Interpolazione e approssimazione polinomiale

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1 Interpolzione e pprossimzione polinomile prof. Michele Impedovo L mtemtic è un prte dell fisic. L mtemtic è quell prte dell fisic dove gli esperimenti costno poco. Vldimir Arnold Sull insegnmento dell mtemtic Russin Mth. Surveys trduzione itlin su Punti Critici II 3 Interpolzione e pprossimzione polinomile Introduzione.... Interpolzione Mtrici e sistemi lineri...3. Il metodo di Lgrnge Il metodo di Newton Interpolzione di un funzione f(x) continu su [, ] Approssimzione I teoremi di Weierstrss e Bernstein L distnz tr due funzioni...13 Distnz d 1 : ƒ( x) p( x) dx...14 Distnz d : ( ƒ( ) ( )) x p x dx...14 Distnz d : mx { ( x) p( x) } x [, ] ƒ Il miglior polinomio secondo l distnz d Il miglior polinomio secondo l distnz d Utilizzre direttmente l definizione L teori dei polinomi ortogonli Minimi qudrti: confronto tr discreto e continuo Il miglior polinomio secondo l distnz d Confronti...31 Conclusioni...3 Biliogrfi...3 1

2 1. Introduzione I prolemi che si vogliono qui ffrontre sono due, en distinti m strettmente correlti: 1) Dti n+1 punti ( x0, y0),( x1, y1),,( xn, yn) determinre un polinomio p(x) di grdo (l più) n tle che soddisfi i punti dti, cioè tle che p( x0) = y0 p( x1) = y1 p( xn) = yn ) Dt un qulsisi funzione ƒ(x) continu su un intervllo I=[, ], determinre l miglior pprossimzione polinomile di grdo n su I. Lo strumento utilizzto è l clcoltrice simolic TI-9, nell mito dell sperimentzione LABCLASS dell Direzione Generle Clssic del MPI. Il prolem è nto un po per gioco e un po per sfid qundo in clsse (terz liceo scientifico), durnte un lezione che vev per oggetto il grfico di sin(x) nell intervllo [0,π/], uno studente si er ostinto sostenere che quell curv fosse un rco di prol. Utilizzndo un progrmm che vevmo sviluppto qulche tempo prim (il progrmm pol(xx,yy) prende in ingresso l list delle scisse e l list delle ordinte di n+1 punti, e fornisce in uscit il polinomio di grdo n) non è stto difficile mostrre llo studente che né l prol per i punti π (0,0),,1, (π,0) né l prol per i punti (0,0), π 1, 4, π,1

3 coincidono con il grfico di sin(x). Più in generle: nessun funzione lgeric coincide con un funzione trscendente su un intervllo. È nto llor un prolem più generle: se nessun prol può sovrpporsi l grfico di un funzione trscendente, qul è l funzione del tipo x x +x+c che pprossim sin(x) su [0,π/] meglio di qulunque ltr? L introduzione di strumenti informtici nell insegnmento dell mtemtic e in prticolre l utilizzo di CAS (Computer Alger System) permette nche nell insegnmento secondrio di ffrontre prolemi, come questo, di un cert complessità; gli strumenti di progrmmzione offerti dll TI-9 consentono di svolgere un ttività di ricerc che fvorisce il nscere di congetture, prove ed errori, verifiche e flsificzioni. Quello che segue non vuole essere in nessun modo un sggio di mtemtic, m solo un ingenuo e lcunoso resoconto dei risultti rggiunti con gli studenti (per esempio mnc il tem dell mggiorzione dell errore). Sono risultti clssici e en noti gli specilisti; nell scuol secondri tuttvi non vengono solitmente trttti. L esigenz di ggiornre i curriculum di mtemtic (e di conseguenz le prove di vlutzione) ci h spinto trttre questo prolem nell prospettiv di proporre nuove forme di verifiche scritte, più perte di quelle trdizionli, in cui si lscito un certo spzio ll congettur, ll ricerc e, perché no, ll cretività.. Interpolzione Sino dti n+1 punti di coordinte ( x, y ) i i, i=0, 1,, n. Come dimostreremo tr reve, se le scisse dei punti sono tutte distinte llor esiste ed è unico il polinomio p n (x) di grdo n (l più n, nel seguito trlsceremo quest preciszione) che soddisf i punti dti. Si trtt di un prolem clssico, che mmette un grn numero di procedure risolutive. Alcune di esse si prestno in modo prticolre d essere implementte in un progrmm; voglimo occuprci di questo spetto, quello più strettmente lgoritmico. Si propongono tre metodi (e tre progrmmi), tutti reltivmente semplici (cioè ll portt di uno studente di triennio) m l contempo significtivi per risolvere il prolem. In ciscuno dei tre progrmmi vengono fornite in ingresso due liste (le scisse e le ordinte dei punti) e in uscit si ottiene il polinomio richiesto..1 Mtrici e sistemi lineri Determinre il polinomio di grdo n che soddisf n+1 punti ( x, y ) il sistem linere x + x + + x + = y x x x y x + x + + x + = y nelle incognite 0, 1,, n. In notzione mtricile: n n 1 n 0 n n n 1 n 1 + n = 1 n n 1 n n n 1 n 1 n 0 n i i, i=0, 1,, n signific risolvere 3

