Laboratorio di Elaborazione di Dati, Segnali e Immagini Biomediche (Parte 5)

Transcript

1 Università degli Studi di Padova - Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica A.A. 7-8 Laboratorio di Elaborazione di Dati, Segnali e Immagini Biomediche (Parte 5) Prof. Giovanni Sparacino Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Padova giovanni.sparacino@unipd.it web: http: Esempio: Si consideri il segnale sotto, riferito ad una frequenza di sampling Fs = 4 ed osservato per secondo Analisi di spettro Dal grafico (dominio del tempo) non si sa che natura attribuire a x(t), mentre dal suo spettro S x (f) (dominio della frequenza), si vede che x(t) non è altro che la somma di due sinusoidi a 5 e Hz immerse in rumore bianco time (seconds) frequency (Hz) x(t) S x (f)

2 Stima dello spettro Si parte dalla definizione di spettro di un segnale continuo, per cui, a meno di un fattore di scala, vale S x (f) X(f) dove X(f) è la trasformata di Fourier del segnale x(t) (si noti che X(f) è una funzione complessa di variabile reale f) Nei casi pratici, la stima dello spettro S x (f) dovrà essere ottenuta a partire da una sequenza di N campioni x n =x(nt s ), n=,, N- del segnale a tempo continuo x(t) (con T s e F s =/T s rispettivamente periodo e frequenza di sampling) Dalla sequenza {x(nt s )}, di lunghezza N, è immediato definire la sequenza di complessi {X(k)}, pure di lunghezza N, della DFT 3 Stima dello spettro: Metodo del Periodogramma Sia {x(), x(), x(),..., x(n-)} la sequenza degli N campioni di x(t), riferiti ad un campionamento con frequenza F s (per semplicità consideriamo N pari) Si calcola la DFT X(k), k=,,...n-, con l algoritmo di FFT, ottenendo così N campioni che attribuisco ad N frequenze equispaziate tra e F s (, Fs/N, Fs/N, 3Fs/N,, (N-)Fs/N) Si considerano quindi i primi N/ campioni della DFT e si calcola la sequenza di campioni della stima dello spettro come S x (k) = X(k) N Si attribuiscono tali N/ campioni dello spettro ad N/ valori di frequenza equispaziati tra e F s / (, Fs/N, Fs/N, 3Fs/N,, (N/-)Fs/N) (assunzione implicita: non c e aliasing) 4

3 Per calcolare la sequenza complessa DFT con l algoritmo di FFT, si applica al vettore x degli N campioni del segnale la function fft() FTx=fft(x) che restituisce in FTx un vettore complesso della stessa lunghezza N di x. Per calcolare il vettore dei moduli si usa il comando abs abs(ftx) Calcolo della DFT in Matlab 5... FTx=fft(x); S=(abs(FTx).^)/N ; f_ft=(:fs/n:fs-fs/n); Calcolo del Periodogramma in Matlab f_ft=f_ft(:n/); %elimino la seconda meta' delle stime S=S(:N/); %elimino la seconda meta' delle stime (assumo N pari) subplot() plot(f_ft,s) axis([, Fs/,, max(abs(s))]) title('densità spettrale di potenza - metodo DFT') xlabel('frequenza (Hz)') 6

4 Esercizio 5. (scaricare dati.zip e scompattarlo nella cartella di lavoro) Considerare il segnale contenuto nel file dati.mat. Farne un plot ed un analisi a vista. Da cosa sembra costituito il segnale? Passare poi all analisi nel dominio della frequenza, articolata nei seguenti passi: a) Stimare, servendosi dell istruzione fft(), la spettro del segnale b) Plottare sulla stessa finestra grafica il segnale nel dominio del tempo, nel subplot (3,,), e lo spettro fra e Fs/, nel subplot(3,,) c) Provare ad interpretare lo spettro. Da cosa sembra costituito il segnale? d) Nel subplot (3,,3) plottare lo spettro, mediante semilogy (vd help), su scala semilogaritmica e riporsi la domanda c) 7 segnale tempo (sec) 5 densità spettrale di potenza - metodo DFT frequenza (Hz) densità spettrale di potenza - metodo DFT - semilogy frequenza (Hz) 8

5 La stima dello spettro non è sempre così chiara Problemi: Problemi del Periodogramma pochi campioni del segnale pochi campioni dello spettro segnale troncato distorsione nello spettro (leakage) Di seguito toccheremo con mano il primo problema nell es.5., per il quale un rimedio (solo cosmetico perché non aumenta l informazione) è quello dello ZERO-PADDING (es. 5.3, in cui vedremo anche chiaramente evidenziarsi l errore di leakage) 9 Caso fortunato: tanti dati (N grande) e finestra di osservazione lunga (poco leakage) stima dello spettro buona 5 segnale tempo(sec) densità spettrale di potenza - metodo DFT frequenza (Hz)

6 Esercizio 5. (influenza dell intervallo di osservazione) Considerare un segnale sinusoidale a tempo continuo x(t)=sin(πf t) dove la frequenza è f =/6 Hz, corrispondente ad un periodo T =6s a) Disegnare mentalmente lo spettro del segnale Considerare la sequenza di campioni x(nt s ), n=,, N-, riferita ad un periodo di sampling T s =. Per ogni un periodo di ripetizione del segnale x(t) sono quindi raccolti 6 campioni b) Si considerino i casi in cui N vale 6, 3, 8, 3, 8, corrispondenti a,, 8,, 8 periodi completi di campionamento. Per ciascuna durata del campionamento stimare lo spettro, plottarlo fra e Fs/, e confrontarlo con quanto atteso dal punto a) influenza dell intervallo leakzp(6,,) di osservazione sinusoide frequenza.65, periodo 6, Tc=, osservata su periodi Spettro tramite periodogramma spettro dopo padding di zeri

