Programma dettagliato del corso di MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile

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1 Programma dettagliato del corso di MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile Anno Accademico A. Ponno (aggiornato al 9 gennaio 2015)

2 2 Ottobre /10/14 Benvenuto, presentazione del corso e dei suoi contenuti. Descrizione del materiale didattico e delle modalità di esame. Inizio richiami di geometria: spazio vettoriale euclideo tridimensionale; prodotto scalare e sue proprietà. 2/10/14 Richiami di geometria. Prodotto scalare, modulo e angolo; interpretazione geometrica del prodotto scalare. Basi ortonormali. Prodotto vettoriale, proprietà principali e significato geometrico. Prodotto misto; interpretazione geometrica. Esercizio: decomposizione di una forza su una base qualsiasi. 6/10/14 Curve nello spazio e nel piano: posizione, velocità e accelerazione di un punto materiale che si muove nello spazio. Esempi di moti: moto rettilineo uniforme; moto uniformemente accelerato; moto elicoidale. Lunghezza di un arco di curva. 8/10/14 Principi della dinamica del punto materiale. Definizione di punto materiale e di massa. Primo principio (principio di inerzia). Classe dei sistemi inerziali. Interazioni e forze. Secondo principio (legge di Newton). Coppie isolate di punti materiali: terzo principio (principio di azione e reazione). 9/10/14 Esempio di interazioni fondamentali: forza di gravità e forza elettrostatica. Principio di sovrapposizione delle forze. Principio di relatività galileiana e sue conseguenze sulla struttura delle forze per sistemi di punti isolati. Esempi di dinamica del punto: punto isolato; punto soggetto a forza di gravità. 13/10/14 Esempi di dinamica del punto: punto soggetto a forza assegnata come funzione del tempo; particella carica in un campo elettrico uniforme e costante; punto attaccato all origine tramite una molla ideale (discussione sul modello di molla reale). Soluzione dell equazione dell oscillatore armonico. 15/10/14 Moto armonico in tre dimensioni. Moto di una particella carica in un campo magnetico uniforme e costante. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie (EDO): prime definizioni ed esempi. 16/10/14 EDO lineari a coefficienti costanti. Soluzione generale dell omogenea. Soluzione particolare e soluzione generale della non omogenea. Principio di sovrapposizione. Metodo di soluzione dell omogenea: ricerca di soluzioni esponenziali e riduzione ad un problema algebrico. Caso di coppie di radici complesse e coniugate. 20/10/14 EDO lineari a coefficienti costanti; esempio fondamentale: oscillatore armonico smorzato e forzato. Soluzione dell omogenea (caso sovra-smorzato, caso critico, caso sotto-smorzato). Soluzione particolare (risposta) nel caso di forzante somma di una costante e di funzioni armoniche. Sfasamento e ampiezza della risposta in funzione del coefficiente di attrito e della frequenza della forzante. Picco di ampiezza della risposta: risonanza. 22/10/14 EDO lineari a coefficienti costanti: studio dettagliato dell oscillatore forzato non smorzato. Battimenti e risonanza; discussione degli effetti fisici e del ruolo dell attrito.

