ESERCIZIO n.3. y t. rispetto alle rette r e s indicate in Figura. GA#3 1

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1 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. ESERCZO n.3 Daa la sezione a doppio T ipoaa in Figua, deeminae: a) gli assi pincipali cenali di inezia; b) l ellisse pincipale cenale di inezia; c) il nocciolo cenale di inezia; d) i momeni di inezia e s ispeo alle ee e s indicae in Figua. s = 14cm c = cm c= 3cm c A#3 1

2 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. 1. Deeminazione del baiceno della sezione La sezione pesena due assi di simmeia, peano il baiceno si ova sulla loo inesezione. Le coodinae del baiceno ispeo al sisema di ifeimeno (, ) indicao in Figua isulano alloa essee: = = = 7 cm, = = = 7 cm. = 14cm = cm A#3

3 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A.. Deeminazione degli assi pincipali cenali di inezia Noa la posizione del baiceno della sezione in esame nel ifeimeno (, ), gli assi baicenici e sono anche assi pincipali cenali di inezia pe la sezione in esame. Rispeo a ali assi infai il momeno di inezia cenifugo isula essee nullo, cioè =. Si icoda infai che se una sezione possiede due assi di simmeia ea quesi coincidono con gli assi pincipali cenali di inezia. Di seguio gli assi pincipali cenali di inezia saanno indicai con le leee geche ξ ed η, come specificao in Figua. η = 14cm = cm ξ A#3 3

4 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. 3. Deeminazione dell ellisse cenale di inezia L ellisse cenale di inezia, ifeia agli assi pincipali cenali di inezia ξ e η, ha equazione: ξ ρ η + = 1 η ρξ nella quale ρ ξ e ρ η sono i semiassi dell ellisse che coincidono, com è noo, con i aggi giaoi di inezia della sezione espessi da: ξ η ρξ =, ρη =. A A Nelle elazioni pecedeni: A è l aea oale della sezione in esame; ξ e η sono i momeni pincipali cenali di inezia della sezione che, nel caso in esame, coincidono con i momeni del secondo odine e ispeo agli assi e. 3.1 Calcolo del momeno pincipale cenale di inezia della sezione ispeo all asse ξ l calcolo dei momeni del secondo odine ξ e η è effeuao avvalendosi della popieà addiiva dei momeni del secondo odine, sfuando la scomposizione della figua in e eangoli ad esempio: il pimo di lai = 14cm e = cm, il secondo di lai = cm e = 1cm, il ezo di lai = 14cm e = cm, e applicando, ove necessaio, il eoema del aspoo. l momeno di inezia della sezione ispeo all asse ξ è dao dalla somma dei momeni di inezia ispeo all asse ξ dei singoli eangoli, e, cioè: = + + ξ ξ ξ ξ A#3 4

5 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. Pe la valuazione di ξ e ξ si applica il eoema del aspoo; nel seguio indica il momeno di inezia del eangolo ispeo ad un asse paallelo all asse ξ e passane pe il baiceno, analogamene indica il momeno di inezia del eangolo ispeo ad un asse paallelo all asse ξ e passane pe il baiceno. Ai fini della deeminazione di ξ invece non è necessaio applicae il eoema del aspoo essendo l asse ξ baicenico pe il eangolo. 1 1 = + A ( ) = ξ ( )( ) ( 14 ) ( 14 )( 13 7 ) cm 1 + = 1 + = ξ = = ( ) = ( 1 ) = cm ξ = + A ( ) = + ( )( ) = ( 14 ) + ( 14 )( 1 7 ) = cm Si noi che, in viù della simmeia della sezione ispeo all asse ξ, isula Si ha in definiiva: = + + = + = = 1.33 cm ξ ξ ξ ξ ξ ξ 4 ξ =. ξ = 13cm η = 14cm = cm = 1cm ξ A#3 5

6 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. 3. Calcolo del momeno pincipale cenale di inezia della sezione ispeo all asse η l momeno di inezia della sezione ispeo all asse η è dao dalla somma dei momeni di inezia ispeo all asse η dei singoli eangoli, e, cioè: = + + η η η η Si noi che pe la valuazione di η, η e l asse η baicenico pe i eangoli, e. Risula peano: η non occoe applicae il eoema del aspoo, essendo 1 1 = η ( 14 ) cm 1 = 1 = = η ( ) ( 1 ) 6.66 cm 1 = 1 = η = = ( 14 ) = cm Si ossevi che, in viù della simmeia della sezione ispeo all asse η, isula definiiva: η =. Si ha in η = + + = + = η η η η η η = = 91.3 cm 4 η = 14cm = cm ξ A#3 6

