Integrali curvilinei per campi scalari. a, e sia f un campo scalare definito e limitato in un. b = ( b)

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Elisa Marianna Giuliani
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1 Si F F( ) un cur regolre defini in [ ] Inegrli curilinei per cpi sclri pero Ω dello spio ridiensionle che coniene il grfico di F. L inegrle curilineo di f lungo è definio dll uguglin, e si f un cpo sclre definio e liio in un f f [ F( ) ] F ( ) ( )d ogni qulol che l inegrle indico desr esise, per esepio se f è coninu su. G G τ τ c, d un cur equilene d F, llor Si ( ) [ ] d [ G( τ )] ( G ( τ )) dτ f ( ) ( F ( ) ) f c oero: l inegrle curilineo di un cpo sclre lungo è inrine rispeo ll rppresenione preric che descrie (e quindi rispeo l erso di percorren). Per diosrre ciò, incoincio d osserre che se u( τ ) è un cieno di prero le che G ( τ ) F[ u( ) ] Allor f u ( ) [ F( ) ] ( F ( ) ) d f ( F[ u( τ )] ) ( F [ u( τ )]) u ( τ ) Per giusificre l uli uguglin precedene si osseri che: u ( ) d dτ i. se u ( r) < llor u ( ) d, u ( ) c, u ( r) u ( r) e ( τ ) F [ u( τ )] u ( τ ) F [ u( τ )] u ( τ ) G ii. se u ( r) > llor u ( ) c, u ( ) d, u ( r) u ( r) e Osserione Si F F( ) [, ] ( τ ) F[ u ( τ )] u ( τ ) F[ u( τ )] u ( τ ) G un cur regolre ri e si < <... < n un priione di [, ] le che l resriione di F su [, ] i n regolre. i i,...,, si un rco di cur 7

2 Indichio con l rieori descri d F su [, ] e con i quell corrispondene ll inerllo [, ]. Allor i i poiché f n i i f f i,,..., n i è indipendene dll rppresenione preric che descrie i ne consegue che per il clcolo degli inegrli precedeni possio considerre per ogni i l rppresenione preric più coneniene.. lcolre ( ), doe è un ro di line r A (,) e B (,). Solgieno. L equione dell re AB è ( ). Troio e consegueneene ( ) 9 6 d 6 d Se pensio un cur (pin e sghe) coe un filo di un erile di densià f f, è un ss per unià di lunghe linere riile (, ) doe ( ) nel puno ( ), di llor: l ss ole M del filo è d dll'inegrle curilineo o di line (, ) M f, Il ricenro del filo è definio coe il puno le cui coordine ( ) dlle equioni, sono definie (, ) ; M f (, ) ; M f (, ) M f Il oeno di ineri del filo rispeo d un sse r è ( p, r) f (, ) I d, Doe d ( P, r) è l disn del puno P ( ), dll'sse r. In pricolre i oeni d'ineri rispeo gli ssi coordini sono definii dlle relioni I ( ) f (, ) ; I ( ) f (, ) ; I ( ) f (, ). 8

3 9 Un filo di densià ne è deo oogeneo, in queso cso il ricenro si dice nche cenroide; in queso cso risul d L d d L ; ; doe d L.. Trore l ss M dell rco di cur ( ),,, l cui densià linere ri per. Solgieno. Aio d d d M d cui ponendo si oiene d d doe Essendo ( edi figur ) ϑ ϑ ϑ d du ϑ ϑ ϑ ϑ n ln n ϑ n ϑ ln ϑ segue che ( ) ln 6 ln d

4 . Trore le coordine del cenro di grià dell rco del cicloide, Solgieno. Le coordine del cenro di grià dell rco oogeneo dell cur possono essere clcole con l forul, s s doe s è l lunghe dell rco. Aio s ( ) d d d. Poi ( ) d d 8 ( ) d d. Trore le coordine ( ), del ricenro dell rco dell circonferen nel prio qudrne, cioè dell cur λ di equioni preriche poso, Solgieno. Poiché l cur dell qule oglio rore il ricenro h un sse di sieri (l iserice del qudrne) risul L.

