Esercizio 2 In una terna cartesiana ortogonale destra Oxyz = Oê 1 ê 2 ê 3 si considera il sistema S di vettori applicati:

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1 Prova in itinere di Fondamenti di meccanica razionale e Meccanica razionale del Esercizio 1 In una terna ortogonale Oxyz Oê 1 ê ê un sistema è composto da un anello circolare omogeneo γ, di massa m, raggio a e centro O, posto nel piano Oyz, e da una piastra quadrata P OABC, di lato a, con OC e OA posti sui semiassi positivi Ox e Oy, rispettivamente. La densità di P si scrive: σ(x, y m a (x + y (x, y [, a]. Determinare del sistema: (a la massa e la posizione del baricentro G rispetto a Oxyz; (b la matrice d inerzia relativa a Oxyz; (c il momento d inerzia relativo alla retta r di equazione x y z. Esercizio In una terna cartesiana ortogonale destra Oxyz Oê 1 ê ê si considera il sistema S di vettori applicati: Determinare: v 1 ê 1 ê applicato in P 1 (1, 1, v ê + ê applicato in P ( 1,, 1/ v ê 1 + ê + ê applicato in P (4,, 1/. (a l equazione dell asse centrale a di S, se definito; (b il momento rispetto all asse P 1 P, orientato da P 1 a P ; (c gli eventuali punti A rispetto ai quali risulta nullo il momento M A di S. Esercizio Un punto materiale P di massa unitaria è vincolato a scorrere senza attrito lungo l asse orizzontale Ox di una terna inerziale Oxyz Oê 1 ê ê. P è soggetto ad una resistenza viscosa di costante β ed è collegato all origine da una molla ideale di stiffness k 5. Su P agisce anche un ulteriore forza cos Ωt ê 1, con Ω > costante. Determinare di P : (a l espressione generale del moto transiente; (b l espressione del moto di regime (o stazionario, specificandone l ampiezza; (c la pulsazione di risonanza in ampiezza, se definita. 1

2 Esercizio 4 Nel piano cartesiano orizzontale Oxy di una terna ortogonale Oxyz Oê 1 ê ê, un punto materiale P di massa m è vincolato a scorrere lungo la circonferenza fissa liscia γ di raggio a e centro C(a,. La terna ruota con velocità angolare costante ωê attorno all asse Oz. Usando l angolo ϕ R in figura come variabile, rispetto alla terna Oxyz determinare di P : (a le equazioni pure del moto; (b le condizioni di equilibrio qualora γ abbia coefficiente di attrito statico µ s >. Esercizio 5 Un asta rettilinea omogenea pesante OA, di lunghezza a e massa m, ruota senza attrito attorno all asse fisso Oz nel piano Oxy di una terna inerziale Oxyz, con l asse Oy diretto verticalmente verso l alto. Una molla ideale di stiffness k collega A al punto fisso B(a,,. Su A agisce anche una resistenza viscosa con costante di frizione β. Usare la variabile angolare ϕ R in figura per determinare del sistema: (a le equazioni pure del moto; (b le configurazioni di equilibrio.

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Massa e baricentro Massa e baricentro dell anello γ La massa dell anello omogeneo è m γ m per ipotesi. Il relativo baricentro G γ si identifica ovviamente con il centro geometrico O, che costituisce un ovvio centro di simmetria della curva materiale; pertanto: G γ O. Massa e baricentro della piastra P La massa della piastra si calcola integrando sul dominio P la densità areale σ e risulta: m P σ da P m a dy m a (x + y m a (ax + a m a [a x + a x [xy + y y m. Il baricentro G P della piastra deve essere individuato da un vettore posizione della forma: G P O x P ê 1 + x P ê dal momento che la retta di equazione cartesiana y x, z costituisce un evidente asse di simmetria della piastra. È quindi sufficiente determinare l ascissa: x P 1 a 1 m P P xσ da 1 m [x y + xy y dy x m a (x + y 1 a 1 a per ricavare il vettore posizione richiesto: (x a + xa dy (x + xy 1 [a x a + a x 4 G P O 7 1 aê aê. Massa del sistema La massa del sistema è data dalla somma delle masse di anello e piastra: m S m γ + m P m + m m. 7 1 a Baricentro del sistema Il baricentro G s del sistema può essere determinato applicando il teorema distributivo all anello γ e alla piastra P, e viene individuato perciò dal vettore posizione: G S O m γ(g γ O + m P (G P O m γ + m P G γ O + G P O G P O 7 4 a ê a ê.

