UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE FACOLTA DI INGEGNERIA C.D.L INGEGNERIA AMBIENTE E TERRITORIO Corso di Teoria dei Sistemi Prof. A.

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE FACOLTA DI INGEGNERIA C.D.L INGEGNERIA AMBIENTE E TERRITORIO Corso di Teoria dei Sistemi Prof. A.Casavola Annalisa Romiti Raffaella Iacocca Riccardo Bojola a.a. 2/21

2 INDICE Introduzione 2 Capitolo 1 Gas naturale: consumi normative Aspetto energetico Normative e delibere Consumi di gas e variabilità climatica 5 Capitolo 2 Presentazione dei dati Comune di Civitella della Chiana Consumi Temperature 7 Capitolo 3 Richiami teorici sui modelli ARIMA Trasformazione dei dati Analisi delle funzioni di autocorrelazione Inferenza delle funzioni di autocorrelazione Genesi e proprietà dei modelli ARIMA La procedura di Box & Jenkins 12 Capitolo 4 Modello ARIMA delle temperature 12 Capitolo 5 Modello ARIMA dei consumi 19 Capitolo 6 Modello ARIMA multivariato Cross-correlazione Taratura di un modello ARIMA Modello a media mobile sulle temperature Modello autoregressivo dei consumi e a media mobile delle temperature 28 Conclusioni 38 Bibliografia 39 2

3 Introduzione Con questo lavoro ci proponiamo un duplice obiettivo: creare un modello che schematizzi l andamento dei consumi di gas metano del Comune di Civitella della Chiana e individuare la dipendenza di questi dalle temperature. I dati delle temperature sono relativi alla stazione metereologica A.R.P.A.T. di Arezzo, mentre i dati dei consumi sono forniti dall azienda di distribuzione COINGAS. Per l elaborazione dei dati si utilizzano i softwares STATISTICA for WINDOWS e MATLAB. La nostra analisi parte dalla creazione di due modelli univariati ARIMA (Auto Regressive Integrated Moving Average), proseguendo con l individuazione della dipendenza tra le due serie di dati, fino ad ottenere un unico modello multivariato che sintetizzi il problema. Lo studio si conclude con l utilizzo di tale modello a scopo previsionale per brevi orizzonti di tempo. 1. Gas naturale: consumi e normative 1.1. Aspetto energetico Il gas naturale sta diventando una fonte energetica sempre più attraente in virtù del suo basso impatto ambientale. Secondo le proiezioni dell Agenzi dell Energy Information Administration statunitense (EIA), il consumo di gas naturale aumenterà notevolmente nei prossimi venti anni, sia nei paesi in via di sviluppo che in quelli industrializzati. L evoluzione della domanda sarà condizionata dallo sviluppo di infrastrutture dedicate allo stoccaggio e, specialmente, dal trasporto del combustibile. Molti giacimenti di gas naturale, infatti, si trovano a grande distanza dai luoghi di impiego, ed i costi di trasporto nei gasdotti e via nave sono elevati rispetto a quelli necessari per trasportare il petrolio. La domanda lorda di energia in Italia, nel corso degli ultimi cinque anni, ha avuto una crescita media del 2%: l impulso maggiore all incremento dei consumi energetici deriva soprattutto dai settori residenziale e terziario, mentre più contenuto è risultato quello del settore dei trasporti. La fonte petrolifera, pur aumentando leggermente in termini assoluti, contribuisce sempre meno alla copertura della domanda complessiva, con una tendenza alla sostituzione di tale fonte con altre di più agevole utilizzo e soprattutto di minore impatto ambientale. Assume sempre maggior rilievo il gas naturale, contribuendo alla copertura della domanda per il 3,6% con un incremento nel 2, rispetto all anno precedente, dell 8,8% A livello nazionale il settore di estrazione, trasporto e distribuzione contribuisce al complesso delle attività energetiche per quasi il 2% in termini di produzione, valore aggiunto e occupazione (circa Nel 1999 i consumi finali di gas naturale in termini fisici hanno raggiunto i 67 miliardi di m 3 crescendo a ritmi superiori a quelli verificatisi negli anni precedenti. L espansione appare ancora più significativa se vista in relazione a temperature invernali più elevate della norma. Come negli anni precedenti, l impulso alla crescita è principalmente derivato dalla generazione elettrica i cui consumi sono aumentati del 22,4%, con un contributo del gas naturale alla generazione 3

4 termoelettrica che supera il 4%. L incremento è stato elevato anche nel settore industriale, con un aumento di 1,2 miliardi di m 3, mentre l inverno relativamente mite ha limitato l aumento dei consumi civili a,5 miliardi di m 3. Consumo interno lordo per fonte primaria 1% 8% 6% 4% 2% % Importazioni nette energia elettrica Fonti rinnovabili Combustibili solidi Prodotti petroliferi Gas naturale Fig.1.1 Consumi di gas naturale per settore nel % 29% 1% 31% industriali civili energia elettrica autotrazione Fig. 1.2 I consumi di gas naturale nel 1998 sono stati assorbiti per il 73% dalle abitazioni con impianto di riscaldamento autonomo, con un incremento di 12 punti percentuali dal 199, una tendenza iniziata a partire dagli anni 7. Ad un aumento delle abitazioni occupate provviste di impianti di riscaldamento nel periodo (+7,6%) non corrisponde un aumento dei consumi medi unitari per riscaldamento che, al contrario, fanno registrare una diminuzione(-1% circa). Oltre che da favorevoli congiunture climatiche, questo andamento è dovuto ad un aumento dell efficienza dell uso dell energia nel riscaldamento delle abitazioni. 4

