LA TRASFORMATA DI LAPLACE: UN METODO RAPIDO ED EFFICIENTE PER IL PRICING DI OPZIONI

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1 POLITECNICO DI MILANO SCUOLA DI INGEGNERIA INDUSTRIALE E DELL INFORMAZIONE CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA MATEMATICA LA TRASFORMATA DI LAPLACE: UN METODO RAPIDO ED EFFICIENTE PER IL PRICING DI OPZIONI TESI DI LAUREA MAGISTRALE Relatore: Prof. Daniele MARAZZINA Candidato: Davide ALITI Matricola ANNO ACCADEMICO

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3 Indice 1 Introduzione... 1 Modelli finanziari Preliminari Processi di Lévy Martingale, tempi di arresto e misure aleatorie Teoria dell arbitraggio e completezza dei mercati Processi di tipo Lévy esponenziale: teoria ed esempi Modello di Black&Scholes Modelli di tipo jump diffusion La trasformata di Laplace Definizioni e proprietà della trasformata di Laplace Inversione numerica della trasformata di Laplace iii

4 Indice.3 Algoritmi unidimensionali per l inversione della trasformata di Laplace Algoritmo di Gaver-Stehfest Algoritmo di Eulero Algoritmo di Talbot Pricing di opzioni tramite trasformata di Laplace Opzioni barriera Preliminari Un modello ibrido per il pricing delle opzioni barriera Pricing analitico di un opzione barriera doppia con modello jump diffusion esponenziale doppio Opzioni americane Preliminari Calcolo della curva di esercizio anticipato con la trasformata di Laplace Un metodo di randomizzazione per il calcolo del valore di un opzione americana Il metodo di randomizzazione a pinza per il calcolo del valore di un opzione americana Opzioni fractional lookback Preliminari iv

5 Indice 3.3. Calcolo del valore per un opzione fractional lookback europea ed americana nel caso Black&Scholes Pricing di un opzione fractional lookback con sottostante jump diffusion Risultati numerici con algoritmi sequenziali Opzioni barriera Pricing nel caso di modello di Black&Scholes Pricing nel caso di modello di Kou Opzioni americane Pricing con algoritmo di randomizzazione Pricing con algoritmo di randomizzazione a pinza Opzioni fractional lookback Pricing di opzioni fractional lookback europee ed americane con sottostante Black&Scholes Pricing di opzioni fractional lookback europee con sottostante Kou Simulazioni numeriche parallele Introduzione al calcolo parallelo Preliminari Disegno di algoritmi paralleli Introduzione all architettura CUDA Matlab e il calcolo parallelo v

6 Indice 5. Risultati delle simulazioni parallele Parallelizzazione dell algoritmo ibrido per il calcolo del prezzo delle opzioni barriera Confronto dei risultati per gli altri algoritmi implementati Conclusioni A Codici Matlab sequenziali A.1 Metodi basati sulla trasformata di Laplace A.1.1 Metodo ibrido per le opzioni barriera con sottostante che evolve con modello di Black&Scholes A.1. Metodo analitico per opzioni barriera doppia con sottostante che evolve con modello doppio esponenziale di Kou A.1.3 Metodo di randomizzazione per il calcolo del prezzo di opzioni americane con sottostante Black&Scholes A.1.4 Metodo basato sulla trasformata di Laplace per il calcolo del valore di opzioni fractional lookback europee ed americane A.1.5 Metodo basato sulla trasformata di Laplace per il calcolo del prezzo di opzioni fractional lookback europee con sottostante Kou A. Metodi alternativi A..1 Metodi alternativi per le opzioni barriera A.. Metodi alternativi per le opzioni americane vi

7 Indice A..3 Metodi alternativi per le opzioni fractional lookback B Codici Matlab paralleli B.1 Opzioni barriera B.1.1 Codice parallelo per CPU B.1. Codice parallelo per GPU B.1.3 Codice parallelo per CPU nel caso di sottostante Kou B. Opzioni fractional lookback B..1 Codice parallelo per CPU per opzioni fractional lookback europee con sottostante B&S B.. Codice parallelo per CPU per opzioni fractional lookback americane con sottostante B&S B..3 Codice parallelo per CPU per opzioni fractional lookback europee con sottostante Kou Bibliografia Ringraziamenti vii

8 Indice delle figure Figura 3.1: Metodo Ibrido vs Metodo tradizionale alle Differenze Finite Figura 3.: Funzione Densità di Probabilità della Distribuzione Erlangiana per =1, n=1,, 4, 8, 16, Figura 3.3: Funzione Densità di Probabilità di X( n 1) Figura 4.1: Prezzo dei due tipi di opzione barriera al variare di S Figura 4.: Curva di esercizio anticipato (K = 100, T = 1, r f = 0.05) Figura 4.3: Grafici di un opzione put americana per tre diversi valori di volatilità Figura 4.4: Curve di esercizio anticipato per un'opzione americana fractional lookback, caso call (a) e put (b), al variare del divido Figura 4.5: Confronto grafici di opzioni fractional lookback europee ed americane, per diversi valori di e Figura 5.1: Grafico dello speedup di un algoritmo al variare della quantità di codice parallelizzato p Figura 5.: Tempi di calcolo al variare del numero dei nodi spaziali per l'algoritmo ibrido viii

9 Indice delle tabelle Tabella 3.1: Valori del termine non omogeneo F(S) nelle tre diverse regioni Tabella 4.1: Confronto dei risultati ottenuti nel caso di opzioni barriera singola D&O con il metodo ibrido e altri metodi Tabella 4.: Confronto dei dei tempi di calcolo ottenuti con il metodo ibrido e con i metodi alternativi nel caso di opzioni barriera singola Tabella 4.3: Confronto dei risultati ottenuti nel caso di opzioni doppia barriera knock-out con il metodo ibrido e altri metodi Tabella 4.4: Confronto dei dei tempi di calcolo ottenuti con il metodo ibrido e con i metodi alternativi nel caso di opzioni barriera doppia Tabella 4.5: Confronto risultati nel caso di opzione call doppia barriera con sottostante Kou Tabella 4.6: Confronto dei risultati e dei tempi di calcolo ottenuti con il metodo basato sulla trasformata di Laplace e con i metodi alternativi nel caso di opzioni barriera doppia (S 0 = 100, K = 100, B L = 80, B U = 10, T = 1, r f = 0.05, d=0, = 0., 0.1, q + = 0.5, =3) Tabella 4.7: Confronto dei prezzi ottenuti per un'opzione put americana con diversi metodi, con differenti S Tabella 4.8: Confronto dei risultati e dei tempi di calcolo ottenuti con il metodo basato sulla trasformata di Laplace e con i metodi alternativi nel caso di opzioni put americane ix

