8 a Esercitazione: soluzioni

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1 8 a Esercitazione: soluzioni Monica Bonacina (monica.bonacina@unibocconi.it) Corso di Microeconomia A-K, a.a Definizioni. Si definiscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e grafici. Def. 1. Equilibrio di Nash. Situazione nella quale ciascun giocatore adotta la sua miglior strategia stanti le strategie scelte dagli altri giocatori. Def. 2. Strategia dominante. Una strategia che garantisce al giocatore una vincita almeno pari a quella raggiunta con qualsiasi strategia alternativa, per qualunque strategia prescelta dagli altri giocatori. Def. 3. Risposta ottima. Il comportamento più opportuno da adottare per un operatore economico, tenuto conto di ciò che stanno facendo gli altri. Def. 4. Dilemma del prigioniero. Situazione di interazione strategica in cui tutti i giocatori presentano una strategia dominante che conduce ad un esito peggiore di quello ottenibile attraverso un accordo. Def. 5. Equilibrio di Cournot. Equilibrio di Nash in un mercato in cui la strategia di ciascuna impresa consiste nella scelta del proprio volume di produzione. Def. 6. Curva (o funzione) di reazione. E una funzione che indica il livello di produzione ottima di un impresa al variare dellaquantitàdell altraimpresa. Def. 7. Oligopolio. Mercato in cui sono presenti un numero limitato (ma 2) di venditori. 1

2 Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. Vero/Falso 1. Nel gioco seguente (Bianco, Carne) è il solo equilibrio di Nash 1 B Carne Pesce A Bianco 3; 3 2; 5 Rosso 5; 2 0; 0 FALSO. Il gioco presenta due equilibri di Nash {Bianco, P esce} e {Rosso, Carne}. {Bianco, Carne} non è un equilibrio di Nash. Vero/Falso 2. In un gioco possono esserci equilibri in strategie dominanti che non sono equilibri di Nash. FALSO. In corrispondenza di un equilibrio in strategie dominanti ciascun giocatore adotta la sua miglior strategia stanti le scelte dagli altri giocatori; quindi si tratta di un equilibrio di Nash. Vero/Falso 3. Considerate un gioco simultaneo nel quale entrambi i giocatori presentano una strategia dominante. In questo caso l equilibrio di Nash è sempre Pareto-efficiente. FALSO. Il fatto che ciascun giocatore scelga la sua miglior strategia date quelle dei rivali non implica che l esito così ottenuto sia Pareto-efficiente (vedi dilemma del prigioniero). Vero/Falso 4. Due imprese che competono alla Cournot ed hanno costi marginali uguali e costanti, in equilibrio, ottengono un profitto nullo. FALSO. La quantità complessivamente prodotta dai duopolisti è inferiore a quella di concorrenza perfetta; dunque il prezzo di mercato sarà superiore al costo medio di produzione (profitti positivi). Vero/Falso 5. Le imprese Alfa e Beta competono in quantità. I costi medi di produzione di entrambi i duopolisti sono costanti e pari a 2. La curva di domanda di mercato è Q D =11 p. Iprofitti di ciascuna impresa sono pari a 9 ed il surplus dei consumatori è 18. VERO. La quantità prodotta da ciascuna impresa in corrispondenza dell equilibrio di Cournot è qalfa = q Beta =3da cui una quantità complessivamente scambiata pari aq = qalfa + q Beta =6ed un prezzo di equilibrio p =5. I profitti di ciascun duopolista sono quindi π Alfa = π Beta =(p AC)qAlfa =9. Il surplus dei consumatori è dunque SC =(11 p ) Q /2=18. Vero/Falso 6. Due imprese che competono alla Cournot e hanno costi marginali costanti producono, in equilibrio, la stessa quantità. 1 Il primo payoff si riferisce al giocatore riga (nel nostro caso A), mentre il secondo al giocatore colonna(nelnostrocasob) 2

