Tesi di laurea in Economia. Strategie di copertura statica sui titoli strutturati

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1 Tesi di laurea in Economia Strategie di copertura statica sui titoli strutturati Laureando: Loriano Mancini Relatore: Prof. Stefano Herzel Perugia, Luglio 1999

2 Indice 1 Introduzione 1 2 La relazione di Put-Call Symmetry Introduzione La relazione di Put-Call Symmetry Drift nullo del sottostante Volatilità simmetrica Una generalizzazione della Put-Call Symmetry Interpretazione fisica della Put-Call Symmetry Applicazione della relazione di Put-Call Symmetry alle opzioni con barriera Opzioni con Barriera In-Out Parity Hedging Statico sulle Opzioni con barriera Down & In Call Down & Out Call Up & Out Call Up & In Call Down & In Put Analisi e copertura sui Titoli Strutturati Introduzione MIB 30 KO 1998/ Caratteristiche del MIB 30 KO 1998/ Analisi del MIB 30 KO Pay off a scadenza del MIB 30 KO Influenza della volatilità sul MIB 30 KO i

3 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati ii Valore del MIB 30 KO al variare del sottostante Influenza del tasso di interesse sul MIB 30 KO Hedging Statico sul MIB 30 KO UNICREDIT REVERSE CONVERTIBLE KNOCK IN CON DIG- ITAL CALL Caratteristiche dell UNICREDIT Analisi dell UNICREDIT Pay off a scadenza dell UNICREDIT Influenza della volatilità sul l UNICREDIT Valore dell UNICREDIT 2002 al variare del sottostante Influenza del tasso di interesse sull UNICREDIT Hedging Statico sull UNICREDIT Verifica Empirica della relazione di Put-Call Symmetry e della strategia di Hedging Statico Introduzione Verifica empirica della relazione di Put-Call Symmetry Rilevazione dei dati Verifica empirica sul MIB Verifica empirica sullo Standard & Poor Verifica empirica della strategia statica di copertura Valutazione del portafoglio replicante al momento dell emissione del titolo Valutazione del portafoglio replicante quando il sottostante raggiunge la barriera Pay off del portafoglio replicante alla scadenza Conclusioni Bibliografia 107

4 Elenco delle figure 2.1 Put-Call Symmetry. Andamento del valore di una call con strike price 4 $ e di 2 put con strike price 1 $. Le opzioni sono scritte sul medesimo sottostante (σ = 40%) ed hanno vita residua di 4 anni Interpretazione fisica della Put-Call Symmetry. Distribuzione riskneutral dei prezzi finali Hedging Statico su una Down & Out Call. Il grafico A mostra una call europea con strike price pari a 100. Il grafico B mostra put con strike price Il grafico C mostra una down & out call con strike price pari a 100 e barriera Hedging Statico su un Up & Out Call. Il grafico A mostra una call europea con strike price pari a 100. Il grafico B mostra 5 up & in bond con barriera pari a 105. Il grafico C mostra un up & in put con strike price pari a 100 e barriera 110. Il grafico D mostra una call up & out con strike price 100 e barriera 105. Si noti la diversa unità di misura negli assi del grafico D MIB 30 KO. Valutazione puntuale del rendimento del MIB 30 KO Pay off del MIB 30 KO. Pay off a scadenza se il sottostante non raggiunge la barriera durante la vita dell obbligazione Pay off del MIB 30 KO. Pay off a scadenza se il sottostante tocca la barriera durante la vita dell obbligazione Influenza della volatilità sul MIB 30 KO. Analisi svolta al momento dell emissione Volatilità e MIB 30 KO. Influenza della volatilità sulle componenti del rendimento del MIB 30 KO Influenza del sottostante sul MIB 30 KO. Analisi svolta successivamente all emissione Influenza del tasso di interesse sul MIB 30 KO. Analisi compiuta al momento dell emissione iii

5 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati iv 4.8 Influenza della volatilità e del tasso di interesse sul MIB 30 KO. Analisi compiuta al momento dell emissione Hedging Statico sul MIB 30 KO. Il grafico A e il grafico B rappresentano le componenti del portafoglio replicante. Il grafico H rappresenta la valutazione puntuale del portafoglio replicante. Il valore del portafoglio replicante coincide con quello del MIB 30 KO. L ultimo grafico è l errore di approssimazione: del tutto trascurabile (10 9 ) UNICREDIT Valutazione puntuale del UNICREDIT Pay off dell UNICREDIT Pay off a scadenza se il sottostante non tocca nessuna barriera durante la vita dell obbligazione Pay off dell UNICREDIT Pay off a scadenza se il sottostante tocca la down barriera durante la vita dell obbligazione Pay off dell UNICREDIT Pay off a scadenza se il sottostante raggiunge entrambe le barriere durante la vita dell obbligazione Influenza della volatilità sull UNICREDIT Analisi svolta al momento dell emissione Volatilità e UNICREDIT Scomposizione degli effetti della volatilità sull UNICREDIT Influenza del sottostante sull UNICREDIT Analisi svolta successivamente all emissione Influenza del tasso di interesse sull UNICREDIT Analisi compiuta al momento dell emissione Influenza della volatilità e del tasso di interesse sull UNICRE- DIT Analisi compiuta al momento dell emissione Hedging Statico sull UNICREDIT Il grafico A e il grafico B mostrano la prima componente del portafoglio replicante. Il grafico C e il grafico D mostrano la seconda componente del portafoglio replicante Hedging Statico sull UNICREDIT Il grafico R mostra la terza componente del portafoglio replicante. Il grafico Z mostra la quarta componente del portafoglio replicante. Il grafico H mostra una valutazione puntuale del portafoglio replicante. Il valore del portafoglio replicante coincide con quello dell UNICREDIT Il grafico E rappresenta l errore di approssimazione: del tutto trascurabile (10 12 ) Verifica empirica sul MIB 30 KO. Valutazione di mercato del portafoglio replicante del MIB 30 KO al momento dell emissione Verifica empirica sull UNICREDIT Valutazione di mercato del portafoglio replicante dell UNICREDIT 2002 al momento dell emissione

