Dispense del Corso di. Elettrotecnica T-A A.A CdS in Ingegneria Gestionale (L-Z) Prof. P. L. Ribani

Transcript

1 Dspense del orso d Elettrotecnca T ds n ngegnera Gestonale (L-Z) Prof. P. L. ban

2 OSO D LUE N NGEGNE GESTONLE orso d ELETTOTEN T- (L-Z) Docente: Prof. Per Lug ban - Dpartmento d ngegnera dell'energa Elettrca e dell'nformazone Guglelmo Marcon - DE - Unerstà d ologna Vale sorgmento, - 46 ologna - Tel e-mal: perlug.rban@unbo.t home-page: Prerequst Sono rcheste le conoscenze d anals matematca e d fsca che engono soltamente presentate ne rspett cors del prmo anno della Scuola d ngegnera. n partcolare: soluzone d equazon dfferenzal ordnare, operazon con numer compless, equazon dfferenzal alle derate parzal, equazon del campo elettromagnetco nel uoto. Programma rcut elettrc. Passaggo dalla teora de camp alla teora de crcut. rcuto elettrco a parametr concentrat. Legg d Krchhoff. Prncpal element crcutal: resstore, nduttore, condensatore, generatore ndpendente d tensone e d corrente, dodo. Prncpal metod d anals de crcut elettrc: magle fondamental, tenson d nodo, sere e parallelo d resstor. Prncpal teorem per l anals delle ret elettrche lnear: sorapposzone degl effett, Theenn, Norton. enn allo studo delle ret n regme transtoro. egme snusodale. Studo d crcut n regme snusodale medante l metodo smbolco. Potenza n regme snusodale. fasamento. Sstem trfase. ollegament a stella ed a trangolo. Potenza ne sstem trfase. Sstema trfase con neutro. Element d macchne elettrche. Trasformatore. aratterstche costrutte e prncpo d funzonamento. rcuto elettrco equalente. Funzonamento a uoto ed n corto crcuto. Msura del rendmento. Trasformatore trfase. Parallelo de trasformator. Macchne asncrone. aratterstche costrutte e prncpo d funzonamento.. Teorema d equalenza e crcuto elettrco equalente. aratterstca meccanca ed elettromeccanca. enn al motore monofase. Macchne sncrone. aratterstche costrutte e prncpo d funzonamento come generatore e compensatore. Macchne a corrente contnua. aratterstche costrutte e prncpo d funzonamento come motore e generatore. Element d mpant elettrc e scurezza elettrca. Generazone, trasporto e dstrbuzone dell energa elettrca. Protezone da contatt ndrett. Protezone dalle soracorrent. Protezone dalle soratenson. Metod ddattc l corso è strutturato n lezon frontal n aula n cu engono presentat tutt gl argoment ndcat nel programma. n partcolare la parte rguardante la teora de crcut ene solta drettamente alla lagna dedcando ampo spazo allo solgmento numerco d esercz sulla soluzone d crcut elettrc lnear n corrente contnua e alternata, monofase e trfase. Gl argoment relat alle macchne elettrche ed alla scurezza elettrca engono nece prealentemente llustrat con l utlzzo d presentazon al computer dsponbl onlne nel sto del docente.

3 Modaltà d'esame L'esame s solge medante una proa scrtta ed una proa orale. La proa scrtta erfca le competenze acquste sulla teora de crcut e consste nella soluzone d un crcuto elettrco n regme d corrente alternata, monofase o trfase. Durante la proa lo studente non può consultare alcun testo, ma necessta dell'uso d una calcolatrce. l oto della proa è n trentesm; la proa è superata quando la otazone rsult superore o par a 5/. La proa orale può essere sostenuta solo dopo aere superato la proa scrtta. Durante la proa orale lo studente dee esporre due argoment fra quell d macchne elettrche, mpant elettrc e scurezza elettrca present nel programma, scelt dal docente. l oto fnale è ottenuto facendo la meda del oto delle due proe ed aggungendo o toglendo fno ad un massmo d due punt a seconda che l rsultato della proa orale sa mglore o peggore rspetto a quello della proa scrtta. Test d rfermento Lo studente può troare la trattazone degl argoment solt durante l corso ne seguent test d rfermento e può aalers d una tracca delle lezon dsponble n rete al sto del docente.. G. Fabrcatore, Elettrotecnca ed applcazon, Ed. Lguor, G. zzon, Elettrotecnca: prncp e applcazon, McGraw-Hll, a edzone,.... Hambley, Elettrotecnca, Pearson Paraa runo Mondador, 4a edzone 9.

4 NDE DE PTOL - Teora de crcut Metod per l'anals de crcut Grandezze perodche egme snusodale Sstem trfase Trasformator ampo magnetco rotante Macchne asncrone Macchne sncrone Macchne n corrente contnua mpant Scurezza elettrca PPEND - Elettromagnetsmo Sstema nternazonale d untà d msura... -

5 TEO DE UT. NTODUZONE S consder un sstema elettrco costtuto da un certo numero d component (ed fgura ). ascun componente (,,, D) è racchuso all nterno d un contentore da cu escono de termnal collegat elettrcamente tra d loro medante de fl metallc (,,, 4, 5). t D t P L L P 4 D S 5 L Fgura Tutto l sstema è mmerso nell ara che è un mezzo solante. La regone costtuta da tutto lo spazo meno quello occupato da component (spazo esterno a component) è una regone a connessone lneare semplce: presa una qualsas lnea chusa che gace n tale regone, esste almeno una superfce che s appogga a tale lnea che gace anch essa tutta all nterno della regone consderata.s supponga che nello spazo esterno a component sa possble consderare nulla la derata temporale della nduzone magnetca e dello spostamento elettrco. S consder qund la crcutazone del campo elettrco relata ad una qualsas lnea chusa L che gace nello spazo esterno a component. sulta: L d E dl () dt Dalla () segue che la crcutazone del campo elettrco lungo una lnea che congunge due punt qualsas P e P, rmanendo sempre nello spazo esterno a component, non dpende dalla partcolare lnea scelta ma uncamente da punt P e P (s dce che l campo elettrco è conserato) e ene chamata dfferenza d potenzale tra l punto P ed l punto P : P P, L E dl P, L P Edl S consder una superfce chusa S qualsas che gace nello spazo esterno a component, rsulta : D J nds JndS t S La denstà olumetrca d corrente elettrca, nello spazo esterno a component è nulla ounque tranne che all nterno delle connesson metallche. n partcolare s consder una superfce S che racchude al suo nterno solo un tratto d connessone metallca; dalla () segue che la corrente che crcola n quella connessone, non dpende dal punto consderato della connessone, ma è una caratterstca della connessone. Nessun sstema elettrco reale erfca esattamente le potes assunte per quello sopra descrtto; tal potes sono però soddsfatte con buona approssmazone per molt sstem elettrc real, per descrere qual s fa uso d un modello deale che prende l nome d crcuto elettrco a costant concentrate. n partcolare, per tal sstem, la crcutazone del campo elettrco lungo una lnea che congunge due punt non è ndpendente dalla lnea scelta, ma la dpendenza è così pccola che rsul- S () () Teora de crcut -

6 ta trascurable a tutt gl effett pratc. n tal caso, nece d parlare d dfferenza d potenzale, per ndcare l approssmazone fatta, s prefersce parlare d tensone tra due punt.. DEFNZON E LEGG D KHHOFF Un UTO ELETTO OSTNT ONENTTE, o rete elettrca, è un nseme d component elettrc deal soggetto a ncol (che saranno enuncat nel seguto) not come Legg d Krchhoff. Nel seguto, per semplctà, con la parola crcuto elettrco s ntenderà crcuto elettrco a costant concentrate. La carca elettrca, ndcata con q, è la propretà ntrnseca della matera responsable de fenomen elettrc e magnetc. L untà d msura della quanttà d carca è l coulomb (). n un crcuto elettrco le carche elettrche possono muoers attraerso component e le connesson metallche. La corrente, ndcata con, che passa attraerso una data superfce (ad esempo la sezone d una connessone metallca) è defnta dalla carca elettrca che attraersa quella superfce nell untà d tempo. L untà d msura della corrente è l ampere (); un ampere è par ad un coulomb al secondo. Possamo dunque esprmere la corrente come: dq dt l moto della carca elettrca attraerso component e le connesson metallche rchede energa. La tensone, ndcata con, tra due termnal e n un crcuto è l laoro rchesto per muoere una carca posta untara da (termnale ) a (termnale ). L untà d msura della tensone è l olt (V). Possamo dunque esprmere la tensone come: dw dq Un componente elettrco deale (ed fgura ) è caratterzzato da un numero d termnal, o morsett (soltamente un componente a due termnal è detto bpolo, uno a tre termnal è detto trpolo, etc., uno a N termnal è detto N-polo,). - - Fg. omponente a tre termnal cascun termnale è assocata una corrente che è unocamente defnta, n alore e segno, una olta che sa stato arbtraramente scelto l suo erso posto (ndcato dalla frecca): una corrente = sgnfca che una corrente d ntenstà par a mpère entra nel componente attraerso l termnale, ceersa, una corrente = sgnfca che una corrente d ntenstà par a mpère esce dal componente attraerso l termnale d ogn coppa d termnal è assocata una tensone che è unocamente defnta, n alore e segno, una olta che sa stato arbtraramente scelto l termnale d rfermento (ndcato col segno ): una tensone = sgnfca che l termnale s troa ad un potenzale superore d Volt rspetto a quello del termnale, ceersa una tensone = sgnfca che l termnale s troa ad un potenzale nferore d Volt rspetto a quello del termnale. Talolta l ndcazone del e del ene sosttuta da una frecca che ndca l termnale posto. Teora de crcut -

7 Un componente con due termnal ene chamato bpolo. Nel seguto, per semplctà, s supporrà che crcut n esame sano costtut d sol bpol; se cò non fosse ero, s può pensare d rcondurs alla potes, sosttuendo component con pù d due termnal con opportun crcut equalent costtut da sol bpol: cò è scuramente possble medante l'ntroduzone d generator plotat (che erranno defnt nel seguto). ll nterno del crcuto, termnal appartenent a ders component sono collegat tramte connesson deal, caratterzzate dall'aere una tensone nulla a loro cap (ed fgura ). - Fg. onnessone deale ( = ) Un nodo d un crcuto elettrco è un punto a cu sono collegat, medante una connessone deale, due o pù termnal, oppure è un termnale solato; nod del crcuto sono qund le sue connesson deal ed termnal solat. l crcuto della fgura 4 è costtuto da cnque bpol; collegat a 4 nod (,,, D). Una sequenza chusa d nod è una successone d nod tale che l prmo nodo concde con l'ultmo. (d esempo, sono sequenze chuse,,, D, etc.) D Fgura 4. rcuto con 5 element e 4 nod. L LEGGE D KHHOFF DELLE TENSON (LKT) afferma che per una qualsas sequenza chusa d nod la somma algebrca delle tenson (tra due nod success) è nulla. on rfermento al crcuto della fgura 4, applcando la LKT alla sequenza chusa d nod s ottene la seguente equazone: = (4) Le tenson d nodo (o potenzal d nodo) d un crcuto sono le tenson d tutt nod rspetto ad un nodo assunto come rfermento, la cu scelta è arbtrara (ma a cu soltamente s attrbusce un alore nullo). La LKT permette d esprmere la tensone tra una qualsas coppa d nod del crcuto come dfferenza delle relate tenson d nodo: con rfermento alla fgura 4, supponendo d sceglere l nodo come nodo d rfermento (e posto dunque e = ), ed ndcando con e ed e le tenson d nodo de nod e (e = ; e = ) la equazone (4) permette d screre: = e e (5) Teora de crcut -

8 La sequenza chusa d nod D nddua un percorso chuso attraerso component del crcuto: tratt d tale percorso all'nterno d cascun componente engono dett ram ed l percorso, magla. n generale, un ramo d un crcuto è un percorso che collega due nod attraersando un componente; ad un bpolo è assocato un solo ramo del crcuto mentre ad un componente con pù d due termnal sono assocat pù ram (tutt percors possbl che collegano termnal del componente attraersandolo). pplcando la LKT alla magla D, tenendo conto de ers post scelt per le tenson a cap de component (tenson d ramo) e del erso d crcutazone della magla, s ottene la seguente relazone: 4 = (6) La LKT applcata ad una magla del crcuto afferma che la somma algebrca delle tenson d ramo (su ram che compongono la magla) è nulla. La LEGGE D KHHOFF DELLE OENT (LK) afferma che per ogn superfce chusa che nterseca uncamente le connesson tra component, e non component stess, la somma algebrca delle corrent che attraersano la superfce è nulla. S consder n prmo luogo una superfce chusa che racchuda al suo nterno solo un bpolo (ed fgura 5a). S Fg. 5a. Legge d Krchhoff delle corrent applcata ad un bpolo. La corrente entra nella superfce ndcata con la lnea tratteggata S nella fgura, mentre la corrente esce da tale superfce (d solto s assumono poste le corrent uscent e negate quelle entrant); la LK afferma qund che dee essere =, da cu segue che: =. Tenendo conto d cò, con rfermento alla fgura 5b s consder la superfce chusa la cu rappresentazone nel pano del dsegno è la lnea tratteggata S. S S 5 D Fgura 5b. Teora de crcut - 4

9 Le corrent che attraersano tale superfce sono la corrente e la corrente 4 che entrano nella superfce e la corrente 5 che esce, per cu la LK applcata a tale superfce permette d screre la seguente equazone: 4 5 = (7) S consder la superfce chusa la cu rappresentazone nel pano della fgura 5b è la lnea tratteggata S : tale superfce racchude al suo nterno solo l nodo e la LK ad essa assocata afferma che la somma algebrca delle corrent de ram che conergono nel nodo è nulla: 5 = (8) pplcando la LK a tutt quattro nod del crcuto d fgura 5.b, ottene qund l seguente sstema d equazon: ome è mmedato erfcare, la somma delle equazon porta ad una denttà ( = ). Tale rsultato generale è douto la fatto che ogn corrente d ramo k compare esattamente due olte, con segn oppost, nelle LK relate a nod che sono termnal del ramo k. Una delle equazon è dunque una combnazone lneare delle altre N =, e s può omettere. Le rmanent N = equazon sono charamente ndpendent n quanto, qualunque sa l equazone omessa (ad esempo la quarta, nodo D), tutte le corrent d ramo present nell equazone elmnata compaono una sola olta nelle restant equazon (ad esempo, 4 ed 5 ). Le equazon LK ndpendent sono qund N. Le due legg d Krchhoff, delle tenson e delle corrent, permettono d screre delle equazon lnear tra le tenson e le corrent che non dpendono dalla natura de component present nel crcuto, ma uncamente da come ess sono collegat tra d loro (topologa del crcuto). Sa dato un crcuto caratterzzato da ram ed N nod (ad esempo per l crcuto d fgura 5.b, N = 4 ed = 5). Per cascun ramo s assumano ers post per la tensone d ramo e la corrente d ramo assocat secondo la scelta dell utlzzatore, ossa quando la corrente entra nel termnale posto (ed fg. 6.a). ers d rfermento assocat secondo la scelta del generatore sono llustrat nella fgura 6.b, n cu la corrente esce dal termnale posto. Fg. 6.a Vers d rfermento assocat secondo la scelta dell utlzzatore per la tensone e la corrente d ramo. destra, l ndcazone del e del è sosttuta da una frecca che ndca l termnale posto. Teora de crcut - 5

10 Teora de crcut - 6 Fg. 6.b Vers d rfermento assocat secondo la scelta del generatore per la tensone e la corrente d ramo. destra, l ndcazone del e del è sosttuta da una frecca che ndca l termnale posto. Preso arbtraramente un nodo come nodo d rfermento del crcuto, la LKT permette d screre relazon del tpo (5) lnearmente ndpendent che n forma matrcale assumono la forma: = M e (9) doe è l ettore delle tenson d ramo, e è l ettore delle tenson d nodo ed M è una matrce aente rghe ed (N ) colonne, l cu generco elemento M hk rsulta nullo se l ramo h non è collegato al nodo k, uguale a se la corrente del ramo h esce dal nodo k, se la corrente del ramo h entra nel nodo k. ttolo d esempo s consder ancora l crcuto d fgura 5.b, utlzzando ers d rfermento assocat secondo la scelta dell utlzzatore per le tenson e le corrent d ramo e prendendo D come nodo d rfermento (e D = ). S ha qund: 5 4 e e e e e e e 5 4 e e e M La LK applcata a tutt nod tranne quello d rfermento permette d screre (N ) equazon del tpo (8) che n forma matrcale assumono la forma: = () doe è l ettore delle corrent d ramo ed è una matrce, chamata matrce d ncdenza rdotta, aente (N ) rghe ed colonne, l cu generco elemento hk rsulta nullo se l ramo k non è collegato al nodo h, uguale a se la corrente del ramo k esce dal nodo h, se la corrente del ramo k entra nel nodo h. ttolo d esempo s consder ancora l crcuto d fgura 5.b. S ha qund: sulta qund dalle defnzon che M è la trasposta d, coè: M = T () Dalle equazon (9), () ed () segue l TEOEM D TELLEGEN che afferma che, per un dato crcuto, preso un qualsas ettore d tenson d ramo, che soddsf le LKT (9) per quel crcuto, ed un ettore d corrent d ramo, che soddsf le LK () per quel crcuto, allora ale la seguente relazone: T = () nfatt, s ha T = (M e ) T = e T M T = e T = e T =

11 Facendo rfermento a ers d tensone e corrente assocat secondo la scelta dell utlzzaztore (fg. 6), s defnsce potenza elettrca assorbta da un bpolo n un generco stante t, l prodotto tra la tensone presente a suo termnal all'stante t e la corrente che lo attraersa n quell'stante: p(t) = (t) (t) () nfatt, dalle defnzon d = dq/dt e d = dw/dq, s ha = (dw/dq)(dq/dt) = dw/dt = p. Nel caso n cu ers della tensone e della corrente sano assocat secondo la scelta del generatore, l prodotto defnsce la potenza elettrca erogata dal bpolo. Pù n generale, facendo rfermento ad un generco componente con N termnal, la potenza elettrca assorbta da tale componente n un generco stante t è data dalla seguente espressone: N p t kn t k t k (.a) doe s è preso l'ennesmo termnale come termnale d rfermento per le tenson ed ers post delle corrent sono tutt entrant nell'elemento. S dmostra che la potenza elettrca assorbta non dpende dalla scelta del termnale d rfermento, nfatt, facendo uso delle legg d Krchhoff delle tenson prma e della legge d Krchhoff delle corrent po s ottene: p N kj k k,k j N N kn jn k kn k jn j p k,k j k,k j (.b) Se s applca l teorema d Tellegen () consderando l ettore delle tenson ed l ettore delle corrent che effettamente sono present nel crcuto ad un generco stante t, s ottene la relazone (4) che, sulla base della defnzone (), mostra come la potenza elettrca assorbta da tutt component del crcuto rsult n ogn stante nulla. (t) T (t) = (t) (t) (t) (t) = p (t) p (t) = (4). OMPONENT Nel seguto engono descrtte e dscusse le equazon costtute e le propretà fondamental d alcun tra component d mpego pù dffuso n elettrotecnca. n generale component sono caratterzzat da una relazone (caratterstca o equazone costtuta) tra la corrente che l attraersa e la tensone tra loro termnal (o). Un componente n cu sa determnable la tensone nota la corrente s dce controllato n corrente (coè, è possble almentarlo con un generatore d corrente con corrente mpressa qualsas [defnto nel seguto] e ad ogn alore della corrente mpressa corrsponde un solo alore della tensone a termnal); analogamente, un componente n cu sa determnable la corrente nota la tensone s dce controllato n tensone (coè, è possble almentarlo con un generatore d tensone con tensone mpressa qualsas [defnto nel seguto] e ad ogn alore della tensone mpressa corrsponde un solo alore della corrente assorbta). nfne, s premette che due component s dcono equalent quando presentano la stessa caratterstca tensonecorrente (anche se hanno una struttura nterna dfferente). aratterstca del componente: f(, ) = Se l componente è controllato n corrente: = h() Se l componente è controllato n tensone: = g() (o) l tempo può comparre esplctamente nella relazone caratterstca. n tal caso l componente è detto tempo-arante, altrment l componente è detto tempo-narante. Tutt component trattat nel seguto sono tempo-narant. Teora de crcut - 7

12 esstore lneare - Fgura 7 Smbolo del resstore lneare l smbolo del resstore lneare è ndcato nella fgura 7. on rfermento alla scelta dell utlzzatore per ers post d tensone e corrente, la legge costtuta del resstore è la seguente: o, alternatamente = = G (5.a) (5.b) doe è una costante chamata resstenza (msurata n [Ohm]), G è una costante chamata conduttanza (msurata n S [Semens]) e rsulta G = /. L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: p = = ( ) = = /G (6.a) o, alternatamente p = = (/) = / = G (6.b) Se la resstenza è posta, la potenza elettrca assorbta rsulta essere sempre posta, o al pù nulla quando la corrente è nulla; component che godono d tale propretà engono dett component pass. Facendo rcorso alle conoscenze della fsca, s può dmostrare che un flo d rame d lunghezza L e sezone S può essere modellato per mezzo d un resstore d resstenza par a L/S, n cu la potenza elettrca assorbta ene trasformata n energa termca medante un fenomeno noto come effetto Joule. Dalla (5.a) segue che se è nota la corrente che crcola sul resstore è nota anche la tensone a suo cap; qund l resstore è un componente controllato n corrente. noltre, se è dersa da zero, quando è nota la tensone è anche nota la corrente, par a /; qund l resstore è anche un componente controllato n tensone. Pertanto, l resstore non nullo rsulta un componente controllato sa n tensone che n corrente. La connessone deale, llustrata nella fgura ed anche chamata corto crcuto, può essere consderata un resstore lneare d resstenza nulla (o conduttanza nfnta). ome tale rsulta essere un componente controllato n corrente, ma non n tensone; nfatt ad un unco alore d tensone (zero) corrspondono nfnt alor possbl della corrente. Vceersa, un crcuto aperto, l cu smbolo è rappresentato nella fgura 8, può essere consderato come un resstore d resstenza nfnta (o conduttanza zero) e come tale è un componente controllato n tensone, ma non n corrente: nfatt all'unco alore possble della corrente (zero) corrsponde una nfntà d alor possbl della tensone a suo cap. - Fgura 8 Smbolo del crcuto aperto ( = ) Teora de crcut - 8

13 Due resstor s dcono collegat n sere quando sono percors dalla stessa corrente (fgura 9); dalle equazon costtute de due resstor s ede che ess sono equalent ad un unco resstore aente una resstenza equalente par alla somma delle due resstenze. La relazone ottenuta è generalzzable ad un numero qualsas d resstor n sere (per defnzone tutt percors dalla stessa corrente): eq = k k. eq = = = = ( ) = eq Fgura 9 esstor collegat n sere Due resstor s dcono collegat n parallelo quando la tensone a loro cap è la stessa (fgura ); dalle equazon costtute de due resstor s ede che ess sono equalent ad un unco resstore aente una resstenza equalente l cu nerso è dato dalla somma degl ners delle due resstenze (oero, rcordando la defnzone d conduttanza, due resstor n parallelo sono equalent ad un unco resstore aente una conduttanza equalente par alla somma delle due conduttanze: G eq = G G.). La relazone ottenuta è generalzzable ad un numero qualsas d resstor n parallelo (per defnzone tutt soggett alla stessa tensone): G eq = k G k. eq - - Fgura esstor collegat n parallelo eq Dodo deale l smbolo del dodo deale è ndcato nella fgura. La legge costtuta del dodo deale è rappresentata, nel pano tensone - corrente, dal semasse negato delle tenson e dal semasse posto delle corrent (ed fgura ): se la tensone anodo () - catodo (K) è negata, s dce che l dodo è polarzzato n nersa, n questo caso l passaggo della corrente è nterdetto (per qualunque alore d tensone); ceersa, se l dodo è percorso da corrente (dodo n conduzone) la tensone a suo cap è nulla (per qualunque alore d corrente). K Fgura Smbolo del dodo deale Teora de crcut - 9

14 Dodo n conduzone =, ( > ) Dodo n nterdzone =, ( < ) aratterstca = con > dodo n conduzone ( = ) Fg. aratterstca del dodo deale oppure < dodo nterdetto ( = ) ome s può edere dalla caratterstca del dodo, l dodo non è controllato né n corrente, perché quando la corrente è nulla la tensone può assumere una nfntà d alor (tutt quelle negat), ne n tensone, perché quando la tensone è nulla la corrente può assumere una nfntà d alor, tutt quell post. seconda qund che l dodo deale sa polarzzato n dretta od n nersa, può essere consderato rspettamente un corto crcuto od un crcuto aperto; n ogn caso la potenza elettrca assorbta dal dodo è nulla. Un dodo reale è generalmente realzzato a partre da un crstallo d materale semconduttore (ad esempo S, appartenente al V gruppo della taola perodca degl element) drogandolo con mpurtà d tpo p (ad esempo, appartenente al gruppo) e d tpo n (ad esempo P, appartenente al V gruppo), come llustrato nella fgura. La caratterstca tensone - corrente della gunzone p-n così ottenuta è rappresentata, nella fgura. Nella sua espressone analtca, sempre rportata nella fgura, k è la costante d oltzman (.8 - J/K), T la temperatura n K, q la carca (n modulo) dell elettrone (.6-9 ) ed la corrente nersa d saturazone, che è una corrente (tpcamente molto pccola) caratterstca del dsposto. Quando l dodo reale è n conduzone, è presente a suo cap una tensone posta (V d ) ed l dodo reale assorbe una modesta potenza elettrca dalla rete cu è collegato. Quando l dodo è polarzzato n nersa, fntanto che la tensone è nferore, n alore assoluto, ad un alore lmte (tensone d rottura o breakdown V b ) crcola una pccola corrente nersa (dal catodo all'anodo) ( ). Pertanto, anche n nterdzone l dodo reale assorbe una potenza d modesta enttà. l superamento, n alore assoluto, della tensone d breakdown l dodo s dannegga rreparablmente, consentendo la crcolazone d una ngente corrente nersa. l dodo reale può essere consderato come un resstore non lneare, la cu resstenza è una funzone della corrente. V b Fg. p n V d q kt e K Struttura e caratterstca d un dodo reale Teora de crcut -

15 nduttore lneare S defnsce nduttore lneare un componente a due termnal l cu smbolo è ndcato nella fgura 4 caratterzzato dalla seguente legge costtuta: L - Fgura 4 Smbolo dell nduttore L d (7) dt doe L è una costante chamata nduttanza dell'nduttore (msurata n H). L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: d d p L L (8) dt dt La (8) mostra come tutta la energa elettrca assorbta dall'nduttore ada ad ncrementare l termne Em L che assume qund l sgnfcato d energa magnetca mmagazznata nell'nduttore; tale energa, una olta mmagazznata, può essere nteramente resttuta a component del crcuto cu è collegato l'nduttore durante un transtoro successo. La potenza elettrca assorbta dall'nduttore può qund assumere alor sa post che negat. Un aolgmento costtuto da N spre fnemente aolte sopra un nucleo torodale d materale ferromagnetco dolce, qualora l'ntenstà della corrente che lo percorre non sa troppo eleata, n modo da poter trascurare la saturazone del materale ferromagnetco, può essere modellato come un resstore ed un nduttore collegat n sere (ed fg. 5). L - Fgura 5 nduttore reale l campo magnetco H prodotto dalla corrente, a causa dell'eleato alore della permeabltà magnetca () del materale d cu è costtuto l nucleo torodale dell'aolgmento, tende a concentrars n tale regone. S può dmostrare che, trascurando fluss dspers, l alore della nduttanza dell'nduttore è defnto dalla relazone: L H dv (9) V toro Teora de crcut -

