VALUTAZIONE DI UNO STUDENTE CON LOGICA FUZZY

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA INFORMATICA VALUTAZIONE DI UNO STUDENTE CON LOGICA FUZZY LAUREANDO Fabio Cusenza Matricola RELATORE Prof. Biagio Lenzitti CORRELATORE Prof. Enzo G. Munna ANNO ACCADEMICO 2010/2011

2 Sommario Introduzione... 3 Capitolo 1 : Stato dell arte 1.1 Stato dell arte Obiettivi e risultati attesi Capitolo 2 : Introduzione alla logica fuzzy 2.1 la logica bivalente La logica aristotelica Le difficoltà della bivalenza La logica bivalente Bivalenza contro polivalenza La logica fuzzy Capitolo 3 : La logica fuzzy 3.1 Introduzione Impiego della logica fuzzy Definizioni Le funzioni di appartenenza Operazioni sugli insiemi fuzzy Relazioni fuzzy Regole e implicazioni fuzzy Il processo di inferenza Variabili linguistiche Struttura di un sistema fuzzy Progettazione di un sistema fuzzy Capitolo 4 : La valutazione scolastica 4.1 Introduzione Architettura del sistema Gli insiemi fuzzy Struttura del database Modello per l acquisizione dei dati

3 4.6 Insieme delle regole Fuzzificazione Defuzzificazione Capitolo 5 : Case study 5.1 Le simulazioni I risultati Esempio pratico di una simulazione Conclusioni e sviluppi futuri Bibliografia

4 INTRODUZIONE Lo sviluppo delle nuove tecnologie e la crescita inarrestabile di modelli di insegnamento-apprendimento sempre più flessibili ed efficaci, basati sull utilizzo delle tecnologie stesse, stanno determinando la nascita di una nuova società che possiamo definire società cognitiva. È una società che richiede un profondo rinnovamento delle istituzioni formative e dei modi di trasmettere ed acquisire il sapere; le scuole, ed in particolare le Università, devono essere capaci di far fronte ad un mercato del lavoro sempre più aperto e flessibile. Il ruolo dei docenti, all interno del processo formativo, e, soprattutto del processo di valutazione del discente, muta radicalmente poiché, si trovano ad acquisire nuove e complesse competenze. Prima di ogni cosa serve sgomberare il campo da possibili fraintendimenti e precisare cosa si intende per valutazione: valutare significa attribuire o dichiarare il valore di qualcosa, significa valorizzare qualcosa in funzione di uno scopo. Valutare nella scuola è l individuazione e ricerca di ciò che ha valore (negli apprendimenti, negli insegnamenti, nell istituzione) per la formazione della persona. Per essere tale un attività valutativa dovrà considerarsi: - Un attività di pensiero produttivo: la valutazione deve produrre qualcosa di nuovo; e quel qualcosa deve essere funzionale alla regolazione, al cambiamento, alla crescita, allo sviluppo; 3

5 - Un attività di pensiero comparativo: la valutazione è sempre frutto di un confronto tra due o più entità; - Un attività di pensiero critico: la valutazione, attraverso il confronto delle idee, punta alla ricerca di conferme e di confutazioni, nel dubbio e nella critica, per produrre informazioni necessarie per decidere e per agire; - Un attività di pensiero ermeneutico: la valutazione vive di interpretazioni e congetture, radicate nei mondi di colui che valuta. La valutazione si rappresenta concretamente come un sistema di attività, tecniche e strategie che accompagnano tutto il percorso formativo ( la valutazione non si fa solo alla fine, com è banale consuetudine, ma comincia con l analisi dei bisogni, del contesto, della situazione iniziale). Le tecniche valutative comprendono l osservazione sistematica (per riscontrare lo stato delle conoscenze), l osservazione esperienziale (per l analisi dei comportamenti), la rilevazione dei dati (per misurare risposte, risultati, ), la verifica delle ipotesi e del raggiungimento degli obiettivi; ma la valutazione non si identifica e non si esaurisce con l applicazione di alcune tecniche. La valutazione non deve cercare soltanto il senso (il significato personale rispetto ad un mondo di significati), deve invece spingersi a cercare ciò che vale in quel senso, il positivo che diventa base di partenza di percorsi formativi, le qualità per assumere decisioni consapevoli, i talenti per valorizzare ogni soggetto. Il valutatore di qualità dovrà puntare alla trasparenza e alla condivisione della valutazione istituita, rimanendo comunque sempre consapevole dell ingerenza dei fattori umani, soggettivi e personali, che naturalmente si interpongono nei processi formativi: 4

6 questa consapevolezza arricchisce tanto la valutazione quanto l azione formativa. Bisogna essere coscienti del fatto che la valutazione di una persona è sempre soggettiva. L isolamento dell insegnante è un freno continuo all innovazione e al miglioramento. Le nuove norme sollecitano azioni in team di docenti, in gruppi di lavoro, in dipartimenti per aree disciplinari, e per progetti trasversali. Tali azioni comprendono attività di progettazione, di pianificazione, di produzione dei materiali, di gestione dei gruppi di studenti, ed anche di valutazione. La scuola dell autonomia comporta una valutazione plurale e condivisa, non individualista. La valutazione di una sola persona è una valutazione ad elevata probabilità d errore, in quanto la percezione soggettiva si piega e si conforma ai propri schemi cognitivi e mentali, alle proprie esperienze e ai propri vissuti. Le distorsioni dovute all effetto alone, che enfatizza una caratteristica a detrimento di altre, o anche all effetto Pigmaglione, che modella l allievo sulla base delle proprie previsioni, devono essere superate con la triangolazione dei punti di vista. Il principio di triangolazione sostiene che per ridurre la soggettività valutativa è opportuno che l osservazione sia effettuata da almeno tre persone. Il principio della triangolazione non intende sfiduciar le osservazioni individuali e soggettive, bensì valorizzarle nel confronto per ottenere un risultato con un valore aggiunto superiore e più ricco rispetto alla somma delle parti. Osservare qualcosa da più punti di vista significa comprenderla meglio, condividere significati e valori, ad un livello di profondità irraggiungibile da un singolo valutatore. In consiglio di classe, per esempio, non si dovrebbero semplicemente accostare i voti che ciascun insegnante attribuisce; non ha senso: tanto varrebbe consegnare gli elenchi in segreteria. 5

