Esercizi Svolti. 2. Costruire la distribuzione delle frequenze cumulate del tempo di attesa

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1 Esercizi Svolti Esercizio 1 Per una certa linea urbana di autobus sono state effettuate una serie di rilevazioni sui tempi di attesa ad una determinata fermata; la corrispondente distribuzione di frequenza è data dalla tabella che segue: Tempo di attesa N. di volte (in minuti) [0, 4] 6 ]4, 6] 12 ]6, 10] 20 ]10, 12] 16 ]12, 20] 3 1. Rappresentare graficamente il tempo di attesa; 2. Costruire la distribuzione delle frequenze cumulate del tempo di attesa 3. Disegnare la funzione di ripartizione 4. Calcolare moda, mediana e media 5. Calcolare scarto quadratico medio del tempo si attesa. Soluzione Tabella dei calcoli Tempo di attesa n j δ j α j C j F j V j V j n j Vj 2 n j (in minuti) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) [0, 4] ]4, 6] ]6, 10] ]10, 12] ]12, 20] Totale

2 Rappresentazione grafica del tempo di attesa Il tempo d attesa (in minuti) è un carattere quantitativo continuo, di cui è nota la distribuzione delle frequenze assolute per modalità raggruppate in classi. Una rappresentazione grafica adeguata è data dall Istogramma. L istogramma è un grafico a barre non distanziate con base uguale all ampiezza della classe e area (base altezza) proporzionale alla frequenza (relativa o assoluta) della classe. In particolare, se l insieme di definizione di un carattere X è suddiviso in K classi, allora per j = 1,..., K Base rettangolo j = Ampiezza classe j Altezza rettangolo j = Frequenza classe j / ampiezza classe j Per costruire l istogramma si procede quindi come segue: Calcolare le ampiezze di ogni classe δ j = x j+1 x j j = 1,..., K Le ampiezze di classe sono riportate in colonna (2) della tabella dei calcoli. Calcolare le densità di frequenza di ogni classe α j = Frequenza Ampiezza = n j δ j = n j x j+1 x j j = 1,..., K Le densità di frequenza di ogni classe sono riportate in colonna (2) della tabella dei calcoli. Disegnare il grafico Densità Relativa Tempo di attesa 2

3 Distribuzione delle frequenze cumulate del tempo di attesa Le modalità del carattere (in classi) sono ordinate in senso non decrescente, quindi la frequenza cumulata corrispondente alla generica classe j è: C j = n 1 + n n j = e rappresenta il numero di unità statistiche che presentano una modalità inferiore (o uguale) all estremo superiore della classe j (vedi anche colonne (4) della tabella dei calcoli): j h=1 Tempo di attesa [0, 4] ]4, 6] ]6, 10] ]10, 12] ]12, 20] C j Ad esempio C 3 = 38 è il numero di di volte che il tempo di attesa è stato inferiore (o uguale) a 10 minuti (estremo superiore della classe j = 3). Funzione di ripartizione empirica del tempo di attesa Per ogni x reale, la funzione di ripartizione empirica F (x) rappresenta la proporzione di unità che presentano una modalità del carattere non superiore a X: F (x) = Frequenza relativa di unità con X x = (X x) N In pratica si ottiene dalla distribuzione delle frequenze cumulate relative F j = C j /N riportata in colonna (5) della tabella dei calcoli: 0 x < x = x = 6 F (x) = x = x = 12 1 x 20. Nell ipotesi di uniforme distribuzione del carattere all interno di ogni classe, per valori x (x j, x j+1 ], j = 1,..., K, la funzione di ripartizione di un carattere quantitativo continuo (come il tempo di attesa) è approssimabile con una retta. Analiticamente, F (x) = F (x j ) + α j N (x x j). Nota Bene La funzione di ripartizione F (x) gode delle seguenti proprietà: 1. 0 F (x) 1 2. F (x) è non decrescente 3. lim x F (x) = 0 e lim x + F (x) = 1 4. F (x) è continua a destra n h 3