6 Capitolo 1 Introduzione Negli ultimi anni abbiamo assistito ad una discesa lenta e graduale dei tassi di interesse. Tra le cause principali possiamo ricordare: l ingresso in Europa, la necessità di allineare i tassi di interesse interni al livello di quelli europei, la ritrovata stabilità politica, l impegno a contenere il debito pubblico. La diminuzione dei tassi di interesse si è tradotta in una minore redditività dei titoli pubblici. Di conseguenza è venuto meno l investimento remunerativo e privo di rischio in tali titoli. I risparmiatori si sono rivolti a forme alternative di impiego del loro capitale. Tra gli investimenti alternativi troviamo i titoli strutturati emessi dalle banche per la raccolta del pubblico risparmio. Tali titoli sono costruiti combinando titoli elementari quali zero coupon bond e opzioni di varia natura. Dare una definizione più accurata di titolo strutturato è molto difficile perché ogni titolo presenta caratteristiche tali da distinguerlo nettamente dagli altri. Se le componenti elementari non sono così numerose, infiniti sono i modi di combinarle. Di conseguenza ogni emissione ha una storia a sé. Per fornire un quadro generale sui titoli strutturati descriviamo le principali tipologie. Alcuni titoli legano il rendimento a tassi di interesse molto volatili tramite un meccanismo che ne amplifica le variazioni. Di conseguenza, anche modeste oscillazioni nel tasso di interesse di riferimento si traducono in ampie variazioni nel rendimento del titolo. In genere tale rendimento è negativamente correlato con le variazioni del tasso di interesse sottostante. Tali titoli vengono definiti reverse floater. Altri titoli invece legano il pay off a scadenza alla migliore performance esibita da un titolo appartenente ad un certo paniere. Un esempio è il titolo denominato Everest bond emesso dalla Société Géneral Acceptance NV il 21 ottobre 98. 1

7 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 2 Altri ancora offrono la possibilità all emittente di rimborsare il capitale in azioni (invece che in contanti) al verificarsi di certe condizioni. Una condizione ricorrente è il raggiungimento, da parte del sottostante, di un valore predeterminato al momento dell emissione. Un titolo che presenta tali caratteristiche è il Reverse convertible Security emesso dalla IMI bank Lux il 6 aprile 99. Giuridicamente l emissione di titoli strutturati costituisce un prestito obbligazionario. L elemento qualificante di tale prestito è il rendimento. Infatti, i titoli strutturati offrono un rendimento superiore ad altre forme di impiego del capitale. L alto rendimento è offerto a fronte di un rischio più elevato. Tale rischio può, ad esempio, esser dovuto alla lunghissima maturity del titolo (in alcuni casi addirittura ventennale) o al diritto dell emittente di esercitare delle opzioni a scadenza. In tale contesto emergono questioni di ordine morale. Per decenni i risparmiatori hanno acquistato titoli pubblici beneficiando di un rapporto rischio-rendimento estremamente contenuto. I risparmiatori possono non avere conoscenze tali per valutare l investimento in titoli strutturati. Dovrebbero essere adeguatamente informati sul rischio che assumeranno sottoscrivendo tali titoli. Sarebbe auspicabile una disciplina legislativa in materia. Costantemente vengono emessi nuovi titoli strutturati. Ciò riflette la concorrenza tra le istituzioni finanziarie nella raccolta del pubblico risparmio. Ogni emissione presenta nuove caratteristiche. La varietà dei titoli strutturati deriva dall esigenza di adeguarsi alle aspettative economico-finanziarie e al profilo di rischio-rendimento del singolo risparmiatore. In tal modo il risparmiatore, attratto dalle caratteristiche del titolo, accetterà l acquisto anche ad un prezzo non propriamente equo. Per l emittente ciò si tradurrà in un minor costo nella raccolta del pubblico risparmio. Una tale disomogeneità nei titoli emessi comporta un mercato secondario segmentato e inefficiente. L assenza del mercato secondario impone all acquirente di detenere il titolo fino a scadenza, per evitare perdite in conto capitale nel caso di smobilizzo anticipato. Anche in relazione a tale aspetto l acquirente del titolo dovrebbe essere adeguatamente informato. Dal punto di vista dell emittente, l emissione di un titolo strutturato comporta l assunzione di un rischio perché il rendimento che dovrà corrispondere è incerto. Tale rischio è tanto più elevato quanto più complessa è la previsione del futuro andamento del titolo. Per valutare il rischio che l emittente assume è necessaria un adeguata analisi. Occorre studiare l influenza del sottostante sul valore del titolo; conoscere in che modo variazioni nei tassi di interesse e nella volatilità si ripercuotono sul valore del titolo. Da una simile analisi si ricava un quadro

8 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 3 generale sui futuri, possibili andamenti del titolo strutturato. Di conseguenza è abbastanza agevole valutare l esposizione alla quale l emittente va incontro. Dalla medesima analisi si può anche determinare un prezzo di emissione che remuneri adeguatamente il rischio assunto dall emittente. Attualmente solo le principali istituzioni finanziarie sono in grado di prezzare e attuare una copertura soddisfacente su tali titoli. Una prudente gestione finanziaria impone che l emissione del titolo sia accompagnata da un adeguata copertura. Ciò che limita maggiormente i potenziali emittenti è la difficoltà nel realizzare una copertura finanziaria. Tale difficoltà aumenta all aumentare della complessità del titolo. A volte i titoli strutturati sono così complessi da esser definiti un prodotto di ingegneria finanziaria. In teoria una strategia dinamica di copertura, ad esempio di delta-hedging, è attuabile. In pratica risulta eccessivamente onerosa a causa dei costi di transazione e del bid-ask spread. Infatti molto spesso tali titoli presentano un Gamma 1 elevato. Tradotto in termini operativi, adottando una strategia dinamica, è necessario ricalibrare continuamente e pesantemente il portafoglio replicante. Se il problema della copertura fosse definitivamente risolto, qualsiasi istituzione finanziaria sarebbe in grado di emettere titoli strutturati. Si instaurerebbe quanto meno una concorrenza potenziale se non effettiva. Ciò andrebbe a beneficio dei risparmiatori in termini di maggiori rendimenti. Limitatamente ai titoli strutturati che includono opzioni con barriera può essere realizzata una copertura (individuando un portafoglio replicante) sulla base di una relazione definita Put-Call Symmetry. Sotto alcune ipotesi, tale relazione permette di stabilire un uguaglianza tra i prezzi di call e put europee out of the money, opportunamente standardizzate. Le ipotesi fondamentali di tale relazione sono due. La prima ipotesi prevede che il cost of carry sia nullo. Il cost of carry è definito come la differenza tra il tasso di interesse non rischioso e il tasso di dividendo del sottostante. Un cost of carry nullo impone che l evoluzione del sottostante sia descritta da un processo stocastico con drift nullo. Inoltre tale ipotesi comporta che il prezzo spot del sottostante sia pari al prezzo forward. La seconda ipotesi riguarda una condizione di simmetria sulla funzione di volatilità. Tale ipotesi è un tentativo di generalizzazione rispetto al modello di Black & Scholes 2 (dove la volatilità è assunta costante). 1 Per una discussione sulle greche si veda, tra gli altri, Björk [5]. 2 Si veda Black & Scholes [4].

