F 2 F 1. r R. ( E KT = J, E KR = 0.31 J, F A = kx, T = 2π )

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1 MTI RTTRI Su un disco di assa M e raggio R è praticata una sottile scanalatura di raggio r ce non altera il suo oento d'inerzia. l disco, ce può ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro, sono appesi due corpi di assa 1 ed 2 ediante due funi ideali arrotolate coe in figura. Il sistea, inizialente in quiete, viene lasciato libero di uoversi. Scrivere le equazioni del oto del sistea, deterinando le accelerazioni lineari dei due corpi, l'accelerazione angolare della carrucola, il valore delle tensioni nelle due funi. (M = l Kg, r = 10 c, R = 20 c, 1 = 100 g, 2 =200g) Una carrucola non oogenea di raggio r = 25 c è vincolata, con vincolo ideale, a ruotare attorno ad un asse fisso orizzontale coincidente con un suo asse di sietria e passante per il suo centro di assa. Una corda inestensibile e di assa trascurabile aderisce alla gola della carrucola ed a appesi agli estrei e B due corpi pesanti, di asse = 1.6 kg e M = 1.7 kg. Se si abbandona il sistea inizialente in quiete con i due punti e B alla stessa quota, si osserva ce, dopo un tepo t = 2 s, la quota di supera di = 80 c quella di B. Calcolare il oento di inerzia della carrucola rispetto all'asse di rotazione e la differenza di tensione fra i due tratti verticali della corda. Un disco di assa M = 0.5 kg e raggio R = 20 c, può ruotare senza attrito in un piano verticale attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo centro. Sul disco è praticata una sottile scanalatura di raggio r =R/2, ce non altera il oento d inerzia del disco. Intorno alla scanalatura è avvolta una fune ideale, a cui è sospeso un corpo di assa = 0.2 Kg. ll istante t = 0 il sistea inizia a uoversi. Deterinare: 1. l accelerazione di ; 2. la tensione del filo; 3. la velocità angolare di M e la distanza percorsa da dopo 2 secondi. Una sbarretta unifore di assa M = 2 kg e lungezza l =1, è libera di ruotare in un piano verticale intorno ad un asse orizzontale senza attrito passante per un suo estreo. Sull altro estreo della sbarretta è fissato un corpo, approssiabile ad un punto ateriale, di assa = 2 kg. La sbarretta inizialente fera in posizione orizzontale, viene lasciata cadere. Deterinare: 1) la posizione del centro di assa del sistea; 2) l accelerazione angolare iniziale del sistea e l accelerazione tangenziale iniziale dell estreità destra della sbarretta; 3) la velocità del centro di assa quando il sistea raggiunge la posizione verticale. r R M r R B 1 2 Un disco di raggio R = 0.4 può ruotare senza attrito attorno ad un asse verticale passante per il suo centro fissato ad un piano. Sul disco è avvolto un filo ideale ce passa nella gola di una carrucola priva di assa, alla cui estreità è appeso un corpo di assa = 0.5 Kg. Inizialente il sistea è in quiete; ad un certo punto viene lasciato libero e il corpo scende di 10 in 2 sec. Calcolare: il nuero di giri copiuti dal disco in 2 secondi; l accelerazione di ; la tensione del filo; il oento di inerzia del disco; l energia cinetica del disco all istante t =2 s. Un anello di raggio R = 10 c e assa M = 1 kg può ruotare liberaente intorno ad un asse fisso orizzontale passante per il punto del suo bordo. Deterinare il oento di inerzia del disco rispetto all'asse di rotazione. Se l anello parte da fero dalla posizione in cui il suo centro C si trova allineato con l'asse di rotazione, deterinare: 1. la velocità angolare dell anello e la velocità del suo centro nell' istante in cui il centro passa per la posizione più bassa; 2. l'accelerazione angolare dell anello nell' istante iniziale.