7 Se ha un senso la valutazione nel consiglio di classe, quel senso si ritrova nella condivisione di un obiettivo che tutti concorrono a raggiungere. E quando non si può essere in tre? Naturalmente nelle molteplici situazioni scolastiche non è sempre possibile valutare utilizzando la triangolazione dei punti di vista. In tal caso si rende necessaria la triangolazione tecnico-strumentale, dove, per ridurre la soggettività dell insegnante, è opportuno che costui metta in atto una molteplicità di tecniche e di strumenti, sia misurativi ( come le prove di verifica), sia descrittivi e narrativi (come resoconti e rapporti), strumenti che vanno usati in modo equilibrato. In un discorso che si allaccia bene a come cercare di eliminare gli errori dovuti alla soggettività nella valutazione scolastica possiamo inserire l utilizzo della logica fuzzy, oggetto della tesi in osservazione, che descriveremo in maniera dettagliata nei successivi capitoli. 6

8 CAPITOLO 1 : INTRODUZIONE STATO DELL ARTE Il progetto oggetto di studio della tesi è incentrato sulla didattica e nello specifico della valutazione dello studente, sia da un punto di vista qualitativo e sia da un punto di vista quantitativo. Ci sono diverse esperienze basate sull utilizzo delle nuove tecnologie, con l obiettivo di perseguire una politica di qualità della formazione favorendo al tempo stesso la ricerca di soluzioni e lo sviluppo innovativo di nuove tecnologie dell informazione e comunicazione applicate alla didattica. Una di queste esperienze è quella sviluppata da Gaetano Manzulli e Alessandro Salentino che hanno sviluppato il progetto Insegnante Virtuale, teso ad un mirato intervento educativo e di recupero per la prevenzione dei casi di insuccesso e dell abbandono scolastico. Il progetto, iniziato nel 2007/08 è nato al fine di rendere disponibili agli allievi contenuti secondo percorsi educativi utilizzabili in modo personalizzato sia dal punto di vista della costruzione individuale del sapere, sia dal punto di vista dell accessibilità nei modi e nei tempi ad essi più congeniali. Utilizzando un codice multipiattaforma come il C è stato possibile realizzare un umanoide e quindi rendere possibile la presentazione di contenuti utilizzando un modello di Insegnante Virtuale. Tale insegnante, realizzato secondo i canoni della modellazione parametrica e cioè con la possibilità di controllare e modificare il modello agendo su una serie di parametri a disposizione dell utente, può essere l interfaccia idonea ad esporre contenuti specifici realizzati dai docenti. Questi contenuti saranno poi rivolti verso una classe anch essa virtuale e rappresentata da 7

9 chiunque accedendo alla piattaforma web dell istituto possa fruire di questi nei tempi e neo luoghi voluti. Per quanto riguarda la piattaforma di e-learning si è scelta quella di DOCEBO per la sua possibilità di personalizzare il modello didattico in funzione delle esigenze dei docenti/tutor garantendone quindi un uso semplice e flessibile. Progetto che possiamo definire più ambizioso ma che si rifà molto a quello appena visto è quello sviluppato dal dottor Hossein Sarrafzadeh dell istituto di Informatica e Scienze Matematiche della neozelandese Massey University che ha creato Eve, un sistema di insegnamento affettivo. In pratica si tratta di un insegnante virtuale che può adattare le sue risposte e comportamenti allo stato emozionale dello studente che sta interagendo con lei. Eve coglie il linguaggio del corpo e le espressioni facciali ed è in grado di valutare se l allievo è frustrato, annoiato o confuso durante la sessione di insegnamento calibrando il proprio intervento didattico. Per sviluppare il software di questo sistema il team di Massey ha osservato le interazioni degli allievi con gli insegnanti e ha catturato migliaia di loro immagini, gesti e movimenti del corpo partendo dalle quali ha sviluppato procedure che permettono di memorizzare e di riconoscere l espressione del viso e persino la frequenza cardiaca ed altri significativi segnali biologici. Tra le varie esperienze che stiamo trattando trova posto anche quella proposta dal professor Antonio Maturo dell Università G. D Annunzio di Chieti-Pescara. Il sistema sviluppato da Maturo si avvicina molto a quello che è oggetto di studio di questa tesi e ha come obiettivo quello di arrivare a valutare lo studente secondo 8

10 variabili che costituiscono un insieme internamente coerente, allo stesso modo del gruppo di principi fondanti di una costituzione. Mentre nelle prime esperienze viste in questo capitolo la didattica veniva trattata più da un punto di vista qualitativo dove magari si andava ad analizzare come lo studente riusciva ad apprendere, nel progetto di Maturo, come anche in quello proposto in questa tesi, si analizza la valutazione scolastica da un punto di vista più quantitativo analizzando come la valutazione dello studente può subire variazioni in relazioni a più fattori. Inoltre nei primi progetti proposti le reti neurali costituiscono la parte fondamentale del progetto, l utilizzo della logica fuzzy avveniva solo in piccola parte, inserita per esempio nel caso del progetto dell insegnante virtuale all interno della piattaforma di e- learning per gestire le varie componenti come età, altezza, peso, etc. al fine di sviluppare l insegnante secondo il modello stabilito, nel caso dell ultimo progetto visto invece ha un ruolo centrale. Nella valutazione la soggettività è un criterio fondamentale, motivo per cui la teoria fuzzy, per il significato stesso del termine inglese ( sfumato, indistinto ), dovrebbe essere la più indicata per rappresentarla. 9

11 1.2 - OBIETTIVI E RISULTATI ATTESI L obiettivo, come scritto anche precedentemente, è quello di arrivare a valutare lo studente secondo variabili che costituiscono un insieme internamente coerente. Il funzionamento di tale sistema deve essere tale che per ogni valutazione si attivino, ognuna in una certa misura tutte le variabili proposte. La teoria fuzzy deve riuscire a rendere più efficace il sistema di valutazione, ossia ottenere un risultato che vada al di là della registrazione di una verifica, orale o scritta, basata su una scala di valori numerici di tipo discreto. Quindi, se da un lato è la natura stessa della teoria a suggerire l accostamento al problema della valutazione, dall altro subentra la necessità di elaborare un procedimento rigoroso basato su un sistema di variabili. Partendo da un sistema di variabili iniziali, che descrivono sia le singole valutazioni ottenute dallo studente sia aspetti più qualitativi come l atteggiamento tenuto dallo stesso, bisogna arrivare attraverso il procedimento rigoroso di cui si parlava prima a quel valore d uscita che sarà la valutazione finale relativa allo studente sotto esame ottenuta dando un determinato peso a tutte le variabili che hanno influito sul voto. Quello che ci si aspetta è che il sistema fuzzy ci dia una stima pressoché vicina a quella che il docente svolte ogni giorno nel sistema di valutazione scolastica, solo che, nel caso del sistema fuzzy, abbiamo escluso l errore dovuto alla soggettività della valutazione. 10