5 consumi di energia nel settore residenziale per fonte [ktep] 1% 8% 6% 4% 2% % Legna Carbone Olio combustibile Gasolio GPL Prodotti petroliferi Gas Energia elettrica Fig Normative e delibere PIANO ENERGETICO REGIONALE (PER) DELLA TOSCANA Il PER della Toscana è, tra i Piani predisposti recentemente, il solo approvato dal Consiglio Regionale (delibera 1 del 18/1/2), insieme a quello della Valle d Aosta. Il Piano, realizzato dall Agenzia Regionale per l Energia della Toscana in collaborazione con l ENEA, promuove la riduzione dei consumi energetici nonché l innalzamento dei livelli di efficienza energetica della domanda come priorità strategica favorendo inoltre l uso delle fonti rinnovabili e la loro integrazione, insieme alle assimilate, con le attività produttive, economiche e urbane. Ai sensi dell art.2 della legge regionale 45 del 27/6/1997, il Piano è articolato in quattro parti, delle quali una è la disciplinare di attuazione, che formula un programma temporale di previsione, nonché le modalità di monitoraggio dei risultati attesi. LIBERALIZZAZIONE DEL MERCATO DI VENDITA E DISTRIBUZIONE DEL GAS Il settore del gas naturale sta attraversando un processo di profonda trasformazione, che interessa non solo i soggetti esercenti, ma anche i clienti finali. Il decreto n.164/, liberalizzando il mercato del gas naturale, stabilisce che dall 1 gennaio 23 sono idonei tutti i clienti del servizio gas, mentre i clienti il cui consumo sia superiore a duecentomila metri cubi di gas all anno sono già riconosciuti idonei dalla data di entrata in vigore dello stesso decreto. Il decreto definisce come cliente finale il consumatore che acquista gas per uso proprio e come cliente idoneo la persona fisica o giuridica che ha la capacità per effetto del decreto di stipulare contratti di fornitura, acquisto e vendita con qualsiasi produttore, importatore, distributore o grossista, sia in Italia che all estero ed ha diritto di accesso al sistema. Lo stesso decreto prevede che a decorrere dall 1 gennaio 22 l attività di vendita, per le aziende. clienti, venga separata dall attività di distribuzione e venga svolta da un soggetto esercente diverso. Esso prevede inoltre che a partire dall 1 gennaio 23 tale attività sia completamente liberalizzata e che i soggetti che intendono esercitarla vengano autorizzati dal 5

6 Ministero dell Industria, del Commercio e dell Artigianato. Le nuove aziende di vendita dovranno definire dei contratti di approvvigionamento di gas naturale con una tariffa di tipo binomio che iornaliero, infatti la struttura tariffaria avrà un costo notevole per l impegno giornaliero. Il documento di consultazione emesso dalla AEEG (Autorità dell Energia Elettrica e del Gas) prevede delle onerose penali in caso di superamento delle quantità giornaliere di gas prenotato. Il Piano Energetico Regionale ed il nuovo assetto del mercato del gas naturale evidenziano l importanza di un analisi previsionale dei consumi. Questa, infatti, risulta indispensabile per ogni nuovo gestore che voglia essere competitivo nel mercato liberalizzato nella vendita e nella distribuzione del gas ed inoltre si rivela essenziale nelle problematiche di tipo ambientale. 1.3 Consumi di gas e variabilità climatica La variabilità del clima è oggetto di un crescente numero di studi e di analisi il cui obiettivo, in genere, è di verificare l impatto dovuto ai mutamenti ambientali prodotto dallo sviluppo economico. Le stesse rilevazioni sono promosse dalle aziende che operano nel campo dell energia, come la SNAM e le imprese del settore elettrico. Vengono infatti utilizzate per effettuare previsioni sempre più puntuali del fabbisogno delle reti, sia nell arco dell anno, sia nelle diverse fasce orarie, con Da questi studi è emerso che la variabilità dei consumi aumenta col diminuire delle temperature, essendo questa più elevata nei mesi freddi rispetto a quelli estivi. Anche sotto il profilo geografico, le variazioni risultano più elevate nelle località più fredde. Grazie alla flessibilità dei nuovi impianti a gas è infatti possibile per le famiglie e i clienti in genere, oggi, più che in passato, adeguare l utilizzazione del riscaldamento all effettivo andamento del clima. Queste considerazioni evidenziano l importanza di una previsione sempre più esatta della relazione che lega temperature e consumi di gas nelle località e nei mesi in cui la temperatura è maggiormente variabile. Sulla base di tale relazione diventa infatti possibile ottimizzare l impiego della rete e raggiungere un elevato grado di precisione nel budget. Ed è proprio in questa ottica che si sviluppa la nostra analisi, partendo dai dati di consumi e temperature del Comune di Civitella in Valdichiana dall anno 1996 al 2. 6