3 23/10/14 Equilibri di sistemi di punti materiali soggetti a forze indipendenti dal tempo. Linearizzazione delle equazioni di Newton attorno all equilibrio e restrizione ad una classe di casi semplice da trattare: masse uguali; matrice che moltiplica gli spostamenti simmetrica e definita positiva; matrice che moltiplica le velocità proporzionale all identità. Scrittura finale del sistema di equazioni, con sollecitazione esterna dipendente dal tempo. 27/10/14 Studio del sistema lineare del secondo ordine descrivente le piccole oscillazioni di un sistema di punti di uguale massa attorno alla posizione di equilibrio. Decomposizione sulla base della matrice delle forze: oscillazioni indipendenti lungo gli autospazi. 29/10/14 Esempio: sistema molla-punto-molla-punto-molla, con punti di uguale massa e molle identiche, forzato e non smorzato. Soluzione standard e soluzione ad hoc per somma e sottrazione. Cenno sulle reazioni vincolari agli estremi. 30/10/14 Introduzione ai vincoli e alle reazioni vincolari. Punto vincolato a muoversi su una superficie o lungo una curva. Vincolo ideale o con attrito. Legge di Coulomb-Morin dell attrito statico. Esempio: punto in equilibrio sul piano inclinato e angolo di inclinazione massima. Inizio esercizio: punto vincolato su una retta orizzontale e collegato tramite molle ideali a due punti fissi del piano verticale, in assenza e in presenza di attrito dovuto al vincolo. Novembre /11/14 Svolgimento esercizio impostato a fine lezione precedente; discussione dell effetto dell attrito statico: il punto di equilibrio ideale del sistema si apre in un intervallo continuo di equilibri. Dimostrazione della generalità di questo fenomeno per un punto vincolato ad una curva piana in presenza di piccolo attrito statico. 5/11/14 Caso dell attrito dinamico; esempio: punto materiale in caduta lungo un piano inclinato e condizione di arresto in tempo finito. Svolgimento di due esercizi assegnati in precedenza: sistema di due punti di massa diversa, vincolati su un asta inclinata e connessi da una molla ideale; punto materiale connesso ad un punto mobile con moto assegnato (oscillante) sotto l azione della gravità. 6/11/14 Deduzione della prima e della seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali; introduzione contestuale dei concetti di centro di massa (o baricentro), risultante delle forze, momento di una forza, momento angolare, momento risultante. 10/11/14 Discussione sull utilità delle equazioni cardinali. Caso dei sistemi isolati: moto del baricentro e conservazione del momento angolare totale. Moto di un sistema di punti sotto l azione della gravità e moto di un sistema di elettroni in un campo magnetico uniforme e costante: soluzione delle equazioni cardinali. Equazioni cardinali della statica. Studio di un sistema isolato di due punti materiali connessi da una molla ideale. Inizio della discussione sul caso del corpo rigido. 12/11/14 Breve discussione sulla statica dei sistemi di corpi rigidi, eventualmente vincolati. Asta e filo ideale e loro condizione di equilibrio. Esercizio: due aste ideali identiche fissate ai due estremi, con altro estremo comune e forza in esso applicata (complanare alle aste); equilibrio e calcolo delle reazioni vincolari tramite equazioni cardinali. 3

4 4 13/11/14 Soluzione dell esercizio precedente in modo alternativo. Seconda equazione cardinale per gli elettroni in un campo magnetico e deduzione di una legge di conservazione non banale. Assegnazione di due esercizi sulla dinamica dei sistemi vincolati. Generalità sui sistemi di forze applicate: risultante; momento risultante; dipendenza dal polo; equivalenza. 17/11/14 Sistemi di forze applicate parallele: equivalenza ad una forza applicata nel centro del sistema (nel caso di risultante non nullo). Esempio: sistema di forze peso. Esercizio: sfera poggiata contro un gradino e spinta ad altezza fissata; condizione di distacco dal suolo. Indipendenza del momento di una forza per spostamento del punto di applicazione lungo la retta di applicazione della forza stessa. Esercizio: scala poggiata al muro; angolo minimo di inclinazione. 18/11/14 Esercizio: punto materiale ancorato a N punti oscillanti nello spazio, con attrito viscoso; moto e reazioni vincolari nei punti di ancoraggio. Esercizio: trave appoggiata con carico laterale; condizioni di sollevamento. 20/11/14 Solidi in appoggio ideale; poligono di appoggio; sistema di carichi e di reazioni; centro di pressione. Teorema sul centro di pressione. Esempio della trave appoggiata. 24/11/14 Esercizi. Equilibrio di una gru discusso sia con il teorema sul centro di pressione sia con le equazioni cardinali. Problema del punto materiale vincolato a muoversi sul grafico di una funzione (di una variabile) assegnata. Principi di funzionamento dell arco: riduzione ad uno scheletro di punti materiali connessi da aste rigide; caso con cinque punti. 26/11/14 Proprietà del baricentro. Teorema di composizione del baricentro. Piani e rette di simmetria materiale. Appartenenza del baricentro ai piani e alle rette di simmetria materiale. Esempi. 27/11/14 Baricentro di una sfera con cavità sferica e con disomogeneità sferica. Baricentro di una piastra circolare con disomogeneità circolare. Baricentro di una piastra quadrata con disomogeneità puntiformi. Esercizio: punto vincolato su una curva sotto l azione della gravità. Dicembre /12/14 Fine dell esercizio precedente. Teorema dell energia cinetica. Lavoro delle forze agenti su un sistema lungo un cammino. Forze conservative. 3/12/14 Energia potenziale e lavoro di forze conservative. Legge di conservazione dell energia totale (cinetica più potenziale). Esempi: punto non soggetto a forze; caduta dei gravi; oscillatore armonico (con analisi qualitativa del moto e ritratto di fase). Spostamento virtuale di un punto materiale per un sistema soggetto a vincoli. Esempio del moto su pavimento mobile. Ipotesi di caratterizzazione dei vincoli ideali (bilateri): lavoro nullo delle reazioni lungo ogni spostamento virtuale del sistema. 4/12/14 Principio di d Alambert ed eliminazione dei vincoli ideali. Caso della statica: principio dei lavori virtuali e suo utilizzo per il calcolo delle reazioni vincolari. Esempi: leva e trave appoggiata.

