Ogni misura è composta di almeno tre dati: un numero, un'unità di misura, un'incertezza.
|
|
- Lucrezia Cuomo
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Ogni misura è composta di almeno tre dati: un numero, un'unità di misura, un'incertezza. Corso di laurea in Tossicologia Misure ripetute forniscono dati numerici distribuiti attorno ad un valore centrale indicabile con un indice (indice di localizzazione o di posizione). A seconda dei casi si potrà adottare l'uno o l'altro indice in base all'esperienza. Indici di localizzazione Media aritmetica: x = Σ i x i /N dove x i sono i risultati delle N misure. "Scarto dalla media" o scarto: (x i - x). La media aritmetica costituisce il legame (vincolo) tra la somma dei dati (Σ x i ) ed il loro numero (N), e gode delle seguenti proprietà:
2 1) Σ (x i - x) = 0, per cui gli scarti indipendenti sono (N-1). Corso di laurea in Tossicologia 2) Σ (x i - x) 2 = minimo (metodo dei minimi quadrati). La media si applica direttamente alla curva normale dell errore, curva di Gauss, Frequenza dati x µ
3 Altri indici di posizione si applicano ad altri tipi di distribuzione, come questa di frequenze unimodali e modestamente asimmetrica: Corso di laurea in Tossicologia Frequenza dati x µ
4 b) MODA: valore cui corrisponde il massimo di frequenza. Corso di laurea in Tossicologia c) MEDIANA: valore che divide in due il campo di misura, quando i dati replicati sono ordinati in ordine crescente o decrescente, con metà dati a destra e metà a sinistra (media dei valori di mezzo se n è pari). Questi indici di posizione sono significativi in alcuni casi particolari, ma sono insensibili a quanto avviene ai margini. In una distribuzione di frequenze unimodale e moderatamente asimmetrica, gli indici di posizione sono legati fra loro secondo la relazione empirica:
5 [(MEDIA MODA) = 3 (MEDIA - MEDIANA)] Corso di laurea in Tossicologia Moda Mediana Media Un'estensione del concetto di mediana (valore che divide l'insieme dei dati in due parti uguali) è quello che riguarda i valori che dividono l'insieme in quattro parti uguali. Tali valori vengono chiamati "quartili".
6 I quartile II quartile III quartile IV quartile Corso di laurea in Tossicologia Allo stesso modo, vengono definiti "decili" e "percentili" i valori che dividono l'insieme dei dati rispettivamente in 10 e 100 parti uguali. d) MEDIA TRONCATA: si calcola come media aritmetica della porzione centrale dei dati ; vengono scartate (di solito simmetricamente) le code della distribuzione. e) MEDIA GEOMETRICA: rappresenta il prodotto di N numeri. Media geometrica = N π i x i i = 1 N Il simbolo π indica il prodotto di tutti i valori.
7 Corso di laurea in Tossicologia In relazione alla diversa sensibilità ai dati aberranti, la media ne è influenzata, la mediana non è influenzata dalla loro presenza, la media troncata rappresenta un compromesso tra le prime due, in quanto si basa su un numero consistente di dati ma non usa gli estremi del campione, tra i quali si possono trovare i valori aberranti. Indici di dispersione a) CAMPO DI VARIAZIONE: Il modo più semplice per indicare la variabilità di un insieme di dati, è di esprimerlo come differenza tra il più grande (valore massimo) ed il più piccolo (valore minimo) dei dati sperimentali o misure. b) DEVIAZIONE MEDIA (Mean Deviation): MD = [ x i x ]/N
8 Viene definita anche «scostamento semplice medio assoluto dalla media aritmetica» Corso di laurea in Tossicologia c) DEVIAZIONE STANDARD: (x i x) 2 d) VARIANZA: s 2 = [ (x i - x) 2 ] / (N-1) (N-1) La deviazione standard, chiamata anche scarto quadratico medio, viene indicata con s. s è cioè la radice quadrata dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica divisi per il numero di gradi di libertà. La varianza di un insieme di dati è definita come il quadrato della deviazione standard.
9 Corso di laurea in Tossicologia Quando il numero di dati sperimentali disponibili è molto elevato (al limite tende ad infinito) la deviazione standard è definita dalla relazione: σ = [ (x i x) 2 ] / N dove x i è la misura iesima, x µ è la media e N il numero di prove. Nel caso più frequente, in cui i dati sperimentali sono limitati, la deviazione standard viene stimata attraverso la grandezza s definita dalla relazione: s = [ (x i x) 2 ] / (N 1) dove N-1 rappresenta i gradi di libertà. Si utilizza s, al posto di σ per evidenziare il fatto che, avendo a disposizione una serie limitata di dati, non si ha la pretesa di calcolare la deviazione standard, ma solo di darne una valutazione che risulterà tanto più attendibile quanto maggiore è il numero di prove effettuate.
10 Proprietà della deviazione standard o dello scarto quadratico medio Corso di laurea in Tossicologia Se la variabile x ha distribuzione normale con media x e varianza s 2, allora: a) Il 68,27% dei casi è compreso tra x s e x + s (cioè una deviazione standard da ogni parte della media). b) Il 95,45% dei casi è compreso tra x 2s e x + 2s (cioè due deviazioni standard da ogni parte della media). c) Il 99,73% dei casi è compreso tra x 3s e x + 3s (cioè tre deviazioni standard da ogni parte della media).