10 Indice delle tabelle Tabella 4.9: Confronto dei prezzi ottenuti con l algoritmo di randomizzazione nel caso moda e media, e con l algoritmo a pinza nel caso media aritmetica e media geometrica, con errore rispetto al valore reale Tabella 4.10: Confronto tra i valori esatti e i valori calcolati con l'algoritmo che utilizza la trasformata di Laplace nel caso di opzioni fractional lookback europee di tipo call Tabella 4.11: Confronto tra i valori esatti e i valori calcolati con l'algoritmo che utilizza la trasformata di Laplace nel caso di opzioni fractional lookback europee di tipo put Tabella 4.1: Confronto dei risultati e dei tempi di calcolo ottenuti con il metodo basato sulla trasformata di Laplace e con il metodo Montecarlo per le opzioni call fractional lookback europee Tabella 4.13: Confronto dei risultati e dei tempi di calcolo ottenuti con il metodo basato sulla trasformata di Laplace e con il metodo Montecarlo per le opzioni put fractional lookback europee Tabella 4.14: Confronto risultati per opzioni fractional lookback con sottostante Kou, nel caso di algoritmo con trasformata di Laplace e metodo Montecarlo Tabella 4.15: Confronto dei risultati e dei tempi di calcolo ottenuti con il metodo basato sulla trasformata di Laplace e con i metodi alternativi nel caso di opzioni put americane Tabella 5.1: Confronto dei tempi ottenuti dall algoritmo ibrido per il calcolo del prezzo di opzioni barriera, nel caso di implementazione sequenziale e implementazione parallela su CPU e GPU Tabella 5.: Confronto dei tempi per gli algoritmi implementati nel Capitolo 4 in modo sequenziale e parallelo x

11 Sommario La trasformata di Laplace è uno strumento molto potente, utilizzato spesso in fisica e ingegneria per lo studio dei segnali e la risoluzione di equazioni differenziali. Obiettivo del nostro lavoro è l utilizzo della trasformata di Laplace nel pricing di opzioni. Con l uso di metodi diversi che sfruttano questo strumento, calcoleremo il prezzo di opzioni barriera singola e doppia. opzioni americane e opzioni fractional lookback europee ed americane nello spazio della trasformata, e useremo quindi un algoritmo di inversione numerica per ricavare il prezzo nello spazio di partenza. Concentreremo la nostra attenzione su due modelli, il modello di Black&Scholes e il modello di Kou. Confronteremo poi i risultati ottenuti con quelli di altri metodi di pricing più diffusi, il metodo Montecarlo e il metodo alle differenze finite classico, in termini di accuratezza ed efficienza. Infine, grazie all indipenza delle soluzioni dai nodi di inversione, svilupperemo i codici anche per il calcolo parallelo, aumentando ulteriormente l efficienza di questi metodi. xi

12 Abstract Laplace transform is a very powerful tool, frequently used in physics ans engineering to study signals and to solve differtial equations. The aim of this work to use Laplace transform in option pricing. By adopting different methods, we will obtain the price of single and double barrier options, American options and American and European fractional lookback options in transform space, and we will use a numeric inversion algorithm to find the solution in the original space. We will focus on two different models, Black&Scholes model and Kou model. We will compare our results with those obtained with more popular pricing methods, Montecarlo method and classic finite difference method, studying accuracy and efficiency. Thanks to indepene of solutions from inversion nodes, we will develop our sequential algorithms to operate in parallel, increasing the efficiency of these methods. xii

13 Introduzione Il mercato delle opzioni è molto cambiato da quando, nel 1973, Black e Scholes [8], e successivamente Merton [40], pubblicarono gli articoli che modificarono in modo radicale la visione della finanza e che tuttora influenzano in modo consistente ogni ricerca in questo campo. Al giorno d oggi viene scambiata un enorme quantità di opzioni: basti pensare che il Chicago Board Options Exchange (CBOE), ha raggiuto e superato per il quinto anno di seguito il miliardo di contratti scambiati 1. Parallelamente all esplosione del volume di questo mercato, sono stati creati strumenti finanziari sempre più complessi e variegati: dalle classiche opzioni europee, si è passati alle opzioni americane che permettono l esercizio anticipato, alle opzioni path depant come le opzioni barriera o lookback, alle opzioni scritte su più sottostanti e molte altre. I metodi matematici per il pricing di tali contratti si sono quindi evoluti, sia dal punto di vista dell accuratezza, sia dal punto di vista dell efficienza: gli algoritmi utilizzati non devono più essere solamente precisi, ma anche competitivi per poter fornire un valido vantaggio nell ormai enorme mondo dello scambio di opzioni. 1 Fonte: CBOE ( 1

14 Introduzione Al giorno d oggi esistono molte tecniche per il pricing: i metodi basati sulla simulazione Montecarlo [1], i metodi numerici basati sulla risoluzioni di equazioni differenziali o integro-differenziali [17], o quelli basati sulla trasformata di Fourier [15]. Obiettivo di questo lavoro di tesi è lo studio del pricing di opzioni di diverso tipo tramite lo strumento della trasformata di Laplace. Partiamo dalla formula di pricing neutrale al rischio rt ( t) Q e E H F t t dove H rappresenta il payoff dell opzione che sarà pagato all istante T, t( H) il suo prezzo al tempo t (0 t T ), Q è la misura di probabilità neutrale al rischio e F t è l informazione disponibile fino al tempo t. Possiamo quindi usare la trasformata di Laplace per effettuare il pricing dell opzione; l utilizzo di questo strumento può infatti portare numerosi vantaggi: ad esempioesso permette di eliminare la discretizzazione temporale riconduco il calcolo della soluzione ad una serie di ODE indipenti. Per calcolare il prezzo nello spazio di partenza sarà infine necessario invertire numericamente i valori ottenuti nello spazio della trasformata. Per quanto riguarda il modello finanziario utilizzato, abbiamo deciso di sviluppare la ricerca sui modelli di tipo Lévy esponenziale. Il primo modello considerato è stato quello di Black&Scholes [8], che utilizza un moto Browniano geometrico per descrivere la dinamica del processo di prezzo rispetto alla misura di probabilità neutrale al rischio Q. Questo modello presenta tuttavia alcune limitazioni: per quanto sia un modello di mercato completo, non riesce a riprodurre la distribuzione leptocurtica dei rimenti e lo smile di volatilità, due elementi che si riscontrano nella realtà. Per questo motivo, il passaggio successivo è stato quello di considerare i modelli di tipo jump diffusion [17], che riescono in parte a catturare queste caratteristiche osservate empiricamente. Nel caso dei jump diffusion, l evoluzione dei prezzi è data da un processo di diffusione che

