1. Considerare il seguente sistema di vettori applicati:

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1 1 Università di Pavia Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Industriale Correzione prova scritta Esame di Fisica Matematica febbraio Considerare il seguente sistema di vettori applicati: v 1 = e x e y +e z applicato in P 1 O (,1, 1), v = e x +e y e z applicato in P O (1,0,), v = 4e x +e y +e z applicato in P O (1,1,1). 1. Calcolare il risultante ed il momento risultante del sistema.. Calcolare il trinomio invariante del sistema.. Determinare l equazione dell asse centrale del sistema. 4. (per studenti che hanno frequentato nel corrente anno accademico) Determinare un sistema di vettori applicati equivalente a quello assegnato e formato da due vettori, di cui uno applicato in (,1,). Il risultante vale R = 7e x +e y +e z ed il momento risultante rispetto ad O è M O = (7e x +e y +7e z ) e dunque il trinomio invariante vale I = 7. Per trovare l equazione dell asse centrale calcoliamo R M O = 11e x +8e y +7e z e R = 6 per cui i punti Q dell asse centrale sono del tipo Q O = xe x +ye y +ze z e soddisfano l equazione x = λ Dal teorema del trasporto sappiamo che y = λ z = 7 6 +λ. M Q = M O +R (Q O) = 6( e x 4e y +e z ). Un sistema equivalente che soddisfi le richieste del testo può essere Σ := {(R,Q),( v,q),(v,p)} dove (P Q) v = M Q = 6( e x 4e y +e z ). Questa equazione si può sempre soddisfare prendendo v = e x e z, cosicché v M Q = 0, e P Q = 1 v v M Q = 1 ( 4e x 4e z ) = 1(e x +e z ) per cui P O = (P Q)+(Q O) = 15e x +e y 10e z.

2 C e y A O B e x.un corporigido piano è formatoda un anelloomogeneodi massam e raggior e da tre aste: AB, di massa m e lunghezza R disposta lungo un diametro dell anello, AC di massa m e lunghezza R e BC, di massa m e lunghezza R disposte in modo da avere il vertice comune C coincidente con un punto dell anello. Ad un certo istante t = t 0 il corpo occupa la configurazione indicata in figura e la velocità di C è v C = v 0 e x e quella di B è v B = v 0 (e x + e y ), dove v 0 è una velocità caratteristica. 1. Determinare la velocità angolare ω(t 0 ) del corpo;. trovare la velocità v A (t 0 ) del punto A all istante t 0 ;. trovare analiticamente la posizione del centro di istantanea rotazione all istante t 0, rispetto al centro O dell anello; 4. determinare il momento di inerzia del corpo rispetto ad un asse passante per il punto O e diretto lungo e y. Scritto ω = ωe z ed osservato che B C = R ( e x 1 e y), abbiamo v B v C = v 0 (e x + e y ) = ωe z (B C) = ωr e y + 1 e x da cui otteniamo ω = v 0 R e z. UtilizzandoancoralaformulafondamentaledellacinematicarigidaedosservandocheA C = 1 (e x+ e y ) otteniamo v A = v 0 (e x 1 e y ). Se Q indica il centro di istantanea rotazione e poniamo Q A = xe x + ye y, siccome deve essere v Q = 0 abbiamo 0 = v A +ω (Q A) e ricaviamo x = R ed y = R. Per determinare la posizione di Q rispetto ad O è sufficiente scrivere Q O = (Q A)+(A O) = R e x +R e y.