11 Corso di laurea in Tossicologia Quando N tende ad infinito, il valore medio delle misure sperimentali (in assenza di errori sistematici) tende al valore vero, convenzionalmente indicato con µ, mentre la deviazione standard stimata s (o campionaria) tende alla deviazione standard della popolazione σ. Il valore di s (deviazione standard campionaria) indica la imprecisione di una misura ed è legata agli errori casuali. Quindi l imprecisione, di solito, viene espressa come deviazione standard (s) e descrive l accordo tra due o più misure replicate, cioè la vicinanza reciproca delle misure all interno di un insieme di misurazioni e risulta correlata agli errori casuali.
12 Corso di laurea in Tossicologia Più utile può essere l espressione della imprecisione (come ripetibilità o riproducibilità) in termini di coefficiente di variazione o deviazione standard relativa percentuale (RSD%), cioè di imprecisione percentuale : CV = RSD % = [s / x] x 100 È chiaro che ad un piccolo CV corrisponde poca dispersione dei dati attorno ad un valore medio e quindi un elevata precisione ed una bassa imprecisione. Il Laboratorio può stimare la imprecisione del proprio metodo effettuando misure replicate dello stesso materiale di controllo nella stessa serie analitica (ripetibilità, imprecisione entrosaggio), oppure in serie analitiche differenti (riproducibilità, imprecisione tra-saggi).
13 Corso di laurea in Tossicologia È evidente che la ripetibilità risulterà migliore della riproducibilità; infatti, nella replica dello stesso campione in serie analitiche differenti, concorreranno ad aumentare la variabilità anche cause di errore (differenze nelle condizioni sperimentali del saggio, differenze nei reattivi) che non sono presenti quando le misure vengono replicate all interno della stessa serie analitica. Per lo stesso motivo la riproducibilità calcolata da replicati eseguiti in un periodo molto lungo potrà risultare più elevata rispetto a quella stimata da replicati eseguiti in un intervallo di tempo relativamente più breve. Dispersione o Range: è un altro termine che spesso viene utilizzato per descrivere la precisione di un insieme di risultati replicati. Esso è la differenza tra il valore più grande e quello più piccolo dell insieme.
14 La deviazione standard di risultati calcolati Propagazione dell errore nelle somme e differenze Corso di laurea in Tossicologia L esempio seguente dimostra come si ottiene la deviazione standard di una somma e di una differenza. ESEMPIO: Si consideri la somma [0.50 (± 0.02) (± 0.03) 1.97 (± 0.05) = 2.63 (±?) L incertezza associata al risultato potrebbe essere uguale a 0.10 nel caso in cui i segni delle tre deviazioni standard fossero tutti positivi o tutti negativi. E anche possibile che le incertezze possano combinarsi per dare un errore uguale a zero.
15 Corso di laurea in Tossicologia Nessuna di queste possibilità è verosimile quanto una combinazione che dia luogo ad un incertezza intermedia tra questi estremi. Può essere statisticamente dimostrato che la deviazione standard più probabile per una somma e per una differenza è data dalla radice quadrata della somma delle varianze assolute individuali: S y = s a 2 + s b 2 + s c 2 dove s y è la D.S. del risultato ed s a, s b, s c sono le D.S. dei tre termini della somma. Nell esempio precedente la D.S. sarà data da: Sy = (±0.02) 2 + (±0.03) 2 + (±0.05) 2 = ± 0.06 E la somma potrà essere riportata come 2.63 ± 0.06
16 Propagazione dell errore nei prodotti e nei quozienti Corso di laurea in Tossicologia L esempio seguente dimostra come si ottiene la deviazione standard di un prodotto o di un quoziente. ESEMPIO: Si considerino i seguenti calcoli: 4.10 (±0.02) x (±0.0001) 1.97 (±0.04) = (±?) Occorre sottolineare che le D.S. di due numeri di questo calcolo sono più grandi del risultato stesso. Allora, ovviamente, noi non possiamo ottenere la D.S. desiderata dalla combinazione diretta delle incertezze, come nell addizione o sottrazione.
17 Per i prodotti ed i quozienti è necessario valutare la deviazione standard relativa del risultato delle D.S. relative dei numeri coinvolti nel calcolo. Quindi: Corso di laurea in Tossicologia Qui la D.S. relativa del risultato (s y ) r è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle D.S. relative dei singoli numeri. Perciò:
18 Corso di laurea in Tossicologia E per ottenere la D.S. assoluta del risultato: S y = y (±0.029) = (±0.029) = ± L incertezza nel risultato può essere indicata dalla notazione: ±
19 Corso di laurea in Tossicologia Per i calcoli che coinvolgono le quattro operazioni, devono essere valutate per prime le incertezze associate con le somme e con le differenze.
20 Corso di laurea in Tossicologia
21 Livelli di fiducia Corso di laurea in Tossicologia Il valore esatto della media per un campione appartenente ad una popolazione di dati non può mai essere determinato con assoluta precisione perché richiederebbe un infinito numero di misure. La teoria statistica ci permette comunque di fissare dei limiti attorno ad una media sperimentale x nei quali il valore vero µ si trova con una certa probabilità. Questi limiti sono denominati limiti di fiducia e l intervallo da essi definito è noto come intervallo di fiducia. L estensione dell intervallo di fiducia, che deriva dalla deviazione standard del campione, dipende dall accuratezza di s.