4 n x0 x0 1 n y0 n x1 x1 1 = y 1 n 1 n xn xn 1 0 yn M =, dove M è l mtrice dei coefficienti, è il vettore colonn delle incognite, è il vettore colonn dei termini noti. Non è difficile dimostrre che il determinnte dell mtrice M è ugule l prodotto di tutti i fttori ( x x ) h con h k; se le scisse sono due due distinte llor tle determinnte è k sempre diverso d 0 e il sistem mmette un ed un sol soluzione: il polinomio richiesto esiste ed è unico. L TI-9, come qulunque CAS, possiede un funzione predefinit, simult(m,), che prende in ingresso un n n mtrice M, un n 1 vettore, e fornisce in uscit il vettore delle soluzioni. L clcoltrice viene qui ust come lck ox, lo studente s già risolvere un sistem linere con crt e penn. Illustrimo psso-psso il procedimento medinte un esempio: voglimo clcolre il polinomio di terzo grdo che soddisfi i quttro punti ( 1, ), (3,1), (4, 1), (7,4). Eccoli rppresentti nel rettngolo di visulizzzione [,8] [ 5,5]. Definimo innnzitutto le liste delle scisse e delle ordinte, e memorizzimole nelle vriili lx e ly. L TI-9 possiede un uon cpcità di gestione delle liste: in prticolre un operzione su un list viene trdott nell operzione su ciscun elemento dell list. L figur seguente mostr qulche esempio. 4

5 Costruimo dunque l mtrice dei coefficienti: l prim colonn è dt d lx 3, l second colonn d lx, e così vi. Il comndo seq(lx^k,k,3,0, 1) (del tutto nlogo l vector di DERIVE) costruisce, per righe, le successive potenze decrescenti delle scisse. L mtrice dei coefficienti M si ottiene scmindo le righe e le colonne, cioè è l trspost dell mtrice precedente. Poiché l TI-9 distingue tr liste e vettori (i vettori non sono ltro che mtrici un rig, oppure un colonn), per costruire il vettore dei termini noti doimo utilizzre il comndo list mt(ly,1); il prmetro 1 indic il numero di elementi per rig. Finlmente risolvimo il sistem. Si può mostrre gli studenti che si ottiene lo stesso risultto moltiplicndo l mtrice invers di M per. 5

6 Or trsformimo i coefficienti in list: Clcolimo infine il polinomio interpoltore medinte il potente comndo polyevl(l,x) che prende in ingresso un list di n+1 elementi e un vriile e fornisce in uscit il polinomio di grdo n nell vriile dt i cui coefficienti sono, ordintmente, quelli dell list. Verifichimo grficmente che il polinomio p(x) soddisfi le condizioni poste. Il semplice progrmm pol(lx,ly), che implement il procedimento or visto, non f che generlizzre i vri pssggi. 6

7 . Il metodo di Lgrnge Un ltro metodo per ottenere il polinomio interpoltore di n+1 punti, più efficiente del precedente dl punto di vist lgoritmico, si deve Lgrnge (Joseph-Louis Lgrnge ). Sino (x 0, y 0 ),, (x n, y n ) gli n+1 punti dti, con l ipotesi se h k llor x h x k. Chimimo polinomi di Lgrnge quei polinomi L k (x) di grdo k, per k = 0, 1,, n che vlgono 0 in tutti gli x i se i k, e vlgno 1 in x k. Il generico polinomio di Lgrnge h quindi l form dove k, ffinché L k (x k )=1 deve vlere L k (x) := ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) k 0 1 k 1 k+ 1 n k = ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) 1 k 0 k 1 k k 1 k k+ 1 k n Dunque, per ogni k = 0, 1,, n definimo L k ( x x0)( x x1) ( x xk 1)( x xk+ 1) ( x xn) (x) := x x0 x x1 x x 1 x x + 1 x x È immedito dimostrre che il polinomio di grdo n ( )( ) ( )( ) ( ) k k k k k k k n p(x) := n i= 0 yl( x) i i =. x x n i. i= 0, i k xk xi interpol gli n+1 punti dti. Inftti per ogni x k l unico termine non nullo dell sommtori è p(x k ) = y k L k (x k ) = y k. Costruimo il progrmm lgrnge(xx,yy) che, come il precedente, prende in ingresso le liste di scisse e ordinte e fornisce in uscit il polinomio interpoltore. Mettimo ll prov il progrmm con l esempio dei quttro punti già trttto: ( 1, ), (3,1), (4, 1), (7,4)..3 Il metodo di Newton È noto come metodo di Newton (Isc Newton ) l lgoritmo più diretto e semplice (nche con crt e penn!) per determinre il polinomio di grdo n che interpol n+1 punti. Il pregio di questo lgoritmo consiste nel ftto che se si ggiunge un nuovo punto (e quindi si ument di 1 il grdo del polinomio) non occorre, come per gli ltri metodi, ricomincire tutto d cpo, è sufficiente sommre il nuovo contriuto. x, y, x, y,, x, y i punti dti. Il polinomio costnte Sino ( ) ( ) ( ) n n 7

8 p0( x) = y0 soddisf il primo punto (vle y 0 in x 0 ) m non il secondo; llor ggiungimo p 0 un nuovo termine, che vlg 0 in x 0 (in modo d slvgurdre il risultto precedente), ottenendo un polinomio p 1 : p1( x) = y0 + t1( x x0) Imponendo p1( x1) = y1 si determin t 1. Or p 1 (x) soddisf i primi due punti m non il terzo. Doimo ggiungere un termine che vlg 0 si in x 0 che in x 1 : p( x) = y0 + t1( x x0) + t( x x0)( x x1) e imporre p( x) = y per determinre t, e così vi fino l polinomio p n (x). Riprendimo ncor l esempio dei quttro punti ( 1, ), (3,1), (4, 1), (7,4). Ottenimo successivmente: p0( x ) = p ( x) = + t x ( ) p1(3) = + 4t1 = 1 t 1 = p( x) = + ( x+ 1) + t( x+ 1)( x 3) p(4) = + + 5t = 1 t = p3( x) = + ( x+ 1) ( x+ 1)( x 3) + t3( x+ 1)( x 3)( x 4) p3(7) = t3 = 4 5 t 3 = Quindi p3( x) = + ( x+ 1) ( x+ 1)( x 3) + ( x+ 1)( x 3)( x 4) p3( x) = x x + x Ecco l implementzione dell lgoritmo. I tre lgoritmi hnno divers efficienz computzionle: quello di Newton è nettmente il migliore. Misurimo con un cronometro i tempi di clcolo sull TI-9 per interpolre 11 punti medinte un polinomio di grdo 10. 8