2 Un disco oogeneo di assa M = 4 = 12 kg e raggio R = 0.2 può ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo centro. Sul bordo del disco è avvolta una fune inestensibile e di assa trascurabile al cui estreo è collegato un corpo di assa posto su un piano liscio inclinato di un angolo a = 30. Calcolare: il odulo a dell accelerazione con cui scende il corpo di assa lungo il piano inclinato; la tensione della fune; il nuero di giri copiuto dal disco quando il corpo di assa a percorso un tratto x = 2.51, nell ipotesi ce il corpo fosse inizialente fero. C C PENDLI Due punti ateriali di uguale assa = 0.5 kg sono fissati agli estrei di un asta rigida di assa trascurabile lunga l = 40 c. L asta è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse fisso orizzontale passante per un punto distante d = 10 c dal suo estreo superiore. 1. Scrivere l equazione del oto del sistea e calcolare il periodo nel caso di piccole oscillazioni, dopo aver deterinato la posizione del C.M. e il oento d inerzia del sistea. 2. Se invece non vale l ipotesi di piccole oscillazioni, deterinare l angolo θ ce l asta fora con la verticale quando viene lasciata andare, sapendo ce l energia cinetica dell asta quando passa per la verticale vale E K = 0.98 J. Un disco oogeneo di assa M = 1.6 kg e raggio R = 12 c, posto in un piano verticale, è libero di ruotare intorno ad un asse orizzontale, passante per il suo centro. Sul bordo del disco è fissata una sferetta di assa pari ad un terzo di M. t = 0 il sistea è fero e la sferetta si trova nella posizione ( = 30 ) indicata in figura 9. Lasciato libero il sistea, deterinare: la velocità angolare ω del sistea quando la sferetta passa per la posizione di equilibrio stabile, il periodo delle piccole oscillazioni del sistea. Nell'ipotesi ce agiscano forze di attrito sull'asse, deterinare il oento dell'attrito necessario affincé il sistea non si uova. ( ω = rad/s, T = 1.1s, M = N ) Un sistea rigido è costituito da un asta B di assa M, lunga L= 1.6, e da un disco di assa = M/3 e raggio R = L/4. Il sistea è libero di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse fisso orizzontale passante l estreo superiore dell asta. 1. Deterinare la posizione del C.M. del sistea rispetto ad. 2. Deterinare l espressione del oento d inerzia del sistea rispetto all asse di rotazione in funzione di. 3. Scrivere l equazione del oto del sistea e calcolare il periodo nel caso di piccole oscillazioni. θ PUR RTLMENT B M

3 Un cilindro oogeneo si ette in oviento sotto l'azione della forza peso, lungo un piano scabro inclinato di un angolo rispetto all'orizzontale. Si deterinino i valori peressi per il coefficiente di attrito statico μ S tra il piano ed il cilindro affincé questo rotoli senza strisciare. Un cilindro oogeneo si ette in oviento sotto l'azione della forza peso, lungo un piano inclinato di un angolo θ rispetto all'orizzontale. Il coefficiente di attrito statico tra il piano ed il cilindro è μ S. Si deterinino i valori peressi per l angolo θ affincé questo rotoli senza strisciare. Una sfera avente raggio R=50 c e assa M = 2 kg rotola senza strisciare su di un piano inclinato di 30. Deterinare: 1) l accelerazione del centro di assa; 2) la forza di attrito statico; Sapendo ce nella posizione iniziale la sfera possiede un'energia cinetica totale di 35 J deterinare: 3) la velocità iniziale del centro di assa; 4) l energia cinetica della sfera dopo ce essa a percorso un tratto d = 1 sul piano inclinato. Un cilindro di raggio R = 10 c e assa M = 5 kg è posto su un piano orizzontale scabro In corrispondenza del centro del cilindro è scavata una sottilissia fenditura in odo tale da ridurre in quella zona il raggio al valore r = 6.6 c; si supponga