12 CAPITOLO 2 : INTRODUZIONE ALLA LOGICA FUZZY LA LOGICA BIVALENTE Chiamata anche tradizionale, classica e binaria, la logica bivalente nasce oltre duemila anni fa, esattamente quando alcuni filosofi dell antica Grecia iniziarono a parlarne e a formularne ipotesi. Il termine LOGICA deriva infatti dalla parola logos ragione. Alla base del pensiero del filosofo del PANTA REI c era il collegamento tra gli opposti: l universo è composto da coppie di opposti ( caldo e freddo; salute e malattia ) che si alternano e combattono l un l altro. Ma questa visione degli opposti gli ha permesso di sopraffare la natura caotica del mondo, affermando che una cosa può essere contemporaneamente vera e falsa, sostenendo così che l unità dei contrari è un aspetto indissolubile della realtà e dell eterno divenire delle cose : le cose fredde si scaldano, il caldo si fredda, l umido si secca e ciò che arido s inumidisce. La realtà è dunque un armonia prodotta dall equilibrata tensione di forze opposte. Comunque potremo dire che esso introdusse la dicotomia dell essere o non essere (vero o falso). Più avanti Parmenide ne rappresentò il contrario, mentre Democrito fu il primo a dicotomizzare l universo in atomi neri e bianchi. Platone, invece, riempì il suo mondo di forme pure, del rosso, del giusto, della triangolarità e così via, passando il suo sapere al discepolo Aristotele, il quale si dimostrò il vero artefice della logica bivalente, stendendo quelle che ritenne fossero le leggi dicotomiche (<< o bianco o nero>>) della logica. 11

13 2.2 - LA LOGICA ARISTOTELICA Molti non sanno che la cultura del mondo occidentale affonda le sue radici nello sviluppo che le varie discipline della conoscenza umana ebbero nell età ellenistica. Quello fu un periodo in cui la ricerca scientifica raggiunse risultati cospicui nei campi della matematica, della fisica, dell astronomia e, per essere ritenute valide, tutte queste discipline erano chiamate a rispettare regole emanate dalla logica. Esse, nelle loro strutture formali, distinguevano i ragionamenti corretti da quelli scorretti. Aristotele ne è stato il massimo esponente. Egli sostiene l assurdità logica di affermare e negare al tempo stesso, e l impossibilità ontologica che un certo essere sia, e contemporaneamente non sia. I suoi principi hanno influenzato in modo determinante il metodo scientifico occidentale e hanno lasciato in eredità la logica bivalente secondo cui ogni enunciato può essere solo vero o solo falso. Nei suoi trattati fa riferimento a tre principi fondamentali: Il principio di identità, il principio di non contraddizione, e quello del terzo escluso: il primo afferma che ogni essere A è uguale a se stesso (A=A); il secondo esclude che il medesimo essere A possa, contemporaneamente, e sotto lo stesso rispetto, risultare tanto B quanto non-b; il terzo afferma che A risulterà o B o non-b, essendo esclusa qualsiasi altra possibilità. Da allora questi tre principi furono riassunti in uno, ben noto come principio di non contraddizione e rappresentato come A o non-a, principio che ha pervaso il pensiero scientifico-matematico fino ad oggi. Se vogliamo fare un piccolo esempio, lo stesso PC costituisce l invenzione più rappresentativa del nostro tempo; gli elementi di 12

14 base dell elaborazione hanno la stessa struttura della logica bivalente, usando 0 o 1, presenza o assenza, A o non-a, meritandosi l etichetta di unica logica corretta. 13

15 2.3 - LE DIFFICOLTA DELLA BIVALENZA Occorre evidenziare che il nostro modo di affrontare le situazioni reali abbia portato a realtà con ben poco di bivalente. Sin da quei tempi si erano sollevati dubbi e critiche. Zenone si avventurò in un quesito particolare: raccolse un granello di sabbia da un mucchio ed iniziò a chiedersi se il mucchio era ancora un tale, non riuscendo, però, mai a trovare il granello di sabbia che cambiasse il mucchio in un non-mucchio, cioè che lo cambiasse da A a non-a. Semmai, continuando a togliere granelli di sabbia, sembrava ottenere un mucchio e un non-mucchio, A e non-a, lasciandosi nel dubbio. Più avanti nel tempo Bertrand Russel scoprì il paradosso del mentitore di Creta nei fondamenti della matematica moderna. Il mentitore di Creta, asserendo che tutti i cretesi erano mentitori, domandava se egli stesso aveva mentito: se aveva mentito, non aveva mentito, e se non aveva mentito, aveva mentito. Sembrava, così, che egli avesse mentito e non-mentito allo stesso istante. Un altro esempio, forse stupido, è quello di prendere in mano una mela. È una mela? Si. Ora stacchiamone un boccone, mastichiamolo e lasciamo che il nostro apparato digerente separi le molecole della mela. L oggetto che abbiamo in mano è ancora una mela? O no? Stacchiamone un altro boccone. È ancora una mela? Diamo ancora un altro morso, e così via fino a finirla. La mela è mutata da una cosa in una non-cosa, in nulla. Ma dove ha oltrepassato la linea di demarcazione tra mela e non-mela? La mezza mela mette quindi in crisi le descrizioni in termini di tutto o niente, ma potremo dire oggi che essa è una mela FUZZY, è il 14

16 grigio o il chiaroscuro fra il bianco e il nero: il FUZZY è il CHIAROSCURO. Noi stessi potremmo definirci FUZZY, dato che, invecchiando, quindi, cellula dopo cellula, molecola dopo molecola, cessiamo lentamente di essere noi stessi per diventare dei nuovi non-noi stessi. Lo stesso Albert Einstein dubitò del principio dicotomico che governava la scienza, la matematica, la logica esprimendosi così: Nella misura in cui le leggi della matematica si riferiscono alla realtà non sono certe. E nella misura in cui sono certe, non si riferiscono alla realtà. Matematici e filosofi, già da quei tempi, avevano cercato di imbellettare questi fondamenti vincolati alla dicotomia <<bianco o nero>> per sbarazzarsi dei paradossi del <<chiaroscuro>>. Ma il problema è che i paradossi restano così come la riflessione su di loro. 15