3 FALSO (in generale). In un duopolio alla Cournot l impresa più efficiente servirà una quota maggiore di mercato; quindi due imprese che competono in quantità produrranno lo stesso output se e solo se si caratterizzano per la medesima funzione di costo (i costi marginali sono uguali). Vero/Falso 7. L equilibrio del modello di Cournot è anche un equilibrio nel senso di Nash solo quando i costi marginali dei duopolisti sono uguali. FALSO. L equilibrio del modello di Cournot è sempre un equilibrio di Nash in quantoincorrispondenzaditaleequilibriociascungiocatoreadottalasuamiglior strategia stanti le strategie dei rivali. Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Esercizio 1. Nel comune di Paderno Dugnano ci sono due sole pizzerie, la pizzeria da Salvatore e la pizzeria da Matteo. Per fronteggiare la crisi di vendite i due proprietari stanno pensando di introdurre un servizio di consegna a domicilio. Se una sola delle due pizzerie introduce il servizio, la pizzeria che lo introduce ottiene un profitto pari a 10, mentre l altra pizzeria subisce una perdita pari a -1. Se entrambe introducono il servizio, la perdita per entrambe è pari a -5. Se nessuna delle due pizzerie introduce il servizio, entrambe ottengono profitti nulli. Supponete che la pizzeria da Matteo e la pizzeria da Salvatore debbano decidere se introdurre il servizio simultaneamente. (1) Si discutano le strategie a disposizione delle due pizzerie e si rappresenti il gioco in forma di matrice. (2) Si determinino gli equilibri di Nash di questo gioco e si discuta il risultato ottenuto. (3) Lo Stato introduce un sussidio in somma fissa di 5 per incentivare l introduzione di un servizio di consegna a domicilio. Si disciuta l efficacia di tale manovra. Soluzioni. (1) Ciascuna pizzeria ha a disposizione due strategie: introdurre il servizio a domicilio (I) o non introdurre il servizio di consegna a domicilio (NI). La matrice dei payoff in questo caso è Matteo i ni Salvatore i -5; -5 10; -1 ni -1; 10 0; 0 (2) Nessun giocatore dispone di una strategia dominante e gli equilibri di Nash del gioco sono {I; NI} e {NI; I}. Dunque una sola delle pizzerie introdurrà un servizio di consegna a domicilio. (3) A seguito della politica Statale, la matrice dei payoff diventa Matteo i ni Salvatore i -5+5; ; -1 ni -1; ; 0 Dunque la strategia I diventa per entrambi i giocatori una strategia dominante (qualsiasi sia la scelta del rivale, I assicura al giocatore il massimo profitto) ed il solo equilibrio di Nash del gioco è ora {I; I}. Il sussidio in somma fissa è efficace per incentivare un servizio di consegna a domicilio. 3

4 Esercizio 2. Nel paese di Isolandia sono presenti due unici produttori (A e B). Le imprese possono decidere di cooperare (C) o non cooperare (NC). Tale scelta è effettuata simultaneamente e comporta i seguenti esiti. Se le due imprese cooperano, ciascuna ottiene un profitto pari a 2k. Se entrambe non cooperano, ciascuna ottiene un profitto pari ad 1/2. Se, infine, una sola coopera essa otterrà un profitto pari a k (mentre l impresa rivale che non coopera otterrà 1 + k). (1) Si rappresenti il gioco in forma normale. (2) Si fornisca la definizione di strategia dominante e si individui per quali valori del parametro k "cooperare" è strategia dominante per entrambi i giocatori. (3) Sia k=1/3 (in questo caso quindi se le imprese cooperano ciascuna otterrà un profitto pari a 2k =2(1/3) = 2/3; se non cooperano ciascuna otterrà 1/2; se una soa coopera essa