CMRR e tolleranza delle resistenze

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1 CMRR e tolleranza delle resistenze Si consideri l amplificatore differenziale rappresentato in Fig.1. Si supponga che l operazionale abbia un comportamento ideale, e che le resistenze abbiano i seguenti valori: R 1 = R 3 = 100 kω e R 2 = R 4 = 1MΩ. 1) Definire e determinare il guadagno differenziale A D, il guadagno di modo comune A C e il rapporto di reiezione di modo comune CMRR. Si supponga ora che le resistenze R 1, R 2, R 3 e R 4 abbiano una classe di tolleranza α sui loro valori nominali, in modo tale che, per la generica resistenza di valore nominale R, il valore effettivo possa essere compreso nell intervallo R±αR = R(1±α). 2) Valutare quale valore massimo possa avere tale tolleranza α per garantire un CMR di 100dB. Procedere impostando il caso più sfavorevole in cui possano presentarsi le tolleranze delle resistenze R 1, R 2, R 3 e R 4. Fig.1 - Amplificatore differenziale. 1) A D = -10; A C = 0; CMRR = 2) α

2 Esercizio Amplificatore Operazionale Si consideri l amplificatore per strumentazione rappresentato in Fig.1, assumendo che gli operazionali OP1, OP2 e OP3 siano ideali. Lo stadio di ingresso è realizzato con gli amplificatori OP1 e OP2 e ha le resistenze R f1 = R f2 = R f = 45kΩ e R g = 10kΩ. Lo stadio differenziale d uscita, realizzato con l amplificatore OP3, ha le resistenze perfettamente adattate in modo che risulti R 1 /R 2 = R 3 /R 4 = k = ) Determinare i guadagni differenziali dello stadio di ingresso A D(1,2) = (v o1 -v o2 )/(v 1 -v 2 ), dello stadio d uscita A D(3) = v out /(v o1 -v o2 ) e quello complessivo A D,totale = v out /(v 1 -v 2 ). Dire inoltre quanto vale il rapporto di reiezione di modo comune complessivo CMRR totale. 2) Dire e giustificare quanto vale il guadagno di OP1 e OP2 rispetto alla tensione di modo comune in ingresso, cioè quando: v 1 = v 2 = v C. 3) Supponendo ancora ideali tutti gli amplificatori operazionali, si consideri l ipotesi che le resistenze R 1, R 2, R 3 e R 4 del circuito differenziale formato con OP3 abbiano una certa tolleranza rispetto al loro valore nominale, per cui non risultano più perfettamente adattati i rapporti fra le resistenze R 1 /R 2 = R 3 /R 4. Per effetto delle tolleranze sulle resistenze, la reiezione di modo comune CMR (3) dello stadio contenente OP3 sia di 60dB. Valutare il rapporto di reiezione del modo comune CMRR totale = A D,totale /A C,totale di tutto l amplificatore per strumentazione. Fig.1 - Amplificatore per strumentazione. 1) A D(1,2) = 10; A D(3) = -100; A D,totale = -1000; CMRR totale = 2) Guadagno unitario, A C,totale = A C(3) 3) CMRR totale = 10000

3 Resistenza di dispersione del cavo di collegamento Si consideri un generatore di segnale (V s e Z s ) collegato ad un amplificatore, in configurazione inseguitore di tensione, tramite un cavo coassiale (Fig.1). Si indichi con Z c l impedenza di dispersione del conduttore interno verso lo schermo del cavo. Fig.1 - Schema del circuito. Si supponga che il guadagno a ciclo aperto dell amplificatore operazionale sia A o =10 4 e che la sua impedenza differenziale e le impedenze di ciascuno degli ingressi (+) e (-) verso massa siano infinitamente alte. Nel regime di funzionamento in continua, il generatore di segnale produce una tensione V s = 10V e ha un'impedenza interna Z s = 10MΩ, puramente ohmica, mentre l impedenza di dispersione del cavo coassiale è pari a Z c = 1GΩ. Valutare l'errore relativo ε v sulla tensione d uscita V out, rispetto alla tensione applicata V s, dovuto all effetto di carico. ε v = -0.99%