16 La potenza elettrca assorbta dall'nduttore reale, ene n parte trasformata n energa termca per effetto Joule ed n parte mmagazznata nel campo magnetco presente all'nterno del nucleo torodale. Per sottolneare l fatto che alla energa elettromagnetca E m è assocato un campo magnetco, tale energa ene pù specfcatamente chamata energa magnetca mmagazznata nell'nduttore. L'equazone costtuta dell'nduttore (7) permette n ogn stante, se è noto l alore della tensone a suo cap, d calcolare la derata temporale della corrente che lo attraersa lascandone però completamente ndetermnato l alore. l alore della corrente nddua unocamente l'energa magnetca mmagazznata nell'nduttore e dpende dal transtoro subìto dalla corrente nel perodo precedente all'stante d tempo che s consdera. nfatt, ntegrando nel tempo la (7), supponendo che all'stante, quando è stato assemblato l crcuto ed è nzato l transtoro, la corrente sull'nduttore fosse nulla, s ottene: t ( t) L d () La () mostra che l alore della corrente all'stante t dpende dal alore della tensone n tutt gl stant precedent. Per ndcare cò s dce che l'nduttore è un componente dotato d memora. l alore della corrente che attraersa l'nduttore nddua unocamente l'energa magnetca mmagazznata al suo nterno e percò costtusce la sua arable d stato. ondensatore lneare l smbolo del condensatore è ndcato nella fgura 6, la sua legge costtuta è la seguente: d dt () doe è una costante chamata capactà del condensatore (msurata n F). - Fgura 6 Smbolo del condensatore L espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: d d p () dt dt La () mostra come tutta la energa elettrca assorbta dall'nduttore ada ad ncrementare l termne Ee che assume qund l sgnfcato d energa elettromagnetca mmagazznata nel condensatore; tale energa, una olta mmagazznata, può essere nteramente resttuta a component del crcuto cu è collegato l condensatore durante un transtoro successo. La potenza elettrca assorbta dal condensatore può qund assumere alor sa post che negat. Un clndro ed una corona clndrca coassal, costtut d materale conduttore, separate da una corona clndrca, coassale con le precedent, costtuta d materale solante, formano un condensatore clndrco che può essere modellato con buona approssmazone medante un condensatore deale (ed fg. 7). Teora de crcut -

17 - Fgura 7 ondensatore clndrco Quando una carca q ene spostata tramte una connessone elettrca dalla armatura esterna (collegata al termnale ) a quella nterna (collegata al termnale ), la regone d spazo occupata dall'solante nterposto tra le armature del condensatore è sede d un campo elettrco. Trascurando l campo elettrco all'esterno d tale regone, l alore della capactà del condensatore è defnto dalla relazone: E dv () V solante doe è la costante delettrca dell'solante. La potenza elettrca assorbta dal condensatore clndrco ene mmagazznata nel campo elettrco presente nell'solante tra le armature del condensatore. Per sottolneare l fatto che alla energa elettromagnetca E e è assocato un campo elettrco, tale energa ene pù specfcatamente chamata energa elettrca mmagazznata nel condensatore. Le relazon (,, ) mostrano come essta una relazone d dualtà tra l condensatore e l'nduttore; nfatt è possble ottenere le relazon caratterstche d un componente da quelle dell'altro, scambando tra d loro smbol della tensone con la corrente, dell'nduttanza con la capactà, del campo magnetco con l campo elettrco e della permeabltà magnetca con la costante delettrca. nalogamente all'nduttore, anche l condensatore è un componente con memora; ntegrando la () dall'stante, n cu è stato assemblato l crcuto ed n cu la tensone a cap del condensatore s è supposta nulla, al generco stante t s ottene: t ( t) d (4) La (4) mostra che l alore della tensone n un generco stante t dpende dal alore della corrente n tutt gl stant precedent. l alore della tensone a cap del condensatore nddua unocamente l'energa elettrca mmagazznata al suo nterno e percò rappresenta la sua arable d stato. nfne, dalla 4, s rconosce anche che la carca Q presente sull armatura posta (coè quella collegata al termale posto) è legata alla tensone dalla relazone Q =. Teora de crcut -

18 Generatore d tensone E - E - - (a) E E - (b) Fgura 8 Sm bol del generatore d tensone smbol che engono utlzzat per l generatore ndpendente d tensone sono ndcat nella fgura 8a, quell utlzzat per l generatore d tensone plotato (o dpendente) nella fgura 8b ( due smbol engono usat nella letteratura scentfca con uguale frequenza e sono del tutto equalent);. Nel caso del generatore d tensone ndpendente, la tensone mpressa E del generatore (o forza elettro-motrce del generatore) è una funzone nota del tempo, nel caso del generatore d tensone plotato, la tensone mpressa dpende dal alore della tensone (generatore d tensone plotato n tensone: GTPT) o della corrente (generatore d tensone plotato n corrente: GTP) d un altro ramo del crcuto. on rfermento a ers post delle grandezze ndcat nella fgura 8a, l'equazone costtuta del generatore d tensone ndpendente è la seguente: = E (5) n fgura sono llustrat generator plotat GTPT e GTP aent caratterstca lneare. p k p p k p GTPT GTP aratterstca: = k p aratterstca: = k p L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: p = = E (6) La potenza elettrca assorbta rsulta qund posta o negata a seconda che la corrente attraers l generatore nel erso assocato o non assocato secondo la conenzone degl utlzzator rspetto a quello della tensone mpressa. l generatore ndpendente d tensone è qund n grado d assorbre od erogare, n dpendenza dalle condzon d laoro del crcuto, una potenza elettrca d alore qualsas, mantenendo comunque nalterato l alore della tensone a suo cap. l generatore ndpendente d tensone è un componente controllato n corrente. l generatore dpendente d tensone non è un componente controllato né n tensone né n corrente. Teora de crcut - 4

19 Una battera (generatore d tensone reale) può essere modellata elettrcamente medante lo schema llustrato nella fgura 9, costtuto da un resstore e da un generatore ndpendente d tensone collegat n sere. E Fgura 9a Modello crcutale d una battera l generatore d tensone permette d smulare la trasformazone d energa chmca n elettrca e ceersa che aene all'nterno della battera; la tensone mpressa E è par alla tensone a cap della battera durante l funzonamento a uoto (quando non eroga corrente). La resstenza del resstore, ene detta resstenza nterna della battera e permette d smulare la dsspazone d energa elettrca, per effetto Joule, n calore che ene ceduto all'ambente crcostante, che accompagna l passaggo della corrente nella battera. questa dsspazone è assocata una caduta d tensone. La caratterstca tensone-corrente del bpolo d fgura 9a è llustrata n fgura 9b. l generatore d tensone reale (la battera) è un componente controllato sa n tensone che n corrente. E / = E E Fgura 9b aratterstca tensone-corrente d un generatore d tensone reale (battera). Generatore d corrente (a) (b) - Fgura Smbol del generatore d corrente Teora de crcut - 5

20 smbol che engono utlzzat per l generatore ndpendente d corrente sono ndcat nella fgura a, quell che engono utlzzat per l generatore d corrente plotato (o dpendente) nella fgura b ( due smbol engono usat nella letteratura scentfca con uguale frequenza e sono del tutto equalent). Nel caso del generatore ndpendente la corrente mpressa () è una funzone nota del tempo, mentre nel caso del generatore plotato dpende da un'altra grandezza che può essere la corrente (generatore d corrente plotato n corrente: GP) o la tensone (generatore d corrente plotato n tensone: GPT) d un altro componente del crcuto. on rfermento a ers post delle grandezze ndcat nella fgura, l'equazone costtuta del generatore d corrente è la seguente: = (7) n fgura sono llustrat generator plotat GPT e GP aent caratterstca lneare. p k p GPT p k p GP aratterstca: = k p aratterstca: = k p L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: p = = (8) La potenza elettrca assorbta rsulta qund posta o negata a seconda che la tensone a cap del generatore abba erso assocato o non assocato (secondo la conenzone degl utlzzator) rspetto a quello della corrente mpressa. l generatore ndpendente d corrente è qund n grado d assorbre od erogare, n dpendenza dalle condzon d laoro del crcuto, una potenza elettrca d alore qualsas, mantenendo comunque nalterato l alore della corrente che lo attraersa. l generatore ndpendente d corrente è un componente controllato n tensone. l generatore dpendente d corrente non è un componente controllato né n tensone né n corrente. dfferenza de component st n precedenza, non esste un componente elettrco reale che enga modellato elettrcamente, con buona approssmazone, da un solo generatore d corrente. l generatore d corrente nterene nece nel crcuto elettrco equalente de dspost elettronc. d esempo, è possble realzzare un crcuto complesso che modella un transstore npn n cu sono present due generator d corrente plotat n corrente. l trasformatore deale l trasformatore deale è un doppo bpolo l cu funzonamento è descrtto dalle seguent relazon lnear: = K (9.a) = K (9.b) Doe la costante K è detta rapporto d trasformazone. l smbolo del trasformatore deale è ndcato nella fgura. S not che n fgura una coppa d termnal è segnata con un punto, ndcando qund ers d rfermento post delle tenson e delle corrent per cu le equazon costtute () sono corrette. n fgura 6 è mostrato noltre uno de possbl crcut equalent del trasformatore deale. S not anche che, poché l trasformatore deale è un componente deale defnto dalle (), le relazon tra tenson e corrent a prmaro e secondaro sono alde per tutte le forme d onda (ncluso qund l regme stazonaro). Teora de crcut - 6

21 aratterstche K : K K = K K Fgura - Trasformatore deale e crcuto equalente. La potenza assorbta dal trasformatore deale è nulla; nfatt, con rfermento a ers d rfermento post delle tenson e delle corrent defnt n fgura, s ha t t t t t K t t K t t t t t t p Qund la somma delle potenze assorbte a prmaro e secondaro è complessamente nulla, oero la potenza assorbta a prmaro dal trasformatore deale (p = ) rsulta n ogn stante uguale a quella erogata al secondaro (p = ). nche se non assorbe potenza, l trasformatore deale muta parametr (tensone e corrente) con cu la energa elettrca ene assorbta a prmaro ed erogata a secondaro: la tensone ene rdotta (od aumentata) d un fattore par al rapporto d trasformazone del trasformatore K mentre la corrente ene aumentata (o dmnuta) dello stesso fattore. Quando a secondaro d un trasformatore deale è collegato un resstore d resstenza, l prmaro s comporta come un resstore d resstenza equalente K. Tale equalenza è llustrata nella fgura e prende l nome d rduzone da secondaro a prmaro. La dmostrazone è mmedata: (t) = K (t) = K [ (t)] = K [ K (t)] = K (t) K : = e = K Fgura - duzone da secondaro a prmaro. Teora de crcut - 7

22 METOD PE L'NLS DE UT Nel seguto engono llustrat, medante esemp, alcun tra metod pù utlzzat per l'anals de crcut elettrc. l problema che s uole rsolere è l seguente: assegnato l crcuto elettrco e le grandezze mpresse da generator ndpendent present, n generale funzon qualunque del tempo, s uole calcolare l'andamento temporale delle corrent e delle tenson n tutt ram del crcuto. ome gà detto, s suppone per semplctà che tutt component sano de bpol, potendos rcondurre alla potes medante l'ntroduzone d crcut equalent de component a pù d due termnal. Gl esemp llustrat s rferscono, per semplctà, a crcut n regme stazonaro (o regme d corrente contnua), defnto dalla condzone d/dt. n tal caso, ogn grandezza nel crcuto s suppone tempo-narante. D UT GF È possble assocare ad ogn crcuto un enttà matematca G chamata grafo, formata da un nseme d nod N (nod del crcuto) e da un nseme d ram (ram del crcuto) che collegano nod tra loro. Notamo che s è così edenzata la struttura topologca del crcuto, coè l modo n cu sono conness component tra loro, senza preoccupars delle caratterstche de component stess. d ogn ramo sono assocat una corrente d ramo ed una tensone d ramo. È possble assocare ad ogn nodo un potenzale (tensone d nodo) defnta come tensone esstente tra l nodo n esame e l nodo d rfermento, l cu smbolo è, scelto arbtraramente. Una propretà del crcuto che s trasfersce al corrspondente grafo è la propretà d connessone, secondo la quale tutto l crcuto è connesso elettrcamente, e qund per ogn nodo del crcuto è possble troare un percorso che, seguendo ram del grafo, connetta tale nodo al nodo d rfermento (nel caso n cu l crcuto non sa connesso edremo che è sempre possble connetterlo nterponendo un collegamento tra ogn coppa d crcut non conness). Ogn ramo del grafo dee essere orentato, ottenendo così un grafo orentato: questa orentazone corrsponde al erso posto della corrente n quel ramo. L orentazone della tensone del ramo può essere fatta ndpendentemente da quella della corrente. Tuttaa, usualmente la tensone sarà orentata secondo la conenzone degl utlzzator n modo che la corrente ada dal termnale posto a quello negato. on questa conenzone, la potenza p(t) = (t) (t) è assorbta se posta, erogata se negata. Se la tensone è orentata n senso opposto (conenzone de generator), allora la potenza è assorbta se negata, erogata se posta. ttolo d esempo s consder l crcuto llustrato nella fgura (N = 4 nod, = 6 ram), doe non sono stat ndcat ers post delle tenson d ramo, perché s suppone d consderare comunque ers d rfermento assocat per tenson e corrent d ramo medante la scelta dell utlzzatore. l grafo orentato corrspondente è llustrato n fgura.a. 5 E D 5 6 D 6 Fgura Fgura.a Metod per l anals de crcut -

23 Le Legg d Krchhoff (delle Tenson e delle orrent) c permettono d screre delle equazon che descrono la topologa del crcuto, oero l modo n cu component sono conness tra loro: La Legge d Krchhoff delle orrent (LK) afferma che la somma algebrca delle corrent n un nodo è nulla n qualsas stante d tempo. - Equazone per un nodo (LK n ): r La Legge d Krchhoff delle Tenson (LKT) può essere formulata n due mod equalent tra loro: - La somma algebrca delle tenson d ramo su ram d una magla è nulla per qualsas stante d tempo; - Equazone per una magla (LKT m ): - Ogn tensone d ramo è data dalla dfferenza de potenzal d nodo de suo termnal. - Equazone per un ramo (LKT r ): e e (.c) n r m r r (.a) (.b) Scramo le equazon LK e LKT utlzzando l grafo assocato al crcuto. Supponamo che l grafo assocato abba N nod e ram orentat. on rfermento al grafo d fgura.a, N = 4 (,,, D) e = 6. S scelga ad esempo l nodo D come nodo d rfermento per le tenson e s ndchno con e, e ed e le tenson de nod, e rspetto al nodo d rfermento (e D = ). Le equazon LKT r e LK n assumono allora la forma rspettamente delle (.) e (.): LKT r : e e e e e e e e e (una equazone per ogn ramo, qund n generale equazon n cu compaono tenson d ramo ed N potenzal d nodo; nell esempo n oggetto possamo qund screre 6 LKT r n cu compaono 6 tenson d ramo ed potenzal d nodo) LK n : (una equazone per ogn nodo, meno quello d rfermento, qund n generale N equazon n cu compaono corrent d ramo; nell esempo n oggetto possamo qund screre LK n n cu compaono 6 corrent d ramo). È oamente possble screre una ulterore LK n applcata al nodo d rfermento ( = ), ma è facle mostrare che è una combnazone lneare delle precedent N. nfatt, tale equazone s ottene sommando le (.). S not che le (.) e le (.) sono N equazon n N ncognte (tenson d ramo, potenzal d nodo e corrent d ramo): per rsolere l crcuto dobbamo aggungere ancora equazon, e precsamente modell de component. (.) (.) Metod per l anals de crcut -

24 La LKT può essere enuncata consderando le magle del crcuto (secondo la formulazone.b). Per questo, ntroducamo l concetto d albero T assocato ad un grafo G:. T è un sottografo d G con tutt nod e una parte de ram; ogn ramo consera la sua orentazone;. T è connesso;. T non ha magle: c è un solo percorso che collega ogn coppa d nod. Oamente, ad ogn grafo è assocato pù d un albero. omunque, ogn albero T ha N ram. ram d G appartenent a T sono chamat ram dell albero, mentre rmanent sono chamat ram del coalbero (e sono N ). Se aggungamo un ramo del coalbero a T, creamo una magla che è formata da ram dell albero e da quell unco ramo del coalbero (magla fondamentale). Per ogn ramo del coalbero, possamo rpetere l operazone formando ogn olta una magla dersa, ndpendente da tutte le altre (*). S può allora dmostrare che l numero d magle ndpendent d un crcuto (coè l nseme delle magle fondamental) è par a ram del coalbero, e precsamente (N ) = N. ttolo d esempo s consder l grafo llustrato nella fgura.a; uno de possbl alber è llustrato n fgura.b (ram, e 4). ram tratteggat sono quell d coalbero (ram, 5 e 6). Le magle ndpendent sono qund N =, (n partcolare a =, b = 4D6, c = D45D). a b c 4 5 D 6 Fgura.b pplcando la LKT m alle magle così defnte s ottene l seguente sstema d equazon lnear n cu compaono solo le tenson d ramo: LKT m : 4 6 (.) 4 5 (una equazone per ogn magla ndpendente qund n generale N equazon n cu compaono tenson d ramo; nell esempo n oggetto possamo qund screre LKT m n cu compaono 6 tenson d ramo) S not che le (.) e le (.) sono equazon n ncognte (tenson d ramo e corrent d ramo): per rsolere l crcuto dobbamo aggungere ancora equazon, e precsamente modell de component. Operatamente, per troare le magle ndpendent d un crcuto, s dee assocare un albero T al grafo G del crcuto, qund screre la LKT m per ogn magla assocata ad un ramo del coalbero. (*) Un nseme d m magle s dce ndpendente se le m equazon ottenute applcando la LKT ad ognuna d esse sono lnearmente ndpendent. Pertanto, una magla è ndpendente da altre se la relata equazone LKT è ndpendente dalle equazon LKT delle altre. Metod per l anals de crcut -

25 UT PV D MEMO crcut pr d memora sono quell n cu tutt component del crcuto sono pr d memora ossa le loro caratterstche tensone-corrente stablscono un legame stantaneo tra le due grandezze che non dpende da alor da esse assunte n precedenza. n tal caso l sstema rsolente del crcuto stesso è costtuto da un sstema d equazon algebrche ed l alore d tutte le grandezze ncognte n un generco stante può essere calcolato dalla conoscenza del alore delle grandezze mpresse del crcuto n quello stesso stante. nals d Tableau l metodo pù generale, per l'anals d un crcuto qualunque ( = numero d ram del crcuto, N = numero d nod del crcuto), consste nel consderare come ncognte del sstema le corrent d ramo, le tenson d ramo e le (N ) tenson d nodo rspetto ad un nodo arbtraramente scelto come nodo d rfermento. l sstema rsolente ene qund ottenuto da equazon LKT r (una per ogn ramo), da N equazon LK n (una per ogn nodo, tranne quello d rfermento) e da equazon costtute de component. ttolo d esempo s consder l crcuto llustrato nella fgura, doe non sono stat ndcat ers post delle tenson d ramo, perché s suppone d consderare comunque ers d rfermento assocat con la regola dell utlzzatore per tenson e corrent d ramo. 5 E D Fgura S scelga arbtraramente l nodo D come nodo d rfermento per le tenson e s ndchno con e, e ed e le tenson de nod, e rspetto al nodo d rfermento. Le equazon LKT r e LK n assumono allora la forma rspettamente delle (.) e (.): e e ( = 6 equazon LKT r n cu compaono come ncognte = 6 tenson d ramo ed N = potenzal d nodo) e e e e e e e (.) Metod per l anals de crcut - 4

26 (N = equazon LK n n cu compaono come ncognte = 6 corrent d ramo) l sstema ene qund chuso dalle seguent equazon costtute de component: ( = 6 equazon costtute de component n cu compaono come ncognte = 6 tenson d ramo ed = 6 corrent d ramo) E l sstema costtuto dalle equazon (.), (.) e (), doe sono note le grandezze E,,,, ed 4, costtusce un sstema d 5 equazon nelle 5 ncognte del problema che sono rspettamente e, e, e,,,, 4, 5, 6,,,, 4, 5, 6. l sstema d equazon rsolente è non lneare per la presenza del dodo che è un componente non lneare (ultma equazone delle ()). l procedmento llustrato è completamente trasferble su un computer e la soluzone (o le soluzon matematcamente possbl, poché n generale, essendo l sstema non lneare, può esstere pù d una soluzone) può essere ottenuta numercamente. n questo caso la soluzone può essere ottenuta elmnando la non lneartà del sstema, consderando separatamente due cas possbl: dodo n conduzone ( 6 >, 6 = ) oppure dodo nterdetto ( 6 =, 6 < ). Dodo n conduzone. Ponendo 6 = nelle (.) ed elmnando contemporaneamente l'ultma equazone delle () che è dentata una denttà, s ottene un sstema d 4 equazon lnear nelle 4 ncognte e, e, e,,,, 4, 5,,,, 4, 5, 6, la cu soluzone è la seguente: e e E e E ; ; 4 E ; E ; E 4 E E E 4 E 4 4 E E ; ; ; 4 E 4 E ffnché la soluzone troata non contraddca l'potes d dodo n conduzone dee essere 6 > e qund, dalla ultma delle (4) dee essere: (.) () (4) E 4 (5) Metod per l anals de crcut - 5

27 Dodo nterdetto. Ponendo 6 = nelle (.) ed elmnando contemporaneamente l'ultma equazone delle () che è dentata una denttà, s ottene un sstema d 4 equazon lnear nelle 4 ncognte e, e, e,,,, 4, 5, 6,,,, 4, 5, la cu soluzone è la seguente: e E ; e ; e E ; E ; E E ; ; ; E 6 4 ffnché la soluzone troata non contraddca l'potes d dodo nterdetto dee essere 6 < e qund dalla ultma delle (6) dee essere: (6) E 4 (7) Dal confronto della (5) con la (7) s ede che, una olta assegnat alor d E, ed 4, una sola delle due soluzon è accettable. assumendo, per applcare l metodo d Tableau ad un crcuto connesso qualunque ( = numero d ram del crcuto, N = numero d nod del crcuto), s prende arbtraramente un nodo come nodo d rfermento del crcuto, s applca la LKT r ad ogn ramo del crcuto, s applca la LK n a tutt nod tranne quello d rfermento e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: equazon LKT r = M e N equazon LK n = equazon caratterstche f (, ) = doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), e è l ettore delle tenson d nodo (dmensone N ), M è una matrce costante (N ) ed è una matrce costante (N ) [ome s è gà sto, rsulta che M è la trasposta d, coè: M = T ]. n generale la funzone f può dpendere anche dalla arable temporale t, ma tale dpendenza, per semplctà d notazone, non è esplctamente ndcata. l sstema rsolente contene dunque N equazon n N ncognte. Nel caso partcolare n cu tutt component sano resstor lnear, generator ndpendent d tensone e d corrente oppure generator plotat con caratterstca lneare, la rete s defnsce lneare e le equazon delle caratterstche possono essere scrtte nella forma equazon caratterstche H K = S doe H è una matrce costante, K è una matrce costante ed S è l ettore d dmensone che contene le tenson e le corrent mpresse da generator ndpendent (su ram n cu sono present e zero altroe). n tal caso l sstema rsolente è lneare ed è possble esprmere ogn a- Metod per l anals de crcut - 6

28 rable come combnazone lneare delle sole tenson e corrent mpresse da generator ndpendent. on rfermento alla corrente sul k-esmo ramo potremo qund screre: k k n gen. nd. tensone g, nes, n k, ms, m per ogn k m gen. nd. corrente Tale relazone è l enuncato del Prncpo d Sorapposzone degl Effett: n una rete lneare la corrente n un generco ramo (effetto) è uguale alla somma algebrca delle corrent che sarebbero prodotte da sngol generator ndpendent present nella rete se agssero separatamente. Lo stesso ale per le tenson d ramo e d nodo (o). Elmnazone delle tenson d nodo Le soluzon (4) e (6) sono state ottenute rsolendo un sstema d 4 equazon lnear n 4 ncognte. Tale soluzone, anche se la matrce del sstema è sparsa, può rsultare complessa. L ordne del sstema rsolente può essere rdotto osserando che è possble ottenere un sstema d equazon ndpendent nelle sole tenson e corrent d ramo ncognte. S consder nfatt la fgura n cu sono ndcate ( N rsulta n questo caso uguale a ) magle ndpendent del crcuto ndduate n fgura.b. pplcando la LKT m alle magle così defnte s ottene l seguente sstema d equazon lnear n cu compaono solo le tenson d ramo: ( N = equazon LKT m n cu come ncognte compaono = 6 tenson d ramo) (.) (o) solere una rete lneare con l prncpo d sorapposzone degl effett sgnfca allora scomporre la rete orgnara n tante rete parzal quant sono generator ndpendent, calcolare la corrente ne ram per ognuna d queste ret, e sommare algebrcamente le corrent parzal. S calcol ad esempo la corrente nella resstenza della rete d fgura. S ha: Ponendo E ; E s ha, doe ' ed '' sono le corrent nelle due sottoret: E = E ' ' '' '' La prma è la rete che s ottene da quella orgnara, annullando l'azone del generatore ndpendente d corrente, la seconda quella n cu è annullata l'azone del generatore ndpendente d tensone. La fgura llustra l concetto mostrando, nel contempo, n che modo s esclude l'azone de generator: generator ndpendent d tensone nulla sono equalent a cortocrcut, generator ndpendent d corrente nulla sono equalent a crcut apert. Metod per l anals de crcut - 7

29 5 E a b c Fgura Le LKT m (.), le LK n (.) e le relazon costtute () costtuscono un sstema d equazon, rsolendo l quale è possble calcolare le ncognte tenson e corrent d ramo. (N = equazon LK n n cu compaono come ncognte = 6 corrent d ramo) ( = 6 equazon costtute de component n cu compaono come ncognte = 6 tenson d ramo ed = 6 corrent d ramo) D E nfne, per tutt component controllat n tensone (n questo esempo l ramo 5) o n corrente (n questo esempo ram,,, e 4), è possble sostture le equazon costtute nelle LKT m ed LK n. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a (Numero d component non controllat né n tensone né n corrente), n altrettante arabl (tenson o corrent d ramo). Nell esempo n oggetto otterremo qund (dato che l dodo è l unco componente presente non controllato né n tensone né n corrente) l seguente sstema d 7 equazon nelle ncognte 5, 6,,,, 4, 6 : ( N = equazon LKT m ) (N = equazon LK n ) (equazone costtute de component non controllat né n tensone né n corrente) E (.) () (.) (.) 6 6 (.) assumendo, per applcare l metodo dell elmnazone delle tenson d nodo ad un crcuto connesso qualunque ( = numero d ram del crcuto, N = numero d nod del crcuto), s applca la LKT m ad ogn magla ndpendente del crcuto, s applca la LK n a tutt nod tranne uno e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: Metod per l anals de crcut - 8

30 N equazon LKT m = N equazon LK n = equazon caratterstche f (, ) = doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), è una matrce costante ( N ) ed è una matrce costante (N ). l sstema rsolente contene dunque equazon n ncognte. Tuttaa, se tutt component sono controllat n tensone o n corrente è possble sostture le caratterstche nelle LKT ed LK, gungendo ad un sstema rsolente d equazon n ncognte. Metodo de Tagl Fondamental Una dfferente semplfcazone del sstema rsolente (.), (.), () s può ottenere osserando che le LK permettono d esprmere la corrente n cascun ramo d albero come una combnazone lneare delle corrent su ram d coalbero. nfatt, dato che l albero assocato al grafo è, per defnzone, pro d magle, è sempre possble assocare ad ogn ramo d albero una superfce chusa (superfce d taglo) che ntersech, oltre ad esso, solo ram d coalbero. L nseme de ram ntersecat da tale superfce chusa prende l nome d taglo (la rmozone del taglo separa l grafo n due sotto-graf non conness). Se l taglo contene un solo ramo d albero, esso prende l nome d taglo fondamentale relato a quel ramo e a quell albero. n fgura.b sono llustrat tre superfc che ndduano tagl fondamental assocat a ram d albero (tagl fondamental: [,, 6], [, 6], [4, 5, 6]) da cu è possble rcaare le (8) applcando la Legge d Krchhoff delle orrent su tal superfc (LK t ) D Fgura.b (N = equazon LK t n cu compaono come ncognte = 6 corrent d ramo) 4 (una relazone per ogn ramo d albero qund n generale N relazon che esprmono le N corrent d albero n funzone delle N corrent su ram d coalbero; nell esempo n oggetto possamo qund screre relazon che esprmono le corrent d albero, e 4 n funzone delle corrent su ram d coalbero, 5 e 6 ) (8) Metod per l anals de crcut - 9