9 pol(xx,yy): lgrnge(xx,yy): newton(xx,yy): 3 s 17 s 8 s.4 Interpolzione di un funzione f(x) continu su [, ] Or che sppimo costruire polinomi per un certo numero di punti possimo scegliere come ordinte dei punti i vlori ssunti d un qulunque funzione. Considerimo un generic funzione continu su un intervllo [, ]. Dividimo (per esempio) l intervllo [, ] in n prti uguli di lunghezz x = medinte i punti di suddivisione equispziti n x 0 =, x 1 = + x, x =+ x,, x n =+n x=. Il polinomio che soddisf gli n+1 punti ( x0, f ( x0) ),( x1, f ( x1) ),,( xn, f ( xn) ) è un polinomio interpoltore (di grdo n) di ƒ(x) su [, ]. Per esempio, considerimo l funzione ƒ(x)=1/x sull intervllo [1, ] e i 3 punti 3 (1, 1),, 3, 1,. L prol interpoltrice p (x) per questi tre punti è quell trtteggit nel grfico, e costituisce già (sull intervllo dto!) un uon pprossimzione. 9

10 Possimo vlutre meglio l ontà dell pprossimzione osservndo il grfico dell curv d errore ƒ(x) p (x) nel rettngolo [1, ] [ 0.0, 0.0]. Utilizzndo uno dei progrmmi già costruiti per l determinzione del polinomio per n+1 punti (per esempio newton) risult fcile implementre un progrmm che prend in ingresso un funzione ƒ(x), gli estremi un intervllo [, ], un numero nturle n e fornisc in uscit il polinomio di grdo n che interpol ƒ(x) sugli n+1 punti equispziti compresi tr e. Clcolimo il polinomio interpoltore di terzo grdo p 3 (x) di 1/x su [1, ] e confrontimo ƒ(x) p (x) con ƒ(x) p 3 (x) nello stesso rettngolo [ 1, ] [ 0.0, 0.0]. L pprossimzione di p 3, è visiilmente migliore di quell di p. Si potree congetturre che l crescere di n il polinomio p n si vvicin indefinitmente ƒ. Tuttvi questo non è vero in generle: esiste il clssico controesempio di Runge (Crle Runge, ) 1 ƒ(x) := 1+ x per il qule il polinomio interpoltore, ll umentre del grdo n (e quindi dei punti in comune con ƒ(x)) present un comportmento ptologico, e nziché vvicinrsi ƒ se ne llontn 1 indefinitmente. Ecco il grfico di nell intervllo [ 4, 4] confrontto prim con con p 6 e poi 1+ x 10

11 con p 8 (i grfici dei polinomi sono trtteggiti). Il rettngolo di visulizzzione è [ 4, 4] [ 0.7, 1.1]. L pprossimzione miglior vicino 0 m peggior gli estremi dell intervllo; tle comportmento 1 è mplificto l crescere di n. Questo è dovuto l ftto che è un funzione continu in R, m 1+ x in C present due singolrità nei punti i e i, entrmi interni l cerchio di rggio 4. Vedimo un ltro esempio: l funzione ƒ(x):=sin(x) nell intervllo [0, π]. Clcolimo i polinomi interpoltori di terzo e quinto grdo. Il polinomio di quinto grdo p 5 (x) è molto vicino sin(x) in [0, π]. Potree essere interessnte confrontre p 5 con T 5, il polinomio di Tylor di ugul grdo con centro in π. Il polinomio T 5 si llontn visiilmente d sin(x) gli estremi dell intervllo [0, π]. Possimo confrontre le curve d errore sin(x) p 5 (x) e sin(x) T 5 (x) (line trtteggit). Il rettngolo di visulizzzione è [0, π] [ 0.03, 0.03]. 11

12 L derenz di T 5 è migliore di p 5 soltnto vicino l centro π. 3. Approssimzione Affrontimo or il secondo prolem: imo un funzione ƒ continu su [, ], voglimo costruire un polinomio che l pprossimi l meglio. Vle l pen di citre suito due risultti fondmentli, che dnno senso e struttur l prolem. 3.1 I teoremi di Weierstrss e Bernstein Teorem di Weierstrss (Krl Weierstrss ). Dt un funzione ƒ(x), continu su un intervllo [, ], per ogni ε>0 esiste un polinomio p(x) tle che per ogni x [, ]. f ( x) p( x) <ε Questo teorem è potentissimo: l sol ipotesi di continuità grntisce l esistenz di un polinomio che è vicino ƒ qunto si vuole. Il secondo risultto è complementre l primo: si trtt di un teorem costruttivo, che esiisce un successione di polinomi che converge ƒ, e l cui dimostrzione è quindi implicitmente un dimostrzione del teorem di Weierstrss. Teorem di Bernstein (Sergi Ntnovich Bernstein ). L successione di polinomi (polinomi di Bernstein) n n k k n k B n (x) := f x ( 1 x) k= 0 k n converge ƒ su [, ], nel senso che per ogni ε>0 esiste un nturle N tle che per ogni n>n e per ogni x [, ] risult f ( x) Bn ( x) <ε. Per l dimostrzione del teorem di Bernstein e del teorem di Weierstrss si ved d esempio [RA],.1. Il progrmm ernstein(f,,,n) fornisce il polinomio di grdo n dell successione. 1