15 Introduzione presenta, ad intervalli casuali, salti positivi e negativi; la dinamica del logaritmo del processo di prezzo è modellizzata tramite un processo di Lévy esponenziale costituito da una parte gaussiana non nulla e da una parte di salto data da un processo di Poisson composto con numero di salti finito in ogni intervallo. Ci siamo concentrati sul modello di Kou [34], che utilizza una distribuzione esponenziale doppia asimmetrica per l ampiezza dei salti. Un ulteriore aspetto che merita attenzione è il problema numerico dell inversione della trasformata di Laplace. Tra i vari algoritmi a nostra disposizione, la scelta è ricaduta principalmente su due algoritmi. Il primo di essi è l algoritmo di inversione di Eulero [1], che sfrutta le serie di Fourier con un aggiunta della somma di Eulero per accelerare la convergenza della serie infinita finale. Questo algoritmo, infatti, presenta alcuni vantaggi in accuratezza e efficienza rispetto ad altri metodi di inversione: ha un alta velocità di convergenza, genera errori limitati e non richiede un elevata accuratezza numerica in termini di precisione del calcolatore (numero di cifre decimali significative). In alcuni casi abbiamo tuttavia preferito utilizzare l algoritmo di inversione di Gaver-Stehfest [50], in quanto si basa su un integrale nel dominio reale, evitando così alcuni problemi che si sarebbero presentati con l uso dell algoritmo di Eulero che richiede invece un dominio complesso. Per quanto riguarda la struttura della ricerca, useremo la trasformata di Laplace per lo studio di diversi tipi di opzioni. Inizieremo con un particolare tipo di opzioni path depant, le opzioni barriera, per poi passare alle opzioni di tipo americane e per concludere alle opzioni fractional lookback europee ed americane. Utilizzeremo quindi i tipi di modello finanziario elencati precedentemente e grazie ai risultati disponibili in [3], [30] e [51] ed altri, implementeremo il calcolo della trasformata di Laplace del prezzo di ciascuna di queste opzioni, su sottostante di Black&Scholes e successivamente di Kou. Implementeremo inoltre il metodo basato sulle simulazioni Montecarlo e il classico metodo alle differenze finite, per confrontare l accuratezza dei risultati ottenuti e l efficienza del calcolo. Le simulazioni numeriche effettuate 3

16 Introduzione mostrano che il metodo di pricing basato sull inversione della trasformata di Laplace è accurato quanto gli altri metodi considerati, e fornisce ottimi risultati in tempi significativamente inferiori. Per concludere, considereremo la possibilità di parallelizzare il calcolo della trasformata di Laplace e della sua inversa. Cercheremo di sviluppare i codici in modo compatibile con il calcolo multicore e con CUDA, una architettura hardware per l elaborazione parallela creata da NVDIA ; all interno dell ambiente di sviluppo per CUDA sono presenti le estensioni dei linguaggi più diffusi, tra cui Matlab, e che permettono di scrivere applicazioni capaci di eseguire calcoli in parallelo sulle GPU delle schede grafiche NVIDIA. Useremo quindi il calcolo parallelo per aumentare ulteriormente l efficienza dei codici e ridurre i tempi di calcolo. La struttura della trattazione è quindi la seguente: Capitolo 1: Modelli finanziari. Presentiamo in questo primo capitolo i principali risultati teorici che saranno alla base della ricerca. Ci occuperemo di teoria della misura e probabilità, di processi di Lévy, di teoria dell arbitraggio e completezza dei mercati. Introdurremo i modelli di Black&Scholes e di Kou che useremo poi per il pricing delle opzioni Capitolo : La trasformata di Laplace. In questo capitolo descriviamo lo strumento che useremo nei capitoli successivi per prezzare le opzioni: la trasformata di Laplace. Ne daremo la definizione e ne dimostreremo le principali proprietà, e concluderemo descrivo i principali risultati inerenti ai metodi numerici per invertirla. Capitolo 3: Pricing di opzioni tramite trasformata di Laplace. Nel terzo capitolo affrontiamo il tema centrale della tesi, il pricing di opzioni utilizzando la trasformata di Laplace e la sua inversa. Studieremo opzioni barriera, americane e americane lookback; mostreremo i principali risultati presenti in letteratura, 4

17 Introduzione opportunamente dimostrati, inerenti al calcolo analitico della trasformata di Laplace dei prezzi delle opzioni. Capitolo 4: Risultati numerici con algoritmi sequenziali. In questo capitolo riportiamo i risultati ottenuti dalle simulazioni numeriche effettuate su Matlab in modo seriale, cioè senza sfruttare la possibilità di operare parallelamente. Confronteremo questo metodo con altre due tecniche di pricing più diffuse, quella basata sulle simulazioni Montecarlo e quella basata sulle differenze finite classiche. Il metodo dell inversione della trasformata di Laplace risulta accurato e estremamente rapido, e risulta quindi un alternativa molto interessante e valida ai metodi più ampiamente diffusi. Capitolo 5: Simulazioni numeriche parallele. Riportiamo in questo ultimo capitolo una breve presentazione delle caratteristiche peculiari del calcolo parallelo su più processori e su scheda grafica, che permette un ulteriore riduzione dei tempi di calcolo se applicato agli algoritmi descritti nel Capitolo 4. Riportiamo quindi i risultati ottenuti con queste simulazioni numeriche parallele, mostrando con l accuratezza del metodo non cambi, e l efficienza sia decisamente migliorata. Vista la notevole diffusione dell utilizzo di ambienti di calcolo parallelo, il metodo della trasformata di Laplace assume un interesse ancora maggiore come tecnica di pricing alternativa Appice A: Codice Matlab sequenziale. Riportiamo in questa appice alcuni dei codici Matlab sequenziali utilizzati, con opportuni commenti Appice B: Codice Matlab parallelo. Riportiamo in questa appice alcuni dei codici modificati per il calcolo parallelo in Matlab, opportunamente commentati. 5

18 Capitolo 1 Modelli finanziari In questo primo capitolo forniamo un introduzione teorica al lavoro di tesi. Sono presentati i risultati principali che serviranno nel secondo capitolo: nello specifico, esibiremo risultati fondamentali di teoria della misura, di probabilità, di calcolo stocastico e processi stocastici, di teoria dell arbitraggio e di completezza dei mercati. Per concludere introdurremo i principali modelli finanziari che utilizzeremo per il pricing. 1.1 Preliminari In questa sezione presentiamo i risultati fondamentali di teoria della misura, di probabilità e di calcolo stocastico che saranno largamente utilizzati in seguito. Per ulteriori approfondimenti si faccia riferimento a [17], [4] e [3]. Definizione 1.1. Uno spazio di probabilità è una terna ( W, F, P), dove: 6