9 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 4 Per comprendere i limiti e le potenzialità di tale strategia è necessario conoscere la relazione di Put-Call Symmetry, valutandone la significatività e il peso delle ipotesi su cui si basa. Individuare il portafoglio replicante, dei titoli strutturati che includono opzioni con barriera, può risultare complesso: dipende dalla struttura del titolo. Per comprendere come si ottiene il portafoglio replicante è opportuno studiare l applicazione della relazione di Put-Call Symmetry direttamente alle opzioni con barriera. In tale contesto emerge chiaramente il meccanismo tramite il quale tale relazione permette di individuare il portafoglio replicante. Affinché la copertura sia corretta, tale relazione deve esser verificata la prima volta che il sottostante raggiunge la barriera. La copertura realizzabile tramite la relazione di Put-Call Symmetry è una copertura statica 3. Tale copertura consiste nell acquistare un portafoglio replicante al momento dell emissione del titolo. Se il sottostante raggiunge la barriera prima della scadenza, si liquida il portafoglio replicante; in caso contrario non si interviene affatto sul mercato. Una strategia di copertura statica presenta dei vantaggi. Innanzitutto la semplicità di attuazione. Inoltre permette di superare le difficoltà di una copertura dinamica, i costi di transazione che ne derivano, l impegno nel ricalibrare il portafoglio e il monitoraggio continuo della posizione. Da un punto di vista teorico la strategia di copertura statica, basata sulla relazione di Put-Call Symmetry, non presenta particolari difficoltà. Tuttavia prima di adottarla realmente è necessaria una verifica empirica. In primo luogo, la verifica deve riguardare la relazione di Put-Call Symmetry valutando, ai prezzi di mercato, le opzioni europee che costituiscono tale relazione. In secondo luogo, la verifica empirica deve riguardare il portafoglio replicante. Anche tale portafoglio deve esser valutato ai prezzi di mercato: al momento dell emissione, quando il sottostante tocca la barriera e alla scadenza del titolo. Affinché la strategia sia attuabile il valore del portafoglio, in tali istanti, deve risultare non minore del valore del titolo. Il lavoro che abbiamo svolto è strutturato nel modo seguente. Nel capitolo 2 è esposta la relazione di Put-Call Symmetry e le ipotesi su cui si basa. Tali ipotesi sono ampiamente discusse e analizzate. Sempre nel capitolo 2 è riportata la dimostrazione della relazione di Put-Call Symmetry dovuta a Carr [13]. 3 Si veda Carr e Chou [12] e Chou e Georgiev [15].

10 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 5 Essendo piuttosto restrittiva l ipotesi di drift nullo è stata ottenuta una generalizzazione della relazione di Put-Call Symmetry che rimuova tale ipotesi. È riportata la relativa dimostrazione. Il capitolo si conclude con un interpretazione fisica della relazione di Put- Call Symmetry. Tale interpretazione consiste nell immaginare la distribuzione dei prezzi finali disposta sopra un asse. Modificando opportunamente tale distribuzione, la relazione di Put-Call Symmetry è verificata quando l asse è in equilibrio. Tale interpretazione aiuta a comprendere la relazione in questione. Nel capitolo 3 sono introdotte le opzioni con barriera. È analizzata l applicazione della relazione di Put-Call Symmetry a tali opzioni. È individuato il portafoglio di hedging statico sulle opzioni con barriera ed è descritta l attuazione della strategia statica di copertura. Tale strategia consiste nel liquidare il portafoglio replicante se il sottostante tocca la barriera; altrimenti non intervenire sul mercato. Nel capitolo 4 sono analizzati due titoli strutturati emessi dalla Cassa di Risparmio di Perugia: il MIB 30 KO e l UNICREDIT REVERSE CONVER- TIBLE KNOCK IN con DIGITAL CALL Entrambi i titoli includono opzioni con barriera. È studiato il pay off a scadenza, l influenza della volatilità, del sottostante e del tasso di interesse sul valore del titolo. È individuato il portafoglio di hedging statico ed è descritta l attuazione della strategia di copertura. Il capitolo 5 riguarda la verifica empirica della strategia di copertura. Tale verifica è stata possibile grazie alla collaborazione della Cassa di Risparmio di Perugia. Lo scopo di tale collaborazione è l emissione, da parte della Cassa di Risparmio di Perugia, di un titolo strutturato sul quale realizzare l hedging statico, tramite la relazione di Put-Call Symmetry. Il capitolo è suddiviso in due parti. La prima parte riguarda la verifica empirica della relazione di Put-Call Symmetry. Tale verifica è stata condotta sul MIB 30 e sullo S&P 500. È descritta la rilevazione dei dati, le elaborazioni effettuate e i risultati ottenuti. Vedremo che, secondo la relazione di Put-Call Symmetry, le opzioni put hanno un valore di mercato superiore a quello teorico. Discuteremo una possibile interpretazione del risultato ottenuto. La seconda parte riguarda la verifica empirica della strategia di hedging statico. La verifica consiste nella valutazione, secondo i prezzi di mercato, del portafoglio replicante: al momento dell emissione, quando il sottostante tocca la barriera e alla scadenza del titolo. La strategia di copertura è attuabile se, in tali istanti, il valore del portafoglio risulta non minore del valore del titolo.

11 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 6 Nel capitolo 5 sono inoltre descritti gli aspetti del mercato dei titoli derivati che interessano ai fini della verifica empirica condotta. In questa sede si desidera ringraziare il personale docente e non docente dell Istituto di Matematica Generale e Finanziaria. Un ringraziamento del tutto particolare va al relatore il Prof. Stefano Herzel per la sua disponibilità e per avermi dato l opportunità di lavorare con lui. Un ringraziamento al Dr. Saverio Bombelli per i suggerimenti sulle opzioni con barriera. Infine, un ringraziamento alla Cassa di Risparmio di Perugia, in particolare al Dr. Gianni Za, al Dr. Francesco Vitali e al Dr. Antonio Mauceri per la disponibilità e la collaborazione accordatami.