otterrà k=1/3, mentre la rivale 1+k=4/3). Si individui l equilibrio di Nash del gioco e si dica se si tratta di un equilibrio Pareto efficiente. Soluzioni. (1) Le due imprese hanno a disposizione le medesime strategie: C (cooperare) e NC (non cooperare). La rappresentazione del gioco in forma di matrice è Impresa b C NC Impresa a C 2k; 2k k; 1+k NC 1+k; k 1/2; 1/2 (2) Una strategia è dominante se garantisce al giocatore un payoff almeno pari a quello raggiunto con qualsiasi strategia alternativa, per qualunque strategia prescelta dagli altri giocatori. Nel nostro caso C è una strategia dominante per l impresa A se il profitto che la stessa ottiene scegliendo C è superiore a quello che otterrebbe scegliendo NC, qualsiasi sia la scelta della rivale. Analiticamente è necessario che 2k >1+k e k>1/2 ovvero se k>1. (3) Sostituendo per k=1/3, otteniamo la seguente matrice dei payoff Impresa b C NC Impresa a C 2/3; 2/3 1/3; 4/3 NC 4/3; 1/3 1/2; 1/2 L equilibrio di Nash del gioco è (NC; NC) cui sono associati payoff (1/2; 1/2). Si tratta di un esito che non è Pareto-efficiente in quanto se le due imprese si accordassero e decidessero di cooperare potrebbero ottenere entrambe dei profitti maggiori. Tale equilibrio cooperativo non è però sostenibile in un gioco one-shot (ovvero in un gioco che non viene ripetuto). Esercizio 3. TopolinoePippoquestavoltahannodecisodifareunagitainbarca a remi sul lago dove si affacciano i parchi dei Collegi. Le rive del lago sono piacevoli, ma remare costa fatica e distrae dal godimento del paesaggio. Le preferenze dei due sono uguali e sono fatte così: se entrambi remano il benessere proprio è 10; se solo l altro rema il benessere proprio è 15; se solo uno rema il suo benessere è 5; se nessunodeiduer benesserediunoè7(perchésivedesemprelostessoposto). (1) Si definisca cosa è un gioco, e cosa è un equilibrio di Nash. (2) Si rappresenti la situazione descritta in forma di matrice e se ne individui l equilibrio di Nash; si dica di che tipo di gioco si tratta. (3) Supponendo ora che Topolino e Pippo vadano a fare gite in barca tutti i giorni, e che ciascuno giochi la strategia colpo su colpo, vi attendete che l esito sia lo stesso? Discutete. 4

5 Soluzioni. (1) Un gioco è una situazione, o meglio la rappresentazione di una situazione, di cosiddetta interazione strategica: i risultati di ciascuno dipendono anche dalle scelte degli altri, tutti ne sono consapevoli e tutti tengono conto delle possibili scelte altrui per decidere cosa fare: ciascuno cerca di ottenere il miglior payoff per sé cercando di prevedere le mosse degli altri. Un equilibrio di Nash è una combinazione di strategie (una per ciascun giocatore) tale che nessuno possa far di meglio dato ciò che fanno gli altri. In altri termini, in un equilibrio di Nash nessuno si deve pentire di ciò che ha scelto. (2) Ecco la rappresentazione in forma di matrice: Topolino Rema Non rema Pippo Rema 10; 10 5; 15 Non rema 15; 5 7; 7 Questo gioco è chiaramente un dilemma del prigioniero : ciascuno ha una strategia dominante, che è quella di non remare. L equilibrio si Nash è (non rema; non rema) e tale esito non è chiaramente ottimo: se entrambi remassero entrambi avrebbero un payoff maggiore ( 10 > 7) ma questo non costituisce un equilibrio di Nash. (3) Questa nuova situazione è un gioco ripetuto. In un gioco ripetuto l interazione fra i due si ripete un numero infinito (oppure imprecisato) di volte. In tal caso il payoff non è solo quello del primo periodo, ma è quello di tutto l orizzonte temporale su cui si