Università del Piemonte Orientale. Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia. Corso di Statistica Medica. Statistica Descrittiva Variabili numeriche

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1 Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia Corso di Statistica Medica Statistica Descrittiva Variabili numeriche

2 Misure di tendenza centrale Media (aritmetica) Mediana Media geometrica Moda Misure di variabilità Deviazione Standard Coefficiente di variazione Range Percentili Range interquartile Queste statistiche possono essere calcolate solo per variabili numeriche!

3 Media: è la più comune misura di tendenza centrale Può essere calcolata per variabili numeriche Il valore medio di una variabile in un gruppo di osservazioni si calcola sommando il valore della variabile per ciascuna osservazione e dividendo il risultato per il numero di osservazioni Media X n i= = = n x i = (x + x + x 3 + x 4 + x + + x n- + x n ) / n

4 Simboli: Σ = sommatoria = (x + x + x 3 + x 4 + x + + x n- + x n ) x i n = i-esima osservazione = numero totale di osservazioni n i= Indica la sommatoria di tutte le osservazioni, dalla prima (i=) all ultima (i=n)

5 Esempio = Calcolo di media Variabile = altezza; variabile numerica; Campione = soggetti x,64,4,6,8,8,6,,,6,69,,8,8,6,,,,,,8 Totale = 33,9 Media= 33,9 / =,699

6 Quanti decimali? Quando presentate il risultato di una media usate un decimale in più di quanti ne sono stati usati per i dati Nei calcoli e nei risultati intermedi mantenete una precisione maggiore ( almeno o 3 decimali in più di quanti ne sono stati usati per i dati) Se utilizzate un calcolatore arrotondate solo il risultato finale

7 Deviazione Standard: misura la variabilità delle osservazioni intorno alla Media Per spiegare la deviazione standard è utile esaminare prima le statistiche Devianza e Varianza La Devianza è la somma dei quadrati delle differenze (scarti) tra il valore della variabile e la media dev = n i= ( X ) x i La Varianza è la devianza divisa per (numero di osservazioni ) (si può definire anche come la media degli scarti quadratici)

8 i= var = dev /( n ) = n ( ) x X i ( n ) La Deviazione Standard è la radice quadrata della varianza DS n ( ) X x i = i= ( n ) Deviazione standard calcolata su un campione -> il denominatore è (n-) Deviazione standard calcolata sulla popolazione -> il denominatore è (n)

9 Esempio di due distribuzioni di frequenza calcolate su un numero infinito di osservazioni e caratterizzate dalla stessa media ma da due diverse deviazioni standard y DS= DS= x

10 Coefficiente di Variazione E il rapporto tra deviazione standard e media Viene espresso in percentuale CV DS % = x

11 Esempio = Calcolo di media e deviazione standard Variabile = altezza - Campione = soggetti x i x i x ( x ) i x,64 -,8,34,4,4,,6 -,48,3,8,,3,8 -,8,44,6,6,38, -,48,,,,46,6 -,98,9,69 -,8,,,,6,8,,43,8 -,8,44,6,6,38, -,8,6,,,46,,,,,,,,,3,8,,94 Media=,699 Varianza=,8 DS=,9 CV%,%

12 Mediana Dato un insieme di osservazioni ordinate per valori crescenti della variabile, la mediana corrisponde al valore dell osservazione che occupa la posizione centrale della distribuzione Se il numero di osservazioni è pari abbiamo due osservazioni centrali: la mediana sarà ottenuta calcolando la media del valore di tali (due) osservazioni centrali N/; N/ + La media e la mediana coincidono nel caso di distribuzioni simmetriche Se la distribuzione è asimmetrica la media è maggiormente influenzata dall asimmetria e dai valori estremi

13 Esempio = Calcolo di mediana Variabile = altezza - Campione = soggetti,, 3,8 4,8,6 6,64,6 8,69 9,,,, 3,4 4,,6 6,6, 8,8 9,8,8 Mediana= (, +,) / =,

14 Percentili: valori della variabile che delimitano specificate frazioni della distribuzione cumulativa dei dati ordinati in senso crescente Alcuni sinonimi quartile = percentile mediana = percentile 3 quartile = percentile Range interquartili = percentile - percentile La procedura più semplice per il calcolo dei percentili si basa sull uso della distribuzione cumulativa

15 Cumulative Cumulative ETA Frequency Percent Frequency Percent percentile= percentile= Mediana= percentile= totale 43 43

16 3 percentile percentile

17 Formule per il calcolo di percentili, data una sequenza ordinata n: numero di osservazioni k: percentile di interesse se n*k / è un intero il percentile cercato sarà la media del valore della variabile delle due osservazioni che occupano le seguenti posizioni nella sequenza ordinata: - k k n e n + es calcolate il 3 percentile in una serie di osservazioni * 3 / = 3esimo percentile 3 3 = media _ delle _ osservazioni _ in _ posizione : e + = media tra il valore della osservazione che occupa la posizione ed il valore della osservazione che occupa la 6 posizione se n*k / non è intero k k - esimo percentile = int ero n + es calcolate il percentile in una serie di 3 osservazioni 3 * / = 3, percentile = valore della osservazione che occupa la 33 posizione (3+=33)

18 Un esempio di output di un programma di calcolo Numero osservazioni 43 Mean Std Deviation Variance Coeff Variation Median 64 Quantile (percentile) 99% 9 9% 9% 3 % % Mediana 64 % 9 % % 46 % 4 Interquartile Range

