3 Variabilità. variabilità. Senza deviazione dalla norma il progresso non è possibile. (Frank Zappa) Statistica - 9CFU

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1 3 Varabltà 3 varabltà Seza devazoe dalla orma l progresso o è possble (Frak Zappa) 68 Statstca - 9CFU

2 3 Varabltà 3. varabltà Defzo Varabltà E l atttude d u feomeo ad assumere dverse modaltà. Essa è msurata medate dc d varabltà che s dstguoo dc d dspersoe e d dsuguaglaza. Gl dc d dspersoe msurao la dstaza delle osservazo rspetto ad u valore medo, metre gl dc d dsuguaglaza msurao la dverstà tra le vare osservazo. U ulterore dstzoe degl dc d varabltà rguarda la varabltà assoluta e quella relatva. Gl dc assolut d varabltà soo la varaza, lo scarto quadratco medo, l campo d varazoe, la dffereza semplce meda, ecc. Gl dc relatv d varabltà soo gl dc d varabltà assoluta rapportat, ad esempo, al propro valor medo (es. l coeffcete d varazoe) oppure al propro massmo. Il rapporto d cocetrazoe del G, e è u caso partcolare. Il campo d varazoe E u dce assoluto d varabltà dato dalla dffereza tra l valore massmo e l valore mmo assut dalle modaltà d u carattere; smbol: W s. Dffereza terquartlca Rappreseta la dffereza tra due dvers quartl della dstrbuzoe. Ad esempo lo scarto tra l terzo ed l prmo quartle d ua dstrbuzoe, Q3 Q, è l tervallo che comprede l 50 per ceto delle osservazo e qud è ua msura d varabltà della parte cetrale d ua dstrbuzoe statstca. Scostameto semplce medo dalla meda artmetca Idce d varabltà dato dalla meda artmetca de valor assolut degl scart dalla meda artmetca: S. Per dstrbuzo d frequeza s ha: S. N Scostameto semplce medo dalla medaa Idce d varabltà dato dalla meda artmetca de valor assolut degl scart dalla medaa: 69 Statstca - 9CFU

3 3 Varabltà S Me Me. Per dstrbuzo d frequeza delle modaltà, s ha: SMe Me. N Varaza E l dce d varabltà pù utlzzato statstca. E u dce quadratco e l suo campo d varazoe è compreso tra 0 e +. Esso è defto come la meda artmetca del quadrato degl scart dalla meda artmetca: N. Nel caso s abba ua dstrbuzoe d frequeza s ha:. N La varaza può essere calcolata come mometo secodo meo l mometo prmo al quadrato o altr term come la meda quadratca meo la meda artmetca al quadrato. E molto mportate sottoleare che la varaza è u dce quadratco,pertato l suo valore esprme l quadrato dell utà d msura della varable oggetto d studo. Scarto quadratco medo (s.q.m.) E la radce quadrata della varaza. A dffereza della varaza lo s.q.m. è esprmble co la stessa utà d msura della varable osservata. La sua espressoe aaltca è: N. N. Nel caso d dstrbuzoe d frequeza s ha: Esso msura l grado d dspersoe medo d ua varable attoro alla propra meda artmetca e,come dcevamo, l valore dello s.q.m. è espresso ella stessa utà d msura del carattere osservato. Devaza E l umeratore della varaza. La sua espressoe aaltca è: DevX Per dstrbuzo d frequeza s ha: DevX.. Dffereza semplce meda seza rpetzoe E l dce d varabltà che s ottee facedo la meda artmetca tra tutte le possbl ( - ) dffereze valore assoluto tra le modaltà dfferet ed j d u carattere quattatvo, coè: 70 Statstca - 9CFU