13 Vedimo tle progrmm lle prese con un funzione continu m non derivile su [ 1, 1]: ƒ(x):= x. L importnz teoric del teorem di Bernstein è evidente; differenz dei polinomi di Tylor (ƒ deve essere n volte differenziile) è qui sufficiente l continuità di ƒ. Medinte i polinomi di Bernstein è quindi possiile pprossimre funzioni non derivili. Tuttvi i polinomi di Bernstein non hnno grnde efficienz computzionle, poiché in generle convergono lentmente ƒ(x). 3. L distnz tr due funzioni Tornimo ll domnd inizile: qul è il miglior polinomio p(x) di grdo n che pprossim un dt funzione ƒ(x) continu su un intervllo [,]? Nturlmente doimo dre l definizione di miglior polinomio, e imo diverse possiilità (ddirittur infinite), second di qule strumento dottimo per misurre l distnz tr due funzioni. Scelt un distnz, il miglior polinomio di grdo n che pprossim ƒ(x) in [, ] è il polinomio p(x) (esiste, è unico?) tle che l distnz tr ƒ(x) e p(x) si minim tr tutti i polinomi di grdo n. In effetti quelle che definiremo sono delle vere e proprie distnze tr elementi dello spzio vettorile S delle funzioni continue su [, ], nel senso che per ogni f, g, h S risultno soddisftte le proprietà 1. d(ƒ, g) = d(g, ƒ). d(ƒ, g) = 0 se e solo se ƒ=g 3. d(ƒ, g) d(ƒ, h) + d(h, g) Un modo molto nturle di procedere potree essere quello di misurre l distnz tr due funzioni ƒ(x) e p(x) su [,] medinte l integrle del vlore ssoluto dell differenz: d ( p) ƒ := ƒ( x) p( x) dx 1, Allor il polinomio più vicino ƒ srà quello che (mmesso che esist, che si unico), tr tutti i d ƒ p. polinomi di grdo n, minimizz ( ) 1, Un ltro modo di misurre l distnz tr due funzioni su un intervllo [, ] è quello di trsportre nel continuo il metodo dei minimi qudrti, cioè considerre, l posto dell somm dei qudrti degli scrti d n punti (x i, y i ), l integrle del qudrto di ƒ(x) p(x) su [, ] d ( ƒ p) := ( ƒ( ) ( )), x p x dx, e scegliere come miglior polinomio di grdo n quello che minimizz tle integrle. Un terz scelt per definire l distnz tr due funzioni è quell già vist nei teoremi di Weierstrss e Bernstein: si chiede che ƒ(x) p(x), per ogni x [, ], non superi, in vlore ssoluto, un certo errore. Si definisce così l distnz tr ƒ e p nel seguente modo: 13

14 d mx (ƒ, p) := mx { ƒ( x) p( x) } x [, ] È interessnte notre che le tre distnze così definite sono tutte csi prticolri di un stess distnz definit in funzione di un prmetro α: α d α (ƒ, p) := ( x) p( x) dx α ƒ Con α=1 si ottiene d 1, con α= si ottiene d. L distnz d mx si ottiene per α tendente +. È fcile dimostrre inftti che α α lim dα( ƒ, p) = lim ƒ( x) p( x) dx α + α + = mx { ƒ( x) p( x) }. x [, ] Per questo motivo l distnz d mx viene spesso indict con il simolo d. Rissumendo: Distnz d 1 : ƒ( x) p( x) dx Distnz d : ( ƒ( ) ( )) x p x dx Distnz d : mx { ƒ( x) p( x) } x [, ] 1 Come esempio clcolimo le tre distnze dell funzione ƒ(x):=1/x dl polinomio interpoltore di secondo grdo p(x):= x x+ che imo precedentemente clcolto. 3 6 I primi due integrli non offrono difficoltà. In reltà il primo integrle, l cui funzione integrnd non è derivile in 3/, è ostico per qulsisi sistem di clcolo simolico. L TI-9 pss direttmente in modlità pprossimt. Per l terz distnz osservimo ncor il grfico di ƒ(x) p(x) in [1, ]. Il mssimo di ƒ( x) p( x) è nel minimo reltivo di ƒ(x) p(x), circ x=

15 Confermimo quest nlisi svolt direttmente sul grfico cercndo gli zeri dell derivt prim di ƒ(x) p(x) in [1, ]. In definitiv risult d 1 (ƒ, p) d (ƒ, p) d (ƒ, p) Simo pronti per ffrontre il prolem centrle: clcolre, per ciscun delle tre distnze, il miglior polinomio di grdo fissto n, cioè quello (se esiste e se è unico) che, tr tutti i polinomi di grdo n, minimizz l distnz d ƒ(x). 3.3 Il miglior polinomio secondo l distnz d 1 Dt un funzione ƒ(x) continu su [, ], cerchimo il polinomio p n (x) di grdo n che minimizz l distnz d 1 (ƒ, p):= ƒ( x) p( x) dx. Si dimostr (vedi [RI], 3.1) che, per ogni n, tle polinomio esiste ed è unico. Sotto certe ipotesi di regolrità per l funzione ƒ (per esempio l esistenz dell derivt n+1-esim) il polinomio p n (x) si può clcolre con un semplice lgoritmo. Vle inftti il seguente teorem, dovuto Cheychev (Pfnuty Lvovich Cheyshev, ). Teorem. Il polinomio p n (x) di grdo n che meglio pprossim ƒ(x) su [, ] è il polinomio che interpol ƒ(x) negli n+1 punti di sciss + π x k = + cos k, k = 1,,, n+1. n + In sostnz: si immgini di costruire l semicirconferenz di dimetro [, ] (dunque (+)/ è il centro e ( )/ è il rggio), e di dividerl in n+ rchi uguli medinte n+1 punti di suddivisione. L proiezione dei punti di suddivisione sull sse x ci dà le scisse dei punti di interpolzione. Nelle figure seguenti sono mostrti tli punti nei csi n= e n=3. 15

16 n = n = 3 Non è difficile or implementre il progrmm polfun1(f,,,n) che clcol il miglior polinomio p (x) che pprossim ƒ sull intervllo [, ]. Applichimo il progrmm sin(x) su [0, π/]. Ottenimo p (x) in form simolic e poi in form pprossimt. I due grfici sull intervllo [0, π/] sono qusi sovrpposti: già con il polinomio di secondo grdo (trtteggito nell figur seguente) si ottiene un uon pprossimzione. Forse è più istruttivo osservre l curv d errore sin(x) p (x) nel rettngolo [0, π/] [ 0.03, 0.03]. 16

