T I P S T R A P S. La prezzatura di Opzioni Call e Put Europea con il metodo Montecarlo

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1 La prezzatura di Opzioni Call e Put Europea con il metodo Montecarlo In un mercato finanziario le opzioni a comprare (Call) o a vendere (Put) un titolo costituiscono il diritto, in un determinato periodo di tempo,a comprare o a vendere il titolo stesso ad un prezzo pattuito.naturalmente questo diritto ha un prezzo che deve essere pagato a chi è viceversa costretto a vendere (Call) o a comprare (Put) il titolo.nei mercati si distinguono in particolare quelle opzioni per cui si può esercitare il diritto acquistato ad un qualsiasi istante precedente la scadenza del periodo pattuito (Opzioni Americane) e quelle per cui bisogna attendere la scadenza per poter esercitare il proprio diritto a vendere o a comprare (Opzioni Europee). Uno dei problemi che interessa maggiormente i traders è stabilire quale sia il valore di un'opzione in funzione del prezzo attuale ed atteso alla data di scadenza del titolo sottostante,nonché del prezzo pattuito e del tasso di interesse.il calcolo del prezzo di un opzione può essere condotto utilizzando modelli teorici che si basano sull'ipotesi comune di assenza di arbitraggio e differiscono per quanto riguarda il modello che descrive l'evoluzione temporale del prezzo del titolo sottostante.ne segue che per calcolare il prezzo di un'opzione bisogna fare un'ipotesi sul comportamento nel tempo del prezzo del titolo sottostante.si è verificato sperimentalmente che la quotazione di un titolo segue un moto browniano geometrico per cui è possibile scrivere un equazione del moto per il prezzo S del titolo nella forma: (1) dove r e σ rappresentano il ritorno e la volatilità del titolo mentre dx descrive un moto browniano standard. Per questa equazione si può scrivere la seguente soluzione esatta: (2) Info@Teoresi News Notes Settembre

2 che può essere scritta per un incremento temporale dt: (3) dove ε(t) è una variabile casuale distribuita secondo una distribuzione normale a media nulla e varianza unitaria.quindi una volta stimati i valori di r e s e noto S(0) è possibile calcolare il prezzo del titolo ad un qualsiasi istante di tempo utilizzando iterativamente la (3). A questo punto è possibile calcolare il valore di un opzione a vendere o a comprare un titolo ad una certa data di scadenza T ad un prezzo pattuito K (strike price).infatti un semplice ragionamento porta a concludere che il prezzo di un opzione a vendere sarà K-S(T) se S(T) è inferiore allo strike price mentre sarà nullo se vale il viceversa;sarebbe svantaggioso esercitare l'opzione rispetto a vendere il titolo direttamente sul mercato.riassumendo si può scrivere per il prezzo dell'opzione a vendere la seguente relazione: (4) Con un ragionamento analogo si può concludere che il prezzo di un'opzione a comprare è: (5) Nella pagina precedente,si riportano i grafici degli andamenti del prezzo di un opzione Call e Put alla scadenza in funzione del prezzo del titolo sottostante. A questo punto è possibile calcolare il prezzo di un opzione implementando una simulazione Monte Carlo di cui di seguito si descriverà l'algoritmo affiancato dalle relative linee di codice scritte in linguaggio Matlab. Per prima cosa è necessario generare un insieme di curve S(t) utilizzando l'equazione (3) dove si utilizza la funzione "randn" per generare il processo stocastico e(t) e quindi l'insieme delle curve che descrivono l'evoluzione del prezzo del titolo nell'intervallo di tempo in cui è valida l'opzione. La funzione "randn(m,n)" infatti genera una matrice m x n di numeri casuali distribuiti secondo una gaussiana a media nulla e variabile unitaria. function S = stockrnd(s0, r, t, sig, NUMRND) % Riordinamento dei tempi [t, torder] = sort(t(:)); NT = length(t); % Calcolo delle lunghezze degli intervalli dt a partire dal tempo 0 dt = zeros(nt,1); dt(1) = t(1); dt(2:end) = diff(t); Naturalmente alla funzione "stockrnd" è necessario passare il prezzo attuale S(0), la volatilità del titolo ed il tasso di interesse r.inoltre dobbiamo impostare il numero di cammini da generare e gli istanti di tempo in cui si conosce il prezzo del titolo. % Incremento dei parametri nel tempo logdrifts = (r - 0.5*sig.*sig).*dt; logstds = sig.*sqrt(dt); y) % logs : somma degli incrementi lungo il tempo se necessario if (NT==1) % Moltiplicazione e addizione scalare logs = logdrifts + logstds*randn(1,numrnd); else % Espansione di logdrifts e logstds ad NT per NUMRND logs = cumsum( logdrifts(:,ones(1,numrnd)) +... logstds(:,ones(1,numrnd)).*randn(nt,numrnd) ); end % Calcolo dei valori dei titoli % dalla formula: % S(t+dt)=S(t)exp((r-1/2sigma^2)dt+sigma sqrt(dt)rand) S = s0*exp(logs); % I tempi vengono riposizionati nell'ordine originale S(torder,:) = S; 22 Info@Teoresi News Notes Settembre 2000