31 Dato che le (8) sono state ottenute applcando la Legge d Krchhoff delle orrent, esse rsultano equalent alle (.) (nfatt sosttuendo le (8) nelle (.) s ottengono tre denttà = ). noltre, per tutt component su ram d albero è possble sostture le relazon (8) nelle relazon costtute de component. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a N, n altrettante arabl (tenson d ramo e corrent d coalbero). Nell esempo n oggetto otterremo qund l seguente sstema d 9 equazon nelle ncognte,,, 4, 5, 6,, 5, 6 : ( N = equazon LKT m n cu come ncognte compaono = 6 tenson d ramo) ( = 6 equazon costtute de component n cu compaono come ncognte = 6 tenson d ramo ed N = corrent d coalbero) E (.) nfne, per tutt component controllat n corrente (n questo esempo ram,,, e 4), è possble sostture le equazon costtute nelle LKT m. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a N (Numero d component non controllat n corrente), n altrettante arabl (tenson d ramo o corrent d coalbero). Nell esempo n oggetto otterremo qund (dato che l dodo ed l generatore d corrente non sono controllat n corrente) l seguente sstema d 5 equazon nelle ncognte 5, 6,, 5, 6 : ( N = equazon LKT m ) E (equazone costtute de component 5 non controllat n corrente) (8.) (8.) (8.) S not che rsulta conenente, se possble, sceglere ram dell albero escludendo quell contenent generator d corrente ndpendent. n tal caso nfatt, s ottengono drettamente delle equazon del tpo 5 = (relazone costtuta del generatore d corrente), che consentono d rdurre drettamente l ordne del sstema. assumendo, per applcare l metodo de Tagl fondamental ad un crcuto connesso qualunque ( = numero d ram del crcuto, N = numero d nod del crcuto), s defnsce un albero (ed un coalbero), s applca la LKT m ad ogn magla fondamentale, s applca la LK t ad ogn taglo fondamentale e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: N equazon LKT m = N equazon LK t ed N denttà = Q c equazon caratterstche f (, ) = doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), c è l ettore delle corrent de ram d coalbero (dmensone N ), è una ma- Metod per l anals de crcut -

32 trce costante ( N ) detta matrce delle magle fondamental e Q è una matrce costante ( N ) [le prme N rghe d Q corrspondono ad denttà] detta matrce de tagl fondamental. È dunque sempre possble sostture le LK nelle equazon caratterstche ottenendo l sstema rdotto N equazon LKT m = equazon caratterstche f (Q c, ) = l sstema rsolente contene dunque N equazon n N ncognte. Tuttaa, se tutt component sono controllat n corrente, coè se f (, ) = h(), è possble sostture le caratterstche nelle LKT, gungendo ad un sstema rsolente d N equazon nelle N ncognte corrent de ram d coalbero. N equazon LKT m h(q c ) = Metodo de potenzal d nodo Quando l numero de nod N del crcuto è pccolo, è possble e conenente utlzzare l metodo dell'anals de nod per screre un sstema rsolente d (N ) equazon nelle (N ) tenson d nodo ncognte del crcuto. tale scopo s consderno nuoamente le (.), (.) e (): ( = 6 equazon LKT r n cu compaono come ncognte = 6 tenson d ramo ed N = potenzal d nodo) (N = equazon LK n n cu compaono come ncognte = 6 corrent d ramo) ( = 6 equazon costtute de component n cu compaono come ncognte = 6 tenson d ramo ed = 6 corrent d ramo) e e e e e e e e e E Per ogn ramo è possble sostture le relazon (.) nelle relazon costtute de component (). Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a N, n altrettante arabl (potenzal d nodo e corrent d ramo). Nell esempo n oggetto otterremo qund l seguente sstema d 9 equazon nelle ncognte e, e, e,,,, 4, 5, 6 : (.) (.) () Metod per l anals de crcut -

33 (N = equazon LK n n cu compaono come ncognte = 6 corrent d ramo) ( = 6 equazon costtute de component n cu compaono come ncognte = 6 corrent d ramo ed N = potenzal d nodo) nfne, per tutt component controllat n tensone (n questo esempo ram,, 4 e 5), è possble esplctare le corrent e sostture le equazon costtute nelle LK [ = (e e )/, = (e e )/, 4 = e / 4, 5 = ]. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a N (Numero d component non controllat n tensone), n altrettante arabl (corrent d ramo o potenzal d nodo). Nell esempo n oggetto otterremo qund (dato che l dodo ed l generatore d tensone non sono controllat n tensone) l seguente sstema d 5 equazon nelle ncognte e, e, e,, 6 : (N = equazon LK n ) e e e e e e e 5 e e e e e 6 e e e 4 (equazon costtute de component non controllat n tensone) e e e 6 4 E 6 4 e e E (.) (9.) (9.) (9.) assumendo, per applcare l metodo de potenzal d nodo ad un crcuto connesso qualunque ( = numero d ram del crcuto, N = numero d nod del crcuto), s prende arbtraramente un nodo come nodo d rfermento del crcuto, s applca la LKT r ad ogn ramo del crcuto, s applca la LK n a tutt nod tranne quello d rfermento e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: equazon LKT r = M e N equazon LK n = equazon caratterstche f (, ) = doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), e è l ettore delle tenson d nodo (dmensone N ), M è una matrce costante (N ) ed è una matrce costante (N ). È dunque sempre possble sostture le LKT nelle equazon caratterstche ottenendo l sstema rdotto N equazon LK n = equazon caratterstche f (, M e) = Metod per l anals de crcut -

34 l sstema rsolente contene dunque N equazon n N ncognte. Tuttaa, se tutt component sono controllat n tensone, coè se f (, ) = g(), è possble sostture le caratterstche nelle LK, gungendo ad un sstema rsolente d N equazon nelle N ncognte tenson d nodo. N equazon LK n g(m e) = l metodo de potenzal d nodo è partcolarmente utle quando l numero d nod è pccolo e tutt component sono controllat n tensone. ome esempo lmte s consder l crcuto llustrato nella fgura, che contene un solo nodo ndpendente (N = ). Tre component, costtut cascuno da un generatore ndpendente d tensone e da un resstore collegat n sere (generatore d tensone reale), sono collegat n parallelo a un generatore d corrente. Prendendo l nodo come nodo d rfermento, è presente una sola tensone d nodo e = ncognta. E E 4 E ascuno de component è controllato n tensone. nfatt, dalla legge costtuta de component, s può esprmere la corrente n ogn ramo del crcuto n funzone della tensone a suo cap: = E k k k k = G k (E k ), k =,, 4 = La tensone a cap d cascun ramo, dalle LKT r può essere espressa come dfferenza delle tenson d nodo de nod cu l ramo è collegato. l sstema rsolente s ottene screndo la LK n per ogn nodo del crcuto, escluso quello d rfermento, e rsulta qund costtuto da (N ) = equazon nelle (N ) = tenson d nodo ncognte. on rfermento all'esempo d fgura rsulta: Ek GkEk k k k 4 Gk E k k Gk k k k () L'ultma relazone delle (), che mostra la relazone tra la tensone d nodo, le tenson e la corrente mpresse de generator e le resstenze de ram stess; ene anche ndcata col nome d Teorema d Mllman, e può essere estesa ad un numero qualsas d generator real n parallelo. Supponendo, ad esempo, che dat del problema sano: E = V, E = 5 V, E = V, =.5, =.5, = 5, = dalla () s ottene =. V e sosttuendo nelle () =.8, =.8, =.6. () Teorema d Theenn potes. Sono dat due bpol, L ed N collegat come llustrato nella fgura. l bpolo L è una rete lneare e controllato n corrente, mentre l bpolo N può essere qualsas, anche non lneare. Metod per l anals de crcut -

35 Tes. Lmtatamente alla corrente ed alla tensone alla porta, l crcuto che s ottene sosttuendo l bpolo L (quello lneare) con un generatore d tensone ed un bpolo L' collegat n sere, è equalente n ogn stante al crcuto orgnale. l bpolo L' s ottene dal bpolo L annullando le grandezze mpresse de generator ndpendent d tensone e d corrente eentualmente present ( generator ndpendent d tensone engono qund sosttut con de corto-crcut ed generator ndpendent d corrente engono sosttut con de crcut apert). La tensone mpressa E del generatore d tensone d Theenn è par al alore della tensone alla porta del bpolo L quando la corrente è nulla (È da notare che l erso posto d E è arbtraro: una olta scelto l erso posto, l alore d E è par alla tensone se l termnale posto è, è par nece a se l termnale posto è ) N L N L' E Fgura Teorema d Theenn Dmostrazone: poché l bpolo L è controllato n corrente (data la corrente è possble determnare la tensone a termnal), è possble, a fn del calcolo della tensone, sostture al bpolo N un generatore d corrente ndpendente la cu corrente mpressa (t) concde con la corrente assorbta dal bpolo L. N L (t) L Dato che l bpolo L è lneare, è possble applcare l prncpo d sorapposzone degl effett. n partcolare, consderamo due crcut: nel prmo azzeramo generator ndpendent n L (e ndcheremo tale bpolo con L', nel secondo azzeramo l generatore ndpendente d corrente (come gà sto, generator ndpendent d tensone nulla sono equalent a cortocrcut, generator ndpendent d corrente nulla sono equalent a crcut apert). Metod per l anals de crcut - 4

36 (t) L = L (t) L S ha: e = ' '', doe ' ed '' sono le corrent nelle due sottoret: = ' '', doe ' ed '' sono le tenson nelle due sottoret: È edente tuttaa che ' = (t) e che '' =. noltre, applcando la LKT alle due sottoret ottenamo (s rcord che per potes L è controllato n corrente): ' = V L' (') = V L' () '' = V L ('') = V L () doe V L' ( ) ed V L ( ) rappresentano le caratterstche de bpol L' ed L, rspettamente. nfne, defnendo E = V L () = L a uoto s ottene: = V L' () E che è propro la caratterstca del bpolo equalente mostrato n fgura. l teorema d Theenn, come enuncato, è aldo n regme qualsas. n partcolare, n regme stazonaro (corrente contnua) s ha che Un crcuto lneare L con due termnal controllato n corrente è equalente a un generatore d tensone reale (bpolo d Theenn) formato da un generatore ndpendente d tensone E n sere con un resstore e, n cu E è la tensone a uoto a termnal e e è la resstenza sta a termnal quando generator ndpendent sono spent. nfatt, poché l bpolo L è lneare e controllato n corrente, la sua relazone costtuta è esprmble per potes come V L' () = e. Questo è suffcente a defnre unocamente l alore d e. sulta nfatt: e = V L' () / = ( /) Generator ndpendent d L Spent S può applcare l teorema d Theenn alla soluzone del crcuto d fgura consderando come bpolo N l dodo deale e qund come bpolo L l'nseme d tutt gl altr component del crcuto (ed fgura 4.a). l bpolo L' è quello ndcato nella fgura 4.b, mentre l alore della tensone E ene calcolato rsolendo l crcuto rportato nella fgura 4.c ed è dato dalla relazone (). D' N = ' 6 D' ' Metod per l anals de crcut - 5

37 D' L = ' D 6 D' E ' Fgura 4.a D' D D' D' L' = ' 4 = e = 4 ' ' Fgura 4.b 5 E 4 4 D D' - ' E Fgura 4.c La soluzone del crcuto d fgura è mmedata notando che l ramo costtusce un taglo fondamentale. Pertanto =, e dunque s ha che 4 = 5 = ed = =E/ nfne la alutazone d E s ottene applcando la LKT alla sequenza D: oero = 4 4 E E = E 4 Metod per l anals de crcut - 6

38 D' E = E 4 () e nfne l alore della corrente 6 ene ottenuto rsolendo l crcuto llustrato nella fgura 5, ottenuto sosttuendo l bpolo L con l suo crcuto equalente d Theenn. E 6 ' Fgura 5 S rtroa qund che sono possbl due cas: dodo nterdetto oppure dodo n conduzone. Se l dodo è nterdetto allora la corrente 6 è nulla e la tensone 'D', che essendo nulla la caduta d tensone sulla resstenza e (corrente nulla) concde con E, dee essere mnore od uguale a zero, da cu scende ancora la relazone (7). Se l dodo è n conduzone allora la corrente 6 è par a E / e e dee rsultare maggore od uguale a zero, da cu s rcaa nuoamente la (5). Supponendo ad esempo che dat del problema sano seguent: E = 4 V, = 4, =, =, 4 = 8 rsulta: E 4 4 E dodo n conduzone 4 e qund dalla soluzone del crcuto d fgura 5 e dalle legg d Krchhoff per l crcuto d fgura s ottene: E V V V E 4 V E 4 V 6. 6 È da notare che la soluzone del crcuto d fgura n cu sono present solo generator e resstor (lnear e non), coè element pr d memora, s ottene medante relazon algebrche, n ogn stante, dal alore che n quell'stante hanno le ecctazon del sstema, coè le grandezze mpresse de generator. Metod per l anals de crcut - 7

39 nalogo al teorema d Theenn, con potes sml e le stesse possbltà d applcazone è l teorema d Norton. Teorema d Norton potes. Sono dat due bpol, L ed N collegat come llustrato nella fgura 6. l bpolo L è una rete lneare e controllato n tensone, mentre l bpolo N può essere qualsas, anche non lneare. Tes. Lmtatamente alla corrente ed alla tensone alla porta, l crcuto che s ottene sosttuendo l bpolo L (quello lneare) con un generatore d corrente ed un bpolo L' collegat n parallelo, è equalente n ogn stante al crcuto orgnale. l bpolo L' s ottene dal bpolo L annullando le grandezze mpresse de generator ndpendent d tensone e d corrente eentualmente present (l bpolo L' è lo stesso che nterene nel teorema d Theenn). La corrente mpressa c del generatore d corrente d Norton è par al alore della corrente alla porta del bpolo L quando la tensone è nulla (E' da notare che l erso posto d c è arbtraro: una olta scelto l erso posto l alore d c è par alla corrente se la frecca punta erso l termnale doe la corrente esce da L, è par nece a se la frecca punta erso l termnale doe la corrente entra n L) N L N L' c Fgura 6 Teorema d Norton Dmostrazone: poché l bpolo L è controllato n tensone (data la tensone è possble determnare la corrente assorbta), è possble, a fn del calcolo della corrente, sostture al bpolo N un generatore d tensone ndpendente la cu tensone mpressa (t) concde con la tensone a termnal del bpolo L. N L (t) L Dato che l bpolo L è lneare, è possble applcare l prncpo d sorapposzone degl effett. n partcolare, consderamo due crcut: nel prmo azzeramo generator ndpendent n L (e ndcheremo tale bpolo con L', nel secondo azzeramo l generatore ndpendente d tensone (come gà sto, generator ndpendent d tensone nulla sono equalent a cortocrcut, generator ndpendent d corrente nulla sono equalent a crcut apert.). Metod per l anals de crcut - 8

40 (t) L = L (t) L S ha: e = ' '', doe ' ed '' sono le corrent nelle due sottoret: = ' '', doe ' ed '' sono le tenson nelle due sottoret: È edente tuttaa che ' = (t) e che '' =. noltre, applcando la LK alle due sottoret ottenamo (s rcord che per potes L è controllato n tensone): ' = L' (') = L' () '' = L ('') = L () doe L' ( ) ed L' ( ) rappresentano le caratterstche de bpol L' ed L, rspettamente. nfne, defnendo c = L () = L n cortocrcuto s ottene: = L' () c che è propro la caratterstca del bpolo equalente mostrato n fgura 6. l teorema d Norton, come enuncato, è aldo n regme qualsas. n partcolare, n regme stazonaro (corrente contnua) s ha che Un crcuto lneare L con due termnal controllato n tensone è equalente a un bpolo (bpolo d Norton) formato da un generatore ndpendente d corrente c n parallelo con un resstore e, n cu c è la corrente d cortocrcuto tra termnal e e è la resstenza sta a termnal quando generator ndpendent sono spent. nfatt, poché l bpolo L è lneare e controllato n tensone, la sua relazone costtuta è esprmble per potes come L' () = / e. Questo è suffcente a defnre unocamente l alore d e. sulta nfatt: e = / L' () = ( /) Generator ndpendent d L Spent S not che tale espressone concde con quella troata nel teorema d Theenn. nfatt, applcando l teorema d Norton al bpolo d Theenn n regme stazonaro (corrente contnua) s ottene l equalenza mostrata n fgura, alda se c = E / e, oero se E = e c. E e c se e solo se c = E / e e nfne, teorem d Theenn e d Norton, possono essere enuncat anche se nel bpolo L sono present nduttor lnear e condensator lnear. S può applcare l teorema d Norton alla soluzone del crcuto d fgura consderando come bpolo N l dodo deale e qund come bpolo L l'nseme d tutt gl altr component del crcuto (ed fgura 7.a). l bpolo L' è quello ndcato nella fgura 7.b, mentre l alore della corrente c ene calcolata rsolendo l crcuto rportato nella fgura 7.c ed è dato dalla relazone (). Metod per l anals de crcut - 9

41 D' D' N = ' 6 ' D' L = ' D 6 D' E ' Fgura 7.a D' D D' D' L' = ' 4 = e = 4 ' ' Fgura 7.b Metod per l anals de crcut -

42 Fgura 7.c La soluzone del crcuto d fgura è mmedata notando che: D D' 5 = 4 = c = c =E/ = c E/ c nfne la alutazone d c s ottene applcando la LKT alla sequenza D: E ' oero = 4 4 = E c 4 ( c ) ( 4 ) c = E 4 D' c E 4 () 4 e 6 c nfne l alore della corrente 6 ene ottenuto rsolendo l crcuto llustrato nella fgura 8, ottenuto sosttuendo l bpolo L con l suo crcuto equalente d Norton. ' Fgura 8 S rtroa qund che sono possbl due cas: dodo nterdetto oppure dodo n conduzone. Se l dodo è nterdetto allora la corrente 6 è nulla e la tensone 'D',che concde con la caduta d tensone sulla resstenza e, coè con e c, dee essere mnore od uguale a zero, da cu dscende ancora la relazone (7). Se l dodo è n conduzone allora la corrente 6 è par a c e dee rsultare maggore od uguale a zero, da cu s rcaa nuoamente la (5). Trasformazon stella-trangolo e trangolo-stella Nella fgura 9 sono mostrat tre resstor collegat a stella; nella fgura sono mostrat tre resstor collegat a trangolo. Entramb sstem costtuscono un trpolo che ene collegato al crcuto esterno attraerso tre termnal, e. Facendo uso delle Legg d Krchhoff e delle relazon costtute de resstor è possble dmostrare che, per quanto rguarda le tenson e le corrent a termnal (, e ), è possble sostture tre resstor collegat a stella con tre resstor, d resstenza opportuna, collegat a trangolo e ceersa. La sosttuzone a ntesa nel senso che qualunque sa l sstema d tenson applcate a termnal, e l sstema d corrent assorbto da due carch è lo stesso. Metod per l anals de crcut -

43 O Fgura 9 Fgura on rfermento alle fgure 9 e, le espresson delle resstenze equalent per le trasformazon stella-trangolo e trangolo-stella sono le seguent doe è ndcata con G la conduttanza, coè l nerso della resstenza. Trasformazone trangolo-stella Trasformazone stella-trangolo G G G G G G G G G G G G G G G G G G UT NON ONNESS Tutt crcut st snora godono della la propretà d connessone, secondo la quale tutto l crcuto è connesso elettrcamente, e qund per ogn coppa d nod del crcuto è possble troare un percorso che l connetta seguendo ram del grafo. onsderamo ora l caso n cu l crcuto da studare sa costtuto da due o pù sottoret non connesse. S consder ad esempo l crcuto d fgura 9.a. Sosttuendo al trasformatore deale l suo crcuto equalente s ottene la rete elettrca non connessa d fgura 9.b. Dato che la rete non è connessa, non è possble per ogn nodo del crcuto troare un percorso che, seguendo ram del grafo, connetta tale nodo al nodo d rfermento. nalogamente, non è possble defnre un albero per l ntero crcuto. metod d Tableau, delle tenson d nodo e delle corrent d coalbero non sono qund drettamente applcabl. Possamo però applcare l metodo dell elmnazone delle tenson d nodo (n cu le arabl sono le tenson e le corrent d ramo) ad ogn sottorete. n partcolare, per l crcuto d fgura 9.b, la sottorete d snstra () ha = ram e N = nod, e la sottorete d destra () ha = ram e N = nod. Metod per l anals de crcut -

44 K : 4 4 E E E K K E Fgura 9.a Fgura 9.b Le LKT m, le LK n e le relazon costtute della sottorete d snstra () costtuscono un sstema d equazon n cu compaono le ( ) tenson e le corrent d ramo d tutta la rete: ( N = equazon LKT m per la sottorete ()) (N = equazon LK n per la sottorete ()) ( = caratterstche de component della sottorete ()) (.) (.) K E (.) Le LKT m, le LK n e le relazon costtute della sottorete d destra () costtuscono un sstema d equazon n cu compaono le ( ) tenson e le corrent d ramo d tutta la rete: ( N = equazon LKT m per la sottorete ()) 4 (N = equazon LK n per la sottorete ()) ( = caratterstche de component della sottorete ()) (.) 4 4 (.) K 4 E (.) Pertanto, le (), (), costtuscono un sstema d ( ) equazon n cu compaono le ( ) tenson e le corrent d ramo d tutta la rete. nalogamente qund a crcut conness, le LKT m, le LK n (applcate ad ogn sottorete) e le relazon costtute costtuscono un sstema d equazon, rsolendo l quale è possble calcolare le ncognte tenson e corrent d ramo. (o) La soluzone del sstema (-) è la seguente: E KE K KE E K K E KE 4 K K KE E 4 K Supponendo, ad esempo, che dat del problema sano: E = V, E = V, K = V, =.5, =. s ottene =.95, = 9.5, =.95, 4 = 9.5, ottene =.9, =.9, =.9, 4 =.9. (o) S not che è fondamentale applcare le Legg d Krchhoff ad ogn sottorete separatamente. n caso contraro, con rfermento alla fgura 9.b, dett = 4 ram del crcuto e N = 4 nod, s sarebbe tentat d screre sbaglando N = equazon LKT m ed N = equazon LK n. ome s ede dalle () e () s sono applcate nece equazon LKT m ed equazon LK n. Metod per l anals de crcut -

45 Dato che, come s è sto l metodo dell elmnazone delle tenson d nodo porta a screre un sstema d equazon, è lecto cheders se non sa possble, modfcando la topologa del crcuto, applcare metod delle tenson d nodo e delle corrent d coalbero anche a crcut non conness. tale scopo, consderamo l grafo d fgura.a: n assenza d nformazon su component present su ram potremmo defnre due rferment (pù n generale, uno per ogn sottorete connessa). La dffcoltà n tal caso è douta al fatto che, mentre per l prmo rfermento (ef ) possamo annullare la tensone del nodo corrspondente, per l secondo rfermento (ef ) la tensone del nodo corrspondente è ncognta (rspetto al prmo rfermento). Dal grafo d fgura.a è noltre charo che non c è scambo d corrente tra le due sottoret. onsderamo ora l grafo d fgura.b, n cu s è nserto l ramo 5 tra nod d rfermento delle due sottoret (e dunque se ne è lascato uno solo per tutta la rete). l ramo 5 è un taglo fondamentale e dunque 5 = (e non c è scambo d corrente tra le due sottoret). 4 4 ef Fgura.a ef 5 Fgura.b l componente pù opportuno da nserre sul ramo 5 dpende anche dalle nformazon dsponbl: se s conosce (ed è un dato aggunto) la tensone tra due rferment (E ef ), è possble nserre un generatore d tensone ndpendente (come n fgura.a). n caso contraro la tensone tra rferment è ncognta e possamo nserre un cortocrcuto (equalente a supporre E ef = ) con l aertenza che la dfferenza tra potenzal d nod appartenent a due ret derse non ha logcamente senso. n entramb cas l crcuto è connesso è possamo utlzzare ogn metodo gà sto per la sua soluzone. 4 4 K K E E K K E D E ef 5 D 5 Fgura.a Fgura.b on rfermento al crcuto d fgura.b, con = 5 ram ed N = 4 nod, s ha: Metodo de Tagl Fondamental [albero =, 5, ] (sstema d N (Numero d component non controllat n corrente) = 4 equazon) Metod per l anals de crcut - 4

46 ( N = equazon LKT m ) (equazone costtute de component non controllat n corrente) E E K K (4.) (4.) Metodo de potenzal d nodo [e D = ] (sstema d N (Numero d component non controllat n tensone) = 6 equazon) (N = equazon LK n ) (equazon costtute de component non controllat n tensone) La soluzone del sstema (5) è la seguente: E KE K KE E K K e E e e E e E e e Ke K 5 (5.) (5.) E KE K K 5 KE E K e e Metod per l anals de crcut - 5

47 UT ON MEMO Vengono dett crcut con memora quell n cu è presente almeno un componente dotato d memora; n questo caso l sstema rsolente del crcuto stesso è costtuto da un sstema d equazon non pù algebrche, come nel caso de crcut senza memora, ma, n generale ntegrodfferenzal ed l alore d tutte le grandezze ncognte n un generco stante può essere calcolato dalla conoscenza del alore delle grandezze mpresse del crcuto n tutto l'nterallo temporale precedente all'stante consderato, a partre da un stante nzale n cu sono note le arabl d stato del sstema (quelle grandezze cu è assocata una energa elettromagnetca mmagazznata nel crcuto: tensone a cap de condensator e corrente attraerso gl nduttor). Tutt metod precedentemente descrtt per l caso de crcut senza memora, sono applcabl n questo caso, con le stesse potes, compres teorem d Theenn e d Norton, la cu formulazone, nfatt, non fa alcun rfermento alle caratterstche d memora del crcuto, ma portano a screre un sstema d equazon ntegrodfferenzal. n partcolare, per quanto rguarda l'anals d Tableau, le equazon costtute dalle LK e LKT rmangono un sstema d equazon algebrche lnear che ene però chuso dalle equazon costtute de component n cu compaono termn ntegro-dfferenzal. Metodo delle equazon d stato S consder un crcuto n cu gl unc component dotat d memora sano nduttor e condensator, è possble perenre con un procedmento automatco ad un sstema rsolente costtuto da tante equazon dfferenzal ordnare del prmo ordne, quant sono condensator e gl nduttor present nel crcuto, n cu le ncognte sono le arabl d stato del crcuto, e coè le tenson a cap de condensator e le corrent attraerso gl nduttor. S consder ad esempo l crcuto llustrato nella fgura.a. Le equazon costtute del condensatore e dell'nduttore portano a screre le seguent equazon: d dt (6) dl L dt L L E L Fgura.a - L E L Fgura.b La corrente attraerso l condensatore e la tensone a cap dell'nduttore L possono essere espresse n funzone delle arabl d stato ed L rsolendo, con una qualsas delle metodologe gà ste, l crcuto pro d memora llustrato nella fgura.b, ottenuto dal crcuto orgnale sosttuendo l'nduttore con un generatore d corrente con corrente mpressa L ed l condensatore con un generatore d tensone con tensone mpressa. L Metod per l anals de crcut - 6

48 La soluzone del crcuto d fgura.b può essere ottenuta medante l metodo dell'anals de nod, calcolando prma la tensone del nodo rspetto al nodo. n questo caso la formula d Mllman è drettamente applcable; l procedmento seguto per ottenere la formula d Mllman porta a screre le seguent relazon: E L c E È qund possble esprmere la corrente e la tensone L n funzone delle arabl d stato del sstema (la (7) esprme nfatt la tensone n funzone delle arabl d stato): L Supponendo, ad esempo, che dat del problema sano: E = V, E = 5 V, =.5, =.5, = 5, = -4 F, L = - H, dalla (7) s ottene: sosttuendo la (9) nelle (8): L L L (7) (8) (9) L nfne, sosttuendo le () nelle (6) s ottene: d dt dl dt L 5. 5 L L L 55 La soluzone del sstema d equazon dfferenzal ordnare del prmo ordne () può essere ottenuta, eentualmente per a numerca, a partre dall'stante nzale n cu sono not alor ed L delle arabl d stato (condzon nzal): L L () () () n generale s ha nteresse a studare crcut n cu nterene una stantanea arazone della topologa, ossa crcut n cu sono present nterruttor deal che s aprono e s chudono stantaneamente. Quando l nterruttore deale è aperto esso equale ad un crcuto aperto e qund la corrente che lo attraersa è nulla ( = ). Vceersa quando l nterruttore è chuso esso equale ad un corto crcuto e la tensone a suo cap è nulla ( = ). Metod per l anals de crcut - 7