7 2. Presentazione dei dati 2.1 Comune di Civitella della Chiana Il Comune di Civitella è situato in Valdichiana, in provincia di Arezzo, ad una quota di 28 m s.l.m; 2 ed una popolazione di circa 8565 abitanti, con una densità di circa.76 abitanti per Km 2. Fig.2.1 La metanizzazione del comune è iniziata nel 1988 ed ha avuto negli anni successivi un notevole incremento, fino al raggiungimento, nel 2, di una lunghezza di rete pari a 52 m, di cui 2323 m in MP(media pressione) ed i rimanenti in BP(bassa pressione). Facendo riferimento agli anni fra il 1992 e il 1999, è possibile osservare un notevole aumento dei clienti allacciati come indicato nella seguente tabella: 7

8 anno UTENTI Negli allegati 1 e 2 si riportano la carta 1:25 delle aree metanizzate del Comune di Civitella e il verbale di constatazione e verifica della cabina di riduzione e misura e relativo schema di impianto. 2.2 Consumi L utenza della zona considerata è prevalentemente di tipo residenziale ed i consumi di gas metano sono destinati soprattutto al riscaldamento domestico, quindi la nostra analisi si riferisce esclusivamente all anno termico (ottobre-aprile). I dati utilizzati sono forniti dal COIN.G.A.S. (Consorzio Intercomunale Gas Acqua Servizi) e rappresentano il prelievo giornaliero della totalità delle utenze della zona considerata. I dati mancanti, dovuti al non funzionamento dell impianto di misura, sono ricostruiti mediante interpolazione lineare. 2.3 Temperature I dati utilizzati sono il valore massimo, minimo e media oraria rilevati presso la stazione metereologica ARPAT di Arezzo, ritenuti comunque validi data la vicinanza e la compatibilità climatica con il comune di Civitella. Per poter svolgere un analisi comparata tra le due serie di dati, è necessario calcolare la media giornaliera delle temperature. Per la costruzione di un modello più generale sarebbe opportuno disporre di un intervallo temporale lità del clima che negli ultimi anni è stato in generale più mite; questo non è possibile per mancanza di dati disponibili. 8

9 3. Richiami teorici sui modelli A.R.I.M.A. Una serie temporale è una serie di osservazioni [x t,t=1,2,,n] fatte in modo sequenziale nel tempo per fini diversi,come ad esempio la previsione, la simulazione, il controllo, etc. Queste osservazioni possono essere eseguite sia in modo continuo nel tempo, che in modo discreto; nel nostro caso i dati sono rilevazioni giornaliere per i consumi ed orarie per le temperature, quindi dobbiamo trattare due serie temporali discrete. Inoltre potremmo ben classificarle come serie temporali non deterministiche (o statistiche) poiché non è possibile, per la natura stessa dei due fenomeni, determinare in modo esatto, tramite una funzione matematica, i valori delle osservazioni. Una serie storica può essere vista come una realizzazione di un particolare processo stocastico (fenomeno statistico che evolve nel tempo seguendo leggi probabilistiche) ed in quanto tale deve risultare strettamente stazionario, cioè deve essere caratterizzato da media e varianza costante. Nel nostro caso, non avendo a disposizione l espressione della distribuzione di probabilità del processo, possiamo stimare queste grandezze a partire dalle osservazioni disponibili e, se la stazionarietà non fosse verificata, possiamo operare attuando l analisi alle differenze successive o le trasformazioni Box-Cox Trasformazioni dei dati Ecco alcune possibili procedure da utilizzare per trasformare una serie storica in un processo stazionario : Analisi alle differenze successive: volendo sostituire la serie di partenza x t della differenza d-esima basta calcolare : con la serie storica d x t = ( d-1 x t ), con d> e considerare questi valori invece dei dati osservati; un analisi di questo tipo può essere utile nel caso in cui si voglia eliminare un trend di ordine d dai dati, al costo di un amplificazione degli effetti derivanti dalla presenza di dati anomali (outliers); Se poi abbiamo delle serie che descrivono più anni, è consigliabile effettuare delle differenze stagionali, definendo come differenza (prima ) stagionale di periodo s l espressione: s x t = x t - x t-s Trasformazioni di Box-Cox: la scelta della trasformazione ad hoc per la serie considerata deve essere fatta in modo tale che da ottenere: a. maggiore simmetria della distribuzione b. maggiore indipendenza dagli effetti casuali c. maggiore stabilità della varianza Per assicurare l omoschedasticità della serie temporale ci limiteremo alla trasformazione logaritmica dei dati, una delle procedure Box-Cox più usate. 9

10 3.2.Analisi delle funzioni di autocorrelazione Questo tipo di analisi può essere molto utile nel caso in cui si voglia fare una verifica della stazionarietà di una serie temporale. DEF. La funzione di autocorrelazione globale ρ(k) al lag k (cioè al passo k) del processo stazionario x t si può definire come il coefficiente di correlazione lineare tra le variabili casuali x t e x t-k,calcolato al variare di k =1,2, ρ ( k) = Cov( xt, xt k ) + Var( x ) Var( x ) t t + k Per stimare questa funzione a partire dai dati osservati è necessario assicurare l ergodicità rispetto all autocovarianza della serie storica, cioè l autocovarianza deve tendere a zero al crescere dei lag. In generale non è detto che processi stazionari siano necessariamente ergodici, mentre lo sono sia i processi stazionari e invertibili che quelli gaussiani con elementi della matrice di varianza e covarianza tutti finiti. Data una serie temporale x t di n dati, definendo con µ= (Σ(x t ))/n il valor medio delle osservazioni, la stima della funzione di autocorrelazione globale (ACF) è data da: ^ ρ ( k) = n t = k + 1 x t n t = 1 ^ µ x t x ^ µ t k 2 ^ µ k=,1,2,3 L analisi della funzione di autocorrelazione è fondamentale sia per l identificazione di un trend all interno dei dati, che per la definizione del modello ARIMA stesso. DEF.La funzione di autocorrelazione parziale π(k) al lag k di un processo stazionario z t = x t -µ è definita da: π ( k) Corr( z E( z z z ), z E( z z z ),, + = t t t 1 1 \,, t k + t k t k t t k 1 La funzione di autocorrelazione parziale (PACF) è stata definita dunque come la correlazione lineare tra x t e x t-k,al netto delle correlazioni lineari intermedie. Si può dimostrare che le informazioni teoriche deducibili ρ e da π sono matematicamente equivalenti. 1