22 I limiti di fiducia definiscono quindi un intervallo attorno ad x che con una certa probabilità contiene µ. Corso di laurea in Tossicologia L intervallo di fiducia è, a sua volta, definito dai limiti di fiducia. Il livello di fiducia fissa i limiti entro cui deve trovarsi il valore vero. L espressione generale per i limiti di fiducia (LF) di una singola misura è data dall equazione: LF per µ = x Per la media di N misure si utilizza l errore standard della media σ/ N al posto di σ, per cui LF per µ = x zσ/ N zσ
23 Corso di laurea in Tossicologia
24 Quando non si conosce σ, ma si dispone di s, che essendo ottenuto da un piccolo insieme di dati, può essere piuttosto incerto e quindi affetto da notevole variabilità. Corso di laurea in Tossicologia Come conseguenza, non disponendo di una buona stima di σ, i limiti di fiducia saranno necessariamente più ampi. Per tenere in considerazione la variabilità di s, si utilizza l importante parametro statistico t (t di Student), definito dall equazione: t = x - µ s Il valore di t dipenderà dal livello di fiducia desiderato ed anche dal numero di gradi di libertà utilizzati nel calcolo di s.
25 Corso di laurea in Tossicologia
26 I limiti di fiducia per la media x di N misure replicate possono essere derivati da t attraverso l equazione: Corso di laurea in Tossicologia LF per µ = x t s N
27 TESTS DI SIGNIFICATIVITÀ Corso di laurea in Tossicologia Definizione di test di significatività: Un test di significatività è un metodo statistico che consente di stabilire se più risultati siano o meno significativamente diversi. Si parte sempre da una ipotesi nulla H 0, che è l ipotesi che non ci sia differenza significativa tra i risultati confrontati. Si stabilisce quindi se l ipotesi nulla è vera o falsa al livello di confidenza scelto.
28 Corso di laurea in Tossicologia Principali test di significatività: t-test per la verifica dell esattezza. F-test per la verifica della precisione. Q-test per la verifica di dati anomali. Test 2 χ per la verifica della normalità di una distribuzione.
29 t-test per il confronto di una media con un valore noto f Corso di laurea in Tossicologia t t oss oss x t tab < t tab > t tab s n x x noto x x + t + t oss x tab s n s n t oss = x noto s l ipotesi nulla è accettata, cioè non vi è differenza significativa tra x e x noto al livello di confidenza scelto. l ipotesi nulla è rigettata, cioè vi è differenza significativa tra x e x noto al livello di confidenza scelto. n x Il livello di confidenza P scelto, ovvero il livello di significatività α scelto, e il valore di n determinano il valore numerico di t tab. Il t-test è un test di esattezza.
30 Corso di laurea in Tossicologia
31 Corso di laurea in Tossicologia
32 Upper critical values of the F distribution For numerator degrees of freedom and denominator degrees of freedom 5% significance level Corso di laurea in Tossicologia
33 Corso di laurea in Tossicologia
34 Corso di laurea in Tossicologia
35 Corso di laurea in Tossicologia
36 k \ α Corso di laurea in Tossicologia
37 Il Metodo dei Minimi Quadrati per la Corso di laurea in Tossicologia realizzazione di Curve di Calibrazione La maggior parte dei metodi analitici è basata su una curva di calibrazione ricavata sperimentalmente, in cui viene riportata una quantità misurata (y) in funzione della concentrazione nota (x) di una serie di standard. y x
38 Corso di laurea in Tossicologia Esiste una tecnica statistica, chiamata Analisi di Regressione, che consente di ottenere tale retta in maniera obiettiva, e di specificare le incertezze associate al suo utilizzo. Normalmente, a causa degli errori indeterminati associati al processo di misurazione, non tutti i punti si trovano esattamente sulla retta. Di conseguenza, è necessario cercare di derivare la retta migliore che interpoli i punti. Consideriamo la procedura di regressione più semplice, il metodo dei minimi quadrati.
39 Corso di laurea in Tossicologia Per applicare questo metodo deve esistere una relazione lineare tra la variabile misurata (y) e la concentrazione dell analita (x). Questa relazione è espressa come: y = a + bx a intercetta (sull asse delle y) b coefficiente di regressione, pendenza della retta La deviazione verticale di un punto dalla retta è chiamato residuo.
40 Corso di laurea in Tossicologia Assorbanza 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, ,5 1 1,5 2 2,5 Concentrazione Residuo = y i (bx i + a) La linea costruita con il metodo dei minimi quadrati è tale da minimizzare la somma dei quadrati dei residui corrispondenti a tutti i punti.
41 Corso di laurea in Tossicologia Si può dimostrare che per l equazione di questa retta, che è del tipo y = a + bx, il coefficiente angolare b (coefficiente di regressione) è dato dalla relazione. b = Σ (x i x) (y i y) Σ (x i x) 2 Dove x i sono tuti i valori della variabile indipendente x ed y i quelli della variabile dipendente y. L intercetta a si ottiene poi dall equazione: a = y - bx
42 Corso di laurea in Tossicologia Per stabilire fino a che punto l equazione di regressione calcolata con il metodo dei minimi quadrati può essere usata al fine di trovare un valore di x conoscendo quello di y, si calcola un particolare parametro, chiamato coefficiente di determinazione. R 2 = [ Σxy (Σx)(Σy)/n ] 2 [ Σx 2 (Σx) 2 /n] [ Σy 2 (Σy) 2 /n] R 2 può assumere valori compresi tra 0 ed 1. Se R 2 = 1 esiste una perfetta relazione lineare fra x ed y, per cui ad un determinato valore di x corrisponde uno ed un solo valore di y.
