FINANZA AZIENDALE Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale

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1 FINANZA AZIENDALE Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale 6 parte Prof. Giovanna Lo Nigro # 1

2 I titoli derivati # 2 Copyright The McGraw-Hill Companies, srl

3 Argomenti trattati Tipologie di titoli derivati:contratti forward e opzioni Caratteristiche e determinazione del valore di un contratto forward Opzioni call e put, europee e americane. Payoff a scadenza Valutazione di un opzione Metodo binomiale Metodo di Black and Scholes Opzioni reali # 3

4 Tipologie di titoli derivati:contratti forward e opzioni I titoli derivati sono così chiamati poiché il loro payoff dipende da un attività sottostante (underlying) che può essere una valuta, un bene, un indice azionario. Regolano transazioni che avverranno ad una data futura prestabilita (o entro tale data) a condizioni pattuite nel momento dell acquisto del titolo # 4

5 Tipologie di titoli derivati:contratti forward e opzioni Si dividono in: Contratti forward (futures, swaps, forwards propriamente detti..) in cui la transazione viene eseguita con certezza Opzioni in cui la transazione viene eseguita a discrezione di una delle due parti coinvolte. Si distinguono in call (opzione di acquisto) e put (opzione di vendita). Se l opzione viene esercitata entro la scadenza siamo in presenza di un opzione americana, se viene esercitata esclusivamente alla scadenza l opzione è europea # 5

6 Caratteristiche e determinazione del valore di un contratto forward Nel contratto forward le parti si impegnano a scambiare l underlying ad una certa data (scadenza, tra T anni) ad un certo prezzo (delivery price, X) Sono strumenti sia di hedging (protezione dal rischio) che speculativi (le perdite però possono superare il capitale inizialmente investito!) Esempio di uso come strumento di hedging: Una casa vitivinicola ha stipulato un contratto con un grossista americano per una fornitura pari a $ da pagare tra 6 mesi. E chiaro che nella transazione c è un rischio di cambio. Il tasso attuale di cambio euro/dollaro è pari a 1,3705 (C 0 ). Se il dollaro si apprezza la transazione in euro ha un valore maggiore altrimenti avrà un valore minore. Il nostro imprenditore è avverso al rischio e vorrebbe essere sicuro sul payoff in EURO che riceverà. Come può fare? # 6

7 Caratteristiche e determinazione del valore di un contratto forward Se investe in dollari la variazione del rapporto di cambio agirà su questo investimento in senso inverso rispetto a quanto avviene sulla vendita del vino. Sia il tasso risk free sul mercato americano (rf $ ) pari all 1% e nell eurozone (rf ) pari al 2,5%, indichiamo con C T il tasso di cambio tra 6 mesi. Se il commerciante riuscisse a investire in un forward con un tasso di cambio tale da assicurargli un payoff sicuro in avrebbe risolto il suo problema Immaginiamo una controparte con il problema opposto (alla scadenza deve rimborsare un certo ammontare in $) affinchè il mercato del forward sia in equilibrio deve essere indifferente investire 1 per 6 mesi al tasso rf o cambiare 1 in $ al tasso attuale investire al tasso rf $ per 6 mesi e alla scadenza cambiare il montante realizzato al tasso di cambio atteso C T. rf T 1 C0 e 1 e = C T rf $ T # 7

8 Caratteristiche e determinazione del valore di un contratto forward rf T 1 C0 e 1 e = C Risolvendo rispetto a C T troviamo un valore pari a 1,36026 Quindi indipendentemente dal tasso di cambio che si avrà tra 6 mesi il fatturato sarà pari a /1,36026 = circa T rf $ T # 8

9 Caratteristiche e determinazione del valore di un contratto forward Nel contratto forward le parti si impegnano a scambiare l underlying aduna certa data (scadenza, tra T anni) ad un certo prezzo (delivery price, X) Sono strumenti sia di hedging (protezione dal rischio) che speculativi (le perdite però possono superare il capitale inizialmente investito!) Chi si impegna ad acquistare assume una posizione lunga Chi si impegna a vendere assume una posizione corta Indichiamo inoltre con: S 0 prezzo dell underlying nell istante corrente; S T prezzo dell underlying nell istante T (incognito); f long (o f) il valore del contratto in posizione lunga; f short (=-f) il valore del contratto in posizione corta. f=s T -X=-f short # 9