17 2.4 - LA LOGICA BIVALENTE Si è quindi intuito da quanto scritto nei paragrafi precedenti che la gran parte dei ragionamenti nella vita quotidiana si svolgono in condizioni di incertezza. Nel linguaggio naturale si possono riscontrare anche tre tipi d imprecisione: 1. Imprecisione dovuta alle generalità: si ha quando un termine denuda una molteplicità di oggetti. 2. Imprecisione dovuta alle ambiguità: si ha quando a un unica espressione fonetica sono abbinati più significati. 3. Imprecisione dovuta alla vaghezza: si ha quando sono vaghe le relazioni tra il linguaggio ed il mondo, per cui i confini delle parole non sono netti. Queste spingono a chiederci il perché è stato fatto sempre affidamento alla logica bivalente, quando la vita propone, al contrario, ragionamenti con base estremamente polivalente. Questo problema è ancora presente nel mondo occidentale nonostante la consapevolezza dell esistenza, a differenza di quanto non accorda in quell orientale: lì è presente un modo di ragionare e vivere la vita diversamente, a causa della divulgazione di una cultura nata molto prima della nostra e che aveva come portavoce Budda. Budda visse in India cinque secoli prima di Gesù e due prima di Aristotele, e il suo primo passo del suo sistema dottrinario fu quello di sfondare il mondo verbale delle alternative <<o bianco o nero>>. Oggi i suoi insegnamenti costituiscono la base del pensiero orientale e sono diffusi in Cina, Giappone, Corea ed altri paesi dove le riflessioni sulle contraddizioni sono strumenti praticati ancora nelle scuole buddiste. Il buddista famoso Ibidem scrisse: Poiché la 16

18 natura di Budda è nell animo di ciascuno di noi, l illuminazione ed il nirvana sono in noi stessi, e dentro di noi dobbiamo cercarli, attraverso l ascetismo e la meditazione. Quest ultima non deve essere condizionata ad alcun risultato pratico particolare, deve essere cioè senza intenzione, priva di ogni attaccamento sia pure verso Budda. Perché fosse astratto da ogni contesto affettivo o struttura logica, il pensiero veniva concentrato su paradossi senza tempo. Questa riflessione ci fa capire, quindi, che il terreno culturale creato da Budda ha permesso, nell area in cui si è diffuso, la formazione di una mentalità predisposta alla polivalenza, all osservazione, alla considerazione della realtà nelle varie sfumature e nella sua indeterminatezza, principi questi propri della logica fuzzy. 17

19 2.5 - BIVALENZA CONTRO POLIVALENZA Dopo aver puntualizzato le due colonne portanti di questo studio, ora potremo confrontarle per darci un idea chiara della problematica con cui abbiamo che fare. Come già detto dietro i nostri istinti bivalenti c è la logica di Aristotele dove ci aspettiamo che ogni enunciato <<ben formato>> sia vero o falso, non più o meno vero o alquanto falso, A o non-a. Nella logica bivalente una contraddizione implica qualsiasi cosa e consente di dimostrare e confutare qualsiasi enunciato. I matematici, ad esempio, esaminano attentamente i loro assiomi per evitare che implichino enunciati che si contraddicano l un l altro anche se finora nessuno ha dimostrato che gli assiomi della matematica moderna non conducono a enunciati che si contraddicano fra loro. Non è detto che domani le cose stiano ancora così facendo crollare la struttura della matematica moderna. La logica fuzzy affronta in pieno questa intolleranza la cui proprietà comincia dove iniziano le contraddizioni, dove A e non-a valgono in una certa misura. È il misticismo orientale ad offrire gli unici grandi sistemi dottrinali che accettano le contraddizioni, sistemi che funzionano sulla base dell A e non-a, dello yng e dello yang. Quindi alla base dello scontro fra bivalenza e polivalenza, c è un equazione di cui la bivalenza nega l esistenza, mentre la polivalenza dice che esiste in una certa maniera (solo nei casi estremi vale totalmente o non vale affatto): tale equazione viene chiamata equazione appunto yngyang. A = non-a 18

20 In logica essa indica bi-condizionalità: A implica non-a, e non-a implica A, cioè la tazza mezza vuota implica che la tazza è mezza piena e viceversa. 19

21 2.6 - LA LOGICA FUZZY Gli studiosi italiani che si sono occupati di logica sono concordi nel dire che non esiste nella nostra lingua un vocabolo che esprima il significato del termine inglese fuzzy. Letteralmente gli corrispondono i termini <<coperto di lanugine>>, <<peloso>>, <<crespo>>, ma l inadeguatezza di simili traduzioni ha spinto a cercare vocaboli più appropriati, quali <<sfumato>>, <<sfuocato>>, <<confuso>> o <<chiaroscurale>>. Nessuna di queste espressioni però è in grado di sostituire il termine fuzzy e nessuna di esse possiede quel significato ironico che ha consentito di rilanciare un settore della logica fino ad allora definito da aggettivi più moderati. Il padre di tale termine è LOFTI A. ZADEH a cui va il merito di aver usato per la prima volta le basi della matematica fuzzy e lo stesso termine con la pubblicazione dello storico articolo Fuzzy Sets sulla rivista Information and Control nel Nonostante Zadeh occupasse una delle più alte cariche in ambito accademico, il suo lavoro produsse una reazione mista: alcuni matematici accolsero con entusiasmo le nuove idee; ma la maggior parte delle reazioni si raggruppava tra lo scetticismo e l aperta ostilità. Venticinque anni dopo Zadeh si espresse così: La tradizione cartesiana del rispetto per ciò che è quantitativo e preciso, e il disprezzo per ciò che è qualitativo e impreciso è troppo radicata per essere abbandonata senza resistenza. L assunto di base di questa tradizione è stato espresso sinteticamente da Lord Kelvin, uno tra i più eminenti intelletti del diciannovesimo secolo, nel Egli scrisse: Nelle scienze fisiche un primo essenziale passo nella direzione di apprendere una qualche materia e quello di 20