43 Corso di laurea in Tossicologia La radice quadrata del coefficiente di determinazione è il coefficiente di correlazione: r = R 2 r può assumere valori compresi tra -1 ed +1 Un coefficiente di correlazione > 0,99 viene considerato in indicatore di linearità
44 β-carotene negli oli di semi (λ = 464nm) Corso di laurea in Tossicologia Abs Abs ppm STD 5 3, ,00 STD 4 1, ,00 STD 3 0,3747 2,00 a = 0,01751 STD 2 0,1134 0,50 b = 0,17327 STD 1 0,0412 0,25 r = 0, ,0000 3,5000 3,0000 2,5000 2,0000 1,5000 1,0000 0,5000 0,0000 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 ppm y = 0, ,1733x R 2 = 0,9999
45 β-carotene negli oli di semi (λ = 464nm) Corso di laurea in Tossicologia x = (y - a)/b conc (ppm) = (Abs - 0,0175)/0,1733 Abs ppm girasole 0,0304 0,1 mais 0,1771 0,9 zucca 0,9713 5,5
46 LA SENSIBILITÀ Corso di laurea in Tossicologia La sensibilità di un metodo indica quanto esso sia sensibile alle variazioni di concentrazione di un analita. Può essere individuata attraverso la pendenza (b) della retta.
Ogni misura è composta di almeno tre dati: un numero, un'unità di misura, un'incertezza.
Ogni misura è composta di almeno tre dati: un numero, un'unità di misura, un'incertezza. Misure ripetute forniscono dati numerici distribuiti attorno ad un valore centrale indicabile con un indice (indice
DettagliCHEMIOMETRIA. CONFRONTO CON VALORE ATTESO (test d ipotesi) CONFRONTO DI VALORI MISURATI (test d ipotesi) CONFRONTO DI RIPRODUCIBILITA (test d ipotesi)
CHEMIOMETRIA Applicazione di metodi matematici e statistici per estrarre (massima) informazione chimica (affidabile) da dati chimici INCERTEZZA DI MISURA (intervallo di confidenza/fiducia) CONFRONTO CON
DettagliBreve ripasso di statistica
Breve ripasso di statistica D.C. Harris, Elementi di chimica analitica, Zanichelli, 1999 Capitolo 4 1 Il protocollo analitico Campionamento: 1. estrazione del campione dal lotto 2. conservazione e trasporto
DettagliSperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 2
Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 2 A. Garfagnini M. Mazzocco C. Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova AA 2014/2015 Elementi di Statistica Lezione 2: 1. Istogrammi
DettagliCALCOLO DELL ERRORE E VALUTAZIONE DI UN METODO ANALITICO
CALCOLO DELL ERRORE E VALUTAZIONE DI UN METODO ANALITICO In chimica analitica un settore importante riguarda il calcolo dell errore e la valutazione della significatività di una misura. Generalmente nell
DettagliTOPOGRAFIA 2013/2014. Prof. Francesco-Gaspare Caputo
TOPOGRAFIA 2013/2014 L operazione di misura di una grandezza produce un numero reale che esprime il rapporto della grandezza stessa rispetto a un altra, a essa omogenea, assunta come unità di misura. L
DettagliTeoria e tecniche dei test. Concetti di base
Teoria e tecniche dei test Lezione 2 2013/14 ALCUNE NOZIONI STATITICHE DI BASE Concetti di base Campione e popolazione (1) La popolazione è l insieme di individui o oggetti che si vogliono studiare. Questi
DettagliStatistica di base per l analisi socio-economica
Laurea Magistrale in Management e comunicazione d impresa Statistica di base per l analisi socio-economica Giovanni Di Bartolomeo gdibartolomeo@unite.it Definizioni di base Una popolazione è l insieme
DettagliDispensa di Statistica
Dispensa di Statistica 1 parziale 2012/2013 Diagrammi... 2 Indici di posizione... 4 Media... 4 Moda... 5 Mediana... 5 Indici di dispersione... 7 Varianza... 7 Scarto Quadratico Medio (SQM)... 7 La disuguaglianza
DettagliEsercizi di statistica
Esercizi di statistica Test a scelta multipla (la risposta corretta è la prima) [1] Il seguente campione è stato estratto da una popolazione distribuita normalmente: -.4, 5.5,, -.5, 1.1, 7.4, -1.8, -..
DettagliSignificatività ed analisi degli errori
Significatività ed analisi degli errori Quanto il valore sperimentale è vicino al valore vero? Campioni replicati: si esclude a priori che venga eseguita una sola misurazione Quanto il valore sperimentale
DettagliUniversity of Messina, Italy
TRATTAMENTO E VALUTAZIONE DI DATI STATISTICI Applicazione della statistica alla valutazione dei dati Le applicazioni più comuni della statistica alla chimica analitica sono: Definire l intervallo numerico
DettagliMatematica Lezione 22
Università di Cagliari Corso di Laurea in Farmacia Matematica Lezione 22 Sonia Cannas 14/12/2018 Indici di posizione Indici di posizione Gli indici di posizione, detti anche misure di tendenza centrale,
Dettaglitabelle grafici misure di
Statistica Descrittiva descrivere e riassumere un insieme di dati in maniera ordinata tabelle grafici misure di posizione dispersione associazione Misure di posizione Forniscono indicazioni sull ordine
DettagliSTIME STATISTICHE. Consideriamo il caso della misura di una grandezza fisica che sia affetta da errori casuali. p. 2/2
p. 1/1 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 10/02 14:30 P50 11/02 14:30 Laboratorio (via Loredan) 17/02 14:30 P50 23/02 14:30 P50 25/02 14:30 Aula informatica (6-7 gruppi) 02/03 14:30 P50 04/03
DettagliCorso Di CHIMICA ANALITICA II
Corso Di CHIMICA ANALITICA II CHIMICA ANALITICA QUANTITATIVA: determinazione di una specie chimica in funzione della sua concentrazione. CHIMICO ANALITICO: sviluppare nuovi metodi X analita (CAMPIONE):
DettagliSTATISTICA A K (60 ore)
STATISTICA A K (60 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Richiami sulla regressione Marco Riani, Univ. di Parma 1 MODELLO DI REGRESSIONE y i = a + bx i + e i dove: i = 1,, n a + bx i rappresenta
DettagliUniversity of Messina, Italy
ERRORI CASUALI ELL AALISI CHIMICA Errori casuali Gli errori casuali si incontrano tutte le volte che un sistema di misura viene usato al massimo della sua sensibilità. In queste circostanze i risultati
DettagliCapitolo 8. Intervalli di confidenza. Statistica. Levine, Krehbiel, Berenson. Casa editrice: Pearson. Insegnamento: Statistica
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Casa editrice: Pearson Capitolo 8 Intervalli di confidenza Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Dipartimento di Economia e Management, Università
DettagliNel modello omoschedastico la varianza dell errore non dipende da i ed è quindi pari a σ 0.