11 3.3. Inferenza dalle funzioni di autocorrelazione La stima della funzione di autocorrelazione consente di creare una precedura con la quale è possibile risalire in modo consistente ed efficiente da una serie temporale ad una parametrizzazione finita di un processo stocastico, nell ambito dei processi gaussiani, stazionari e invertibili, secondo lo schema riportato di seguito : ModelloARIMA lineare,gaussiano, stazionario e invertibile relazioni biunivoche Funzione di autocovarianza Stima statistica Serie temporale osservata Calcolo numerico Stima della funzione di autocavarianza 3.4. Genesi e proprietà dei modelli ARIMA MODELLI AUTOREGRESSIVI Si dice modello autoregressivo di ordine p e si indica con AR(p) un modello tale che: X t+1 =a X t + a 1 X t a p X t-p + ε t+1 Cioè la previsione di X al tempo t+1 è dipendente linearmente da X t e da un passato finito formato da p passi indietro. Introducendo l operatore ritardo unitario (backward), indicato con B, l espressione precedente si può esprimere in forma più compatta come equazione alle differenze: X t+1 =A p (B) X t + ε dove con A p è un polinomio di ordine p applicato all operatore B. 11

12 MODELLI A MEDIA MOBILE Dato uno stato iniziale X si definisce processo a media mobile la combinazione lineare del rumore (errore) tramite l espressione: X t =A t-1 (B)ε t + a t X o in forma più sintetica: X t =C q (B)ε t con C q polinomio di ordine q applicato all operatore ritardo unitario MODELLI ARMA Un processo stazionario non deterministico Z t rappresenta un modello autoregressivo di ordine p e media mobile di ordine q, e lo indichiamo con ARMA(p, q), se è soddisfatta la seguente relazione: ϕ(b)z t =(1-ϕ 1 B-ϕ 2 B 2 - -ϕ p B p ) Z t =(1-θ 1 B-θ 2 B 2 - -θ q B q )a t =θ(b) a t con a t WN(,σ a 2 ) cioè il rumore ha distribuzione gaussiana con media nulla e varianza σ a MODELLI ARIMA La classe dei modelli ARIMA è quella che meglio rappresenta le dinamiche delle situazioni reali, cioè la non stazionarietà del livello, le componenti stagionali, il trend polinomiale, etc. Se Z t è un processo che può diventare stazionario con l applicazione dell operatore differenza di ordine d, allora la modellistica ARMA può essere definita sul processo W t ottenuto come differenza d-esima di Z t., cioè su W t = d Z t. Quindi definiamo il modello ARIMA(p, d, q) un modello ARMA(p, q) definito sulla differenza d- esima di un processo Z t. 12

13 3.5 La procedura di Box & Jenkins La procedura proposta da Box & Jenkins consiste in tre tappe fondamentali: identificazione, stima e verifica del modello. Riportiamo di seguito lo schema del metodo: Analisi preliminare 1. Grafici serie temporale 2. Analisi esplorative 3. Trasformazioni Box-Cox 4. Indici descrittivi 5. Identificazione outliers Identificazione del Modello ARIMA(p, d, q) 6. Varianza serie differenziate 7. Funzioni di autoccorrelazione 8. Indici AIC, BIC, etc. 9. Stime iniziali dei parametri Stima dei parametri Verifica del modello 1. Test sui coefficienti 11. Analisi dei residui 12. Autocorrelazione dei residui 13. Test portmanteau Utilizzazione del modello ARIMA 14. Previsione 15. Interpretazione 16. Simulazione 17. Sintesi 18. Relazioni tra serie 19. Decomposizione ed estrazione del segnale 2. Destagionalizzazione In alcuni casi all analisi nel dominio del tempo è utile sostituire o affiancare l analisi nel dominio della frequenze, ovvero l analisi spettrale, per individuare una periodicità all interno della serie di partenza. 13

14 4. Modello ARIMA delle temperature Per la creazione di un modello ARIMA delle temperature è necessario controllare la stazionarietà della serie storica, analizzando media e varianza stimate sui dati. 3 temperature media,varianza Fig. 4.1.a Serie temporale di partenza Fig. 4.1.b Blu: varianza della serie Rosso: media della serie Come si può notare da Fig. 4.1.b l andamento della media è abbastanza costante, mentre la varianza non si stabilizza all aumentare dell intervallo considerato, quindi sono necessarie delle trasformazioni che rendano stazionaria la serie. Un ulteriore analisi può essere fatta considerando la funzione di autocorrelazione campionaria, riportata in Fig. 4.2.: essa ha un andamento che al crescere dei lags tende a zero lentamente ed in modalità non rettilinea, indicando dunque la presenza di un andamento di lungo periodo (trend) e una non stazionarietà in media. La non stazionarietà in media tende ad oscurare nella funzione di autocorrelazione qualsiasi comportamento diverso dall evoluzione di lungo periodo. 14