17 Clcolimo or l distnz d 1 tr sin(x) e p (x). Tle distnz (circ ) è minore rispetto quell che si ottiene per qulunque ltro polinomio di secondo grdo. Per vvicinrci di più sin(x) doimo slire di grdo. Clcolimo p 3 (x). Ecco il grfico di sin(x) p 3 (x) nel rettngolo [0, π/] [ 0.003, 0.003] e il clcolo dell distnz. L pprossimzione è migliort di circ un ordine di grndezz. Possimo confrontre p 3 con il polinomio T 3 di terzo grdo di Tylor, con centro in π/4, punto medio dell intervllo. L distnz d 1 (sin(x), T 3 ) è più che tripl rispetto ll distnz d 1 (sin(x), p 3 ). I grfici di sin(x) p 3 (x) e sin(x) T 3 (x) (trtteggito) nel rettngolo [0, π/] [ ] mettono in luce ncor un volt il ftto che il polinomio di Tylor, che h crttere locle, è più efficiente di p 3 vicino π/4 m è molto meno efficiente di p 3 sull intervllo [0, π/]. 17

18 3.4 Il miglior polinomio secondo l distnz d Voglimo or clcolre il polinomio p n (x) di grdo n che minimizz l distnz x p x dx. d (x):= ( ƒ( ) ( )) Tle distnz tr funzioni trsport nel continuo il clssico procedimento discreto dei minimi qudrti. Anche in questo cso un teorem ci ssicur che il polinomio di grdo n che minimizz l distnz d d ƒ esiste ed è unico. Per determinrlo possimo operre in due modi distinti, che portno llo stesso risultto; voglimo illustrre i due procedimenti sull esempio ƒ(x):= x in [0, 1] Utilizzre direttmente l definizione Si deve minimizzre l funzione 1 S(,, c) := ( ) Clcolimo l espressione di S e memorizzimol in s. 0 x x x c dx. Per determinre il minimo di S, clcolimo le tre derivte przili rispetto,, c e memorizzimo nelle vriili eq1, eq, eq3 le reltive equzioni che le nnullno. Risolvimo infine il sistem (linere, dto che S è qudrtico in,, c) delle tre equzioni. Si ottiene il polinomio p (x) := x + x Ecco i grfici di ƒ e p (nel rettngolo [0, 1] [0, 1])e di ƒ p (nel rettngolo [0, 1] [ 0.1, 0.1]. 18

19 Come si vede c è un errore non trscurile in 0, dove l pendenz di ƒ tende. È fcilmente implementile un progrmm polfun1 che clcoli p (x). Verifichimo l correttezz del progrmm. Clcolimo l distnz d di p (x) d x. Risult d (ƒ, p ) 0.0. Il CAS dell TI-9 non è sofisticto come quello di Mple o di Mthemtic; in prticolre è ssi lorioso (m non impossiile) definire un numero di vriili (i coefficienti del polinomio) che si funzione di un prmetro dto in ingresso (il grdo). Quindi non è semplice costruire un progrmm per clcolre i polinomi di qulsisi grdo; d ltr prte se si vuole clcolre p n (x) si può modificre fcilmente il progrmm polfun1, come illustrno le figure seguenti, in cui viene clcolto p 3 (x). Risult d (ƒ, p 3 ) 0.01: l distnz è qusi dimezzt. Possimo nche in questo cso confrontre p 3 (x) con T 3 (x) (trtteggito), il polinomio di Tylor con centro in 1/, punto medio dell intervllo. I grfici di x p 3 e x T 3 sono trcciti nel rettngolo [0, 1] [ ]. 19

20 L distnz d ( x, T 3 ) è en mggiore dell distnz d ( x, p 3 ) L teori dei polinomi ortogonli È possiile trttre le funzioni come vettori? Che senso h prlre di funzioni perpendicolri? Prtimo d un esempio significtivo. Lo spzio tridimensionle euclideo mmette come modello lo spzio vettorile R 3 dotto di prodotto sclre: sono definite le operzioni di somm v+w di due vettori, il multiplo rele kv di un vettore e il prodotto sclre v w di due vettori. Se v=[x 1, y 1, z 1 ], w=[x, y, z ] llor 1) v+w := [x 1 +x, y 1 +y, z 1 +z ] ) kv := [kx 1, ky 1, kz 1 ] 3) v w := x 1 x +y 1 y +z 1 z Le operzioni godono delle note proprietà. Due vettori v e w sono prlleli se esiste k R tle che v=kw. Due vettori v e w sono perpendicolri se v w = 0. L lunghezz (norm) di un vettore può essere definit medinte il prodotto sclre: v = v v. L ngolo convesso α tr due vettori non nulli è univocmente determinto e risult v w = v w cos( α). L proiezione ortogonle v* di un vettore v su un vettore w (cioè su un sottospzio di dimensione 1) si ottiene nel seguente modo: v cos( α) v w cos( α) v w v* = w = w = w w w w w w. Per esempio l proiezione ortogonle di v=[1,, 3] su w=[, 5, 1] è il vettore v* = [ 1,, 3 ] [, 5,1 ] w = 1 [,5,1] [,5,1] w = 5 1 1,,. Il vettore v* è il vettore prllelo w più vicino v, nel senso che v v * v x per ogni x prllelo w. L proiezione ortogonle di un vettore su un pino (cioè su un sottospzio di dimensione, generto d due vettori non prlleli; tle coppi di vettori è un se del sottospzio) è più compless, m tutto si semplific se conoscimo un se ortogonle del sottospzio, cioè un 0