Regressione [] el modello di regressione lineare si assume una relazione di tipo lineare tra il valore medio della variabile dipendente Y e quello della variabile indipendente X per cui Il modello si scrive
Dettaglip. 1/2 STIME STATISTICHE Consideriamo il caso della misura di una grandezza fisica che sia affetta da errori casuali.
p. 1/2 STIME STATISTICHE Consideriamo il caso della misura di una grandezza fisica che sia affetta da errori casuali. p. 1/2 STIME STATISTICHE Consideriamo il caso della misura di una grandezza fisica
DettagliRegressione lineare semplice
Regressione lineare semplice Prof. Giuseppe Verlato Sezione di Epidemiologia e Statistica Medica, Università di Verona Statistica con due variabili var. nominale, var. nominale: gruppo sanguigno - cancro
DettagliCorso di Laurea triennale Tecniche della Prevenzione PERCORSO STRAORDINARIO 2007/08. Insegnamento di STATISTICA MEDICA. Modulo II
Università degli Studi di Padova Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea triennale Tecniche della Prevenzione PERCORSO STRAORDINARIO 2007/08 Insegnamento di STATISTICA MEDICA Docente:Dott.ssa Egle
DettagliIntervallo di fiducia del coefficiente angolare e dell intercetta L intervallo di fiducia del coefficiente angolare (b 1 ) è dato da:
Analisi chimica strumentale Intervallo di fiducia del coefficiente angolare e dell intercetta L intervallo di fiducia del coefficiente angolare (b 1 ) è dato da: (31.4) dove s y è la varianza dei valori
DettagliElaborazione statistica di dati
Elaborazione statistica di dati CONCETTI DI BASE DI STATISTICA ELEMENTARE Taratura strumenti di misura IPOTESI: grandezza da misurare identica da misura a misura Collaudo sistemi di produzione IPOTESI:
DettagliTutorato di Chimica Analitica 2016/2017
Tutorato di Chimica Analitica 2016/2017 Friendly reminder La notazione scientifica Modo per indicare un risultato con numerose cifre decimali come prodotto di una potenza di 10 esempio Cifre significative
DettagliLEZIONI IN LABORATORIO Corso di MARKETING L. Baldi Università degli Studi di Milano. Strumenti statistici in Excell
LEZIONI IN LABORATORIO Corso di MARKETING L. Baldi Università degli Studi di Milano Strumenti statistici in Excell Pacchetto Analisi di dati Strumenti di analisi: Analisi varianza: ad un fattore Analisi
DettagliLa variabilità. Dott. Cazzaniga Paolo. Dip. di Scienze Umane e Sociali
Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it Introduzione [1/2] Gli indici di variabilità consentono di riassumere le principali caratteristiche di una distribuzione (assieme alle medie) Le
DettagliMISURE DI SINTESI 54
MISURE DI SINTESI 54 MISURE DESCRITTIVE DI SINTESI 1. MISURE DI TENDENZA CENTRALE 2. MISURE DI VARIABILITÀ 30 0 µ Le due distribuzioni hanno uguale tendenza centrale, ma diversa variabilità. 30 0 Le due
DettagliCorrelazione tra due variabili
Correlazione tra due variabili Federico Plazzi 26 Novembre 2015 Correlazione tra due variabili Correlazione tra due variabili Variabili dipendenti e variabili indipendenti La variabile indipendente è quella
DettagliLaboratorio di Chimica Fisica. Analisi Statistica
Università degli Studi di Bari Dipartimento di Chimica 9 giugno F.Mavelli- Laboratorio Chimica Fisica - a.a. 3-4 F.Mavelli Laboratorio di Chimica Fisica a.a. 3-4 Analisi Statistica dei Dati Analisi Statistica
DettagliContenuto del capitolo
Capitolo 8 Stima 1 Contenuto del capitolo Proprietà degli stimatori Correttezza: E(Stimatore) = parametro da stimare Efficienza Consistenza Intervalli di confidenza Per la media - per una proporzione Come
DettagliOsservazioni e Misura. Teoria degli errori
Osservazioni e Misura ella misura di una grandezza fisica gli errori sono inevitabili. Una misura non ha significato se non viene stimato l errore. Teoria degli errori La teoria degli errori cerca di trovare
DettagliStatistica Elementare
Statistica Elementare 1. Frequenza assoluta Per popolazione si intende l insieme degli elementi che sono oggetto di una indagine statistica, ovvero l insieme delle unità, dette unità statistiche o individui
DettagliTEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA, IL CALCOLO DELLE INCERTEZZE
TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA, IL CALCOLO DELLE INCERTEZZE Errore di misura è la differenza fra l indicazione fornita dallo strumento e la dimensione vera della grandezza. Supponendo che la grandezza vera
DettagliUniversity of Messina, Italy
ERRORI CASUALI NELL ANALISI CHIMICA 1 Errori casuali Gli errori casuali si incontrano tutte le volte che un sistema di misura viene usato al massimo della sua sensibilità. In queste circostanze i risultati
DettagliSCHEDA DIDATTICA N 7
FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE CORSO DI IDROLOGIA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N 7 LA DISTRIBUZIONE NORMALE A.A. 01-13 La distribuzione NORMALE Uno dei più importanti
Dettaglile scale di misura scala nominale scala ordinale DIAGNOSTICA PSICOLOGICA lezione si basano su tre elementi:
DIAGNOSTICA PSICOLOGICA lezione! Paola Magnano paola.magnano@unikore.it si basano su tre elementi: le scale di misura sistema empirico: un insieme di entità non numeriche (es. insieme di persone; insieme
DettagliBLAND-ALTMAN PLOT. + X 2i 2 la differenza ( d ) tra le due misure per ognuno degli n campioni; d i. X i. = X 1i. X 2i
BLAND-ALTMAN PLOT Il metodo di J. M. Bland e D. G. Altman è finalizzato alla verifica se due tecniche di misura sono comparabili. Resta da comprendere cosa si intenda con il termine metodi comparabili
DettagliParametri di qualità dei dati analitici
Parametri di qualità dei dati analitici 1 Ogni misurazione è affetta da incertezze che possono essere minimizzate ma mai eliminate. I dati di una misurazione possono fornire solo una stima del valore vero
DettagliΣ (x i - x) 2 = Σ x i 2 - (Σ x i ) 2 / n Σ (y i - y) 2 = Σ y i 2 - (Σ y i ) 2 / n. 13. Regressione lineare parametrica
13. Regressione lineare parametrica Esistono numerose occasioni nelle quali quello che interessa è ricostruire la relazione di funzione che lega due variabili, la variabile y (variabile dipendente, in
DettagliNote sulla probabilità
Note sulla probabilità Maurizio Loreti Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Padova Anno Accademico 2002 03 1 La distribuzione del χ 2 0.6 0.5 N=1 N=2 N=3 N=5 N=10 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15
DettagliLA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
p. 1/2 LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS Osservando gli istogrammi delle misure e degli scarti, nel caso di osservazioni ripetute in identiche condizioni Gli istogrammi sono campanulari e simmetrici,
Dettaglidistribuzione normale
distribuzione normale Si tratta della più importante distribuzione di variabili continue, in quanto: 1. si può assumere come comportamento di molti fenomeni casuali, tra cui gli errori accidentali; 2.
DettagliSeconda Lezione. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA
Seconda Lezione "Educare significa aiutare l'animo dell'uomo ad entrare nella totalità della realtà. Non si può però educare se non rivolgendosi alla libertà, la quale definisce il singolo, l'io. Quando
DettagliIndice. centrale, dispersione e forma Introduzione alla Statistica Statistica descrittiva per variabili quantitative: tendenza
XIII Presentazione del volume XV L Editore ringrazia 3 1. Introduzione alla Statistica 5 1.1 Definizione di Statistica 6 1.2 I Rami della Statistica Statistica Descrittiva, 6 Statistica Inferenziale, 6
DettagliL'analisi bivariata (analisi della varianza e correlazione) Prof. Stefano Nobile. Corso di Metodologia della ricerca sociale
L'analisi bivariata (analisi della varianza e correlazione) Prof. Stefano Nobile Corso di Metodologia della ricerca sociale L analisi della varianza (ANOVA) La tecnica con cui si esplorano le relazioni
DettagliCORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA. LEZIONI DI STATISTICA Parte II Elaborazione dei dati Variabilità
CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA LEZIONI DI STATISTICA Parte II Elaborazione dei dati Variabilità Lezioni di Statistica VARIABILITA Si definisce variabilità la proprietà di alcuni fenomeni di assumere
DettagliStatistica. Alfonso Iodice D Enza
La per Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@gmail.com Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 1 Outline 1 La La per () Statistica 2 / 1 Outline La per 1 La 2 per () Statistica 2 / 1 Outline
DettagliCorrelazione e regressione
Correlazione e regressione Correlazione 1 Come posso determinare il legame tra due o più variabili? Correlazione COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE (r di Pearson) massimo consumo di ossigeno e prestazione nelle
DettagliTest delle Ipotesi Parte I
Test delle Ipotesi Parte I Test delle Ipotesi sulla media Introduzione Definizioni basilari Teoria per il caso di varianza nota Rischi nel test delle ipotesi Teoria per il caso di varianza non nota Test
DettagliVerifica delle ipotesi
Statistica inferenziale Stima dei parametri Verifica delle ipotesi Concetti fondamentali POPOLAZIONE o UNIVERSO Insieme degli elementi cui si rivolge il ricercatore per la sua indagine CAMPIONE Un sottoinsieme
DettagliTutta la scienza è fondata sulle misure (Helmholtz)
Tutta la scienza è fondata sulle misure (Helmholtz) L acquisizione di una osservazione come DATO SCIENTIFICO richiede che : osserviamo un fenomeno lo quantifichiamo correttamente lo confrontiamo con altri
DettagliTRATTAMENTO DEI DATI ANALITICI
TRATTAMENTO DEI DATI ANALITICI I compiti del chimico analista vanno oltre la corretta esecuzione di una metodica analitica. Sono altrettanto importanti i passi successivi: Registrazione accurata dei dati
DettagliDistribuzione normale
Distribuzione normale istogramma delle frequenze di un insieme di misure relative a una grandezza che varia con continuità popolazione molto numerosa, costituita da una quantità praticamente illimitata
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale a) L Intervallo di Confidenza b) La distribuzione t di Student c) La differenza delle medie d) L intervallo di confidenza della differenza Prof Paolo Chiodini Dalla Popolazione
