Elettromagnetismo

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1 Elettromagnetismo 1. Una bolla di sapone di raggio r = 7.0 cm è caricata al potenziale V 1 = 150 V. La parete della bolla ha spessore s = 5.2 x 10-6 cm. Se si fa scoppiare la bolla e si suppone di raccogliere tutto il liquido in una goccia sferica, quanto vale il potenziale V 2 di tale goccia? R: V 2 = 1.15 x 10 4 V. 2. Una goccia d'acqua sferica di raggio 1.0 x 10-1 cm porta una carica negativa tale che il campo elettrico sulla sua superficie è 4000 V/cm. Quale campo verticale esterno impedisce alla goccia di cadere? R: 9.2 x 10 5 V/m. 3. Un dipolo elettrico è costituito da due cariche opposte di modulo q = 1.0 x 10-6 C poste a una distanza d = 2.0 cm. Esso è immerso in un campo elettrico uniforme di intensità 1.0 x 10 5 N/C. Determinare: a) il valore massimo del momento meccanico che si esercita sul dipolo; b) il lavoro che bisogna compiere per ruotare il dipolo di 180 attorno al suo baricentro partendo dalla posizione di equilibrio stabile. R: a) 2.0 x 10-3 N m; b) 4.0 x 10-3 J. 4. Tre cariche sono disposte come in figura. a) Trovare la forza su ciascuna carica. b) Trovare l'energia potenziale totale di tale configurazione. 5. Due sfere metalliche concentriche, di raggi r 1 = 5.0 cm ed r 2 = 10.0 cm sono state entrambe caricate positivamente con densità di carica eguale, pari a 1.0 x 10-7 C/m 2. Calcolare il potenziale di ognuna delle due sfere, ponendo uguale a zero il potenziale-all'infinito. R: 1680 V; 1400 V. 1

2 6. Una sfera metallica, di diametro uguale a 1.0 m, immersa nell'aria, può venire caricata, fino ad un potenziale massimo V oltre al quale avviene la scarica nell'aria. Calcolare tale potenziale massimo sapendo che la rigidità dielettrica dell'aria in condizioni normali è E 0 = 30 kv/cm. Se invece di una sfera si ha un conduttore avente la forma di un elissoide di rotazione, in corrispondenza di quali punti della superficie si innesca la scarica? R: 1.5 x 10 6 V. 7. Una sferetta di un grammo è sospesa, mediante un filo isolante, ad una armatura di un condensatore piano, disposto come in figura. Il periodo di oscillazione in assenza di carica è T 1 = 0.63 s. Dopo aver caricato sia il condensatore che la sferetta, il periodo diventa 0.42 s (in entrambi i casi si tratta di piccole oscillazioni): a) qual'è la forza esercitata dal campo elettrico sulla sferetta? b) qual'è la velocità con cui la sferetta giunge in A se è ab bandonata da ferma dal punto B? (a = 10 ) (Si supponga che la carica sulla sferetta non perturbi il campo elettrico del condensatore.). R: a) 1.2 x 10-2 N; b) 0.25 m/s. 8. Le armature di un condensatore a facce piane e parallele sono costituite da piastre circolari di raggio 20 cm e la loro distanza è 1.0 cm. Il condensatore sia caricato a 3000 V e le armature siano isolate in modo che la carica su ciascuna armatura resti costante. a) Quanto vale l'energia immagazzinata dal condensatore? b) Si introduca una grande lamina metallica avente lo spessore di 2 mm nello spazio compreso tra le armature, mantenendola parallela alle armature stesse. Qual'è il lavoro fatto dal campo per introdurre tale lamina? c) Quanto vale la d.d.p. tra le armature dopo che si è introdotta la lamina? R: a) 5.0 x 10-4 J; b) 1.0 x 10-4 J; c) 2400 V. 9. Tre piatti conduttori paralleli A,B,C ciascuno quadrato di 10 cm di lato, sono tenuti a potenziali di 500 V,1000 V e 100 V (rispetto a terra) rispettivamente. B è tra A e C e dista da essi rispettivamente 1.0 mm e 3.0 mm. Trovare che massa deve avere il piatto B perché sia in equilibrio (nella posizione indicata) tra i piatti A e C fissi. L'equilibrio è stabile o instabile? R: 0.72 g; instabile. 2