49 nterruttore aperto T nterruttore chuso T = nterruttore deale aperto e chuso = L nterruzone o l nstaurars d una corrente elettrca n un nterruttore reale è un fenomeno molto complesso che non aene stantaneamente; aene comunque n un tempo molto pccolo che può rsultare trascurable a fne del transtoro che s uole studare, n questo caso è possble descrere l processo medante l nterruttore deale. Per determnare l eoluzone delle grandezza elettrche n crcut con nterruttor deal, è necessaro conoscere alor delle arabl d stato nell stante nzale (t = ), ossa nell stante n cu s modfca la topologa del crcuto e nza l transtoro. S consder ad esempo l crcuto rappresentato nella fgura n cu è presente l nterruttore deale T che s chude stantaneamente all stante t =. t = (a) T (b) T E L L E - - Fgura rcuto con nterruttore deale aperto (a) e chuso (b) ll stante t =, coè un stante prma che l nterruttore s chuda, l crcuto s troa n regme stazonaro; la corrente è nulla e qund è nulla anche la tensone a cap dell nduttore e del resstore. Un stante dopo che l nterruttore s è chuso (t = ) le grandezze del crcuto hanno n generale, essendo cambata n manera dscontnua la topologa del crcuto, alor ders da quell relat all stante t =. d esempo, la tensone a cap della sere resstore nduttore, nulla all stante t = rsulta par ad E all stante t =. Non rsultano però cambat alor d quelle grandezze a cu è assocata una energa del crcuto, coè le corrent degl nduttor e le tenson de condensator (le arabl d stato); nel caso specfco l alore della corrente nullo all stante t = rsulta qund nullo anche all stante t =. l Postulato d ontnutà dell Energa afferma nfatt che l energa non può subre dscontnutà nel tempo. Una dscontnutà dell energa n un nterallo d tempo nfntesmo equarrebbe, nfatt, all nterento d una sorgente d potenza nfnta, l che non è fscamente accettable. ome conseguenza d tale postulato s deduce che alor delle grandezze cu è assocata una energa nel crcuto sono funzon contnue del tempo e, n partcolare, che: la corrente non può subre dscontnutà n un ramo contenente un nduttanza; la tensone non può subre dscontnutà n un ramo contenente un condensatore. Metod per l anals de crcut - 8

50 Questo consente d rsolere l crcuto all stante t = a partre dalla conoscenza de alor delle arabl d stato (coè tensone a cap de condensator e corrente attraerso gl nduttor) all stante t = e qund permette d determnare le condzon nzal necessare per rsolere l sstema d equazon ntegro - dfferenzal che modella l crcuto. T L E L L L E Fgura 4.a Fgura 4.b - Schema crcutale per t < S uole ora studare l eoluzone delle grandezze elettrche nel crcuto rappresentato n fgura.a, nelle condzon defnte dalla chusura dell nterruttore T, poszonato come llustrato n fgura 4.a. Per calcolare le condzon nzal (coè all stante mmedatamente successo alla chusura d T) è suffcente dunque consderare l crcuto d fgura 4.b, coè prma della chusura dell nterruttore T (t < ). nfatt, è charo che L ( ) =, sto che l nterruttore T è aperto, e che ( ) = E, poché l condensatore s comporta n contnua come un crcuto aperto. Utlzzando ora l postulato d contnutà dell energa è possble affermare che L ( ) = e che ( ) = E. l sstema () ene qund completato dalle condzon nzal e può essere rsolto: d L 55. dt dl L 86. dt., L n forma ettorale l sstema () s scre come: d dt L t. L L 86. l sstema dfferenzale da rsolere utlzzando l metodo delle equazon d stato è sempre smle al (4) e coè, ndcando con x l ettore delle arabl d stato, un sstema d equazon dfferenzal lnear del prmo ordne a coeffcent costant: 5 4 L L () (4) Metod per l anals de crcut - 9

51 dx x b dt x x L ntegrale generale d un sstema d equazon dfferenzal lnear come questo è la somma d un ntegrale partcolare (soluzone d regme, se l regme esste) e dell ntegrale generale del sstema omogeneo assocato (soluzone transtora): x(t) = x p (t) x (t). Se l termne noto è costante, per calcolare l ntegrale partcolare è suffcente annullare le derate e qund rsolere l sstema [] x p b =. Per quanto rguarda l ntegrale generale del sstema omogeneo assocato (coè con b = ), esso a sempre cercato nella forma d un esponenzale reale o mmagnaro. La sosttuzone dell esponenzale e t nel sstema omogeneo assocato del (5) porta a screre l equazone caratterstca det[ ] = che permette d determnare, calcolando gl autoalor d [], le costant d tempo del sstema. L anals matematca approfondta d sstem dfferenzal n questa forma esula dagl scop d questa trattazone. n ogn caso l sstema (5) è soluble tramte sarat metod ampamente trattat n letteratura. Gl autoalor d [] sono partcolarmente rleant nello studo della stabltà delle ret (Un crcuto s dce stable se, sottoposto ad una ecctazone esterna d durata lmtata, ha rsposta che rmale lmtata nel tempo dopo che la sollectazone esterna ha fnto d agre). S può dmostrare nfatt che un crcuto è stable se (), per ogn autoalore d []. n partcolare, crcut lnear, tempo narant, contenent solo element pr d memora pass ed element con memora sono stabl. Nel seguto engono llustrat alcun esemp d soluzone d crcut con memora. l problema che s uole rsolere è l seguente: assegnato l crcuto elettrco e le grandezze mpresse de generator ndpendent present, s uole calcolare l'andamento temporale delle corrent d ramo e delle tenson d ramo. S suppone per semplctà che tutt component sano de bpol, potendos rcondurre all'potes medante l'ntroduzone d crcut equalent de component a pù d due termnal. S consder, ad esempo, l crcuto n fgura, che è un crcuto del ordne, coè un crcuto caratterzzato da un equazone dfferenzale del prmo ordne (coè contenente un solo elemento con memora). pplcando la Legge d Krchhoff delle Tenson (LKT) all stante t = (coè un stante dopo la chusura dell nterruttore T), s ottene: L d dt (5) E (6) L ntegrale generale d una equazone dfferenzale lneare è la somma d un ntegrale partcolare (soluzone d regme, se esste l regme) e dell ntegrale generale dell equazone omogenea assocata (soluzone transtora): (t) = p (t) (t). Se s assume che E sa costante, per calcolare l ntegrale partcolare è suffcente annullare la derata: p (t) =E/. Per quanto rguarda l ntegrale generale dell equazone omogenea assocata, esso a sempre cercato nella forma d un esponenzale reale o mmagnaro. La sosttuzone dell esponenzale e t nella omogenea assocata della (6) porta a screre l equazone caratterstca: L = = /L (t) = E/ e t/l La determnazone della costante può essere effettuata se è noto l alore nzale: ( ) = (7) Metod per l anals de crcut -

52 Per calcolare l alore nzale è suffcente consderare l crcuto d fgura.a, coè prma della chusura dell nterruttore T (t < ). È edente che ( ) =, sto che l nterruttore T è aperto. Utlzzando ora l postulato d contnutà dell energa è possble affermare che ( ) =. sulta qund: = E/ = E/ n conclusone, l andamento temporale della corrente è stato calcolato tramte la soluzone della seguente equazone dfferenzale lneare del prmo ordne a coeffcent costant con l alore nzale d corrente nulla. L d dt ( ) l parametro = L/ è detto costante d tempo del crcuto. La costante d tempo rappresenta l nterallo d tempo necessaro perché la rsposta transtora raggunga l 6% del suo alore d regme. Dopo un tempo par a 5 la rsposta transtora supera l 99% del suo alore d regme. Dalla fgura 5 emerge una nterpretazone del parametro che può essere assunto ad ndcare la maggore o mnore rapdtà del fenomeno transtoro. E E t e L t Fgura 5 S consder ora l crcuto rappresentato nella fgura 6.a n cu è presente l nterruttore deale T che s chude stantaneamente all stante t =. La LKT nel ramo consderato ha la forma: ossa: E d E dt, E oe, è l alore della tensone nzale a cap del condensatore (che s mantene uguale a t = e a t = per l postulato d contnutà dell energa). Dalla (9) s ottene la seguente equazone dfferenzale lneare del prmo ordne a coeffcent costant: d dt E t E e doe = è la costante d tempo del crcuto. Per la determnazone della costante s consdera l alore nzale e s scre la (4) per t = : t E/ t E, t E t E Ee t e (4),, l grafco della (4) è mostrato n fgura 6.b. S not che anche n questo caso emerge una nterpretazone del parametro che può essere assunto ad ndcare la maggore o mnore rapdtà del fenomeno transtoro. n partcolare, per t > 5 s può assumere che l transtoro sa esaurto e che s sa raggunta la soluzone d regme (che n questo caso è (t) = ). t (8) (9) (4) Metod per l anals de crcut -

53 E T E, t = t Fgura 6.a Fgura 6.b crcut contenent component att (coè n grado d erogare potenza) non sono necessaramente stabl. ttolo d esempo s consder l crcuto d fgura 7, n cu l nterruttore T s chude all stante t = e s rapre all stante t = t. (a) T t = (b) T t = t E E L k E E L k Fgura 7 L andamento temporale della corrente, per t t, è calcolable rsolendo l seguente sstema, con l alore nzale d corrente nulla (supponendo che k ). d L E dt E t t e L (4) E E k L andamento temporale della corrente, per t t, è calcolable rsolendo l seguente sstema, con l alore nzale d corrente = (t = t ). d k L t t k t L dt e (4) t La (4) mostra che l crcuto è stable solo se k. Nel caso contraro la corrente cresce esponenzalmente. Pertanto, se l crcuto d fgura 7 rappresenta l modello un dsposto fsco, al Metod per l anals de crcut -

54 crescere della s raggungeranno lmt tecnologc del dsposto (che s guasterà); oppure, se l crcuto d fgura 7 rappresenta l modello un dsposto fsco solo n un certo regme d funzonamento, al crescere della s raggungeranno lmt del modello e sarà necessaro modfcare la struttura del crcuto. ome caso lmte d stabltà, s consder l crcuto llustrato n fgura 8. Per t <, s ha: = L = E/, =, L = =. Dopo l apertura dell nterruttore T, per t >, l crcuto è costtuto dal parallelo dell nduttore con l condensatore. Pertanto, l sstema rsolente è dato da: d L dt (44) dl L dt L L con le condzon nzal () =, L () = E/. Sosttuendo la prma delle (44) nella seconda e cercando una soluzone nella forma d un esponenzale reale o mmagnaro (e t ) s ottene la relazone /L =. Posto = /L, s ottengono le due radc, puramente mmagnare, = j. (o) S not qund che () = e le soluzon del problema non tendono a zero, nè dergono, ma sono oscllant: E E t = t cos t, t sn t L E L Nel crcuto s nstaurerà qund un regme snusodale permanente. egme d corrente alternata T Fgura 8 S può dmostrare che sotto alcune debol potes d stabltà del crcuto, se l crcuto è lneare e le ecctazon present sono funzon snusodal sofrequenzal del tempo, dopo un transtoro d durata dpendente da parametr del crcuto stesso, s raggunge una soluzone d regme n cu tutte le grandezze del crcuto sono funzon snusodal sofrequenzal, con frequenza par a quella de generator. Per calcolare la soluzone d regme, s può applcare l metodo smbolco che consdera le grandezze e le equazon del crcuto trasformate medante la trasformata d Stenmetz e perene ad un sstema rsoluto algebrco nello spazo de numer compless. l sstema rsolente s può ottenere sosttuendo condensator e gl nduttor con de "resstor" con resstenza complessa (mpedenza). Per la descrzone dettaglata del metodo s rmanda a captol success. Per la soluzone del crcuto smbolco sopramenzonato s applcano tutt metod precedentemente st per crcut pr d memora. L L L (o) l fne d etare possbl frantendment, a dfferenza d quanto accade usualmente, è consuetudne n elettrotecnca ndcare con la lettera j l untà mmagnara (j = ), rserando l smbolo per le corrent. Metod per l anals de crcut -

55 *5$'(==((5,',&(,75'8=,( Una grandezza tempodpendente a(t)s defnsce SHULGLFD quando ad ugual nterall T assume alor ugual, coè quando ale la relazone (con n ntero qualsas): - l tempo T s defnsce SHULG; at ( ) = at ( nt) () - La grandezza f =/ T, che rappresenta l numero d perod contenut nell'untà d tempo, s defnsce UHTXHQ]D. La frequenza s msura n Hertz [Hz] (perod/secondo); - S defnsce YDOUHPHGL d a(t) la meda d a(t) eseguta sul perodo T: t = T m a() t dt T t () - S defnsce YDOUHHLFDFHd a(t) la radce quadrata della medade quadrat de alor stantane d a(t) eseguta su un perodo T: t = T a () t dt () T t - Una grandezza perodca s defnsce DOWHUQDWDquando l suo alore medo è nullo; Una grandezza alternata del tpo: s dce VLQXVLGDOH *5$'(==(6,86,'$/, () = ( ) at M cos ωt α (4) - La grandezza M che compare nella (4) è dettadpslh]]d, ed è par al alore massmo d a(t); - La grandezza ω è dettasxovd]lqh, ha le dmenson d una eloctà angolare (radant/secondo) ed è par a π/t; - La grandezza α è detta DVH. La fase dpende dal alore che a(t) assume all stante t =. l alore medo d una grandezza snusodale è par a zero (per ogn alore d M e α). l alore effcace d una grandezza snusodale è par a: M t T M = ( t) dt = T cos ω. 77 (5) t M Una grandezza snusodale è qund completamente defnta da tre parametr: ) L ampezza M, o l alore effcace,. ) La pulsazone ω, o la frequenza f, o l perodo T. ) La fase α, o la dfferenza d fase con un altra grandezza snusodale nota d uguale pulsazone. Grandezze Perodche -

56 Sano a(t) e b(t) due grandezze snusodal sofrequenzal (ed fgura ): () = cos( ω α ) bt () = cos( ωt α ) at t M S defnsce GLHUHQ]DGLDVH tra a e b l angolo a M b φ = α a α b L angolo φ è charamente ndpendente dall stante nzale d rfermento. Se φ =, a(t) e b(t) s dcono ndvh(ed fgura.a); Se φ >, a(t) è n DQWLFLSGLDVH rspetto a b(t), che è a sua olta n ULWDUG GL DVH rspetto ad a(t). Se φ < la stuazone s nerte; Se φ = ±π, a(t) e b(t) s dcono nssvl]lqh (ed fgura.b); Se φ = ±π/, a(t) e b(t) s dcono ntxdgudwxud (ed fgura.c). M M t φ/ω )LJXUDDWqLQDQWLFLSULVSHWWDEW b(t) a(t) t b(t) a(t) t b(t) a(t) t )LJXUDDDWHEWVQLQ DVH )LJXUDEDWHEWVQLQ SSVL]LQH )LJXUDFDWHEWVQLQ TXDGUDWXUD l SUGWWd una grandezza snusodale (5$=,,68*5$'(==(6,86,'$/, () = cos( ω α ) at t M SHUXQVFDODUH m è una grandezza snusodale c(t) con ampezza par a m M, con pulsazone ω, e con fase par a α (c(t) e a(t) n fase) se m >,o a α π (c(t) e a(t) n opposzone) se m <. La VPPD GLGXHJUDQGH]]HVLQXVLGDOL sofrequenzal è ancora una grandezza sofrequenzale. S ha nfatt: doe: ( ω α ) ( ω α ) ( ω α ) cos t cos t = cos t (6) M a M b M c ( ) = cos α α ; α M M M M M a b c = arctg sen α cosα sen α M a M b cosα M a M b Grandezze Perodche -

57 La GHULYDWD d una grandezza snusodale a(t) è par a: d [ M cos( ωt α) ] = ω M sen( ωt α) = ω M cos ωt α π dt (7) La derata d a(t) è qund una grandezza snusodale d pulsazone ω con ampezza par a ω M e con un antcpo d fase par a π/ (qund n quadratura antcpo). 5$5(6(7$=,(',*5$'(==(6,86,'$/,&,8(5,&/(66, 75$6)5$7$',67(,(7= S rporta la formula d Eulero: e j[ =cos ([) j sen ([) (8) da cu: cos ([)= [e j[ ] (9) doe con s ndca l operatore parte reale. La grandezza snusodale: a j( ωtα) ( t) = FV( ωt α) = e M jωt jα [ ] = [ e e ] M può essere qund nterpretata come componente reale d un opportuno numero complesso. Ponendo: j α M jα = e = e () l numero complesso, detto DVUH, nddua unocamente la grandezza snusodale a(t). La () defnsce qund una corrspondenza bunoca tra grandezze snusodal e numer compless (trasformata d Stenmetz). l numero complesso può essere scrtto nella forma: =M j N doe M ed N sono la componente reale ed mmagnara d (ed fgura ); modulo e fase sono dunque: = M N N arctg VH M > M α = N π arctg VH M < M x SHUD]LQLFQLOPHWGVLPEOLF N O $ )LJXUD -SOMM: Date due grandezze snusodal rappresentate da numer compless e jωt =(M j N )e jωt ee jωt =(M j N )e jωt è facle erfcare la grandezza snusodale a(t) b(t) è rappresentata da un numero complesso e jωt, doe: M () =(M M ) j (N N ) = -PODOTTO PE UN NUMEO ELE: Data una grandezza snusodale a(t) rappresentata dal numero complesso e jωt ed un numero reale m, s erfca mmedatamente che l numero complesso e jωt che rappresenta l prodotto m a(t) è tale che: =m Grandezze Perodche -

58 - Prodotto per l numero mmagnaro puro j: Data una grandezza snusodale a(t) rappresentata dal numero complesso e jωt e tenendo conto che j= e jπ/, s ha che: je jωt = e j(α π/) e jωt Sul pano d Gauss, e jωt moltplcato per jene ruotato d π/ nel senso posto d rotazone come mostrato n fgura 4. -DEVZONE: La derata d e jωt è par a D e jωt. nfatt: d dt jωt ( e ) - j )LJXUD jωt = jωe, doe: D =jω -j Sul pano complesso qund la derata d e jωt è rappresentata da un ettore d modulo par a ωe ruotato rspetto a e jωt d un angolo par a π/ n senso posto. 5$5(6(7$=,(6,%/,&$',*5$'(==(6,86,'$/,,6)5(48(=,$/, n modo del tutto equalente a quanto è stato fatto per fasor, nella rappresentazone smbolca d pù grandezze snusodal sofrequenzal è lecto omettere l fattore rotante e jωt, poché generalmente nteressa conoscere la poszone recproca de ettor rappresentat. Una qualsas grandezza snusodale: () = cos( ω α ) at t può qund essere rappresentata dal numero complesso: = e j α n ogn problema, s può assumere una grandezza snusodale arbtrara come rfermento d fase, ponendo l suo angolo d fase par a. n tal modo, la grandezza assunta come rfermento d fase sarà rappresentata da un numero reale puro. Quanto detto fnora c permette d esprmere le seguent corrspondenze: a(t) a(t) b(t) da jω dt m a(t) m d a t ω a() τ dτ dt jω &PSOHVVFQLXJDW Dato un numero complesso =e jα, s defnsce complesso conugatod l numero *, a- ente modulo uguale e fase opposta: * = e jα () S erfca faclmente che l prodotto d un numero complesso per l suo conugato è par al quadrato del modulo: * = () Grandezze Perodche - 4

59 &,5&8,7,,5(*,(6,86,'$/((5$(7( (7'6,%/,&(5/$6/8=,(',&,5&8,7,/,($5,,&55(7($/7(5$7$ n fgura è llustrato lo schema generalmente utlzzato per determnare la soluzone d regme d crcut lnear n corrente alternata (c.a.). l metodo consste nel trasformare l sstema d equazon dfferenzal per alor stantane delle tenson e delle corrent n un sstema algebrco d pù ageole soluzone. Equazon dfferenzal d Krchhoff trasformazone Equazon algebrche d Krchhoff soluzone dretta (non usata) soluzone smbolca Determnazone delle grandezze snusodal anttrasformazone Determnazone de fasor )LJXUD 6FKHPDGLULVOX]LQHGLFLUFXLWLLQFD Una olta scrtte le equazon d Krchhoff a alor stantane, l metodo preede tre pass: ) Trasformazone delle equazon d Krchhoff dfferenzal n equazon d Krchhoff smbolche (algebrche). ome s edrà tra bree, l operazone d trasformazone permette d rsolere l crcuto con metod st per la soluzone de crcut n corrente contnua. ) soluzone delle equazon smbolche e determnazone de numer compless rappresentat delle are ncognte. ) Determnazone delle corrent e delle tenson stantanee a partre dalle grandezze smbolche che le rappresentano. Quest ultma fase è del tutto mmedata, tanto che ene normalmente sottntesa. 75$6)5$=,('(//((48$=,,',.,5&))',))(5(=,$/,,(48$=,,$/*(%5,&( /(**(',6,%/,&$ S consder un generco ramo d crcuto, caratterzzato da una resstenza, un nduttanza L e una capactà. l ramo è almentato da una tensone (t) snusodale (ed fgura ): ( ) = ( ) t V cos ωt α M V (t) (t) L doe alor V M e α sono da consderars not. La legge d Ohm per alor stantane nel ramo consderato ha la forma: - - (t) )LJXUD egme snusodale -

60 () t = () t L d () t () t. Derando una olta rspetto al tempo e consderando che dt ( ) d t =, s ottene: dt d dt L d dt d = dt La soluzone della () è costtuta dalla somma dell ntegrale dell equazone omogenea assocata e d un ntegrale partcolare. E possble dmostrare che l ntegrale dell equazone omogenea assocata costtusce una componente transtora della corrente, che tende ad zero all aumentare del tempo. L ntegrale partcolare rappresenta qund la soluzone d regme. Per determnare la soluzone d regme che soddsfa la () s cerca una corrente (t) che soddsf la () e che abba un andamento snusodale con la stessa pulsazone d (t): () = cos( ω α ) t t M cordando quanto detto rguardo alla corrspondenza tra grandezze snusodal e numer compless, la () s può rscrere come segue: con: da cu: [ ω j ] [ ω ] = [ ω ] ω t j ω t j e ω t j j Ve ω t L e j e jα = e, V= Ve egme snusodale - jαv jωt [ ] ω ω L jω e j t = jω Ve () La () può essere nterpretata come una relazone d uguaglanza tra due grandezze snusodal con dentca pulsazone. Per la gà ctata corrspondenza bunoca esstente tra grandezze snusodal sofrequenzal e numer compless, deono rsultare ugual numer compless che rappresentano le due grandezze al prmo e secondo membro della (). S ha qund: da cu: La grandezza: ω L jω = jωv j ωl ω = V Z= j ωl ω (4) ene detta LPSHGHQ]D del ramo consderato. S defnsce qund mpedenza Z un operatore complesso uguale al rapporto fra numer compless assocat alla tensone e alla corrente: Z =V /. Tenendo conto della (4) e della defnzone data, la () denta: La (5) ene detta HTXD]LQHGLKPVLPEOLFD. La defnzone d mpedenza (4) può essere rscrtta come: aendo posto: V =Z (5) Z = j X (6) () ()

61 X = ωl ω La grandezza X è detta UHDWWDQ]D del ramo, e costtusce la parte mmagnara dell mpedenza. La reattanza dpende dalla capactà e dall nduttanza del ramo, e dalla pulsazone ω d almentazone. La reattanza ene dstnta n reattanza ndutta X L e capacta X secondo l seguente schema: X L = ωl X= X L X L nerso dell mpedenza ene defnto DPPHWWHQ]D: n base alla legge d Ohm smbolca, s ha: da cu s rcaa che è un numero complesso d modulo: Y X = ω (7) = Z (8) =Y V (9) V = X L argomento d Z determna lo sfasamento (ϕ) tra l fasore della tensone ed l fasore della corrente. sulta nfatt: X ϕ = arg[ V] arg[] = αv α= arg[] Z = rctg Lo sfasamento ϕ è posto quando α V > α, coè quando la tensone è n antcpo rspetto alla corrente. S not che, essendo la resstenza posta o nulla, rsulta π/ ϕ π/. nfne è possble determnare (t): VM X () t = FV ωt αv rctg X 75$6)5$=,(6,%/,&$'(//((48$=,,',.,5&)) Sa dato un crcuto caratterzzato da ram ed N nod. Per cascun ramo s assumano ers post per la tensone d ramo e la corrente d ramo assocat secondo la scelta dell utlzzatore. Preso arbtraramente un nodo come nodo d rfermento del crcuto, la LKT permette d screre relazon lnearmente ndpendent tra tenson d ramo e tenson d nodo che, n forma matrcale, assumono la forma: Y H doe Y è l ettore delle tenson d ramo, H è l ettore delle tenson d nodo ed è una matrce a- ente rghe ed (N ) colonne, l cu generco elemento M hk rsulta nullo se l ramo h non è collegato al nodo k, uguale a se la corrente del ramo h esce dal nodo k, se la corrente del ramo h entra nel nodo k. La LK applcata a tutt nod tranne quello d rfermento permette d screre (N ) equazon che n forma matrcale assumono la forma: $L= doe L è l ettore delle corrent d ramo ed $ è una matrce, chamata matrce d ncdenza rdotta, aente (N ) rghe ed colonne, l cu generco elemento hk rsulta nullo se l ramo k non è col- egme snusodale -

62 legato al nodo h, uguale a se la corrente del ramo k esce dal nodo h, se la corrente del ramo k entra nel nodo h. sulta qund che è la trasposta d $, coè: = $ T È possble trasformare le equazon d Krchhoff a alor stantane con un procedmento del tutto analogo a quello seguto per rcaare la legge d Ohm smbolca. Medante tale trasformazone s perene alle seguent relazon: 9 $ T ( () $,= () doe 9 è l ettore de numer compless assocat alle tenson d ramo, ( è l ettore de numer compless assocat alle tenson d nodo e, è l ettore de numer compless assocat alle corrent d ramo. Le Legg d Krchhoff (delle Tenson e delle orrent) c permettono d screre delle equazon che descrono la topologa del crcuto, oero l modo n cu component sono conness tra loro: ƒ La Legge d Krchhoff delle orrent (/.&) afferma che la somma algebrca de numer compless assocat alle corrent n un nodo è nulla. - Equazone smbolca per un nodo (LK n ): r = (.a) ƒ La Legge d Krchhoff delle Tenson (/.7) può essere formulata n due mod equalent tra loro: - La somma algebrca de numer compless assocat alle tenson d ramo su ram d una magla è nulla - Equazone smbolca per una magla (LKT m ): V egme snusodale -4 n r = m r= r = (.b) - Ogn numero complesso assocato ad una tensone d ramo è dato dalla dfferenza de numer compless assocat a potenzal d nodo de suo termnal. - Equazone smbolca per un ramo (LKT r ): V = E E (.c) Le () sono formalmente dentche alle legg d Krchhoff per crcut n regme d corrente contnua salo l fatto che n luogo delle grandezze effette compaono numer compless che le rappresentano ed n luogo delle resstenze le mpedenze. Questa constatazone permette d affermare che la tecnca rsoluta de crcut n regme snusodale resta la stessa sta per crcut n contnua salo l mpego de numer compless. Valgono, noltre, tutt teorem sulle ret n contnua (Teorem d Theenn, d Norton, d Mllman, d Tellegen, etc.). Quanto detto mostra anche come non sa necessaro, ogn olta che s rsole un crcuto, procedere alla trasformazone delle equazon dfferenzal n smbolche, potendos screre drettamente queste ultme tramte le (). n defnta qund l operazone d trasformazone è d regola omessa. nche l operazone d anttrasformazone s può d solto sottntendere essendo del tutto oo l passaggo da numer compless alle grandezze snusodal che ess rappresentano. Tale passaggo nfatt mplca semplcemente che s prendano modulo e argomento del numero complesso e s dentfchno con l ampezza e la fase della grandezza snusodale. È da notare che una qualsas delle corrent o tenson ncognte del problema può essere presa come grandezza d rfermento per gl angol d fase, coè è possble porre uguale a zero la sua fase. ò equale nfatt a scegler una opportuna orgne de temp. x (VHPSL crcut costtut da una sola magla s rsolono tramte la (5), che può scrers, separando l calcolo del modulo e dell argomento α :

63 = V ωl ω ; ωl α α ϕ ϕ ω = V ; tg = x (VHPSLTutt metod llustrat precedentemente sono generalmente applcabl. ttolo d esempo s consder l crcuto llustrato nella fgura.a, n cu s ntende calcolare la corrente crcolante sul condensatore. Sa D l nodo d rfermento. Non sono stat ndcat ers post delle tenson d ramo, perché s suppone d consderare comunque ers d rfermento assocat con la regola dell utlzzatore per tenson e corrent d ramo. l crcuto è costtuto da = 6 ram e da N = 4 nod. La fgura.b mostra lo stesso crcuto nel domno smbolco ( fasor rappresentat de generator ndpendent sono E S =E S / ed S =( S / ) e α ). Uno de possbl alber è llustrato n j S fgura.c (ram 4, 5 e 6). ram tratteggat sono quell d coalbero (ram, e ). E S cos (ωt) L L β D S cos (ωt α S ) E S jωl V L D β S /jω α L α V L )LJXUDD )LJXUDE egme snusodale -5

64 4 5 D 6 )LJXUDF $QDOLVLGL7DEOHDX(sstema d N = 5 equazon) ( = 6 equazon LKT r n cu compaono come ncognte = 6 tenson d ramo ed N = potenzal d nodo) V V V V V V = E = E = E = E = E = E E E E (N = equazon LK n n cu compaono come ncognte = 6 corrent 5 4 6= 4 = d ramo) = ( = 6 equazon costtute de component n cu compaono come ncognte = 6 tenson d ramo ed = 6 corrent d ramo) V V V V = S = β = 4 = E S = α V 6 / jω = jωl (.) (.) (.) ES αjωls La soluzone del sstema () consente d determnare : = αβjωl jω β Supponendo che dat sano: E S = V, S = 5, α S = 5, = Ω, L =.5 mh, = 4 µf, α =, β =, = 5 Hz s ottene = 6. j 8.7 e qund (t) = 7. cos (ωt.4) []. egme snusodale -6

65 egme snusodale -7 (OLPLQD]LQHGHOOHWHQVLQLGLQG(sstema d (Numero d component non controllat né n tensone né n corrente) = 8 equazon) ( N = equazon LKT m ) E V j L j E V V L j V 4 S 6 5 S = ω = ω = ω (4.) (N = equazon LK n ) 6 S = = = (4.) (equazone costtute de component non controllat né n tensone né n corrente) L j V ω = α = β (4.) HWGGHL7DJOL)QGDPHQWDOL(sstema d N (Numero d component non controllat n corrente) = 5 equazon) ( N = equazon LKT m ) ( ) ( ) ( ) ( ) E V j L j E V V L j V S 6 S S 6 S = ω = ω = ω (5.) (equazone costtute de component non controllat n corrente) ( ) ( ) S 6 L j V ω = α = β (5.) HWGGHLSWHQ]LDOLGLQG (sstema d N (Numero d component non controllat n tensone) = 5 equazon) (N = equazon LK n ) ( ) ( ) E E j E E E E E j E E E L j E 6 S S 6 S = ω = ω = ω (6.) (equazon costtute de component non controllat n tensone) S E E E E E E = α = β (6.) n questo caso, non essendo tra le ncognte del sstema, è necessaro screre separatamente la relazone che la lega a potenzal d nodo: =jω (E E ). 7HUHPDGL7KHYHQLQ S può applcare l teorema d Theenn alla soluzone del crcuto d fgura.b consderando come bpolo N l condensatore e qund come bpolo L l'nseme d tutt gl altr component del crcuto (ed fgura.d). l bpolo L' è quello ndcato nella fgura.e, mentre l alore della tensone E ene calcolato rsolendo l crcuto rportato nella fgura.f ed è dato dalla relazone (9). nfne l alore della corrente ene ottenuto rsolendo l crcuto llustrato nella fgura.g, ottenuto sosttuendo l bpolo L con l suo crcuto equalente d Theenn.