12 Capitolo 2 La relazione di Put-Call Symmetry 2.1 Introduzione In questo capitolo esaminiamo la relazione di Put-Call Symmetry dimostrata da Carr [13]. Tale relazione permette di ottenere un uguaglianza tra una call e una put con diversi strike price. Essa si basa su un ipotesi di cost of carry nullo che in alcuni casi reali può risultare non verificata. Per questo motivo abbiamo ricavato una generalizzazione che rimuova tale ipotesi. Tale generalizzazione è stata ottenuta nell ambito del modello di Black & Scholes. Il capitolo è strutturato nel modo seguente. Il secondo paragrafo espone la relazione Put-Call Symmetry, le ipotesi sottostanti e la relativa dimostrazione. Il terzo paragrafo riporta una generalizzazione della Put-Call Symmetry. Il quarto paragrafo illustra un interpretazione fisica della Put-Call Symmetry. 2.2 La relazione di Put-Call Symmetry In questo paragrafo esponiamo la relazione di Put-Call Symmetry. Sia S 0 il prezzo a pronti (o spot) all istante attuale del sottostante delle opzioni. Sia F 0 il prezzo a termine (o forward) del sottostante stipulato in 0, per consegna in T. Sia σ la volatilità del sottostante e g il tasso di dividendo (o dividend yield). Sia r il tasso di interesse non rischioso (o risk-free). Siano K c e K p rispettivamente lo strike price di un opzione call e di un opzione put. I prezzi dei titoli 7

13 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 8 e delle opzioni sono riferiti all istante attuale t = 0. Sia C(S 0, K c ) il prezzo di un opzione call scritta sul sottostante S, con strike price K c e vita residua (o time to maturity) τ. Sia P (S 0, K p ) il prezzo di un opzione put scritta sul sottostante S, con strike price K p e vita residua τ. In questo lavoro le opzioni e i titoli a cedola nulla hanno sempre la medesima scadenza 1 T. Le opzioni sono scritte sul medesimo sottostante. Valgono le usuali ipotesi di mercato perfetto 2. Assumiamo inoltre le seguenti ipotesi: 1. l evoluzione del sottostante è governata da un processo di diffusione con drift nullo secondo la probabilità risk-neutral, 2. una funzione di volatilità simmetrica rispetto al valore corrente del sottostante. Esaminiamo in dettaglio le ipotesi di cui sopra Drift nullo del sottostante Il processo stocastico che descrive l evoluzione del sottostante è un processo di diffusione. Tale processo è caratterizzato dalle seguenti proprietà: 1. continuità delle traiettorie, 2. markovianità. La markovianità indica che tutte le informazioni ottenibili dai prezzi passati sono ricavabili dal prezzo all istante attuale. La relazione di Put-Call Symmetry richiede che il processo di diffusione abbia drift nullo secondo la probabilità risk-neutral. Formalmente ciò è espresso dalla (2.1). ds S = 0dt + σdw, (2.1) dove W è il moto Browniano. 1 Quando le opzioni hanno la medesima scadenza e strike price diversi, la strategia di copertura che ne deriva è definita vertical replication. Per approfondimenti si veda Chou e Georgiev [15]. 2 Si veda tra gli altri Moriconi [37].

14 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 9 Il cost of carry di un titolo è definito come differenza tra il tasso di interesse non rischioso e il tasso di dividendo del titolo. L ipotesi di drift nullo equivale ad assumere che il cost of carry sia nullo. Per opzioni scritte su un singolo titolo tale ipotesi è verificata se il tasso di dividendo è uguale al tasso di interesse non rischioso. Per opzioni scritte sul tasso di cambio (spot) tale assunzione richiede che il tasso di interesse estero sia uguale al tasso di interesse domestico. Tale ipotesi implica che l opzione scritta sul prezzo spot abbia lo stesso valore di un opzione scritta sul prezzo forward. Infatti, Proposizione 2.1 l ipotesi di cost of carry nullo implica che il prezzo spot del sottostante sia uguale al prezzo forward. Dimostrazione. Sia B 0 il prezzo all istante attuale di un titolo che paga 1 $ a scadenza e con vita residua τ. Formalmente B 0 = e rτ. Sia D 0 il valore all istante attuale dei dividendi pagati dal sottostante nell intervallo di tempo τ. Formalmente D 0 = e gτ. L ipotesi di cost of carry nullo implica che il tasso di interesse (r) sia uguale al tasso di dividendo (g). Ciò implica che B 0 = D 0. (2.2) Per l assenza di arbitraggi non rischiosi deve risultare: F 0 = S 0D 0 B 0. (2.3) Sostituendo la (2.2) nella (2.3) si ha: F 0 = S 0.

15 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 10 Esponiamo ora una conseguenza dell ipotesi di drift nullo, rilevante ai fini della copertura sulle opzioni con barriera. Quando il sottostante paga dividendi la relazione di Put-Call Parity è la seguente: C(S 0, K) P (S 0, K) = S 0 D 0 KB 0. (2.4) Sostituendo la (2.2) nella (2.4) e raccogliendo si ha: C(S 0, K) P (S 0, K) = [S 0 K]B 0. (2.5) La (2.5) sarà utilizzata per dimostrare la validità della copertura statica sulle opzioni con barriera. In merito all ipotesi di drift nullo è opportuno rilevare quanto segue: Proposizione 2.2 se le opzioni sono scritte sul prezzo forward (o future) del sottostante allora l ipotesi di drift-nullo è rispettata. Dimostrazione. Supponiamo che il sottostante non paghi dividendi. Per l assenza di arbitraggio il prezzo forward è dato da: F = S/B. Nella notazione tralasciamo l indicazione dell istante temporale poiché i prezzi sono riferiti al medesimo istante. Assumiamo che e ds/s = µdt + σdw db/b = rdt. Il differenziale del prezzo forward è df = ds B S db B 2 = ds B S B db B = S [ ds B S db B ].

16 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 11 Sostituendo al differenziale del sottostante e dello zero coupon bond le rispettive definizioni si ha df = F [µdt + σdw rdt]. Sotto la condizione risk-neutral la variazione relativa (infinitesima) del prezzo forward diviene: df = F [rdt + σdw rdt] = F [0dt + σdw ], ovvero un processo stocastico con drift nullo. Nella trattazione che segue assumeremo che il cost of carry sia nullo Volatilità simmetrica Un altra ipotesi della relazione di Put-Call Symmetry è una funzione di volatilità simmetrica. Per analizzare tale ipotesi è necessario estendere la notazione fin qui adottata. Sia t = 0 l istante di emissione dell opzione. Sia t = T la scadenza dell opzione. Sia S t il prezzo del sottostante all istante t, con t [0, T ]. Sia S 0 il valore corrente del sottostante. Assumiamo che la volatilità del sottostante sia una funzione nota di due variabili: 1. il valore dell underlying (S t ), 2. l istante di valutazione (t). La condizione di simmetria imposta sulla volatilità è la seguente: ( ) S 2 σ(s t, t) = σ 0, t, (2.6) S t per ogni S t 0 e t [0, T ]. L interpretazione della (2.6) è la seguente: in ogni istante futuro, la volatilità è assunta essere la medesima per ogni coppia di prezzi (S t e S 2 0 /S t) la cui media geometrica sia il valore corrente del sottostante. Infatti, S t S 2 0 S t = S 0.