7 leakzp(6,,) influenza dell intervallo di osservazione sinusoide frequenza.65, periodo 6, Tc=, osservata su periodi Spettro tramite periodogramma spettro dopo padding di zeri influenza dell intervallo di osservazione leakzp(6,8,) sinusoide frequenza.65, periodo 6, Tc=, osservata su 8 periodi Spettro tramite periodogramma spettro dopo padding di zeri

8 influenza dell intervallo leakzp(6,,) di osservazione sinusoide frequenza.65, periodo 6, Tc=, osservata su periodi Spettro tramite periodogramma spettro dopo padding di zeri influenza dell intervallo leakzp(6,8,) di osservazione sinusoide frequenza.65, periodo 6, Tc=, osservata su 8 periodi Spettro tramite periodogramma spettro dopo padding di zeri

9 Esercizio 5.3 (zero padding) Si riconsideri l esercizio 5. e si fissi N=3. Ricordato che in Matlab è possibile nella DFT introdurre zero-padding con l istruzione DFTx=fft(x, Nzp) (con Nzp>N, dove N è la durata di x) si stimi lo spettro con Nzp=64, 8, 56, 5 e confrontare con quanto si trovava senza zero-padding (plottare sempre lo spettro fra e Fs/) 7 Spettro senza zero-padding leakzp(6,,) sinusoide frequenza.65, periodo 6, Tc=, osservata su periodi spettro dopo padding di zeri Spettro rozzo (6 campioni in -.5Hz) Se faccio zero-padding 8

10 Spettro con zero-padding (Nzp=5) sinusoide frequenza.65, periodo 6, Tc=, osservata su periodi spettro dopo padding di 48 zeri Spettro smoothed (56 campioni in -.5Hz) Vedo comparire il sinc() (si apprezza 9 il leakage) Fs=; Ts=/Fs; T=6; np=; N=np*T; Nzp=N t=ts*(::n-)'; x=sin(*pi*t/t); subplot() stem(t,x) xlabel('tempo(sec)') title('segnale') FTx=fft(x,Nzp); S=(abs(FTx).^)/N; f_ft=(:fs/nzp:fs-fs/nzp); f_ft=f_ft(:nzp/); %elimino la seconda meta' delle stime S=S(:Nzp/); %elimino la seconda meta' delle stime subplot() plot(f_ft,s) axis([, Fs/,, max(abs(s))]) title('densità spettrale di potenza - metodo DFT') xlabel('frequenza (Hz)')

11 Esercizio 5.4 (per casa) Considerare il segnale contenuto nel file vag.dat (campionamento KHz). Farne un plot ed un analisi a vista. Passare poi alla analisi nel dominio della frequenza, articolata nei seguenti passi: Stimare, servendosi dell istruzione fft(), la densità spettrale di potenza del segnale Plottare sulla stessa finestra grafica a quattro riquadri il segnale nel dominio del tempo (nel riquadro ) e lo spettro (riquadro ) fra e Fs/ su scala semi-logaritmica per le ordinate. Servendosi delle istruzioni ellipord ed ellip, progettare un filtro passabasso ellittico, di ordine ottimo, con ripple in banda passante (< Hz) pari a.95 (su scala lineare) e attenuazione in banda oscura (>5 Hz) di almeno 9dB. Applicare il filtro al segnale e plottare il segnale filtrato nel terzo riquadro (NB: usare prima filter, poi rifare usando filtfilt). Ricalcolare lo spettro per il segnale filtrato e plottarlo nel quarto riquadro. Plottare la risposta in frequenza del filtro in figura Confrontare spettri e risposta in frequenza del filtro close all clear all load('vag.dat') Fs=; Wp=; Ws=5; Rp=-*log(.95); Rs=-*log(.); [N, Wn] = ellipord(wp/(fs/), Ws/(Fs/), Rp, Rs); [B,A] = ellip(n,rp,rs,wn); [H,f]=freqz(B,A,4, Fs); figure() plot(f,abs(h)) axis([ Fs/ max((abs(h)))]) x=vag; xf=filtfilt(b,a,x); Ts=/Fs; N=length(x); t=ts*(::n-)'; figure() subplot(4) plot(t,x) xlabel('tempo(sec)') title('segnale originale') subplot(4) plot(t,xf) xlabel('tempo(sec)') title('segnale filtrato') FTx=fft(x); S=(abs(FTx).^)/N ; f_ft=(:fs/n:fs-fs/n); f_ft=f_ft(:n/); %elimino la seconda meta' delle stime S=S(:N/); %elimino la seconda meta' delle stime FTxf=fft(xf); Sf=(abs(FTxf).^)/N ; Sf=Sf(:N/); %elimino la seconda meta' delle stime subplot(43) semilogy(f_ft,s) axis([, Fs/,, max(abs(s))]) title('densità spettrale di potenza - segnale originale') xlabel('frequenza (Hz)') subplot(44) semilogy(f_ft,sf) axis([, Fs/,, max(abs(s))]) title('densità spettrale di potenza - segnale filtrato ') xlabel('frequenza (Hz)')

12 segnale originale segnale filtrato tempo(sec) tempo(sec).5. densità spettrale.5di potenza -. segnale originale densità 3 spettrale 4 di potenza 5 - segnale 6 filtrato frequenza (Hz) frequenza (Hz)