66 N = /jω V = Z E 4 Z L = E S 5 jωl β 4 = D S E 6 α V 5 )LJXUDG 4 β 4 L = 5 jωl D 6 α V 5 )LJXUDH La soluzone del crcuto d fgura.e, fnalzzata alla determnazone della caratterstca tensonecorrente del bpolo '' (coè della tensone V n funzone della corrente ) s può effettuare con uno qualsas de metod precedentemente llustrat. d esempo, utlzzando l metodo de potenzal d nodo s ottene l seguente sstema d N-(Numero d component non controllat n tensone) = 5 equazon. Supponendo nota, è possble calcolare E,E,E, ed 6, che rsultano par a E = βjωl /(β ), E =(βjωl ) /(β ), E =(α )βjωl /(β ), = β /(β ) ed 6 =. egme snusodale -8

67 Pertanto V = E E = (αβjωl ) /(β ) ed l crcuto equalente del bpolo L' è una mpedenza par a αβjωl Z = β (N = equazon LK n ) (equazon costtute de component non controllat n tensone) E E jωl E E = E 6 E = = E E = β E = α E 6 (7.) (7.) 4 = E S β 4 E 5 jωl D S 6 α V 5 )LJXUD La soluzone del crcuto d fgura.f, fnalzzata alla determnazone della tensone E tra termnal ' e ' s può effettuare con uno qualsas de metod precedentemente llustrat. d esempo, utlzzando l metodo de Tagl Fondamental s ottene l seguente sstema d N (Numero d component non controllat n corrente) = 5 equazon. ( N = equazon LKT m ) (equazone costtute de component non controllat n corrente) V jω V E V solendo le (8) l alore della tensone E rsulta essere: E ES αjωls L( S ) V6 = ( ) ES jωl( S ) E ( ) = 6 V 6 S = β = α ( ) jωl( ) S = (8.) (8.) = (9) egme snusodale -9

68 nfne l alore della corrente ene ottenuto rsolendo l crcuto llustrato nella fgura.g, ottenuto sosttuendo l bpolo L con l suo crcuto equalente d Theenn. n questo caso, la corrente rsulta essere: E = Z jω ES αjωls = αβjωl jω β /jω Z E )LJXUDJ 7HUHPDGLUWQ S può applcare l teorema d Norton alla soluzone del crcuto d fgura.b consderando come bpolo N l condensatore e qund come bpolo L l'nseme d tutt gl altr component del crcuto (ed fgura.h). l bpolo L' è quello ndcato nella fgura.e, mentre l alore della corrente ene calcolato rsolendo l crcuto rportato nella fgura. ed è dato dalla relazone (). nfne l alore della corrente ene ottenuto rsolendo l crcuto llustrato nella fgura.j, ottenuto sosttuendo l bpolo L con l suo crcuto equalente d Norton. N = /jω = V /Z 4 Z L = E S 5 jωl β 4 = D S 6 α V 5 )LJXUDK La soluzone del crcuto d fgura.e, fnalzzata alla determnazone della mpedenza equalente del bpolo '', è gà stata ottenuta: αβjωl Z = β egme snusodale -

69 4 = E S β 4 jωl D 5 S 6 α V 5 )LJXUDL La soluzone del crcuto d fgura., fnalzzata alla determnazone della corrente tra termnal ' e ' s può effettuare con uno qualsas de metod precedentemente llustrat. d esempo, utlzzando l metodo de Tagl Fondamental s ottene l seguente sstema d N (Numero d component non controllat n corrente) = 5 equazon. ( N = equazon LKT m ) (equazone costtute de component non controllat n corrente) V jω V V solendo le () l alore della corrente rsulta essere: ES αjωl = αβjωl β S 6 E = S L( S ) V6 = ( ) ES jωl( S ) E ( ) = S V 6 = β = α αjωl Z ( ) jωl( ) S S = (.) (.) () nfne l alore della corrente ene ottenuto rsolendo l crcuto llustrato nella fgura.j, ottenuto sosttuendo l bpolo L con l suo crcuto equalente d Norton. n questo caso, la corrente rsulta essere: = jω jω Z Z = Z jω ES αjωls = αβjωl jω β /jω Z )LJXUDM egme snusodale -

70 678',',&,5&8,7,(/((7$5, S consderno tre semplc crcut raffgurat n fgura 4. Per la soluzone d tal crcut è suffcente l applcazone della legge d Ohm smbolca (5). La tabella rassume rsultat ottenut. La tensone è stata scelta come rfermento d fase, coscché α V = ; lo sfasamento è qund ϕ = α. Gl sfasament tra fasor sono llustrat n fgura 5. L andamento delle corrspondent grandezze snusodal è mostrato n fgura 6. V V L V )LJXUDD )LJXUDE )LJXUDF Z = Z =jωl Z= j/ω V V = = La corrente smbolca è un numero reale n fase con V: V = ϕ = π V V j = = e j π V jωl ωl La corrente smbolca è un numero mmagnaro n quadratura n rtardo rspetto av: V = ϕ = π/ ω L = = Vωe j ω La corrente smbolca è un numero mmagnaro n quadratura n antcpo rspetto av: = Vω ϕ = π/ V V V )LJXUDD )LJXUDE )LJXUDF (t) (t) (t) (t) )LJXUDD t (t) )LJXUDE t )LJXUDF (t) t egme snusodale -

71 5,6$=$ S consder l crcuto mostrato n fgura 7. Vengono rportate noltre le espresson gà ste per l modulo della corrente e per lo sfasamento, mettendo n edenza la dpendenza d tal grandezze dalla pulsazone ω: V ( ω) = (t) ωl ω (t) )LJXUD L ( ) ϕω ωl ω = arctg S rconosce che, per, L, e V fssate, esste una pulsazone ω per cu la reattanza s annulla: ω = L () La pulsazone ω è detta SXOVD]LQH GLULVQDQ]D. d essa corrsponde la corrente massma n modulo e con sfasamento nullo. n condzon d rsonanza l comportamento del crcuto è ressto, poché le cadute reatte s compensano a cenda (ed dagramma ettorale). ω < ω ϕ ω )LJXUD )LJXUD )LJXUD -π/ π/ ω X ω X L X X n fgura 8 è rappresentato l andamento del modulo della corrente n funzone della pulsazone per due ders alor della resstenza. Nell potetco caso n cu la resstenza del ramo fosse nulla, l modulo della corrente arebbe un asntoto per ω = ω.per ω, la reattanza capacta X : la corrente contnua è bloccata dal condensatore. Per ω, la reattanza ndutta X L : gl effett ndutt tendono a bloccare la corrente ad alte frequenze. Nelle fgure 9 e sono rappresentat rspettamente lo sfasamento e la reattanza n funzone della pulsazone. Per ω < ω, la reattanza capacta preale su quella ndutta, e lo sfasamento ϕ < ; ceersa, per ω > ω la reattanza ndutta preale su quella capacta e ϕ > (ed dagramm ettoral). n fgura sono llustrat dagramm delle tenson sul pano d Gauss. Nel caso consderato, la legge d Ohm smbolca s può screre: V= jx jx doe sono state edenzate le cadute d tensone doute rspettamente alla resstenza, alla reattanza ndutta X L = ωl ed alla reattanza capacta X = /ω. L ω egme snusodale -

72 V jx L jx )LJXUDDHUω ω ODUH DWWDQ]DFDSDFLWLYDSUHYDOHVX TXHOODLQGXWWLYD jx L V = jx )LJXUDEHUω ω OD UHDWWDQ]DFDSDFLWLYDHTXHOOD LQGXWWLYDVLFPSHQVDQ V jx L jx )LJXUDFHUω!ω ODUH DWWDQ]DLQGXWWLYDSUHYDOHVX TXHOODFDSDFLWLYD (t) (t) L )LJXUD $7,5,6$=$ La corrente che passa attraerso la resstenza è qund par a: S consder ora l crcuto mostrato n fgura, n cu fgurano un nduttanza ed una capactà n parallelo. n base all equalenza formale tra equazon d Krchhoff n c.c. ed n c.a., le regole d composzone per resstenze n parallelo possono essere estese anche al parallelo d mpedenze. E qund possble esprmere l mpedenza Z L equalente al parallelo tra le due mpedenze Z L ez nella forma: Z L ZL Z L = = j () Z Z L ωl ω V = Z (4) L Da cu possamo dedurre le espresson per l modulo della corrente e per lo sfasamento, mettendo n edenza la dpendenza d tal grandezze dalla pulsazone ω () ω = V L / ωl ω ω )LJXUDD ω L / ϕ() ω = arctg ωl ω ϕ ω -π/ π/ ω )LJXUDE egme snusodale -4

73 Le corrent del ramo ndutto e capacto sono par a: L = V (5) jωl V = (6) j ω Esste una pulsazone ω, detta SXOVD]LQH GL DQWLULVQDQ]D, che rende nfnta l mpedenza equalente Z L e, conseguentemente, annulla la corrente : ω = L (7) Mentre la corrente d almentazone è nulla le corrent L e rsultano derse da zero: L = j L V = S nstaura coè un regme perodco d scambo energetco tra l condensatore e l nduttanza. n assenza d dsperson e d resstenze, la crcolazone nella magla costtuta dall nduttanza e dal condensatore contnua ndefntamente. X L ω )LJXUDF ω n fgura.c è raffgurato l andamento della reattanza equalente del parallelo nduttanza - condensatore. Per ω < ω la reattanza è posta, ed l crcuto ha un comportamento prealentemente ohmco - ndutto con uno sfasamento posto. Per basse frequenze la corrente flusce prealentemente nel ramo ndutto, che qund caratterzza maggormente l comportamento del crcuto. l lmte, per ω =, la corrente e la reattanza ndutta X L s annullano, mentre X a all nfnto. Per ω > ω la reattanza è negata, ed l crcuto ha prealentemente una caratterstca ohmco - capacta, con sfasamento negato. Per alte frequenze la corrente flusce maggormente per l ramo capacto. Quando ω la corrente L e la reattanza capacta X s annullano, mentre X L tende all nfnto. 7(=(,&55(7($/7(5$7$ 7(=$,67$7$($ S facca rfermento all utlzzatore U n fgura 4, almentato tramte la coppa d morsett da una tensone snusodale: () = cos( ω ) t V t assocata ad una corrente d almentazone: M ( ) = cos( ω ϕ ) t t S defnsce potenza stantanea l prodotto: M (t) (t) )LJXUD U egme snusodale -5

74 pt ( ) = tt ( ) ( ) (8) La corrente (t) può essere scomposta nelle due component a e r, dette rspettamente corrente DWWLYD e UHDWWLYD La corrente atta è qund la componente della corrente n fase con la tensone, mentre la corrente reatta è la componente n quadratura. S può dunque screre: () = cos( ω ) cosϕ (9) r ( t) M ( t) t t a M La potenza stantanea denta qund: doe (o) : p p r a = sen ω sen ϕ () = () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p t = t t t t = p t p t () a r a r V M M () t = () t () t = V cosϕ cos ( ωt) = cosϕ [ cos( ωt) ] a M M V M M () t = () t () t = V senϕ sen( ωt) cos( ωt) = senϕ sen( ωt) r M M Gl andament delle grandezze p a ep r, dette rspettamente SWHQ]DLVWDQWDQHDDWWLYDe SWHQ]D LVWDQWDQHDUHDWWLYD, sono mostrat nelle fgure 5 e 6.,, p p a (t),, p r (t) a (t) r () (4) P a (t) (t) )LJXUDWHQ]DLVWDQWDQHDDWWLYD t p r (t) )LJXUDWHQ]DLVWDQWDQHDUHDWWLYD t 7(=$$77,9$ S rconosce che la potenza stantanea atta non camba ma segno, e rappresenta qund un flusso undrezonale d energa. l suo ntegrale su un perodo T è qund, d norma, derso da zero. S defnsce SWHQ]DDWWLYD P l alore medo n un perodo dalla potenza stantanea: T P = pt () dt T (5) È mmedato erfcare che l alore medo della potenza stantanea concde col alore medo della potenza atta stantanea: nfatt, la potenza reatta stantanea è una grandezza snusodale e, d conseguenza ha alore medo nullo. S ha qund: T V T M M V M M P = pa() t dt = ( tdt ) = T cosϕ T cos ω cosϕ E, ntroducendo alor effcac d corrente e tensone: (o) S rcord che sen ([) sen ([) cos ([) ; cos ([) cos ([). P = V cosϕ (6) egme snusodale -6

75 La potenza atta è qund alutable come l prodotto del alore effcace della tensone, l alore effcace della corrente e del DWWUHGLSWHQ]Dcosϕ. 7(=$&/(66$ La potenza complessa N è defnta dalla seguente relazone: doe * è l complesso conugato d. S ha qund: e, rcordando la formula d Eulero: N = V* (7) V N = Ve e = Ve jα jα jϕ N = Vcosϕ jvsen ϕ (8) sulta così proato, rcordando la (6), che la parte reale della potenza complessa rsulta essere par alla potenza atta: ( N) = P = V cosϕ (9) La parte mmagnara della potenza complessa ene chamata SWHQ]D UHDWWLYD e nel caso d un bpolo ha la seguente espressone: Q= ( N) = V senϕ (4) Dalla (4) s può notare che un bpolo assorbe potenza reatta solo quando la corrente è sfasata rspetto alla tensone (ϕ ), ed è qund presente una componente reatta della corrente stessa (ed eq. ). ò aene quando l componente è n grado d mmagazznare energa senza dssparla, come, ad esempo n un nduttore od n un condensatore; la potenza reatta è qund un ndcatore d uno scambo d energa d tpo conserato, che n alcun cas, che saranno espost nel paragrafo relato al problema del rfasamento, è necessaro lmtare l pù possble. l modulo N della potenza complessa è detto SWHQ]DDSSDUHQWH: N = P Q (4) S consder ora un generco ramo d crcuto caratterzzato da un mpedenza Z. Tenendo conto della legge d Ohm smbolca (5), la (7) può essere rscrtta come segue: onfrontando la (4) con la (9) e la (4) s ottene: N = Z* = Z = jx. (4) P= (4) Q= X (44) n base alla defnzone d corrente effcace s rcaa subto che la potenza atta è par alla meda su un perodo della potenza dsspata per effetto Joule sulla resstenza, unco componente n grado d assorbre energa senza restturla. La potenza reatta dpende nece esclusamente dalla reattanza, coè da component n grado d mmagazznare energa conserata (elettrostatca ne condensator, magnetca nelle nduttanze) e d restturla. S not che, mentre la potenza atta assorbta dall mpedenza Z è sempre posta, l segno della potenza reatta dpende dalla reattanza prealente nel ramo. Q è qund posta per reattanze prealentemente ndutte (Q = ωl per una reattanza puramente ndutta), e negata per reattanze prealentemente capacte (Q = /ω per una reattanza puramente capacta). egme snusodale -7

76 $'',7,9,7 '(//(7(=( Dalle equazon () ed () segue, come corollaro del Teorema d Tellegen, l addttà delle potenza n regme snusodale. nfatt, per un dato crcuto, preso un qualsas ettore d numer compless rappresentat d tenson d ramo 9, che soddsf le LKT per quel crcuto, ed un ettore d numer compless rappresentat d corrent d ramo,, che soddsf le LK per quel crcuto, ale la seguente relazone: 9 T, * = (45) nfatt, s ha 9 T, * =($ T ( ) T, * = ( T $, * = ( T ($, ) * = ( T = Se s applca la (45) consderando ettor d numer compless rappresentat delle tenson e delle corrent che effettamente sono present nel crcuto, s ottene la relazone (46) che, sulla base della defnzone (7), mostra come la potenza complessa assorbta da tutt component del crcuto rsult n ogn stante nulla. 9 T, * =V * V * = N N = (46) S consder ora l crcuto schematzzato n fgura 7, almentato tramte la coppa d morsett da una tensone snusodale (t) rappresentata dal numero complesso V. l crcuto è composto da m ram che s ncontrano n n nod. ssumendo che n ogn ramo ers post d rfermento della tensone e della corrente d ramo sano assocat, ndcando con N h la potenza reatta assorbta dal generco ramo h e con V h ed h fasor rappresentat della tensone e della corrente d ramo, rsulta (dato che V * V * V * =): m h= m * * * h h h = V = V = h= N = V N (t) - (t) )LJXUD S può qund affermare che: OD SWHQ]DFPSOHVVDN UQLWDDOFLUFXLWDWWUDYHUVODFSSLDGLPU VHWWL q SDULDOODVPPDGHOOHSWHQ]HFPSOHVVH K DVVUELWHGDWXWWLLUDPLGHOFLUFXLWNel caso n cu cascun ramo sa costtuto da una mpedenza n sere con un generatore d tensone, a- endo ndcato con N g la potenza complessa erogata dal generatore presente sul ramo, e con Z l mpedenza n sere a tale generatore, segue: m m N N = Z g, = = Eguaglando le part real e le part mmagnare della relazone (47) s ottene: m m P P = g, = = m m Q Q = X g, = = n (47), (48). (49) La (48) esprme l fatto che la potenza atta fornta dalla coppa d morsett (P = V cosϕ) pù la somma delle potenze atte fornte da generator è par alla somma delle potenze atte assorbte dalle mpedenze de ram del crcuto e dsspate per effetto Joule. nalogamente, la potenza reatta fornta dalla coppa d morsett (Q = V snϕ) pù la somma delle potenze reatte fornte da generator è par alla somma delle potenze reatte assorbte dalle mpedenze de ram del crcuto. egme snusodale -8

77 7(5($'(/$66,75$6)(5,(7',7(=$ Nella fgura 8 è rappresento schematcamente un bpolo che almenta un carco Z L. S facca l potes che l crcuto sa n regme snusodale sofrequenzale. S uole determnare l mpedenza d carco Z L che rende massma la potenza atta rceuta dal carco. Questo problema s presenta nel progetto d ogn amplfcatore: s dee sceglere l mpedenza d ngresso che rende massma la potenza rceuta. Z G L G E V L )LJXUD La potenza atta assorbta dal carco s calcola mmedatamente, aendo posto: Z L Z G = G j X G Z L = L j X L sulta nfatt: P L = L L = L Z L E Z G = L ( ) ( X X ) Poché E, G ex G sono assegnat, s tratta d determnare qual alor d L ex L rendono massma la P L. Una prma osserazone è che, relatamente ad X L, l denomnatore è certamente mnmo quando X L = X G. Per quanto rguarda la L, è suffcente annullare la derata della P L rspetto ad L : dp L L ( L G ) E = E = = L = G d L ( L G ) ( L G ) ( L G ) S è rcaato qund l seguente 7HUHPD GHOPDVVLPWUDVHULPHQWGLSWHQ]D: 6LD DVVHJQDW XQELSOXQ]LQDQWHLQUHJLPHVLQXVLGDOHLVUHTXHQ]LDOHVSHFLLFDWGDOVXFLUFXLWHTXLYDOHQWH GL7KHYHQLQFKHDOLPHQWLXQDLPSHGHQ]DGLFDULFZ L 7DOHLPSHGHQ]DULFHYHGDOELSOODPDVVLPD SWHQ]D DWWLYDVHHVOVH Z = Z* L n tal caso s dce che l carco è adattato al bpolo e la potenza atta (massma) fornta al carco èp L,MX = E /4 G. S not che anche se l carco è adattato al bpolo, solo l 5% dell energa del generatore flusce nel carco e qund l rendmento è par a.5. nfatt, ntroducendo l rendmento s ha: Pu LL L η = = = = P P u d L L G L G L L G G E L G ( ) doe P u è la potenza utle e P d la potenza dsspata. S not che l rendmento può essere reso arbtraramente cno ad uno facendo aumentare la L. n tal caso però la potenza assorbta dal carco tende a zero. G L 5,)$6$(7 Nella fgura 9 è rappresento schematcamente un generatore d tensone n c.a. G che almenta, tramte una lnea d lunghezza L, un utlzzatore U. La lunghezza della lnea è tale che è possble schematzzarla medante una mpedenza d lnea Z L (Z L = L j X L ) onseguentemente la tensone V d ngresso dell utlzzatore Uè par a: G V V Z L )LJXUD U egme snusodale -9

78 V =V Z L causa della caduta d tensone Z L la tensone V non è uguale a V', e soprattutto ara a seconda dell utlzzatore. lla resstenza d lnea è noltre assocata una potenza dsspata per effetto Joule: P d = L Tal effett possono essere lmtat rducendo la corrente d lnea quando questo è possble. Esstono degl utlzzator che, essendo caratterzzat da un fattore d potenza (cosϕ) basso necesstano d eleat alor d corrente per assorbre la potenza nomnale per cu sono stat progettat. nfatt, dalla (7) s ha: P = V cosϕ Tanto pù basso è l fattore d potenza, tanto maggore è, a partà d tensone e potenza assorbta, la corrente d almentazone. Un rmedo a tale stuazone s può ottenere L ULDVDQG l utlzzatore, coè dsponendo n parallelo ad esso un opportuna reattanza. l tpo d reattanza dpende dallo sfasamento dell utlzzatore: occorre un condensatore se ϕ>, un nduttore se ϕ < U. S facca rfermento al caso pù frequente n cu ϕ> (ed fgura ). l dagramma delle corrent s rcaa faclmente tenendo conto che: L = e che è n quadratura n antcpo rspetto a V. Da tale dagramma (ed fgura ) s ede come sa possble rdurre n manera consdereole la corrente d lnea. La presenza del condensatore n parallelo ad U rende n teora possble annullare lo sfasamento ϕ' del blocco condensatore - utlzzatore (rfasamento completo). n realtà l rfasamento completo è raramente necessaro, è suffcente che l angolo ϕ' assuma un alore prefssato conenentemente pccolo. Dalla (9) e dalla (4) s ottene: c V )LJXUD ϕ ϕ L )LJXUD Q = P tanϕ (5) Q Q c =P tanϕ (5) doe P, Q, Q c sono rspettamente la potenza atta assorbta dal utlzzatore, la potenza reatta assorbta dall utlzzatore e la potenza reatta assorbta dalla capactà. La (5) è stata ottenuta tenendo conto che la potenza atta assorbta dal condensatore è nulla. Sottraendo membro a membro la (5) dalla (5) s ottene: Q c =P (tanϕ' tanϕ) (5) Tenendo conto che: Q c =X c c = c /ω = (ωv) /ω = ωv, dalla (5) s rcaa: P = ( tan ϕ tan ϕ ) ωv (5) che consente d calcolare la capactà del condensatore fssato l angolo ϕ'. La funzone del condensatore d rfasamento può essere spegata ntutamente: esso rappresenta un componente n grado d scambare alternatamente energa con l utlzzatore. La presenza del condensatore, dmnuendo la potenza reatta sta dal generatore, rduce qund lo scambo alternato d energa lungo la lnea. c egme snusodale -

79 6,67(,75,)$6( sstem trfase sono schematzzabl come nella fgura. Non s fa nessuna potes né sul generatore d almentazone stuato prma della sezone -, né sull'utlzzatore stuato dopo la sezone -. X X )LJXUD6FKHPDGLOLQHDWULDVH Per una generca sezone X-X algono le seguent relazon: (t) (t) (t) = () (t) (t) (t) = () Le equazon () e () sono relate a alor stantane delle FUUHQWLGLOLQHD (t), (t), (t) e delle WHQVLQL FQFDWHQDWH (t), (t), (t) aendo posto hk = tensone tra l flo h ed l flo k. Utlzzando la notazone smbolca d Stenmetz le (), () s scrono come: as partcolar d noteole mportanza sono seguent: - 6LVWHPL WULDVHVLPPHWULFL: V = V = V = V. - 6LVWHPL WULDVHHTXLOLEUDWL: = = =. = () V V V = (4) Ne sstem trfase smmetrc le tenson concatenate, rappresentate sul pano d Gauss, formano un trangolo equlatero e rsultano sfasate, l una rspetto alla precedente (nell ordne V,V,V )d un angolo par a π/. seconda che lo sfasamento sa negato (rotazone n senso oraro) o posto (rotazone n senso antoraro), s parla rspettamente d sstema smmetrco dretto (ed fgura ) oppure d sstema smmetrco nerso (ed fgura ). nertendo l ordne de fl e è possble trasformare un sstema dretto n un sstema nerso e ceersa. Se s ndca con α l numero complesso e jπ/ rsulta: - sstema d tenson concatenate smmetrco e dretto: ( V, α V, α V ) - sstema d tenson concatenate smmetrco e nerso: ( V, α V, α V ). Nel seguto, tranne precsazone contrara, supporremo sempre che:. - sstem trfase sano smmetrc e drett;. - La lnea d trasmssone tra generatore ed utlzzatore non da luogo a cadute d tensone n modo da potere consderare n ogn sezone della lnea la stessa terna d tenson concatenate. Sstem trfase -