4 Funzione di ripartizione Tempo di attesa Moda, mediana e media del tempo di attesa Classe Modale La classe modale per un carattere con modalità raggruppate in classe è la classe con densità di frequenza maggiore. Nel caso in esame la densità di frequenza maggiore è α 4 = 8 che corrisponde alla classe (10; 12], quindi Classe Mediana Classe modale del tempo di attesa = (10; 12] Per determinare la classe mediana si può utilizzare la funzione di ripartizione empirica (ovvero la distribuzione di frequenza cumulata assoluta o relativa). Calcolo della mediana dalla distribuzione di frequenza cumulata La distribuzione è ordinata in senso non decrescente; Il numero delle osservazioni N = 57 è dispari, quindi l unità mediana occupa la posizione N + 1 = = 29 nella distribuzione ordinata. Poiché C 2 = 18 < 29 < C 3 = 38, all unità mediana corrisponde una modalità della classe (6; 10], quindi 4

5 Classe mediana del tempo di attesa = (6; 10] Calcolo della mediana dalla funzione di ripartizione empirica La modalità mediana, x ME, è tale F (x ME ) = 0.5, o più in generale F (x ME ) 0.5 e 1 F (x ME ) 0.5. La classe mediana - che indichiamo con (x L ME ; xu ME ] - deve essere tale che F (x U ME) 0.5 e F (x L ME) 0.5. Dalla funzione di ripartizione empirica sopra scritta si vede che: Media Quindi F (10) = e F (6) = Classe mediana del tempo di attesa = (6; 10] Un indice sintetico si ottiene approssimando la mediana come segue: x ME = x L ME + (x U ME x L 0.5 F (x L ME ME) ) F (x U ME ) F (xl ME ) 0.5 F (6) = 6 + (10 6) F (10) F (6) = = 8.1 Con dati raggruppati in classi non si conosce il valore esatto che il carattere assume su ogni unità, quindi non si può calcolare la media esatta. Si approssima quindi la media sostituendo ad ogni classe il corrispondete valore centrale nell ipotesi di equadistruzione del carattere nelle classi. Il valore centrale della generica classe j è V j = x j + x j+1 j = 1,..., K; 2 ovvero per i dati in esame (vedi anche colonna (6) della tabella dei calcoli): Tempo di attesa [0, 4] ]4, 6] ]6, 10] ]10, 12] ]12, 20] V j Calcolati i valori centrali di classe la media si ottine come segue µ = (V 1 n 1 + V 2 n V K n K )/N = 1 V j n j N Quindi, il tempo di attesa medio è µ = ( )/57 = 456/57 = 8 minuti 5

6 Scarto quadratico medio del tempo si attesa Anche in questo caso non si può calcolare il valore esatto dello scarto quadratico medio, ma lo si approssima sostituendo ad ogni classe il corrispondete valore centrale nell ipotesi di equadistruzione del carattere nelle classi: σ = 1 (V j µ) N 2 n j = 1 Vj 2 N n j µ 2 Utilizzando la formula a destra, σ = 1 Vj 2 N n j µ 2 = = Esercizio = = minuti 1 57 ( ) 8 2 In una popolazione il carattere W assume valori in un intervallo [a, b] con media uguale a µ e scarto quadratico medio σ. 1. Definire la variabile S standardizzata di W. 2. Qual e il campo di variazione di S? 3. Calcolare la media e lo scarto quadratico medio di S. Soluzione Variabile S standardizzata di W La variabile standardizzata è così definita: S = W µ σ = W σ µ σ Campo di variazione di S La variabile S costituisce una trasformazione lineare e crescente (1\σ > 0 di W e quindi a valori crescenti di W corrispondono valori crescenti di S; in particolare al valore più piccolo di W corrisponderà il valore più piccolo di S e così sarà anche per il valore più grande. In sintesi: min W = W min = a = min S = S min = W min µ σ = a µ σ 6