3 Una volta generati gli andamenti del prezzo del titolo si utilizza l'insieme dei valori alla data di scadenza per calcolare il prezzo delle opzioni Put e Call P i e C i utilizzando rispettivamente le equazioni (4) e (5).Infine per calcolare il valore atteso dei prezzi P e C si calcola il Net Present Value della media aritmetica di P i e C i. Quindi con una simulazione con 5000 curve si ottiene come risultato per il valore attuale delle opzioni Call e Put: PV_call = PV_put = In fine si è voluto confrontare il risultato con quello ottenuto utilizzando la funzione "blsprice" del Financial Toolbox di Matlab che calcola i prezzi attuali delle opzioni Call e Put utilizzando il modello di Black and Scholes. [C,P]=blsprice(asset,strike, intrate,t(end),volat) C = P = %Parametri iniziali t=[0:1/365:1]; numsim=5000; strike=105; intrate=0.05; volat=0.2; asset=100; T I P S T R A P S % tempi % numero di curve % strike price % tasso di interesse %volatilità %prezzo attuale del titolo % Calcolo del prezzo del titolo nel tempo % generando un numero nsim di curve simul=stockrnd(asset,intrate,t,volat,numsim); % Per questi andamenti si calcola il prezzo % dell'opzione payoff_call=max(simul(end,:)-strike,0); payoff_put=max(strike-simul(end,:),0); % Si calcola il payoff medio per tutti gli andamenti mean_payoff_call=mean(payoff_call); mean_payoff_put=mean(payoff_put); % Si prende il valore attuale di questa media che % è il valore dell'opzione PV_call=mean_payoff_call*exp(-intrate*t(end)) PV_put=mean_payoff_put*exp(-intrate*t(end)) La discrepanza tra i valori ottenuti con la simulazione Monte Carlo e quelli ottenuti dalla funzione "blsprice" sono legati al fatto che 5000 valori del prezzo finale del titolo non sono sufficienti a costituire un campione statisticamente rappresentativo.infatti la loro distribuzione ottenuta sperimentalmente non si adagia perfettamente sulla distribuzione teorica (la distribuzione lognormale),come si può vedere nella seguente figura. Dove la curva rossa rappresenta l'andamento teorico della distribuzione lognormale ottenuta mediante la funzione "lognpdf" funzione dello Statistics Toolbox. Per concludere si è mostrato come è possibile determinare il prezzo di un'opzione a vendere o a comprare mediante una simulazione Monte Carlo partendo da alcuni principi di base della teoria che descrive l'andamento sul mercato dei prezzi di un titolo. Ringraziamenti. Ringrazio Fabrizio Sara,responsabile dell'engineering Services, per gli m-files "pricemc.m" e "stockrnd.m" riportati in questo articolo. Bibliografia. 1) David G. Luenberger, Investment Science, Oxford University Press,1998 Info@Teoresi News Notes Settembre