5 10/12/14 Cinematica relativa. Equazione di Newton per un punto materiale in un sistema di riferimento non inerziale. Deduzione delle forze apparenti. 11/12/14 Discussione degli effetti delle forze apparenti. Effetto della forza di Coriolis su scala terrestre; esempio dei cicloni. Esercizio: punto su guida solidale a pedana in rotazione uniforme, soggetto a richiamo elastico verso il centro e a gravità. 15/12/14 Assegnazione esercizio su forze apparenti (pallina pesante su anello rotante). Cinematica rigida. Derivazione dell equazione di Eulero nel caso del moto libero e del moto con punto fisso. Definizione della matrice (o tensore) di inerzia di un corpo relativa ad un punto e sua scrittura per esteso. 17/12/14 Proprietà della matrice di inerzia di un corpo: simmetria e positività (discussione del caso particolare di corpo lineare). Diagonalizzazione della matrice di inerzia: assi principali e centrali di inerzia. Definizione di momento di inerzia di un corpo rispetto ad una retta assegnata. Momento di inerzia di un corpo rigido rispetto ad un asse come forma quadratica. Autovalori della matrice di inerzia come momenti di inerzia rispetto agli assi principali. Esempio: corpo rigido libero sotto l azione della gravità; equazione di Eulero omogenea e sua scrittura esplicita; commento sul caso simmetrico con due momenti di inerzia uguali. 18/12/14 Teorema di Huygens-Steiner sulla trasposizione dei momenti di inerzia. Proposizione: ogni retta ortogonale ad un piano di simmetria materiale è asse principale di inerzia. Corollario (senza dimostrazione): la retta intersezione di due piani di simmetria materiale è asse principale di inerzia. Proprietà dei corpi piani: il momento di inerzia rispetto all asse principale ortogonale al piano del corpo è pari alla somma dei due momenti relativi agli altri due assi principali. Esempio: determinazione della terna centrale, calcolo della matrice centrale di inerzia (diagonale) e della matrice di inerzia (diagonale) relativa a un punto diverso dal baricentro per una lastra circolare omogenea. Assegnazione esercizio: lastra circolare omogenea con foro circolare decentrato; determinazione di baricentro, terna centrale di inerzia e relativi momenti. Gennaio /1/15 Esercizi. Punto vincolato su anello rotante nel piano verticale. Coppia di punti sospesi in serie tramite molle ideali. Baricentro di lastre quadrate forate. 8/1/15 Esercizi. Determinazione di assi centrali e calcolo di matrici di inerzia per alcuni solidi: lastra circolare con foro, sfera piena, Lastra rettangolare, cilindro a base circolare, parallelepipedo a base rettangolare. Soluzione delle equazioni di Eulero omogenee nel caso simmetrico: precessione della velocità angolare. 5