19 1.1 Preliminari è un insieme, definito insieme degli scenari, che rappresenta le diverse situazioni in cui può evolvere il mercato; ogni scenario è definito dal cammino del processo di prezzo studiato; F è una -algebra definita su ; P è una misura positiva su F. Un insieme misurabile A F si dice evento; esso è composto da un certo numero di scenari, a cui è possibile associare una probabilità; P si dirà quindi misura di probabilità. Definizione 1.. Una coppia (, G ) con insieme e G -algebra su si dice spazio misurabile. Definizione 1.3. Siano (, F, P) uno spazio di probabilità e (, G ) uno spazio misurabile. Una variabile aleatoria è una funzione X : misurabile, cioè tale che X 1 ( A) F, AG (1.1) Una variabile aleatoria si dice reale se e G B( )( -algebra di Borel). Definizione 1.4. Sia X una variabile aleatoria a valori nello spazio misurabile (, G ). Definiamo legge di X la funzione definita su G da 1 X ( A) P[ X ( A)], AG (1.) Definizione 1.5. Sia X una variabile aleatoria a valori nello spazio misurabile (, G) e con legge X. Si dice densità di X rispetto alla misura su (, G) la derivata di Radon-Nikodym: f dx (1.3) d cioè f è una qualunque funzione misurabile che rispetti la seguente proprietà: Pr[ X A] fd (1.4) 7 A

20 Capitolo 1. Modelli Finanziari Limitiamo ora il nostro studio alle variabili aleatorie reali. In questo modo possiamo introdurre il concetto di integrale e di conseguenza definire il valore atteso di una variabile aleatoria. Definizione 1.6. Sia X una variabile aleatoria reale su (, F, P). Definiamo valore atteso di X la quantità E[ X ] X( ) dp[ ] x ( dx) X (1.5) Definizione 1.7. Siano X una variabile aleatoria reale semi-integrabile inferiormente e D una sotto -algebra di F. Si dice valore atteso condizionato di X rispetto a D, e si indica con E[ X D ], la classe di equivalenza delle variabili aleatorie reali Z, D -misurabili e semi-integrabili inferiormente, tali che B La formula (1.6) equivale alla seguente scrittura: B B D ZdP= XdP (1.6) E[ ZW ] E[ XW ], W variabile aleatoria D misurabile, positiva e limitata (1.7) Definizione 1.8. Sia X una variabile aleatoria su (, F, P) a valori in d con legge. La sua funzione caratteristica : C è definita come: X X d iux (, ) iux (, ( )) iux (, ) d X ( u): E [e ] e P [ d] e ( dx), u (1.8) X e principali proprietà della funzione caratteristica sono: 1) X () u 1; ) ( u) () u, dove con indichiamo il complesso coniugato di ; X X n 3) Se X=( X1,..., X d ) e E [ X j ] per qualche 1j d e n, allora n n n j n X u 0 u j E [ X ] i ( u) (1.9) Ogni variabile aleatoria X può essere decomposta come X X X, dove X rappresenta la parte positiva e X la parte negativa. X si dice semi-integrabile inferiormente se X è integrabile. 8

21 1.1 Preliminari Definiamo inoltre una proprietà molto importante per i processi che studieremo, l infinita divisibilità, perché ci permetterà in seguito di definire il concetto di tripletta di una variabile aleatoria, largamente utilizzato nello studio dei processi di pricing. Definizione 1.9. Sia X una variabile aleatoria su d con legge X. X si dice infinitamente divisibile se n esistono n variabile aleatorie indipenti e identicamente distribuite (i.i.d) X1,..., X n tali che X X1... Xn (1.10) Vediamo quindi alcuni esempi di variabili aleatorie che godono nella proprietà di infinita divisibilità: Variabili aleatorie gaussiane : una variabile aleatoria X con legge X si dice gaussiana di media m E [ X] e varianza E [( X m) ], con m e 0, se ha densità: ( x m) 1 fx () e (1.11) e scriveremo X Nm (, ). La funziona caratteristica di una variabile aleatoria gaussiana è: 1 () e ium u (1.1) X u Si può inoltre dimostrare che una variabile gaussiana è infinitamente divisibile m con Xj N,, j 1,..., n n n. Variabili aleatorie di Poisson: una variabile aleatoria X a valori in si dice di Poisson se esiste 0 tale che e scriveremo X Pois( ). n e P [ X n] (1.13) n! 9

22 La funzione caratteristica in questo caso è Capitolo 1. Modelli Finanziari iu X ( u) exp (e 1) (1.14) n Anche in questo caso si può dimostrare che una variabile di Poisson è infinitamente divisibile, con Xj Pois, j 1,..., n n. Variabili aleatorie con distribuzione composta di Poisson: consideriamo le variabili aleatorie Zn, n iid a valori reali con legge Z e sia N una variabile aleatoria tale che N Pois( ), indipente dalle Z n. La variabile aleatoria X, definita come X N Zn (1.15) n1 X CP, Z. ha distribuzione composta di Poisson, e scriveremo La funzione caratteristica è X iuz Z dz ( u) exp e 1 (1.16) e si può dimostrare che anche una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson composta è infinitamente divisibile con X CP,, j 1,..., n Definizione Sia ν una misura di Borel definita su. Si dice che è una misura di Lévy se x 1 ( dx) e ({0}) 0 (1.17) Grazie a quest ultima definizione è possibile dimostrare il seguente teorema: j Z Teorema (Formula di Lévy-Khintchine) X è una variabile aleatoria infinitamente divisibile se esistono, 0, misura di Lévy tali che u, 1 iux X( u) exp iu u e 1 iux { x 1} ( dx) 1 (1.18) Inoltre ogni funzione in forma (1.18) è funzione caratteristica di una variabile aleatoria infinitamente divisibile su. 10

23 1.1 Preliminari Per la dimostrazione si veda [46]. La tripletta (,, ) è detta tripletta caratteristica della variabile aleatoria X. Riscrivo la formula (1.18) come esponente caratteristico di X. ( ) () e u, la funzione ( u): è detta X u Ripro le tre distribuzione presentate come esempio, si ottiene quindi: Nel caso di variabile aleatoria gaussiana con la (1.18) si ricava m, s, 0. X Nms (, ), confrontando la (1.1) Nel caso di variabile aleatoria di Poisson X Pois( ), dal confronto tra la (1.14) e la (1.18) si ricava concentrata su {1}. 0, 0,, dove 1 è la misura di Dirac Nel caso di variabile aleatoria con distribuzione composta di Poisson X CP, dal confronto tra (1.16) e (1.18) si ricava, Z z Z( dz), 0, Z. z 1 Il fenomeno che andiamo a studiare, ossia la variazione del prezzo dell asset nel corso del tempo, avrà bisogno di una variabile temporale t che permetta di tenere in conto la sua natura intrinsecamente dinamica. Inoltre è importante considerare il fatto che alcune quantità che al tempo t=0 risultano sconosciute, potrebbero essere invece disponibili ad un qualche t>0. È necessario quindi arricchire lo spazio di probabilità con una o più componenti che dipono la tempo. 1 Iniziamo introduco il concetto di filtrazione: Definizione 1.11 Sia F una -algebra su. Una famiglia ( F t ) t 0 di sotto--algebre di F si dice filtrazione se: Fs F t quando st (1.19) Uno spazio di probabilità ( W, F, P), dotato di una filtrazione ( F t ) t 0 si dice essere filtrato, e viene indicato con (, F,( Ft) t0, P). 11