22 trovare principi di calcolo numerico e metodi praticabili per misurare alcune qualità ad essa connesse. Spesso affermo che quando puoi misurare quello di cui stai parlando ed esprimerlo in numeri, allora conosci qualcosa di esso; ma se non puoi misurarlo, se non puoi esprimerlo in numeri, la tua conoscenza è di un tipo insoddisfacente: potrebbe essere l inizio della conoscenza, ma nei tuoi pensieri sei appena approdato allo stato di scienza, di qualunque questione si tratti. Quello che Zadeh vuole quindi dirci è che anziché adattare il mondo alla precisione dei nostri strumenti di rivelazione, occorre adattare quest ultimi al mondo. Se la logica binaria ci costringe ad una precisione artificiosa, facciamo ricorso ad un requisito meno stringente e più generale, che tenga conto della vaghezza (Fuzzyness) del mondo reale. Gli assunti alla base della proposta di Zadeh sono due: il mondo reale è impreciso e vago; egli propone una notazione logico-matematica che chiama <<Logica Fuzzy>>, che codifichi l imprecisione del mondo reale e l incertezza del nostro giudizio su di esso. Ogni volta che ci troviamo a lavorare con quelle che lui definisce <<variabili linguistiche>>, ovvero con variabili categoriali, incontriamo difficoltà a tradurne le modalità in insiemi dai contorni precisi, cui gli oggetti possono essere assegnati senza ambiguità. <<Giovane>>, <<non molto giovane>>, <<di mezza età>>, ecc. sono etichette verbali che corrispondono ad insiemi sfumati, caratterizzati cioè da funzioni d appartenenza non binarie. La funzione di appartenenza degli insiemi che rispettano il requisito della mutua esclusività può assumere solo due valori (o se l oggetto non appartiene all insieme, 1 se vi appartiene); l analoga funzione fuzzy può assumere qualsiasi valore tra 0 e 1. In questo modo, una persona che giudichiamo <<abbastanza giovane>> appartiene, poniamo, per lo 0,70 alla classe dei giovani e per lo 0,30 a quella dei non giovani. Secondo la logica fuzzy 21

23 <<giovane>> e <<non giovane>> sono i poli di un continuum tra i quali esistono molte gradazioni; anziché tracciare un confine netto tra A e non-a (giovane e non-giovane) in corrispondenza di un punto scelto in modo più o meno arbitrario, la logica Fuzzy traccia una curva che descriva come la proprietà <<essere giovane>> passi gradatamente dal manifestarsi in grado pieno al non manifestarsi affatto. L appartenenza binaria è un caso speciale dell appartenenza fuzzy: quando sopprimiamo ciò che sta in mezzo ai due poli otteniamo le due classi individuate dalla logica binaria. L idea che diede particolare importanza a Zadeh va ritrovata nel massimo contributo, che lo stesso fornì alla matematica introducendo, quale nuovo approccio nei confronti di tale disciplina, proprio gli insiemi fuzzy. Mentre i suoi colleghi usavano sempre più una matematica specialistica e studiavano sempre più i sistemi complessi, Zadeh fece un passo indietro, accorgendosi che quanto più complesso diventava il sistema tanto minore era il significato degli enunciati precisi. Scoprì, cioè, quello che più avanti chiamò il principio di incompatibilità: più cresce la precisione, più decresce l aderenza alla realtà. Nel 1962 Zadeh propose quest innovazione radicale nell articolo intitolato From Circuit Theory to System Theory dove introdusse il termine <<fuzzy>> per la polivalenza. 22

24 CAPITOLO 3 : LA LOGICA FUZZY INTRODUZIONE Come detto nel capitolo precedente la maggior parte dei concetti con cui le persone hanno a che fare ogni giorno sono soggettivi, difficili da quantificare e classificare con sicurezza. Come esempio si è considerata l altezza di una persona: quando una persona è alta? Secondo la logica matematica tradizionale si dovrebbe stabilire un limite preciso al di sopra del quale le persone si possono considerare alte: per esempio le persone che misurano almeno 178 cm sono alte, le altre non lo sono. Si comprende come una definizione di questo tipo sia poco rappresentativa del modo di pensare umano. È molto più naturale pensare all insieme delle persone alte come ad un insieme che degrada in modo più o meno regolare, a partire dalle persone che sono inequivocabilmente alte per arrivare a quelle che certamente non lo sono. Risulta perciò evidente che l appartenenza di una persona all insieme degli alti non segue i canoni della logica tradizionale, non è esprimibile facilmente con un si o un no. Tale appartenenza è invece descritta molto meglio definendo per ogni persona un certo grado di appartenenza, che esprime quanto la persona appartiene all insieme degli alti. Stessi ragionamenti si potrebbe ripetere per concetti come velocità elevata, prezzo economico e così via. La teoria della logica fuzzy si basa sulla definizione di insiemi sfumati di questo tipo, al fine di ottenere una rappresentazione più realistica di grandezze e concetti che sono per loro natura graduali, non dicotomici. Le variabili fuzzy non sono numeriche, ma linguistiche, ed assumono proprio valori come alto, basso, freddo, caldo. 23

25 La seconda caratteristica che avvicina la logica fuzzy al modo di pensare umano è il suo modo di rappresentare i ragionamenti. Di solito i controlli impiegano formule matematiche e metodi numerici per stabilire la corrispondenza tra le variabili d ingresso e quelle d uscita. Il ragionamento umano è invece caratterizzato dall utilizzo di regole empiriche, a volta approssimative, dovute al buon senso o all esperienza, ma difficilmente traducibili in termini analitici. Anche in questo caso la teoria fuzzy si rifà ai criteri decisionali umani, usando regole linguistiche e non matematiche per definire il modo in cui le variabili si influenzano tra loro. Nel guidare un automobile eseguiamo continuamente azioni basate su ragionamenti del tipo: se la velocità è elevata e l ostacolo è vicino, premi forte sul pedale del freno; se la velocità è moderata e l ostacolo si trova a media distanza, premi leggermente sul pedale del freno. Qualunque guidatore esegue spontaneamente e istantaneamente ragionamenti del genere, mentre risulta più difficile quantificare in modo preciso la forza in newton da applicare al pedale del freno in corrispondenza di una certa velocità in chilometri orari e di una certa distanza dall ostacolo in metri. Le regole linguistiche fuzzy sono analoghe alle regole descrittive empiriche qui espresse, e non richiedono l uso di formule o di complessi modelli analitici. Grazie a questo modo di ragionare i sistemi fuzzy si comportano in modo soddisfacente proprio in quelle situazioni che una persona saprebbe gestire con facilità, ma che risultano le più difficili da affrontare con metodi analitici. I sistemi fuzzy sono i più adatti a lavorare in condizioni di incertezza e di disturbi nell acquisizione dei dati. Si adattano bene a processi variabili nel tempo o fortemente non lineari, e quindi difficili da rappresentare con modelli matematici. Caratteristica 24