4 (b Matrice d inerzia relativa a Oxyz Matrice d inerzia dell anello γ L anello γ giace per ipotesi nel piano coordinato Oyz, per cui L γ xy L γ xz e L γ xx L γ yy + L γ zz. La retta y x nello stesso piano è inoltre un evidente asse di simmetria dell anello, per il quale risulta L γ yy L γ zz e quindi: L γ xx L γ yy + L γ yy L γ yy. Poichè l intera massa m dell anello si trova a distanza a dall asse Ox, vale d altra parte: L γ xx ma. Di conseguenza, la matrice d inerzia dell anello rispetto alla terna Oxyz si scrive: [L γ O ] Lγ xx L γ xx/ ma 1 1/. L γ xx/ 1/ Matrice d inerzia della piastra P L essere la piastra ubicata nel piano coordinato Oxy e l essere la retta y x, z un asse di simmetria della piastra implicano una matrice d inerzia relativa a Oxyz della forma: L P [L P xx L P xy O] L P xy L P xx L P xx dove il momento d inerzia rispetto all asse Ox si scrive: L P xx P m a y σ da m a ( a 5 [ xy 6 + a5 4 + y4 4 dy y m a (x + y m a y m a ma ( dy (xy + y ( xa + a4 m [ a x 4 a ma, mentre l unico prodotto d inerzia non banale vale: L P xy P m a xyσ da m a [ a x 6 [x y + xy dy xy m a (x + y m a y m a + a x m a 5 6 a ma. 4 (x a + xa + a4 x 4 dy (x y + xy

5 La matrice d inerzia della piastra risulta pertanto: 5/1 1/ [L P O] ma 1/ 5/1. 5/6 Matrice d inerzia del sistema La matrice d inerzia dell intero sistema è definita dalla somma delle matrici d inerzia, relative alla stessa terna Oxyz, di anello e piastra quadrata: [L S O] [L γ O ] + [LP O] ma 1 5/1 1/ 1/ + ma 1/ 5/1 1/ 5/6 17/1 1/ ma 1/ 11/1. 4/ (c Momento d inerzia relativo alla retta r La retta r di equazione cartesiana x y z è individuata dalle relazioni parametriche equivalenti: { x u r : y u z u u R dalle quali è immediato dedurre che r passa per l origine ed ammette il versore direttore: ˆn ê1 + ê + ê ê 1 + ê + ê 1 (ê 1 + ê + ê. Il momento d inerzia del sistema rispetto ad r si esprime per mezzo della matrice d inerzia in O calcolata precedentemente: I r I Oˆn ˆn L O (ˆn 1 17/1 1/ (1 1 1 ma 1/ 11/ / /1 1/ (1 1 1 ma 1/ 11/ / 1 1 ma ( /1 7/1 1 ma( ma. 4/ Soluzione dell esercizio (a Asse centrale L asse centrale a del sistema S di vettori applicati è definito in quanto il risultante di S si presenta non nullo: R v 1 + v + v ê 1 ê + ( ê + ê + ê 1 + ê + ê ê 1 + ê, 5

6 Per determinare l equazione parametrica di a occorre calcolare il momento risultante rispetto ad O di S: M O (P 1 O v 1 + (P O v + (P O v ê 1 ê ê ê 1 ê ê 1 1/ 1 + ê 1 ê ê 4 1/ 1 1 ( ê 1 + ê ê + ( 1 ( + ê + ê + ê ê1 ê1 ed applicare poi la relazione generale: che si riduce semplicemente a: P O R M O R + α R α R P O α R α R. L asse centrale è dunque la retta parallela ad R passante per l origine, di parametrizzazione: { x α a : y z α α R. (b Momento rispetto all asse P 1 P, orientato da P 1 a P Per definizione, il momento di S rispetto all asse P 1 P è dato dall espressione: M M Q P P 1 P P 1 dove Q è un qualsiasi punto dell asse e per semplicità può essere identificato con P 1 : M M P1 P P 1 P P 1. Si ha allora, usando la formula di cambiamento del polo: M P1 M O + (O P 1 R M O + R (P 1 O R (P 1 O ê 1 ê ê (ê 1 + ê (ê 1 + ê 1 1 ê 1 + ê + ê, mentre il versore direttore dell asse vale: P P 1 P P 1 ê 1 1/ê ê 1 ê ê 1 1/ê ê 1 ê ( ê 1 ê 1 ê ê 1 ê 1/ê ê 1 ê 1/ê (4ê 1 + ê + ê 6