10 Caratteristiche e determinazione del valore di un contratto forward # 10

11 Caratteristiche e determinazione del valore di un contratto forward Prima della scadenza il valore del contratto è diverso, all stante corrente vale: f=s 0 -Xe- rt Dove r indica il tasso annuo risk free composto nel continuo La logica con cui si ricava f è l assenza di arbitraggio (se f avesse un valore diverso potrebbero essere costruite posizioni di arbitraggio) E chiaro che se nell intervallo 0-T l attività prevede dei costi/ricavi il valore del contratto muterà di conseguenza: f=(s 0 -VA(ricavi)+VA(costi))-Xe -rt # 11

12 Caratteristiche e determinazione del valore di un contratto forward Costruzione di posizioni di arbitraggio Supponiamo che f sia minore di S 0 -Xe- rt. Acquistiamo il contratto forward, vendiamo allo scoperto l underlying e investiamo una somma che ha al tempo T valore pari a X (Xe- rt ). Alla scadenza acquistiamo l azione al prezzo X (somma disponibile grazie all investimento fatto) e la consegniamo a chi l avevamo venduta allo scoperto al prezzo S 0. Oggi abbiamo realizzato un profitto pari proprio alla differenza tra il valore di f ed il suo valore di equilibrio. Supponiamo che f sia maggiore di S 0 -Xe- rt (significherebbe che f+xe- rt è maggiore di S 0, conviene quindi comprare oggi l attività sottostante). # 12

13 Le opzioni Le opzioni sono contratti a termine che conferiscono al detentore la possibilità a sua discrezione di acquistare (opzione call) o di vendere (opzione put) un attività (underlying) a una certa scadenza (opzione europea) o entro una certa scadenza (opzione americana). Chi ha acquistato l opzione assume una posizione lunga (diversamente dai forward) Introduciamo questa ulteriore simbologia: c (C): valore dell opzione call europea (americana) p (P): valore dell opzione put europea (americana) # 13

14 Payoff a scadenza derivanti dal possesso dell opzione c Opzione call c = C = max( 0,S T X) X S T p Opzione put p = P = max( 0, X S ) T X X # 14 S T

15 Payoff a scadenza derivanti dalla cessione dell opzione c = C = min( 0, X S ) T p = P = min( 0,S T X) # 15

16 Le opzioni Le opzioni vengono definite da tre parametri: X St T prezzo di esercizio valore dell attività sottostante al tempo t vita residua Valore a scadenza Valore a scadenza Posizione lunga Posizione corta Acquirente di Venditore di un opzione un opzione Finanza Diagrammi Aziendale di posizione Prof. Giovanna Lo Nigro # 16

17 Esempio di opzione (azione Enel) Scadenza Prezzo di esercizio Prezzo dell'opzione Call Prezzo dell'opzione Put giu-06 6,6 0,461 0,020 6,8 0,2095 0, ,084 0,14 7,2 0,03 0,2995 7,4 0,0145 0,546 set-06 6,6 0,4645 0,2845 6,8 0,237 0, ,1305 0,5495 7,2 0,069 0,7975 7,4 0,04 0,9805 dic-06 6,6 0,4875 0,4990 6,8 0,306 0,62 7 0,216 0,756 7,2 0,158 0,9625 7,4 0,116 1,1305 # 17

18 Valore dell opzione Quelli fin qui visti sono diagrammi di posizione che non indicano il profitto poiché non tengono conto del costo di acquisto (o ricavo da vendita delle opzioni). Altrimenti l acquisto dell opzione sarebbe sempre un affare sicuro e la vendita sempre un cattivo affare. Consideriamo l opzione call Enel con scadenza set 06 (siamo in un istante temporale precedente) con un prezzo pari a 0,1305 e prezzo di esercizio 7. E chiaro che l opzione darà un profitto se il prezzo a scadenza sarà superiore a 7,1305 altrimenti ci sarà una perdita, alla stesso modo il venditore avrà un profitto se il prezzo si mantiene al di sotto di questa soglia (fino a 7 avrà un profitto pari a 0,1305, oltre i 7,1305 incorrerà in una perdita). # 18