ce questo fatto non alteri il oento d inerzia del cilindro. l cilindro sono applicate le forze F 1 e F 2 = 15.8 N, coe ostrato in figura. Deterinare il valore di F 1 affincé il cilindro resti in equilibrio. ll istante t = 0 F 1 cessa di agire. Nell ipotesi ce il cilindro rotoli senza strisciare deterinare il valore della forza di attrito e il inio valore di μ S ce consente il puro rotolaento. (F 1 = 6.28N, F = 10.5N, μ S = 0.31) Una olla di costante elastica K = 30 N/ è collegata traite una staffa di assa trascurabile all asse di un cilindro di assa e raggio R, entre l altra estreità è fissata. Tutto il sistea è appoggiato in quiete su un piano orizzontale scabro con la olla allungata di L = 0.25 dalla sua posizione di riposo (fig.11). Si sblocca la olla e il cilindro rotola senza strisciare. Deterinare l energia cinetica di traslazione e di rotazione del cilindro, quando la olla raggiunge la posizione di riposo. Inoltre, scritte le equazioni del oto del cilindro, deterinare l espressione della forza di attrito necessaria affincé esso rotoli senza strisciare e del periodo del oto aronico con cui si uove il suo centro di assa. 1 3 ( E KT = J, E KR = 0.31 J, F = kx, T = 2π ) 3 2k Una olla di costante elastica k = 100 N/ è disposta su un piano scabro inclinato di un angolo = 30 0 rispetto all' orizzontale e a un estreo fissato ad una parete posta alla fine del piano inclinato (fig.4). L' altro estreo della olla è attaccato all' asse orizzontale passante per il centro di assa di un disco di assa = 4 kg e raggio r. Il sistea è inizialente tenuto fero con la olla copressa di un tratto Δx = 0.6 rispetto alla sua posizione di riposo. Lasciando libero il sistea, si vede ce il disco rotola senza strisciare sul piano inclinato. Calcolare: 1) l' accelerazione del disco nell' istante iniziale; 2) il valore inio del coefficiente di attrito affincé il oto del disco sia sin dall' inizio di puro rotolaento. 3) Supponendo ce la olla cessi di agire nell' istante in cui raggiunge la lungezza di riposo, calcolare la velocità del disco in quell' istante. ( a CM = 6.7 /s 2, F = 13.5 N, μ SMIN = 0.4, v CM = 1.44 /s) F 2 F r R F 1 L X y x Un cilindro di raggio R e assa M = 2 Kg è posto su un piano orizzontale.

4 ttorno al cilindro è avvolto un filo inestensibile, ce passa sulla gola di una carrucola ideale ed è collegato ad una assa = 3 Kg coe in figura. Inizialente il sistea è antenuto fero. d un certo istante la assa viene lasciata libera di uoversi e il cilindro iediataente rotola senza strisciare. Deterinare: 1) l accelerazione del centro di assa del cilindro; 2) la forza di attrito statico: 3) il inio coefficiente di attrito statico ce consente il puro rotolaento. Una forza F orizzontale è applicata al centro di assa di un disco oogeneo di assa M e raggio R, ce rotola senza strisciare su un piano orizzontale, il cui coefficiente di attrito statico è μ. Deterinare: l) l'accelerazione del centro di assa del disco; 2) il assio valore ce può avere F, percé il disco rotoli senza strisciare. IMPULSI Un asta di assa M=1 Kg e lungezza 2R, libera di ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo estreo, è connessa rigidaente nell altro estreo ad un disco di assa M e raggio R=10 c. Si iprie al disco un ipulso J orizzontale passante per il centro del disco e il sistea asta + disco coincia a ruotare. Calcolare: 1) il oento di inerzia del sistea; 2) la posizione del centro di assa del sistea; 3)il inio valore di J ce consente al sistea di copiere un giro copleto. (I = 0.11 Kg 2, y CM = 20 c, J = 4.4 N s) Un asta di assa = 2 kg e lungezza L = 1 può ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estreo. L asta, inizialente fera nella sua posizione di