3 Per il calcolo del momento di inerzia I O,e y osserviamo che la direzione e y è autovettore per il tensore centrale di inerzia sia di AB che dell anello, con momenti di inerzia, rispettivamente 1 mr ed mr. Qualche accortezza in più occorre esercitare per il calcolo del momento di inerzia relativo ad AC e CB. Siccome la distanza delle rette dirette lungo e y, una passante per O e l altra passante per il punto medio di AC è R/4 mentre quella tra le rette dirette lungo e y, una passante per O e l altra passante per il punto medio di BC è R/4 per cui, applicando il teorema di Huygens-Steiner ( 1 I O,e y = mr ) 16 = mr.. In un piano verticale, un disco omogeneo di massa m e raggio R rotola senza strisciare lungo una guida orizzontale r. Incernierata al centro C del disco vi è l estremo di un asta AC di massa m e lunghezza R che ha l estremo A vincolato a scorrere senza attrito su una guida verticale s tramite un carrello bilatero. Su AC è mobile senza attrito un punto materiale P di massa m, richiamato verso A da una molla ideale di costante elastica mg/r. Un altra molla ideale di costante mg/r e lunghezza a riposo nulla attrae C verso il punto O di intersezione delle guide r ed s. Utilizzando come coordinate libere l angolo ϑ che l asta forma con la verticale, orientato come in figura, e l ascissa u di P su AC: 1. trovare l espressione dell energia cinetica T del sistema;. trovare l espressione dell energia potenziale V del sistema;. scrivere le equazioni di Lagrange; 4. nell ipotesi che all istante t = 0 il sistemaparta in quiete con ϑ(0) = π 4 calcolare ϑ(0) e ü(0). ed u(0) = R, s A ϑ u P C e y e x g O H L energia cinetica dell asta AC si calcola facilmente osservando che il suo centro di istantanea rotazione si trova all intersezione tra la verticale per C e l orizzontale per A. Abbiamo allora T (AC) = mr ϑ. Per l energia cinetica del disco, osserviamo che il punto H di contatto istantaneo con r è centro di istantanea rotazione; occorre determinare la velocità angolare del disco in funzione di ϑ e ϑ. Per questo consideriamo il centro C del disco. Da una parte abbiamo v C = ωe z (C H) = ωre x ; r

4 4 D altra parte, siccome C O = Rsinϑe x +Re y, abbiamo anche v C = R ϑcosϑe x e dunque, uguagliando le due espressioni di v C occorre che sia ω = ϑcosϑ. In questo modo, grazie all impiego del teorema di Huygens-Steiner, otteniamo T (D) = 7 4 mr ϑ cos ϑ. Infine, per l energia cinetica di P introduciamo la terna mobile con AC {e 1,e,e z }, con e 1 diretto lungo AC, orientato da A verso C e con e orientato in modo che sia e 1 e = e z. Abbiamo allora P O = R(1+cosϑ)e y +ue 1 per cui, derivando rispetto al tempo ed osservando che la terna mobile introdotta ruota con la velocità angolare ϑe z dell asta, abbiamo dalle formule di Poisson v P = R ϑsinϑe y + ue 1 +u ϑe per cui T P = m [ 9R ϑ sin ϑ+ u + ϑ ] u +6R ϑ usinϑcosϑ 6Ru ϑ sin ϑ. L energia cinetica complessiva è dunque T = mr ϑ mr ϑ cos ϑ+ m [ 9R ϑ sin ϑ+ u + ϑ ] u +6R ϑ usinϑcosϑ 6Ru ϑ sin ϑ. Quanto all energia potenziale V dobbiamo considerare i contributi dell energia gravitazionale per asta e punto P ed i termini elastici. A conti fatti si ottiene V = mgrcosϑ+mg(r u)cosϑ+ 9mgR sin ϑ+ mg R u. Introdotta la lagrangiana L = T V l equazione di Lagrange relativa alla variabile ϑ è 6mR ϑ+ ( 7 ( ϑcos mr ϑ cosϑsinϑ ϑ )+m 9R sin ϑ ϑ+18r sinϑcosϑ ϑ +u ϑ+u u ϑ ) +mr(üsinϑcosϑ+ u ϑ(cos ϑ sin ϑ)) 6mR( ϑusin ϑ+ u ϑsin ϑ+u ϑ sinϑcosϑ) = 9 mr ϑ sinϑcosϑ+mr(cos ϑ sin ϑ) u ϑ 6mRusinϑcosϑ ϑ +mg(6r u)sinϑ 9mgRsinϑcosϑ mentre quella realtiva alla variabile u è mü+mr[sinϑcosϑ ϑ+(cos ϑ sin ϑ) ϑ ] = mu ϑ mrsin ϑ ϑ +mgcosϑ mg R u. Inserendo i valori iniziali forniti dal testo otteniamo ( 4R+ 7 4 R+ 9 ) R ϑ(0)+ ü(0) = g(5 9 )

5 5 ovvero 61 4 R ϑ(0)+ ü(0) = g(5 9 ) (1) e, nella seconda equazione di Lagrange, R ϑ(0)+ü(0) = g Combinando le due equazioni (1) ed () ricaviamo 1R ϑ(0) = g 1 4 () da cui si ottiene ( ϑ(0) = g 7 ) 1R 4 che, sostituita a sua volta in () consente di concludere che ü(0) = g ( 5 )