DettagliIndici di. tendenza centrale: posizione: variabilità e dispersione: -quantili -decili -percentili. -Media -Moda -Mediana
Indici di posizione: -quantili -decili -percentili tendenza centrale: -Media -Moda -Mediana variabilità e dispersione: -Devianza - Varianza -Deviazione standard Indici di tendenza centrale Indici di tendenza
DettagliElementi di Psicometria (con laboratorio software 1)
Elementi di Psicometria (con laboratorio software 1) 05-La verifica delle ipotesi con le medie dei campioni (v. 1.0, 15 aprile 2019) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia,
DettagliPAROLE CHIAVE Accuratezza, Accuracy, Esattezza, PRECISIONE, Precision, Ripetibilità, Affidabilità, Reliability, Scarto quadratico medio (sqm), Errore
PAROLE CHIAVE Accuratezza, Accuracy, Esattezza, PRECISIONE, Precision, Ripetibilità, Affidabilità, Reliability, Scarto quadratico medio (sqm), Errore medio, Errore quadratico medio (eqm), Deviazione standard,
DettagliCompiti tematici dai capitoli 2,3,4
Compiti tematici dai capitoli 2,3,4 a cura di Giovanni M. Marchetti 2016 ver. 0.8 1. In un indagine recente, i rispondenti sono stati classificati rispetto al sesso, lo stato civile e l area geografica
DettagliESEMPI DI DOMANDE PER LA PROVA SCRITTA DI STATISTICA SOCIALE
ESERCITAZIONE DI FINE CORSO ESEMPI DI DOMANDE PER LA PROVA SCRITTA DI STATISTICA SOCIALE 1. Si prenda in esame la seguente tabella che riporta la suddivisione di una popolazione femminile per titolo di
DettagliMedia: è la più comune misura di tendenza centrale. Può essere calcolata per variabili numeriche.
Misure di tendenza centrale e di variabilità: Media: è la più comune misura di tendenza centrale. Può essere calcolata per variabili numeriche. Il valore medio di una variabile in un gruppo di osservazioni
DettagliDistribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto -
Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto - Nell ipotesi che i dati si distribuiscano seguendo una curva Gaussiana è possibile dare un carattere predittivo alla deviazione standard La prossima misura
Dettagliper togliere l influenza di un fattore es.: quoziente di mortalità = morti / popolazione
Rapporti statistici di composizione la parte rispetto al tutto percentuali di derivazione per togliere l influenza di un fattore es.: quoziente di mortalità = morti / popolazione di frequenza (tassi) rapporti
DettagliRICHIAMI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
UNIVERSITA DEL SALENTO INGEGNERIA CIVILE RICHIAMI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ing. Marianovella LEONE INTRODUZIONE Per misurare la sicurezza di una struttura, ovvero la sua affidabilità, esistono due
DettagliSTATISTICA. Esercitazione 5
STATISTICA Esercitazione 5 Esercizio 1 Ad un esame universitario sono stati assegnati in modo casuale due compiti diversi con i seguenti risultati: Compito A Compito B Numero studenti 102 105 Media dei
DettagliUniversità del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia. Corso di Statistica Medica. Correlazione. Regressione Lineare
Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia Corso di Statistica Medica Correlazione Regressione Lineare Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione
DettagliIl metodo dei minimi quadrati. Molto spesso due grandezze fisiche x e y, misurabili direttamente, sono legate tra loro da una legge del tipo:
Il metodo dei minimi quadrati Molto spesso due grandezze fisiche x e y, misurabili direttamente, sono legate tra loro da una legge del tipo: Dove A e B sono costanti y = A + Bx (ad esempio in un moto uniformemente
DettagliCapitolo 12 La regressione lineare semplice
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Facoltà di Ingegneria, Università
DettagliAPPLICAZIONE DELLA DEVIATA GAUSSIANA STANDARD
APPLICAZIONE DELLA DEVIATA GAUSSIANA STANDARD In una popolazione di ragazze di età inclusa tra i 18 e i 25 anni, la concentrazione di emoglobina nel sangue (x) approssima la distribuzione gaussiana con
Dettaglilezione 4 AA Paolo Brunori
AA 2016-2017 Paolo Brunori dove eravamo arrivati - abbiamo individuato la regressione lineare semplice (OLS) come modo immediato per sintetizzare una relazione fra una variabile dipendente (Y) e una indipendente
DettagliL analisi dei dati. Primi elementi. EEE- Cosmic Box proff.: M.Cottino, P.Porta
L analisi dei dati Primi elementi Metodo dei minimi quadrati Negli esperimenti spesso si misurano parecchie volte due diverse variabili fisiche per investigare la relazione matematica tra le due variabili.
DettagliStatistica descrittiva II
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 009/010 C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica Statistica descrittiva II Ines Campa Probabilità e Statistica - Esercitazioni
DettagliVogliamo determinare una funzione lineare che meglio approssima i nostri dati sperimentali e poter decidere sulla bontà di questa approssimazione.