equilibrio, viene colpita con un ipulso orizzontale J in un punto distante d = 3/4 L da. Deterinare il inio valore dell ipulso J ce deve essere applicato all asta affincé essa copia un giro copleto. Ο Calcolare in tali condizioni, la velocità acquistata dal centro di assa dell asta, J l ipulso della reazione dell asse, la reazione vincolare dell asse nella posizione corrispondente a θ = 180. ( J MIN = 6.8 N s, v CM = 3.83 /s, J = 0.87N s,r =19.6N) d θ J URTI Un disco di assa M = 1 Kg e raggio R = 20 c è inizialente fero su un piano orizzontale liscio. Un punto ateriale di assa = M in oto con una velocità v = 4 /s diretta coe in figura urta il bordo del disco, rianendovi attaccato. Deterinare: 1) il centro di assa del sistea costituito dal disco e dal punto ateriale; 2) la velocità del centro di assa del sistea dopo l urto; 3) la velocità angolare del sistea; v 4) l energia dissipata nell urto. Un anello di assa M = 2 Kg e raggio R = 20 c è posto su un piano orizzontale liscio. Due punti ateriali di uguale assa = 1 Kg si uovo in direzioni opposte con velocità v 1 = 6/s e v 2 = 2/s. d un certo istante i due punti ateriali urtano l anello, rianendovi attaccati. Deterinare: 1. la posizione del CM del sistea dopo l urto; V 1 2. la velocità del CM del sistea dopo l urto; 3. la velocità angolare del sistea; 4. descrivere il oto del sistea nel caso in cui sia v 1 = v 2. Un disco, di assa = 3 Kg e raggio r = 0.2, è posto su un piano orizzontale. J V 2

5 Esso è iperniato ad un asse fisso verticale, passante per il suo centro, con cuscinetti ce offrono al oto di rotazione un oento di attrito costante M = 10-3 N. Tangenzialente al bordo del disco viene lanciato un corpo di assa = 0.05 Kg con velocità v = 4 /s ce si conficca nel disco. Calcolare: la velocità angolare del disco subito dopo l urto, la variazione di energia cinetica nell urto, il tepo ipiegato dal disco a ferarsi. v Un disco di assa M = 0.5 kg e raggio R = 0.5, posto in un piano verticale, viene lasciato cadere e dopo aver percorso un tratto =1.83 urta, rianendovi attaccato, ad un asse fisso orizzontale passante per, attorno al quale coincia a ruotare senza attrito con velocità angolare w. Deterinare: la velocità del centro di assa del disco un istante pria dell' urto; il tepo ipiegato dal disco a percorrere il tratto : la velocità angolare w del disco subito dopo l' urto; la velocità angolare del disco nell' istante in cui il centro di assa raggiunge il punto più basso; la reazione vincolare dell' asse in tale punto. 17_ Un sistea rigido è forato da tre asse puntifori 1 = 2 = 1 Kg, 3 = 2Kg disposte ai vertici di un triangolo equilatero ediante tre sbarre rigide di assa trascurabile e lungezza L = 40c. Il sistea è disposto in un piano verticale e può ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale fisso passante per Deterinare il oento di inerzia rispetto all'asse di rotazione e la posizione del centro di assa nella configurazione della figura. Un proiettile di assa =100 g e velocità v diretta lungo l'asse x colpisce il corpo di assa 3 elasticaente. Deterinare il valore inio di v affincé il sistea possa copiere una rotazione copleta intorno ad. Se si verifica il caso 2 deterinare l'accelerazione del centro di assa e la reazione dell'asse nell'istante in cui il sistea passa per la posizione di equilibrio stabile. 