estende il gioco: in altri termini, anche i payoff futuri contano. La strategia colpo su colpo prevede che alla prima data si giochi la mossa di cooperazione, in questo caso remare, e poi ad ogni data successiva si scelga la propria strategia in base al comportamento del rivale nel periodo precedente. Se entrambi adottano questa strategia, allora i due continueranno a cooperare (remare) a tutte le date. Il risultato diventa più probabile se (a) l interazione dura a lungo, se (b) la risposta minacciosa, di non remare se l altro non ha remato, viene data in fretta, e (c) se il futuro conta molto per i partecipanti (il tasso a cui si sconta il futuro è basso). Esercizio 4. Le imprese Alfa e Beta producono il medesimo bene, e possono praticare solo due livelli di prezzo, alto o basso. Se entrambe praticano il prezzo basso, ottengono un profitto pari a 2; se una pratica il prezzo alto e l altra il prezzo basso, chi pratica il prezzo alto ottiene un profitto pari a zero e chi pratica il prezzo basso ottiene un profitto pari a 10; se entrambe praticano il prezzo alto, ottengono un profitto pari a 6. (1) Rappresentate la situazione tramite la matrice del gioco, mettendo in alto l impresa Beta. Definite la nozione di equilibrio di Nash. Individuate l equilibrio di Nash di questo gioco, dicendo di che tipo di gioco si tratta, e il senso di questa terminologia. (2) Supponete che le due imprese possano sottoscrivere un accordo vincolante tale per cui, se un impresa pratica il prezzo basso e l altra il prezzo alto, la prima deve poi pagare la somma x alla seconda. Dite quanto deve valere x affinché la situazione in cui entrambe praticano il prezzo alto sia equilibrio di Nash del gioco (3). Tornate al caso del punto (1), in cui le due imprese non possono praticare un accordo vincolante; supponete però che l interazione tra le due imprese si ripeta tutti i giorni, e che ciascuna adotti la strategia colpo su colpo. Vi aspettate che il risultato sia lo stesso? Discutete 5

6 Soluzioni. (1) La rappresentazione del gioco in forma normale è la seguente 2 Beta Alto Basso Alfa Alto 6; 6 0; 10 Basso 10; 0 2; 2 L equilibrio di Nash di un gioco è una combinazione di scelte dei due giocatori tali che nessuno si debba pentire di ciò che ha scelto, osservando ciò che l altro ha scelto. In questo gioco l equilibrio di Nash è la situazione in cui entrambe le imprese praticano il prezzo basso, perché così facendo nessuna ha motivo di pentirsi: dato ciò che fa l altra,nessuna può ottenere un profitto maggiore modificando unilateralmente la propria scelta (il suo profitto passerebbe da 2 a 0). Lo stesso non si può dire per ognuna delle altre combinazioni; quindi quello individuato prima è l unico equilibrio di Nash del gioco. Questo gioco è un dilemma del prigioniero : si tratta di un dilemma in quanto entrambe le imprese capiscono che potrebbero stare meglio se potessero accordarsi per praticare il prezzo alto (avrebbero infatti un profitto di 6 anziché di 2). Tale accordo, però, non sarebbe sostenibile per via degli incentivi a deviare unilateralmente. (2) L accordo modifica la matrice del gioco nel modo seguente: Beta Alto Basso Alfa Alto 6; 6 x; 10-x Basso 10-x; x 2; 2 Per far sì che la scelta di praticare entrambe il prezzo alto sia un equilibrio di Nash, occorre che il profitto che ciascuna può ottenere deviando unilateralmente dall accordo sia inferiore a quello che ottiene rispettando l accordo. Occorre cioè: 6 > 10 x e x>2 ovvero x>4. (3) Questa nuova situazione è un gioco ripetuto. In un gioco ripetuto