Dispensa delle lezioni Corso di programmazione in GAUSS Parte V. Club di Economia Applicata Dipartimento di Scienze Economiche Università di Verona

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1 Dispensa delle lezioni Corso di programmazione in GAUSS Parte V Club di Economia Applicata Dipartimento di Scienze Economiche Università di Verona

2 Option Pricing Un opzione call (put) è un titolo che conferisce all acquirente il diritto di acquistare (vendere) dalla controparte una attività di riferimento ad un certo prezzo K (strike) alla data di scadenza T (tipo europeo) o entro una scadenza T (tipo americano). Il payoff a scadenza delle opzioni è uguale a: f T = max(s T K, 0) opzione Call f T = max(k S T, 0) opzione Put Prima della scadenza il valore delle opzioni dipende anche da altre variabili come ad esempio la volatilità del sottostante, il tasso di interesse privo di rischio o la vita residua. L esclusione di possibilità di arbitraggio implica che i prezzi delle opzioni siano limitati inferiormente e superiormente. Siano c e p rispettivamente i prezzi delle opzioni call e put europee e C e P le opzioni di tipo americano. Se non ci sono dividendi, necessariamente devono valere i seguenti vincoli: Limiti Superiori c S 0 p Xe rt C S 0 P X Limiti inferiori C c P p c S 0 Xe rt 1

3 p Xe rt S 0 C S X P X S Analoghe considerazioni di arbitraggio implicano che i prezzi delle opzioni devono necessariamente soddisfare la put-call parity: c + D + Xe rt = p + S 0 per le opzioni europee S 0 D X C P S 0 Xe rt per le opzioni americane Alcuni dei metodi più noti in letteratura per la valutazione delle opzioni sono: - Alberi binomiali - Formula di Black-Scholes - Metodo Monte Carlo Alberi Binomiali - Black & Scholes Il metodo degli alberi binomiali è uno dei metodi impiegati per la valutazione delle opzioni. Il metodo consiste in un diagramma che rappresenta i possibili cammini seguiti dal prezzo del sottostante durante la vita dell opzione. L assunzione alla base di questo metodo di valutazione è non ci siano opportunità di arbitraggio. Si consideri il caso di un portafoglio (privo di rischio) composto da posizione lunga su azioni e da una posizione corta su una opzione. Si immagini ad esempio che il prezzo dell opzione, trascorso un istante temporale, possa assumere solo due valori, S u e S d. Il payoff di una opzione che scade dopo un unico istante temporale è noto e pari a f u o a f d. Il valore di che soddisfa la seguente equazione rappresenta la quantità di azioni da detenere per immunizzare il portafoglio: S u f u = S d f d = f u f d S u S d 2

4 In assenza di opportunità di arbitraggio qualunque portafoglio privo di rischio deve avere un tasso di rendimento pari a r (tasso risk-free). Calcolando il valore del suddetto portafoglio a scadenza, ad esempio S u f u, e attualizzandolo al tasso privo di rischio, otteniamo il valore attuale del portafoglio. Dato il valore attuale del portafoglio, la sua composizione e il prezzo del sottostante è sufficiente esplicitare l equazione per il valore dell opzione. Generalizzando, il valore dell opzione f è pari a: dove: f = e rt [pf u + (1 p)f d ] p = e rt d u d con u > 1 e d < 1 che indicano rispettivamente di quanto il sottostante può aumentare o diminuire in un intervallo temporale e p che rappresenta la probabilità neutrale al rischio di un aumento del prezzo dell azione. Secondo il modello proposto da Cox, Ross e Rubinstein nel 1979 (CRR) per rendere coerente la generazione dei sentieri del sottostante con la volatilità dello stesso, i valori di u e d devono essere calcolati come segue: u = e σ t d = e σ t = 1/u Quando si considerano più time steps il funzionamento del metodo è analogo a quanto appena descritto. A partire dall ultimo step, in cui il valore dell opzione è noto, si calcolano i valori dell opzione ai nodi precedenti come valore attuale della media dei payoff, ponderati per le rispettive probabilità (neutrali al rischio). f u = e r(tn t n 1) [pf uu + (1 p)f ud ] /* ALBERI BINOMIALI */ proc albino(s,k,sigma,t,r,tipo,step); local u,d,a,b,espod,c,espou,e,f,sale,scende,prezzi,final,; local nomi,p,q,i,actu,actd,prezzo,dati,info,payoff,disc,y,n,cap; 3