80 6LVWHPDWULDVHVLPPHWULFGLUHWW 6LVWHPD WULDVHVLPPHWULFLQYHUV V V V V V )LJXUD V = V e V = V e jπ/ j4π/ V )LJXUD V = V e V = V e jπ/ j4π/ L potes è douta al fatto che l generatore trfase può essere schematzzato come tre generator d tensone monofase sofrequenzal con lo stesso alore effcace ma sfasat d π/ (ed fgura 4). Se lo sfasamento è negato, come ndcato nella fgura 4, le tenson concatenate rsultano essere una terna dretta. O E g α E g αe g )LJXUD6FKHPDGLJHQHUDWUHWULDVH n generale, data una terna qualsas d tenson concatenate V,V,V, s defnscono le tenson prncpal d fase, o tenson stellate, le tenson E,E, E che soddsfano le seguent relazon: 6H OHWHUQDGLWHQVLQLFQFDWHQDWHqVLPPHWULFDH GLUHWWD DQFKH OD WHUQD GHOOH WHQVLQL SULQFLSDOL GL DVHULVXOWDVLPPHWULFDHGLUHWWD (ed fgura 5). l alore effcace E delle tenson prncpal d fase rsulta n questo caso rdotto d un fattore par a rspetto al alore effcace V delle tenson concatenate: V E = (6) E E = V E E = V E E E = V E O E E V V (5) Nel seguto s supporrà sempre l sstema delle tenson concatenate smmetrco e dretto. )LJXUD7HQVLQLSULQFLSDOLGLDVHSHUXQ VLVWHPDVLPPHWULFHGLUHWW Sstem trfase -

81 7(=$(,6,67(,75,)$6( La potenza stantanea assorbta da un utlzzatore trfase U qualsas (ed fgura 6) ha la seguente espressone: ( t) = ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) p O O O doe O, O e O sono rspettamente le tenson de termnal, e rspetto ad un qualsas termnale O preso come rfermento. S dmostra nfatt che, dato che le corrent, ed soddsfano la LK ( = ) e le tenson O, O e O soddsfano la LKT ( = O - O, = O - O, = O - O ), la potenza p(t) data dalla e- spressone (7) non dpende dal partcolare termnale O preso come rfermento: ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () O() () O() () O() () () () O() () O() () O() () () () () () () () () () () p t e t t e t t e t t )LJXUD ( ) () () () () ( ) () () () () ( ) () () () () p t = t t t t t t t = t t t t p t = t t t t t t t = t t t t p t = t t t t t t t = t t t t O O O l alore medo n un perodo della potenza assorbta prende l nome d SWHQ]DDWWLYD e ene ndcato normalmente col smbolo P: P = T t T t () pt dt (7) (8) (9) La SWHQ]DFPSOHVVD assorbta dal carco ene defnta, con rfermento ad un termnale O arbtraro, dalla seguente relazone: N= V V V * * * O O O nalogamente a quanto precedentemente fatto, s dmostra che tale defnzone non dpende dal termnale O assunto come rfermento, per cu rsulta: N = E E E = V V = V V = V V * * * * * * * * * S dmostra che la parte reale della potenza complessa concde con la potenza atta assorbta. S da nece l nome d SWHQ]D UHDWWLYD assorbta alla parte mmagnara della potenza complessa: l modulo della potenza complessa assume l nome d SWHQ]DDSSDUHQWH: () () N = P j Q () = P Q () N l fattore d potenza cos Φ del carco è defnto dalla seguente relazone: Q cos Φ = cos rctan (4) P sulta percò, tenendo conto della (): P = N cos Φ ; Q = N sen Φ (5) Sstem trfase -

82 87,/,==$75((48,/,%5$7 Nel caso partcolare, d noteole nteresse tecnco, che l'utlzzatore U sa equlbrato, come gà sto le corrent d lnea hanno lo stesso alore effcace e rsultano sfasate l una rspetto all altra d un angolo par a π/ (ed fgura 7). Sa ϕ lo sfasamento tra tensone prncpale d fase e la corrspondente corrente d lnea, dalla (), rsulta: = E E E = EFV ϕ je VLQ ϕ = = E N = (6) E ϕ = VFV ϕ j V VLQ ϕ Tenendo conto delle (-4) nfne s ha: P = VFV ϕ ϕ E O ϕ E Q = N = V VLQϕ V FV Φ = FV ϕ (7) )LJXUD È rleante osserare che ODSWHQ]DLVWDQWDQHDQHLVLVWHPLVLPPHWULFLHGHTXLOLEUDWLQQqXQ ]LQH GHOWHPS, contraramente a quanto accade per sstem monofase o per l generco carco trfase non smmetrco o non equlbrato,685$'(//(7(=(,6(5=,($5 S consder l problema della msura della potenza atta P assorbta da un generco utlzzatore trfase (consderazon analoghe possono essere fatte per la msura della potenza reatta). Sfruttando l arbtraretà del termnale O d rfermento è possble msurare la potenza atta del generco utlzzatore trfase facendo rcorso a due sol wattmetr, nsert nel crcuto come llustrato nella fgura 8 (ed eq. ). La potenza atta P assorbta dal carco rsulta essere par (a meno delle correzon da apportare per tenere conto della dspersone degl strument) alla somma delle due letture degl strument: P = W a W b. Se l carco è equlbrato allora è possble, dalla lettura de due strument, ottenere anche l alore della potenza reatta assorbta. sulta nfatt: W a U ( ϕ) ( ϕ) W b Wa = Vcos = P W b W a = V sen = Q W b )LJXUDLVXUDGHOODSWHQ]DDWWLYDLQVHU]LQH$UQ Sstem trfase - 4

83 67(//$',,('(=( l calcolo delle corrent ne ram d una stella d mpedenze (ed fgura 9) s può esegure con ar metod. S tratta d rsolere l seguente sstema nelle ncognte,, : V = Z Z V = Z Z = (8) Per la soluzone del sstema (8) s può utlzzare l teorema d Mllman, con rfermento allo schema crcutale llustrato nella fgura. )LJXUD Z Z Z O sulta: Y E Y E Y E V = O Y Y Y = Y = Y = Y ( E V O ) ( E V O ) ( E V ) O (9) () doe le Y,Y,Y sono le ammettenze de tre ram della stella. E E E Z Z Z )LJXUD O 67(//$(48,/,%5$7$ Lestelle equlbrate sono formate da tre mpedenze ugual Z =Z =Z =Z(e qund Y =Y =Y = Y). n questo caso la (9) fornsce V O = e qund dalle () s ottene: = Y E ; = Y E ; = Y E () da cu s deduce che l sstema è anche equlbrato ( = = = ). Dal teorema d addttà delle potenze, aendo ndcato con ϕ l angolo d sfasamento fra tensone e corrente n ogn sngola fase, segue: ( ( ) ( )) N = N N N = E cos ϕ j sn ϕ () Dalla () segue noltre che l fattore d potenza d una stella equlbrata d mpedenze concde con l fattore d potenza d cascuna mpedenza. Sstem trfase - 5

84 75,$*/',,('(=( l calcolo delle corrent ne ram d un trangolo d mpedenze (ed fgura ) s esegue drettamente se sono note le mpedenze de ram e le tenson concatenate. Dalle corrent,, (corrent d fase) s deducono mmedatamente le corrent assorbte dalla lnea,,, ed eq. () V = Z V = Z V = Z Z Z = = = () )LJXUD Z 75,$*/(48,/,%5$7 l trangolo d mpedenze è equlbrato quando le tre mpedenze che lo costtuscono sono tutte u- gual: Z =Z =Z =Z. n questo caso, dalle () s ottene: V V E = = Z j π E = = e Z E Z E = Z ( E E ) E ( E E E ) = = j π e Z E = Z da cu s deduce che l sstema è anche equlbrato ( = = = ). noltre le corrent d fase,,, rsultano rdotte d un fattore rspetto alle tenson d lnea, come s può edere dalla fgura, ed n modulo ugual fra loro ( = = = fase ). (4) Dal teorema d addttà delle potenze, aendo ndcato con ϕ l angolo d sfasamento fra tensone e corrente n ogn sngola fase, segue: N = N N N = (5) = V fase ( cos ϕ j sen ϕ) Dalla (5) segue noltre che l fattore d potenza d una trangolo equlbrato d mpedenze concde con l fattore d potenza d cascuna mpedenza. )LJXUD5DSSUHVHQWD]LQHGHOOHFUUHQWL GLDVHHGHOOHFUUHQWLGLOLQHDQHOFDVGLXQ WULDQJO GLLPSHGHQ]HHTXLOLEUDW Sstem trfase - 6

85 La presenza d un quarto flo n (QHXWU), porta a consderare sstem del tpo ndcato nella fgura. Se s almenta l sstema con tre generator dspost a stella aent f.e.m. smmetrche dsposte n terna dretta (E g, α E g, α E g ) s stablsce fra fl,, una terna d tenson concatenate smmetrca (a meno delle eentual cadute), le cu tenson prncpal d fase sono le f.e.m. suddette. Oltre a cò s rende dsponble fra cascuna fase ed l neutro una tensone d modulo E. n nessun caso c sono partcolar problem d calcolo n quanto, trascurando le cadute d tensone sulla lnea, è sempre nota a pror la tensone applcata a cascuna mpedenza. 6,67(,$48$775),/,75,)$6(&(875 O E g α E g α E g )LJXUD6FKHPDGHOJHQHUDWUHSHUVLVWHPL WULDVHFQQHXWU l collegamento è adatto per carch aent una certa probabltà d squlbro: n tal modo s asscurano tenson con lo stesso alore effcace su tutte le mpedenze d carco a stella, anche se sono derse tra loro. nfatt, trascurando le cadute d tensone sul neutro, la tensone tra centr stella è nulla e le corrent assorbte dalla lnea sono calcolabl come k =E k /Z k, k =,,. La corrente nel neutro sarà tanto maggore quanto pù è pronuncato lo squlbro de carch, come rsulta dalla seguente formula: E E E = ( n ) = Z Z Z 5,)$6$(7',887,/,==$75(75,)$6( S consder un utlzzatore U d tpo ndutto che assorba dalla lnea la potenza reatta Q e la potenza atta P e sa caratterzzato da un fattore d potenza cos ϕ. nalogamente al caso de sstem monofase, aumentare l fattore d potenza del carco, a partà d potenza atta assorbta, permette d rdurre le corrent d lnea assorbte, a cu seguono una rduzone delle cadute d tensone sulla lnea e della potenza dsspata per effetto Joule sulla lnea stessa. Se l fattore d potenza dell utlzzatore è troppo basso, è qund necessaro rfasare tale utlzzatore, ponendo n parallelo ad esso un banco d condensator, collegat a stella (ed fgura 4) od a trangolo (ed fgura 5). Sa cos ϕ' l fattore d potenza che s uole ottenere per l carco costtuto dall utlzzatore U con n parallelo l banco d condensator. Facendo rfermento alla fgura 4, la potenza reatta assorbta dalla lnea a destra della sezone '' è data da: Q = Q Q = Ptan ϕ Q ( ) t c c aendo ndcato con Q c la potenza reatta assorbta da condensator. S ha qund: n n (6) Qt Qc tan ( ϕ ) = = tan() ϕ Q = P ( tan ( ϕ ) tan( ϕ ) P P c (8) L'ultma relazone esprme la potenza reatta che dee essere assorbta dalla battera d condensator per portare l fattore d potenza da cos ϕ acos ϕ'. Sstem trfase - 7

86 &QGHQVDWULDVWHOOD Se, come nel caso d fgura 4, condensator sono dspost a stella, s ha: Q c E = X c = ω y V U da cu: y = P ( tan( ϕ) tan ( ϕ )) (9) ωv y y y )LJXUD &QGHQVDWULDWULDQJO Se, come nel caso della fgura 5, condensator sono collegat a trangolo, rsulta: V Qc = = ω V Xc da cu: = P ( tan( ϕ) tan ( ϕ )) () ωv U )LJXUD Qund se condensator sono dspost a trangolo s rchede che ess abbano capactà tre olte nferor d quelle d un collegamento a stella. Tuttaa con un collegamento a trangolo cascun condensatore è sottoposto alla tensone d lnea V, mentre con un collegamento a stella cascun condensatore è sottoposto alla tensone d fase E = V. morsett de condensator sono fra loro collegat a due a due medante resstenze d alore molto eleato, le qual, quando condensator sono n eserczo, dsspano una potenza molto pccola, n relazone al loro alore eleato, ma consentono a condensator d scarcas non appena enga nterrotto l collegamento con la lnea. 75$6,66,((',675,%8=,('(// ((5*,$(/(775,&$ n generale l trasfermento d energa elettrca tra due punt, ne sstem elettrc d potenza (escludendo qund l campo delle telecomuncazon), può aenre ne seguent tre mod: corrente contnua; corrente alternata monofase a frequenza ndustrale (5 Hz per l Europa, 6 Hz per gl US); corrente alternata trfase a frequenza ndustrale. l confronto tra pes d materale conduttore è uno de crter che determna la conenenza economca della lnea. nfatt, l peso del conduttore ncde sa sul costo propro de conduttor che su Sstem trfase - 8

87 quello de sostegn, della posa n opera della lnea, etc. l confronto tra tre sstem d trasmssone dee essere effettuato rspettando le seguent potes: partà della potenza trasmessa P [W]; partà della tensone d trasmssone V [V]; partà della lunghezza della lnea L [m]; partà della potenza dsspata sulla lnea p [W]; partà d conduttore (qund stesso peso specfco γ e stessa ressttà ρ). ) FUUHQWHFQWLQXD ndcando con l la resstenza d lnea relata ad un conduttore e con la corrente d lnea, la potenza persa ne due conduttor è data da: p = l Sosttuendo le espresson l =ρl/s e =P/V s ottene: ρlp ρlp p = S = SV pv Essendo S e LS rspettamente la sezone ed l olume de conduttor d lnea, l peso totale de conduttor d lnea è dato da: 4γρLP Gcc = LSγ = = 4k () pv doe s è defnto l fattore costante k =γρl P /(V p). ) FUUHQWH DOWHUQDWD PQDVH rspetto al caso precedente camba solo l espressone della corrente che è =P/(V cosϕ) e pertanto, nella formula del peso comparrà a denomnatore l termne cos ϕ, ottenendo: G = LP k cam LS = 4γρ pv = 4 γ cos cos ( ϕ) ( ϕ) ) FUUHQWH DOWHUQDWD WULDVH essendo tre conduttor s ha p = l L, doe l = ρ e S P ρlp ρlp = ; Sosttuendo s ottene: p = S = V cos ϕ SV cos ϕ pv cos ϕ ( ) l peso de tre conduttor d lnea è dato da: ( ) ( ) () γρlp k Gcat = LSγ = = pv cos cos ( ϕ) ( ϕ) () onfrontando le espresson (), () e () e tenendo presente che cos ϕ, s possono trarre le seguent concluson: - pes n corrente alternata monofase e trfase dpendono dal fattore d potenza, tendendo all nfnto per cos ϕ tendente a zero e assumendo alor mnm per cos ϕ =, alor che sono rspettamente: (G cam ) mn = 4k, (G cat ) mn = k; - per qualsas alore d cos ϕ, essendo G cat < G cam, l peso della lnea n corrente alternata trfase è sempre mnore d quello n corrente alternata monofase; - per qualsas alore d cos ϕ, essendo G cc < G cam, l peso de conduttor n corrente contnua è sempre nferore a quello n corrente alternata monofase, salo che per cos ϕ =, caso n cu due pes sono ugual; - rsolendo la dsequazone G cc < G cat s ottene cos (ϕ) /4 e qund, consderando solo l alore posto, cos(ϕ) / =.866. Quanto sopra porta alla conclusone che, per alor d cos (ϕ) Sstem trfase - 9

88 <.866, l peso n corrente alternata trfase è maggore d quello n corrente contnua e ceersa; per d cos (ϕ) =.866 due pes sono ugual. n defnta, per fattor d potenza maggor d.866, l sstema d trasmssone pù conenente, per quanto concerne l peso de conduttor, è quello n corrente alternata trfase, mentre per cos (ϕ) <.866 denta pù conenente quello n corrente contnua. sulta anche edente, ne cas d mpego della corrente alternata, la conenenza d un eleato alore del cos ϕ, essendo l peso de conduttor proporzonale al suo quadrato. Le consderazon fatte possono essere sntetzzate nel grafco d fgura 6. 4k k G cc cat cam.5 cos ϕ )LJXUD Oltre al crtero precedente occorre consderare anche altr element d alutazone. - La generazone d energa elettrca aene quas totalmente sotto forma d corrente alternata trfase, n quanto relat generator (alternator trfase) sono costruttamente pù semplc e robust de generator n corrente contnua; anche l utlzzazone aene prealentemente n corrente alternata. Volendo effettuare la trasmssone n corrente contnua occorre una stazone d conersone a monte ed una a alle della lnea. ttualmente la conersone aene medante raddrzzator statc. - La trasmssone n corrente contnua presenta l antaggo, rspetto alle lnee trfase, d un mnore costo degl solator e de sostegn, sa per l fatto d mpegare due conduttor (o anche uno se l rtorno è effettuato a terra) anzché tre, sa perché, a partà d alore effcace della tensone V, la lnea a corrente alternata a costruta con un lello d solamento proporzonato al alore massmo V M = V, mentre quella a corrente contnua dee essere solata solo per la tensone V; quest antagg rsultano partcolarmente mportant per le lnee lunghe ad altssma tensone; - n corrente contnua c è una mnore caduta d tensone d lnea perché manca la caduta d tensone douta alla reattanza ndutta. ltro antaggo, partcolarmente sensble nelle lnee n cao, è l assenza d effett capact. ttualmente la trasmssone d energa elettrca a tensone kv - 8kV s effettua con lnee aeree trfas; la corrente contnua è stata adottata, per esempo, per l attraersamento d tratt d mare con cao sottomarno (Toscana - orsca - Sardegna a kv, nghlterra - Franca, ford noreges, etc.). 4k k Sstem trfase -

89 75$6)5$75, 5,&,,',)8=,$(7 l trasformatore è costtuto da un anello (nucleo) d materale ferromagnetco (tpcamente lamne sottl d accao al slco) su cu sono aolt due aolgment: l prmaro, costtuto da n spre ed l secondaro costtuto da n spre. S tratta qund d un doppo bpolo. Se l prmaro è almentato da un generatore d tensone ( tensone prmara ), n modo tale che l prmaro sa percorso da una corrente ( corrente prmara ), e s lasca aperto l secondaro, coscché la corrente ( corrente secondara ) sa nulla, nell anello s stablrà un campo d nduzone magnetca (a cu corrsponde l flusso prncpale ϕ ndcato n fgura..a) (#). S not che le lnee del campo d nduzone s concatenano anche con l aolgmento secondaro, coscché, se ara nel tempo, dalla legge d Faraday (o dell nduzone elettromagnetca), sarà ndotta a termnal del secondaro una tensone ( tensone secondara ). Se l secondaro è connesso ad un carco (ad esempo un resstore), crcolerà pertanto corrente su d esso. Medante l trasformatore è qund possble trasferre potenza elettrca dall aolgmento prmaro a quello secondaro, senza fare rcorso ad alcun collegamento elettrco tra due aolgment; l trasfermento d potenza aene nece attraerso l campo magnetco che è presente prncpalmente nel nucleo del trasformatore e che è n grado d scambare energa con entramb crcut. ϕ n n Y Y )LJXUDD6FKHPDGLSULQFLSLGLXQ WUDVUPDWUHPQDVH )LJXUD E±6LPEOGHOWUDVUPDWUH l nucleo magnetco del trasformatore consste normalmente n un pacco d lamern d accao al slco, che presenta due forme costrutte comun mostrate nelle fgure..a e..b. gogh colonne )LJXUDD 7UDVUPDWUHFQQXFOHDFOQQH )LJXUD E 7UDVUPDWUHFQQXFOHDPDQWHOO (#) S dce flusso prncpale l flusso del campo d nduzone magnetca attraerso una sezone normale alla lnea d asse del nucleo d materale ferromagnetco. Trasformator -

90 Nel tpo con nucleo a colonne cascun aolgmento è costtuto da due bobne n sere, cascuna aolta su d una colonna del trasformatore. Nel tpo con nucleo a mantello, entramb gl aolgment sono aolt sulla colonna centrale del nucleo. La confgurazone a mantello mnmzza l flusso dsperso, quella a colonne mnmzza la quanttà d lamern utlzzat. Gl aolgment prmaro e secondaro possono essere: FQFHQWULFL(fgura..a): le colonne sono restte d materale solante; sul materale solante ene qund posto l'aolgmento a bassa tensone, che ene a sua olta restto d materale solante. Sul secondo strato d materale solante ene posto l'aolgmento ad alta tensone. n un trasformatore monofase, ognuna delle due colonne porta metà delle spre. n un trasformatore trfase, ogn colonna porta una fase a bassa tensone e la fase ad alta tensone corrspondente. D EELQHDOWHUQDWH (fgura..b): sono ottenut alternando gl aolgment a bassa e ad alta tensone, che engono separate medante corone d materale solante. Gl aolgment a bobne alternate presentano un mglor accoppamento magnetco; gl aolgment concentrc consentono un mglor solamento. tub solant T T T T )LJXUD D$YYOJLPHQWLFQFHQWULFL La lamnazone del nucleo magnetco s rende necessara al fne d rdurre le perdte per corrent parasste. gogh sono normalmente a sezone rettangolare, mentre per le colonne s prefersce una sezone a "gradn n modo da rdurre la lunghezza degl aolgment (fgura.4). )LJXUDE$YYOJLPHQWLDEELQHDOWHUQDWH aolgmento alta tensone aolgmento bassa tensone )LJXUDVH]LQHGLXQDFOQQDGHOQXFOH PDJQHWLF,/ 75$6)5$75(,'($/( Se s suppone che ) non sano perdte negl aolgment (dette perdte nel rame ), ) non s sano perdte nel nucleo ferromagnetco (dette perdte nel ferro ), ) tutte le lnee del campo d nduzone magnetca s concatenno ad entramb gl aolgment (equalente ad assumere che non sano fluss dspers) e che l materale ferromagnetco abba permeabltà magnetca nfnta, è possble dedurre l modello del trasformatore deale come segue. Dalla legge d Faraday possamo determnare le tenson a cap degl aolgment prmaro e secondaro come derate temporal de fluss concatenat agl aolgment stess ( =dφ c /dt, =dφ c /dt). noltre, graze all potes ) fluss concatenat sono ottenbl semplcemente moltplcando numer d spre per l flusso prncpale (φ c = n ϕ, φ c = n ϕ). S ottengono qund le relazon =n dϕ/dt, =n Trasformator -

91 dϕ/dt, da cu, effettuando l rapporto membro a membro, ottenamo la relazone tra le tenson a prmaro e secondaro: n = () n Una equazone d accoppamento magnetco tra prmaro e secondaro s ottene medante la legge della crcutazone magnetca (o d mpére-maxwell) applcata alla lnea d asse dell anello d materale ferromagnetco. Graze all potes ) l campo magnetco nel materale è trascurable. Pertanto; con rfermento a ers post ndcat nella fgura s ottene che la somma delle corrent concatenate alla lnea è nulla (o) : n n = S ottene qund la relazone tra le corrent a prmaro e secondaro: n = () n Se s defnsce l rapporto d trasformazone K = n /n, l trasformatore deale, l cu smbolo è ndcato nella fgura, rsulta defnto dalle seguent caratterstche: K: = K = K () = K K )LJXUD7UDVUPDWUHLGHDOHHFLUFXLWHTXLYDOHQWH S not che n fgura una coppa d termnal è segnata con un punto, ndcando qund ers d rfermento post delle tenson e delle corrent per cu le equazon costtute () sono corrette. n fgura è mostrato noltre uno de possbl crcut equalent del trasformatore deale. S not anche che, poché l trasformatore deale è un componente deale defnto dalle (), le relazon tra tenson e corrent a prmaro e secondaro sono alde per tutte le forme d onda e per tutte le frequenze (nclusa la contnua). l trasformatore deale gode delle due seguent propretà fondamental:. l trasformatore deale non dsspa né accumula energa. Dalle () rsulta edente che la potenza assorbta dal trasformatore deale è nulla; nfatt, con rfermento a ers d rfermento post delle tenson e delle corrent defnt n fgura, s ha (o) Se la permeabltà del materale ferromagnetco costtuente l nucleo fosse fnta e costante, s otterrebbe la Legge d Hopknson: n n = 5 ϕ Trasformator -

92 () t = () t () t () t () t = ( K () t ) ( t) K () t () t = () t () t () t () t p = Qund la somma delle potenze assorbte a prmaro e secondaro è complessamente nulla, oero la potenza assorbta a prmaro dal trasformatore deale (p = ) rsulta n ogn stante u- guale a quella erogata al secondaro (p = ). n partcolare, con rfermento al regme snusodale d frequenza dalle () rsulta V =KV, = K e qund la potenza complessa assorbta a prmaro dal trasformatore deale N =V ( )* rsulta uguale a quella erogata al secondaro N = V ( )*. l trasformatore deale coè non assorbe né potenza atta né potenza reatta; rsultano però mutat parametr (tensone e corrente) con cu la energa elettrca ene assorbta a prmaro ed erogata a secondaro: la tensone ene rdotta (od aumentata) d un fattore par al rapporto d trasformazone del trasformatore K mentre la corrente ene aumentata (o dmnuta) dello stesso fattore.. Quando a secondaro d un trasformatore deale è collegato un resstore d resstenza, l prmaro s comporta come un resstore d resstenza equalente K. Tale equalenza è llustrata nella fgura e prende l nome d rduzone da secondaro a prmaro. La dmostrazone è mmedata: (t) = K (t) = K [ (t)] = K [ K (t)] = K (t) nalogamente, con rfermento al regme snusodale d frequenza dalle () rsulta anche che quando a secondaro d un trasformatore deale è collegato una mpedenza Z, l prmaro s comporta come una mpedenza d alore K Z. V (t) = K V (t) = K [ Z (t)] = KZ [ K (t)] = K Z (t) K: = e =K K: V V = V Z Z e =K Z )LJXUD5LGX]LQHGDVHFQGDULDSULPDUL,'8775,$&&,$7,/,($5, Trasformator - 4

93 Se s suppone che ) non sano perdte negl aolgment (dette perdte nel rame ), ) non s sano perdte nel nucleo ferromagnetco (dette perdte nel ferro ), ) l materale ferromagnetco abba permeabltà magnetca costante (materale lneare), è possble dedurre l modello degl nduttor accoppat lnear come segue. nalogamente a quanto sto per l trasformatore deale, dalla legge d Faraday possamo determnare le tenson a cap degl aolgment prmaro e secondaro come derate temporal de fluss concatenat agl aolgment stess ( =dφ c /dt, =dφ c /dt). noltre, graze alla lneartà del materale, fluss concatenat sono ottenbl semplcemente come combnazon lnear delle corrent a prmaro e secondaro (sorgent del campo magnetco): φc = L M φc = M L doe L ed L (msurat n H [Henry]) sono, rspettamente L FHLFLHQWLGLDXWLQGX]LQH del prmaro e del secondaro ed M (msurata n H) è l FHLFLHQWHGLPXWXDLQGX]LQH tra due aolgment. S ntende sottolneare che coeffcent d auto e mutua nduzone dpendono esclusamente dalla geometra e dalle caratterstche magnetche del materale del nucleo. l doppo bpolo lneare nduttor accoppat (llustrato n fgura 4) rsulta qund descrtto dalle seguent relazon tensone-corrente: d d = L M dt dt d d = M L dt dt (4) M L L )LJXUD,QGXWWULDFFSSLDWL S not che n fgura 4 una coppa d termnal è segnata con un punto, ndcando qund ers d rfermento post delle tenson e delle corrent per cu le equazon costtute (4) sono corrette. S not noltre che, poché gl nduttor accoppat sono un componente deale defnto dalle (4), le relazon tra tenson e corrent a prmaro e secondaro sono alde per tutte le forme d onda e per tutte le frequenze (nclusa la contnua). on rfermento al regme snusodale d frequenza le (4) possono essere scrtte n termn d numer compless rappresentat delle tenson e delle corrent, come segue: V V = jωl = jωm jωm jωl l doppo bpolo nduttor accoppat gode delle due seguent propretà fondamental:. l doppo bpolo nduttor accoppat è un componente con memora n grado d mmagazznare energa magnetca. Dalle (4) rsulta nfatt che la potenza assorbta dagl nduttor accoppat, con rfermento a ers d rfermento post delle tenson e delle corrent defnt n fgura 4, è data da: Trasformator - 5