19 La rappresentazione grafica di dati/variabili numeriche Box plot (diagramma a scatola e baffi) Fornisce una rappresentazione grafica che presenta i valori di mediana e quartili (% e % percentile), sotto forma di una scatola ed altri valori di dispersione, indicati come baffi La definizione della scatola (mediana e range interquartile) è universale Non esiste invece una definizione universale per quanto riguarda i baffi L esempio seguente costruito usando il package statistico SPSS si usa il range (valore minimo e valore massimo) Il testo di Pagano e Gauvreau (p9) usa invece i valori adiacenti, definiti come - Valore minimo osservato > ( quartile, * range interquartile) - Valore massimo osservato < (3 quartile +, * range interquartile) Altri autori hanno proposto definizioni ancora diverse (es e 9 percentile)

20 Dati originali (sono riportate anche altre variabili) n Hb PCV% Età_anni menopausa

21 Esempio: livello di emoglobina in un campione di donne Dati elaborati con SPSS Hb Min: 96 st Qu: 4 Median: 39 3rd Qu: 63 Max: Total N: NA's : numero di val mancanti Mean: 4 Std Dev: 488

22 Box plot del livello di emoglobina in un campione di donne Dati elaborati con SPSS 6 4 Quartili Mediana H b Range

23 Rappresentazione grafica di dati definiti da variabili, di cui: Una variabile quantitativa/numerica e l altra nominale / ordinale Attenzione, alle variabili numeriche possono essere applicati i metodi descrittivi visti durante la lezione precedente (frequenze, frequenze cumulative, istogrammi) Questi metodi possono essere usati anche per confrontare diversi gruppi di soggetti, ad esempio disegnando diversi istogrammi

24 Diagramma a punti Distribuzione di frequenza di una variabile continua (Concentrazione di Emoglobina), separatamente per i due sottogruppi definiti dalla variabile Menopausa (= no, = si) 6 Hb 4 Singola osservazione menopausaaa Diagramma a punti: è adatto quando il numero di osservazioni in ciascuna categoria non è troppo grande

25 Rappresentazione grafica di dati definiti da variabili quantitative SOMMINISTRAZIONE GENERAL HEALTH QUESTIONNAIRE (GHQ) TEST TEST r = 9

26 Media geometrica e trasformazione logaritmica Talora la distribuzione dei dati originali è fortemente asimmetrica Può essere utile (i motivi saranno approfonditi in seguito) calcolare una funzione dei dati originali tale che la sua distribuzione sia simmetrica La funzione usata più comunemente è quella logaritmica Il logaritmo della media geometrica corrisponde alla media aritmetica dei logaritmi dei dati, quindi la media geometrica coincide con l antilogaritmo della media aritmetica dei logaritmi dei dati MG = (Πx i ) /n Log(MG)= Σ(logx i )/ n Attenzione: il logaritmo di e dei numeri negativi è indefinito Occorre definire il valore da assegnare alle osservazioni con valore (se ne esistono)

27 Media geometrica Distribuzione di frequenza della concentrazione di corpuscoli dell amianto in 3 casi di tumore polmonare positivi per la ricerca dei corpuscoli La distribuzione è marcatamente asimmetrica FREQUENCY CORPUSCO MI DPOI NT

28 Distribuzione di frequenza del logaritmo della concentrazione di corpuscoli dell amianto in 3 casi di tumore polmonare positivi per tale indicatore La distribuzione è simmetrica FREQUENCY 3 4 L_c MIDPOINT

29 Possiamo calcolare una media partendo da una distribuzione di frequenza? Colesterolo (mg/ ml) n Possiamo calcolare un valore medio se possiamo stimare la distribuzione dei soggetti compresi in ciascuna classe di valori

30 Se le classi non sono troppo ampie, è ragionevole pensare che il valor medio in ciascuna classe si collocato al centro dell intervallo che la costituisce Colesterolo (mg/ Valore centrale n ml) della classe , , , , , , , ,

31 Data questa assunzione, si possono considerare gli f soggetti in una data classe come soggetti con lo stesso valore x della variabile e quindi applicare una semplice estensione della formula della media Media n i= = X = n i= f i f x i i

32 Colesterolo Valore centrale della classe n f * n , 3 93, -9 39, , , , 4-9 9, 984, , , 9 3, , 89, Totale 6 66, Media= 66, / 6 = 98,84

33 Moda Valore o classe di valori (in questo secondo caso si parla più correttamente di Classe Modale) che ricorrono con maggior frequenza in una distribuzione Possono essere presenti più mode, come nell esempio seguente

34 Metodi statistici descrittivi Riepilogo Tipo di variabile Categoriche Numeriche Nominale Ordinale Distribuzione di Frequenza SI SI SI Distrib di Freq cumulativa NO SI SI Diagramma a barre / SI SI SI Istogramma Media NO NO SI Deviazione standard NO NO SI Mediana NO NO SI Percentili NO NO SI

35 Esercizi consigliati, tratti da: MPagano & KGauvreau Biostatistica (II edizione italiana) ed Idelson Gnocchi, Napoli 3 Svolgere i seguenti esercizi tratti dalle pag48-:,, 3, 4, 6, Svolgere l esercizio 8 Oltre alle domande presenti sul testo disegnate anche: a i due box plot (uno per le adolescenti bulimiche l altro per le adolescenti sane) b i due istogrammi (id), da disegnarsi con classi di Kcal/kg, partendo dalla prima classe da Kcal/kg 3 Calcolate la media geometrica e la media dopo trasformazione logaritmica partendo dai dati forniti per l esercizio 8, limitatamente alle adolescenti bulimiche 4 Svolgere l esercizio 4, limitata mente alla media Oltre alle domande presenti sul testo disegnate anche l istogramma che descrive la distribuzione di frequenza Gli esercizi saranno corretti in classe