24 Capitolo 1. Modelli Finanziari A volte la filtrazione non sarà specificata; in questo caso si considera la filtrazione naturale F ( X,0 st). t s La filtrazione F t rappresenta l informazione disponibile al tempo t. Qual è il vantaggio di definire una filtrazione? Dal momento che la probabilità del verificarsi di un evento cambia nel tempo, a seconda di ciò che è accaduto fino ad ora, la filtrazione ci permette di modellizzare l impatto delle nuove informazioni condizionando X rispetto a F t, senza modificare la probabilità P. Tutti gli eventi appartenenti ad F t sono quelli per i quali al tempo t l osservatore è in grado di dire se si siano verificati o meno; allo stesso modo una variabile aleatoria F t -misurabile sarà una variabile aleatoria il cui valore al tempo t è noto. Le seguenti condizioni sono introdotte per evitare difficoltà tecniche lavorando con le filtrazioni: La filtrazione ( F t ) t 0 deve essere continua a destra, cioè F t Ft per ogni t, dove F t 0 F t F 0 deve contenere tutti gli insiemi di probabilità nulla. Introduciamo ora la definizione di processo stocastico: Definizione 1.1. Si dice processo stocastico una famiglia di variabili aleatorie ( X t ) t 0 definite su uno spazio di probabilità (, F, P) a valori in uno spazio misurabile (, G ). Definizione Un processo stocastico definito sullo spazio di probabilità filtrato (, F,( Ft) t0, P) è F t -adattato se X t è F t -misurabile, t 0. Inoltre ogni processo è adattato alla sua filtrazione naturale. Osserviamo che la traiettoria X( ): t X t ( ) definisce una funzione del tempo: possiamo quindi vedere i processi stocastici come funzioni aleatorie, ossia variabili aleatorie a valori in spazi di funzioni. 1

25 1.1 Preliminari I processi possono essere di vario tipo: ci sono quelli con traiettorie continue, che possono essere costruiti come variabili aleatorie definite sullo spazio delle funzioni continue; tuttavia nel nostro lavoro useremo inoltre processi con traiettorie discontinue, ed è quindi necessario definire una particolare classe di funzioni che ci permetta di gestire queste discontinuità. Definizione 1.14 Una funzione f :[0, T] si dice cadlag se è continua a destra con limite a sinistra; ciò significa che t [0, T] esistono i limiti d e che ft () ft ( ). ft ( ) lim fs ( ) e ft ( ) lim fs ( ) st st Da questa definizione deduciamo che ogni funzione continua è cadlag, ma una funzione cadlag può essere discontinua; nel caso in cui t sia un punto di discontinuità, indichiamo con ft () ft () ft ( ) (1.0) il salto di f in t. Una funzione cadlag ha un numero finito di grandi salti e un numero finito o al più numerabile di piccoli salti. Definizione Un processo stocastico ( X t ) t 0 si dice cadlag se per quasi ogni le sue traiettorie sono funzioni cadlag. Il suo limite sinistro sarà indicato come X t lim X s e con Xt Xt Xt l ampiezza del salto al tempo t. st 13

26 Capitolo 1. Modelli finanziari 1. Processi di Lévy Introduciamo ora i processi stocastici a tempo continuo che useremo all interno della nostra trattazione, i processi di Lévy. Per approfondimenti si faccia riferimento a [4] e [17]. Definizione Un processo stocastico cadlag ( X t ) t 0 sullo spazio di probabilità (, F, P) a valori in d tale che X 0 0 si dice processo di Lévy se soddisfa le seguenti proprietà: i) Incrementi indipenti: per ogni sequenza crescente di tempi t 0 t 1... tn le variabili aleatorie Xt, X,..., 0 t1t X 0 tn t sono indipenti. n1 ii) Incrementi stazionari: la legge di Xth Xt non dipe da t. iii) Continuità stocastica: 0, lim h0p [ Xth Xt ] 0. Osserviamo che la terza condizione serve per escludere processi con salti in istanti fissi non aleatori. Infatti essa può essere tradotta con la seguente definizione: per ogni t fissato la probabilità di vedere un salto in t è nulla; quindi le discontinuità si verificano in istanti casuali. Ripriamo il concetto di infinita divisibilità introdotto nel capitolo precedente e diamo la seguente proposizione: Proposizione Sia ( X t ) t 0 un processo di Lévy. Allora la variabile aleatoria X t è infinitamente divisibile, t 0. Per la dimostrazione si faccia riferimento a [46]. Vale inoltre il seguente risultato, che permette di definire la funzione caratteristica di un processo di Lévy: Teorema 1... Sia ( X t ) t 0 un processo di Lévy. Allora t( u) d X ( u) e, u, t0, (1.1) t 14

27 1. Processi di Lèvy dove () u è l esponente caratteristico di X 1. Per la dimostrazione si veda nuovamente [46]. Possiamo quindi introdurre la formula di Lévy-Khintchine per i processi di Lévy. Teorema Sia ( X t ) t 0 un processo di Lévy su d e sia (, A, ) la tripletta caratteristica di X 1. Allora iux (, t ) t( u) d E[e ] e, t0, u (1.) con 1 () u (, u Au) i(, u) (e 1 i(, u x) )( dx) iux (, ) d { x 1} 1 (1.3) Da questo momento, quindi, potremo definire le caratteristiche del processo ( X t ) t 0 faco riferimento solamente alle caratteristiche della variabile X 1. Vediamo ora i principali processi di Lévy, che useremo nelle prossime sezioni. Moto Browniano Definizione Un processo stocastico ( B t ) t 0 a valori reali è un moto Browniano standard se: i) B0 0 q.c.; ii) 0 s t, la variabile aleatoria Bt Bs è indipente da F s ; iii) 0 s t, la variabile aleatoria Bt Bs ha legge N(0, t s). La funzione caratteristica di un moto Browniano è data da: 1 B ( u) exp tu, t 0, u (1.4) t 15