7 max W = W max = b = max S = S max = W max µ = b µ σ σ e quindi insieme dei valori assunti da S è dato dall intervallo [S min, S max ] e di conseguenza il suo campo di variazione è: S max S mim = b µ σ a µ σ = a b σ = W max, W mim σ ovvero il campo di variazione della standardizzata di una variabile coincide con la misura del campo di variazione della variabile data rispetto allo scarto quadratico medio della variabile stessa. Media e scarto quadratico medio di S Per determinare media e varianza di S bisogna ricordare le relazioni che legano le medie e le varianze di due variabili che siano l una trasformazione lineare dell altra. In particolare, ricordando che se T = α V + β, dove T e V sono due variabili e α e β due costanti reali, si può dimostrare che: µ T = α µ V + β e σ 2 T = α 2 σ 2 V Utilizzando queste relazioni e facile determinare media e varianza di S. Infatti, come gia osservato sopra, S e trasformazione lineare di W e quindi dalle precedente relazioni segue che µ S = 1 µ V µ ( ) 2 V 1 = 0 e σs 2 = σv 2 = 1 σ V σ V σ V Esercizio 3 Sui collettivi di laureati di due università è stato rilevato il numero di mesi trascorsi dalla laurea prima di trovare il primo lavoro. La distribuzione di frequenza è riportata nella tabella che segue: Università Mesi A B (2, 6) (7, 12) (13, 16) 25 8 (17, 24) Rappresentare graficamente la distribuzione dei mesi; 2. Calcolare la percentuale di laureati entro i dodici mesi dalla laurea per l università A e confrontarla con quella dell università B; 3. Calcolare il numero medio di mesi per le due università 7

8 Soluzione Si dispone di informazioni sulla distribuzione di frequenza di una variabile doppia (X, Y ) = (Numero di Mesi, Università) mista, ossia un carattere, il numero di mesi, è quantitativo discreto e l altro, l Università frequentata, è qualitativo sconnesso. Dalla distribuzione doppia, si ricavano le distribuzioni di frequenza marginali di X e Y, riportate rispettivamente nell ultima colonna (totali di riga) e nell ultima riga (totali di colonna) della tabella che segue: Università Mesi A B Totali (2, 6) (7, 12) (13, 16) (17, 24) Totali Rappresentazione grafica della distribuzione dei mesi Si consideri la distribuzione marginale del carattere X = Numero di Mesi. Il carattere, quantitativo discreto, ha modalità raggruppate in classi, e ogni classe contiene un numero variabile di modalità. Una rappresentazione adeguata può essere ottenuta ipotizzando l equidistribuzione all interno della classe e attribuendo a ciascuna modalità della classe una frequenza pari alla corrispondente densità di frequenza. Si ottiene così il grafico seguente: Densità N. Mesi dove ciascuna asta ha un altezza pari alla densità di frequenza della classe a cui la corrispondente modalità appartiene: α i = n i. γ i, con γ i = δ i + 1 = x i+1 x i + 1. In particolare, 8

9 Mesi n i. γ i α i (2, 6) (7, 12) (13, 16) (17, 24) Totali 95 Percentuale di laureati entro i dodici mesi dalla laurea per l università A versus quella dell università B Per ottenere la percentuale di laureati entro dodici mesi nelle due università, è necessario focalizzare l attenzione sulle due distribuzioni condizionate del Numero di Mesi all università, e per ciascuna di queste calcolare la distribuzione di frequenza cumulata relativa: Distribuzione del Numero di Mesi per l Università A Mesi n i A f i A F i A (2, 6) (7, 12) (13, 16) (17, 24) Totali 58 1 Distribuzione del Numero di Mesi per l Università B Mesi n i B f i B F i B (2, 6) (7, 12) (13, 16) (17, 24) Totali 37 1 Dalle distribuzioni di frequenza cumulate relative del carattere X, numero di mesi, al carattere Y, università, si deduce che: Percentuale di laureati che trovano lavoro entro 12 mesi per l università A: F 2 A = Percentuale di laureati che trovano lavoro entro 12 mesi per l università B: F 2 B = Quindi, una maggiore percentuale di studenti che si sono laureati nell università B trovano lavoro entro 12 mesi dalla laurea. Numero medio di mesi per le due università Sempre con riferimento alle distribuzioni condizionate, si ottiene: 9