15 Autocorrelation Function TEMPERATURE (Standard errors are white-noise estimates) Lag Corr. S.E Fig Q p Per eliminare l eteroschedasticità della serie utilizziamo una delle trasformazioni Box-Cox: poiché alcuni valori delle temperature sono negativi, per poter applicare il logaritmo, è necessario aggiungere una costante ai dati, riportando i risultati ottenuti in Fig varianza ln(temp) Fig. 4.3 Dopo aver stabilizzato la varianza, procediamo applicando l operatore differenza alla serie: per stabilire l ordine delle differenze è necessario confrontare i valori delle varianze delle serie trasformate e scegliere la trasformazione che la minimizzi. 15

16 Nel nostro caso abbiamo scelto di operare una differenza di ordine 1 sulla serie. [ C ] Serie delle temperature differenziate d=1 x+4.893; ln(x); D(-1) Giorni Fig. 4.4 Risulta evidente come differenziare una serie amplifichi la presenza di outliers, ma il trattamento dei dati esula dal nostro scopo. Un ulteriore passo può essere fatto individuando una stagionalità all interno dei dati, poiché ovviamente, le temperature sono legate ad eventi ciclici. Attraverso l analisi spettrale, come mostrato in Fig. 4.5., è evidente una periodicità di 212, giustificata dal fatto che i dati si riferiscono al periodo che va dal 1 ottobre al 3 aprile Spectral analysis No. of cases: Spectral Density Giorni Fig

17 Nonostante la presenza evidente di tale periodicità, non è possibile costruire un modello ARIMA stagionale poiché per effettuare una stima corretta dei parametri dovremmo avere a disposizione un numero di dati pari ad almeno otto volte la periodicità stessa. Il nostro studio prosegue con l identificazione del modello, definendo gli ordini p e q attraverso l analisi delle funzioni di autocorrelazione globale e parziale del processo. Infatti queste funzioni hanno, per ogni tipo di modello, un andamento teorico caratteristico e dunque esiste una corrispondenza biunivoca tra queste e l ordine del modello. Il problema sorge dal fatto che, nel nostro caso, queste grandezze sono stimate a partire dai dati e di conseguenza, il loro andamento si discosta molto da quello teorico. Applichiamo dunque il seguente metodo per effettuare una prima selezione: proporre modelli con valori dei parametri molto bassi per rispettare il principio della parsimonia; attuare una prima grossolana stima dei parametri; analizzare le funzioni ACF e PACF della serie dei residui dei modelli stimati; ipotizzando che i residui siano un rumore bianco, accettare i modelli che hanno le funzioni ACF e PACF contenute all interno di una banda di confidenza pari al doppio dell errore standard. Da questa prima selezione abbiamo ottenuto più di un modello accettabile, per cui è necessario compiere un ulteriore scelta. La difficoltà di identificazione di un modello ad hoc ha generato numerose proposte di identificazione automatica e fra le tante la più usata è quella introdotta da Akaike. Il metodo prevede la scelta del modello che minimizza il parametro AIC (Asymptotic Information Criterior) così definito: AIC= nlog (σ) + 2k n: numero di osservazioni σ: varianza stimata sui residui del modello k: numero di parametri del modello Sulla base di queste considerazioni si riscontra che il modello più adeguato per la rappresentazione Passiamo ora alla fase di verifica della qualità statistica dei nostri risultati, per poi accettare o meno il modello considerato. Innanzi tutto mostriamo come la distribuzione dei residui della serie sia un white noise, infatti da Fig.4.6.b e Fig.4.6.c è evidente come il grafico non superi il limite imposto dal valore del doppio dell errore standard. 17

18 6 4 2 TEMPERATURE x+4.893; ARIMA (1,1,2) residuals; [ C ] [ C ] Giorni Fig.4.6.a Serie dei residui del modello ARIMA (1, 1, 2) Autocorrelation Function TEMPERATURE : x+4.893; ARIMA (1,1,2) residuals; (Standard errors are white-noise estimates) Lag Corr. S.E Q p Fig. 4.6.b Istogramma della funzione di autocorrelazione globale dei residui 18

19 Partial Autocorrelation Function TEMPERATURE : x+4.893; ARIMA (1,1,2) residuals; (Standard errors assume AR order of k-1) Lag Corr. S.E Fig.4.6.c Istogramma della funzione di autocorrelazione parziale dei residui Come ultimo passo della fase di verifica del modello, procediamo con il test portmanteau. Esso prevede l utilizzo della statistica Q, così definita: Q = n (n + 2) Σ i r k / (n - k) i=1, 2,,n Si può dimostrare che se Q è distribuito come una χ 2 di ordine (k-p-q) allora il modello considerato è corretto. Per fare questo basta dedurre tale valore dall istogramma in Fig.4.6.b ad un lag qualsiasi ( consideriamo il lag 2 ) e confrontarlo con quello tabulato per una distribuzione χ 2 con α =.5. Q=1.58 < Possiamo accettare l ipotesi e confermare l adeguatezza del modello ARIMA (1, 1, 2) 19