3 10. Tre piastre metalliche sono disposte l'una parallela all'altra. Le piastre esterne sono collegate da un filo metallico. Le piastre hanno la stessa superficie S. La piastra interna è isolata ed ha una carica Q. Trovare la carica indotta sulle due piastre esterne. (Dati numerici: Q= 1.0 x 10-6 C; d 1 = 1.0 cm; d 2 = 2.0 cm; S = 1.0 m 2 ). R: a) x 10-6 C; b) x 10-6 C. 11. Un circuito è costituito da un condensatore C 1 da 50 µ F, da un condensatore C 2 e da una resistenza R. Inizialmente l'interruttore T I è aperto e la differenza di potenziale ai capi di C 1 è 120 V (mentre ai capi di C 2 è zero). Si apre l'interruttore T 2 e si chiude 1' interruttore T I. Ad equilibrio raggiunto la differenza di potenziale ai capi di C 1 risulta 30 V. Calcolare: a) la capacità del condensatore C 2; b) l'energia dissipata dalla resistenza durante l'intero processo di scarica. R: a) 150 µ F ; b) 0.27 J. 12. Si consideri il circuito schematizzato in figura. La batteria di accumulatori che alimenta il circuito ha f.e.m. ε = 100 V e resistenza interna trascurabile. Le resistenze inserite nel circuito hanno i valori R 0 = 100 Ω, R 1 = 120 Ω, R 2 = 280 Ω. I due condensatori hanno capacità C 1 = 30 µ F e C 2 = 70 µf. Si determini in condizioni di regime: a) la carica sulle armature di ciascun condensatore; b) la carica sulle armature di ciascun condensatore nel caso in cui i due punti A e B siano connessi metallicamente. R: a) 1.68 x 10-3 C; b) 7.2 x 10-4 C, 3.9 x 10-3 C. 13. Qual'è l'errore che si commette misurando la f.e.m. di una pila di resistenza interna r = 1000 Ω con un voltmetro di resistenza interna R=15 kω? R: 6.25% 3

4 14. Un fascio di corpuscoli la cui carica è e = 1.6 x C non è deviato dall'azione simultanea di un campo elettrico di intensità E= 100 kv/m e di un campo magnetico con intensità B = 1.33 T, entrambi ortogonali alla velocità del fascio e perpendicolari l'uno all'altro. I corpuscoli sono successivamente sottoposti all'azione del solo campo magnetico e descrivono un semicerchio di raggio R = 58.5 cm. Si domanda: a) la massa dei corpuscoli; b) la loro energia-cinetica. R: a) 1.66 x IO -24 kg; b) 0.47 x IO -14 J. 15. La figura mostra un lungo filo rettilineo che porta una corrente i 1 di 15 A. La spira rettangolare porta una corrente di 20 A. Calcolare la forza risultante sul filo rettilineo. Assumere a= 2.0 cm, b= 6.0 cm, l = 40 cm. R: 0.9 x IO -3 N 16. Due spire circolari una di raggio a = 10 cm e l'altra di raggio b = 2.0 cm aventi lo stesso centro, ma poste in modo che i loro piani formino un angolo di 90, sono collegate in parallelo ad un accumulatore di f.e.m. ε. Calcolare il rapporto tra le resistenze delle due spire, affinchè il campo magnetico creato da esse nel centro comune, abbia una direzione di 45 rispetto al piano di una di esse (e quindi anche dell'altra). Quale sarebbe la direzione del campo magnetico se le due spire fossero collegate in serie? R: a) R b /R a = 5; b) θ = Una sbarretta è poggiata su due conduttori rettilinei paralleli, congiunti da una resistenza R = 3.0 x 10-3 Ω in modo da costituire un circuito di forma rettangolare. La sbarretta viene spostata parallelamente a se stessa, con velocità costante v = 0.40 m/s. Tutto il circuito è immerso in un campo magnetico uniforme, di valore B = 1.0 x 10-2 T la cui direzione forma un angolo di 30 con il piano del circuito. La distanza tra i conduttori è a = 30 cm. a) Calcolare la forza elettromotrice indotta nel circuito, b) Sapendo che la sbarretta ha resistività ρ = 10 7 Ω m e sezione S=10 mm 2, e che i conduttori hanno resistenza trascurabile, calcolare la forza che occorre applicare alla sbarretta per mantenerla in moto alla velocità di cui sopra. R: a) 6.0 x 10-4 V; b) 1.5 x 10-4 N 4