10 Univarsità A Univarsità B Mesi V i n i A V i n i A n i B V i n i B (2, 6) (7, 12) (13, 16) (17, 24) Totali Quindi µ X A = 1 n.a µ X B = 1 n.b 4 4 dove n.a = 4 n ia e n.b = 4 n ib. Esercizio 4 n i A V i = n i B V i = = mesi = mesi, In 9 piccole aziende sono stati rilevati il salario orario dei dipendenti ed il loro numero ottenendo i seguenti risultati: Azienda Salario orario (Euro) N. dipendenti Costruire il diagramma a scatola e baffi (box-plot) del salario 2. Calcolare la media sia per il salario che per il numero di dipendenti 3. Calcolare il coefficiente di correlazione lineare fra salario e numero dei dipendenti. Soluzione Si dispone di informazioni su una variabile doppia (X, Y ) = (Salario orario, Numero di dipendenti) di tipo quantitativo; entrambi i caratteri sono quantitativi: il salario orario è quantitativo continuo e il numero di dipendenti è quantitativo discreto. Per ogni unità è noto il valore che i due caratteri assumono su di essa, ovvero si ha una serie di dati. 10

11 Diagramma a scatola e baffi (box-plot) del salario Per costruire la scatola a baffi occorre anzitutto calcolare i 5 numeri di sintesi del Salario: minimo, primo quartile, mediana, terzo quartile, massimo. A tal fine si procede come segue: Ordinare i dati in senso non decrescente rispetto alle modalità del carattere: Azienda Salario Salario ordinato Individuare le posizioni delle unità corrispondenti ai 5 numeri di sintesi e determinare la modalità che corrispondono loro: Quindi Indice p N p Posizione Quantile Minimo Primo Quartile Mediana Terzo Quartile Massimo ,

12 Calcolare la media sia per il salario che per il numero di dipendenti µ X = 1 9 µ Y = x i = = = 12.1 Euro y i = 9 = 88 9 = Dipendenti Calcolare il coefficiente di correlazione lineare fra salario e numero dei dipendenti Il coefficiente di correlazione è definito dalla seguente formula dove σ XY è la covarianza tra X e Y : ρ XY = σ XY σ X σ Y σ XY = 1 N N (x i µ X )(y i µ Y ) = 1 N N x i y j µ X µ Y e σ X e σ Y sono gli scarti quadratici medi di X e Y, rispettivamente: σ X = 1 N (x i µ X ) N 2 = 1 N x 2 i N µ2 X σ Y = 1 N (y i µ Y ) N 2 = 1 N yi 2 N µ2 Y Applicando le formule all estrema destra delle equazioni sopra scritte, si ottiene (vedi tabella dei calcoli sotto riportata): σ XY = = = σ X = = = σ Y = = =

13 ρ XY = σ XY σ X σ Y = = = Esiste quindi una correlazione positiva tra X e Y, come si può vedere anche dal grafico a dispersione sotto rappresentato: Numero di Dipendenti Salario orario in Euro Tabella dei calcoli Azienda x i y i x 2 i yi 2 x i y i Esercizio 5 Totale Data una variabile statistica doppia (X, Y ) [(X i, Y j ), n ij ] i = 1,..., K j = 1,..., H : 1. Definire la covarianza fra X e Y 13