17 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 12 Osservazione 2.1 La (2.6) è verificata nel modello di Black & Sholes [4] dove la volatilità è costante. È rispettata anche nel modello di Black [3] dove la volatilità dipende solo da t: σ(s t, t) = σ(t). La simmetria della funzione di volatilità emerge quando si costruisce un grafico di σ in funzione di X t log(s t /S 0 ). Ponendo v(x t, t) σ(s t, t) la condizione equivalente alla (2.6) è: v(x, t) = v( x, t) (2.7) per ogni x R e t [0, T ]. La condizione di simmetria è soddisfatta anche in modelli con volatility smile simmetrica rispetto al log(k/s t ) e in modelli con volatility frown o con andamenti ancor più complessi. Illustriamo ora la relazione di Put-Call Symmetry. La relazione di Put-Call Symmetry afferma che Put-Call Symmetry: se il processo S soddisfa la (2.1) e la funzione di volatilità soddisfa la (2.6) allora C(S t, K c ) Kc = P (S t, K p ) Kp (2.8) essendo Kc K p = S t. Dimostrazione. Secondo la distribuzione di probabilità risk-neutral, il processo stocastico del prezzo forward è ds t S t = σ(s t, t) dw t. (2.9)

18 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 13 Sia B 0 il prezzo al tempo 0 di un titolo che paga 1 $ in T. Siano inoltre C(S 0, K) e P (S 0, K) rispettivamente il valore iniziale al tempo t = 0 di una call e una put europea con strike price K e maturity T. Siano e G c (K, T ) B 1 0 C(S 0, K) G p (K, T ) B 1 0 P (S 0, K) i rispettivi prezzi forward di tali opzioni quotati al tempo t = 0 per consegna in T. Ora mostriamo che entrambi i prezzi forward delle opzioni soddisfano la seguente equazione differenziale alle derivate parziali: σ 2 (K, T )K 2 2 G G (K, T ) = (K, T ), K > 0, T > 0. (2.10) 2 K2 T Supponiamo che l istante di valutazione e il valore forward del sottostante restino immutati. La (2.10) esprime la variazione del valore forward dell opzione causata da una variazione nello strike price e nella maturity. Tale risultato e la relativa dimostrazione sono dovuti a Dupire [22]. Dimostriamo ora che il prezzo forward di una call soddisfa la (2.10). È noto che il prezzo forward di una call è dato dal pay off atteso sotto l equivalente misura di martingala: G c (K, T ) = K (S T K) p(s T, T ; S 0, 0) ds T, (2.11) dove p(s T, T ; S 0, 0) è la densità di transizione del prezzo a pronti e indica la densità di probabilità che il prezzo a pronti passi da S 0 al tempo 0 a S T al tempo T. L equazione forward di Kolmogorov che governa questa densità è la seguente: K 2 [σ2 (K, T )K 2 p(k, T ; S 0, 0)] = con K > 0, T > 0. Differenziando la (2.11) due volte rispetto a K si ottiene T p(k, T ; S 0, 0), (2.12) 2 G c (K, T ) K 2 = p(k, T ; S 0, 0). (2.13)

19 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 14 Sostituendo la (2.13) nell equazione di Kolmogorov si ha 1 2 [ ] 2 K 2 σ 2 (K, T )K 2 2 G c (K, T ) K 2 = 2 G c (K, T ) T K 2, (2.14) con K > 0, T > 0. Integrando due volte rispetto a K otteniamo il risultato desiderato. La medesima dimostrazione si applica alla put europea. Il prezzo forward della call G c (K, T ) è l unica soluzione della (2.10) soggetta ai seguenti vincoli: 1. G c (K, 0) = max[s 0 K, 0], K > 0; 2. lim K G c (K, T ) = 0, T > 0; 3. lim K 0 G c (K, T ) = S 0, T > 0. Analogamente, il prezzo forward della put G p (K, T ) è l unica soluzione della (2.10) soggetta ai seguenti vincoli: e 1. G p (K, 0) = max[k S 0, 0], K > 0; 2. lim K G p (K, T ) K, T > 0; 3. lim K 0 G p (K, T ) = 0, T > 0. Siano u c (x, T ) G c (K, T )(KS 0 ) 1/2 u p (x, T ) G p (K, T )(KS 0 ) 1/2 rispettivamente i valori forward normalizzati della call e della put, espressi come funzione di x log(k/s 0 ) e della maturity T. Tali valori normalizzati risolvono entrambi la seguente equazione differenziale alle derivate parziali: dove v 2 (x, T ) 2 2 u x 2 (x, T ) v2 (x, T ) 8 u(x, T ) = u (x, T ), (2.15) T x (, ), T > 0

20 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 15 e v(x, T ) σ(s 0 e x, T ). v(x, T ) è la volatilità espressa come funzione di x e T. Il valore forward normalizzato della call u c (x, T ) è l unica soluzione dell equazione (2.15) soggetta ai seguenti vincoli: 1. u c (x, 0) = max[e x/2 e x/2, 0], x R; 2. lim x u c (x, T ) = 0, T > 0; 3. lim x u c (x, T ) = e x/2, T > 0. Analogamente, il valore forward normalizzato della put u p (x, T ) è l unica soluzione dell equazione (2.15) soggetta ai seguenti vincoli: 1. u p (x, 0) = max[e x/2 e x/2, 0], x R; 2. lim x u p (x, T ) e x/2, T > 0; 3. lim x u p (x, T ) = 0, T > 0. La condizione di simmetria sulla volatilità è la seguente: v 2 (x, T ) = v 2 ( x, T ), per ogni x R e per ogni T > 0. Data questa condizione di simmetria, u c (x, T ) e u p (x, T ) soddisfano i medesimi vincoli e sono perciò uguali: u c (x, T ) = u p (x, T ), per ogni x R e per ogni T > 0. Sostituendo a u c (x, T ) e u p (x, T ) le rispettive definizioni si ha dove G c (K c, T )(K c S 0 ) 1/2 = G p (K p, T )(K p S 0 ) 1/2, (K c K p ) 1/2 = S 0. Moltiplicando ambo i membri per S 1/2 0 B 0 otteniamo il risultato desiderato: C(S 0, K c )K 1/2 c = P (S 0, K p )K 1/2 p.