l interazione fra le due imprese si ripete un numero infinito (oppure imprecisato) di volte. In tal caso il profitto rilevante non è solo quello del primo periodo, ma è quello di tutto l orizzonte temporale su cui si estende il gioco: in altri termini, anche i profitti futuri contano. La strategia colpo su colpo prevede che alla prima data si giochi la mossadi cooperazione,inquestocasolastrategia Alto,epoiadognidatasuccessiva si scelga di cooperare o non-cooperare sulla base del comportamento dell impresa rivale alla data precedente. Se entrambe adottano questa strategia, allora le due imprese continueranno a cooperare (colludere, praticare il prezzo alto) a tutte le date. L esito, dunque, è molto diverso da quello del gioco giocato una sola volta. Questo risultato diventa più probabile se (a) l interazione dura a lungo, se (b) la risposta minacciosa, di fare il prezzo basso se l altro ha fatto il prezzo basso, viene data in fretta, e (c) se il futuro conta molto per i partecipanti (il tasso a cui si sconta il futuro è basso). 2 Il primo payoff si riferisce al giocatore riga (nel nostro caso Alfa), mentre il secondo al giocatore colonna(nelnostrocasobeta) 6

7 Esercizio 5. Considerate il mercato delle acque minerali nel quale la funzione di domanda inversa sia p = 250 Q. Supponete che nel mercato operino solo due imprese, la Acque-A e la Bevi-B, ciascuna delle quali ha una curva di costo pari ac(q i )=100q i con i=a,b (quindi Q=q A + q B ). (1) Supponete che le due imprese interagiscono strategicamente secondo il modello di oligopolio di Cournot. Ricavate e fornite una rappresentazione grafica delle curve di reazione delle due imprese. (2) Trovate la produzione di equilibrio, i profitti di ciascuna impresa ed il surplus dei consumatori. (3) Se le due imprese decidessero di colludere formando un cartello, quanto sceglieranno di produrre? Qual è il surplus dei consumatori e quali sono i profitti diciascunaimpresainquestocaso? Confrontate i valori qui ottenuti con quelli al punto (2). Soluzioni. (1) La funzione di reazione delle due imprese è ottenuta come MR A = MC A e MR B = MC B dove MR A = dt RA dq A = 250 2q A q B MR B = dt R B dq B = 250 2q B q A MC A = dt CA dq A = 100 e MC B = dt CB dq B = 100 Sostituendo in MR A = MC A 250 2q A q B = 100, da cui segue la funzione di reazione dell impresa A: q A =75 (1/2)q B. La funzione di reazione del secondo duopolista è ottenuta in maniera analoga, ed è pari aq B =75 (1/2)q A.Graficamente q B 150 Funzione di reazione impresa A Bisettrice 75 Equilibrio di Cournot Funzione di reazione impresa B q A (2) L equilibrio di Cournot-Nash è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni di reazione ½ MRA = MC A MR B = MC B da cui, dopo qualche passaggio, otteniamo qa =50=q B, con una quantità totale prodotta pari a Q = 100 ed un prezzo di equilibrio p = 150. Ilprofitto di ciascuno dei duopolisti è π A = π B = TR TC = =

8 ed il surplus dei consumatori è SC = (250 p ) Q (1/2) = 5000 (3) Se le imprese si uniscono in un cartello, stabiliscono il livello di produzione che massimizza i profitti congiunti. I profitti totali sono π (q A + q B )=π (q A )+π (q B )=pq A 100q A + pq B 100q B sostituendo dalla funzione di domanda inversa otteniamo π (q A + q B ) = (250 q A q B )q A 100q A + (250 q A q B )q B 100q B La quantità ottimale in caso di cartello prodotta dall impresa A sarà quindi dπ(q A+q B) dq A = q A q B 100 q B =0 q A =75 q B eanalogamentelaquantitàottimaperl impresabinquestocasosarà dπ(q A +q B ) dq B da cui, per sostituzione =0 