21 coppi di vettori v e w tr loro ortogonli: v w = 0. In questo cso l proiezione * di sul pino generto d v e w è l somm delle proiezioni ortogonli: v w * = v+ w v v w w Per esempio, clcolimo l proiezione ortogonle * del vettore =[1,, 3] sul pino generto d v=[, 5, 1] e w=[, 1, 1] (i vettori v e w sono ortogonli). * = [ 1,,3 ] [,5, 1 ] [,5, 1] [,5, 1] v + [ 1,,3 ] [,1,1 ] w [,1,1] [,1,1] = 9 v+ 3 w 30 6 = 3 [,5, 1] + 1 [,1,1] 10 1 =,, 5 5 Il vettore * è il vettore del pino generto dlle cominzioni lineri di v e w più vicino, nel senso che * x per ogni x = v+w. Pssimo or prlre degli stessi concetti in termini di funzioni. L insieme delle funzioni continue su [, ] costituisce uno spzio vettorile rele C[, ] (di dimensione infinit) rispetto lle operzioni (ƒ 1 +ƒ )(x) := ƒ 1 (x)+ƒ (x) (kƒ)(x) := kƒ(x) Inftti se ƒ 1 e ƒ sono continue su [, ] sono continue nche ƒ 1 +ƒ e kƒ. Nello spzio C[, ] possimo considerre il sottospzio P dei polinomi di grdo minore o ugule : P := {x +x+c:,,c R} (più in generle possimo considerre P n, il sottospzio dei polinomi di grdo minore o ugule n: per semplicità limitimoci n=, l generlizzzione srà immedit). Il sottospzio P h dimensione finit ugule 3: un se è per esempio {1, x, x }, nel senso che qulunque polinomio x +x+c di P si ottiene come cominzione linere dei vettori dell se. Or in C[, ] introducimo un prodotto sclre, che è l nlogo (discreto continuo) del prodotto sclre in R 3 ; d un somm di prodotti si sostituisce l integrle del prodotto: 1

22 ƒ 1 ƒ := ƒ1( x) ƒ( x) dx È semplice verificre che sono verificte le proprietà del prodotto sclre: 1) se ƒ 0 llor ƒ ƒ > 0 ) ƒ 1 ƒ = ƒ ƒ 1 3) (ƒ 1 + ƒ ) ƒ 3 = (ƒ 1 ƒ 3 ) + (ƒ ƒ 3 ) 4) (kƒ 1 ) ƒ = k (ƒ 1 ƒ ) L possiilità di definire un prodotto sclre permette in modo nturle di definire l norm di un funzione e l distnz tr due funzioni, che coincide con l distnz d : ƒ := d (ƒ 1, ƒ ) = 1 ƒ( x) dx ƒ ƒ = ( ƒ ( ) ƒ ( )) x x dx 1 Or l situzione è quest: imo un vettore-funzione di C[, ], l funzione ƒ(x), e imo il sottospzio P delle funzioni polinomili di secondo grdo. Cerchimo, in P, il vettore-polinomio più vicino ƒ, cioè quel vettore p tle che ƒ p ƒ p per ogni p P. È ellissimo pensre i polinomi come se fossero vettori geometrici! Bene: il polinomio p non è ltro che l proiezione ortogonle di ƒ su P. Tutto quello che ci serve è un se ortogonle { 0, 1, } di P. Un volt trovt quell srà immedito clcolre p : ƒ 0 ƒ 1 ƒ ƒ i p = = i i= 0 i i L se {1, x, x } non è ortogonle; inftti il prodotto sclre tr 1 e x (per esempio) non è nullo: 1 x = 1xdx =. Tutto ciò che doimo fre or è procurrci un se ortogonle di P. A questo scopo chimeremo in cus i polinomi di Legendre (Adrien-Mrie Legendre, ), vedi per esempio [RI].4, [FL] 5.3. Il polinomio di Legendre di grdo n reltivo ll intervllo [, ] è così definito: n d n L(n) := (( x n )( x ) ). dx L crtteristic dei polinomi di Legendre che noi interess è che essi sono due due ortogonli rispetto l prodotto sclre definito precedentemente. Più precismente: se h k llor L(h) L(k) = LhLk ( ) ( ) dx= 0. I polinomi di Legendre di grdi 0, 1, sono rispettivmente

23 L(0) = 1 L(1) = x L() = 1x 1(+)x Aimo or tutti gli strumenti che ci servono: l proiezione ortogonle di ƒ su P è il polinomio () ƒ Li () ƒ Lidx p (x) = Li () = () i= 0 Li () Li () Li i= 0 Li dx Tutti i discorsi svolti per P possono essere immeditmente generlizzti P n : () n n ƒ Li () ƒ Lidx p n (x) := Li () = () i= 0 Li () Li () Li. i= 0 Li dx Ecco finlmente il semplicissimo (un rig soltnto!) progrmm polfun(f,,,n) che clcol p n (x) per ƒ(x) nell intervllo [, ]. () () Verifichimo l correttezz del progrmm sull esempio già svolto: ƒ(x):= x in [0, 1]. Ritrovimo i risultti p (x) e p 3 (x) già ottenuti Minimi qudrti: confronto tr discreto e continuo È interessnte osservre che, sotto opportune ipotesi (lrgmente soddisftte dlle funzioni continue più comuni), il discreto tende l continuo! Precismente: l prol di regressione che interpol x, f x, cioè l prol che minimizz l somm ( i i ) ƒ(x) su m punti equispziti ( ) m ( ƒ( x ) ) i xi xi c, i= 1 l crescere di m tende ll funzione polinomile p (x), cioè l prol che minimizz l integrle ( ƒ( ) ) x x x c dx. L TI-9, in miente Dt Mtrix Editor, clcol l miglior funzione qudrtic di un set di punti. Aprimo un Dt, mettimo nell colonn c1 solo il numero m. Nell intestzione di colonn c inserimo il comndo seq(k/c1[1],k,0,c1[1]) 3