4 3 Varabltà j ( ) j. Tale dce può essere espresso term quadratc. Coeffcete d varazoe E u dce relatvo d varabltà defto dal rapporto tra lo scarto quadratco medo e la meda artmetca. La sua espressoe aaltca è la seguete: CV 00 Dstrbuzoe massmate Data ua geerca dstrbuzoe d u carattere co modaltà ordate e co u totale d N frequeze, s defsce dstrbuzoe massmate della varabltà ua uova dstrbuzoe co due sole modaltà, d cu la prma è la modaltà pù pccola e la secoda quella pù grade,co frequeze assolute rspettvamete par a p e q, la cu somma corrspode al totale delle frequeze osservate ella dstrbuzoe d parteza. I tal caso,mateedo alterata la meda della prma dstrbuzoe,s ha che la dstrbuzoe massmate assume l massmo della varabltà. Cocetrazoe U carattere quattatvo trasferble e ordato seso crescete, s defsce pù o meo cocetrato se l'ammotare dello stesso è posseduto da u umero pù o meo equo d utà. Quado tutte le utà d u collettvo possedoo lo stesso ammotare del carattere s ha ua msura della cocetrazoe ulla (o equdstrbuzoe del carattere trasferble) metre se ua sola utà possede l'tero ammotare del carattere s parla d cocetrazoe massma. La msura della cocetrazoe è data dal rapporto d cocetrazoe. Curva d Lorez Detta ache curva d cocetrazoe, vee usata per rappresetare grafcamete l grado d cocetrazoe d u carattere quattatvo trasferble e ordato seso crescete. Momet Valor caratterstc della dstrbuzoe d frequeza d ua varable. S dstgue tra momet rspetto all'orge e momet rspetto alla meda. Il mometo prmo rspetto all'orge zero cocde co la meda artmetca ed l mometo secodo rspetto alla meda cocde co la varaza, metre l mometo secodo rspetto all orge zero cocde co la meda quadratca. 7 Statstca - 9CFU

5 3 Varabltà 3. varabltà Ce Metodologc Le prcpal caratterstche degl dc d varabltà rguardao la dspersoe e la dsuguaglaza. Dspersoe: msura l maggore o more addesameto delle osservazo rspetto ad u valore medo; Dsuguaglaza: evdeza le dverstà delle vare osservazo tra loro. Gl dc d varabltà s dstguoo : scostamet med da u valore d stes; dffereze mede, che s ottegoo calcolado le mede degl scart valore assoluto delle modaltà del carattere prese a due. Idc assolut d varabltà. Soo espresse elle stessa utà d msura del carattere osservato e l loro campo d varazoe è compreso tra 0 e. Idc relatv d varabltà. Prescdoo dall utà d msura del carattere e s possoo otteere rapportado u dce assoluto d varabltà ad ua valor medo o al suo massmo. Pertato gl stess dc cosetoo l cofroto della varabltà d caratter espress utà d msura dversa Dspersoe Idc Varabltà Assolut Scostamet semplc med Varaza e Devaza Scarto quadratco Medo Idc Varabltà Relatv Idc assolut rspetto alla meda Idc assolut rspetto al massmo Rapporto d cocetrazoe Dsuguaglaza Dffereze Mede Dffereza semplce meda seza rpetzoe Dffereza semplce meda co rpetzoe Dffereza quadratca meda seza rpetzoe Dffereza quadratca meda co rpetzoe Il campo d varazoe è dato dalla dffereza tra l valore massmo e l valore mmo assut dalle modaltà d u carattere; smbol: 7 Statstca - 9CFU

6 3 Varabltà W La dffereza terquartlca è data dalla dffereza tra l terzo e l prmo quartle: Q3 Q. Scostameto semplce medo dalla meda artmetca E dato dalla meda artmetca de valor assolut dagl scart dalla meda artmetca, smbol: S. Per dstrbuzo d frequeza: S N. Scostameto semplce medo dalla medaa E dato dalla meda artmetca de valor assolut degl scart dalla medaa, smbol: S Me Me. Per dstrbuzo d frequeza s ha : S Me Me N. NB. L uso d u dce d varabltà basato sulla medaa può essere partcolarmete vataggoso rspetto ad altr scostamet med, quado s sospetta la preseza d valor aomal all tero della dstrbuzoe. La varaza La varaza è u dce assoluto d varabltà dato dalla meda de quadrat degl scart dalla meda artmetca, smbol: U espressoe alteratva è la seguete:. Per frequeze s ha:. N, alla quale s pervee svluppado l quadrato del umeratore del rapporto : N, ossa: 73 Statstca - 9CFU