20 5. Modello ARIMA dei consumi Per l identificazione del modello stocastico della serie dei consumi si effettua la stessa procedura utilizzata per le temperature. Iniziamo verificando la stazionarietà della serie analizzando media e varianza dei dati campionari: consumi [mc/h] 4 x x 14 media x 17 varianza Fig.5.1 Come ulteriore conferma della non stazionarietà in media della serie riportiamo anche l istogramma della funzione di autocorrelazione globale, dal quale si deduce la presenza di un trend polinomiale dei dati Autocorrelation Function CONSUMI (Standard errors are white-noise estimates) Lag Corr. S.E Fig Q p E2. 15E2. 18E2. 11E2. 113E2. 114E2. 115E2. 2

21 Per eliminare la non stazionarietà della serie applichiamo la trasformazione logaritmica e successivamente una differenza di ordine 1( Fig.5.3.a-5.3.b-5.4). ln(consumi) [mc/h] varianza Fig.5.3.a Serie logaritmica dei consumi Fig.5.3.b Varianza della serie logaritmica [ mc/h ] CONSUMI ln(x); D(-1) Giorni Fig.5.4 Serie logaritmica differenziata (d=1) dei consumi Poiché i dati mancanti sono stati interpolati, nel caso in cui non si tratti di un punto isolato ma di un intervallo, l applicazione della differenza di ordine uno restituisce un valore nullo in tale periodo, come risulta evidente in Fig

22 La serie presenta una periodicità di 212, ma, come nel caso delle temperature, non è possibile per mancanza di dati disponibili depurare la serie da tale ciclicità. 1e1 Spectral analysis No. of cases: 848 CONSUMI 1e1 8e9 8e9 Spectral Density 6e9 4e9 2e9 6e9 4e9 2e Giorni Fig. 5.5 Seguendo la procedura di identificazione proposta nel capitolo precedente, otteniamo che il modello adeguato per i nostri dati è un ARIMA (8, 1, 8). Verifichiamo la sua correttezza analizzando le funzioni ACF e PACF dei residui. Autocorrelation Function CONSUMI: ARIMA (8,1,8) residuals; (Standard errors are white-noise estimates) Lag Corr. S.E Fig.5.6 Istogramma della funzione di autocorrelazione globale dei residui Q p

23 Partial Autocorrelation Function CONSUMI: ARIMA (8,1,8) residuals; (Standard errors assume AR order of k-1) Lag Corr. S.E Fig.5.7 Istogramma della funzione di autocorrelazione parziale dei residui Come ulteriore conferma del fatto che i residui hanno una distribuzione normale riportiamo il seguente grafico: 4 Normal Probability Plot: CONSUMI ARIMA (8,1,8) residuals; 3 Expected Normal Value Fig.5.8 Value Proseguiamo la fase di verifica applicimnd il test portmanteau, (al lag 2) al modello: Q = 8.66 < Essendo il test verificato possiamo concludere che il modello ARIMA (8,1,8) è adeguato per la serie dei consumi. 23

24 6. Modello ARIMA multivariato 6.1 Cross-correlazione Dopo aver modellizzato ogni singola serie storica, cerchiamo di individuare una dipendenza fra queste per definire un modello ARIMA multivariato che meglio approssimi i dati reali. Questa dipendenza risulta evidente anche a livello grafico (Fig.6.1): all aumentare delle temperature segue una diminuzione dei consumi mentre quando le temperature calano i consumi crescono TEMPERATURE CONSUMI TEMPERATURE CONSUMI Fig.6.1 Per individuare analiticamente la dipendenza fra le due serie è fondamentale interpretare l istogramma della funzione di cross-correlazione così definita: con γ xy (k) = Cov[X t, Y t+k ]. ρ xy (k)=γ xy (k)/(γ xx ()γ yy ()).5 Mentre il plottaggio contemporaneo delle due serie fornisce indicazioni sulla correlazione al lag zero, ovvero dei dati di uno stesso giorno, dall istogramma della cross-correlazione si leggono le relazioni per tutti i lags. La funzione di cross-correlazione non va calcolata sui dati originari ma sui residui dei modelli ottenuti. E necessario trattare i dati rendendoli confrontabili e questo può essere fatto filtrando le serie in modo da ricondurle ad un rumore bianco. E a questo punto che ved creazione dei modelli ARIMA univariati perché considerare i relativi residui significa ottenere una standardizzazione dei dati. 24

25 Fig.6.2 Cross-Correlation Function TEMPERATURE; ARIMA (1,1,2) residuals; CONSUMI: ARIMA (8,1,8) residuals; Per ogni lag si ha correlazione fra consumi e temperature quando il valore della funzione supera quello del doppio dell errore standard, nel nostro caso possiamo assumere dipendenza dei consumi dalla temperatura del giorno stesso e di quello precedente. 6.2 Taratura di un modello ARIMA La trattazione statistica fatta fino ad ora è stata fondamentale per l individuazione dell ordine del modello multivariato; per valutare i parametri esistono vari metodi, noi utilizziamo il criterio dei minimi quadrati. Ipotizzando per semplicità che il sistema sia lineare, a tempo discreto e affetto da rumore, esso si può così schematizzare: c(t)=-a 1 c(t-1)- -a n c(t-n)+b T(t)+ +b m T(t-m) ( ) con: c(t)=consumo di gas metano al tempo t; T(t)=temperatura al tempo t; a 1 a n,b b m =parametri da stimare; In forma matriciale: c( k c( k + + 1) 2) c( N ) = c( k) c( k c( N + 1) 1) c( k c( N c( k) 1) 2) c( k c( k c( N n n) + 1) n) T( k T( k + + 1) 1) T ( N ) T ( k) T ( k) T ( k T ( k T ( N m m) + 1) m) a a b b 1 n m 25