7 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. 3.3 Ellisse cenale di inezia Noi ξ e η, si possono in definiiva calcolae i aggi giaoi di inezia, si ha: ξ 1.33 η 91.3 ρξ = = = 5.38 cm, ρη = = = 3.48 cm. A 76 A 76 Quesi ulimi definiscono l equazione dell ellisse cenale di inezia nel ifeimeno pincipale ( ξ, η ) pemeendone così la sua individuazione (effeuabile pe puni ad esempio) così come indicao in Figua. η = 14cm = cm ρ ξ ρ η ξ A#3 7

8 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. L individuazione dell ellisse, noi i semiassi ρξ ρ e ρη ρ, può condusi anche sfuando una semplice cosuzione gafica di seguio illusaa e ipoaa schemaicamene nella Figua seguene. Cosuzione gafica di un ellisse noi che siano i suoi semiassi 1. Tacciae i semiassi dell ellisse e le ciconfeenze di ceno aveni pe aggi i semiassi sessi;. Tacciaa pe la geneica semiea, condue dalla sua inesezione A con la ciconfeenza inena la ea i paallela al semiasse maggioe, e dall inesezione con la ciconfeenza esena la ea e paallela al semiasse minoe; 3. l puno E inesezione di i e e è puno dell ellisse; 4. Ripeee la cosuzione pe un numeo di puni sufficiene alla cosuzione dell ellisse. e ρ E A ρ i A#3 8

9 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. 4. Deeminazione del nocciolo cenale di inezia l nocciolo cenale di inezia di una figua piana è il luogo dei ceni elaivi delle ee del piano che non agliano la figua o, nella polaià d inezia di ceno il baiceno della figua (polaià esisene a le ee del piano e i simmeici ispeo a dei loo ceni elaivi), il nocciolo cenale di inezia è il luogo degli anipoli delle ee del piano che non agliano la figua. l nocciolo è qui di seguio individuao aaveso la cosuzione del suo conono e ciò, in paicolae, aaveso la deeminazione della posizione dei veici dello sesso, deeminai come anipoli delle ee angeni alla foniea (o conono) della figua esa convessa. l conono del nocciolo cenale di inezia della sezione in esame è quindi una figua a 4 veici ciascuno dei quali appesena l anipolo di una delle angeni al conono della sezione esa convessa. 4.1 Meodo analiico Le coodinae dei veici R i ( i = 1,,3,4) del nocciolo cenale di inezia possono essee calcolae nel ifeimeno oogonale (, ) pima consideao pevia deeminazione, nello sesso ifeimeno, delle equazioni delle ee i ( i = 1,, 3, 4 ) angeni al conono della figua esa convessa. Noa infai l equazione di una ea nel ifeimeno (, ), nella foma a+ b+ 1 =, dove e sono da inendesi valuae nel ifeimeno (, ) e il pedice è omesso pe comodià, il suo anipolo, nello sesso ifeimeno, ha coodinae P (, ) ( ) ; ( ) = a + b A = a + b A P P fonie da: nelle quali compaiono, ole ai coefficieni a e b dell equazione della ea consideaa, l aea A della sezione e i momeni del secondo odine della sessa sezione ispeo al ifeimeno (, ) valuai in pecedenza. n paicolae: pe ee di equazione = 1 b, cioè paallele all asse, ponendo pe semplicià q = 1 b, dalle pecedeni isula: P = ; P qa = qa P P pe ee di equazione = 1 a, quindi paallele all asse, ponendo q * = 1 a si ha invece: P = ; * P = * qa qa A#3 9

10 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. Con ifeimeno alla Figua, le ee angeni al conono della sezione esa convessa hanno, nel ifeimeno (, ), le segueni equazioni: ea 1 (paallela all asse ): = = 7.; ea (paallela all asse ): = = 7.; ea 3 (paallela all asse ): = = 7.; ea 4 (paallela all asse ): = = 7.. Riepilogando, nel ifeimeno (, ) le ee angeni alla figua esa convessa hanno equazioni: 1 : = 7. : = 7. 3 : = 7. 4 : = 7., 1 = 14cm = cm 3 4 A#3 1

