvero f( 0 ) è il massimo dell insieme immagine di f: f( 0 ) = maf() = ma(im(f)). D f( 0 ) im(f) f( 0 ) im(f) dom(f) 0 dom(f) 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 2

3 Punto di massimo relativo Def. Sia 0 dom(f). Si dice che 0 è un punto di massimo relativo per f se esiste un intorno I( 0 ) del punto 0 tale che f( 0 ) f() f( 0 ) I( 0 ) dom(f). f( 0 ) I( 0 ) 0 0 I( 0 ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 3

4 Punto di minimo assoluto Sia 0 dom(f) = D. Si dice che 0 è un punto di minimo assoluto per f se f( 0 ) f() dom(f) ovvero f( 0 ) è il minimo dell insieme immagine di f: f( 0 ) = minf() = min(im(f)). D im(f) im(f) 0 0 f( 0 ) dom(f) f( 0 ) dom(f) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 4

5 Punto di minimo relativo Def. Sia 0 dom(f). Si dice che 0 è un punto di minimo relativo per f se esiste un intorno I( 0 ) del punto 0 tale che f( 0 ) f() I( 0 ) dom(f). f( 0 ) 0 f( 0 ) I( 0 ) I( 0 ) 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 5

6 Osservazioni 1 Per definire i punti di estremo NON abbiamo utilizzato il concetto di derivata, ma solo il confronto dei valori = f(). 2 I punti di massimo relativo e minimo relativo sono detti punti di estremo relativo, mentre i punti di massimo e minimo assoluto sono detti punti di estremo assoluto. 3 Un punto di estremo assoluto è anche punto di estremo relativo, il viceversa non è sempre vero. 4 In un punto di massimo o minimo relativo la funzione può non essere derivabile. 5 Punti angolosi e punti di cuspide sono sempre punti di massimo o di minimo relativo c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 6

7 Punti stazionari (o critici) Def. Un punto 0 dom(f) si dice punto stazionario (o punto critico) per f, se: - f è derivabile in 0 e - f ( 0 ) = 0, ovvero la tangente ad f in 0 è una retta orizzontale Oss. Per definire un punto stazionario serve la definizione di derivata prima. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 7

8 Esempi Tutti punti di massimo relativo e assoluto. 2 punti angolosi e 1 punto stazionario c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 8

9 Derivata di f agli estremi di un intervallo Se f è definita solo in un intorno sinistro di 0 ed esiste f ( 0) si assume che f sia derivabile in 0 e si definisce f ( 0 ) = f ( 0). (es. f (b) = f (b).) a b Se f è definita solo in un intorno destro di 0 ed esiste f +( 0 ) si assume che f sia derivabile in 0 e si definisce f ( 0 ) = f +( 0 ). (es. f (a) = f +(a)) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 9

10 Teorema dei punti stazionari di Fermat Sia f definita in un intorno I r ( 0 ) del punto 0 e derivabile in 0. Se 0 è un punto di massimo o minimo relativo per f allora f ( 0 ) = 0, ovvero 0 è un punto stazionario per f. (La dimostrazione sarà svolta nella lezione successiva.) 0 a b a 0 b f NON è derivabile in 0 f è derivabile in 0 0 NON è punto stazionario 0 è punto stazionario In entrambi i casi 0 è un punto di minimo relativo c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 10

11 Ricerca dei punti di estremo I punti di estremo di una funzione vanno ricercati tra i punti dom(f) che sono: punti di non derivabilità (punti angolosi e cuspidi) estremi finiti (in R) del dominio. punti stazionari, f ( 0 ) = 0 (per il teorema di Fermat) =punto di non derivabilità 0 =estremo (in R) del dominio 0 =punto stazionario c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 11

12 Legame fra crescenza/decrescenza e f () Ricordiamo la def. di funzione crescente: Sia I il dominio di una funzione f reale a valori reali, oppure un intervallo contenuto nel dominio di f. Def. La funzione f si dice monotona crescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). Def. La funzione f si dice monotona strettamente crescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ). f( 2 ) f( 1 ) = f( 2 ) f( 1 ) I I Risulta impossibile verificare la crescenza e decrescenza di f() mediante la definizione: dovremmo verificare la propr. per infinite coppie di punti! c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 12