28 Capitolo 1. Modelli Finanziari A partire dalla definizione (1.17) possiamo costruire il moto Browniano con drift nel seguente modo: priamo b e 0, e poniamo X bt B (1.5) t t In questo caso la funzione caratteristica è: 1 X ( u) exp t ibu u, t 0, u (1.6) t Elenchiamo ora alcune proprietà del moto Browniano: 1 i) il moto browniano è localmente continuo e -holderiano, 0, significa che T 0, esiste K KT (, ) tale che ; ciò B( ) B( ) Kts 0 st T; (1.7) t s ii) le traiettorie del moto Browniano t B ( ) sono quasi certamente non differenziabili. iii) le traiettorie del moto Browniano non sono a variazione finita su alcun intervallo di tempo q.c.; t iv) t successione in con t n si ha n n liminf B q.c. e limsup B q.c. (1.8) n tn n v) vale la legge del logaritmo iterato: B t P lim sup 1 1 (1.9) t0 1 1 t ln ln t tn Processo di Poisson Definizione Sia i i 1 una successione di variabili aleatorie esponenziali di parametro indipenti e sia T n n i. Il processo i1 t t 0 16 N definito come

29 1. Processi di Lèvy si dice processo di Poisson di intensità. N 1 (1.30) t { Tn t} n1 Questo tipo di processi è detto counting process: esso conta infatti il numero di tempi aleatori T n (istanti di salto) che si verificano tra 0 e t, quando gli interarrival times T T sono variabili aleatorie esponenziali indipenti. i i 1 i 1 i i 1 Nel caso di processo di Poisson, la funzione caratteristica è: N ( u) exp t(e 1), t0, u (1.31) t Elenchiamo anche in questo caso le principali proprietà di questi processi: iu i) per ogni, le traiettorie del moto Browniano t N ( ) sono costanti a tratti con discontinuità (salti) di ampiezza 1 in corrispondenza dei tempi n n aleatori T ; ii) per ogni t>0, alla seguente scrittura: N t ha distribuzione di Poisson di parametro t, che equivale ( ) n t t n, P[ Nt n] e n! (1.3) A partire dal processo di Poisson, possiamo definire il processo di Poisson N nel modo seguente: compensato t t 0 Grazie alla differenza di t, risulta che il processo centrata. La funzione caratteristica in questo caso è: N : N t, t0 (1.33) t t t N t segue distribuzione di Poisson N ( u) exp t(e 1 iu), t 0, u (1.34) t iu 17

30 Capitolo 1. Modelli Finanziari Processo di Poisson composto Definizione Siano Zn, n variabili aleatorie i.i.d. a valori reali con legge comune Z e sia Nt t 0 un processo di Poisson di parametro indipente da Zn. Un processo di Poisson composto di intensità n 1 e distribuzione dei salti Z è un processo stocastico X t definito come: X t N t Z (1.35) n1 n La funzione caratteristica di un processo di Poisson composto è definita come: ( ) exp (e iuz X u t 1) ( ), 0, t Z dz t u (1.36) 1.3 Martingale, tempi di arresto e misure aleatorie In questa sezione presentiamo i concetti di martingala, tempo di arresto e misura aleatoria. Enunciamo la proprietà di Markov forte per i processi di Lévy e concludiamo con quello che è forse il risultato più importante del calcolo stocastico e che useremo ampiamente nei prossimi capitoli: la decomposizione di Lévy-Itô. Facciamo riferimento a [4] e [17]. Definizione 1.0. Sia Xt t 0 un processo adattato definito su uno spazio di probabilità filtrato (, F,( Ft) t0, P). Supponiamo che il processo soddisfi la condizione di integrabilità seguente: Diremo che il processo Xt t 0 è una martingala se E[ X ], t 0 (1.37) t E[ X F ] X q.c., 0 st (1.38) t s s 18

31 1.3 Martingale e tempi d arresto Definizione 1.0. Sia Xt t 0 un processo adattato definito su uno spazio di probabilità filtrato (, F,( Ft) t0, P) per cui vale la condizione (1.37) e inoltre E[ X F ] X q.c., 0 st (1.39) t s s è detto submartingala. Analogamente un processo adattato Xt t 0 definito su uno spazio di probabilità filtrato (, F,( Ft) t0, P) per cui vale la condizione (1.37) e inoltre è detto supermartingala. E[ X F ] X q.c., 0 st (1.40) t s s Forniamo ora alcuni esempi di processi che sono anche martingale: i) Bt t 0 con Bt Wt, con W t t 0 moto Browniano standard e 0 ; 1 M con t exp t ii) t t 0 iii) Nt t 0 M ub u t, con u ; processo di Poisson compensato con intensità ; con iv) Mt t 0 intensità. t t, dove Nt t 0 M N t processo di Poisson compensato con Introduciamo ora il concetto di tempo di arresto. Definizione 1.. Sia ( F t ) t 0 una filtrazione. Un tempo di arresto è una variabile aleatoria : [0, ] per cui l evento Si pone inoltre t F, t0 (1.41) t F { AF, A{ t} F t0} (1.4) dove F tf t è la più piccola -algebra di parti di contenente t. Proposizione Siano 1 e tempi di arresto. Allora: t t F 1 è F -misurabile; 1 19

32 Capitolo 1. Modelli Finanziari max{, } e min{, } sono tempi di arresto; se 1, allora F F 1 ; F F F. 1 1 Per la dimostrazione si faccia riferimento a [4]. Per comprere meglio il concetto appena espresso, forniamo due esempi. Definizione 1.3. Sia Xt t 0 un processo stocastico cadlag Ft -adattato e sia A B( ). Il tempo di primo passaggio nell insieme A è definito come il primo istante in cui il processo raggiunge l insieme A: inf{ t0 : X A} (1.43) A Si adotta la seguente convenzione: inf{ }, quindi se X A t 0. Si può dimostrare che A è un tempo di arresto se A è aperto o chiuso. Priamo invece il primo istante in cui un processo ( X t ) t 0 raggiunge il suo massimo, t A t max inf{ t[0, T]: X sup X } (1.44) t s[0, T] non è un tempo d arresto; concettualmente ciò può essere suggerito dal fatto che per conoscere il valore massimo è necessario aspettare fino a T: se siamo in possesso solo s dell informazione contenuta in F t, cioè fino all istante t<t, max non è noto. Enunciamo ora un teorema che mette in relazione martingale e tempi di arresto: Teorema Sia ( X t ) t 0 una martingala cadlag e siano 1 e tempi d arresto limitati tali che 1 qc.. Allora X ex 1 sono integrabili e E[ X F ] X, t0. (1.45) 1 1 Enunciamo quindi la proprietà di Markov forte per i processi di Lévy: 0