21 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 16 La (2.8) può essere riformulata nei termini seguenti: C(S t, K c ) = K ( ) c P S t, S2 t. (2.16) S t K c Isolando al primo membro il prezzo della call, dalla (2.8) si ha: C(S t, K c ) = Kc Kp P (S t, K p ). (2.17) Essendo Kc K p = S t, Kp = S t Kc K p = S2 t K c. Sostituendo nella (2.17) la definizione di K p di cui sopra otteniamo la (2.16). L utilizzo di tale relazione è più immediato rispetto alla (2.8). Per chiarire l applicazione della (2.16) proponiamo il seguente esempio: Esempio 2.1 Supponiamo di avere una call con strike price 4 $. Supponiamo che il valore corrente del sottostante sia 2 $. Applicando la (2.16) otteniamo che 2 put con strike price 1 $ hanno lo stesso prezzo della call: C(2, 4) = 2 P (2, 1). Infatti, lo strike price della put risulta: K p = S2 0 = 22 K c 4 e il numero di put è dato da K c S 0 = 4 2. La rappresentazione grafica è riportata in figura 2.1.

22 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 17 Figura 2.1: Put-Call Symmetry. Andamento del valore di una call con strike price 4 $ e di 2 put con strike price 1 $. Le opzioni sono scritte sul medesimo sottostante (σ = 40%) ed hanno vita residua di 4 anni. Osservazione 2.2 Riprendiamo l esempio 2.1. La media geometrica degli strike price è Kc K p = 4 1 = 2. Come si evince dalla (2.8) e dalla figura 2.1, la relazione di Put-Call Symmetry è verificata solo quando il sottostante è pari alla media geometrica dello strike price della put e della call. In corrispondenza di tale valore sia la call che la put sono out of the money. Infatti, K p < S 0 < K c. La relazione di Put-Call Symmetry può esser vista sia come un estensione che una restrizione della Put-Call Parity. È un estensione perché gli strike price della put e della call possono non coincidere. Nel caso particolare in cui siano uguali si riottiene la Put-Call Parity.

23 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 18 È una restrizione perché l evoluzione del sottostante deve avvenire secondo un processo stocastico con drift nullo e struttura simmetrica della volatilità. Di seguito riportiamo una generalizzazione della relazione di Put-Call Symmetry. Tale generalizzazione rimuove l ipotesi di drift nullo. 2.3 Una generalizzazione della Put-Call Symmetry La relazione di Put-Call Symmetry si basa su due ipotesi: 1. volatilità simmetrica, 2. drift nullo del sottostante. La prima ipotesi non risulta particolarmente restrittiva. L andamento della funzione che descrive la volatilità può essere complicato quanto si vuole, purché sia simmetrico rispetto al valore corrente del sottostante. L ipotesi di drift nullo è invece piuttosto forte. Nella realtà è quasi sempre violata. Si pensi al diverso rendimento tra titoli pubblici e azionari o alla mancata convergenza dei tassi di interesse nei vari Paesi 3. Pertanto ci siamo concentrati sulla rimozione di tale ipotesi. Il termine generalizzazione è in realtà improprio perché la rimozione dell ipotesi drift-nullo è stata ottenuta nell ambito del modello di Black & Scholes. In tale modello la volatilità è costante. Tale ipotesi è più restrittiva di quella assunta nella relazione di Put-Call Symmetry. Tuttavia l aver ottenuto una generalizzazione in tale ambito non è un risultato del tutto trascurabile dato che il modello di Black & Scholes è quello più applicato nel mercato dei derivati. Per semplificare l esposizione, supponiamo che le opzioni siano scritte su un titolo azionario con dividend yield pari a zero. La relazione di Put-Call Symmetry è rispettata se il processo stocastico ha drift nullo. Ciò implica che il tasso di interesse sia pari a zero. Proposizione 2.3 Se il tasso di interesse è maggiore del dividend yield allora la relazione di Put-Call Symmetry è violata. All aumentare del tasso di interesse aumenta il valore delle call e diminuisce il prezzo delle put. 3 Ciò ha rappresentato un ostacolo formidabile nella costituzione dell Unione Monetaria Europea, affrontato con l adozione di severi patti di stabilità.

24 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 19 Dimostrazione. e Sia 4 Sia inoltre, ρ c = r C(S t, K c ) ρ p = r P (S t, K p ). N(x) = x 1 x e x2 /2 dx = ϕ(x)dx. 2π Rappresentiamo la relazione di Put-Call Symmetry (2.16) come differenza. D = C(S t, K c ) K ( ) c P S t, S2 t. (2.18) S t K c Rispettivamente, con d 1,2 e d 1,2 indichiamo i coefficienti della normale cumulata nel prezzo della call e nel prezzo della put secondo Black & Scholes. Deriviamo la (2.18) rispetto ad r. D r = ρ c K c S t ρ p = K τ e rτ N(d 2 ) K c S t ( τ)e rτ S2 t K c N( d 2 ). Semplificando si ha D r = K τ e rτ N(d 2 ) + τe rτ S t N( d 2 ) > 0, per ogni valore di S t, K c, r, σ e τ. Ciò dimostra che, dato un tasso di dividendo nullo, se il tasso di interesse è positivo allora le call hanno un prezzo più elevato delle put. Osservazione 2.3 In generale, assumendo un tasso di dividendo positivo se il tasso di interesse è maggiore del tasso di dividendo allora la (2.18) è positiva; 4 Per ulteriori approfondimenti sulle greche ro (ρ c e ρ p) si può vedere tra gli altri Björk [5].