S.S.I.S. TOSCANA F.I.M. II anno FUNZIONI DI REGRESSIONE E METODO DEI MINIMI QUADRATI Supponiamo di star conducendo uno studio sulla crescita della radice di mais in funzione del contenuto di saccarosio
DettagliCapitolo 3 Sintesi e descrizione dei dati quantitativi
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 3 Sintesi e descrizione dei dati quantitativi Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in "Scienze e tecnologie Alimentari" Unità
DettagliEsercitazione: La distribuzione NORMALE
Esercitazione: La distribuzione NORMALE Uno dei più importanti esempi di distribuzione di probabilità continua è dato dalla distribuzione Normale (curva normale o distribuzione Gaussiana); è una delle
DettagliEsercitazione del
Esercizi sulla regressione lineare. Esercitazione del 21.05.2013 Esercizio dal tema d esame del 13.06.2011. Si consideri il seguente campione di n = 9 osservazioni relative ai caratteri ed Y: 7 17 8 36
DettagliLa regressione lineare semplice
La regressione lineare semplice Il modello di regressione lineare semplice - 1 y = β 0 + βx + ε 10 8 Una retta nel piano Variabile Y 6 4 2 0 0 1 2 3 4 Variabile X 1 Il modello di regressione lineare semplice
DettagliPsicometria con Laboratorio di SPSS 2
Psicometria con Laboratorio di SPSS 2 Regressione lineare semplice (vers. 1.2, 20 marzo 2018) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca 2017-18
DettagliCorso di Laurea: Numero di Matricola: Esame del 31 maggio 2018 Tempo consentito: 120 minuti
Corso di Laurea: Numero di Matricola: Esame del 31 maggio 2018 Tempo consentito: 120 minuti Professor Paolo Vitale Anno Accademico 2017-8 UdA, Scuola d Economia Domanda 1 [6 punti]. (a) La multi-collineartità
Dettaglihttp://www.biostatistica.unich.it 1 STATISTICA DESCRITTIVA Le misure di tendenza centrale 2 OBIETTIVO Individuare un indice che rappresenti significativamente un insieme di dati statistici. 3 Esempio Nella
DettagliUniversità di Pavia Econometria. Richiami di Statistica. Eduardo Rossi
Università di Pavia Econometria Richiami di Statistica Eduardo Rossi Università di Pavia Campione casuale Siano (Y 1, Y 2,..., Y N ) variabili casuali tali che le y i siano realizzazioni mutuamente indipendenti
DettagliBIN = 15 um l [um] Minimum um. Data_31misure_ l [um] Maximum Points 102, , um 1.3 um
1 2 Data_31misure_070318 BIN = 15 um Minimum 80 Maximum Sum 120 3176,7 Points Mean Median 31 102,47419 102,9 102.5 um RMS Std Deviation Variance Std Error 102,7225 7,2559846 52,649312 1,3032133 7.3 um
DettagliTipi di variabili. Indici di tendenza centrale e di dispersione
Tipi di variabili. Indici di tendenza centrale e di dispersione L. Boni Variabile casuale In teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o random variable)
DettagliAnalisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri
Analisi degli Errori di Misura 08/04/2009 G.Sirri 1 Misure di grandezze fisiche La misura di una grandezza fisica è descrivibile tramite tre elementi: valore più probabile; incertezza (o errore ) ossia
DettagliStatistica. Capitolo 12. Regressione Lineare Semplice. Cap. 12-1
Statistica Capitolo 1 Regressione Lineare Semplice Cap. 1-1 Obiettivi del Capitolo Dopo aver completato il capitolo, sarete in grado di: Spiegare il significato del coefficiente di correlazione lineare
DettagliTeorema del limite centrale TCL Questo importante teorema della statistica inferenziale si applica a qualsiasi variabile aleatoria che sia combinazion
Teorema del limite centrale TCL Questo importante teorema della statistica inferenziale si applica a qualsiasi variabile aleatoria che sia combinazione lineare di N variabili aleatorie le cui funzioni
DettagliRegressione Lineare Semplice e Correlazione
Regressione Lineare Semplice e Correlazione 1 Introduzione La Regressione è una tecnica di analisi della relazione tra due variabili quantitative Questa tecnica è utilizzata per calcolare il valore (y)
DettagliIL PALLINOMETRO SCOPO
IL PALLINOMETRO SCOPO Verifica del fatto che gli errori casuali nella misura di una grandezza fisica ripetuta molte volte nelle stesse condizioni sperimentali seguono la distribuzione normale di Gauss.
DettagliStatistica Descrittiva Soluzioni 6. Indici di variabilità, asimmetria e curtosi
ISTITUZIONI DI STATISTICA A A 2007/2008 Marco Minozzo e Annamaria Guolo Laurea in Economia del Commercio Internazionale Laurea in Economia e Amministrazione delle Imprese Università degli Studi di Verona
DettagliEsperimentazioni di Fisica 1. Prova in itinere del 12 giugno 2018
Esperimentazioni di Fisica 1 Prova in itinere del 1 giugno 018 Esp-1 Prova in Itinere n. - - Page of 6 1/06/018 1. (1 Punti) Quesito L incertezza da associare alle misurazioni eseguite con un certo strumento
Dettagli7. STATISTICA DESCRITTIVA
7. STATISTICA DESCRITTIVA Quando si effettua un indagine statistica si ha a che fare con un numeroso insieme di oggetti, detto popolazione del quale si intende esaminare una o più caratteristiche (matricole
DettagliProgrammazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva
Fondamenti di Informatica Ester Zumpano Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva Lezione 5 Statistica descrittiva La statistica descrittiva mette a disposizione il calcolo di
DettagliESERCIZI TRATTAMENTO DEI DATI ANALITICI
ESERCIZI TRATTAMENTO DEI DATI ANALITICI A SPUNTI DI RIFLESSIONE l. Qual è la differenza fra varianza e deviazione standard? Qual è la loro utilità pratica ai fini analitici? 2. Stabilire quante cifre significative
Dettagli