14 2. Definire coefficiente di correlazione lineare fra X e Y 3. Quali valori può assumere il coefficiente di correlazione lineare? 4. Se il coefficiente di correlazione lineare è uguale ad uno che relazione esiste fra X e Y? 5. Se si costruisce la variabile W = a X + b, con a e b costanti reali, quale relazione esiste fra il coefficiente di correlazione lineare fra X e Y e quello fra W e Y? Soluzione Covarianza fra X e Y Siano N = K H n ij = K n i. = H n.j la numerosià della popolazione µ X = 1 N K X in i. la media marginale di X µ Y = 1 N H Y jn.j la media marginale di Y. La covarianza fra X e Y si scrive come segue σ XY = 1 N (X i µ X )(Y j µ Y )n ij. Effettuando delle semplici trasformazioni la covarianza si può anche scrivere: σ XY = 1 N X i Y j n ij µ X µ Y. 14

15 Infatti σ XY = 1 N = 1 N = 1 N = 1 N = 1 N = 1 N = 1 N (X i µ X )(Y j µ Y )n ij (X i Y j X i µ Y µ X Y j + µ X µ Y )n ij X i Y j n ij 1 N X i Y j n ij 1 N µ Y X i Y j n ij µ Y 1 N X i µ Y n ij 1 N X i H n ij 1 N µ X X i n i. µ X 1 N X i Y j n ij µ Y µ X µ X µ Y + µ X µ Y X i Y j n ij µ Y µ X µ X Y j n ij + 1 N Y j K µ X µ Y n ij n ij + 1 N µ Xµ Y Y j n.j + µ X µ Y 1 N N K n ij coefficiente di correlazione lineare fra X e Y Siano σ X = σ Y = 1 K N (X i µ X ) 2 n i. lo scarto quadratico medio X 1 H N (Y j µ Y ) 2 n.j lo scarto quadratico medio di Y. Il coefficiente di correlazione lineare fra X e Y si scrive: ρ XY = σ XY σ X σ Y. Valori che può assumere il coefficiente di correlazione lineare Il coefficiente di correlazione lineare assume valori fra 1 e +1: 1 ρ XY 1. 15

16 Se il coefficiente di correlazione lineare è uguale ad uno che relazione esiste fra X e Y? Se il coefficiente di correlazione lineare fra X e Y è uguale ad uno, significa che tra X e Y esiste una relazione lineare esatta e che i due caratteri sono concordi, ovvero esistono due numeri reali, β 0 e β 1, tali per cui Y = β 0 + β 1 X β 1 > 0 Se si costruisce la variabile W = a X +b, con a e b costanti reali, quale relazione esiste fra il coefficiente di correlazione lineare fra X e Y e quello fra W e Y? Per le proprietà della media e della varianza si ha µ W = a µ X + b e σw 2 = a 2 σx 2 σ W = a σ X per cui si può scrivere: σ W Y = 1 N = 1 N = 1 N = 1 N = 1 N = a 1 N (W i µ W )(Y j µ Y )n ij [(a X i + b) (a µ X + b)](y j µ Y )n ij (a X i + b a µ X b)(y j µ Y )n ij (a X i a µ X )(Y j µ Y )n ij a (X i µ X )(Y j µ Y )n ij (X i µ X )(Y j µ Y )n ij = a σ XY Quindi il coefficiente di correlazione tra W e Y è ρ W Y = σ W Y σ W σ Y = a σ XY a σ X σ Y = a a ρ XY = { ρxy, se a > 0; ρ XY, se a < 0; Da ciò si deduce che il coefficiente di correlazione lineare non cambia in valore assoluto effettuando una trasformazione lineare di una variabile: può cambiare di segno se il coefficiente di proporzionalità nella trasformazione è negativo. 16