19 Le opzioni I diagrammi di posizione non indicano il profitto ma soltanto i risultati dell opzione a scadenza. Non tengono in considerazione il valore, da cui derivano il costo d acquisto o il ricavo dalla vendita della stessa. Diagrammi di profitto Infine, un opzione si definisce: Cambia il punto di break-even At-the the-money money: se St = X Out-of-the-money: se St < X In-the-money: se St > X # 19

20 Posizioni equivalenti Long Stock Acquistate un azione oggi quale sarà la vostra posizione tra T anni? Payoff Payoff X S T X S T Underlying+ put # 20

21 Posizioni equivalenti Una put può quindi essere utilizzata come protezione dal ribasso del prezzo dell underlying. Possiamo usare una call per ottenere lo stesso diagramma di posizione Payoff X S T call + Deposito bancario # 21

22 Posizioni equivalenti: put-call parity Se due strategie offrono gli stessi ritorni devono avere lo stesso valore, quindi i due portafogli devono avere lo stesso valore Valore della call + valore attuale del prezzo di esercizio= Valore della put + prezzo dell azione Quindi Acquistare una put equivale a Acquistare una call + investire il valore attuale del prezzo di esercizio in un attività priva di rischio + vendere l azione (allo scoperto) # 22

23 Opzioni implicite Un azienda offre al suo presidente un incentivo così articolato: Alla fine dell anno riceverà un premio di per ogni euro di aumento del prezzo dell azione dell azienda rispetto al prezzo corrente di 120, fino ad un premio massimo di Questo premio equivale a premi che danno ciascuno 1 per ogni di aumento dello stock price, fino ad un incremento massimo di 40. # 23

24 Opzioni implicite Un azienda offre al suo presidente un incentivo così articolato: Alla fine dell anno riceverà un premio di per ogni euro di aumento del prezzo dell azione dell azienda rispetto al prezzo corrente di 120, fino ad un premio massimo di Questo premio equivale a premi che danno ciascuno 1 per ogni di aumento dello stock price, fino ad un incremento massimo di 40. Premio Quanto costa all azienda questo schema di incentivazione? # 24

25 Opzioni implicite: posizioni equivalenti Quanto costa all azienda questo schema di incentivazione? Proviamo a trovare una combinazione di opzioni che dà lo stesso ritorno: Long call con prezzo di esercizio 120 Short call con prezzo di esercizio 160 Premio Qualsiasi attività che dia risultati condizionati, che dipendono cioè da un altra attività, può essere valutata come combinazione di opzioni su quell attività. # 25

26 Da cosa dipende il valore di un opzione Il valore di un opzione è delimitato: superiormente dal prezzo stesso dell azione e inferiormente dal ritorno ottenibile esercitandola immediatamente (differenza tra il prezzo dell azione S 0 e il valore attuale del prezzo di esercizio) Valore della call Limite sup Limite inf VA(Prezzo di Esercizio) Prezzo dell azione ( ) c < S 0 c > max S 0 X e rt,0 # 26

27 Da cosa dipende il valore di un opzione Il limite superiore si spiega facilmente considerando che una call non può valere più del prezzo corrente altrimenti converrebbe comprare direttamente la sottostante (a scadenza si avrebbe un payoff di S T ). Il limite inferiore si spiega considerando che una call deve valere più di un forward oppure considerando i seguenti portafogli: Pa: long call + VA(X). A scadenza vale max (S T,X) Pb: underlying. A scadenza vale S T Quindi il Pa deve valere sempre più del Pb quindi: c + X e rt > S 0 c > S 0 - X e rt Infine c deve essere sempre strettamente positivo # 27

28 Da cosa dipende il valore di un opzione I principali fattori che influenzano il prezzo di un opzione sono: 1. Il prezzo della sottostante 2. Il prezzo di esercizio X 3. La vita residua T 4. La volatilità della sottostante σ 5. Il tasso risk free 6. Flussi monetari legati alla sottostante Opzione call at-the-money; out-of-the-money; in-the-money; Se S 0 è molto distante da X, gli altri fattori hanno poco valore altrimenti: Il valore dell opzione vale di più al crescere di T (chi posside l opzione con vita maggiore ha tutte le possibilità di chi possiede l opzione con vita minore ed altre ancora) per le call, per le put è incerto perché vi sono due fattori contrastanti (maggiore possibilità di esercizio importante quando l opzione è out-of-the money, minore valore attuale del massimo payoff ottenibile rilevante quando l opzione è in-the-money) # 28