5 n=step+1; u=exp(sigma*sqrt(t/step)); d=exp(-sigma*sqrt(t/step)); a=seqa(0,1,n); b=ones(1,n); espod=upmat(a.*b); c=ones(n,1); e=seqa(0,1,n) ; f=(c.*e)-seqa(0,1,n); espou=upmat(abs(f)); format /lds 1,1; sale=u.^espou; scende=d.^espod; prezzi=upmat(s.*sale.*scende); final=(prezzi[.,cols(prezzi)]) ; if tipo$=="call"; payoff=maxc((final-k) zeros(1,rows(prezzi))); elseif tipo$=="put"; payoff=maxc((k-final) zeros(1,rows(prezzi))); else; 4

6 print "Errore: tipo di opzione non riconosciuto!!"; endif; disc=exp(-r*(t/step)); cap=exp(r*(t/step)); p=(cap-d)./(u-d); q=1-p; for i(1,n-1,1); actu=payoff[1:(rows(payoff)-1),1]; actd=payoff[2:(rows(payoff)),1]; payoff=disc.*((actu.*p)+(actd.*q)); endfor; prezzo=payoff; print "ALBERO BINOMIALE CRR"; print "Powered by Daniele Poiega" print " DATI OPZIONE:"; print; let nomi[5,1]= S0 K Vol T r; dati=s k sigma T r; info=nomi~dati; y=printfmt(info,0~1); print; 5

7 print " Option type: " tipo; print; format /rds 3,1; print " Number of steps: " step; print; format /lds 10,5; print " PREZZO: " prezzo; retp(prezzo); endp; Nel caso di opzioni americane il valore di f u è uguale al max{e r(tn t n 1) [pf uu + (1 p)f ud ], S u K} opz. call max{e r(tn t n 1) [pf uu + (1 p)f ud ], K S u } opz. put Si dimostra che all aumentare del numero dei passi temporali il prezzo delle opzioni europee fornito dagli alberi binomiali converge al prezzo ottenuto con la formula di Black & Scholes: CALL lim n f = S 0 N(d 1 ) K e r T N(d 2 ) dove: P UT lim n f = K e r T N( d 2 ) S 0 N( d 1 ) Greche d 1 = ln(s 0/K) + (r + σ 2 /2)T σ T d 2 = ln(s 0/K) + (r σ 2 /2)T σ T = d 1 σ T Le greche misurano la sensitività del prezzo dell opzione al variare dei fattori di rischio che concorrono a formarne il prezzo e si rivelano particolarmente utili per immunizzare un portafoglio comprendente opzioni. 6

8 Ciascuna greca misura una diversa dimensione del rischio di una posizione su opzioni e in generale l obiettivo degli operatori è quello di gestire le greche in modo che ciascuna fonte di rischio sia accettabile. Nel caso in cui il sottostante sia rappresentato da azioni che non pagano dividendi le greche si calcolano nel modo seguente: Delta Sensitività del prezzo dell azione ad una variazione del sottostante. = c S call = N(d 1 ) put = N(d 1 ) 1 Gamma Sensitività del prezzo dell azione ad una variazione del delta ( ). Γ = 2 c S 2 Γ call = Γ put = N (d 1 ) S 0 σ T Vega Sensitività del prezzo dell azione ad una variazione della volatilità. V = c σ = S 0 T N (d 1 ) Rho Sensitività del prezzo dell azione ad una variazione del tasso d interesse. ρ = c r ρ call = XT e rt N(d 2 ) ρ put = XT e rt N( d 2 ) Theta Sensitività del prezzo dell azione ad una variazione del tempo Θ = c t Θ call = S 0N (d 1 )σ 2 T rxe rt N(d 2 ) Θ put = S 0N (d 1 )σ 2 T + rxe rt N( d 2 ) 7

