Esercizi 3. cos x ln(sin x), ln(e x 1 x ), ln( x 2 1), x sin x + x cos x + x, x 3 2x + 1. x 2 x + 2, x cos ex, x 2 e x.

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1 I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita e scritta dell autore. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. Esercizi 3 () Utilizzando il metodo della bisezione (e possibilmente una calcolatrice per eseguire i calcoli necessari), individuare le soluzioni dell equazione 3 +2 = 0 con due decimali esatti.[ricordate che anzitutto occorre stabilire quante sono le soluzioni]. (2) Utilizzando il metodo della bisezione (e possibilmente una calcolatrice per eseguire i calcoli necessari), individuare le soluzioni dell equazione + ln = 0 con due decimali esatti.[ricordate che anzitutto occorre stabilire quante sono le soluzioni]. (3) Utilizzando il metodo della bisezione (e possibilmente una calcolatrice per eseguire i calcoli necessari), individuare le soluzioni dell equazione 2 sin = con due decimali esatti.[ricordate che anzitutto occorre stabilire quante sono le soluzioni]. (4) Dimostrare che la funzione f() che assume il valore sin quando Q e 0 quando R\Q, è continua solo in = kπ, con k Z. (5) Sia f() = ( + ) 4 + o(( + ) 4 ) in un intorno di e continua in. Dimostrare che f() ha un massimo relativo in =. (6) Sapreste fornire una funzione definita su [0, ] e dotata di infiniti punti di discontinuità? Ed una non continua in alcun punto di [0, ]? (7) Sappiamo che la somma di due funzioni continue è sempre una funzione continua; la somma di due funzioni discontinue è sempre una funzione discontinua? (8) Esercitatevi al calcolo delle derivate derivando le seguenti funzioni: cos ln(sin ), ln(e ), ln( 2 ), 2 + sin + cos +, , cos e,, e 2, 2 e 2 + e, 2 3 3, e + e, 2 cos( 2 ) 2 + cos( 2 ), tan( 2 ) +, sin(3 + 2 ), tan 2 ( 2 ). (9) Sia f() la funzione definita da: f() = e 2 3 per 0 0 per = 0. Determinare f () in ogni punto del suo dominio. (0) La funzione f() =, definita per > 0 è crescente in tutto il suo dominio? È convessa? () I grafici delle funzioni f() = e e di g() = α si secano nel punto (0, ) per ogni scelta del parametro reale α. Per quali valori di α vi sono anche altre intersezioni? Quante? [Suggerimento: osservate che f() = g() equivale a f() g() = 0 e che se vi sono più di un singolo zero, allora tra di essi deve esistere anche uno zero dell equazione f () g () = 0].