7 e quindi: M 1 1 (4ê 1 + ê + ê ( ê 1 + ê + ê 1 1 ( (c Punti rispetto ai quali risulta nullo il momento del sistema Si è già verificato in precedenza che l asse centrale passa per l origine O, rispetto alla quale il momento risultante di S è uguale a zero. Questa circostanza implica che rispetto a tutti i punti dell asse centrale sia nullo il momento risultante del sistema di vettori applicati. Quelli dell asse centrale sono anche i soli punti rispetto ai quali il momento si annulla, poichè l annullarsi di questo ne implica il parallelismo con il risultante R. Si conclude pertanto che i punti richiesti sono tutti e soli quelli dell asse centrale a, individuati dalla parametrizzazione: (x, y, z (α,, α α R. Soluzione dell esercizio (a Moto transiente L equazione pura del moto si ottiene proiettando il postulato delle reazioni vincolari lungo la direzione ê 1 dell asse orizzontale Ox: mẍ βẋ kx + cos Ωt e per m 1, β, k 5, si scrive nella forma equivalente: ẍ + ẋ + 5x cos Ωt. La forma generale del moto transiente è descritta dalla soluzione generale dell equazione omogenea associata: ẍ + ẋ + 5x che si ricava risolvendo l equazione caratteristica: da cui seguono gli autovalori: λ + λ + 5 λ 1, ± ± 4i 1 ± i e le soluzioni linearmente indipendenti: e t cos(t e t sin(t. L espressione generale del moto transiente è dunque: x(t c 1 e t cos(t + c e t sin(t 7

8 con c 1 e c costanti reali arbitrarie, specificate dalle condizioni iniziali. (b Moto di regime Il moto di regime è rappresentato da una soluzione particolare dell equazione completa di tipo sinusoidale: x(t A cos Ωt + B sin Ωt con A e B costanti reali opportune da determinare. Le derivate prima e seconda si scrivono: ẋ(t AΩ sin Ωt + BΩ cos Ωt ẍ(t AΩ cos Ωt BΩ sin Ωt e sostituite nell equazione pura del moto porgono: AΩ cos Ωt BΩ sin Ωt AΩ sin Ωt + BΩ cos Ωt + 5A cos Ωt + 5B sin Ωt cos Ωt ossia: [ (5 Ω A + ΩB ] cos Ωt + [ ΩA + (5 Ω B ] sin Ωt cos Ωt. L equazione è soddifatta identicamente t R se e solo se i coefficienti A e B soddisfano il sistema lineare non omogeneo: { (5 Ω A + ΩB ΩA + (5 Ω B che ammette l unica soluzione espressa dal teorema di Cramer: Ω 5 Ω (5 Ω A 5 Ω Ω (5 Ω + 4Ω Ω 5 Ω B La soluzione stazionaria risulta così: 5 Ω Ω 5 Ω Ω Ω 5 Ω 6Ω (5 Ω + 4Ω. x(t (5 Ω cos Ωt + 6Ω sin Ωt (5 Ω + 4Ω t R e può riesprimersi nella forma equivalente: x(t (5 Ω cos Ωt + Ω sin Ωt (5 Ω + 4Ω (5 Ω + 4Ω t R 8

9 in cui si è evidenziata l ampiezza di oscillazione a regime: R (5 Ω + 4Ω. (c Pulsazione di risonanza in ampiezza La pulsazione di risonanza in ampiezza è il valore di Ω che rende massima l ampiezza R del moto stazionario, ovvero minimizza il radicando a denominatore nella stessa espressione di R: (Ω 5 + 4Ω. Il minimo viene determinato derivando l espressione precedente rispetto a Ω ed uguagliando a zero il risultato: (Ω Ω 6 Ω. La pulsazione di risonanza in ampiezza vale pertanto: Ω Ω R. Soluzione dell esercizio 4 (a Equazioni del moto La posizione del punto materiale P nella terna Oxyz è individuata dalla parametrizzazione: P O C O + P C aê 1 + a cos ϕ ê 1 + a sin ϕ ê a( + cos ϕê 1 + a sin ϕ ê, la cui derivata prima fornisce in tale posizione un vettore non nullo tangente alla circonferenza vincolare γ: P ϕ a( sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê. Infine, velocità ed accelerazione istantanea del punto P lungo un qualsiasi moto possibile si scrivono: P a( sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê ϕ P a( sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê ϕ + a( cos ϕ ê 1 sin ϕ ê ϕ. Dal postulato delle reazioni vincolari, in cui figurano le sole forze fittizie e la reazione vincolare Φ: m P mω (P O mωê P + Φ l equazione pura del moto si ricava proiettando lungo la direzione tangente: m P P ϕ mω (P O P ϕ mωê P P ϕ + Φ P ϕ grazie all ipotesi di vincolo liscio: Φ P ϕ. 9