250 q A 2q B 100 q B =0 q B =75 q A q A = 75 2 e q B = 75 2 La produzione complessiva in questo caso è Q =75ed il prezzo di equilibrio è p = 175. Ciascun duopolista otterrà un profitto di π A ed il surplus dei consumatori sarà = π B = = SC = ( ) 75 2 = Confrontando l esito collusivo con quello non collusivo si evidenzia una riduzione della quantità complessivamente (ed individualmente) prodotta con conseguente aumento del prezzo praticato. I profitti aumentano mentre il surplus dei consumatori si riduce. Dato che l aumento dei profitti è inferiore alla contrazione del surplus dei consumatori il benessere complessivo si contrae per effetto del cartello. Esercizio 6. Nel mercato italiano delle ciambelle sono presenti due grandi imprese - Krapfen (K) e Doughnut (D) - che competono scegliendo simultaneamente la quantità da produrre. Supponete che i duopolisti si caratterizzano per una simmetrica struttura di costo totale di produzione: TC K (q K ) = 50q K etc D (q D ) = 50q D dove q K indica la quantità di ciambelle prodotta da Krapfen mentre q D quella prodotta da Doughnut. La domanda (inversa) di mercato è P = 110 2Q, dove Q= q K + q D. (1) Calcolate e rappresentate graficamente (specificando pendenza ed intercette) l espressione delle funzioni di reazione delle due imprese. (2) Calcolate l equilibrio sul mercato delle ciambelle specificando quantità totale offerta dai duopolisti, prezzo di vendita, profitti, e surplus dei consumatori. (3) Supponete che il Governo introduca una tassa su ogni unità prodotta e venduta da Krapfen. Doughnut è esente dalla tassa. Discutete graficamente gli effetti di tale politica sulle funzioni di reazione dei duopolisti e sulla quota di mercato da ciascuno servita. 8

9 Soluzioni. (1) La funzione di reazione delle due imprese è ottenuta come MR K = MC K e MR D = MC D dove MR K = dt RK dq K = 110 4q K 2q D MR D = dt R D dq D = 110 4q D 2q K MC K = dt C K dq K =50 e MC D = dt C D dq D =50 Sostituendo in MR K = MC K 110 4q K 2q D =50,dacuiseguelafunzionedireazionediKrapfen:q K = 15 (1/2) q D.Lafunzione di reazione del secondo duopolista è valutata in maniera simmetrica, e si ottiene q D = 15 (1/2) q K.Graficamente q k 30 Funzione di reazione impresa D Bisettrice 15 Equilibrio di Cournot Funzione di reazione impresa K q D (2) L equilibrio di Cournot-Nash è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni di reazione ½ MRK = MC K MR D = MC D da cui, dopo qualche passaggio, otteniamo qk =10=q D, con una quantità totale prodotta pari a Q =20ed un prezzo di equilibrio P =70. Il profitto di ciascuno dei duopolisti è ed il surplus dei consumatori è π K = π D = TR TC = = 200 SC = (110 P ) Q (1/2) = 400 (questo si può capire bene usando il grafico dove appare il triangolo del surplus dei consumatori). Graficamente l equilibrio sul mercato ed il surplus dei consumatori risultano 9

10 P 110 Surplus dei consumatori 70 Equilibrio di Cournot Q (3) La tassa comporterebbe un aumento del costo marginale della Krapfen (in misura pari alla tassa stessa). La funzione di reazione della Krapfen si sposta verso l interno mentre quella della concorrente rimane invariata. La tassa rende Doughnut relativamente più efficiente della rivale. Il nuovo equilibrio si caratterizza per un livello di produzione asimmetrica con una quota di mercato maggiore servita dall impresa più efficiente (la Doughnut). Graficamente q k Funzione di reazione impresa D Nuova funzione di reazione impresa K Vecchio eq. di Cournot Nuovo eq. di Cournot Vecchia funzione di reazione impresa K q D 10