9 dove: N (x) = 1 2π e x2 /2 Per maggiori informazioni si invita alla consultazione di Opzioni, futures e altri derivati, di John Hull (Prentice Hall, Quarta Edizione). Monte Carlo L utilizzo del metodo Monte Carlo nel pricing di opzioni si rende necessario quando le caratteristiche dell opzione escludono una forma analitica per il prezzo. Il metodo di simulazione, come altri metodi numerici, permette la risoluzione di problemi complessi purchè il modo con cui sono generati i percorsi dell attività sottostante sia coerente con il modello. Nel caso di prezzi azionari il processo stocastico impiegato è un moto browniano geometrico: ds = µsdt + σsdz ds = µdt + σdz S d ln S = (µ 12 ) σ2 dt + σdz S(t + δt) = S(0) exp (µ 1 2 σ2 )δt+σɛ δt dove ɛ N(0, 1) è una estrazione casuale da una normale standardizzata. In Gauss: /* SIMULAZIONE PREZZI AZIONARI */ new; cls; print "INPUT ORDER: S(t0), Mu, Sigma, Maturity(in years), Number of Steps, 8

10 Nr. Simulations "; proc simasset(s,mu,sigma,t,steps,nsim); local a, paths, dt, drift, vola, i, j, b, c, tempo, fmt,y,x; library pgraph; graphset; a=time; paths=zeros(nsim,steps+1); paths[.,1]=s*ones(nsim,1); dt=t/steps; drift=(mu-0.5*sigma^2)*dt; vola=sigma*sqrt(dt); for i(1,nsim,1); for j(1,steps,1); paths[i,j+1]=paths[i,j]*exp(drift+vola*rndn(1,1)); endfor; endfor; x=seqa(1,1,rows(paths )).*ones(1,cols(paths )); xy(x,paths ); b=time; c=b-a; let tempo[4,1]="ore" "MINUTI" "SECONDI" "CENT/SEC"; let fmt[2,3] = "-*.*s" 8 8 "*.*lf," 12 9; y=printfm(tempo~c,0~1,fmt); retp(paths); endp; La procedura per la simulazione dei prezzi azionari tuttavia può essere migliorata nel senso che è possibile eliminare l impiego dei cicli for vettorizzando la procedura. 9

11 Il processo stocastico dei prezzi azionari può essere riscritto in questo modo: ln S(t + δt) ln S(t) = (µ 12 ) σ2 δt + σɛ δt Nella procedura simastop, anzichè generare ogni singolo elemento, l intera matrice di estrazioni casuali è campionata in un unica soluzione. La sommatoria cumulata degli incrementi è infine trasformata attraverso la funzione esponenziale. Se si confrontano i risultati delle funzioni simasset e simastop in termini di tempi di esecuzione è possibile apprezzare il miglioramento dell efficienza della routine. Si ricorda che la versione light di Gauss non ammette la creazione di matrici di dimensioni superiori di elementi o il superamento di 1.5Mb di workspace. print "INPUT ORDER: S(t0), Mu, Sigma, Maturity(in years), Number of Steps, Nr. Simulations "; proc simastop(s,mu,sigma,t,steps,nsim); local a,paths,dt,drift,vola,increments; local start,logpaths,b,c,tempo,fmt,y,x; library pgraph; graphset; a=time; paths=zeros(nsim,steps+1); paths[.,1]=s*ones(nsim,1); dt=t/steps; drift=(mu-0.5*sigma^2)*dt; 10

12 vola=sigma*sqrt(dt); increments=drift+vola*rndn(steps,nsim); start=ln(s).*ones(1,nsim); logpaths=cumsumc(start increments); paths=exp(logpaths ); b=time; c=b-a; let tempo[4,1]="ore" "MINUTI" "SECONDI" "CENT/SEC"; let fmt[2,3] = "-*.*s" 12 8 "*.*lf," 16 16; y=printfm(tempo~c,0~1,fmt); x=seqa(1,1,rows(paths )).*ones(1,cols(paths )); xy(x,paths ); retp(paths); endp; /* ESEMPIO (CW) */ new; run a:\simastop.prg; run a:\simasset.prg; prezzi1=simastop(40,0.2,0.1,1.5,30,300); ORE , MINUTI , SECONDI , CENT/SEC , prezzi2=simasset(40,0.2,0.1,1.5,30,300); ORE , MINUTI , SECONDI , CENT/SEC , La valutazione di una opzione su azioni europea con strike K è condi- 11