4 che può essere scritta per un incremento temporale dt: (3) dove ε(t) è una variabile casuale distribuita secondo una distribuzione normale a media nulla e varianza unitaria.quindi una volta stimati i valori di r e s e noto S(0) è possibile calcolare il prezzo del titolo ad un qualsiasi istante di tempo utilizzando iterativamente la (3). A questo punto è possibile calcolare il valore di un opzione a vendere o a comprare un titolo ad una certa data di scadenza T ad un prezzo pattuito K (strike price).infatti un semplice ragionamento porta a concludere che il prezzo di un opzione a vendere sarà K-S(T) se S(T) è inferiore allo strike price mentre sarà nullo se vale il viceversa;sarebbe svantaggioso esercitare l'opzione rispetto a vendere il titolo direttamente sul mercato.riassumendo si può scrivere per il prezzo dell'opzione a vendere la seguente relazione: (4) Con un ragionamento analogo si può concludere che il prezzo di un'opzione a comprare è: (5) Nella pagina precedente,si riportano i grafici degli andamenti del prezzo di un opzione Call e Put alla scadenza in funzione del prezzo del titolo sottostante. A questo punto è possibile calcolare il prezzo di un opzione implementando una simulazione Monte Carlo di cui di seguito si descriverà l'algoritmo affiancato dalle relative linee di codice scritte in linguaggio Matlab. Per prima cosa è necessario generare un insieme di curve S(t) utilizzando l'equazione (3) dove si utilizza la funzione "randn" per generare il processo stocastico e(t) e quindi l'insieme delle curve che descrivono l'evoluzione del prezzo del titolo nell'intervallo di tempo in cui è valida l'opzione. La funzione "randn(m,n)" infatti genera una matrice m x n di numeri casuali distribuiti secondo una gaussiana a media nulla e variabile unitaria. function S = stockrnd(s0, r, t, sig, NUMRND) % Riordinamento dei tempi [t, torder] = sort(t(:)); NT = length(t); % Calcolo delle lunghezze degli intervalli dt a partire dal tempo 0 dt = zeros(nt,1); dt(1) = t(1); dt(2:end) = diff(t); Naturalmente alla funzione "stockrnd" è necessario passare il prezzo attuale S(0), la volatilità del titolo ed il tasso di interesse r.inoltre dobbiamo impostare il numero di cammini da generare e gli istanti di tempo in cui si conosce il prezzo del titolo. % Incremento dei parametri nel tempo logdrifts = (r - 0.5*sig.*sig).*dt; logstds = sig.*sqrt(dt); y) % logs : somma degli incrementi lungo il tempo se necessario if (NT==1) % Moltiplicazione e addizione scalare logs = logdrifts + logstds*randn(1,numrnd); else % Espansione di logdrifts e logstds ad NT per NUMRND logs = cumsum( logdrifts(:,ones(1,numrnd)) +... logstds(:,ones(1,numrnd)).*randn(nt,numrnd) ); end % Calcolo dei valori dei titoli % dalla formula: % S(t+dt)=S(t)exp((r-1/2sigma^2)dt+sigma sqrt(dt)rand) S = s0*exp(logs); % I tempi vengono riposizionati nell'ordine originale S(torder,:) = S; 22 Info@Teoresi News Notes Settembre 2000

5 Una volta generati gli andamenti del prezzo del titolo si utilizza l'insieme dei valori alla data di scadenza per calcolare il prezzo delle opzioni Put e Call P i e C i utilizzando rispettivamente le equazioni (4) e (5).Infine per calcolare il valore atteso dei prezzi P e C si calcola il Net Present Value della media aritmetica di P i e C i. Quindi con una simulazione con 5000 curve si ottiene come risultato per il valore attuale delle opzioni Call e Put: PV_call = PV_put = In fine si è voluto confrontare il risultato con quello ottenuto utilizzando la funzione "blsprice" del Financial Toolbox di Matlab che calcola i prezzi attuali delle opzioni Call e Put utilizzando il modello di Black and Scholes. [C,P]=blsprice(asset,strike, intrate,t(end),volat) C = P = %Parametri iniziali t=[0:1/365:1]; numsim=5000; strike=105; intrate=0.05; volat=0.2; asset=100; T I P S T R A P S % tempi % numero di curve % strike price % tasso di interesse %volatilità %prezzo attuale del titolo % Calcolo del prezzo del titolo nel tempo % generando un numero nsim di curve simul=stockrnd(asset,intrate,t,volat,numsim); % Per questi andamenti si calcola il prezzo % dell'opzione payoff_call=max(simul(end,:)-strike,0); payoff_put=max(strike-simul(end,:),0); % Si calcola il payoff medio per tutti gli andamenti mean_payoff_call=mean(payoff_call); mean_payoff_put=mean(payoff_put); % Si prende il valore attuale di questa media che % è il valore dell'opzione PV_call=mean_payoff_call*exp(-intrate*t(end)) PV_put=mean_payoff_put*exp(-intrate*t(end)) La discrepanza tra i valori ottenuti con la simulazione Monte Carlo e quelli ottenuti dalla funzione "blsprice" sono legati al fatto che 5000 valori del prezzo finale del titolo non sono sufficienti a costituire un campione statisticamente rappresentativo.infatti la loro distribuzione ottenuta sperimentalmente non si adagia perfettamente sulla distribuzione teorica (la distribuzione lognormale),come si può vedere nella seguente figura. Dove la curva rossa rappresenta l'andamento teorico della distribuzione lognormale ottenuta mediante la funzione "lognpdf" funzione dello Statistics Toolbox. Per concludere si è mostrato come è possibile determinare il prezzo di un'opzione a vendere o a comprare mediante una simulazione Monte Carlo partendo da alcuni principi di base della teoria che descrive l'andamento sul mercato dei prezzi di un titolo. Ringraziamenti. Ringrazio Fabrizio Sara,responsabile dell'engineering Services, per gli m-files "pricemc.m" e "stockrnd.m" riportati in questo articolo. Bibliografia. 1) David G. Luenberger, Investment Science, Oxford University Press,1998 Info@Teoresi News Notes Settembre