2 (2) Al variare del parametro reale α, quante sono le soluzioni dell equazione e = + α? (3) Sia P 0 = ( 0, y 0 ) un punto generico sul grafico della funzione f() = ( )( + ) = 3. Considerate la retta tangente al grafico e passante per P 0. Tale retta interseca il grafico anche in un altro punto P 0. Trovate le coordinate di P0 in dipendenza dal generico P 0. (4) Risolvendo gli esercizi ai punti (), (2) e (3) vi sarete resi conto che il metodo di bisezione è un metodo potente per il calcolo delle radici di un equazione. Tuttavia vi sono metodi che a parità di precisione nei risultati richiedono un minor numero di calcoli e sono quindi migliori. Il primo di questi è il metodo della tangente di Newton. Sia f() = 0 l equazione che vogliamo risolvere. Prendiamo un punto a caso sul grafico di f(): il punto avrà quindi coordinate P 0 = ( 0, f( 0 )). Conduciamo la retta tangente ad f() e passante per P 0 : tale retta ha equazione y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) ed interseca l asse delle ascisse nel punto di ascissa = 0 f( 0) f ( 0 ) (per determinarlo basta porre y = 0 nell equazione della retta tangente). Ripetiamo la costruzione precedente a partire dal nuovo punto P = (, f( )) sul grafico di f() e di ascissa e così via. Si dimostra che sotto ipotesi abbastanza generali l insieme dei numeri n al crescere di n tende ad uno zero di f(). In sostanza il metodo consiste in: Scegliere a caso un valore per 0 (meglio però se vicino allo zero cercato). Calcolare il numero 0 f( 0) f ( 0 ) chiamato. Ripetere il passaggio precedente con al posto di 0, definendo quindi un nuovo numero 2, e così via, fino a che si nota che i nuovi numeri n trovati differiscono dal loro predecessore solo per cifre decimali inferiori alla precisione che si è scelta. Provate ad applicare questo metodo alle equazioni degli esercizi (), (2) e (3): scoprirete che la velocità con cui questo algoritmo fornisce la soluzione in questi casi ha del sorprendente. (5) Utilizzando gli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari (o il Teorema di de l Hôpital o qualsiasi altro metodo lecito), verificate la correttezza dei seguenti iti: sin 3 = 6, e 2 sin 3 = 2 3, 2 sin 2 ln( + ) = 0, 3 sin = 9, e 2 /2 + cos 2 ) ( 2 ( + sin ) ln = 0, 4 = 6, ln sin(π) = π, 4 sin ( 2 ) ln(e + ) =. = 0, (6) Studiare le seguenti funzioni: ln(sin 2 ), 2 ln, , sin 2( ) 4 +, 2 +, , 2 + 3, sin sin + cos, ln(sin ), + ln, ln(e ), sin, + ln ln, e 2, e 2 2, 2

3 e e, tan, , sin(ln ), , e 2. 3

4 Soluzioni () Scriviamo l equazione nella forma 3 = 2. Dal confronto del grafico di 3 con quello di 2 si scopre che esiste una sola soluzione α (0, ). Utilizzando il metodo di bisezione (8 passi) si trova che α ( 29 64, ). Siccome 64 0, 453 e 256 0, 457, segue che α = 0, 455 ± 0, 002. (2) Scriviamo l equazione nella forma ln =. Dal confronto del grafico di ln con quello di si scopre che esiste una sola soluzione α (0, ). Utilizzando il metodo di bisezione (9 passi) si trova che α ( , ). Siccome 256 0, 566 e 52 0, 568, segue che α = 0, 567 ± 0, 00. (3) Dal confronto del grafico di 2 sin con quello di si scopre che vi sono tre intersezioni: = 0 ed = ±α dove α ( π 2, π). Utilizzando il metodo di bisezione (0 passi) si trova che α ( π, 52 π). Siccome 024 π, 892 e 52 π, 896, segue che α =, 894 ± 0, 003. (4) In un esercizio di qualche tempo fa si è verificato che l insieme R\Q è denso in R, il che significa che fissato un punto 0 qualsiasi ed un intorno U qualsiasi di 0, allora esiste sicuramente un punto di R\Q contenuto in tale interno. questo mostra che 0 f() = 0, 0 R. R\Q D altra parte anche Q è denso in R e quindi fissato un punto 0 qualsiasi ed un intorno U qualsiasi di 0, allora esiste sicuramente un punto di Q contenuto in tale interno. questo mostra che 0 Q f() = 0 Q sin() = sin( 0 ), 0 R. Perché la funzione sia continua in 0 è quindi necessario che i due iti coincidano, ovvero che sin( 0 ) = 0, ovvero 0 = kπ con k Z. (5) Dal fatto che f è per ipotesi continua in abbiamo che f( ) = f() e dallo sviluppo dato è evidente che f() = ( + ) 4 + o(( + ) 4 ) = e quindi f( ) =. Sempre dallo sviluppo dato segue che f() f( ) = f() = ( + ) 4 + o(( + ) 4 ) = ( + ) 4 ( + o()). Il fattore ( ) 4 è sempre positivo nell intorno di mentre il fattore ( + o()) è negativo se è sufficientemente vicino ad (perché il termine o() è infinitesimo e quindi prevale il segno dell altro addendo, che è ). In sostanza, f( ) = ed f() è negativo in un intorno sufficientemente piccolo di, ovvero il punto è un punto di massimo per f. (6) La risposta è sì ad entrambe le domande. Un esempio di funzione è quella solita : Q f() = 0 R\Q. Questa funzione è discontinua in ogni punto di R. (7) No. Ad esempio, considera le funzioni 0 0 f() = > 0 g() = 0 0 > 0. E facile constatare che sia f che g sono discontinue in = 0, tuttavia la funzione f() + g() di fatto è la funzione costante (il cui valore è ) e quindi è continua ovunque (zero incluso, quindi). 4