33 1.3 Martingale e tempi d arresto Teorema Se ( X t ) t 0 è un processo di Lévy e è un tempo di arresto allora sull insieme { }: i) ( Xt ) t 0 è un processo di Lévy indipente da F ; ii) t 0, t ha la stessa legge di X t ; X iii) ( X ) 0 ha traiettorie cadlag ed è F t -adattato. t t Consideriamo ora il processo di salto ( X t ) t 0 associato al processo di Levy ( X t ) t 0. Definiamo il processo di salto nel modo seguente: X : X X, t 0 (1.46) t t t Questo è un processo adattato, ma non è necessariamente un processo di Lévy; anzi molto spesso risulta un processo molto complicato da studiare. Al posto di studiare direttamente il processo, lo caratterizzeremo tramite il conteggio dei salti di ampiezza definita. Iniziamo forno alcune definizioni. Definizione 1.4. Sia d E. Una misura di Radon su ( E, B ( E)) è una misura tale che per ogni insieme compatto misurabile AB ( E) si ha ( A). Definizione 1.5. Sia (, F, P) uno spazio di probabilità. Una misura aleatoria su ( E, E ) è una mappa M : E tale che i) AE la mappa M(,A) è una variabile aleatoria; ii) q.c. A M(, A) è una misura su E. Definizione 1.6. Sia (, F, P) uno spazio di probabilità, sia d E e sia una misura di Radon positiva su ( E, B ( E)). Una misura aleatoria di Poisson su E con intensità è una misura aleatoria a valori interi M : B( E), (, A) M(, A) tale che: 1

34 Capitolo 1. Modelli Finanziari i) per q.o., M(,) è una misura di Radon a valori interi su E: ciò significa che A E, A misurabile e limitato, si ha che MA ( ) è una variabile aleatoria a valori interi; ii) A E, A misurabile, M(, A) MA ( ) è una variabile aleatoria di Poisson di parametro ( A) : ( ) ( ( )) k A A, P( ( ) ) e ; (1.47) k! k MAk iii) per A1,..., A B ( E) insiemi misurabili t.c. A A, i j, le variabili n aleatorie MA ( 1),..., MA ( n) sono indipenti. Possiamo a questo punto caratterizzare il processo di salto contando il numero di salti di ampiezza definita. Osserviamo infatti che ad ogni processo cadlag è possibile i j associare una misura aleatoria su che descrive i salti di tale processo. Per ogni insieme misurabile E, sia JX ( E) # {( t, Xt ) E}. (1.48) Abbiamo che per ogni insieme misurabile E, JX ( E) ([ t1, t] A) conta il numero di istanti di salto del processo ( X t ) t 0 nell intervallo [ t 1, t ] la cui ampiezza appartiene ad A. Caratterizziamo la J ( E ) appena definita: X Proposizione Sia ( X t ) t 0 un processo di Poisson composto con intensità e distribuzione di ampiezza dei salti f. La sua misura di salto J X è una misura aleatoria di Poisson su con intensità ( dt dx) ( dx) dt f ( dx) dt. (1.49) Per la dimostrazione si veda [17]. Possiamo allora caratterizzare in modo più specifico la definizione (1.10) di misura di Lévy.

35 1.3 Martingale e tempi d arresto Definizione 1.7. Sia ( X t ) t 0 un processo di Lévy su d. La misura su definita come: d ( A): E[ # { t[0,1]: X A}], AB( ) (1.50) è detta misura di Lévy del processo ( X t ) t 0 ; ( A) è il numero medio di salti, per unità di tempo, la cui ampiezza appartiene ad A. Questa definizione rispetta le proprietà dei processi cadlag: per ogni insieme compatto A t.c. 0 A il processo ( X t ) t 0 ha un numero finito di salti di ampiezza finita; tuttavia, ( X t ) t 0 potrebbe avere un numero infinito di piccoli salti in [0,T]. d Quindi definisce una misura di Radon su \ {0}. Presentiamo ora quello che è certamente un risultato fondamentale del calcolo stocastico: la decomposizione di Lévy-Itô. Proposizione Sia ( X t ) t 0 un processo di Lévy con tripletta i) è una misura di Radon su \ {0} e verifica: t d (,, ). Allora: ii) la misura di salto di ( X t ) t 0 con intensità ( dx) dt ; x ( dx) e ( dx) ; x1 (1.51) x1 J, X iii) esiste un moto Browniano ( B t ) t 0 di varianza dove l t X xj ( dsdx) x 1, s[0, t] x 1, s[0, t] X, è una misura aleatoria di Poisson su l t t t t 0 X x{ J ( dsdx) ( dx) ds}. t X tale che X tb X lim X, (1.5) I termini dell equazione (1.5) sono indipenti e la convergenza dell ultimo termine è quasi certa e uniforme in t. 3

36 Capitolo 1. Modelli Finanziari Per la dimostrazione si veda [17]. L equazione (1.5) può essere divisa in due parti: La prima parte, t Bt, è un processo di Lévy gaussiano continuo, e ogni processo di Lévy gaussiano continuo può essere scritto in questa forma; di conseguenza per descrivere questo processo è sufficiente conoscere il drift e la varianza. La seconda parte, composta dai due termini integrali, rappresenta la parte discontinua del processo. X t l raccoglie i salti con ampiezza in modulo maggiore di 1: grazie alla prima delle due condizioni (1.51), il processo ha un numero finito di grandi salti, quindi la somma X l t Xs 1 X 0 s t s ha q.c. un numero finito di termini e X t l è un processo di Poisson composto. raccoglie invece i piccoli salti; anche X Xs 1 t 0 s t X s Xt è un processo di Poisson composto, tuttavia poiché può avere singolarità in 0, possono esserci infiniti piccoli salti e la loro somma potrebbe non convergere. Per ottenere questa convergenza è necessario sostituire l integrale con la sua versione compensata X t. Infine, dalla formula (1.5) si può osservare che ogni processo di Lévy è combinazione di un moto Browniano con drift e una somma, eventualmente infinita, di processi di Poisson composti indipenti: è quindi possibile approssimare con precisione arbitraria un processo di Lévy con un processo jump-diffusion, cioè con la somma di un moto Browniano con drift e di un processo di Poisson composto. 4