1 2 v Un disco di raggio R = 1 e assa M = 4 kg, può ruotare in un piano verticale intorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo centro. Un punto ateriale P di assa = M/4, in oto con velocità v P =6/s, urta il disco, rianendovi attaccato. La distanza di dalla direzione di v P è d = R/2.Deterinare: 3. la velocità angolare del sistea dopo l urto in odulo e verso; 4. l energia dissipata nell urto; d 5. la posizione del CM del sistea dopo l urto; P 6. la velocità angolare del sistea nella posizione di equilibrio stabile; v p 7. il periodo delle piccole oscillazioni del pendolo costituito dal disco e dal punto ateriale. URTI_ STE 16_Un' asta rigida di lungezza L = 1 e assa 3 è vincolata a uoversi in un piano verticale avendo un estreo incernierato ad un asse orizzontale liscio. L' asta è disposta verticalente in posizione di equilibrio stabile ed una olla a spirale si oppone ad una sua eventuale rotazione, sviluppando un oento assiale M = kθ, dove θ è l'angolo tra l' asta e la verticale e k = 1 N / rad. Una sferetta di assa = 100 g colpisce noralente l' asta nell' estreo libero con velocità v rianendovi attaccata. Sapendo ce l' angolo assio di cui ruota l' asta è θ 0 = π/3, deterinare: 1) il lavoro copiuto dalla forza peso e dal oento di torsione relativo alla rotazione del sistea di un angolo θ 0 ; 2) la velocità angolare dei sistea subito dopo l' urto; 3) la velocità v della sferetta; 4) l' energia dissipata nell' urto. 3

6 Un asta di assa M = 1 Kg e lungezza l = 1 ruota in verso antiorario in un piano verticale attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo centro, ce presenta un oento di attrito costante M = 0.3 N. Quando l asta raggiunge la posizione verticale con velocità angolare ω 0 = 10 rad/s, un punto ateriale di assa = 0.3 Kg e velocità v = 10 /s, diretta orizzontalente, urta l asta nell estreo B, rianendovi conficcato. Deterinare: 1) il odulo e il verso della velocità angolare del sistea subito dopo l urto; Β v 2) il lavoro della forza di attrito, la variazione dell energia potenziale e dell energia cinetica del sistea, corrispondenti ad una rotazione di un angolo pari a π/2. Α Un asta di lungezza L = 1 e assa M è incernierata in un suo estreo. L asta viene lasciata cadere dalla posizione orizzontale e, quando raggiunge la posizione verticale, urta elasticaente un corpo di assa = M/3 inizialente fero ( vedi fig.). Deterinare: L 1) la velocità angolare dell asta quando raggiunge la posizione verticale; 2) la velocità del corpo e la velocità angolare dell asta subito dopo l urto; 3) per quali valori del rapporto /M l asta torna indietro. Un asta di lungezza L = 1 e assa M = 3, è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estreo. Un proiettile di assa parte con velocità v 0 = 14 /s, in una direzione ce fora un angolo = 60 con il piano orizzontale (vedi fig.). Quando raggiunge il punto di assia altezza V, esso urta l asta nell altro estreo, rianendovi attaccato. Deterinare: 1) la velocità del proiettile iediataente pria dell urto; 2) il tepo ipiegato dal proiettile a raggiungere l asta; 3) la velocità angolare del sistea subito dopo l urto; 4) la distanza d del centro di assa del sistea da ; 5) il assio angolo di rotazione dell asta. Un asta di lungezza L = 2 e assa M = 9 è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estreo. Un punto ateriale di assa è attaccato nel centro dell asta. Il sistea viene lasciato andare da una posizione ce fora un angolo = 60 con la verticale. Quando raggiunge la posizione verticale si stacca dall asta. Deterinare: il oento d inerzia del sistea rispetto all asse di rotazione la velocità angolare del sistea nell istante in cui raggiunge la posizione verticale; la velocità v 0 di in tale istante; v 0 la velocità angolare dell asta subito dopo il distacco. Sapendo ce tocca il suolo ad una distanza d = 2.75 da, deterinare l altezza. Una sbarra di lungezza L = l e assa M = l Kg, posta su un piano orizzontale, si uove inizialente di oto traslatorio con velocità v = 10 /s. Essa urta e riane attaccata ad una seconda sbarra identica ce é inizialente in quiete, coe ostrato in figura. Deterinare: 1. la posizione del CM del sistea dopo l urto; 2. la velocità del centro di assa dopo l' urto; 3. la velocità angolare del sistea dopo l' urto; 4. l'energia persa nell' urto. v 0 v V