26 con: k=max [n,m] I=[c(1) c(n)], intervallo di taratura N=dim I Un altra notazione possibile può essere: da cui: supponendo la matrice D T D invertibile: C=DX D T C=( D T D)X X^=(D T D) -1 D T C Tale soluzione è quella che minimizza lo scarto quadratico medio: ε=c-dx^ Passando al nostro caso e sfruttando i risultati ottenuti con l analisi statistica svolta nei precedenti capitoli, si può ipotizzare la dipendenza del consumo di gas metano al tempo t dalle temperature al tempo t e t-1, mentre per quanto riguarda la dipendenza dai consumi dei precedenti, non è possibile formulare alcune ipotesi, ma solo procedendo per tentativi si può giungere ad una formulazione ottimale. 6.3 Modello a media mobile sulle temperature Volendo costruire un modello a media mobile solo sulle temperature, si ottiene: c(t)=a +b T(t)+b 1 T(t-1) dove a è un fattore di scala introdotto perché allo zero delle temperature non corrisponde un consumo nullo e b, b 1 sono gli altri due parametri da stimare. L intervallo utilizzato per la taratura del modello è quello che va dal 15 ottobre 1997 al 31 aprile 1998, per la mancanza di valori di temperatura anomali : c(2) c(198) = a + T (2) T (198) T (1) T (197) b b 1 I valori dei parametri ottenuti con la taratura sono i seguenti: a = , b = , b 1 = Per la validazione del modello abbiamo formulato una previsione a un giorno sugli anni Riportiamo di seguito i risultati ottenuti: 26

27 consumi [mc/d] Fig.6.3 consumi reali (magenta) consumi previsti (celeste) errore [mc/d] Fig

28 varianza errore Fig. 6.5 media errore Fig. 6.6 Dalla figura 6.6 si osserva che la media dell errore di previsione oltre a non essere stazionaria, non si stabilizza, per un campione grosso di dati, sul valore nullo. 28

29 6.4 Modello autoregressivo sui consumi e a media mobile sulle temperature Cerchiamo di migliorare il modello introducendo anche la dipendenza dai consumi dei precedenti. Per costruire un modello che sia anche autoregressivo sui consumi si può procedere seguendo due direzioni diverse: come conseguenza dell analisi statistica fatta sul modello univariato ARIMA dei consumi, si costruisce un modello autoregressivo di ordine 8; si procede per tentativi aumentando di volta in volta il numero dei parametri da stimare e scegliendo l ordine della parte del modello autoregressivo che minimizza gli errori sulla previsione. Si sceglie il secondo metodo poiché più completo e si ottiene che il modello migliore è quello di ordine 1, basandosi sul principio della parsimonia poiché all aumentare del numero dei parametri, isce in maniera significativa. Potremmo anche considerare per i consumi una periodicità settimanale legata ai ritmi di vita, ma tale approccio non migliora in maniera sostanziale il modello, aumentando solamente la complessità dell algoritmo risolutivo e quindi viene scartato. Si ottiene quindi: c(t)=a +a 1 c(t-1)+b T(t)+b 1 T(t-1) Il sistema utilizzato per la taratura è il seguente: c(2) c(198) = a + c(1) c(197) T (2) T (198) T (1) T (197) a b b 1 1 I valori dei parametri ottenuti con la taratura sono i seguenti: a = , a 1 =.7 1 3, b = , b 1 = Anche in questo caso la taratura viene fatta sull anno termico 1997/1998, mentre la previsione (per gli anni ) a un giorno viene fatta ricorsivamente sia sui consumi reali (Fig. 6.7) che su quelli stimati (Fig. 6.8). 29

30 3.5 x consumi [mc/d] Fig.6.7 consumi reali (magenta) consumi previsti (celeste) 8 6 errore [mc/d] Fig

31 3.5 x 14 3 consumi [mc/d] Fig.6.9 consumi reali (magenta) consumi previsti (celeste) errore [mc/d] Fig. 6.1 Ovviamente la previsione migliore è quella fatta utilizzando i consumi reali, anche se comunque l errore nei due modelli ha lo stesso ordine di grandezza. 31

32 Passiamo ora all analisi statistica dell errore della previsione fatta sui consumi reali; riportiamo di seguito i grafici relativi alla media e varianza campionaria: 6 4 media errore Fig x 16 varianza errore Fig.6.12 Si può notare come, nonostante la varianza sia molto elevata e non costante, la media assuma, all aumentare delle dimensioni del campione, un andamento pressoché stazionario attorno ad un valore minore rispetto a quello ottenuto con il modello precedente. 32

33 Verifichiamo poi che l errore della previsione ha una distribuzione Normale, riportando tale risultato in Fig e Fig. 6.14: 3 Normal Probability Histogram: Errore della previsione 25 2 No of obs Upper Boundaries (x<=boundary) Expected Normal Fig Normal Probability Plot: Errore della previsione 3 Expected Normal Value Value Fig