94 p ( t) = ( t) ( t) ( t) ( t) d d d d = L M M L = dt dt dt dt d d d = L ( M ) L = dt dt dt d d = L M L = Em dt dt Tale relazone mostra come tutta la potenza elettrca assorbta dagl nduttor accoppat ada ad ncrementare l termne E m = L M L che assume qund l sgnfcato d energa elettromagnetca accumulata negl nduttor accoppat (s not che l prmo ed l terzo termne concdono con le energe magnetche accumulate dagl nduttor L ed L se fossero non accoppat; l termne M, che prende nece l nome d energa mutua, è quello che rende possble trasferre potenza elettrca dall aolgmento prmaro a quello secondaro, senza fare rcorso ad alcun collegamento elettrco tra due aolgment); tale energa, una olta mmagazznata, può essere nteramente resttuta a component del crcuto cu sono collegat gl nduttor accoppat durante un transtoro successo. La potenza elettrca assorbta dagl nduttor accoppat può qund assumere alor sa post che negat. Esste una relazone noteole che lega coeffcent d auto e mutua nduzone: M L L. Questa relazone è una conseguenza dretta del fatto che l energa magnetca è sempre posta. nfatt, con semplc passagg s ottene (rcordando che l autonduttanza è sempre posta): = [( L M ) ( L L M )] Em = L M L = L Qund, dato che l prmo termne della somma s può annullare per una opportuna scelta de alor delle corrent, l secondo termne dee essere sempre posto o nullo. La muta nduttanza M è spesso espressa n funzone del coeffcente d accoppamento k defnto da: k = M L L La relazone appena proata mostra qund che k, oero è mpossble ottenere un coeffcente d accoppamento maggore d uno. Quando k =, s ha M =, coè non esste accoppamento magnetco fra gl nduttor. Quando k =, s ha M = L L, coè l accoppamento magnetco fra gl nduttor è perfetto.. l doppo bpolo nduttor accoppat è equalente ad un doppo bpolo costtuto da un trasformatore deale e da tre nduttor (dsaccoppat) L,L d ed L d. Per dmostrare tale equalenza, llustrata n fgura 6, è suffcente erfcare che relazon tensone-corrente sono le stesse. S ha nfatt: d d ƒ pplcando la LKT a prmaro: = Ld L ( ) dt dt Trasformator - 6

95 ƒ Dalle caratterstche () del Trasformatore deale: d L dt = ( ) K = K L d d dt Sosttuendo l ultma relazone nelle precedent s ottene qund: Tal relazon concdono con le caratterstche (4) degl nduttor accoppat se L =L L d,l =L d L /K ed M = L /K. ( L L ) L nterpretazone fsca d tale equalenza, è la seguente: L d ed L d sono le LQGXWWDQ]HGLGLVSHU VLQH, coè le nduttanze ste a prmaro ed a secondaro doute a fluss d dspersone, oero alle lnee d campo magnetco che non s concatenano ad entrambe le bobne. nfatt, per k, s ha M L L, e qund L d,l d. L è detta LQGXWWDQ]D PDJQHWL]]DQWH: essa tene conto del flusso prncpale, comune ad entramb gl aolgment. = L = K d L d dt K d L L dt K d d dt d dt K: L d L d M L = L L )LJXUD S supponga d oler costrure un trasformatore d alta qualtà. S scegle un anello d materale magnetco con una eleatssma permeabltà magnetca µ (per esempo, ferrte, permalloy, superpermalloy, ecc.), qund s aolgono strettamente sull anello le due bobne, formando così un doppo bpolo del tpo d fgura. S supponga d essere capac d troare materal a permeabltà µ crescente; allora, al crescere d µ s otterrebbero due effett: fluss dspers denterebbero sempre pù pccol (per cu L d ed L d s rdurrebbero) e l flusso comune crescerebbe (per cu L aumenterebbe). Pertanto, nel caso lmte n cu µ, s arebbe L d,l d ed L. on rfermento alla fgura 6 è possble edere che s otterrebbe dunque l trasformatore deale.,/ 75$6)5$75(5($/( Le perdte nel trasformatore reale possono classfcars come segue: Le perdte per resstenza ne conduttor degl aolgment, dette SHUGLWH QHO UDPH (P cu ), sono perdte ohmche e pertanto rsultano dpendere dal quadrato della corrente che scorre ne conduttor stess. conduttor deono essere d bassa resstenza elettrca per rdurre le perdte ohmche e le cadute d tensone presentate dagl aolgment. l materale d gran lunga pù usato per conduttor è l rame elettroltco rcotto per le sue buone qualtà meccanche ed elettrche. Trasformator - 7

96 Le SHUGLWHQHOHUU (P fe ) per steres e per corrent parasste nel nucleo ferromagnetco. nfatt, poché l nucleo è percorso da un flusso arable ed l materale ferromagnetco è tpcamente conduttore, anche nel nucleo s generano forze elettromotrc ndotte, che danno luogo a delle corrent, dette parasste (o d Focault). Per rdurre le corrent parasste s costrusce l nucleo con lamern, nfatt l lamerno spezza l percorso delle corrent parasste e le rduce. Le perdte per steres sono causate da fenomen d attrto nella struttura crstallna del materale ferromagnetco sottoposto ad un campo d nduzone arable. Per loro natura le perdte nel ferro dpendono qund dal campo d nduzone e dalla sua arazone temporale all nterno del nucleo magnetco, e qund fondamentalmente dalla tensone a prmaro o a secondaro. S consder l crcuto elettrco rappresentato nella fgura 7. Esso costtusce l crcuto equalente del trasformatore (alle basse frequenze), nfatt, per passare dal crcuto equalente degl nduttor accoppat al crcuto d fgura 7 s è:. consderata una LQGXWWDQ]DGLGLVSHUVLQHDSULPDUL (L d )e D VHFQGDUL (L d ) douta a fluss d dspersone a prmaro e a secondaro, oero alle lnee d campo magnetco che s concatenano al prmo aolgmento ma non al secondo, e ceersa;. aggunta la resstenza degl aolgment d prmaro ( ) e d secondaro ( ), per tener conto delle SHUGLWH QHOUDPH (P cu = );. aggunta una resstenza ( ) n parallelo all nduttanza magnetzzante, per tener conto delle SHUGLWHQHOHUU (P fe = a ); L d L d K: L a µ )LJXUD&LUFXLWHTXLYDOHQWHGHOWUDVUPDWUHUHDOH l crcuto equalente del trasformatore reale s rduce al solo trasformatore deale quando engano trascurat tutt fenomen d perdta present nel trasformatore reale. Tal fenomen sono dout alla resstenza degl aolgment (, ), a fluss dspers (L d,l d ), alle perdte nel ferro ( ) ed alla nduttanza magnetzzante, grande ma non nfnta, del nucleo del trasformatore (L ). l trasformatore reale è n grado d modfcare parametr della energa elettrca che lo attraersa, ma, a dfferenza del trasformatore deale, assorbe sa potenza atta che potenza reatta. La potenza atta ene dsspata (trasformata n calore) n parte negl aolgment (per effetto Joule) ed n parte nel nucleo ferromagnetco (per effetto Joule e per steres). La potenza reatta assorbta sere per sostenere fluss dspers ed l flusso prncpale. La presenza d fluss dspers ntroduce uno sfasamento tra la tensone prmara e la tensone secondara, mentre l nduttanza magnetzzante fnta comporta l assorbmento a prmaro, anche nel funzonamento a uoto (coè col secondaro aperto), d una corrente magnetzzante ( µ ). Trasformator - 8

97 on rfermento al regme snusodale d frequenza l crcuto elettrco rappresentato nella fgura 7 può essere descrtto n termn d numer compless rappresentat delle tenson e delle corrent, come llustrato nella fgura 8a. spetto al crcuto d fgura 7, s sono ntrodotte le reattanze d dspersone degl aolgment (X d = ω L d,x d = ω L d ) e la reattanza magnetzzante del nucleo del trasformatore (X = ω L ). n fgura 8b s è llustrato lo stesso crcuto d fgura 8a n cu s sono e- denzate l mpedenza prmara Z = jx d, l mpedenza secondara Z = jx d e l mpedenza Z =( )//(jx ) ottenuta dal parallelo delle mpedenze ejx. X d X d K: V X V a µ )LJXUDD&LUFXLWHTXLYDOHQWHGHOWUDVUPDWUHUHDOH LQ UHJLPHVLQXVLGDOH Z K: Z Z V V )LJXUDE&LUFXLWHTXLYDOHQWHGHOWUDVUPDWUHUHDOH LQ UHJLPHVLQXVLGDOH Se è possble consderare n prma approssmazone lneare l materale ferromagnetco d cu è costtuto l nucleo del trasformatore, la rluttanza è una caratterstca del crcuto magnetco ndpendente dal alore del flusso presente nel crcuto e qund è costante nel tempo. n questo caso, supponendo che tutte le arabl (,,, ) sano funzon snusodal sofrequenzal e ndcando sottolneat fasor relat alle grandezze ndcate e con j l untà mmagnara, s ottene (o) : (o) S not che le prme tre delle (4.) sono LKT applcate al crcuto d Fgura 8.a. L ultma delle (4.) è nterpretable come LK. nfatt L =N / ed jωl µ =jωn Φ, qund µ =Φ/N. sosttuendo s ottene qund µ = a (N / N ). S ha dunque, =, µ,, a Trasformator - 9

98 9 9 Φ = N = jωn Φ jωl = jωn Φ, d = jωn Φ jωl d (,, a ) N, a,, Le equazon (4.) costtuscono le HTXD]LQLLQWHUQH del trasformatore medante le qual è possble descrerne l comportamento nella potes d poter trascurare gl effett dout alla non lneartà del crcuto magnetco. Quando cò non sa possble, le grandezze n goco (tenson, corrent e flusso) sono esprmbl medante la loro sere d Fourer, caratterzzata da un armonca fondamentale, relata alla frequenza d almentazone, e da armonche superor, relate a frequenze multple ntere della fondamentale. Le (4.) costtuscono un sstema d quattro equazon complesse nelle se ncognte complesse V,V,,, a, Φ. ffnché l problema rsult chuso e sa qund possble calcolare l alore delle ncognte è necessaro screre altre due equazon complesse che descrano l accoppamento elettrco del trasformatore col mondo esterno attraerso morsett del prmaro e del secondaro. Nel caso n cu l prmaro sa almentato da una rete a tensone assegnata ed l secondaro sa chuso su d una mpedenza d carco (Z L ), tal HTXD]LQLGLFQQHVVLQHFQO HVWHUQ hanno la seguente forma: È possble spostare a snstra del trasformatore deale (erso l prmaro) l mpedenza secondara Z moltplcandola per l quadrato del rapporto d trasformazone K; s ottene qund l crcuto equalente del trasformatore rdotto a prmaro llustrato nella fgura 9, n cu Z = K Z (s rcord che n tale schema anche l mpedenza d carco collegata al secondaro a moltplcata per l quadrato del rapporto d trasformazone K). nalogamente è possble consderare l crcuto equalente del trasformatore rdotto a secondaro. trasformator sono costrut n modo da rdurre l pù possble gl effett d perdta; rsulta qund comprensble come, normalmente, la caduta d tenson a cap della mpedenza Z rsult pccola (meno d qualche per mlle) rspetto a quella a cap della mpedenza Z.D conseguenza è possble approssmare noteolmente la rete equalente del trasformatore, senza ntrodurre un errore rleante, applcando la tensone d almentazone drettamente a cap della reattanza magnetzzante come mostrato nella fgura. 9 = ( 9 = = L,, Z, Z Z (4.) (4.) V V )LJXUDFLUFXLWHTXLYDOHQWHGHOWUDVUPDWUH ULGWWDSULPDUL Z V V Z t )LJXUDFLUFXLWHTXLYDOHQWHVHPSOLLFDWGHOWUD VUPDWUHULGWWDSULPDUL Trasformator -

99 n questo caso la corrente assorbta da Z non dpende dal carco del trasformatore, ma uncamente dalla tensone d almentazone prmara e concde con la corrente assorbta a prmaro dal trasformatore nel funzonamento a uoto, quando coè l secondaro è aperto ( = ). Nell ambto d tale approssmazone non è pù necessaro dstnguere l mpedenza prmara Z da quella secondara Z. Trasportando una delle due mpedenze, prmara o secondara, dalla parte opposta del trasformatore deale, aendo cura d effettuare la trasformazone corrspondente del suo alore, permette d consderare un unca mpedenza totale che può essere rferta a prmaro Z t = t jx t = Z Z. nalogamente è possble consderare l crcuto equalente semplfcato del trasformatore con un unca mpedenza totale rferta a secondaro (Z t ). parametr che compaono nel crcuto equalente semplfcato (,X, t ed X t ) possono essere determnat spermentalmente medante una proa a uoto ed una proa n corto crcuto. 59$$987 La proa a uoto ene eseguta almentando l prmaro con la sua tensone nomnale e mantenendo l secondaro n crcuto aperto. Facendo rfermento alla rete equalente semplfcata d fgura rsulta nulla la corrente, d conseguenza rsulta: V V =, X = P (5) V P ( ) doe V è la tensone (alore effcace) prmara, è la corrente (alore effcace) prmara e P èla potenza atta assorbta a prmaro durante la proa; tal grandezze possono essere msurate medante l nserzone a prmaro d un oltmetro, un amperometro ed un wattmetro (coè d strument per la msura d tensone, corrente e potenza atta, rspettamente). 59$,&57&,5&8,7 La proa n cortocrcuto ene effettuata almentando l prmaro del trasformatore con l secondaro chuso su un amperometro. La bassa mpedenza dell amperometro permette d consderare l secondaro chuso n cortocrcuto. La tensone prmara dee essere tale che la corrente erogata a secondaro, che ene msurata dall amperometro, sa par alla corrente nomnale (alore effcace). Tale alore della tensone ene chamato tensone d cortocrcuto (V c ) e rsulta essere par ad un frazone (< %) della tensone nomnale prmara. Per alor tpc de parametr del trasformatore rsulta Z >> Z t e qund, nel funzonamento n cortocrcuto, è possble consderare la rete equalente semplfcata del trasformatore che ene mostrata nella fgura e che prende l nome d rete d Kapp. Z t V V )LJXUD&LUFXLWHTXLYDOHQWHVHPSOLLFDW GHO WUDVUPDWUHYDOLGQHOXQ]LQDPHQW LQ FUWFLUFXLWUHWHGL.DSS on rfermento a tale semplfcazone rsulta qund: Trasformator -

100 t ( ) P V P c c c c =, X t = (6) c c doe V c è la tensone (alore effcace) prmara, c è la corrente (alore effcace) prmara e P c èla potenza atta assorbta a prmaro durante la proa; tal grandezze possono essere msurate medante l nserzone a prmaro d un oltmetro, un amperometro ed un wattmetro. 5(',(7&9(=,$/('(/75$6)5$75( l trasformatore assorbe potenza elettrca dal prmaro ed eroga potenza elettrca al secondaro; tale trasformazone aene n presenza d perdte negl aolgment, per effetto Joule, e nel nucleo magnetco, a causa delle corrent parasste e la conseguente dsspazone per effetto Joule e della - steres magnetca. l rendmento del trasformatore (η) ene qund defnto come l rapporto tra la potenza atta erogata a secondaro (P ) e la potenza atta assorbta a prmaro (P ); ndcando con P d la potenza dsspata (trasformata n calore) all nterno del trasformatore rsulta: P P η= = P P La determnazone spermentale d tale grandezza rsulta dffcoltosa per are ragon. n prmo luogo, sarebbe necessaro che l trasformatore operasse nelle sue condzon nomnal e qund s renderebbe necessaro poter dsporre n laboratoro d un carco n grado d assorbre la potenza nomnale del trasformatore che può rsultare anche d parecch MW. n secondo luogo, non essendo present part rotant nel trasformatore, l rendmento dello stesso è molto eleato (può essere superore al 99.5) e pccol error nella msura delle potenze assorbte ed erogate possono produrre un errore noteole nelle determnazone del rendmento. Per oare a tal nconenent ene defnto un rendmento conenzonale del trasformatore (η con ). Le norme stablscono dettaglatamente le modaltà del calcolo del rendmento conenzonale a seconda del carco che l trasformatore dee almentare; facendo rfermento ad un carco ressto (cos ϕ = ) che assorbe la potenza nomnale del trasformatore s ottene: n η con = (8) P P P d n u Fe Nella (8) n è la potenza apparente nomnale del trasformatore, che è ndcata su dat d targa del trasformatore stesso, P cu sono le perdte nel rame, alutate medante la proa n cortocrcuto, e P fe sono le perdte nel ferro, alutate medante la proa a uoto. Nella proa n cortocrcuto, come gà detto, le perdte per effetto Joule negl aolgment, sono largamente predomnant rspetto a quelle nel ferro e qund la potenza atta assorbta durante tale proa rappresenta la potenza che ene dsspata nel rame, a partà d corrent negl aolgment, qund P u = P c. n realtà è necessaro tenere conto della arazone della resstenza degl aolgment al arare della temperatura degl stess e qund le norme fssano le modaltà del calcolo d P u a partre dalla msura d P c. Nella proa a uoto rsultano nece trascurabl le perdte negl aolgment, sto che l secondaro non è percorso da corrente ed l prmaro è percorso solo dalla corrente a uoto che come detto rsulta una frazone abbastanza pccola della corrente nomnale, per cu la potenza atta assorbta durante la proa, eseguta alla tensone nomnale, rappresenta la potenza dsspata nel ferro durante l funzonamento nomnale (P Fe = P ) (7) Trasformator -

101 75$6)5$75,75,)$6( Per trasferre energa elettrca tra due ret trfase a dfferent tenson, s può rcorrere a tre trasformator monofase opportunamente collegat tra loro. Nella fgura 8. è mostrata una possble dsposzone de tre trasformator monofase. n questo caso, gl aolgment prmar sono collegat a stella, così come quell secondar. tre crcut d fgura 8. sono equalent ad un unco trasformatore ottenuto fondendo n un unca colonna le tre colonne pre d aolgment de trasformator monofase (fgura 8.). a b c Φ Φ Φ )LJXUD%DQFGLWUHWUDVUPDWULPQDVH La colonna centrale del crcuto magnetco raffgurato n fgura 8. è percorsa da un flusso d campo magnetco Φ = Φ Φ Φ doe Φ, Φ e Φ sono fluss relat a cascun trasformatore. Se po tal fluss costtuscono una terna smmetrca ed equlbrata, la loro somma è nulla, e la colonna centrale può enre soppressa (fgura 8.). a c a c b b )LJXUD7UDVUPDWUHWULDVHHTXLYDOHQWH DO EDQFGLWUHWUDVUPDWULPQDVH )LJXUD7UDVUPDWUHWULDVHFQQXFOH VLPPHWULF La confgurazone llustrata nella fgura 8. presenta delle dffcoltà costrutte ed un ngombro tale che s prefersce adottare un nucleo complanare (fgura 8.4). Utlzzando tale dsposzone s ntroduce nella terna de fluss magnetc una dssmmetra che peraltro rsulta d norma trascurable. Trasformator -

102 a b c )LJXUD7UDVUPDWUHWULDVHFQQXFOHFPSODQDUH $5$//(/',75$6)5$75, Quando s erfca la necesstà d trasferre grosse potenze da un crcuto all altro, può rsultare conenente rcorrere al parallelo fra due o pù trasformator (fgura 9.). ffnché l parallelo tra due trasformator funzon correttamente, deono essere erfcate le seguent condzon:., WUDVUPDWULGHYQDYHUHOHVWHVVHWHQVLQL QPLQDOL VLD SULPDULD FKH VHFQGDULD OD VWHVVD WHQVLQHQPLQDOHSULPDULDHOVWHVVUDSSUWGL WUDVUPD]LQH D YXW Se così non fosse, s a- rebbe nfatt, nel funzonamento a uoto, una crcolazone d corrente nella magla costtuta dagl aolgment secondar de trasformator collegat n parallelo (magla a a -b a -b b -a b -a a della fgura 9.). a b 9 a 9 - a b - Fgura Parallelo d due trasformator. HOFDVGLWUDVUPDWULWULDVHTXHVWLGHYQDYHUHOVWHVVJUXSSGLDSSDUWHQHQ]D. Se due trasformator trfase, pur erfcando la condzone d cu al punto, aessero ders grupp d appartenenza, sarebbe comunque presente, nel funzonamento a uoto, una crcolazone d corrente ne secondar de trasformator, douta alla dfferenza d fase delle f.e.m. ndotte ne due aolgment secondar n parallelo.., GXHWUDVUPDWULLQSDUDOOHOGHYQDYHUHODVWHVVDWHQVLQHGLFUWFLUFXLWHOVWHVV DWWUH GLSWHQ]DGLFUWFLUFXLW. Questa condzone è rchesta affnché s abba un corretto funzonamento del parallelo n presenza d un carco che rchede che: a. le corrent secondare sano n fase tra d loro; b. la potenza erogata s rpartsca tra due trasformator n manera drettamente proporzonale alle rspette potenze apparent nomnal. Se le due corrent secondare non sono n fase tra d loro, a partà d corrente erogata al carco s hanno maggor perdte nel parallelo, a causa del alore pù eleato delle corrent secondare, rspetto al caso n cu tal corrent rsultano n fase. Se la potenza non s rpartsce tra due trasformator n msura drettamente proporzonale alle rspette potenze nomnal, quando l carco è tale da assorbre da uno de due trasformator la sua potenza nomnale, netablmente l secondo trasformatore o assorbe una potenza nferore a quella nomnale, rsultando così sottosfruttato, oppure assorbe una potenza superore a quella nomnale, condzone quest ultma assolutamente da etare n quanto porta al guasto del trasformatore stesso. a a b a a b b b b Trasformator - 4

103 La prma parte della fgura 9. rporta l crcuto equalente rferto al secondaro del parallelo d due trasformator monofase (se s dee consderare l parallelo d due trasformator trfase, lo stesso crcuto s rfersce, nel caso d carco equlbrato, ad ogn fase del parallelo). Supponendo che due trasformator abbano lo stesso rapporto d trasformazone a uoto, come rchesto dal corretto funzonamento a uoto del parallelo (ed condzone ), le due tensone E,a ed E,b rsultano ugual tra loro e qund è possble semplfcare l crcuto come mostrato nella seconda parte della stessa fgura. Z t,a,a Z t,a,a E,a Z t,b,b Z L Z t,b E, = E,a =E,b,b Z L E,b )LJXUD&LUFXLWHTXLYDOHQWHULHULWDOVHFQGDULGHOSDUDOOHOGLGXHWUDVUPDWUL Dall anals d tale crcuto rsulta edente che, affnché le due corrente,a ed,b sano n fase tra d loro è necessaro e suffcente che l rapporto tra la reattanza e la resstenza delle due mpedenze total rferte al secondaro Z t,a e Z t,b sa lo stesso. Dato che tale rapporto nddua unocamente l fattore d potenza del trasformatore nelle proa n corto crcuto ne segue che, affnché le due corrent sano n fase tra d loro è necessaro che due trasformator abbano lo stesso fattore d potenza d cortocrcuto. sulta noltre:, a Ztb, = (9.) Z, b noltre, dall anals della proa n cortocrcuto, ndcando con K l rapporto d trasformazone a uoto d entramb trasformator, s ottene: V = K Z V = K Z Dalle (9.) e (9.) nfne ca, ta, na, cb, tb, nb,, a, b ta, Zta, V = Z V tb, ca, cb, nb, na, (9.) V cb, na, = (9.) V ca, Dalle (9.) s deduce qund che affnché le corrent s rpartscano proporzonalmente alle rspette corrent nomnal è necessaro e suffcente che due trasformator abbano la stessa tensone d cortocrcuto. nb, Trasformator - 5

104 La teora del campo magnetco rotante errà utlzzata nel seguto per lo studo delle macchne asncrone e sncrone. Essa rchede la prelmnare conoscenza d qualche nozone costrutta che errà esposta relatamente alle macchne a- sncrone, facendo rfermento alla fgura. n tale fgura s consdera una macchna a quattro pol [ settor --D- D] ma la generalzzazone ad un numero qualsas d pol è mmedata. Statore e rotore sono costtut da un clndro cao ed un clndro peno lamnat (parallelamente al pano MPO MGNETO OTNTE D del foglo), coassal e dstanzat da un nterallo anulare d ara [traferro]. Statore e rotore presentano delle cae affaccate al traferro, nelle qual hanno sede conduttor att [dspost nelle cae parallelamente all asse d rotazone] che opportunamente collegat fra loro [tramte testate ] costtuscono gl aolgment d statore e rotore. onsderando macchne trfase, cascun polo è dso n tre settor ugual (ed fgura) rserat a cascuna fase. Nell esempo d fgura ogn fase occupa quattro cae sotto ogn polo [n fgura è ndcato solo l aolgmento della prma fase, le rmanent sono dentche alla prma e s ntendono alloggate ne settor ed esse rserat]. La fgura n basso mostra lo sluppo n pano della superfce d statore affaccata al traferro. n essa è rportato lo schema dell aolgmento d una fase. Nell esempo consderato tale aolgmento rsulta composto da due grupp d matasse, ognuno costtuto da quattro matasse orona d statore orona d rotore D ampo rotante -

105 orona d statore Traferro orona d rotore Schema d prncpo della sezone medana d una macchna elettrca a traferro costante ollegament de lat att dell aolgmento sulla testata della macchna Lo studo del campo magnetco al traferro della macchna rappresentato nella fgura, rchede la soluzone delle equazon della elettrodnamca quas-stazonara, n presenza d un mezzo non unforme e non lneare, n una geometra complessa. Tale studo ene noteolmente semplfcato, medante l ntroduzone delle seguent potes d campo:. la permeabltà del ferro s suppone nfnta;. l andamento delle lnee del campo magnetco al traferro s suppone radale [superfc affaccate al traferro perfettamente lsce];. la dstrbuzone del campo magnetco s rtene dentca n tutt pan perpendcolar all asse della macchna; 4. traferro δ d pccolo spessore e crca costante ampo magnetco generato da una fase aente una sola caa per polo Supponamo per ora che la corrente della fase sa costante nel tempo (..) e che n ogn caa sano n conduttor. Per la prma potes d campo, che ponamo alla base del calcolo d H al traferro s ha: ferro Hferro = = () µ ferro La seconda potes d campo consste nel trascurare l effetto d dentatura e n partcolare le component tangenzal del campo magnetco al traferro. δ polo polo polo 4 polo D 4 H al traferro τ τ τ x x ampo rotante -

106 Lungo la perfera del traferro H è costante a tratt nfatt s consderno due punt qualsas e, nell nterallo compreso tra la prma e la seconda caa e applchamo la legge della crcutazone magnetca alla lnea chusa. H δ H' δ = () H = H ' () Nel passaggo da un polo al polo adacente H subsce una dscontnutà par a n/δ [s chama polo l nterallo tra due cae d fgura] nfatt applcando la legge della crcutazone magnetca a un generco percorso chuso che arca l traferro n corrspondenza de punt e, rsulta: n H δ H δ = n (4) H H = (5) δ pol altern l campo H rprende lo stesso alore nfatt applcando la legge della crcutazone magnetca lungo la lnea chusa che arca l traferro n corrspondenza de punt e, s ha: H δ H δ (6) H = H (7) = l alore assoluto del campo magnetco H è costante al traferro e par a n/δ cordando che d =, applchamo l teorema della dergenza a una superfce clndrca S stuata tra statore e rotore e coassale ad ess. Trascurando gl effett d bordo alle estremtà della macchna, rsulta: [( H )( lτ) ( µ H )( lτ) ] = µ (8) Statore otore S H = H (9) oe l è la lunghezza assale della macchna. Facendo sstema tra la (5) e la (9), s ha qund: n n H = () H = () δ δ tale campo occorre sommare contrbut d tutt conduttor gacent sotto ar pol; n totale s ottene un dagramma a scaln. Preso un rfermento con l orgne nel centro della prma fase: rspetto ad esso l dagramma a scaln è una funzone perodca d perodo τ [τ è detto sempasso polare ] è può scompors n sere d Fourer (coè una sere d sen e cosen d frequenza crescente), d cu consdereremo solo la prma armonca. Vsta la scelta dell orgne, s ha dunque: πx τ ( x) = H cos H M H τ polo τ τ 4 polo δ x polo polo ampo rotante -