7 URTI E PUR RTLMENT Un ipulso orizzontale J = 10 N s colpisce un disco di raggio R = 50 c e assa M = 2 Kg inizialente fero su un tavolo scabro. Il disco è colpito in un punto distante d dal piano orizzontale e iediataente dopo l'urto rotola senza strisciare. Deterinare: d 1. la velocità v CM del centro di assa del disco dopo l urto; 2. la velocità angolare del disco; 3. la distanza d. Quando giunge alla fine del piano il disco cade da una altezza = 5 rispetto al suolo. 4. Descrivere il oto del disco; 5. deterinare la velocità del centro di assa del disco quando tocca il suolo; 6. deterinare la distanza x a cui cade il disco. Su un piano orizzontale scabro è inizialente fero un disco di raggio R = 1, a cui anca una sceggia di assa = 100g. Un proiettile di assa parte con velocità v 0 in una direzione tale ce, quando raggiunge il punto P di assia altezza della sua traiettoria, urta il disco nel punto P in cui anca la sceggia, rianendovi attaccato e rendendolo sietrico (vedi fig.). Subito dopo l urto il disco di assa totale M = 1 Kg rotola senza strisciare con una velocità angolare ω = 2 rad/s. Deterinare: la velocità v CM del centro di assa del disco subito dopo l urto; la velocità v P del proiettile all istante dell urto; la distanza tra la retta orizzontale passante per il centro del disco e il punto P; la velocità iniziale v 0 del proiettile; la distanza x percorsa dal proiettile. x Una sfera di assa M = 10 Kg e raggio R è inizialente fera su un piano orizzontale scabro(μ D =0.1). Un punto ateriale di assa = 2 Kg, in oto con velocità v P = 24/s diretta lungo la retta parallela al piano passante per il centro della sfera, urta la sfera, rianendo conficcata nel suo centro. Dopo l urto il sistea rotola e striscia e dopo un certo tepo t* incoincia a rotolare senza strisciare. Deterinare: la velocità v 0 del sistea subito dopo l urto; il tepo t*; la velocità del CM quando coincia il oto di puro rotolaento; il lavoro copiuto dalla forza di attrito. Successivaente il oto prosegue su un piano inclinato liscio, raccordato al piano orizzontale con un arco di circonferenza liscio. Deterinare la assia altezza raggiunta dal centro del disco, calcolata rispetto alla sua posizione iniziale. Specificare se il oto successivo sul piano orizzontale è di puro rotolaento. Un asta di assa =1 kg e lungezza L = 1, libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse fisso orizzontale passante per un estreo, viene lasciata cadere da una posizione orizzontale. Quando l asta raggiunge la posizione verticale urta elasticaente un disco oogeneo di assa e raggio R posto su un piano orizzontale scabro. Deterinare: 1. la velocità angolare ω 0 dell asta un istante pria dell urto; 2. la velocità angolare ω dell asta subito dopo l urto; 3. la velocità del CM del disco subito dopo l urto. d un certo istante t* il disco rotola senza strisciare sul piano. Deterinare: 4. la velocità del CM del disco; 5. il lavoro copiuto dalla forza di attrito. MTI SCILLTRI Un' asta rigida di lungezza L = 1 e assa =1 Kg è vincolata a uoversi in un piano verticale avendo un estreo incernierato ad un asse orizzontale liscio. L estreo opposto è collegato ad una olla di costante elastica k = 20 N/. L asta, se viene spostata di poco dalla sua posizione di equilibrio e lasciata andare, oscilla. Deterinare: 1) l allungaento della olla in condizioni di equilibrio; 2) l equazione del oto dell asta per piccole oscillazioni; 3) il periodo delle piccole oscillazioni. θ g v 0 v P P x