13 Criterio del segno della derivata prima Teorema. Sia I dom(f) un intervallo e sia f derivabile su I. Allora f () 0, I f è crescente su I e f () > 0, I f è strettamente crescente su I. (La dimostrazione sarà svolta la lezione successiva) =f() =f () segno derivata.m c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 13

14 f strett. crescente f () > 0 Esempio. f() = 3 +1 è strettamente crescente su R, ma f (0) = 0, ovvero f strett. crescente. non implica f () > c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 14

15 Crescenza/decrescenza e punti di estremo Corollario Sia f derivabile sull intervallo I e sia 0 punto stazionario interno ad I. Se f () 0 < 0 e f () 0 > 0 allora 0 è punto di ma relativo per f (figura a sinistra). Se f () 0 < 0 e f () 0 > 0 allora 0 è punto di min relativo per f (figura a destra) = 0 è p.to di ma. rel = 0 è p.to di min. rel. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 15

16 Derivata seconda Def. Se f è derivabile in 0, si dice che f è derivabile due volte in 0 e si pone f ( 0 ) := (f ) ( 0 ). f ( 0 ) è detta derivata seconda di f in 0. La funzione che associa ad il valore f (), ove questo sia definito, è detta funzione derivata seconda. Es. f() = , f () = 6 12 f () = , c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 16

17 Convessità e concavità Consideriamo la funzione f(), definita in un intorno del punto 0 e l equazione della retta t tangente ad f nel punto 0 dom(f): t : = t() = f ( 0 )( 0 )+f( 0 ). Def. La funzione f si dice convessa (o volge la concavità verso l alto) in 0 se esiste un intorno I r ( 0 ) di 0 tale che: I r ( 0 ) f() t() e si dice strettamente convessa in 0 se f() > t() 0. = f() = t() 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 17

18 Def. La funzione f si dice concava in 0 se esiste un intorno I r ( 0 ) di 0 tale che: I r ( 0 ) f() t() e si dice strettamente concava in 0 se f() < t() 0. = t() = f() 0 Def. Sia I un intervallo e f derivabile su I. f si dice convessa (risp. concava) su I, se è convessa (risp. concava) in ogni punto di I. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 18

19 Criterio del segno della derivata seconda Teorema. Se f è una funzione derivabile due volte su I, si ha: f () 0, I f è convessa su I. e f () > 0, I = f è strettamente convessa su I. Osservazione. Se f è strettamente convessa su I, non è detto che f () > 0 su I. Es.: f() = 4. In = 0 si ha f (0) = 0 ed f strettamente convessa su tutto R. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 19

20 Punti di flesso Def. Sia f una funzione definita e derivabile in un intorno del punto 0. Il punto 0 si dice punto di flesso per f se esiste un intorno sinistro di 0 in cui f è concava ed esiste un intorno destro di 0 in cui f è convessa o, viceversa, se esiste un intorno sinistro di 0 in cui f è convessa ed esiste un intorno destro di 0 in cui f è concava. 0 Oss. Un punto di flesso 0 per cui si ha f ( 0 ) = 0 è detto punto di flesso a tangente orizzontale, mentre un punto di flesso 0 per cui si ha f ( 0 ) 0 è detto punto di flesso a tangente obliqua. 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 20

21 Studio di funzione completo Obiettivo: disegnare il grafico di una funzione = f(). Passi da seguire. 1. Determinare il dom(f) 2. Determinare eventuali simmetrie e periodicità. 3. Determinare possibili asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) [questo vuol dire calcolare i limiti di f agli estremi del dominio]. 4. Individuare eventuali punti di discontinuità. 5. Calcolare la derivata prima e determinare il suo dominio, individuando e classificando eventuali punti di non derivabilità. 6. Studiare il segno della derivata prima per individuare dove la funzione è crescente/decrescente. Determinare, se esistono, i punti di estremo della funzione. 7. Calcolare la derivata seconda di f. 8. Studiare il segno della derivata seconda per individuare dove la funzione è convessa/concava. Determinare, se esistono, i punti di flesso della funzione. 9. DISEGNARE IL GRAFICO DI = f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 21

22 Riferimenti bibliografici: Canuto Tabacco, Sez. 6.4, 6.7, 6.8, 6.9, Esercizi: Svolgere i vari passi dello studio di funzione per le funzioni elementari viste. Fare lo studio delle seguenti funzioni: 1. f() = f() = log() 3. f() = log() 4. f() = e 1/2 5. f() = e 1/ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 22