5 18. Una spira quadrata, di lato b = 20 cm e resistenza 40 Ω, è totalmente immersa in un campo magnetico uniforme B=1.0 T, perpendicolare alla spira. Uno dei lati della spira giace sulla retta OO' che limita il campo. Alla spira viene applicata una forza F che la estrae dal campo. Sapendo che la massa della spira è m = 2.0 g e che l'accelerazione è costante e pari a 10 cm/s 2, calcolare: a) il valore assoluto della carica indotta nella spira mentre a) essa viene estratta completamente dal campo; b) il tempo impiegato dalla spira ad uscire completamente dal campo; c) il lavoro fatto per estrarre la spira. (Consiglio: si usi il principio generalizzato di conservazione dell'energia). R: a) 1.0 x 10-3 C; b) 2.0 s ; c) 6.67 x IO -5 J. 19. Un solenoide a forma di toro è costituito di spire di raggio r = 1.0 cm avvolte uniformemente attorno ad un anello di raggio medio R = 20 cm. Il solenoide è costituito di filo superconduttore, per cui è possibile farvi circolare una corrente di 10 3 A. a) Quanto vale il campo magnetico all'interno del solenoide? b) Quanto vale l'energia magnetica immagazzinata nel solenoide? c) Se la corrente scende bruscamente a metà del suo valore in un tempo di un millisecondo, quant'è la differenza di potenziale media indotta che si stabilisce ai capi dell'avvolgimento del solenoide durante il millisecondo? d) Quanto vale la potenza media sviluppata, supponendo che la corrente vari linearmente nel tempo? R: a) 10 T; b) 1.57 x IO 4 J; e) 1.57 x 10 4 V; d) 1.27 x IO 7 W 20. Un semianello di raggio R =10.0 cm e dimensioni trascurabili è uniformemente carico con densità di carica lineare λ =1.0 x IO -6 C/m. Una particella di dimensioni trascurabili, massa m=1.0 x 10-4 g e carica q = 1.0 x 10-5 C, è posta nel centro C del semianello. a) Determinare la minima velocità che deve possedere la particella per potersi allontanare indefinitamente dal semianello. b) Determinare la forza che agisce sulla particella posta in C specificandone modulo, direzione e verso. R: a) 2.4 x IO 3 m/s; b) 1.8 N perpendicolare al diametro tratteggiato, verso sinistra. 5

6 21. Una lastra quadrata di lato L = 2.0 m e spessore d = 3.0 mm possiede una carica Q distribuita al suo interno. Il campo elettrico all'interno della lastra e lontano dai bordi vale E x = Kx E y = O E z = O dove l'asse x è perpendicolare alla lastra con l'origine al centro della lastra (vedi figura) e la costante K vale 1.5 x 10 5 V/m 2. Trascurando gli effetti di bordo calcolare: a) la differenza di potenziale V 0 V A tra l'origine O e un punto qualsiasi A della faccia quadrata con X A = d/2; b) la carica Q della lastra. R: a) 0.17 V; b) 1.6 x 10-8 C. 22. Tre fili rettilinei, paralleli, percorsi dalle correnti i 1 = 1.0 A, i 2 = 2.0 A, i 3 = 1.0 A sono disposti come in figura con d = 50.0 cm. Sapendo che il verso delle correnti è concorde con l'asse z: a) determinare le componenti del campo magnetico B generato dai tre fili nel punto O; b) determinare le componenti della forza F risultante agente su un tratto di lunghezza / = 1.0 m del filo percorso dalla corrente i 3. R: a) B x = 8.0 x IO -7 T, B y = 8.0 x 10-7 T; b) F x = x IO -7 N, F y = 1.0 x IO -6 N. 23. Una spira quadrata di lato / = 10 cm e resistenza R = 20 Ω è disposta in un campo magnetico uniforme la cui direzione forma un angolo di 60 con il piano della spira. Sapendo che l'intensità del campo magnetico B varia in funzione dal tempo t secondo la relazione: B = B 0 e -t/ τ con Bo = 0.15 T e τ = 2.40 x 10-3 s e che la spira è mantenuta ferma, determinare, nell'istante t = τ: a) la corrente indotta nella spira; b) il modulo del momento meccanico necessario per mantenerla ferma. R: a) 1.0 x IO -2 A; b) 2.8 x 10 6 N m. 6