26 della logica fuzzy è la notevole facilità di uso e di comprensione, dovuta alla sua affinità con il ragionamento umano IMPIEGO DELLA LOGICA FUZZY I sistemi gestiti con logica fuzzy sono in rapida espansione in molti campi. Le grandi aree di utilizzo sono prevalentemente due: i sistemi di controllo e i sistemi esperti o di supporto decisionale. Esempi di applicazioni del primo tipo sono la regolazione di umidificatori e condizionatori, l eliminazione delle vibrazioni e così via. Tra le applicazioni decisionali si possono citare sistemi di compravendita di azioni e di valutazione del rischio, sistemi per le previsioni metereologi che e geofisiche e così via. In molti sistemi fuzzy le variabili d ingresso sono espresse da valori numerici ed è richiesto un valore numerico anche per le risposte che il sistema deve fornire. In tali situazioni si presenta la necessità di creare un interfaccia tra il ragionamento fuzzy e il modello dei numeri. A questo scopo si utilizzano le operazioni di fuzzificazione e defuzzificazione, che trasformano un valore numerico in uno fuzzy e viceversa. Tra queste due fasi si inserisce il processo d inferenza fuzzy, che fa corrispondere agli ingressi le uscite appropriate. Tornando ai sistemi fuzzy di supporto decisionale, essi offrono un vantaggio concettuale rispetto ai sistemi decisionali basati sulla ricerca operativa o altri metodi analitici. Quando si deve operare una scelta basandosi sull utilizzo di metodi analitici, ci si trova di fronte ad uno spazio decisionale, finito o infinito, contenete le alternative possibili. Si cerca allora di trovare l alternativa che 25

27 massimizza una certa funzione obiettivo, rispettando nel contempo una serie di vincoli. La funzione obiettivo permette di ordinare le alternative secondo un grado di preferenza, mentre i vincoli limitano lo spazio delle alternative. La scelta della funzione obiettivo, che deve essere formulata analiticamente, e la definizione dei vincoli risultano perciò determinanti sull esito del processo. Nei casi in cui si vogliano conseguire più obiettivi, specie se contrastanti, ci si trova vincolati dai limiti di questa impostazione. Al contrario, nella filosofia fuzzy, obiettivi e vincoli sono gestiti allo stesso modo. Entrambi sono espressi tramite funzioni particolari di appartenenza, mentre l importanza e il ruolo che assumono nel sistema vengono stabiliti da regole linguistiche. In questo modo è molto più agevole far convivere obiettivi concorrenti e fornire delle indicazioni al sistema senza dover necessariamente decidere se vanno usate come vincoli o come obiettivi. Vedremo in seguito come si possono sfruttare queste opportunità. 26

28 3.3 - DEFINIZIONI Nella teoria classica degli insiemi, fissato l universo del discorso X, un elemento x di X può appartenere o no ad un certo sottoinsieme A di X. Si può definire una funzione di appartenenza µ A (x) che stabilisce il legame tra gli elementi x e l insieme A, e che può assumere due soli valori, zero o uno: 1 se x A µ A (x) = 0 se x A La teoria degli insiemi fuzzy estende la teoria classica, introducendo il concetto di grado di appartenenza all insieme (membership). La teoria prevede che un elemento possa appartenere parzialmente ad un insieme, secondo una funzione di appartenenza a valori reali [0,1]: µ A : X [0,1] Un fuzzy set (insieme fuzzy) A può quindi essere definito come l insieme di coppie ordinate costituite dagli elementi di X e dal corrispondente valore della funzione di appartenenza: A = {(x, µ A (x)) x X } Se l insieme universo X è continuo si può rappresentare il fuzzy set A con la notazione: A = x µ A (x) / x Viceversa, se X è discreto, si può usare la notazione: 27

29 A = i µ A (x i ) / x i In queste scritture i simboli di integrale e sommatoria indicano un unione, mentre il simbolo / non rappresenta una frazione, ma il legame tra un valore di appartenenza e l elemento cui si riferisce. Nella terminologia fuzzy, un insieme di tipo classico con funzione di appartenenza booleana viene anche detto crisp set. Esistono delle operazioni che permettono di convertire insiemi fuzzy in corrispondenti insiemi crisp. Si definisce supporto del fuzzy set A l insieme crisp S(A) costituito da tutti gli elementi di X aventi grado di appartenenza in A non nullo: S(A) = {x X µ A (x) > 0} Analogamente, viene detto supporto-α (α-cut) di A l insieme crisp S(A)α (o Aα) costituito dagli elementi di X aventi grado di appartenenza in A maggiore di α: Aα = {x X µ A (x) > α} Un fuzzy set viene detto singleton se il suo supporto è costituito da un solo elemento di X. Si definisce nucleo di un fuzzy set A l insieme crisp K(A) costituito da tutti e soli gli elementi di X aventi grado di appartenenza 1 in A: K(A) = {x X µ A (x)=1} Un fuzzy set si dice normale se il suo nucleo contiene almeno un elemento di X. Viene detto convesso un fuzzy set A che soddisfi la seguente condizione: x,y X, [0,1] => µ A ( x + (1 - y) min (µ A (x), µ A (y)) 28

30 3.4 - LE FUNZIONI DI APPARTENENZA Nel caso di insiemi discreti e limitati la funzione di appartenenza può essere espressa numericamente da coppie di valori. Altrimenti si deve definire una funzione che permetta di calcolare la membership di un elemento tramite un espressione analitica. A seconda del tipo di applicazione si possono definire funzioni di appartenenza anche molto diverse. Le seguenti sono quelle più usate di frequente. Funzione di appartenenza triangolare È definita con tre parametri: i due estremi Vis e Vid e il valore di massimo Vs 0 se x Vis x Vis Vs Vis Vs Vis se x > Vis & x Vs µi = x Vs Vid Vid Vid Vs se x > Vs & x Vid 0 se x > Vid µi 1 Vis Vs Vid x Fig. 3.1 : Funzione di appartenenza triangolare 29

31 Funzione di appartenenza trapezoidale Presenta quattro parametri:gli estremi Vis e Vid e i valori inferiore e superiore dell intervallo di massimo Vss e Vsd. 0 se x Vis x Vis Vss Vis Vss Vis se x > Vis & x Vss µi = 1 se x > Vss & x Vid x Vsd Vid Vid Vid Vsd se x > Vsd & x Vid 0 se x > Vid µi 1 Vis Vss Vsd Vid x Fig. 3.2 : Funzione di appartenenza trapezoidale Funzione di appartenenza Left Trapeze È definita dal valore estremo Vid e dal valore di massimo Vsd. 1 se x Vsd µi = x Vsd Vid Vid Vid Vsd se x > Vsd & x Vid 0 se x > Vid 30