11 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. Applicando le fomule pima ichiamae, icodando che nel caso in esame ξ ed η, si possono quindi calcolae le coodinae dei veici R 1, R, R 3 er 4, anipoli ispeivamene delle ee 1,, 3 e 4. Si calcola: coodinae puno R 1 (anipolo della ea 1 di equazione = 7., paallela all asse ): 1.33 R = =. cm; 4.14 ; 1 R = = = cm 1 qa qa coodinae puno R (anipolo della ea di equazione = 7., paallela all asse ): 91.3 = R 1.73 cm;. ; * R cm * qa = = = qa = ( ) coodinae puno R 3 (anipolo della ea 3 di equazione = 7., paallela all asse ): 1.33 = R. cm; 4.14 ; 3 R cm 3 qa = = qa = = ( ) coodinae puno R 4 (anipolo della ea 4 di equazione = 7., paallela all asse ): 91.3 R = = = 1.73 cm;.. 4 * R = = cm 4 * qa qa Unendo i puni R i così individuai si oiene il conono, e quindi il nocciolo cenale di inezia della sezione in esame, come illusao in Figua. Si icoda che i lai del nocciolo sono le anipolai dei veici della sezione. Si osseva inole che, daa la simmeia della sezione, ai fini della individuazione del conono del nocciolo, è sufficiene deeminae le coodinae di due veici, anipolai di due ee angeni alla Figua e oogonali a loo, ad esempio R 1 ed R o alenaivamene R 3 ed R = 14cm = cm R 3 R 4 R R 1 4 A#3 11

12 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. 4. Meodo gafico n alenaiva alla pocedua analiica pima esposa, di seguio si popone un meodo gafico pe l individuazione dei veici del nocciolo cenale d inezia. l meodo è ipoao in sinesi, pe passi opeaivi sequenziali e elaivamene alla deeminazione di un solo veice del nocciolo della sezione in esame, essendo la cosuzione gafica facilmene ipeibile pe i esani veici. La cosuzione è quella che consene, daa una figua piana della quale si sia deeminaa l ellisse cenale d inezia, di individuae l anipolo R di una qualsiasi ea del piano. Essa si basa su una elazione noevole della polaià d inezia di ceno, noa come elazione di coniugio, espessa da: nella quale: ρ = R R ' è la ea paallela ad e passane pe il baiceno della figua; ρ è il aggio giaoe d inezia ispeo a, definio dal semidiameo dell ellisse appaenene alla * diezione coniugaa ad ; R è l anipolo della ea ; R è il coniugao di R ; R e R ' individuano i segmeni ispeo ai quali ρ è medio popozionale, come sabilio dalla elazione di coniugio. Si imanda ai libi di eso consigliai pe i fondameni eoici sui quali si basa la cosuzione poposa. A#3 1

13 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. Con ifeimeno alla Figua, i passi opeaivi della cosuzione poposa sono: #1 Noa l ellisse cenale di inezia e fissaa la angene, della quale si vuole individuae l anipolo R, si acciano le angeni all ellisse paallele a, individuando così i puni di angenza A e ; # La ea passane pe i puni di angenza A e è la diezione * coniugaa ad, la sua inesezione con è il puno R, coniugao di R ; il aggio giaoe ρ coincide con il semidiameo (o A ); #3 Si uoa di 9 sì da dispolo sull oogonale pe alla diezione coniugaa il segmeno così oenuo; *, sia #4 Si unisce R con e si conduce pe l oogonale a R ' ' sino ad inesecae la diezione * coniugaa in R, anipolo della ea consideaa e veice del nocciolo cenale di inezia della sezione. ' A R g ρ R * g Ripeendo la cosuzione pe le ale 3 angeni alla figua esa convessa si individua in modo compleo il nocciolo cenale di inezia della sezione. A#3 13

14 Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. 5. Calcolo dei momeni di inezia ispeo alle ee e s Si calcolano infine i momeni di inezia della sezione ispeo alle ee e s mosae in Figua. Tali momeni possono essee calcolai uilizzando il eoema del aspoo; nel seguio e indicano i momeni di inezia della sezione ispeo agli assi baicenici e, ispeivamene paalleli alla ee e s. Momeno di inezia della sezione ispeo alla ea ( ) ( ) 4 = + A c+ = = cm Momeno di inezia della sezione ispeo alla ea s ( ) ( ) 4 = + A c+ = = cm s s c = 14cm = cm c= 3cm c A#3 14