7 3 Varabltà Statstca - 9CFU 74 Cosderado che, l umeratore della frazoe può scrvers el modo seguete: Pertato l espressoe aaltca della varaza è la seguete:, dove l prmo terme a secodo membro è la meda quadratca al quadrato (mometo secodo), metre l secodo terme è l quadrato della meda artmetca (mometo prmo al quadrato). NB. Il presete dce rspetto agl scostamet semplc med ha amplfca le maggor dstaze dalla meda artmetca che rsultao espresse al quadrato, metre l coveete da u puto d vsta terpretatvo cosste el fatto che l valore dell dce è espresso term quadratc dell utà d msura del carattere osservato. Lo scarto quadratco medo o devazoe stadard E u dce assoluto d varabltà dato dalla radce quadrata della varaza: s.q.m =. Per dstrbuzo d frequeza s ha: s.q.m.= N N. NB. Per ovvare all coveete rscotrato per la varaza, l valore dell dce s.q.m. è esprmble ella stessa utà d msura del carattere osservato. La devaza E u dce assoluto d varabltà, aaltcamete è l umeratore della varaza; smbol: Dev(X)=. Per dstrbuzo d frequeza: Dev(X)=. U espressoe alteratva è la seguete ) ( X Dev. A tal fe s cosder la formula della devaza per ua dstrbuzoe d frequeza e s proceda allo svluppo del quadrato d u bomo:

8 3 Varabltà Statstca - 9CFU 75 Dev(X)= Dalla defzoe d meda artmetca s ha:. Qud s ha che: X Dev ) ( ; X Dev ) ( = Dffereza semplce meda seza rpetzoe E u dce assoluto d varabltà proposto da C. G, e s ottee come meda artmetca degl scart valore assoluto tra term della dstrbuzoe, smbol: ) ( j j. Il deomatore sta a sgfcare che o vegoo pres cosderazoe gl scart valore assoluto d cascu terme co se stesso. Dffereza semplce meda co rpetzoe E u dce assoluto d varabltà otteuto co la meda artmetca degl scart cascua modaltà e se stessa, effettuado totale cofrot, smbol: j j R Dffereza quadratca meda seza rpetzoe ) ( ) ( j j Dffereza quadratca meda co rpetzoe ) ( j j R

9 3 Varabltà S ha che: R. NB. I crter d scelta degl dc assolut d varabltà, così come quell d scelta de valor med, possoo essere espress e seguet term. Se la dstrbuzoe è costtuta da gradezze oggetto d msurazoe (come la dstaza da u puto, le stme dell altezza d ua motaga all orzzote, l cosumo d u geere almetare tra u collettvo d famgle), tal caso co u dce d varabltà assoluto s tede a msurare d quato meda le msure dfferscoo dalla vera gradezza. Ovverosa s forsce ua valutazoe dell errore medo che può essere commesso elle vare msurazo. I quest cas, l dce d varabltà assoluto pù adeguato soo gl scostamet. Se vece term della dstrbuzoe soo gradezze osservate e o oggetto d msurazoe, come vot rportat dagl studet el superameto de loro esam, l reddto d u collettvo d dvdu,l umero degl esam sosteut, ecc., quest cas le dffereze mede soo da preferrs agl scostamet quato msurao come queste gradezze dfferscoo meda tra loro. Il coeffcete d varazoe E u dce relatvo d varabltà dato dal rapporto tra lo scarto quadratco medo e la meda artmetca: C. V. 00, espresso percetuale. No essedo espresso alcua utà d msura cosete d effettuare cofrot tra dstrbuzo espresse dverse utà d msura. NB. L dce può essere utlzzato solo quado tutt valor della dstrbuzoe soo postv come ad esempo per reddto, statura, ecc. Il coeffcete d varazoe ha u mmo uguale a 0 e u massmo o defto. Può essere utlzzato solo per vedere quale delle due dstrbuzo è maggormete varable ma o forsce formazo sul grado d varabltà. Dstrbuzoe massmate della varabltà Data ua dstrbuzoe d u carattere co modaltà ordate e co u totale d N frequeze, la dstrbuzoe massmate della varabltà s ha quado l totale delle frequeze s rpartsce ella frequeza p corrspodeza del valore mmo, e ella frequeza q = N-p corrspodeza del valore massmo. Se mpoamo che la dstrbuzoe massmate abba la stessa meda artmetca della dstrbuzoe d parteza s rcava che: p N p, N da cu rsolvedo rspetto a p, s ottee: 76 Statstca - 9CFU

