Giacomo Sacco Appunti di Costruzioni Edili
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- Michela Simone
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1 Giacomo Sacco Appunti di Costruzioni Edili Le tensioni dovute a sforzo normale, momento, taglio e a pressoflessione. 1
2 Le tensioni. Il momento, il taglio e lo sforzo normale sono le azioni che agiscono sull intera sezione della trave, ma cosa avviene in ogni punto della sezione? Quali sono le sollecitazioni che agiscono su ogni centimetro quadrato? Ogni punto della sezione viene sollecitato da una tensioneossia da una forza sull unità di area. Abbiamo due tipi di tensioni: una tensione perpendicolare alla sezione, che abbiamo indicato con e una tensione parallela, ossia tangenziale, alla sezione che abbiamo indicato con. Queste tensioni sono provocate dalle sollecitazioni che agiscono nella sezione: le tensioni normali () vengono provocate sia dal momento che dallo sforzo normale, mentre le tensioni tangenziali () vengono provocate dal taglio e anche dal momento torcente, di cui però non ci occuperemo. Le tensioni si misureranno in N/mm, o dan/cm. Sforzo normale centrato. E il caso più semplice. Si ha quando abbiamo una trave sollecitata da una forza perpendicolare alla sezione e applicata al baricentro, come mostrato in figura. La trave è certamente in equilibrio perché sollecitata da due forze uguali e contrarie. Immaginiamo di tagliare la trave con il piano a, separiamo i due pezzi, e consideriamo il pezzo di sinistra della trave stessa. Per mantenere l equilibrio nella sezione a sono presenti delle tensioni normali costanti su tutta la sezione. Per l equilibrio deve essere: P = σ A; e otteniamo: σ = P. A Se vogliamo calcolare la tensione normale invertiamo la formula Flessione semplice: Quando la sezione è sottoposta solo a momento flettente intorno ad uno dei due assi principali di inerzia (per il rettangolo gli assi principali di inerzia sono paralleli ai lati e passanti per il baricentro) si parla di flessione semplice. Le tensioni che nascono sono sempre tensioni normali. Consideriamo un tratto di trave di lunghezza l, sotto l azione del momento M subirà una flessione, incurvandosi secondo un arco di cerchio. La fibra in corrispondenza del baricentro non subirà nessun allungamento o accorciamento, mentre invece le fibre inferiori subiranno un allungamento e quelle superiori un accorciamento.
3 Ciò significa, evidentemente, che le fibre inferiori (in azzurro) saranno sottoposte a trazione e quelle superiori ( in rosso) a compressione. Vogliamo calcolare l allungamento e l accorciamento di una fibra tesa a distanza y dal baricentro (in blu nella figura) e di una fibra compressa (in rosso nella figura) Sempre a distanza y dal baricentro. Inizialmente tutte le fibre avevano la stessa lunghezza della fibra baricentrica che ricordiamo era lunga l. Se l angolo a viene misurato in radianti si ha che: l = R α; Questa è, come detto, la lunghezza iniziale di tutte le fibre. La lunghezza della fibra tesa sarà: l t = R + y α; Quindi l allungamento sarà dato da: l = l t l = R α R + y α = y α; La lunghezza della fibra compressa a distanza y dal baricentro sarà: l c = R y α; Quindi l accorciamento della fibra sarà dato da: l = l c l = R y α R α = y α. Il segno meno indica che si tratta appunto di una diminuzione di lunghezza anziché di un aumento. Questo significa che gli allungamenti e gli accorciamenti sono direttamente proporzionali alla distanza della fibra dal baricentro. Anziché riferirci alle deformazioni totali, facciamo riferimento alle deformazioni percentuali date dalla formula: ε = l. L andamento delle deformazioni percentuali è lo stesso delle deformazioni l totali, ossia sono zero in corrispondenza dell asse baricentrico (detto per questo asse neutro) e massime ai bordi inferiore e superiore della sezione. Poiché tra le deformazioni e le tensioni, in campo elastico, esiste la relazione: σ = E ε;dove con E abbiamo indicato il modulo di elasticità del materiale, anche le tensioni saranno nulle in corrispondenza dell asse baricentrico e massime ai bordi, ovviamente avremo tensioni di compressione nella metà superiore della sezione e tensioni di trazione nella metà inferiore della sezione. Vogliamo ora calcolare il valore delle tensioni massime provocate dal momento. Per fare ciò ricorriamo alle equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale (somma delle forze orizzontali uguale a zero) e alla rotazione (somma dei momento calcolati rispetto ad un punto uguale a zero). 3
4 Le risultanti degli sforzi di compressione e di trazione sono uguali e valgono: C = T = σ max h b = σ max h b Per calcolare il punto di applicazione delle risultanti C e T, ricordiamo che il baricentro di un triangolo rettangolo è posizionato come in figura: Poiché nel nostro caso, l altezza del triangolo delle tensione è uguale a metà dell altezza della sezione, cioè: a = h la distanza del baricentro dall asse neutro sarà: 3 a = 3 h = h 3 Per l equilibrio alla rotazione, il momento M deve essere uguale al momento della coppia interna. Calcoliamo il momento della coppia interna rispetto al baricentro della risultante degli sforzi di trazione: M = C 3 h = σ h b max 3 h = σ b h max 6 Indicando con Wx = b h 6 si ha: M = σ max Wx e quindi: σ max = M W x ; W x viene chiamato modulo di resistenza elastico della sezione, rispetto all asse x. Se vogliamo mettere in relazione la tensione massima con il momento di inerzia della sezione, moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per h : σ max = M b h 6 = M b h 6 h h = M b h 3 1 h = M I x h ; Noi abbiamo calcolato le tensioni massime per le sezioni rettangolari, tuttavia tali formule con Wx e Ix, sono valide qualsiasi sia la forma della sezione, ovviamente se essa non è rettangolare il modulo di resistenza elastico non sarà uguale a b h b h 3 e il momento di inerzia non sarà uguale a, ma dovranno essere calcolati 6 1 oppure letti su apposite tabelle.
5 TAGLIO Per le sezioni rettangolari il diagramma delle tensioni tangenziali è quello mostrato in figura, col valore massimo in corrispondenza del baricentro della sezione. Per calcolare le tensioni, non possiamo semplicemente dividere il taglio per l'area, perché le tensioni non sono costanti in tutta la sezione, ma variano per effetto della presenza del momento nel resto della trave. La formula di calcolo delle tensioni tangenziali, in una corda a distanza y dall'asse baricentrico, (in rosso nella figura) è la seguente: τ = T S x B I x ; dove: è la tensione tangenziale sulla corda segnata in rosso; S x è il momento statico (area per distanza) della superficie posta al disopra della corda rossa; B è la larghezza della sezione; I x è il momento di inerzia dell'intera sezione; Questa formula è valida anche per sezioni non rettangolari. Calcoliamo Sx: S x = B H y y + H y = B H y y+h y = 1 B H y H + y = B H y ; Il valore della tensione tangenziale, dipende solo da y perché B è costante, Ix è costante e T è costante, siccome Sx varia con una legge di secondo grado, anche la varierà con una legge di secondo grado, ossia avrà un andamento parabolico. Il valore massimo si avrà per y=0, cioè per S x = B H ; Tenendo presente che I 8 x = B H3 ; sostituendo si ha: 1 τ max = B H T 8 = 1 B B H3 8 T B H = 1,5 T A. 1 Si ricorda che questa formula è valida solo per le sezioni rettangolari. 5
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