call europea viene esercitata, consentendo un guadagno pari a

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1 INTRODUZIONE Un opzione è un contratto derivato che conferisce al proprio detentore il diritto di disporre del titolo sottostante ad esso. Più precisamente, l acquisto di un opzione call (put) conferisce il diritto di acquistare (vendere) una determinata quantità di titolo sottostante (underlying asset) ad un certo prezzo (strike price o prezzo d esercizio) ad una data futura specificata nel contratto (scadenza). Due sono le tipologie principali di opzione: americana (in cui l opzione può essere esercitata, a discrezione del detentore, in un qualsiasi istante tra la data d acquisto e la scadenza) ed europea (l esercizio può avvenire solo alla scadenza). Se, alla scadenza, il valore del titolo sottostante supera lo strike price (cioè se S T > E ), la call europea viene esercitata, consentendo un guadagno pari a S T E ; se invece il titolo può essere acquistato sul mercato a un prezzo inferiore allo strike, l opzione non viene esercitata, non generando alcun guadagno. Una opzione put viene al contrario esercitata se S T < E. L ammontare che si guadagnerebbe dall esercizio di un opzione alla sua scadenza è detto payoff o valore intrinseco, ed è pari, per una call, a max[ S T E,0] e, per una put, a max[ E S,0] T. Il valore 1

2 temporale è quanto di più, rispetto al valore intrinseco, vale l opzione in un qualsiasi momento prima della scadenza: con ciò si attribuisce valore positivo all incertezza che il tempo porta con sé, valore o vviamente tanto più basso quanto più la scadenza è vicina. Da un punto di vista analitico, un opzione è descritta da un equazione differenziale del secondo ordine di tipo parabolico, da completarsi con opportune condizioni al contorno (riferite alla variabile spaziale) e temporale. Nel caso di un opzione europea, tutte le condizioni sono specificabili e l equazione trova soluzione in forma chiusa. Nel caso di una opzione americana, invece, non è possibile porre la condizione al contorno finale (essendo necessario valutare l opportunità dell esercizio anticipato per ogni valore del sottostante), dando così origine a un free boundary problem, non risolvibile analiticamente. Per la prima tipologia di opzioni si ricorre a modelli come quello di Fisher Black e Myron Scholes 1, mentre per la seconda a metodi numerici (che possono comunque essere applicati anche alle opzioni europee, considerando queste ultime come americane esercitate all ultimo istante possibile). Alla famiglia dei metodi numerici appartengono due categorie: la prima tenta di risolvere l equazione integrale che rappresenta il valore dell opzione, mentre la seconda risolve direttamente l equazione alle derivate parziali (indicata d ora in avanti come PDE). Nella prima categoria sono ricompresi l app roccio binomiale di Sharpe (1978) e Cox, Ross, Rubinstein (1979), l approccio trinomiale di Parkinson (1977), l approccio a simulazione Monte Carlo di Boyle (1977). La seconda categoria include invece tutte le tecniche di approssimazione alle differenze finite, a partire dal lavoro di Brennan e Schwartz (1976) 2. Il metodo degli 1 La prima stesura del modello risale al 1969, ma per la prima volta viene pubblicata sul Journal of Political Economy nel Si vedano rispettivamente: Sharpe, W.F. (1978). Investements. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall; Cox, J.,Ross, S., Rubinstein, M. (1979). Option pricing: a simplified approach. Journal Of Financial Economics, 7, No. 3; Parkinson, M. (1977). Option pricing: the American put. Journal of Business, 50; Boyle, P.P. (1977). Options: a Monte Carlo approach. Journal of 2

3 elementi finiti (F.E.M.), infine, appartiene anch esso alla seconda categoria e può essere considerato come un alternativa più raffinata al metodo delle differenze finite. Nel primo capitolo viene dettagliatamente proposta la derivazione analitica della soluzione per il modello di Black-Scholes, a partire dall equazione di diffusione del calore cui il modello è riconducibile. Nel secondo capitolo si presenta una sintesi di due metodi numerici, rappresentativi per il loro diffuso utilizzo, quali il metodo degli alberi binomiali e l approssimazione a differenze finite, e se ne delineano i limiti principali. I F.E.M. sono proposti nel terzo capitolo. Si è cercato di presentare questo metodo nel modo più generale possibile, in considerazione del suo scarso precedente utilizzo in campo finanziario, addentrandosi al tempo stesso nei dettagli, ove richiesto dallo specifico problema analizzato. In considerazione dello spirito di questo lavoro, rivolto principalmente a una valutazione empirica dei risultati ottenibili con F.E.M., il dettaglio teorico-analitico è stato talvolta sacrificato alle necessità di una implementazione razionale ed efficiente del modello. Ciò spiega la preferenza accordata ai metodi a residui pesati, piuttosto che alla più classica formulazione variazionale del problema. Quest ultima è sicuramente una metodologia più elegante, ma i residui pesati sono molto più flessibili e si prestano in modo migliore ad una trasposizione in un linguaggio di programmazione. È stato comunque dimostrato che i risultati della formulazione variazionale sono equivalenti a quelli dei residui pesati secondo il metodo di Galerkin (quello utilizzato in questo lavoro). Nel quarto capitolo si illustrano i listati MatLab scritti per descrivere l equazione di diffusione del calore e per prezzare le opzioni di tipo europeo. Nel quinto e ultimo capitolo sono forniti i dati relativi alla Financial Economics, 4, ; Brennan, M.J., Schwartz, E. (1976). The pricing of equitylinked life insurance policy with an asset value guarantee. Journal of Financial Economics, 3, ; Brennan, M.J., Schwartz, E. (1977). The valuation of American put options. Journal of Finance, 32,

4 simulazione effettuata. Per verificare l efficienza del F.E.M., i pr ezzi calcolati per una call e per una put europea sono confrontati con i valori esatti prodotti dalla formula di Black-Scholes. Come ulteriore verifica, si calcola poi lo scostamento dalla parità put-call. Payoff E Il payoff di una put americana: alla scadenza (valore intrinseco) in un istante precedente (valore temporale) S 4

5 Payoff E Il payoff di una put europea S Payoff E Il payoff di un call europea S 5

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