107 Le (), () determnano completamente l campo al traferro generato da una fase aente una sola caa per polo, l cu andamento è rportato n fgura n funzone dell ascssa corrente x. tale campo sostturemo, d ora n po, la prma armonca della sere d Fourer la cu ampezza ale = 4 H n M () π δ Se, come è n effett, la corrente della fase è alternata, tutto quanto s è detto ale n ogn - stante e pertanto l campo magnetco ara nel tempo, aendo la confgurazone d un onda stazonara cu nod s realzzano n corrspondenza delle cae. L ampezza massma del campo magnetco s realzza n un entre, al centro del polo, e ale n = π δ H M () oe è l alore effcace della corrente della fase. H τ/ τ/ τ/ H x x ferendo l onda stazonara d campo al sstema d rfermento con orgne n un entre, la sua equazone denta: aendo supposto che ( t) cos( ωt) πx τ ( x,t) = H cos( ωt) cos H M (4) =. La (4) è l equazone d un campo alternato, coè d un campo dstrbuto con legge snusodale lungo l traferro e che ha ampezza arable snusodalmente nel tempo. La (4) può anche scrers nella forma: o anche aendo posto H πx τ ( x,t) = H cos ωt H cos ωt H πx τ M M (5) x x = M ( x,t) H cos ω t H cos ω t M (6) = ωτ π La (7) mostra un rsultato gà noto dalla Fsca: Un onda stazonara s può sempre decomporre n due onde traslant, una progressa (eloctà dretta secondo x) e una regressa (eloctà dretta secondo x).[s può coè decomporre l campo alternato n due camp d ampezza costante, ma ruotant a eloctà costant e opposte] Nel caso n esame tal onde sono ndcate come camp rotant (7) ampo rotante - 4

108 (dretto ed nerso). Ess sono camp d ampezza costante rotant al traferro con eloctà angolare costante. parte l dfferente erso d rotazone, due camp hanno la stessa eloctà angolare ω c n modulo: ωτ ω c = = (8) π Tenendo conto del fatto che π = pτ, doe è l raggo al traferro, p l numero d coppe polar, s ha noltre: ω 6f ω c = (9) o anche n p c = () p doe n' c l numero d gr al mnuto prmo. Se f è la frequenza ndustrale d rete, par a 5 Hz, e supponamo p = 4, s ottene n' c = 5. Qund n una macchna a quattro pol, almentata alla frequenza d 5 Hz, camp ruotano a 5 gr al mnuto. ampo magnetco generato da una fase aente q cae per polo Quanto s è esposto al paragrafo precedente s generalzza a una fase aente un generco numero q d cae per polo. n tal caso nfatt doremo sommare q contrbut snusodal spostat d una caa l uno rspetto all altro. L ampezza del campo rsultante è n questo caso: H = k π nq δ M a () Nella () k a (coeffcente d aolgmento) è compreso tra zero e uno e tene conto del fatto che q contrbut che s sommano sono sfasat l uno rspetto all altro d un angolo elettrco α corrspondente al passo τ c d caa. S può dmostrare che: k a qα sen α q sen = () essendo α = πτ c /τ () ampo al traferro generato dalle tre fas Le corrent delle tre fas costtuscono un sstema equlbrato con pulsazone ω e pertanto sono e- sprmbl con le relazon: π 4 ( t) = M ( t) ( t) = M t ( t) M t = π cos ω, cos ω, cos ω (4) Tenuto conto che le fas sono spostate d τ/ una rspetto all altra, dalle (4) e (4) s deducono le espresson de camp parzal generat da ognuna d esse: πx H H ( x, t) = H cos( ωt) cos M πx HM πx M = cos ωt cos ωt τ τ τ π πx π H H ( x, t) = H cos ωt cos M πx HM πx 4π M = cos ωt cos ωt τ τ τ 4π πx 4π H H ( x, t) = H cos ωt cos M πx HM πx π M = cos ωt cos ωt τ τ τ ampo rotante - 5

109 πx Sommando membro a membro H = HM cos ωt τ n altr termn nella somma de contrbut d campo delle are fas, camp ners s eldono, quell drett s sommano. n defnta le tre fas generano un unco campo rotante dretto espresso da πx H( x,t) = HMt cos ωt (8) oe τ H Mt = k π Ponendo nella (8) x = (ossa, consderando un osseratore nel prmo entre dell onda stazonara della prma fase), rsulta (,t) H cos( t) H = Mt ω (9) Dalle (4) e (9) s trae che per l osseratore centrale della prma fase (analogamente per le altre) campo e corrente sono n fase. S conclude che: l campo rotante transta con la sua ordnata massma daant al centro d fase, quando n quella fase la corrente è massma. a nq δ f.e.m. ndotta n una fase da un campo rotante S consder ora un generco campo rotante che transta con eloctà d fronte ad una spra, ferma, d passo τ uguale a quello del campo stesso. Nella spra s nduce una f.e.m. snusodale l cu alore effcace E s ale: E s = ωφ () τ Φ π oe ω è la pulsazone della f.e.m. ndotta ω = () τ e Φ è l flusso relato ad un polo d campo rotante e rappresenta, oamente, l alore massmo del flusso concatenato con la spra. Se l aolgmento è costtuto da N conduttor att (corrspondent a N/ spre), la f.e.m. snusodale ndotta n esso dal campo rotante è: ω E = ka NΦ () Oe k a è lo stesso coeffcente che compare nella () ed è presente per tenere conto del fatto che le f.e.m. ndotte n spre adacent sono ugual n modulo, ma sfasate dell angolo α espresso dalla (). ampo rotante - 6

110 MHNE SNONE onsderamo dapprma l caso d macchne asncrone con rotore aolto. n esse statore e rotore hanno un aolgmento dello stesso tpo (d regola trfase). L aolgmento d statore [ad esempo collegato a stella come ndcato n fgura] è almentato da una lnea, l aolgmento d rotore è chuso n cortocrcuto. La smmetra della macchna fa sì che, almentando la macchna con un sstema smmetrco d tenson, s ottenga un sstema equlbrato d corrent, sa nello statore che nel rotore. Funzonamento ntuto S può llustrare con la seguente catena logca : V s s E r r r = s r () doe ndca u sstema smmetrco (d tenson) o equlbrato (d corrent), ndca l campo rotante ed pedc s ed r ndcano statore e rotore, rspettamente. La () mostra come l rotore reagsce all azone nducente dello statore con un campo rotante r che s somma a quello s d statore a generare l campo rotante complesso. ò è possble n quanto, come ora mostreremo, due camp r e s ruotano con uguale eloctà e rsultano pertanto mmobl uno rspetto all altro. charmento d quanto esposto defnamo nnanztutto lo scorrmento s: s c m (4) c oe c campo rotante d statore e m è la eloctà angolare del rotore. Lo scorrmento è qund l rapporto tra le eloctà angolare relate (rspetto al rotore) e assoluta del campo rotante d statore. La pulsazone r delle f.e.m. ndotte da s nel rotore è: r s (5) nfatt, per le (9) e (4), s ha: r = p ( c m ) = p s c = s. ò premesso la eloctà angolare assoluta d r s può calcolare come somma della eloctà relata rspetto al rotore s c e della eloctà del rotore stesso: 4 9 s c m sc sc (6) p nche nel caso della macchna asncrona, come gà per trasformator, s ha qund un unco campo prncpale che s concatena con entramb crcut (nel caso n questone d statore e d rotore). Teorema d Equalenza delle macchne sncrone (cenno) La legge d Ohm s applca faclmente ad una fase d statore e d rotore (per le altre fas l dscorso resta nalterato salo ntrodurre un opportuno sfasamento d / o 4/) e porta a screre le seguent equazon: N V jx d jka Φ [alla frequenza f] (7) Macchne-sncrone -

111 N jsxd jsk a Φ [alla frequenza sf] (8) oe l sgnfcato de smbol è analogo a quanto sto per trasformator, n partcolare X d e X d sono reattanze d dspersone (d statore e rotore) alutate entrambe alla frequenza d almentazone dello statore. S not che le (7) e (8) non sono sofrequenzal [a causa della (5)] e qund non sono drettamente confrontabl. Questa dffcoltà s può aggrare con l Teorema d Equalenza. Una macchna sncrona n funzonamento stazonaro (con le fas d rotore n cortocrcuto) ad una generca eloctà equale, sotto l proflo del funzonamento elettrco, alla stessa macchna mantenuta a rotore bloccato ma con le fas d rotore che almentano cascuna una resstenza par a ( s)/s, essendo la resstenza d una fase rotorca. Tale equalenza, ndcata smbolcamente n fgura, è da ntenders nel senso che tutte le grandezze n goco, a parte la frequenza del rotore, restano ugual ne due cas. Tralascando la dmostrazone rgorosa del teorema, lmtamoc ad alcune consderazon approssmate. Le equazon d statore e rotore s scrono, per la macchna equalente, nel seguente modo: N jx d j ka Φ (7) V s N jka (8) jx d m (s) s (s) s m = (s) s Dal confronto tra (7) e (8) con (7) e (8) s ha, trascurando le cadute statorche: a par V par par par r S conclude che la reazone magnetca del rotore (che s concretzza n r ) è la stessa ne due cas e lo statore non aerte qund alcuna dfferenza fra due funzonament. D ora n po faremo sempre rfermento, per comodtà, alle equazon (7) e (8) che hanno l antaggo d essere sofrequenzal. ò faclta anche la scrttura della terza equazone (nterazone magnetca statore-rotore) che rsulta: N k N Φ (4) ka a Tralascamo la dmostrazone rgorosa della (4), osserando che essa ha un contenuto ntuto se s fa rfermento alla fgura, oe sono schematcamente ndcate due fas corrspondent della macchna equalente. Equazon nterne n conclusone le equazon nterne della macchna asncrona rsultano: m = Macchne-sncrone -

112 Le (4), (4), (4), che algono nel caso n cu statore e rotore abbano ugual numero d fas, presentano una noteole analoga con le equazon del trasformatore e pertanto analoghe sono le consderazon che da esse s possono trarre. N jxd j ka Φ (4) V s N jx jk (4) d a s k N k N Φ (4) a a ete Equalente n partcolare, con un procedmento del tutto analogo a quello relato a trasformator, s determna, a partre dalle (4), (4), (4) la rete equalente della macchna asncrona. Le formule d rduzone da rotore a statore concdono con quelle d rduzone da secondaro a prmaro del trasformatore, salo sostture k a N a N. X d k a N : k a N X d V X ( s) s rcuto equalente per una fase della macchna asncrona (trascurando le perdte nel ferro) È bene precsare noltre che è possble tenere conto delle perdte nel ferro, n modo analogo a quanto s fa per trasformator, modfcando la rete equalente della macchna asncrona ponendo n parallelo ad X una opportuna resstenza percorsa da una corrente a denomnata componente atta della corrente a uoto. X d X d V a X s s rcuto elettrco equalente della macchna asncrona rferto ad una fase d statore. oppa Macchne-sncrone -

113 La resstenza fttza ( s)/s smula l carco meccanco, per cu la potenza dsspata su essa rappresenta la potenza meccanca P m : s s s E Pm (44) s s Xd oe s è posto E kan (45) dalla (44) s ottene la coppa ddendo per la eloctà angolare: n defnta la coppa rsulta (per una macchna trfase): p s E s Xd (46) Pm p s s E (46) m s s Xd [e per una macchna a m fas: ] mp se s X oe la E, espressa dalla (45), rappresenta la f.e.m. ndotta nella fase d rotore per s =. tensone d almentazone costante (V = cost.) essa può rteners costante: 4 45 V cost. cost. cost. (48) E trascurando lecadute La (48) mostra che anche per le macchne asncrone (come gà per trasformator) l flusso ara poco al arare del carco. aratterstca Meccanca S ntende ora edenzare grafcamente l andamento della caratterstca (s) dato dalla (47). S not che: * la caratterstca è antsmmetrca, coè (s) = (s) E d k p * per s >>, s ha, con k s X * la coppa s annulla per s = * l punto d massmo della caratterstca s può troa annullando la derata rspetto ad s della (47) oppure, pù semplcemente, determnando l punto d mnmo del denomnatore sx d /s. nnullando la derata d quest ultmo rspetto ad s s ha X d /s =. l massmo della coppa s ha per s = /X d e ale: max p E X d d Macchne-sncrone - 4

114 S not che la max non dpende da, ma solo dalla reattanza d dspersone V = cost. * la coppa d spunto, n s =, è dersa da zero e dpende dalla resstenza rotorca : d p E sp X Queste consderazon sono suffcent a costrure la cura caratterstca (s), llustrata n fgura, che ene detta caratterstca meccanca della macchna asncrona. /X d aratterstca meccanca d una macchna asncrona n funzone dello scorrmento. s La caratterstca meccanca d una macchna asncrona può essere anche rappresentata n funzone del numero d gr. La eloctà angolare del rotore n n numero d gr al mnuto è data da n = 6 m /. Poché s ha m = c (s) ed noltre c = /p = f/p, lo scorrmento s è legato ad n e alla frequenza f dalle relazone 6 f n s p La eloctà angolare del campo rotante n c, n numero d gr al mnuto è n c = 6f/p. Sono possbl tre modaltà d funzonamento: Funzonamento da motore: quando l rotore ruota nello stesso erso d rotazone del campo ma con eloctà angolare mnore; la potenza elettrca ene assorbta dalla rete d almentazone dello statore e, a meno delle perdte nterne, ene trasformata n potenza meccanca, portando n rotazone un carco meccanco che s oppone al moto. Funzonamento da generatore: quando l rotore ruota nello stesso erso d rotazone del campo ma con eloctà angolare maggore, entro un lmte massmo; questo funzonamento può aenre se la coppa motrce è d tpo meccanco, ad esempo se all albero della macchna asncrona è collegata una turbna eolca. n questo caso la potenza meccanca ene assorbta e, a meno delle perdte nterne, ene trasformata n potenza elettrca ceduta alla rete d almentazone dello statore. Funzonamento da freno: quando l rotore ruota nel erso opposto a quello d rotazone del campo, oppure nel erso d rotazone del campo ma con eloctà eleata; n questo caso la coppa d orgne elettromagnetca s oppone al moto e la potenza meccanca ene assorbta e completamente trasformata n calore, dato che la macchna, n questa condzone d funzonamento, assorbe anche potenza elettrca dalla rete d almentazone dello statore. Macchne-sncrone - 5

115 V = cost. f = cost. Funzonamento da freno Funzonamento da motore n c Funzonamento da generatore n Funzonamento da freno aratterstca meccanca d una macchna asncrona n funzone del numero d gr. Equazon esterne Le arabl che defnscono unocamente l regme d funzonamento della macchna asncrona, tenendo conto del teorema d equalenza, sono la pulsazone statorca, la eloctà d rotazone m (da cu s rcaa l alore dello scorrmento s), la tensone statorca V, la corrente statorca, la corrente rotorca, ed l flusso prncpale concatenato con la spra centrale statorca. l alore d tal arabl può essere determnato rsolendo l sstema costtuto dalle equazon nterne complesse (4-4-4) e dalle equazon esterne che ndduano l accoppamento della macchna stessa con l ambente esterno. Un prmo gruppo d equazon nddua l almentazone elettrca della macchna; ad esempo, se la macchna è almentata a statore da una rete aente tensone concatenata e frequenza assegnata, rspettamente par a V ed f, rsulta: V = V ; f = f (5) L equazone del moto del rotore mpone a regme l uguaglanza fra la coppa d orgne elettromagnetca e, data dalla equazone (46) e la coppa resstente d orgne meccanca r applcata all albero, che è una funzone nota della eloctà d rotazone: e = r (5) S not che l funzonamento d regme (n cu = r ) della macchna asncrona (nel punto d fgura) è stable. nfatt, la eloctà angolare del rotore (oero l numero d gr al mnuto n = 6 m /) è determnata dall equazone Macchne-sncrone - 6

116 d J dt m doe J è l momento d nerza del rotore. Se a partre da s ha, per qualunque ragone, una arazone posta d m la coppa motrce cala e quella resstente cresce qund r < ed l rotore tende a rallentare. Vceersa, se a partre da s ha, per qualunque ragone, una arazone negata d m la coppa motrce cresce e quella resstente cala qund r > ed l rotore tende a accelerare per rportars n. S not noltre che l punto d funzonamento (anch esso d equlbro) è nstable. r V = V f = f n r n aratterstca Elettromeccanca Dalla (4), rcordando l Teorema d Equalenza, è possble esprmere l alore effcace della corrente rotorca : s N k a s X (49) d Da questa relazone è possble calcolare l alore effcace della corrente rotorca rdotta a statore : s kan (5) k s Xd an La (5) rappresenta la caratterstca elettromeccanca d rotore. S not che tale caratterstca è smmetrca, coè (s) = (s). Pertanto n fgura è llustrata la caratterstca elettromeccanca solo per scorrment post. V = cost. V = cost. s n n aratterstca elettromeccanca d rotore n funzone dello scorrmento. aratterstca elettromeccanca d statore e d rotore n funzone del numero d gr. Le caratterstche elettromeccanche d statore e d rotore n funzone del numero d gr, rcaabl dalla soluzone del crcuto equalente d fgura 6. n corrspondenza d un assegnato alore della tensone e della frequenza d almentazone, sono llustrate nella fgura È charo che un ulterore problema che s erfca all aamento del motore asncrono è rappresentato dall eleato alore delle corrent assorbte sa a statore che a rotore, rspetto al alore corrspondente al funzonamento a regme. Macchne-sncrone - 7

117 S nota, dalle caratterstche meccanca ed elettromeccanca che allo spunto (s =, n = ) la coppa è d solto modesta mentre le corrent sono eleate. nfatt, la corrente allo spunto può rsultare anche cnque olte maggore della corrente a regme. Sa la coppa che la corrente allo spunto dpendono dalla resstenza rotorca: n partcolare, al crescere della resstenza rotorca, la coppa elettromagnetca cresce e la corrente, sa statorca che rotorca, cala. Per motor con rotore aolto è qund possble nnalzare la coppa e rdurre la corrente allo spunto, collegando, medante un collettore ad anell (ed fgura), l aolgmento rotorco ad un reostato d aamento, n tal modo aumentando la resstenza rotorca. n fgura è llustrata la progressa arazone della caratterstca meccanca che s realzza durante questo tpo d aamento. aggunto l regme d funzonamento rchesto l reostato ene escluso (per etare una eccessa perdta Joule che abbasserebbe l rendmento) e sosttuto dalle connesson d cortocrcuto. V = V f = f m r a n n Schema del reostato d aamento amento medante nserzone del reostato d aamento ( rduzon successe) endmento l rendmento d un motore ene defnto come l rapporto fra la potenza meccanca erogata e la potenza elettrca assorbta. Dal teorema d equalenza e dal crcuto equalente segue la seguente espressone del rendmento d un motore asncrono trfase: P P m e s s s s a l rendmento può essere espresso come l prodotto d due rendment r (rendmento rotorco, defnto come l rapporto fra la potenza meccanca erogata e la potenza elettrca assorbta dal rotore) ed s (rendmento statorco, defnto come l rapporto fra la potenza elettrca erogata dallo statore al rotore e la potenza elettrca assorbta) rspettamente dat dalle seguent espresson: = s r s r a s s s s s s s s s Macchne-sncrone - 8

118 Dall espressone del rendmento rotorco s ede come sa necessaro, al fne d realzzare rendment eleat, che l regme d funzonamento della macchna sa caratterzzato da un alore dello scorrmento pccolo (alor tpc sono dell ordne del 4 %), cosa peraltro faclmente realzzable dato l eleata pendenza della caratterstca meccanca n prossmtà della eloctà d sncronsmo. ENN OSTUTTV: STTOE Lo statore è formato dalla carcassa (d ghsa per basse potenze, d lamera saldata per potenze maggor) e dal pacco statorco nelle cu cae è alloggato l aolgmento trfase destnato alla generazone del campo rotante. l pacco statorco è formato dalla sorapposzone d lamere d pccolo spessore, fra loro solate con ernc allo scopo d rdurre la potenza perduta per corrent parasste. Nelle grosse macchne, come negl alternator, l pacco statorco ene suddso n pù pacch elementar per formare canal d entlazone al fne d rendere pù effcente l raffreddamento. Le cae statorche sono soltamente del tpo semchuso, l che permette d rdurre sa l flusso dsperso sa le perturbazon del campo al traferro. Le spre d cascuna fase sono dstrbute n modo tale da produrre, quando sono percorse da corrente, un'nduzone d traferro ad andamento radale dstrbuta spazalmente n modo approssmatamente snusodale. La carcassa porta una base solante con morsett a qual engono collegat termnal delle fas costtuent l aolgmento. (a) (b) Forme pù comun d cae per macchne asncrone: (a) caa semchusa per rotore aolto, (b) caa per rotore a gabba semplce, (c) caa per rotore a doppa gabba, (d) caa per rotore a barre alte. (c) (d) Macchne-sncrone - 9

119 ENN OSTUTTV: OTOE l rotore è costtuto essenzalmente dall albero e dal pacco rotorco. Ne motor d potenza mnore l pacco d lamere ene montato drettamente sull albero. Ne motor d maggore potenza l pacco lamellare rotorco, costtuto da corone crcolar, ene sstemato su una superfce clndrca collegata da nerature all albero. Le cae, unformemente dstrbute sulla perfera del pacco rotorco sono d tpo chuso o semchuso. l numero delle cae rotorche è derso (n generale maggore) del numero delle cae statorche; cò per etare pulsazon perodche del flusso da cu derano brazon e rumore durante la marca. n partcolare, al fne d ageolare l aamento del motore e renderlo pù slenzoso n marca, l pacco rotorco ha talolta le cae nclnate rspetto all asse. Questo artfco rchama antagg che s ottengono n meccanca sosttuendo un ngranaggo a dent drtt con un ngranaggo a dent elcodal. Per quanto rguarda l aolgmento dstnguamo motor con rotore aolto ed motor con rotore a gabba. Motor a Gabba Sono molto dffus, n pratca, motor l cu rotore non è aolto, ma è confgurato a gabba d scoattolo (ed fgura) [Nelle cae rotorche sono alloggate delle sbarre d rame che engono saldate a due anell frontal, pure d rame, n modo da formare una gabba, chamata gabba d scoattolo. osì collegate le sbarre formano tra loro crcut chus che sono percors dalle corrent ndotte dal campo rotante.] Per ess (lo s può dmostrare) ale con buona approssmazone la normale teora delle macchne asncrone. L mpego del rotore a gabba semplce aene soprattutto per le basse potenze. Per potenze medo-basse (fno a kw) può conenre realzzare la gabba n allumno pressofuso, per potenze maggor la gabba è sempre n rame. Per le potenze mede è molto dffuso l motore a Doppa Gabba, perché è quello che presenta la maggore elastctà nelle caratterstche d aamento. n questo caso l rotore è prosto d due gabbe concentrche aent caratterstche opposte (ed fgura). La gabba esterna (o d aamento), è costtuta d barre d pccola sezone aent una eleata resstenza ed una pccola reattanza d dspersone. La gabba nterna (o d laoro), è costtuta d barre d grande sezone aent una pccola resstenza ed una eleata reattanza d dspersone. ll aamento la corrente crcola prealentemente nella gabba esterna. Mano a mano che la macchna accelera e dmnusce la frequenza delle corrent d rotore, dmnusce la reattanza d dspersone e la corrente s sposta progressamente sulla gabba nterna. Gabba semplce per rotore d macchna asncrona. Doppa gabba per rotore d macchna asncrona. Macchne-sncrone -

120 otore d macchna asncrona a gabba d scoattolo. Partcolare della doppa gabba. La gabba pù esterna, rspetto alla gabba nterna, è caratterzzata da un alore pù eleato della resstenza (la sezone de conduttor è pù pccola), ma da un alore pù pccolo del coeffcente d autonduzone d dspersone: e >> L de << L d L mpedenza della doppa gabba è data dal parallelo tra l mpedenza della gabba nterna (Z ) e quella della gabba esterna (Z e ). Z = j s L d, Z e = e j s L de Z = Z e Z /(Z e Z ) llo spunto (s = ), quando la frequenza delle corrent rotorche concde con quella dell almentazone d statore, la reattanza d dspersone della gabba nterna è molto maggore d quella della gabba esterna, tanto da compensare la mnore resstenza e da fare sì che la corrente crcol prealentemente nella gabba esterna: s = Z e e << L d Z Z Z e Essendo la e eleata, l aamento è semplce (coppa d spunto eleata). Man mano che l motore accelera, la frequenza d rotore s rduce e con essa la reattanza d dspersone e l mpedenza delle due gabbe ene ad essere caratterzzata dal alore della resstenza: la corrente progressamente s sposta dalla gabba esterna a quella nterna. regme (s ), è la resstenza della gabba nterna, che è molto mnore d quella della gabba esterna, a fare sì che la corrente crcol prealentemente nella gabba nterna. Una regolazone analoga s può ottenere medante l ntroduzone d barre alte. s Z e e >> Z Z Z Essendo la rdotta, l rendmento è eleato Z e Z Z e Z Partcolare del rotore a gabba a barre alte. Per le potenze eleate s utlzza l motore a arre lte. l rotore d questo motore, costruttamente semplce, è prosto d barre d forma allungata, sstemate n cae alte e strette (ed fgura) n cu s determna, all aamento, uno spostamento d corrente, dall esterno erso l nterno, n modo smle a quello che s erfca nel rotore a doppa gabba. otore aolto Macchne-sncrone -

121 Ne motor asncron con rotore aolto (prealentemente utlzzat nelle macchne d meda e d grande potenza), nelle cae d rotore è alloggato un aolgmento aente lo stesso passo polare dell aolgmento d statore. l numero delle fas dell aolgmento d rotore può n generale essere anche derso da quello dell aolgmento d statore. L aolgmento d rotore è collegato a stella con termnal facent capo a tre anell conduttor, solat sa tra loro che dall albero sul quale sono calettat. Sugl anell poggano delle spazzole medante le qual le fas dell aolgmento rotorco engono collegate a tre resstenze esterne, arabl, soltamente collegate a stella. l complesso delle tre resstenze arabl forma l reostato d aamento, l cu scopo prncpale è quello d lmtare le corrent assorbte dal motore durante l aamento ed aumentare la coppa d spunto. La manora d aamento s esegue con tutte le resstenze nserte. Man mano che l motore accelera le resstenze engono gradualmente escluse. Durante l funzonamento a regme tre anell engono cortocrcutat. spazzole d corto crcuto rotore reostato d aamento spazzole per l aamento Sezone longtudnale d un rotore aolto. otore d macchna asncrona aolto. Tutte le macchne elettrche sono dotate d una targa che fornsce mportant nformazon necessare per la loro scelta ed l loro utlzzo. n fgura è rportata la targa d un motore asncrono trfase da HP della Semens progettato per funzonare a 46 V e 6 Hz; corrente nomnale 4.9 ; eloctà nomnale è.765 r.p.m., scorrmento nomnale.9%, rendmento 9.6%. l fattore d serzo ndca che l motore può funzonare n modo ntermttente ad una potenza par a,5 Pn. La classe d solamento è F (che consente una soratemperatura massma d 5 ) e la temperatura ambente è standardzzata a 4, pertanto la massma temperatura ammessa è 45. La temperatura d funzonamento d un motore è mportante sa per l rendmento che per la durata d ta (un ncremento d della temperatura d funzonamento può dmnure la durata d ta dell'solante d pù del 5%). Macchne-sncrone -