13 zionata al calcolo del valore atteso (sotto la misura neutrale al rischio) del payoff finale dell opzione, scontato per il tasso privo di rischio r: f t = e r(t t) E Q (f T ) f T = max(s T K, 0) opzione Call f T = max(k S T, 0) opzione Put Il processo seguito dai prezzi delle azioni sotto la misura neutrale al rischio è il seguente. S(t + δt) = S(0) exp (r 1 2 σ2 )δt+σɛ δt il cambio di drift deriva dal cambio della misura di probabilità utilizzata nella valutazione. Il payoff di una opzione call diventa quindi: In Gauss: max{s(0) exp (r 1 2 σ2 )T +σɛ T K, 0} proc (2)=simasbs(s,k,r,sigma,T,nsim); local a,drift,vola,stdevprice,payoff; local discpayoff,price,b,c,tempo,fmt,y; a=time; drift=(r-0.5*sigma^2)*t; vola=sigma*sqrt(t); payoff=maxc((-k+(s.*exp(drift+vola.*rndn(1,nsim)))) (zeros(1,nsim))); discpayoff=(exp(-r*t)).*payoff; price=meanc(discpayoff); stdevprice=stdc(discpayoff); 12

14 b=time; c=b-a; let tempo[4,1]="ore" "MINUTI" "SECONDI" "CENT/SEC"; let fmt[2,3] = "-*.*s" 12 8 "*.*lf," 12 9; y=printfm(tempo~c,0~1,fmt); print; print "The price is: " price; print; print "Stand. Dev.: " stdevprice; retp(price,stdevprice); endp; Nel caso in cui si debbano simulare delle traiettorie per diversi asset è necessario tenere in considerazione la struttura delle correlazioni osservate nelle serie storiche. Per generare traiettorie correlate è necessario operare una trasformazione delle estrazioni indipendenti generate dalle funzioni rndn e rndu. Sia X (n 1) il vettore colonna di estrazioni da una normale standard. Il vettore rappresenta una singola simulazione di n shocks, ognuno dei quali associato ad uno degli n asset. Sia Σ la matrice varianza-covarianza degli n stock. Applicando la decomposizione di Cholesky (chol) alla matrice Σ e moltiplicando il risultato, una matrice triangolare inferiore L T (n n), per il vettore delle estrazioni indipendenti si ottiene un vettore di estrazioni correttamente correlato. La matrice (m n), contenente m estrazioni per ciascun asset, può quindi essere utilizzata nelle procedure precedentemente descritte per la simulazione delle traiettorie. Formalmente, data Σ matrice varianza-covarianza e X = [x 1, x 2,..., x n ] T con x i N(0, 1) - Calcolare L T tale che Σ = L T L con chol(σ) 13

15 - Operare la trasformazione delle variabili indipendenti X = L T X /* ESEMPIO */ sigma={4 1-2, 1 3 1, }; sigma; cs=(chol(sigma)) ; cs; sample=cs*rndn(3,3333); campio=sample ; rows(campio); meanc(campio); corrvc(sigma); corrx(campio); 14

16 Monte Carlo con riduzione della varianza La simulazione dei prezzi azionari può beneficiare delle tecniche di riduzione della varianza descritte nella dispensa precedente. L applicazione della tecnica delle variabili antitetiche al pricing delle opzioni prevede di estrarre da una normale standardizzata un campione consistente e di generare una seconda serie, a partire dalla prima, invertendone il segno. Il campione da utilizzare per la simulazione è il risultato della media di ciascuna coppia di valori. Si ricorda che, se la seconda serie è generata opportunamente, la varianza della media è inferiore alla media delle varianze per effetto della correlazione negativa. La stima del prezzo dell opzione beneficia della riduzione di varianza nel senso che la variabilità del risultato è inferiore, a parità di numerosità delle estrazioni, rispetto al tradizionale metodo Monte Carlo. In Gauss: proc (2)=simasAV(s,k,r,sigma,T,nsim); local a,drift,stdevprice,vola,estr1,estr2,payoff1; local payoff2,discpayoff,price,b,c,tempo,fmt,y; a=time; drift=(r * (sigma^2))*t; vola=sigma*sqrt(t); estr1=rndn(1,nsim); estr2=-estr1; payoff1=maxc((-k+(s.*exp(drift+vola.*estr1))) (zeros(1,nsim))); payoff2=maxc((-k+(s.*exp(drift+vola.*estr2))) (zeros(1,nsim))); 15