34 Assumendo valido il modello con i parametri ottenuti considerando come intervallo di taratura l anno termico 1997/1998, cerchiamo di determinare il numero minimo di dati che consenta di costruire un modello i cui parametri siano simili a quelli ritenuti migliori. Per fare questo si considerano intervalli di taratura che vanno da un giorno a tutto l anno termico 1997/1998 e si stimano ricorsivamente i parametri. 2 x Fig Andamento del parametro a Fig Andamento del parametro a 1 34

35 Fig Andamento del parametro b Fig Andamento del parametro b 1 Dall analisi dei grafici precedenti, risulta che l intervallo minimo da considerare è circa 12, anche se per stabilizzare i parametri a 1 e b è sufficiente un numero minore di dati. Tutto questo è utile nel caso in cui non sia facile reperire i dati, e comunque in generale tale operazione ha un certo costo, quindi minimizzare l intervallo di taratura significa ottimizzare 35

36 L intervallo di taratura del modello viene scelto in base all utilizzo che deve essere fatto dei risultati: se è necessario un modello di impiego generale, tale intervallo dovrà essere ampio, mentre, tarando su pochi, i valori ottenuti garantiscono una maggiore precisione solo per un breve orizzonte previsivo. Riportiamo in Fig.6.19 e Fi.6.2 la previsione a un giorno relativa al dicembre 1997 con un modello tarato sulla prima settimana del mese ed il relativo errore. 2 x 14 Fig.6.19 consumi reali (magenta) consumi previsti (celeste) consumi [mc/d] errore [mc/d] Fig.6.2 La stessa analisi viene ripetuta per il mese di aprile, riportiamo i risultati in Fig e fig

37 Fig.6.21 consumi reali (magenta) consumi previsti (celeste 15 consumi [mc/d] errore [mc/d] Fig.6.21 A conferma di quanto detto nel capitolo 1, paragrafo.risulta più difficile fare delle previsioni nei periodi in cui la temperatura è più bassa, poiché al diminuire di questa aumenta la variabilità dei consumi. Infatti gli errori di previsione del mese di dicembre risultano maggiori di quelli del mese di aprile. In genere l obiettivo principale di un modello ARIMA è l utilizzo a scopo previsivo; nel nostro caso per fare questo sarebbe necessario disporre dei valori di temperatura e consumo futuri. Per quanto riguarda i consumi, si utilizzano quelli stimati ricorsivamente dal modello, mentre per avere i valori di temperatura, nel caso in cui questi non siano forniti (es. previsioni metereologiche) è necessario costruire un modello ARIMA univariato sulle temperature. Sfruttando i risultati dell analisi statistica svolta nel capitolo???, nel quale avevano definito un modello con parte autoregressiva di ordine 1, otteniamo la seguente espressione per schematizzare l andamento delle temperature: T(t)=-a 1 T(t-1) 37

38 Tariamo il modello sull anno termico 1997/1998 e prevedendo i due anni successivi riportiamo i seguenti risultati: a =,971 Fig.6.22 temperature reali (magenta) temperature previsti (celeste 2 temperature errore Fig.6.23 Errore della previsione delle temperature A questo punto è possibile avere una previsione dei consumi sulla base di valori futuri stimati, cioè: cs(t)=-a -a 1 cs(t-1)+b Ts(t)+b 1 Ts(t-1) dove con cs(t) si indica il consumo stimato al tempo t a partire da cs(t-1), anch esso una previsione, e da Ts(t), temperatura al tempo t stimata con il modello AR(1) precedente. Anche in questo caso tariamo il modello sull anno termico 1997/1998, ma la previsione viene fatta solo dall ottobre 1998 al gennaio 1999: a =1.667*1 4 a 1 =.1*1 4 b =-.558*1 4 b 1 =-.62*1 4 38

39 3.5 x 14 3 consumi [mc/d] Fig.6.24 Ovviamente gli errori di previsione sono grandi, ma il risultato può essere accettabile, viste le approssimazioni fatte, in quanto viene seguito il trend generale e trascurato l andamento locale dei consumi. CONCLUSIONI Il nostro studio ha portato alla realizzazione di un modello che soddisfa gli obiettivi che ci eravamo proposti, cioè individuare una correlazione fra consumi e temperature, ma che sicuramente può essere migliorato considerando anche quei fattori difficilmente rilevabili o legati al caso. Infatti le temperature non sono l unico elemento che influenza l anda sappiamo, ad esempio, che la presenza o meno di vento o l aumento delle utenze determinano una variazione dei consumi. Inoltre un fattore da non sottovalutare è la tendenza degli utenti a mantenere fisso il periodo di accensione della caldaia indipendentemente dalle variazioni climatiche. Tutto questo è un ulteriore conferma della difficoltà di schematizzazione del sistema e quindi il nostro modello non si presta ad un utilizzo pratico per scopi previsivi, ma è comunque interessante perché evidenzia la dipendenza dei consumi di gas metano dalle temperature atmosferiche. 39

40 BIBLIOGRAFIA Chris Chatfield Time-series forecasting Chapman & Hall Peter J.Brockwell, Richard A.Davis Time series: theory and methods Springer Domenico Piccolo Introduzione all analisi delle serie storiche La Nuova Italia Scientifica Paolo Baldi Calcolo delle probabilità e statistica Mcgraw-Hill Sergio Rinaldi, Carlo Piccardi Sistemi lineari: teoria, modelli ed applicazioni Edizioni Città Studi Appunti del corso di Teoria dei Sistemi (a.a. 2/21) 4