32 µi 1 Vsd Vid x Fig. 3.3 : Funzione di appartenenza left trapeze Funzione di appartenenza Right Trapeze È definita dal valore estremo Vis e dal valore di massimo Vss. 0 se x Vis µi = x Vis Vss Vis Vss Vis se x > Vis & x Vss 0 se x > Vss µi 1 Vis Vss x Fig. 3.4 : Funzione di appartenenza right trapeze Funzione di appartenenza Right Triangle È definita dal valore estremo Vid e dal valore di massimo Vs. 0 se x Vs µi = x Vs Vid Vid Vid Vs se x > Vs & x Vid 0 se x > Vid 31

33 µi 1 Vs Vid x Fig. 3.5 : Funzione di appartenenza right triangle. Funzione di appartenenza Left Triangle È definita dal valore estremo Vis e dal valore di massimo Vs. 0 se x Vis µi = x Vis Vs Vis Vs Vis se x > Vis & x Vs 0 se x > Vis 1 µi Vis Vs x Fig. 3.6 : Funzione di appartenenza left triangle. Funzione di appartenenza a campana Si può ottenere con i parametri della triangolare usando archi di parabola al posto di segmenti retti, oppure con una gaussiana fissando i parametri µ e della distribuzione. 32

34 (i) 2 1 x 1 2 e 2 Fig. 3.7 : Funzione di appartenenza a campana. Funzione di appartenenza Left Gaussian 1 se x µ µi = 2 1 x e se x > µ Fig. 3.8 : Funzione di appartenenza left gaussian. Funzione di appartenenza Right Gaussian 2 1 x e se x µ µi = 1 se x > µ Fig. 3.9 : Funzione di appartenenza right gaussian. 33

35 Per una variabile fuzzy si devono definire diverse funzioni di appartenenza, corrispondenti ai diversi valori linguistici che la variabile può assumere (ad esempio velocità moderata, media, elevata). La scelta delle funzioni di appartenenza è un passo fondamentale nella messa a punto di un sistema fuzzy, visto che determina le caratteristiche dei processi di fuzzificazione degli ingressi e defuzzificazione delle uscite. La fuzzificazione permette di calcolare il grado di appartenenza di ogni valore numerico assunto da una variabile d ingresso ad ogni fuzzy set definito per essa. Viceversa, la defuzzificazione calcola, a partire dal risultato fuzzy ottenuto nel processo di inferenza, un valore reale per la variabile in uscita. Per le definizioni di appartenenza degli insiemi fuzzy di una stessa variabile linguistica, un criterio di progettazione di validità generale è fare in modo che non ci siano parti dell universo del discorso della variabile che rimangano scoperte. Questo si può evitare sovrapponendo parzialmente le funzioni di appartenenza della variabile. I due fuzzy set situati agli estremi dell insieme di definizione della variabile sono spesso descritti da normale funzioni di appartenenza (limite inferiore) o sinistra (limite superiore), in modo che i valori estremi presentino su di esse grado di appartenenza unitario. 34

36 3.5 - OPERAZIONI SUGLI INSIEMI FUZZY Molte sono le operazioni definibili sugli insiemi fuzzy, alcune derivate dalle corrispondenti della teoria classica, altre peculiari della fuzzy logic. Siano A e B due fuzzy set di uno stesso universo X, aventi funzioni di appartenenza µa e µb rispettivamente. Su di essi sono definibili le seguenti operazioni, descritte per mezzo delle loro funzioni di appartenenza. Uguaglianza. Due fuzzy set A e B sono uguali se e solo se le loro funzioni di appartenenza sono uguali in tutto X: A = B µ A (x) = µ B (x) x X Inclusione. Il fuzzy set A è contenuto nel fuzzy set B se e solo se la sua funzione di appartenenza è minore rispetto a quella di B in tutto X: A B µ A (x) µ B (x) x X Intersezione (AND). L insieme intersezione di A e B definiti in X è ancora un insieme di X, avente funzione di appartenenza: µ A B (x) = min (µ A (x), µ B (x)) x X Unione (OR). L insieme unione di A e B definiti in X è ancora un insieme di X, avente funzione di appartenenza: µ A B (x) = max (µ A (x), µ B (x)) x X Complemento (NOT). L insieme complemento dell insieme fuzzy A definito in X è ancora un insieme di X, avente funzione di appartenenza: µ A (x) = 1 - µ A (x) x X 35

37 E interessante notare che, a differenza di quanto accade per gli insiemi crisp, l intersezione di A e A non dà necessariamente l insieme vuoto, così come la loro unione non dà necessariamente l insieme universo. Si può verificare che ci si avvicina alle situazioni tipiche della teoria classica quanto più il fuzzy set A si avvicina ad un insieme classico. Normalizzazione. Questa operazione permette di rendere un insieme fuzzy A, portando a uno il massimo della sua funzione di appartenenza. Per fare ciò, è sufficiente determinare il massimo attuale della funzione di appartenenza di A e dividere tutta la funzione per questo valore: µ NORM (A)(x) = µ A (x) / max(µ A (x)) x X Concentrazione. Un fuzzy set A si può concentrare modificando la sua funzione di appartenenza in modo tale da aumentare il divario, in termini di grado di appartenenza, tra gli elementi aventi membership più elevata e gli altri. Una concentrazione di A si può ottenere per esempio facendo il quadrato della funzione di appartenenza originale, in modo che le µa più alte si riducano meno: µ CON (A)(x) = (µ A (x)) 2 x X Diluizione. È l operazione opposta alla concentrazione, e permette di ridurre la concentrazione della funzione di appartenenza aumentando in modo più consistente i valori membership degli elementi con grado di appartenenza minore: µ DIL (A)(x) = sqrt(µ A (x)) x X 36

38 Somma algebrica. La somma algebrica di due fuzzy set A e B definiti in X è ancora un fuzzy set di X, con funzione di appartenenza: µ A+B (x) = µ A (x) + µ B (x) - µ A (x) µ B (x) x X Prodotto algebrico. Il prodotto algebrico di due fuzzy set A e B definiti in X è ancora un fuzzy set di X, avente funzione di appartenenza: µ AxB (x) = µ A (x) x µ B (x) x X Somma limitata. La somma limitata di A e B definiti in X è un fuzzy set di X avente funzione di appartenenza: µ A B (x) = min(1,µ A (x) + µ B (x)) x X Prodotto limitato. Il prodotto limitato di A e B definiti in X è ancora un insieme di X, con funzione di appartenenza: µ A B (x) = max(0,µ A (x) + µ B (x) - 1) x X Le operazioni viste si possono estendere al caso in cui gli insiemi A e B non son definiti nello stesso universo del discorso. Per fare ciò si devono prima definire i concetti di norma e conorma triangolare, che permetteranno di introdurre le relazioni fuzzy. Una norma triangolare è una funzione T avente dominio [0,1]x[0,1] e codominio [0,1], tale da soddisfare le seguenti proprietà: - commutativa: T(a,b) = T(b,a) - associativa: T(a,T)b,c)) = T(T(a,b),c) - monotonia: T(a,b) > T(c,d) se a > c e b > d - identità: T(a,1) = a Fra le possibili T ci sono alcune operazioni definite in precedenza: 37