10 In effetti, è immediato verificare che: e che: m P P ϕ ma ϕ mω (P O P ϕ mω a [ sin ϕ ( + cos ϕ + cos ϕ sin ϕ ] mω a sin ϕ, mentre risulta nullo identicamente il contributo della forza di Coriolis: mωê P P ϕ mωê P ϕ ϕ P ϕ come peraltro si deduce da semplici considerazioni fisiche (la forza di Coriolis è ortogonale alla velocità istantanea, che però risulta tangente alla curva vincolare fissa; di conseguenza, la forza di Coriolis agisce ortogonalmente alla curva γ e i suoi effetti vengono bilanciati dalle forze reattive. L equazione pura del moto si riduce pertanto a: ossia: ma ϕ mω a sin ϕ ϕ + ω sin ϕ ed ha forma analoga a quella di un pendolo semplice di pulsazione ω. (b Condizioni di equilibrio In condizioni statiche, la reazione vincolare necessaria a mantenere il punto fermo in una configurazione di equilibrio è data dall opposto della forza centrifuga, visto l annullarsi della forza di Coriolis: Φ mω (P O. La quiete in tale configurazione è effettivamente possibile se e solo se le componenti tangenziale e normale a γ della reazione vincolare soddisfano la legge di Coulomb-Morin dell attrito radente statico: Φ ˆτ µ s Φ ˆn. I versori tangente e normale a γ valgono rispettivamente: ˆτ sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê per cui: ˆn ê ˆτ sin ϕ ê cos ϕ ê 1 (cos ϕ ê 1 + sin ϕ ê Φ ˆτ mω (P O ˆτ mω [ ] a( + cos ϕê 1 + a sin ϕ ê ( sin ϕ ê1 + cos ϕ ê mω a( sin ϕ cos ϕ sin ϕ + sin ϕ cos ϕ mω a sin ϕ 1

11 e: Φ ˆn mω (P O ˆn mω [ a( + cos ϕê 1 + a sin ϕ ê ] (cos ϕ ê1 + sin ϕ ê mω a( cos ϕ + cos ϕ + sin ϕ mω a( cos ϕ + 1. La condizione necessaria e sufficiente affinchè una configurazione ϕ sia di equilibrio è quindi data da: mω a sin ϕ µ s mω a( cos ϕ + 1 ovvero, semplificando i fattori comuni: 1 sin ϕ µ s + cos ϕ. Soluzione dell esercizio 5 (a Equazioni del moto L asta rigida omogenea ha asse fisso orizzontale Oz privo di attrito ed è soggetta ad una forza elastica k(b A applicata nell estremo A, a una resistenza viscosa βa, pure applicata in A, ed al sistema delle forze peso, equivalente al peso totale mgê applicato nel baricentro G punto medio del segmento OA. L equazione pura del moto si ottiene proiettando lungo l asse Oz l equazione cardinale del momento angolare rispetto ad un punto dello stesso asse, ad esempio l origine O: vale a dire: dove I Oz ma / e: per cui: I Oz ϕ ê (A O [ βa + k(b A] + ê A O ( mgê, I Oz ϕ ê (A O [ βa + k(b A mg ] ê, A O a sin ϕ ê 1 a cos ϕ ê B O aê 1 β A + k(b A mg ê B A a( sin ϕê 1 + a cos ϕ ê A a(cos ϕ ê 1 + sin ϕ ê ϕ βa cos ϕ ϕ ê 1 βa sin ϕ ϕ ê + ka( sin ϕê 1 + ka cos ϕ ê 1 mgê [ βa cos ϕ ϕ + ka( sin ϕ ] ê 1 + [ βa sin ϕ ϕ + ka cos ϕ 1 ] mg ê. Si ha pertanto: ê (A O [ βa + k(b A mg ] ê 11

12 a sin ϕ βa cos ϕ ϕ + ka( sin ϕ a cos ϕ βa sin ϕ ϕ + ka cos ϕ 1 mg βa sin ϕ ϕ + ka sin ϕ cos ϕ 1 mga sin ϕ βa cos ϕ ϕ + ka cos ϕ ( sin ϕ βa ϕ + ka cos ϕ 1 mga sin ϕ e l equazione pura del moto diventa: ma ϕ ka cos ϕ 1 mga sin ϕ βa ϕ. (b Equilibri Gli equilibri del sistema sono identificati dalle soluzioni costanti della precedente equazione pura del moto, e si ottengono perciò risolvendo l equazione trigonometrica: equivalente a: ka cos ϕ 1 mga sin ϕ 1 mga sin ϕ ka cos ϕ. Poichè il coseno di ϕ è certamente diverso da zero all equilibrio, l equazione di equilibrio si riesprime come: tgϕ 4ka mg e porge gli equilibri richiesti: ( 4ka ϕ arctg (, π/ mg definiti incondizionatamente. ( 4ka ϕ π + arctg (π, π/ mg 1