5 Essendo L d d d d segue che Quindi il ricenro di un quro di circonferen si ro sull sse di sieri e l su disn dl cenro dell circonferen è. lcolre il oeno di Ineri di un circonferen di rggio rispeo d un diero fisso. Solgieno. Supponendo il diero fisso sull sse risul: I d 6. Trore le coordine ( ) l cenro θ., del ricenro di un rco di circonferen di rggio e ngolo Solgieno. Fissio il riferieno in odo che l sse coincid con l sse di sieri dell rco dell circonferen consider. Allor e θ θ θ θ θ θ θ L d d osi il ricenro si ro sull sse di sieri, ll disn circonferen. θ θ dl cenro dell θ

6 7. lcolre il ricenro dell'rco (seroide) Solgieno. Risul Infi, e L d L ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 9 e L d 8. Si l cur di equioni preriche,, [, ] lcolre i ) L [ ]; ii ). Solgieno. Essendo &, &, & & & &. Aio ( ) Allor procedendo coe nell esepio si oiene i ) L[ ] d ln nθ d dθ θ θ θ ii ) L d ( ) [ ].

7 9. Un filo oogeneo è disposo lungo l rco di cicloide ( ), ( ) [, ] > Deerinre il oeno d ineri rispeo ll sse e le coordine ( ) (Si suppong l densià linere ugule ). i. ( ) I d, del ricenro. Essendo e enuo cono che con [, ], si h I 8 ( ) d 8 6 d 6 d ii. E' ; L ( ) d d d 8 8 d cui. Quindi G,.. lcolre l ss, le coordine ( ), del ricenro G, i oeni d'ineri rispeo gli ssi coordini di un golo nello di un oll ene l for di un'elic di equione,, [, ] se l densià nel puno ( ), dell oll è.

8 Solgieno. E' ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) 6 d d ( ) ( ) d N.B. Se ( ) ( ) T T T f T f. ( ) ( ) ( ) d ( )( ) ( )( ) ( ) d d I ( ) ( ) 8 d d d d I I ( )( ) ( ) 8 d I

9 . Un filo disposo lungo l circonferen è. Se l densià linere nel puno (, ), deerinre l ss M e il oeno d'ineri rispeo d un diero. Solgieno. Essendo le equioni preriche dell circonferen si h, [, ] i ) M ( ) ( ) d d D cui ( ) d ( ) d ( ) d ( ) M 8. ii ) L equione di un generico diero è. Perno se P è un puno di : P, e deno il diero si h ( ) ( P, r) ( ) H ( ) d Poso H ( ) ( ) segue che d I r d ( P, r)( ) H ( ) ( ) H d ( )( ) d... H ( )( ) d Essendo ( ) H d B( ) segue che I r H ( ) d A( ) {[ A( ) B( ) ] [ A( ) B( ) ] [ A( ) B( ) ] [ A( ) B( ) ] } ( ) Quindi il oeno richieso non dipende dl diero.

10 Inegrle di line Supponio che le funioni P(, ) e Q(, ) o coninue sui puni dell rco AB dell cur lisci specific dll'equione ϕ ( ). onsiderio l so inegrle n [ P( ξ k, ηk ) k Q( ξk, ηk ) k ] k Doe k e k sono le proieioni dell rco eleenre sugli ssi. L inegrle di line del secondo ipo ( ) d Q( )d P,, sull rco orieno AB è il liie dell so inegrle soo l condiione che il e il. k k P(, ) d Q(, ) d li [ P( ξ k, ηk ) k Q( ξk, ηk ) k ] AB n k k k Proprieà principli dell inegrle di line del secondo ipo Un inegrle di line del secondo ipo ci segno cindo l direione d inegrione: P d Q d P d P d Q d P d BA AB AB AB AB Q d Q d Le lre proprieà sono nloghe quelle dell inegrle del prio ipo. Un inegrle di line del secondo ipo può essere clcolo con l forul (, ) d Q(, ) d { P[,ϕ ( ) ] ϕ ( ) Q[, ϕ( ) ] } P Se l cur è specific dlle equioni preriche (), () doe, llor io d { (, ) d Q(, ) d P[ ( ), ( )] ( ) Q[ ( ), ( )] P ( ) } d 6