17 discpayoff=(exp(-r*t)).* 0.5.* (payoff1+payoff2); price=meanc(discpayoff); stdevprice=stdc(discpayoff); b=time; c=b-a; let tempo[4,1]="ore" "MINUTI" "SECONDI" "CENT/SEC"; let fmt[2,3] = "-*.*s" 12 8 "*.*lf," 12 9; y=printfm(tempo~c,0~1,fmt); print; print "The price is: " price; print; print "Stand. Dev.: " stdevprice; retp(price,stdevprice); endp; Come misura di dispersione dei risultati attorno alla media si può prendere in considerazione la standard deviation dei prezzi scontati dell opzione o alternativamente, fissando un α, l intervallo di confidenza costruito con i quantili [f α/2, f 1 α/2 ] della distribuzioni dei prezzi. L applicazione del metodo delle variabili antitetiche risulta per costruzione meno efficiente del Monte Carlo tradizionale, ma i risultati in termini di deviazione standard del prezzo dell opzione evidenziano un miglioramento nell applicazione del metodo. Si fa notare comunque che il numero delle simulazioni non è sufficiente a garantire una buona approssimazione. /* ESEMPIO (CW)*/ 16

18 {pbs,sbs}=simasbs(50,52,0.1,0.4,(5/12),4000); The price is: Stand. Dev.: {pav,sav}=simasbs(50,52,0.1,0.4,(5/12),4000); The price is: Stand. Dev.: /* Prezzo Black-Scholes */ c = EuropeanBSCall(50,52,0.1,0,(5/12),0.4); c; Si propone infine a titolo di esempio il risultato ottenuto applicando il metodo di Halton (sequenze a bassa discrepanza). Il metodo genera sequenze di estrazioni indipendenti nell itervallo [0, 1]. La trasformazione del campione generato in una distribuzione normale standardizzata può avvenire applicando diversi metodi. Nella procedura seguente si è utilizzato il metodo della trasformazione inversa che, in Gauss, si ottiene con il comando cdfni(x), dove x è un vettore di elementi compresi nell intervallo [0, 1]. Tra gli input della seguente procedura ci sono le funzioni hmh e halton1 (Dispense del corso - Parte IV) ovvero le procedure che generano le sequenze a bassa discrepanza di Halton. Si ricorda che, prima di poter richiamare la procedura simashal dal CW, le procedure hmh e halton1 devono essere compilate e residenti in memoria. proc (2)=simashal(s,k,r,sigma,T,nsim,base,&hmh,&halton1); local drift,vola,stdevprice,payoff,discpayoff,price; local hmh:proc,halton1:proc,campio,estraz; 17

19 drift=(r-0.5*(sigma^2))*t; vola=sigma*sqrt(t); estraz=hmh(&halton1,nsim,base); campio=cdfni(estraz ); payoff=maxc((-k+(s.*exp(drift+vola.*campio))) (zeros(1,nsim))); discpayoff=(exp(-r*t)).*payoff; price=meanc(discpayoff); stdevprice=stdc(discpayoff); print; print "The price is: " price; print; print "Stand. Dev.: " stdevprice; retp(price,stdevprice); endp; Si verifichino i risultati di simashal con quelli ottenuti precedentemente dalle procedure simasbs, simasav e EuropeanBScall. /* HALTON con base 7 */ {phal,shal}=simashal(50,52,0.1,0.4,(5/12),4000,7,&hmh,&halton1); The price is: Stand. Dev.:

20 /* HALTON con base 2 */ {phal,shal}=simashal(50,52,0.1,0.4,(5/12),4000,2,&hmh,&halton1); The price is: Stand. Dev.: /* HALTON con base 19 */ {phal,shal}=simashal(50,52,0.1,0.4,(5/12),4000,19,&hmh,&halton1); The price is: Stand. Dev.: Selezione del portafoglio La selezione del portafoglio affronta il problema della ripartizione delle risorse di finanziarie tra diverse possibilità di investimento con rendimento aleatorio (F.Rossi, Matematica Finanziaria, Monduzzi Editore). Uno dei metodi di selezione del portafoglio è il criterio media-varianza (E-V), proposto da Markowitz nel Il criterio ipotizza che la scelta del portafoglio sia guidata dalla massimizzazione del rendimento e dalla minimizzazione del rischio. Dato un ammontare unitario di risorse disponibili da investire in n attività, si assume che tutte le risorse siano impiegate (vincolo di bilancio) in forma matriciale n x i = 1 i=1 19

21 ( ) x 1 x 2... x n = 1 Nel caso in cui non siano ammesse vendite allo scoperto i pesi relativi a ciascun investimento devono essere compresi tra zero e uno. Non è cioè possibile investire più di una unità di risorse in alcune attività vendendo allo scoperto le altre (quote minori di zero). 0 x i 1 Data una composizione di portafoglio ripartito in n attività, il rendimento atteso di portafoglio è pari alla media dei rendimenti di ciascuna attività pesati per le rispettive quote x i. in forma matriciale R p = x 1 R 1 + x 2 R x n R n R p = ( R1 R2 Rn ) mentre la varianza di portafoglio è: x 1 x 2... x n σ 2 p = in forma matriciale n x 2 i σi i=1 n n x i x j σ i,j i=1 j=i+1 σp 2 = x Qx = ( ) x 1 x 2 x n σ11 2 σ 12 σ 1n σ 21 σ22 2 σ 2n σ n1 σnn 2 x 1 x 2... x n con σ 12 = σ 21 = ρ 12 σ 1 σ 2 Uno dei tipici problemi di programmazione quadratica relativa alla selezione del portafoglio è la minimizzazione della varianza di portafoglio, σ 2 p, dato un certo R p con vincoli di bilancio (tutte le risorse investite), vincoli di 20

22 non-negatività dei pesi (vendite allo scoperto non ammesse) ed eventualmente limiti inferiori o superiori per ciascuno dei pesi di portafoglio. Formalizzando il problema di programmazione quadratica si ha: min x Qx soggetto ai vincoli di uguaglianza: ( ) R x = a vincoli di disuguaglianza: 1 ( Rp 1 ) Comando Qprog (n 1) }{{} 1 {}}{ x cost. }{{} (1 n) (1 1) Il comando Qprog si utilizza per risolvere un problema di programmazione quadratica del tipo min 1 2 x Qx x R soggetto a vincoli di uguaglianza e/o disuguaglianza in cui le soluzioni possono essere limitate inferiormente e superiormente. Ax = B Cx D x low x x up La sintassi del comando è la seguente: {x,u1,u2,u3,u4,ret}=qprog(start,q,r,a,b,c,d,bounds) dove: INPUT: start (k 1), inizializzazione incognite q (k k), matrice simmetrica del modello 21

23 r (k 1), vettore di costanti del modello a (m k), coefficienti del vincolo di uguaglianza b (m 1), parametri del vincolo di uguaglianza c (n k), coefficienti del vincolo di disuguaglianza d (n 1), parametri del vincolo di disuguaglianza bounds (k 2) limiti inferiori (prima colonna) e superiori (seconda colonna) delle soluzioni. OUTPUT: x (k 1), vettore delle soluzioni u1 (m 1), coefficienti Lagrangiani dei vincoli di uguaglianza u2 (n 1), coefficienti Lagrangiani dei vincoli di disuguaglianza u3 (k 1), coefficienti Lagrangiani dei limiti inferiori u4 (k 1), coefficienti Lagrangiani dei limiti superiori ret 0 ottimizzazione conclusa con successo 1 numero massimo di iterazioni superato 2 precisione-macchina insufficiente per mantenere valori decrescenti della funzione da ottimizzare 3 matrici non conformabili <0 vincoli non consistenti VARIABILI GLOBALE: qprog maxit scalare, numero massimo di iterazioni /* ESEMPIO QPROG */ minr=10; 22