5 (8) Nel medesimo ordine: sin ln(sin ) + cos2 sin, e + 2 e, + cos sin + (cos + sin ) (cos + ) 2, ( + ln ), (2 )e 2, 4 4, ( 2 + 2) 2, cos(e ) e sin(e ), 2(2 2 )e ( 2 + e ) 2, 2( + ) sin( 2 ) cos( 2 ) ( + ) 2 cos 2 ( 2, ( ) cos( ), ) 3/ / / /3 4 3 ( 3 ) 2, 2e (e ) 2, 4 2 sin( 2 ) + cos( 2 ) ( 2 + cos( 2 )) 2, 4 sin( 2 ) cos 3 ( 2 ). (9) Il calcolo di f () quando 0 può procedere per via formale (composizione di funzioni derivabili), e quindi se 0, f () = 2e 2 3 (e 2 ) = 62 e 2 e Per il calcolo di f () usiamo invece la definizione di derivata (perché neanche siamo certi che f (0) esista!). Abbiamo: f() f(0) = e = e 2 3 = 2 + o( 2 ) 4/3 = 0. Di conseguenza f è derivabile anche in = 0 con f (0) = 0. (0) La funzione f() = può essere scritta anche come f() = e ln. Per i nostri scopi la seconda forma è più adatta perché da essa è facile ricavare l espressione di f () ed f (): f () = ( + ln ), f () = ( + ( + ln )2 ). Da queste espressioni è evidente che f (/e) = 0 e che f cambia segno nell intorno del punto /e, di conseguenza f non è monotona (ha un minimo in /e). Dall espressione di f è evidente che f () > 0 (ricordare che il dominio è > 0) e quindi la funzione f è convessa. () Qualunque sia il valore di α, osserviamo che la retta y = + è tangente nel punto (0, ) sia al grafico di e che a quello di g() := α L esponenziale è una funzione convessa mentre la funzione g() è convessa quando α > 0 e concava per α < 0 (per α = 0 il suo grafico diventa una retta che quindi è sia convessa che concava). Dato che una funzione convessa (concava) è sempre sopra (sotto) ad ogni sua tangente, ne segue che quando α 0 non vi sono altre intersezioni tra i due grafici. Supponiamo ora α > 0. Il minimo di g è assunto nel vertice che è il punto di ascissa = 2α confronto grafico di queste due funzioni di α si scopre che esiste un valore α 0 0, 3 tale per cui e quindi vale 4α. In tale punto invece l esponenziale vale e /2α. dal α > α 0 4α > e /2α. Nell intorno di = 0, invece, lo sviluppo di e è e = o(3 ) e quindi se α > /2 i valori di g nell intorno di 0 sono maggiori di quelli dell esponenziale. Osservando poi che per + i valori di e devono essere maggiori di quelli di g, 5

6 otteniamo: α > 2 c è una intersezione positiva (oltre a = 0) α = 2 un unica intersezione = 0 α 0 < α < 2 un unica intersezione = 0 α = α 0 una intersezione negativa (oltre a = 0) 0 < α < α 0 ci sono due intersezioni negative (oltre a = 0) α = 0 un unica intersezione = 0. (2) Sicuramente i due grafici passano per il punto (0, ). Dal confronto della posizione tra la tangente di e in (0, ) e la generica retta α + si scopre che: α 0 un unica intersezione = 0 0 < α < due intersezioni, una negativa e l altra in = 0 α = un unica intersezione in = 0 α > due intersezioni, una positiva e l altra in = 0. (3) Sia P 0 = ( 0, 3 0 0). Allora P 0 = ( 2 0, ). (4) La soluzione è nel testo. (5) La soluzione è nel testo. 6