4 Ponte sbilanciato Si consideri un ponte di misura sbilanciato, impiegato per rilevare variazioni di temperatura. Il sensore di temperatura (vedi Fig.1) è costituito dalla resistenza R' che varia il suo valore con la temperatura T secondo la legge lineare: kω R' = R + δr = R0 + kt T = 3 T C ( kω) + 0,025 ( C) 0 Alla temperatura T = 0 C, si ha R' = R 0 = 3 kω. Il coefficiente k T = 0,025 (kω/ C) indica di quanto varia la resistenza con la temperatura T. Le altre tre resistenze del ponte hanno tutte valore R = 5 kω. La tensione di alimentazione del ponte vale: E = 6 V. Determinare: 1) Per quale valore di temperatura T eq ( C) il ponte è in equilibrio e con quale valore della resistenza R' = R eq. 2) Alla temperatura T = 60 C, quale è la variazione di resistenza rispetto a R 0 e la variazione di resistenza rispetto a R eq di equilibrio. Quanto vale la tensione di sbilanciamento V AB. 3) Alla temperatura T = 60 C, quale errore e approx si commette nella valutazione della temperatura, utilizzando l espressione lineare approssimata, valida con piccolo sbilanciamento. 4) Ricavare l espressione analitica approssimata del legame T = T(V AB ). Fig.1 - Schema per il sensore e il ponte. 1) R' = 5 kω, T eq = 80 C 2) δr = 1500 Ω, δr eq = -500 Ω 3) e approx 2%

5 Dimensionamento ponte per misura di temperatura con sensore RTD Si vuole misurare una temperatura variabile nel campo da 10 C a +50 C, convertendola in un segnale di tensione compreso tra 1 V e +5 V. A tale scopo si impiega un sensore RTD inserito in un ponte sbilanciato e un amplificatore per strumentazione (Fig.1). Il sensore RTD ha una resistenza che varia con la temperatura secondo la legge: R T ( + T ) = R + δr = R 1 α 0 dove: R 0 = 100 Ω (a 0 C) e α = 0,4 %/ C. Il ponte è in equilibrio per R 2 = R T = R 0 = 100 Ω. 0 1) Calcolare i valori dei resistori del ponte affinché, nel campo di interesse, l errore di linearità per la tensione non superi lo 0,5 % della tensione effettiva V AB in uscita del ponte. 2) Con una tensione di alimentazione E = 6 V, valutare: - la sensibilità S del trasduttore, espressa in mv/ C; - il guadagno G dell amplificatore per strumentazione. Fig.1 - Schema per il sensore e il ponte. 1) k = 39; R 1 = 3900 Ω 2) S 0.6 mv/ C; G 167

6 Connessione driven shield Si consideri un generatore di segnale (modellizzato attraverso V s e Z s ) collegato ad un amplificatore in configurazione inseguitore di tensione tramite un cavo coassiale (Fig.1A). Si indichi con Z c l impedenza di dispersione del conduttore interno verso lo schermo del cavo. Il guadagno a ciclo aperto dell amplificatore operazionale sia A o =10 5, la sua banda passante sia infinitamente alta così come l impedenza differenziale fra i morsetti (+) e (-); anche le impedenze fra il morsetto (+) e massa e quella fra il morsetto (-) e massa siano infinitamente alte. Il generatore di segnale produce una tensione continua di valore V s = 10V e ha un'impedenza interna particolarmente alta: Z s = 1GΩ, puramente ohmica. In continua, l impedenza di dispersione del cavo coassiale è pari a Z c = 10GΩ. Fig.1 - Schemi per la connessione driven shield. 1) Con riferimento alla Fig.1A, valutare quale errore ε v si commette sulla tensione d uscita V out rispetto alla tensione applicata V s, a causa dell effetto di carico introdotto sul segnale dal cavo coassiale (attraverso Z c ). Si consideri poi lo schema circuitale indicato in Fig.1B. 2) Valutare come si modifica l errore sulla tensione d uscita V out, dovuto all effetto di carico, e verificare se, considerando i dati dell esempio, la connessione risulta conveniente. 1) ε v -9 % 2) ε' v %