24 che cre l list delle scisse; nell intestzione di colonn c inserimo il comndo c che cre l list delle ordinte. Per esempio, con c1[1]=0 si ottengono le liste delle scisse e ordinte di 1 punti c:= 0,,,,, c3:= 0,,,,, Il menù F5, Clc, QudReg ci permette di clcolre rpidmente il polinomio dei minimi qudrti di secondo grdo reltivo i 1 punti elencti in c e in c3. È il polinomio 0.699x +1.54x Or umentimo il numero di punti. In c1[1] inserimo 50, poi 100, poi 00. Seppure lentmente, i polinomi che ottenimo convergono p (x) già trovto. L convergenz è molto lent: con 1001 punti ottenimo un polinomio (clcolto con Mple) i cui coefficienti hnno soltnto le prime due cifre decimli estte. 4

25 Tle lentezz di convergenz ci permette di concludere che pprossimre p (x) con tle metodo non è efficce. 3.3 Il miglior polinomio secondo l distnz d Voglimo clcolre il polinomio p n (x) di grdo n che minimizz l distnz mx f( x) p( x). d (ƒ, p) := { } x [, ] Poiché si trtt di minimizzre un mssimo l distnz d è nche chimt distnz minimx, o pprossimzione minimx (o nche pprossimzione uniforme). Quest distnz relizz un oiettivo molto importnte: un volt determinto p n (x) per un certo grdo n e misurt l distnz d (ƒ, p n )=ε, simo certi che per qulunque x compreso tr e risulti ƒ( x) pn( x) ε. Perché quest proprietà è importnte? Si pensi ll implementzione di un funzione trscendente, per esempio e x, su un clcoltrice scientific; supponimo (ipotesi semplifictrice m non lontn dll reltà) che l clcoltrice sppi clcolre solo somme e prodotti, e quindi sppi clcolre gevolmente il vlore di un polinomio in un punto. L clcoltrice visulizz k cifre decimli; se riuscimo trovre un polinomio p tle che d (ƒ, p) < k su un dto intervllo [, ] llor possimo, tutti gli effetti, sostituire il polinomio p ll funzione ƒ. L restrizione ll intervllo [, ] non è limittiv; l conoscenz dei vlori di ƒ su un intervllo è spesso sufficiente clcolre ƒ ovunque. Supponimo inftti di voler pprossimre e x per un certo x R. Nell ipotesi che l clcoltrice lvori in se, pssimo l logritmo in se di e x. x log ( e ) = m+d, dove m è l prte inter e d l prte decimle: 0 d <1. Risult log ( x e ) = e x = m+d = m d. Or l unico numero che doimo clcolre è d, dto che il prodotto per m produce, nell rppresentzione in se, solo uno shift, cioè lo spostmento del punto decimle. Poiché d è compreso tr 0 e 1, d è compreso tr 1 e : tutto ciò che ci serve è l conoscenz di e x per i vlori che esso ssume tr 1 e, cioè per ln 1 x < ln () ( ) 0 x < In definitiv conoscere i vlori di e x (o meglio opportune pprossimzioni di e x ) nell intervllo [0, 0.7], oppure equivlentemente nell intervllo [ 0.35, 0.35] che si ottiene dl precedente medinte un trsformzione linere (cioè un moltipliczione e un ddizione) è sufficiente clcolre e x su tutto R (vedi [RA] 7.4). 5

26 Un teorem, ncor dovuto Cheychev, ci ssicur che, fissto n, il polinomio p* di grdo n che minimizz mx ƒ( x) p( x) d (ƒ, p) := { } x [, ] esiste ed è unico. Tuttvi non sono molte le funzioni per le quli tle polinomio può essere clcolto in form simolic. Esistono piuttosto diversi lgoritmi itertivi che, prtire d un polinomio che interpol ƒ su n+ punti x 0, x 1,, x n+1, costruiscono un successione di polinomi che converge p*. Voglimo illustrre uno di questi lgoritmi, noto come lgoritmo di Remez (Evgeny Ykovlevich Remez, ). Mostrimo sull esempio ƒ(x):=e x su [ 1, 1] come costruire p* tr i polinomi di grdo. In seguito non srà difficile generlizzre. Considerimo come polinomio inizile p 0 quello che interpol ƒ(x) negli n+ punti di Cheychev che imo già incontrto proposito dell distnz d 1 ; utilizzimo quindi il progrmm polfun1. Vlutimo l curv d errore e x p 0. Come si vede l curv d errore mmette 4 (in generle n+) estremi: x 0 =, x 1, x, x 3 =. Sempre Cheychev h dimostrto che l curv d errore del polinomio che minimizz d deve essere ftt in modo tle che gli n+ estremi ino, con segni lterni, lo stesso vlore ssoluto. Detto in ltri termini: l curv d errore deve oscillre uniformemente tr ε e +ε, dove ε è proprio il mssimo di f( x) p0( x), e quindi ε = d (ƒ, p 0 ). Questo plesemente non vviene per il nostro p 0 ; poiché ƒ è derivile, cerchimo gli estremi dell curv d errore nnullndo l derivt. Risult x 0 = 1, x 1 = 0.395, x = 0.4, x 3 = 1. 6

27 Memorizzimo nell list xx tli punti. L lgoritmo di Remez, l cui difficoltà computzionle consiste proprio nell ricerc dei mssimi dell curv d errore, cerc il polinomio di secondo grdo tle che l curv d errore mmett, nei punti x k, segni lterni lo stesso vlore incognito ε: ƒ(x k ) p(x k ) = ( 1) k ε cioè p(x k ) + ( 1) k ε = ƒ(x k ) x 1 0 ( 1) k k + xk + + ε= ƒ ( xk) Si trtt di un sistem di quttro equzioni (quttro punti) in quttro incognite (, 1, 0, ε). x 0 + x ε= ƒ( x0) x 1+ x ε= ƒ( x1). x + x ε= ƒ( x) x 3 + x ε= ƒ( x3) In notzione mtricile: x0 x0 1 1 f ( x0 ) x1 x = f ( x1 ) x x f ( x ) x3 x3 1 1 ε f ( x3) Nel nostro cso: Risolvimo il sistem. I primi tre elementi sono i coefficienti del polinomio p 1, l ultimo elemento (in vlore ssoluto) è ε. 7

