Esercizio Segnalazioni di disapprovazione. Esercizio 2

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1 A Dovete aiutare la brava conduttrice televisiva Monia Sventura a completare il cast del suo nuovo programma. La squadra è quasi al completo e Monia deve trovare soltanto le ultime due concorrenti. A complicare l operazione ci sono diversi aspetti da considerare:. Monia rischia di perdere diverse amicizie con questo programma e, per salvarne qualcuna, vorrebbe inserire nel cast almeno una amica;. Per ogni candidata sono pervenute diverse segnalazioni di apprezzamento o disapprovazione da parte di autorevoli personaggi, e Monia ha deciso di selezionare candidate che raccolgano complessivamente almeno 7 segnalazioni di apprezzamento e non più di 4 di disapprovazione; 3. per ogni candidata Monia ha espresso un voto in decimi (in tabella), che valuta le doti principali della stessa in fatto di: bellezza fisica, litigiosità, richieste finanziarie, nonché l eventuale rapporto di amicizia ed il numero di segnalazioni pervenute. Fornire un modello di PL del problema di selezionare due candidate tali che la bellezza media delle due candidate sia almeno 6, la litigiosità media sia almeno 7, minimizzando il costo delle assunzioni e soddisfacendo i requisiti di cui al punto e. Candidata Ella Nonatelia Ada Pisiceya Lea Missarez Amica di Monia si no no si Segnalazioni di apprezzamento Segnalazioni di disapprovazione 3 Bellezza fisica Litigiosità Richieste Petra Di Cormeni finanziarie Per semplificare la soluzione del problema, si supponga di poter assumere un numero frazionario di persone, ovvero che un cast composto da (0,5 Ella + 0,8 Ada + 0,6 Lea + 0, Petra) sia ammissibile. A questa soluzione corrisponde, ad es., un numero medio di segnalazioni di apprezzamento 7,6/=3,8.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. ma libera, In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 7 nodi, sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso ammissibile. A partire dal flusso dato trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 7 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Archi (,) (,3) (,4) (,3) (,5) (3,5) (3,6) (4,6) (5,6) (5,7) (6,7) Capacità Flussi Fornire la definizione di insieme convesso, funzione convessa, problema di programmazione convessa. Dimostrare che nei problemi di Programmazione Convessa un punto di minimo locale è anche punto di minimo globale.

2 B A seguito di uno spiacevole inconveniente di natura tecnica il tour operator BelleVacanze deve riuscire a trasferire a casa due gruppi di turisti rimasti bloccati alle Maldive e alle Seychelles. Il gruppo rimasto bloccato alle Maldive è composto da 0 persone di Roma e 7 di Milano. Mentre il gruppo bloccato alle Seychelles è composto da 9 persone di Milano e 4 di Roma. Ogni notte passata alle Maldive comporta un costo di 00 euro a persona, mentre una notte aggiuntiva alle Seychelles costa 0 euro. Il volo charter sarà disponibile per riportare le persone alle loro destinazioni tra 3 giorni. Inoltre è possibile trasferire i turisti con voli di linea. Tutti i voli disponibili, con il loro costo unitario, sono riportati in Tabella. Si assumano sempre possibili le coincidenze tra una partenza del mattino con destinazione e una partenza pomeridiana da, così come una partenza pomeridiana con destinazione e una partenza serale da. Formulare il problema come un problema di flusso a costo minimo. Destinazione Costo unitario per il Giorno tour operator Maldive- Milano 50 euro mattina Milano-Roma 40 euro pomeriggio Seychelles- Roma 300 euro mattina Maldive- Francoforte 300 euro mattina Francoforte- Roma 80 euro pomeriggio Roma-Milano 40 euro sera Seychelles- Maldive 0 euro 3 mattina Maldive- Roma 00 euro 3 pomeriggio Roma-Milano 0 euro 3 sera State applicando l algoritmo di Floyd e Warshall ad un grafo con 5 nodi. Alla fine del passo ottenete le matrici in figura (quella di sinistra indica i cammini minimi, quella di destra i predecessori). Effettuate i passi 3, 4 e 5 dell algoritmo e mostrare i cammini minimi dal nodo al nodo 4 e dal nodo 4 al nodo. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate un ciclo negativo min +. Portare il problema in forma standard Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. libera, Applicare la regola di Bland. Illustrare il problema di flusso di costo minimo. Dimostrare che una base della matrice dei coefficienti coincide con un albero ricoprente della rete di flusso.