37 1.4 Teoria dell arbitraggio e completezza dei mercati 1.4 Teoria dell arbitraggio e completezza dei mercati In questa sezione affrontiamo i cambi di misura equivalenti, che permetterà di costruire la misura di martingala equivalente ed eseguire quindi il pricing delle ozpioni. Da questi risultati passeremo quindi ai principali concetti di teoria dell arbitraggio e di completezza dei mercati. Applicheremo infine i concetti presentati al caso dei modelli di Lévy, e introdurremo i modelli di tipo Lévy esponenziale che costituiranno la base del successivo lavoro di pricing. Durante la trattazione di questi argomenti faremo riferimento a [17]. Forniamo alcune definizioni. Definizione 1.8. Definiamo contingent claim con scadenza T una variabile aleatoria non negativa F t -misurabile. Possiamo rappresentare un contingent claim con scadenza T specificando il suo payoff 3 H( ) in ogni scenario: poiché il valore di H è noto solo in T, la funzione H : è F T -misurabile. Definizione 1.9. Consideriamo un mercato con d asset i cui prezzi sono modellizzati tramite un processo stocastico portafoglio è un vettore 1 1 d t t t d S ( S,..., S ) che supponiamo essere cadlag. Un (,..., ) che descrive la quantità di ogni asset posseduta dall investitore. Il valore di tale portafoglio al tempo t è dato da d k k V ( ) S (1.53) t k1 Una strategia di trading consiste nel mantenere il portafoglio dinamico t acquistando e vo assets in istanti temporali differenti. Indichiamo con 0 T0 T1... Tn Tn1 T gli istanti temporali in cui si verificano queste transazioni causate dalla compravita degli assets; tra due istanti t 3 Per payoff si inte il pagamento realizzato dal possessore dell opzione alla scadenza T, a seconda dello scenario che si verifica in T. 5

38 Capitolo 1. Modelli Finanziari e Ti Ti 1 assumiamo che il portafoglio resti invariato e indichiamo con i la sua composizione nell intervallo di tempo ( TT i, i 1]. Possiamo esprimere il portafoglio t nel modo seguente: n t 0 { t0} i ( TT i, i 1] i0 1 1 () t (1.54) Il portafoglio è quindi un processo predicibile semplice, infatti: Definizione Un processo stocastico t [0, T] si dice processo predicibile se può essere scritto nella forma (1.54), dove 0 T0 T1... Tn Tn 1 T sono tempi aleatori adattati e ogni i è una variabile aleatoria limitata valore è noto in T i. F T i -misurabile, cioè il cui Ogni strategia di trading dovrebbe essere un processo predicibile semplice, o al massimo dovrebbe essere approssimabile da strategie della forma (1.54) per evitare che si generino opportunità di arbitraggio. Definizione Il processo stocastico definito da ( Gt( )) t [0, T] definito da j1 G ( ) S ( S S ) ( S S ) per T tt (1.55) t 0 0 i Ti1 Ti j t Tj j j1 i0 si dice processo di guadagno della strategia. Possiamo riscrivere il processo di prezzo come n G ( ) S ( S S ) (1.56) t 0 0 i Ti 1 t Ti t i0 Il processo definito in (1.56) è detto integrale stocastico del processo predicibile rispetto a S e scriviamo L integrale stocastico t ds : S ( S S ) (1.57) 0 t 0 n u u 0 0 i Ti 1 t Ti t i0 ds u u rappresenta il capitale accumulato tra 0 e t seguo la strategia. La differenza tra il valore del portafoglio Vt( ) tst e il valore del processo di guadagno rappresenta il costo della strategia fino al tempo t: 6

39 1.4 Teoria dell arbitraggio e completezza dei mercati t V ( ) G ( ) S ds. (1.58) t t t t u u 0 Definizione 1.3. Una strategia t [0, T] si dice autofinanziante se il suo costo è q.c. uguale a 0. Nel caso di strategia autofinanziante, il valore del portafoglio è dato dalla somma del valore iniziale e del capitale guadagnato: t V ( ) ds S ds t u u 0 0 u u 0 0 t (1.59) Questa scrittura significa che le variazioni del valore del portafoglio sono dovute solamente a variazioni nel valore degli assets e non all aggiunta o al ritiro di capitale. Il processo di guadagno associato alla strategia possiede la seguente proprietà: Proposizione Se ( S t ) t [0, T ] è una martingala, allora per ogni processo predicibile semplice il processo di guadagno ( Gt( )) t [0, T] è a sua volta una martingala. Si faccia riferimento a [17] per la dimostrazione. Dalla proposizione appena enunciata deduciamo che, nel caso di strategia autofinanziante, in cui V ( ) G ( ), se ( S t ) t [0, T ] è una martingala allora il valore della strategia Vt ( ) è una martingala. t t Consideriamo quindi un mercato descritto dallo spazio di probabilità (, F, P) e dalla filtrazione ( F t ) t [0, T ]. Descriviamo gli assets attraverso un processo cadlag adattato d1 0 1 d t t t S : [0, T], (, t) ( S ( ), S ( ),..., S ( )), dove S ( ) rappresenta il valore dell asset i al tempo t e 0 S t è un numerario 4, che utilizziamo per il processo di sconto. Per ogni portafoglio di valore V t, il valore scontato è definito nel modo seguente: i t 4 Per numerario si inte un bene presente sul mercato il cui valore è assunto come unità di misura per esprimere poi in funzione di esso i valori degli altri beni. 7

40 Capitolo 1. Modelli Finanziari e 0 t 0 0 t T ˆ V Vt (1.60) S BtT (, ) S / S è chiamato fattore di sconto. Considerando come numerario S e rt, il fattore di sconto sarà allora dato da t 0 t ( ) BtT (, ) e rt t. Fatte queste premesse teoriche, cerchiamo ora di risolvere il problema centrale di questa sezione: definire una regola di pricing. Ciò significa attribuire un valore ad ogni contingent claim H H, dove H è la sottoclasse dei contingent claim selezionati. Definizione Definiamo regola di pricing una procedura che attribuisce ad ogni contingent claim H H un valore t( H) ad ogni istante temporale. Una regola di pricing deve soddisfare queste tre proprietà: i) t( H) deve essere un processo adattato, infatti è necessario riuscire a calcolare il valore di t( H) solo grazie alle informazioni note in t; ii) un contingent claim con payoff positivo deve avere valore positivo:, H( ) 0 t[0, T], ( H) 0; (1.61) iii) il valore di un portafoglio deve essere uguale alla somma dei valori delle sue componenti: J J H ( H ). t j t j j1 j1 t (1.6) Consideriamo ora un caso semplice: lo zero-coupon bond 5. Per ogni evento A F, la variabile aleatoria 1 { A} rappresenta il payoff di un contingent claim che paga 1 in T se l evento A si verifica e 0 altrimenti. Assumiamo 1 { A} H, e in particolare abbiamo che 1 { } 1 è uno zero-coupon bond che paga 1 in T. Il suo valore (1) rappresenta t 5 Uno zero-coupon bond (ZCB) è un obbligazione scambiata ad un valore minore del suo valore nominale; il valore nominale viene poi pagato alla maturity T. Non ha pagamenti di interessi periodici (coupon), da qui il nome zero-coupon. In Italia un esempio tipico di ZCB è il Buono Ordinario del Tesoro (BOT). 8