28 Aimo ottenuto un nuovo polinomio p 1 tle che ƒ(x) p 1 (x) che mmette lo stesso vlore ε segni lterni nei quttro punti x k. Se tli punti fossero effettivmente gli estremi dell curv d errore llor vremmo trovto il polinomio che minimizz l distnz d d e x su [, ]. Tuttvi questi quttro punti non sono gli estremi dell curv d errore. Iterimo llor il procedimento: cerchimo or gli estremi x 0, x 1, x, x 3 di ƒ(x) p 1 (x) e otterremo quttro nuovi punti x 0, x 1, x, x 3 (sempre con x 0 = 1 e x 3 = 1) prtire di quli impostimo di nuovo il sistem x 0 + x ε= ƒ( x0) x 1+ x ε= ƒ( x1) x + x ε= ƒ( x) x 3 + x ε= ƒ( x3) l cui soluzione ci fornisce i coefficienti di un nuovo polinomio p tle che ƒ(x) p (x) mmette lo stesso vlore ε ( segni lterni) nei punti x k ; tli punti sono sempre più vicini gli estremi dell curv d errore, e il procedimento converge p*, il miglior polinomio d pprossimzione minimx di e x su [, ]. Ecco l curv d errore e x p (x).. Il progrmm remez(f,,,n) utomtizz e generlizz (lmeno per funzioni derivili, per le quli l ricerc dei mssimi può essere svolt medinte derivzione) il procedimento illustrto. 8

29 Ecco il progrmm remez ll oper per pprossimre e x su [ 1, 1] con un polinomio di terzo grdo, e l reltiv curv d errore nel rettngolo [ 1, 1] [ 0.006, 0.006] 9

30 Rest d osservre che un softwre di clcolo potente e ggiornto come MAPLE possiede un funzione predefinit minimx che fornisce (m non in form simolic!) il polinomio di miglior pprossimzione uniforme: tle funzione utilizz (tuttor) l lgoritmo di Remez, come è chirmente indicto nell help. 30

31 3.4 Confronti Possimo concludere le considerzioni svolte confrontndo, per un grdo fissto, i diversi polinomi che minimizzno le rispettive distnze. Possimo finlmente rispondere ll domnd inizile: qul è il miglior polinomio di secondo grdo che pprossim sin(x) su [0, π/]? Chimimo p 1, p, p rispettivmente i polinomi migliori rispettivmente secondo le distnze d 1, d, d. Osservimo le tre curve d errore nel rettngolo [0, π/] [ 0.03, 0.03]. Come si vede le curve sin(x) p 1 e sin(x) p (nel grfico di sinistr) oscillno in modo non uniforme in [0, π/], e hnno vlori sensiilmente più elevti gli estremi dell intervllo. Invece sin(x) p ( destr) oscill in modo uniforme: i suoi vlori estremi (quindi l distnz d tr sin(x) e p su [0, π/]) vlgono tutti circ Per ciscun polinomio possimo clcolre tre distnze diverse d sin(x) su [0, π/]: d 1, d, d. Aimo così che fre con 3 =9 distnze, che possimo disporre secondo l mtrice degli errori: d1( f, p1) d1( f, p) d1( f, p ) d( f, p1) d( f, p) d( f, p ) d ( f, p1) d ( f, p) d ( f, p ) π π π sin( x) p1( x) dx sin( x) p( x) dx sin( x) p ( x) dx π π π ( sin( x) p1( x) ) dx ( sin( x) p( x) ) dx ( sin( x) p ( x) ) dx 0 { } 0 { } 0 mx sin( x) p { } 1( x) mx sin( x) p( x) mx sin( x) p ( x) x [ 0, π ] x [ 0, π ] x [ 0, π ] Eseguimo il clcolo (molto lorioso!) e ottenimo l seguente mtrice. 31

32 Il risultto è soddisfcente: ci spettimo inftti che il miglior polinomio per l distnz d 1 si p 1, per l distnz d si p, per l distnz d si p ; come si vede gli elementi dell digonle principle sono i vlori minimi di ciscun rig. Conclusioni Simo prtiti d un prolem pprentemente semplice e simo rrivti stnz lontno, pplicndo strumenti mtemtici in un contesto significtivo. L esplorzione, l ricerc, l congettur sono stte protgoniste indiscusse del cmmino. L ide di lgoritmo, che in qulche modo er già in test llo studente che cercv di interpolre sin(x) su tre punti, è stt l tempo stesso guid e strumento; in qulche modo il senso di soddisfzione più volte provto è dovuto l ftto che l oggetto che stimo cercndo è inchiodto un volt per tutte d un lgoritmo che ci permette, dopo tnt ftic, di lierre l mente: polfun1(sin(x),0,π/,) è un nuov funzione, che imo costruito noi, che possimo usre d or in poi per nuovi prolemi. Biliogrfi [RI] Theodore Rivlin, An introduction to the pproximtion of functions, Dover 1969 [L] Dvid Ly, Liner lger, Addison Wesly 1994 [RA] Anthony Rlston, A first course in numericl nlysys, McGrw-Hill 1965 [FL] J.M. Ferrrd, H. Lemerg, Mthémtiques concrètes, illustrées pr l TI-9 et l TI-89 [B] E. Breu, Polynomils, Springer 1989 [QSS] A. Qurteroni, R. Scco, F. Sleri, Mtemtic numeric, Springer 1998 [I] Michele Impedovo, Mtemtic: computer lger e insegnmento, Springer