25 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 20 se invece il tasso di interesse è minore del tasso di dividendo allora la (2.18) è negativa. Una generalizzazione della Put-Call Symmetry nel modello di Black & Scholes è la seguente: Put-Call Symmetry Generalizzata: Dati mercati perfetti, assenza di arbitraggi, moto Browniano Geometrico del sottostante, volatilità e intensità istantanea di interesse costanti e cost of carry non necessariamente nullo vale la seguente relazione: C(S t, K c ) = K c S t e rτ P Dimostrazione. ( ) S t, S2 t e 2rτ. (2.19) K c Per semplificare la notazione tralasciamo la dipendenza del prezzo delle opzioni da S t, K c e K p. Indichiamo con η il numero di put, η = K c S t e rτ e con K p lo strike price delle put, K p = S2 t K c e 2rτ. Ricordando che ρ c = C r = K c(t t)e r(t t) N(d 2 ), se mostriamo che r (η P ) = ρ c, abbiamo concluso la dimostrazione. Derivando (η P ) rispetto ad r si ha: r (η P ) = K c τe rτ K c P + rτ P e S t S t r

26 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 21 con P r = { } e rτ S2 t e 2rτ N( r K d 2 ) S t N( d 1 ). c L intera dimostrazione si basa sulle seguenti simmetrie : e d 1 = d 2 d 2 = d 1. Infatti si ha ovvero, d 1 = log[s t(st 2K 1 c e 2rτ ) 1 ] + (r + σ 2 /2)τ σ τ log(k c/s t ) 2rτ + (r + σ 2 /2)τ σ τ d 1 = log(s t/k c ) + 2rτ (r + σ 2 /2)τ σ τ = d 2. Per non appesantire l esposizione non mostriamo come d 2 sia uguale a d 1 : i passaggi algebrici sono del tutto analoghi. Sostituendo a P la sua definizione in termini di d 1 e d 2 ( e non d 1 e d 2 ) si ottiene dove + K c S t e rτ { e rτ S2 t r (η P ) = K c τe rτ S t { τ S2 t e rτ N(d 1 ) + S2 t e rτ K c K c ϕ(x) = 1 2π e x2 /2. Semplificando = } e 2rτ N(d 1 ) S t N(d 2 ) K c } τ σ ϕ(d 1) S t r (η P ) = S t τn(d 1 ) + Kτe rτ N(d 2 ) + τs t N(d 1 ) { } τ τ + S t σ ϕ(d 1) K c e rτ σ ϕ(d 2)., τ σ ϕ(d 2) ;

27 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 22 Se mostriamo che l ultimo addendo è pari a zero abbiamo terminato la dimostrazione perché r (η P ) = Kτe rτ N(d 2 ) = ρ c. Dato che d 2 = d 1 σ τ, d 2 2 = d σ 2 τ 2σ τd 1. Sostituendo a ϕ(x) la sua definizione, l ultimo addendo sarà pari a S t τ σ 1 e d2 1 τ /2 K c e rτ 2π σ 1 2π e( d2 1 /2 τσ2 /2+σ τd1 ). Raccogliendo e sostituendo a d 1 la sua definizione si ha τ σ { ( ( ) S t K c e rτ exp [ σ2 2 τ + St log + rτ + σ2 K c 2 τ Svolgendo i calcoli nell esponenziale si ottiene { τ 1 e d2 1 /2 S t K c e rτ S } t e rτ = 0. σ 2π K c 1 2π e d2 1 /2 ) 1 σ τ σ τ ]}. Abbiamo così dimostrato che la derivata rispetto ad r della Put-Call Symmetry generalizzata, espressa come differenza, è pari a zero. Tuttavia, ciò implica che tale differenza sia costante e non che sia nulla. In realtà, la Put-Call Symmetry impone che tale differenza sia nulla per r = 0. Siccome la dimostrazione precedente vale per ogni r, concludiamo che la differenza in questione è sempre nulla. Il limite principale della (2.19) è l impossibilità di impiegarla nell hedging statico. Il numero e lo strike price delle put dipendono dal time to maturity (τ). Tale variabile diminuisce per il semplice trascorrere del tempo. Il portafoglio di put deve essere ricalibrato affinché la (2.19) sia ancora rispettata. È necessario sostituire put con strike price sempre più bassi acquistate in quantità via via crescenti. Ricalibrare in tal senso un portafoglio non è eccessivamente complesso, tuttavia l hedging statico è definitivamente compromesso.

28 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati Interpretazione fisica della Put-Call Symmetry In questo paragrafo esponiamo una interpretazione fisica della Put-Call Symmetry. Prima di affrontare tale questione, analizziamo la relazione di Put-Call Parity in tale contesto. Immaginiamo il grafico della distribuzione risk-neutral dei prezzi finali. Supponiamo che l asse delle ascisse sia posto sopra un cuneo con l obiettivo di trovarne il baricentro. Lo scopo sarà raggiunto bilanciando il prodotto tra densità e distanza dal baricentro dei prezzi finali. In termini formali il baricentro (B) si otterrà risolvendo B = + 0 S T ˆp (S T ) ds T, essendo ˆp(S T ) la funzione di densità risk-neutral di S T. In altri termini, il baricentro sarà dato dal valore atteso del sottostante in T secondo la probabilità riskneutral. Tale valore corrisponde al prezzo corrente del sottostante S 0. Ciò rispecchia la struttura a martingala del processo stocastico che governa l evoluzione del sottostante. Indicando con Êt(x) il valore atteso della variabile casuale x secondo la condizione risk-neutral si ha: Ê t (S t+τ ) = S t, con τ 0 e per ogni istante t. Sommando il prodotto densità-distanza alla destra del cuneo otteniamo il prezzo (forward) della call europea, C f, con strike price uguale al prezzo corrente del sottostante, ovvero C f = + S 0 (S T S 0 ) ˆp(S T ) ds T = Ê (S T S 0 ) +, (2.20) dove Ê(x)+ è il valore atteso secondo la probabilità risk-neutral, limitato ai valori positivi della variabile causale x. Analogamente, sommando il prodotto densitàdistanza alla sinistra del cuneo otteniamo il prezzo (forward) di una put europea at the money, P f. In formula: P f = S0 0 (S 0 S T ) ˆp(S T ) ds T = Ê (S 0 S T ) +. (2.21) Proposizione 2.4 I prezzi forward della call e della put come definiti nella (2.20) e nella (2.21) si uguagliano.

29 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 24 Dimostrazione. La (2.20) può essere riformulata nel modo seguente: + C f = + S 0 S T ˆp(S T ) ds T S 0 S 0 (S T S 0 ) ˆp(S T ) ds T = + S 0 ˆp(S T ) ds T. La (2.21) invece può essere riformulata come segue: P f = S0 S0 S 0 ˆp(S T ) ds T 0 0 (S 0 S T ) ˆp(S T ) ds T = S0 0 S T ˆp(S T ) ds T. Sottraendo al prezzo forward della put il prezzo forward della call e riordinando si ha: S0 + P f C f = S 0 ˆp(S T ) ds T + S 0 da cui si ottiene 0 S0 0 S T ˆp(S T ) ds T P f C f = S 0 ˆp(S T ) ds T 0 S 0 ˆp(S T ) ds T S 0 S T ˆp(S T ) ds T ; S T ˆp(S T ) ds T = S 0 S 0 = 0. Poiché i prezzi forward delle opzioni coincidono, sulla base di semplici argomentazioni di arbitraggio, anche i prezzi spot dovranno coincidere. Ciò conclude l interpretazione fisica della Put-Call Parity. Affrontiamo ora l interpretazione fisica della Put-Call Symmetry. Per facilitare l esposizione riprendiamo l esempio 2.1. La relazione di Put-Call Symmetry implica che il prezzo di una call con strike price 4 $ ha due volte il valore di una put con strike price 1 $. Lo strike price della call è pari al doppio del prezzo forward corrente 2 $. Lo strike price della put è invece pari alla metà del prezzo forward corrente.