17 Esercizio 6 Un collettivo di persone adulte è stato classificato secondo l età in anni compiuti ed la pressione arteriosa sistolica, la distribuzione di frequenze è riportata nella tabella che segue: 1. Calcolare la classe modale dell età. Età Pressione arteriosa [100,120] ]120,135] ]135,160] (25,35) (36,40) (41,50) Rappresentare graficamente la pressione arteriosa. 3. Calcolare la covarianza fra l età e la pressione arteriosa. Soluzione Si dispone di informazioni sulla distribuzione di frequenza di una variabile doppia (X, Y ) = (Età in anni compiuti, Pressione) di tipo quantitativo; entrambi i caratteri sono quantitativi: Età in anni compiuti è quantitativo discreto, e carattere Pressione è quantitativo continuo. Di seguito è riportata la distribuzione doppie di frequenza assoluta insieme con le distribuzioni marginali. Tabella con distribuzioni marginali Età Pressione arteriosa Totale [100,120] ]120,135] ]135,160] (25,35) (36,40) (41,50) Totale Nel seguito indichiamo con X la variabile età in anni compiuti e con Y la variabile pressione arteriosa. Classe modale dell età Per calcolare la classe modale dell età in anni compiuti - carattere quantitativo - si focalizza l attenzione sulla distribuzione marginale di tale variabile. Dalla tabella a doppia entrata di cui si dispone è possibile costruire la distribuzione di frequenza assoluta marginale, data dai totali n i. di riga, per modalità raggruppate in classi. Per definizione la moda di una distribuzione è la modalità (o le modalità) a cui è associata la frequenza maggiore. Nel caso di dati raggruppati in classi si considera la classe 17

18 modale che può essere definita come la classe a cui è associata la frequenza (assoluta o relativa) maggiore nel caso di classi equi-ampie o meglio a classe a cui è associata la densità di frequenza (assoluta o relativa) maggiore. In questo caso le classi contengono un numero di modalità variabile, quindi per individuare la classe modale è necessario calcolare la densità di frequenza. Si procede come segue: 1. Calcolare il numero di modalità appartenenti ad una classe γ i = δ i + 1 = (x i+1 x i ) + 1 i = 1,..., K 2. Calcolare la densità di frequenza di ogni classe α i = n i. γ i i = 1,..., K Applicando tali definizioni ai dati in esame si ottiene: Età n i. γ i α i (25,35) (36,40) (41,50) Totale 193 La classe a cui è associata la densità di frequenza maggiore è (25, 35) con α 1 = , quindi Classe modale del carattere X = età in anni compiuti : (25, 35) Rappresentazione grafica della pressione arteriosa Il carattere pressione arteriosa è una variabile quantitativa continua, suddivisa in classi, pertanto la rappresentazione grafica opportuna è costituita dall istogramma. Per costruire l istogramma bisogna costruire la distribuzione delle frequenze assolute marginali data dai totali di colonna, n.j, nella tabella a doppia entrata di cui si dispone, e quindi valutare la densità di frequenza relativa ad ogni classe. Questa si ottiene nell ipotesi che la distribuzione della variabile sia uniforme in ciascuna classe, come rapporto fra frequenza e ampiezza di classe: Pressione n.j δ j α j αj rel [100, 120] ]120, 135] ]135, 160] Totale

19 dove Segue dunque: n.j = 3 n ij Frequenza assoluta marginale della classe j δ j = y j+1 y j Ampiezza classe j α j = n.j /δ j Densità di frequenza della classe j αj rel = α.j /N Densità di frequenza relativa della classe j Densità Pressione arteriosa Covarianza fra età e pressione arteriosa Si ricorda che σ XY = 1 N (x i µ X )(y j µ Y )n ij = 1 N x i y j n ij µ X µ Y. Applicando la formula all estrema destra della precedente uguaglianza, il calcolo della covarianza richiede di calcolare: 1. Media marginale dell età: µ X 2. Media marginale della pressione arteriosa: µ Y 3. Media dei prodotti misti: 1 N K H x iy j n ij Poiché le variabili sono suddivise in classi tutti gli indici statistici coinvolti saranno calcolati utilizzando i valori centrali delle classi, V i = (x i+1 + x i )/2 e V j = (y j+1 + y j )/2, i, j = 1, 2, 3. 19