39 - intersezione fuzzy: a b = min(a,b) - prodotto algebrico: a*b = ab - prodotto limitato: a b = max(0,a+b-1) Una conorma triangolare è una funzione T avente dominio [0,1]x[0,1] e codominio [0,1], tale da soddisfare le stesse proprietà valevoli per la norma triangolare. L unica variazione è la sostituzione dell elemento neutro 1 con l elemento neutro 0, e la conseguente modifica della proprietà d identità: - identità: T (a,0) = a Anche tra le T ritroviamo operazioni già viste per fuzzy set dello stesso universo: - unione fuzzy: a b = max(a,b) - somma algebrica: a b = a+b-ab - somma limitata: a b = min(1,a+b) 38

40 3.6 - RELAZIONI FUZZY In senso classico, una relazione n-aria è un sottoinsieme del prodotto cartesiano X 1 x x X n, ossia un insieme di n-uple ordinate x 1,,x n con xi Xi. In analogia alla definizione data per i fuzzy set, si possono definire il prodotto cartesiano fuzzy e la relazione fuzzy come estensioni dei corrispondenti concetti crisp. Se A 1,,A n sono fuzzy set definiti rispettivamente in X 1,,X n, il loro prodotto cartesiano è un fuzzy set definito in X 1 x..x X n, e descritto da una funzione di appartenenza ottenuta applicando una norma triangolare; in genere si utilizzano le due norme più comuni, ossia l intersezione fuzzy e il prodotto algebrico: µa 1,,A n (x 1,,x n ) = min(µa1(x 1 ),,µan(x n )) µa 1,,A n (x 1,,x n ) = µa1(x 1 ) µan(x n ) Una relazione fuzzy n-aria R è un fuzzy set in X 1 x x X n definito da una funzione di appartenenza µr: X 1 x x X n [0,1]. Si può quindi scrivere: R = {(x 1,,x n ), µr(x 1,,x n ) (x 1,,x n ) X 1 x x X n } Per costruire relazioni fuzzy binarie, si possono applicare a due fuzzy set A e B, definiti negli universi X e Y, degli operatori di norma triangolare (T) o conorma triangolare (T ), ottenendo delle relazioni dette rispettivamente congiunzione e disgiunzione fuzzy: Congiunzione fuzzy µ AandB (x,y) = (µ A (x)) T(µ B (y)) Disgiunzione fuzzy 39

41 µ AorB (x,y) = (µ A (x)) T (µ B (y)) Grazie agli stessi operatori si possono definire inoltre delle operazioni sulle relazioni fuzzy. Considerando due relazioni binarie R e S definite in XxY, si può ottenere la loro unione tramite l uso di una qualsiasi conorma triangolare; applicando ad esempio l operatore unione usato per gli insiemi fuzzy si ottiene: µ R S (x,y) = max(µr(x,y),µs(x,y)) x,y XxY Allo stesso modo la loro intersezione si effettua applicando una norma triangolare, in questo caso l operatore di minimo: µ R S (x,y) = min(µr(x,y),µs(x,y)) x,y XxY E possibile anche definire l operatore di composizione di due relazioni fuzzy definite su universi diversi. Siano R e S due relazioni fuzzy definite rispettivamente in XxY e in YxZ, la loro composizione è un insieme fuzzy R S definito nell universo XxZ, avente funzione di appartenenza: µ R S (x,z) = maxy((µr(x,y))t(µs(y,z))) x,y,z XxYxZ Nel definire le relazioni fuzzy, si può scegliere tra diversi operatori di norma triangolare T. In genere sono preferiti l operatore di minimo o il prodotto algebrico, che danno origine ai due tipi di composizione più usati: Composizione max-min µ R S (x,z) = maxy(min(µr(x,y),µs(y,z))) x,y,z XxYxZ Composizione max-product (o max-dot) µ R S (x,z) = maxy(µr(x,y) µs(y,z)) x,y,z XxYxZ 40

42 spesso l operazione di composizione riguarda un insieme ed una relazione. Sia A un fuzzy set definito in X e R una relazione fuzzy definita in XxY. La composizione di A con R risulta in un fuzzy set B definito in Y ed esprimibile nei modi seguenti (usando i due tipi di composizione visti sopra): µ B (y) = max x (min(µa(x),µr(x,y))) x,y XxY µ B (y) = max x (µa(x) µr(x,y)) x,y XxY 41

43 3.7 - REGOLE E IMPLICAZIONI FUZZY Le conoscenze umane sono spesso empiriche, dovute all esperienza, difficili da quantificare e codificare. La logica fuzzy è in grado di tradurre conoscenze di questo tipo in costrutti formali, direttamente elaborabili da un calcolatore. La base della conoscenze di un sistema fuzzy è costituita da due componenti fondamentali: le funzioni di appartenenza e l insieme delle regole d inferenza fuzzy. Le regole fuzzy rappresentano il punto di passaggio tra le conoscenze di tipo empirico descritte sopra e la loro elaborazione numerica, ma costituiscono la tempo stesso una descrizione formale del sistema. Infatti, una volta messe in relazione con le funzioni di appartenenza, esse forniscono un modello del sistema puramente numerico, su cui può lavorare anche un calcolatore. Una regola fuzzy è solitamente espressa con un costrutto del tipo if-then, e può presentare uno o più antecedenti e uno o più conseguenti. Una regola con un antecedente ed un conseguente assume quindi la seguente forma: if x is A then y is B Una regola di questo tipo è equivalente all implicazione fuzzy A B. Un implicazione fuzzy non rappresenta un implicazione logica usuale con la corrispondente tabella di verità, ma piuttosto una relazione fuzzy sugli insiemi A e B. un implicazione fuzzy è, in effetti, un relazione vera e propria, e possiamo quindi scrivere: µ A B(x,y) = µ A (x) µ B (y) con operatore di implicazione. È importante disporre di diverse forme di implicazioni fuzzy per poter scegliere quella che più si 42