24 maxr=25; y=50; fronteff=zeros(y,2); returns=seqa(minr,(maxr-minr)/y,y); rendimenti={ }; Q={ , , , , }; /* var covar */ k=rows(q); start=(1/k)*ones(k,1); for o(1,y,1); rendatteso=returns[o,1]; i=zeros(k,1); h=ones(1,k); a=h rendimenti; b=1 rendatteso; c=0; d=0; bounds=0; {sol,u1,u2,u3,u4,ret}=qprog(start,q,i,a,b,c,d,bounds); fronteff[o,1]=rendimenti*sol; 23

25 fronteff[o,2]=sqrt((sol )*Q*sol); print "Rendimento di Portafoglio" fronteff[o,1]; print; print "Volatilit di Portafoglio" fronteff[o,2]; print "Soluzioni" sol; endfor; print " Rendimento Varianza"; print fronteff; Funzioni di Gauss AmericanBinomCall AmericanBinomCall Greeks AmericanBinomCall ImpVol AmericanBinomPut AmericanBinomPut Greeks AmericanBinomPut ImpVol un American Put (metodo binomiale) AmericanBSCall A AmericanBSCall Greeks AmericanBSCall ImpVol AmericanBSPut AmericanBSPut Greeks AmericanBSPut ImpVol annualtradingdays elapsedtradingdays 24

26 EuropeanBinomCall EuropeanBinomCall Greeks EuropeanBinomCall ImpVol EuropeanBinomPut EuropeanBinomPut Greeks EuropeanBinomPut ImpVol EuropeanBSCall EuropeanBSCall Greeks EuropeanBSCall ImpVol EuropeanBSPut EuropeanBSPut Greeks EuropeanBSPut ImpVol getnexttradingday getnextweekday getprevioustradingday getpreviousweekday date dtdate time Esercizi 1. Si crei una procedura che, dato il prezzo di una opzione europea (call o put), calcoli la volatilità implicita secondo il modello di Black & Scholes. (Hint: si utilizzi la funzione eqsolve e un valore iniziale di volatilità). Si verifichi quindi il risultato con le funzioni di Gauss EuropeanBSCall_ImpVol e EuropeanBSPut_ImpVol. 25

27 2. Si implementi una procedura che, utilizzando il metodo Monte Carlo, calcoli la sensitività del prezzo di un opzione europea ad una variazione infinitesimale dei fattori di rischio. Si verifichi inoltre il risultato ottenuto con le greche calcolate con B&S (EuropeanBSCall_Greeks e EuropeanBSPut_Greeks). Ripetere la verifica n volte. 3. Dopo aver scaricato 4 serie di prezzi azionari (Yahoo Finance, 400 osservazioni giornaliere), possibilmente correlate in maniera inversa, si calcolino i rendimenti, i rendimenti medi e la matrice varianza-covarianza utilizzando 3/4 delle osservazioni. Utilizzando il criterio E-V di Markovitz si determini la composizione del portafoglio a varianza minima (vincolo di bilancio, vendite allo scoperto non consentite, bounds inferiori: dato x 1 = 0.05 i pesi x i = x i con i = 2, 3,..n). opz A) Utilizzando il metodo Monte Carlo, si calcoli il Var (Value at risk) a uno, cinque e dieci giorni, al 95% e al 99% (usando la funzione quantile) e si verifichi l efficienza della stima del Var utilizzando le rimanenti osservazioni del campione. opz B) Siano date le seguenti condizioni: Capitale iniziale di dobloni, orizzonte di investimento 1 anno, massimo 6 ribilanciamenti equidistanziati, possibilità di investire al più in 4 stock (con i vincoli posti in precedenza) e in due opzioni contemporaneamente (call put lunghe o corte). Si decida la strategia di investimento con l obiettivo di massimizzare il guadagno alla fine. Si verifichi la performace dell investimento simulando le vere traiettorie degli stock con seeds forniti dal docente. 4. Utilizzando una serie storiche scaricate da Yahoo Finance si implementi una procedura per il pricing con metodo Monte Carlo per una opzione di tipo path dependent il cui payoff a scadenza: dove: max{s T K } K = T i=1 S i n 26

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