20 Media dell età Età n i. V i V i n i. (25,35) (36,40) (41,50) Totale Quindi, la media è µ X = 1 N Media della Pressione 3 V i n.i = 1 ( ) 193 = ( ) = = Quindi, la media è µ Y = 1 N 3 Media dei prodotti misti Pressione n.j V j V j n.j [100, 120] ]120, 135] ]135, 160] Totale V j n.j = 1 ( ) 193 = ( ) = = N V i V j n ij = 1 ( ) = 1 ( ) = =

21 Si conclude quindi che σ XY = 1 N Esercizio 7 V i V j n ij µ X µ Y = = = I giovani addetti all agricoltura sono stati classificati per età e numero di giorni di ferie godute in un determinato mese; la distribuzione di frequenza congiunta è data dalla tabella seguente: Numero giorni Y = Età in anni compiuti di ferie (18,20) (21,25) (26,30) (31,35) X Rappresentare graficamente il numero di giorni di ferie. 2. Calcolare la classe mediana dell età. 3. Calcolare la media del numero di giorni di ferie e quella dell età. 4. Sapendo che 3 4 x i y j n ij = 9708 calcolare la covarianza fra numero di giorni di ferie ed età. Soluzione Si dispone di informazioni sulla distribuzione di frequenza di una variabile doppia (X, Y ) = (Numero di giorni di ferie, Età in anni compiuti) di tipo quantitativo; entrambi i caratteri sono quantitativi discreti. Dalla distribuzione di frequenza assoluta doppia sono immediatamente costruibili le due distribuzioni di frequenza assolute marginali, calcolando i totali di riga (distribuzione di frequenza assoluta del carattere Numero di giorni di ferie ) e i totali di colonna (distribuzione di frequenza assoluta del carattere Età in anni compiuti ). Numero giorni Y = Età in anni compiuti di ferie (18,20) (21,25) (26,30) (31,35) Totale Riga X Totale colonna

22 Rappresentare graficamente il numero di giorni di ferie Il carattere X = Numero di giorni di ferie è una variabile quantitativa discreta. Una rappresentazione grafica adeguata è il grafico a barre, che si ottiene riportando sull asse delle ascisse le modalità del carattere e sull asse delle ordinate la frequenza. È dunque necessario anzitutto ricostruire la distribuzione di frequenza marginale del carattere X. Questa la si ottiene dai totali di riga: Segue dunque: X Totale n i Frequenza Numero di giorni di ferie Calcolare la classe mediana dell età Per calcolare la classe mediana dell età si focalizza l attenzione sulla distribuzione marginale di Y, che si ottiene calcolando i totali di colonna della tabella a doppia entrata sopra riportata. Per trovare la classe mediana si può utilizzare la funzione di ripartizione empirica. Costruiamo dunque la distribuzione di frequenza cumulata relativa: Y n.j C.j F.j (18,20) (21,25) (26,30) (31,35) Totale

23 Si nota che F.2 = F (25) = < 0.5 e F.3 = F (30) = > 0.5. La classe mediana è pertanto (26, 30). Infatti dalla distribuzione di frequenza cumulata assoluta, si vede che le unità mediane, che occupano la posizione N/2 = 171 e N/2 + 1 = 172 nella distribuzione ordinata, presentano una modalità compresa nell intervallo (26, 30). Calcolare la media del numero di giorni di ferie e quella dell età Media del numero di giorni di ferie La media del numero di giorni di ferie si calcola facilmente a partire dalla distribuzione marginale (totale riga) del carattere: Quindi µ X = 1 N 3 Media dell età X n i. x i n i Totale x i n i. = ( ) = ( ) = = giorni L età in anni compiuti è un carattere discreto di cui in questo caso si conosce la distribuzione di frequenza (assoluta) per modalità raggruppate in classi (totali di colonna). Non si può pertanto calcolare il valore esatto della media, ma lo si può approssimare rappresentando ciascuna classe con il corrispondente valore centrale di classe: riportati nella seguente tabella: V j = y j+1 + y j 2 Quindi, la media è µ Y = 1 N 4 Y n.j V j V j n.j (18,20) (21,25) (26,30) (31,35) Totale V j n.j = 1 ( ) 342 = ( ) = = anni