7 Connessione driven shield 2 Si consideri un generatore di segnale (modellizzato attraverso V s e Z s ) collegato ad un amplificatore in configurazione inseguitore di tensione tramite un cavo coassiale (Fig.1A). Si indichi con Z c l impedenza di dispersione del conduttore interno verso lo schermo del cavo modellizzabile con una resistenza di 100 MΩ in parallelo con una capacità di 10 pf. Il guadagno a ciclo aperto dell amplificatore operazionale sia A o =10 6, la sua banda passante sia infinitamente alta così come l impedenza differenziale fra i morsetti (+) e (-); anche le impedenze fra il morsetto (+) e massa e quella fra il morsetto (-) e massa siano infinitamente alte. Il generatore di segnale produce una tensione sinusoidale di valore V s = 10V, con frequenza di 1 MHz e ha un'impedenza interna: Z s = -j10 kω. Fig.1 - Schemi per la connessione driven shield. 1. Con riferimento alla Fig.1A, valutare quale errore ε v si commette sulla tensione d uscita V out rispetto alla tensione applicata V s, a causa dell effetto di carico introdotto sul segnale dal cavo coassiale (attraverso Z c ). Si consideri poi lo schema circuitale indicato in Fig.1B. 2. Valutare come si modifica l errore sulla tensione d uscita V out, dovuto all effetto di carico, e verificare se, considerando i dati dell esempio, la connessione risulta conveniente. 1) ε v - 40 % 2) ε' v %

8 Rumore termico in uno stadio con amplificatore Si consideri l'amplificatore operazionale in configurazione invertente rappresentato in Fig.1. La tensione in ingresso è v in, quella in uscita è V out. Sia R 1 =1 kω, R 2 =100 kω, R 3 =0.99 kω. Il guadagno A vale 100. La banda di interesse è: B = 1 khz. La temperatura ambiente è: T 0 = 290 K. La costante di Boltzmann è: k = 1, J/K. Fig.1 - Amplificatore operazionale 1) Si determini il contributo sull uscita v out,n dovuto al rumore termico introdotto dalle resistenze R 1, R 2, R 3. Si trascuri il rumore dovuto all amplificatore operazionale. Si considerino in modo appropriato gli effetti di ciascun contributo, tenendo conto che si tratta di processi aleatori. V ( ) , 0 2 out µvrms 2) Si determini il contributo V out,n sulla tensione d uscita, dovuto al rumore prodotto dall amplificatore (Fig.2B). Si trascuri il rumore termico delle resistenze. Fig.2 - Schema per la valutazione del rumore dell operazionale Il rumore dell amplificatore viene caratterizzato con i generatori equivalenti, riportati in ingresso, delle correnti di rumore i n+ e i n- e della tensione di rumore e n+. I dati forniti dal costruttore sono: i pa Hz nv 50 Hz rms rms n+ = in = in = 5 en+ = V ( ) 2 out 2, n 160, 8 2 µvrms

9 Rumore in uno stadio con amplificatore Si consideri lo stadio di amplificazione in Fig.1. Siano: R1 = 10 kω R2 = 1000 kω R3 = 9,9 kω Il rumore dell amplificatore OP07 viene caratterizzato con i generatori equivalenti (Fig.1B) delle correnti di rumore i n+ e i n- e della tensione di rumore e n+, i cui valori, forniti dal costruttore, sono allegati. La temperatura ambiente è: T = 25 C. La banda di interesse è 1 khz. La costante di Boltzmann è: k = 1, J/K. Fig.1 - Stadio di amplificazione. Si determini la tensione totale di rumore V out,n presente sull uscita. V 68 out, n µvrms