3 C Una società chimica produce tre solventi A,B,C, i cui prezzi di vendita sono, rispettivamente, 50, 80 e 0 euro/kg. Il profitto sul solvente C è pari al 5% del prezzo di vendita, mentre il profitto su A e B è pari al 0% del prezzo di vendita. La società desidera ottenere un fatturato mensile non inferiore a 0 milioni di euro. Il processo produttivo di A e B genera un residuo tossico da smaltire pari 6 gr di residuo per kg di A prodotto e 8 gr di residuo per kg di B prodotto. Il residuo tossico viene smaltito in un impianto apposito nello stesso mese di produzione, l impianto di smaltimento ha una capacità massima di tonnellate/mese. Il solvente C è un sottoprodotto della lavorazione di A e B, per cui per produrre un kg di C è necessario produrre almeno kg di A e kg di B. Si formuli come problema di PL il problema determinare i livelli mensili di produzione di A, B, C tali da massimizzare il profitto complessivo. Nelle due tabelle sono riportati gli 8 archi di una rete di flusso con 7 nodi e la domanda ai 7 nodi, con la convenzione che una domanda negativa è una disponibilità di flusso. Utilizzando la fase del simplesso su reti determinare se la rete ammette una flusso ammissibile oppure no. Archi (,) (,4) (,3) (3,5) (4,6) (4,7) (6,5) (6,7) Nodo Domanda Dato il problema di PL in figura,. impostare il problema duale e risolverlo con il metodo grafico;. Se il duale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del duale ricavare la soluzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità. Se il duale non ammette una soluzione ottima, risolvere il primale con il metodo del simplesso (fase e fase ). min Illustrare le definizioni di vertice e soluzione base ammissibile. Dimostrare che una soluzione ammissibile di un problema di PL in forma standard è un vertice del poliedro delle soluzioni ammissibili se e solo se è una soluzione base ammissibile.

4 D Un impianto manifatturiero è composto da 4 macchine differenti: pesatura, compressione, inscatolamento e stampa delle confezioni. Avete a disposizione 4 operai. Dovete decidere quante ore ogni operaio deve dedicare ad ogni macchina in modo tale da massimizzare il numero di ore totali lavorate, rispettando i vincoli sulle compatibilità operaio/macchina, sul massimo numero di ore settimanali che ogni operaio può lavorare, e sul massimo numero di ore settimanali che ogni macchina può lavorare. Tutti i dati del problema sono riportati in Tabella. Ore Pesatura Compressione Inscatolamento Stampa Alberto 40 Si Si Si No Bernardo 36 No Si Si No Carlo 0 Si No No Si Daniele 5 No No Si Si Ore Si formuli il problema come problema di massimo flusso su un grafo opportuno. In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo non orientato con nodi. Trovare l albero ricoprente di peso minimo con l algoritmo di Prim-Dijkstra, a partire dall esecuzione parziale mostrata nella seconda tabella. Indicare in quale ordine vengono aggiunti archi all albero ricoprente (in quale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo) ed il peso dell albero ricoprente di costo minimo. Archi (,) (,5) (,7) (,3) (,8) (3,4) (3,9) (3,0) (4,5) (4,) (5,6) (6,7) (7,8) (8,9) (0,) (,6) Costi Nodi Flag Predecessori Distanze Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. min = = = 4,, 3, 3 4 Descrivere la sensitività del valore ottimo della funzione obiettivo, in un problema di PL, alle variazioni dei termini noti e alle variazioni dei costi delle variabili fuori base, dimostrando le proprietà descritte nel caso particolare dei problemi in forma standard.

5 E La cantina GrogCubano deve pianificare la produzione di rum per i prossimi 9 anni (dall anno 005 all anno 04, estremi inclusi). La GrogCubano produce rum non invecchiato, invecchiato due anni, invecchiato 5 anni ed infine rum invecchiato 8 anni. La domanda (che deve essere soddisfatta dalla produzione di rum GrogCubano) è stimata a 5000 litri per anno. La produzione annuale di rum non invecchiato viene stimata di 7000 litri/anno per i prossimi 3 anni, 5000 litri/anno per il triennio successivo e 3000 litri/anno per l ultimo triennio per via di una graduale dismissione di alcuni appezzamenti di terreno. Il rum non invecchiato viene venduto a 3 euro al litro, il rum invecchiato per due anni viene venduto a 6 euro al litro. Il rum invecchiato di 5 anni viene venduto a 0 euro al litro, mentre il rum invecchiato 8 anni viene venduto a 8 euro al litro. Formulare il problema come un problema di flusso a costo minimo per massimizzare il guadagno nel corso dei 9 anni. Un progetto si compone di 0 attività, con durate e predecessori noti e rappresentati in tabella. Calcolare il minimo tempo di completamento del progetto, le attività critiche e gli slittamenti di ogni attività. Infine, spiegare che cosa succede se l attività A 4 richiede 46 giorni invece dei 7 preventivati. Motivare la risposta. Attività A A A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 0 Durata Predecessori A A A 3 A 3 A 5 A 6 A 7 A 7 A 8 Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. min = = = 5,, 3, 4 4 Definire il problema di Cammino minimo e dimostrare il teorema di Floyd-Warshall.