24 Sapendo che 3 4 x i y j n ij = 9708 calcolare la covarianza fra numero di giorni di ferie ed età Ricordando che σ XY = 1 N (x i µ X )(y j µ Y )n ij = 1 N segue immediatamente che σ XY = 1 N Esercizio 8 = x i y j n ij µ X µ Y = x i y j n ij µ X µ Y ; 4 x i y j n ij µ X µ Y = = giorni anni I giovani addetti allagricoltura in due diverse regioni sono stati classificati per età; la distribuzione di frequenza congiunta è data dalla tabella seguente Età in anni compiuti Regione (14,16) (17,18) (19,24) (25,34) A B Determinare la classe modale l età per ciascuna regione 2. Calcolare media per ciascuna delle due regioni 3. Stabilire se l età è indipendente in media dalla regione Soluzione Si dispone di informazioni sulla distribuzione di frequenza di una variabile doppia (X, Y ) = (Regione, Età in anni compiuti) di tipo misto; il carattere Regione è qualitativo sconnesso e il carattere Età in anni compiuti è quantitativo discreto. Dalla distribuzione di frequenza assoluta doppia sono immediatamente costruibili le due distribuzioni di frequenza assolute marginali, calcolando i totali di riga (distribuzione di frequenza assoluta del carattere Regione ) e i totali di colonna (distribuzione di frequenza assoluta del carattere Età in anni compiuti ). Età in anni compiuti Totali Regione (14,16) (17,18) (19,24) (25,34) A B Totali

25 Determinare la classe modale dell età per ciascuna regione Per rispondere al quesito è necessario focalizzare l attenzione sulle distribuzioni condizionate del carattere Età in anni compiuti al carattere Regione, date dalle righe interne alla tabella a doppia entrata. Dell età in anni compiuti è nota la distribuzione di frequenza assoluta (condizionata) per modalità raggruppate in classi, inoltre le classi contengono un diverso numero di modalità, quindi per determinare la classe modale dell età è necessario considerare le densità di frequenza condizionate: Regione A Regione B Età γ j n j A α j A n j B α j B (14,16) (17,18) (19,24) (25,34) Totale dove γ j = y j+1 y j + 1 rappresenta il numero di modalità comprese nella classe j. Nella regione A la classe dell età con densità di frequenza maggiore è (19, 24), a cui corrisponde una densità di frequenza pari a 20. Nella regione B la classe dell età con densità di frequenza maggiore è (17, 18), a cui corrisponde una densità di frequenza pari a 15. Quindi, Classe modale dell età nella regione A = (19, 24) Classe modale dell età nella regione B = (17, 18) Calcolare media per ciascuna delle due regioni Sempre facendo riferimento alle distribuzioni condizionate del carattere Età in anni compiuti al carattere Regione, si ottiene: Regione A Regione B Età V j n j A V j n j A n j B V j n j B (14,16) (17,18) (19,24) (25,34) Totale µ Y A = 1 n A µ Y B = 1 n B 4 4 V j n j A = V j n j B = = anni = anni 25

26 dove n A = 4 n Aj è il numero di studenti che si sono laureati nell univarsità A (totale colonna 1), e n B = 4 n Bj è il numero di studenti che si sono laureati nell univarsità B (totale colonna 2). Stabilire se l età è indipendente in media dalla regione Se l età fosse indipendente in media dalla regione, allora l appartenenza ad una regione non influenzerebbe l età media, ovvero µ Y A = µ Y B = µ Y dove, µ Y è la media marginale di Y, che per i dati in esame è: Poiché µ Y = 1 N 4 V j n.j = = µ Y A = = µ Y B, = = si conclude che l età NON è indipendente in media dalla regione di appartenenza. 26

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