10 Misura di temperatura con termistore Si vuole realizzare un sistema per la misura di temperatura, impiegando un termistore NTC. Il campo di funzionamento richiesto è 0 50 C. Il termistore disponibile presenta, alla temperatura di riferimento T 0 = 25 C, un valore di resistenza R 0 = 10 kω. Il valore della costante B è pari a 4000 K, nel campo di lavoro. 1) Ricavare la legge di variazione della resistenza con la temperatura R T = f(t) e tracciare un grafico qualitativo. 2) Determinare numericamente i valori della resistenza R T ogni 10 C e valutare la massima non linearità della resistenza R T, rispetto alla retta ideale che unisce gli estremi del campo di funzionamento R T=0 e R T=50. 3) Determinare analiticamente quanto vale il coefficiente di temperatura 1 drt α =. R dt T 4) Infine, disponendo un resistore fisso R in parallelo al termistore R T, determinare l espressione della resistenza equivalente R p e ricalcolare il corrispondente valore di α p. Commentare il risultato. 2) R T R T =97% T=30 C 4) p = R R R p B T 2

11 Cella di carico Si vuole progettare una cella di carico per una bilancia elettronica. A tale scopo si dispone di estensimetri che hanno resistenza R = 350Ω e gauge factor K G = 2. Si adotta un ponte di misura con le resistenze tutte uguali, di valore R = 350Ω, e con un solo estensimetro attivo. L estensimetro è incollato su un asta d acciaio sottoposta a trazione, con sezione quadrata A di 5 mm di lato (vedi Fig.1A). L acciaio utilizzato ha un diagramma sforzo-deformazione (σ ε) come quello rappresentato in Fig.1B. In particolare: il modulo di elasticità vale E M = kg/mm 2 e la sollecitazione di snervamento è σ sn = 75 kg/mm 2. Fig.1 - Elementi per la cella di carico. 1) Valutare la portata massima P max (in kilogrammi) della cella di carico affinché l errore di linearità della tensione in uscita dal ponte non superi l 1% della tensione effettiva V AB. 2) Verificare che lo sforzo σ nell acciaio rimanga sempre al disotto del valore ammissibile σ amm assunto pari a 1/3 della sollecitazione di snervamento σ sn e valutare se la portata P max ottenuta al punto 1) risulta compatibile con questo vincolo. Se non risulta compatibile, rideterminare la portata massima affinché tale vincolo sia rispettato. 1) P max = 5250 kg. 2) P' max = 625 kg.

12 Un sistema di controllo della temperatura Si vuole realizzare un sistema per il controllo di temperatura, impiegando un sensore integrato. Si desidera che il circuito riveli il superamento di un assegnato livello di temperatura e produca un segnale d uscita V out che possa essere usato sia come allarme, sia per l attivazione di una ventola di raffreddamento o per l arresto del sistema. Lo schema proposto è rappresentato nella Fig.1A. 1) Il superamento della soglia di temperatura viene rivelato dal comparatore (Comp). 2) Il sensore di temperatura (Temp) produce il segnale di interesse V temp. 3) Il blocco (Ref) è un generatore di tensione di riferimento che tramite le resistenze R 1 e R 2 produce la soglia di riferimento V ref per la commutazione del comparatore. La temperatura che determina lo scatto verso l alto del comparatore è stata scelta pari a 80 C. Per la commutazione in discesa è stata scelta una fascia di isteresi di 5 C (Fig.1B). Fig.1 - Schema per il controllo di temperatura. I componenti Tutti i componenti scelti sono prodotti da Analog Devices e le loro specifiche dettagliate possono essere reperite nel sito del costruttore. La tensione di alimentazione V supply dei componenti del sistema è di 3,3 V. 1) Il comparatore è il CMP402. Il tipo impiegato ha un uscita bassa V out,l = 0,2 V mentre l uscita alta risulta V out,h = 2,8 V. 2) Il sensore di temperatura è il TMP35 con uscita in tensione. La sensibilità è di 10 mv/ C. Alla temperatura di 80 C, la sua uscita è pertanto V temp = 800 mv. 3) Il generatore di tensione di riferimento è il REF191. La sua tensione nominale è V R,n = 2 V. Dimensionare i rapporti fra le resistenze (R 1/R 2 e R 3/R 4) per soddisfare le specifiche. R 4/R ; R 1 /R

13 Sistemi di elaborazione del segnale Descrivere in dettaglio il comportamento dei circuiti riportati nelle figure 1 e 2, presentando pregi e difetti. Tracciare le caratteristiche ingresso-uscita. Fig.1 Fig.2