29 Da cosa dipende il valore di un opzione La volatilità influisce positivamente sia sulle call che sulle put poiché il rischio che sopporta chi detiene l opzione è asimmetrico, si avvantaggia delle situazioni per lui positive (crescita del prezzo per le long call, diminuzione del prezzo per le long put). Il tasso risk free influenza positivamente c e negativamente p. Infatti per le call aumenta il cost of carry cioè indebitarsi per acquistare il sottostante, per le put è conveniente vendere e lucrare su maggiori interessi # 29

30 Valutazione delle opzioni Due modelli: Binomiale e Black e Scholes (solo per le europee e le call americane) Entrambi usano la condizione di non arbitraggio e di assenza di flussi di cassa intermedi, il primo ipotizza che il valore dell underlying istante per istante possa assumere solo 2 valori, l altro ipotizza che S(t) sia definita nel continuo. # 30

31 Valutazione delle opzioni: modello binomiale Si ipotizzi che l underlying possa assumere a scadenza T solo 1 dei due valori (u>d): u S S 0 0 d S 0 Per determinare il valore dell opzione con scadenza T e prezzo di esercizio X sapendo che il tasso risk free è r useremo il metodo della costruzione di posizioni equivalenti # 31

32 Valutazione delle opzioni: modello binomiale Si ipotizzi che l underlying possa assumere a scadenza T solo 1 dei due valori (u>d): S 0 u S 0 d S 0 I possibili pay off (per una call)sono dunque: ( ) ( ) Π 1 = max 0,u S 0 X Π 2 = max 0,d S 0 X Per determinare il valore dell opzione con scadenza T e prezzo di esercizio X sapendo che il tasso risk free è r useremo il metodo della costruzione di posizioni equivalenti # 32

33 Valutazione delle opzioni: modello binomiale Individuiamo un portafoglio composto da una quota δ della sottostante e da un indebitamento al tasso r con valore di rimborso R. Il valore di questo portafoglio è pari a: δ S o VA R Mentre a scadenza δ S T R ( ) Affinché il portafoglio sia equivalente alla call deve accadere che: Π 1 = δ u S 0 R Π 2 = δ d S 0 R # 33

34 Valutazione delle opzioni: modello binomiale Risolvendo il sistema si ottengono i seguenti valori: δ = Π 1 Π 2 u d ( ) S 0 R = d u d Π 1 u u d Π 2 Per conoscere il valore dell opzione basta calcolare il valore attuale del portafoglio equivalente così determinato V = δ S 0 VA( R)= Π Π 1 2 u d ( ) 1 ( 1+ r) d T u d Π 1 u u d Π 2 # 34

35 Valutazione delle opzioni: modello binomiale Esempio: Si consideri un attività che oggi vale 300. Tra due anni potrà valere o 400 o 250. Determinare il valore di una call europea con scadenza 2 anni e prezzo di esercizio pari a 350, r=5%. Determiniamo i payoff a scadenza: Π 1 = 50 Π 2 = 0 Individuiamo il portafoglio equivalente ed il suo valore attuale δ = 1/ 3 R = 83,33 c = = 2 1/ ,33 / (1,05) 24,42 # 35

36 Valutazione delle opzioni: modello binomiale Il metodo binomiale può essere reiterato costruendo un albero delle decisioni risolvendolo con il metodo backinduction Ipotizziamo un modello a due stadi: Consideriamo di essere a maggio 2006 quando il prezzo di un azione Enel era pari a 7 e di volere acquistare una call a Settembre 2006 (scadenza 4 mesi T=0,333 anni) r=1,5%. Ipotizziamo che dopo due mesi il prezzo dell azione può aumentare del 22,6% o diminuire del 18,4%. 7 5,71 8,58 4,66 ( 0) 7 ( 0) 10,51 ( 3,51) # 36

37 Valutazione delle opzioni: modello binomiale Calcoliamo il valore dell opzione tra due mesi per i possibili due stati: Se il prezzo è 8,58 l opzione vale 1,6 (δ=1 e R=7), se il prezzo è 5,71 l opzione vale ,71 ( 0) 8,58 ( 1,6) 4,66 ( 0) 7 ( 0) 10,51 ( 3,51) # 37