11 Un forul nlog è er nche per il clcolo di un inegrle di line del secondo ipo lungo : se l cur è specific dlle equioni ( ), ( ), ( ) doe, llor P (, ) d Q(, ) d R(, ) d { P[ ( ), ( ), ( )] ( ) Q[ ( ), ( ), ( )] ( ) R[ ( ), ( ), ( )] ( ) }d Quno segue iuisce un inerpreione eccnic dell inegrle precedene. Si un cur lisci dello spio ridiensionle descri dll equione eorile [ ] r r( ) ( )ˆi ( )ˆj ( ) kˆ, () Se ripreriio l cur in funione dell lunghe dell rco s, llor d r r( s) r[ ( s)] d si eince poiché (s) è l'iners di s s(), segue che ( ) d ν dr dr d dr d ν ( ) r( ) r( ) d cui il eore ngene dell cur r r(s) è un eore unirio che si indic con T ˆ ( s ) : Preesso ciò, supponio che dr T ˆ ( s) () F r) F(, ) F (, )ˆi F (, )ˆj F (, ( ) kˆ si un cpo eorile coninuo in un pero Ω che coniene. Il loro W fo dll for F durne lo sposeno di un corpo lungo, nell direione del oo, è do d W F T ˆ F dr Si osseri che F T ˆ dipende dll orienione di Tˆ e quindi dll preriione di. 7

12 Essendo d r d ˆi d ˆj d kˆ segue r F, ) d F (, ) d F d F (, ) d () ( Queso inegrle (che è un inegrle di line dell coponene ngene di F lungo ) dipende dell orienione di, nel senso che se r r( ) e s s( τ ) descriono nel erso opposo, llor F dr F Se è un cur chius, l inegrle di line dell coponene ngene F lungo è chio circuiione di F lungo. Il fo che l cur si chius è indico spesso d un piccolo cerchio scrio sopr il segno d inegrle: l espressione F deno quindi l circuiione di F lungo l cur chius. Per il clcolo di quesi inegrli, per indgre che l cur chius è percors nel senso niorrio scriereo. Oppure per indicre che il percorso dell cur è quello orrio. Nel cso di un rco liscio di equione (), (), è F F (, ) d F (, ) d F (, ) d d d d d [ ), ( ), ( ) ] F [ ( ), ( ), ( ) ] [ ( ), ( ), ( ) ] ( F d d d Se è un cur lisci pei:... n l inegrle precedene è l so degli inegrli di line sui ri rchi lisci i i,..., n che iuiscono : i n i 8

13 . lcolre d d se, / Solgieno. Essendo d d, d d / io d d d c Doini onnessi Definiione. Un doinio D è connesso se per ogni coppi di puni A e B di le doinio D, esise un cur regolre ri, ene coe esrei i puni A e B, inerene conenu in D. Definiione. Nel pino,un doinio connesso D è deo sepliceene connesso se l inerno di ogni cur chius, e regolre ri, pprenene le doinio D gice in D; in lre prole, se counque si prend un cur chius e regolre ri, ques è l fronier di un insiee liio conenuo in D. Definiione. Nello spio ridiensionle un doinio D sepliceene connesso è crerio dlle segueni condiioni: i ) Qulunque cur chius e regolre ri di D è l fronier di un superficie che gice inerene in D. ii ) Se e sono due cure di D eni gli sessi esrei llor, (oppure ) può essere defor in odo coninuo in (oppure ), rinendo in D durne il processo di deforione. Nel pino, un doinio seplice connesso D non può ere uchi, neeno uchi iuii d un solo puno. Ad esepio, il doinio dell funione non è sepliceene connesso poiché l origine non gli ppriene. (L origine è un uco di quel doinio.) Nello spio ridiensionle, un doinio sepliceene connesso può ere dei uchi. L insiee di ui i puni dir esclus l origine è sepliceene connesso, coe pure lo è l eserno di un pll. M l insiee di ui i puni dir soddisfceni f non è sepliceene connesso. E neppure lo è l inerno di un ciell chio in geoeri oro. 9

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