30 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 25 Figura 2.2: Interpretazione fisica della Put-Call Symmetry. Distribuzione risk-neutral dei prezzi finali. Immaginiamo che l asse delle ascisse sia posto su due cunei, uno alla metà del prezzo forward corrente (1 $) e l altro al doppio del prezzo forward corrente (4 $), come rappresentato nella figura 2.2. La somma dei prodotti densità-distanza al di sopra del cuneo destro ci dà il prezzo forward della call. Analogamente, la somma dei prodotti densità-distanza al di sotto del cuneo sinistro ci dà il prezzo forward della put. Se rimuoviamo la densità tra i cunei, l asse si inclinerà verso destra a causa del maggior peso della call. Raddoppiando la densità alla sinistra del cuneo situato al 50% di S 0 si riporterà l asse in equilibrio. In altri termini, due put come sopra definite hanno lo stesso valore di una call. Nel prossimo capitolo verrà applicata la relazione di Put-Call Symmetry alle opzioni con barriera.

31 Capitolo 3 Applicazione della relazione di Put-Call Symmetry alle opzioni con barriera 3.1 Opzioni con Barriera La relazione di Put-Call Symmetry permette di realizzare una copertura statica sulle opzioni con barriera. Tali opzioni si diversificano da quelle europee per la presenza di una barriera. La barriera è un livello del sottostante predefinito al momento dell emissione. Se il sottostante raggiunge tale livello, prima della scadenza dell opzione, si ha un radicale cambiamento nel valore dell opzione. In relazione alla tipologia della barriera possiamo suddividere le opzioni in due classi: 1. opzioni knock out: all emissione sono opzioni europee e perdono ogni valore se il sottostante tocca la barriera; 2. opzioni knock in: consentono al possessore di ricevere un opzione europea solo se il sottostante tocca la barriera. Considerando il livello della barriera in relazione al sottostante distinguiamo: 1. opzioni down & in (o down & out) quando la barriera è inferiore al valore iniziale del sottostante; 2. opzioni up & in (o up & out) quando la barriera è superiore al valore iniziale del sottostante. 26

32 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 27 In definitiva, esistono otto tipi di opzioni con barriera: call down & in o out, call up & in o out, put down & in o out e put up & in o out. La giustificazione economico-finanziaria delle opzioni con barriera è il minor costo rispetto alle opzioni europee. Infatti, grava sulle opzioni con barriera il rischio di finire knock out o di non risultare knock in. Tale rischio può pregiudicare il pay off a scadenza. Un esempio chiarirà l ambito di applicazione delle opzioni con barriera. Supponiamo che un risparmiatore preveda un aumento nel prezzo delle azioni FIAT. In altri termini ritiene improbabili dei livelli di prezzo particolarmente bassi. Potrebbe acquistare una down & out call che escluda quei livelli di prezzo. In termini espressivi possiamo aggiungere che l investitore acquistando tale opzione non dovrà pagare per livelli di prezzo che non ritiene probabili. Le prime opzioni con barriera furono trattate nel Lo scopo era concedere ai risk-manager uno strumento finanziario col quale coprire le loro esposizioni senza pagare per dei livelli di prezzo che ritenevano inverosimili. Il pay off delle opzioni con barriera dipende: 1. dal valore finale del sottostante, 2. dai valori che il sottostante assume durante la vita dell opzione. Da ciò discende la definizione di opzione path dependent. Le opzioni europee sono invece definite opzioni path independent. Infatti, il loro pay off finale non dipende dall evoluzione del sottostante. Analizziamo infine il pricing delle opzioni con barriera. In realtà, non è oggetto di questo lavoro la valutazione analitica delle opzioni con barriera. Tuttavia, senza entrare nel dettaglio, è possibile comprendere come si giunge alla formula chiusa che ne esprime il valore. Come per le opzioni europee, vale la rappresentazione del prezzo in termini di valore atteso del pay off, calcolato secondo la distribuzione di probabilità risk-neutral. Siccome le opzioni con barriera sono path dependent avremo un operatore di valore atteso condizionato al raggiungimento o meno della barriera. Di seguito esponiamo la relazione di In-Out Parity. 3.2 In-Out Parity Una relazione fondamentale nel contesto delle opzioni con barriera è la relazione di In-Out Parity.

33 Strategie di copertura statica sui titoli strutturati 28 Sia OutC(S t, K c, H) il prezzo all istante attuale di una out call scritta sul sottostante S, con strike price K c e barriera H. Sia InC(S t, K c, H) il prezzo all istante attuale di una in call con le medesime caratteristiche della out call. Supponiamo che le opzioni abbiano la medesima scadenza. Proposizione 3.1 La relazione di In-Out Parity afferma che C(S t, K c ) = OutC(S t, K c, H) + InC(S t, K c, H). (3.1) Dimostrazione. Indichiamo con A il portafoglio composto dalla out call e dalla in call. Confrontiamo il pay off a scadenza del portafoglio A con quello della call europea. Occorre considerare due casi: 1. il sottostante tocca la barriera prima della maturity delle opzioni, 2. il sottostante non raggiunge la barriera. Nel primo caso, il pay off a scadenza del portafoglio A è costituito dal pay off di una call europea. Infatti, il sottostante avendo raggiunto la barriera, la out call è finita knock out ed ha valore nullo; la in call è finita knock in e a scadenza offre il pay off di una call europea. Nel secondo caso, il pay off a scadenza del portafoglio A è ancora quello di una call europea. Il sottostante non ha raggiunto la barriera perciò la out call offre a scadenza il pay off di una call europea; la in call non è risultata knock in ed ha quindi valore nullo. In entrambi i casi il pay off del portafoglio A coincide con quello della call europea. Argomentazioni di arbitraggio impongono che il costo del portafoglio coincida con quello della call europea. La relazione di In-Out Parity è del tutto analoga nel caso della put. Di seguito individuiamo il portafoglio di hedging statico e descriviamo la strategia di copertura sulle opzioni con barriera.

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