38 Valutazione delle opzioni: modello binomiale Calcoliamo il valore dell opzione oggi partendo dai valori trovati per i possibili due stati: l opzione vale 0,73 (δ= δ=0,557 e R= 3,22). 7 ( 0,73) 5,71 ( 0) 8,58 ( 1,6) 4,66 ( 0) 7 ( 0) 10,51 ( 3,51) # 38

39 Valutazione delle opzioni: modello binomiale Il processo può essere reiterato su n stadi. Ma come stimare u e d? Ovviamente dipendono dalla σ e dai periodi che consideriamo (che dipende dagli stadi dell albero delle decisioni). u = e σ T d = 1 u I valori di d e u sono coerenti con σ=0,4981 e T=0,167 (2 mesi=1/6 di 1 anno) # 39

40 Valutazione delle opzioni: modello di Black and Scholes Ipotizziamo che il prezzo futuro dell azione possa assumere un valore qualsiasi secondo una distribuzione lognormale (ciò assicura che i rendimenti siano distribuiti secondo una normale), sfruttando sempre l ipotesi di assenza di arbitraggio Black e Scholes determinano il valore di mercato di un opzione call: c = S 0 N( d 1 ) X e rt N d 2 ( ) ( ) d 1 = ln( S 0 X ) + (r + σ 2 2 )T σ T = S0 ln( ) Xe rt σ T + σ T 2 d 2 = ln( S 0 X ) + (r σ 2 2 )T σ T = S0 ln( ) Xe rt σ T σ T 2 = d 1 σ T # 40

41 Valutazione delle opzioni: modello di Black and Scholes La funzione N(d) è la funzione di probabilità cumulata di una variabile normale standardizzata. N( d)= 1 2 π d e 1 2 x2 dx Indica la probabilità che una variabile estratta da una distribuzione normale standardizzata assuma un valore inferiore o uguale a d. # 41

42 Valutazione delle opzioni: modello di Black and Scholes Valutiamo la call Enel a 4 mesi d 1 = ln( S 0 ) + (r + σ 2 )T X 2 σ T = S0 ln( ) Xe rt σ T + σ T 2 ln( S 0 ) + (r σ 2 )T S0 ln( ) X 2 Xe d rt σ T 2 = = σ T σ T 2 c = S 0 N( d 1 ) X e rt N( d 2 )= 0,815 = ln( 7 7 /1,005 ) 0,4981 0, ,333 2 = 0,1612 = d 1 σ T = 0,1612 0,4981 0,333 = 0,1262 # 42

43 Le opzioni reali L azienda dispone di almeno 4 opzioni: 1 L opportunità di effettuare investimenti addizionali. 2 L opportunità di attendere e investire in seguito. 3 L opportunità di abbandonare un progetto. 4 L opportunità di variare l output dell impresa o i suoi metodi di produzione. Valore dell opzione reale = =VAN del progetto con l opzione VAN senza l opzione # 43

44 Le opzioni reali Esempio Mark I Microcomputer (valori in milioni ) Anno Flusso di cassa operativo netto(1) Investimento (2) Aumento del capitale circolante(3) Flusso di cassa netto (1)-(2)-(3) VAN al 20% = - 46,45 milioni # 44

45 Le opzioni reali Esempio Mark II Microcomputer VA( prezzo di esercizio) = 900 1,1 3 = 676 σ = 35% c = N(d 1 ) S 0 N(d 2 ) VA( X ) d 1 = ln[s 0 / VA(X)] / σ T + σ T / 2 = ln0,691/ 0, ,606 / 2 = 0,3072 d 2 = d 1 σ T = 0,3072 0,606 = 0,9136 N(d 1 ) = 0,3792 N(d 2 ) = 0,18 Valore della call = [0, ] [0,18 676] = $55,1milioni # 45

46 Le opzioni reali Esempio Mark II Microcomputer ($ milioni) Flussi di cassa previsti dal 1982 Anno Flusso di cassa operativo netto Aumento del capitale circolante Flusso di cassa netto VA al 20% Investimento, VA al 10% VAN previsto nel VAN (1982) = VA(flussi positivi) -VAN(investmenti) = = - $209 milioni # 46

47 Le opzioni reali Esempio Mark II Microcomputer (1985) Distribuzione dei possibili valori del progetto Probabilità Valore atteso ($807) Investimento richiesto ($900) # 47

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