6 F Dovete aiutare la conduttrice televisiva Monia Sventura a completare il cast del suo nuovo programma, che prevede ad ogni puntata l eliminazione di un partecipante mediante televoto. La squadra è quasi al completo e Monia deve selezionare gli ultimi tre partecipanti, da scegliere in una rosa di 5 persone. Il budget a disposizione è di euro ed ogni candidato ha delle richieste finanziarie diverse per uscire alla prima, seconda o terza puntata, riportate in tabella. Ammesso che sia possibile pilotare le uscite di ogni puntata, fornire un modello di PL del problema di selezionare i tre partecipanti che verranno eliminati nelle prime tre puntate al costo totale minimo. Candidato/a Costo (euro) per uscire alla Prima puntata Seconda puntata Terza puntata Gion Sermuzi Ella Nonatelia Bibi Kader Lea Missarez Petra di Cormeni Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. min , libera In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 5 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso ammissibile. A partire dal flusso dato trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 5 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Archi (,) (,3) (,4) (,5) (,3) (,4) (,5) (3,4) (3,5) (4,5) Capacità Flussi Illustrare il problema di Albero ricoprente di costo minimo e descrivere gli algoritmi di Kruskal, Prim e Prim-Dijkstra, dimostrando la proprietà su cui si basano.

7 G Un cluster di computer è composto da 8 processori indipendenti collegati in rete tra loro da una serie di link. Uno di questi processori (detto Master) svolge funzioni di ripartizione del carico di calcolo e di raccolta dei dati elaborati dai processori adibiti al calcolo. Gli otto processori sono collegati ad anello, ovvero il processore i può comunicare verso i due processori adiacenti i+ e i-, dove la somma è modulo 8, ovvero 8+=. I link dell anello sono bidirezionali e la massima banda per ogni link sull anello è pari a 04 Mb/sec, per ogni verso di comunicazione. Oltre ai link ad anello, ogni processore ha un link diretto (unidirezionale) verso il processore Master. La capacità del link diretto è pari a 00 Mb/sec. Ogni processore deve trasferire al processore Master un quantitativo di dati al secondo riportato in Tabella, oltre agli eventuali dati in transito da altri processori. Formulare come problema di massimo flusso il problema di massimizzare i dati che possono essere trasferiti dai 7 processori verso il processore Master. Processore Dati prodotti (Mb/sec) (Master) In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo orientato con nodi. Trovare l albero dei cammini minimi (a partire dal nodo 3), continuando l esecuzione dell algoritmo di Dijkstra mostrata nella seconda tabella. Indicare in quale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo e mostrare il cammino minimo (e la sua lunghezza) dal nodo 3 al nodo 6. Archi (,5) (,7) (,) (3,) (3,4) (3,9) (3,0) (4,5) (4,) (5,6) (7,6) (8,) (8,7) (9,8) (0,) (,6) Costi Nodi Flag Predecessori Distanze Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. ma libera, Illustrare la teoria della dualità. Dimostrare i teoremi di dualità debole e forte.

8 H La ditta Sollazza produce caffè nelle tre qualità Oro, Argento e Gustopiù utilizzando le varietà base Arabica e Sud-America. La varietà Arabica può essere acquistata al costo di euro/kg, mentre la Sud-America costa euro/kg. Il caffè Sollazza Oro viene prodotto con solo caffè Arabica, il Sollazza Argento contiene il 60% di Arabica e il 40% di Sud-America, il Gustopiù contiene il 0% di Arabica e l 80% di Sud-America. Il prezzo di vendita (all ingrosso) del Sollazza Oro è di euro al pacchetto da 50 grammi, il Sollazza Argento è venduto a euro al pacchetto da 50 gr, il Gustopiù viene venduto a 70 centesimi al pacchetto da 50 gr. I costi di lavorazione per kg di prodotto, che includono manodopera, trasporto e confezione, sono pari a 30 centesimi per il Sollazza Oro, 0 centesimi per il Sollazza Argento e 5 centesimi per il Gustopiù. Il mercato richiede che almeno il 40% (in numero di pacchetti) della produzione sia di Sollazza Oro, e che almeno il 0% sia di Gustopiù. La ditta Sollazza ha a disposizione euro per acquistare e produrre caffè e vuole massimizzare il ricavo complessivo. Formulare come problema di PL il problema di determinare i livelli di produzione ottimali dei tre tipi di caffè, supponendo accettabili le soluzioni frazionarie. Nelle due tabelle sono riportati i 6 archi di una rete di flusso con 6 nodi e la domanda ai 6 nodi, con la convenzione che una domanda negativa è una disponibilità di flusso. Utilizzando la fase del simplesso su reti determinare se la rete ammette un flusso ammissibile oppure no. Archi (,) (,4) (,3) (3,5) (4,6) (5,6) Nodo Domanda Dato il problema di PL in figura,. impostare il problema duale e risolverlo con il metodo grafico;. Se il duale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del duale ricavare la soluzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità. Se il duale non ammette una soluzione ottima, risolvere il primale con il metodo del simplesso (fase e fase ). min Illustrare il problema di Massimo Flusso e dimostrare il teorema di Ford-Fulkerson.