10 3 Varabltà p q N N Varabltà relatva rspetto alla meda E possble costrure dfferet dc d varabltà rspetto alla meda artmetca a partre da pù ot dc d varabltà assoluta, qual lo scarto semplce medo, lo scarto quadratco medo e la dffereza meda del G. Come rportato d seguto: Il pù utlzzato d tale categora d dc è l rapporto tra lo scarto quadratco medo e la meda artmetca, proposto da Karl Pearso deomato coeffcete d varazoe. La cocetrazoe La cocetrazoe è u aspetto della varabltà ed partcolare della varabltà relatva; essa s rfersce esclusvamete a caratter quattatv ordabl e trasferbl, qual ad esempo l reddto. Dato u carattere X, esso s dce cocetrato se l ammotare complessvo è posseduto da u umero lmtato d utà statstche. S parla d: cocetrazoe ulla (o equdstrbuzoe) quado tutte le utà possedoo l carattere ella stessa msura; cocetrazoe massma quado ua sola utà possede l tero ammotare del carattere. S suppoga d dsporre delle modaltà d ua varable statstca X (reddto, patrmoo, ecc.) tal che: S defscoo p le frazo cumulate delle utà osservate: p ; p ; ; p ; ; p Il loro sgfcato è mmedato: fatt p,,,, rappreseta la frazoe cumulata delle prme utà statstche (poszoe ella graduatora). S defscoo q le frazo cumulate del carattere posseduto dalle prme utà statstche: 77 Statstca - 9CFU

11 3 Varabltà A A A A q ; q ; ; q ; ; q, A A A A dove: A A A A rappresetao l ammotare cumulato del carattere X. Ua rappresetazoe grafca d tal frazo è stata proposta dallo statstco statutese Lorez el 905, attraverso ua curva d Lorez, o curva d cocetrazoe, che s rcava poedo, u sstema d ass cartesa, sulle ascsse valor p e sulle ordate valor delle q, otteedo ua sere d put che ut formao la curva d cocetrazoe d u dato carattere. La retta d equdstrbuzoe è, evdetemete, la retta che coguge l orge (0,0) co l puto (,). L area compresa tra la curva d equdstrbuzoe e quella d cocetrazoe è deomata area d cocetrazoe. Quado la cocetrazoe del carattere aalzzato è massma, tutto l ammotare del carattere rsulta cocetrato ua sola utà; qud tutt put della curva d Lorez cadoo sull asse delle ascsse trae l ultmo d coordate (,). I tal caso la curva d Lorez assume la forma d u tragolo co vertc ABC. Idce d cocetrazoe Tra gl dc d cocetrazoe propost, cosderamo l dce R d G, la cu espressoe rsulta essere la seguete: 78 Statstca - 9CFU

12 3 Varabltà Statstca - 9CFU 79 p q p p p p q p R Tale dce vale: 0 caso d equdstrbuzoe; caso d massma cocetrazoe; è compreso tra 0 e elle stuazo termede. NB. L dce d cocetrazoe del G può essere teso come u dce d varabltà relatvo rspetto al massmo, quato l espressoe che compare al deomatore rappreseta l valore massmo che l dce può assumere. I momet Alcu valor med e alcu dc d varabltà possoo essere espress attraverso partcolar gradezze dett momet. Soo deft come la meda artmetca potezata d orde r, semplce o poderata, degl scart tra le modaltà d ua geerca varable X e u partcolare valore caratterstco della dstrbuzoe h; smbol s ha: h m j r r h. Per ua dstrbuzoe d frequeza s ha: N h m j r r h. Momet rspetto all orge ( 0 h ) N m j r r se r = 0 allora 0 m se r = allora m (meda artmetca) se r = allora Mq m (quadrato della meda quadratca). Momet cetral o rspetto alla meda ( h ) N m j r r

13 3 Varabltà se r = 0 allora m 0 se r = allora m 0 (per la prma propretà della meda artmetca) se r = allora m (varaza). 80 Statstca - 9CFU

14 3 Varabltà 3. varabltà Esercz per l utlzzo del metodo Eserczo S cosder l carattere X = tempo d coessoe ad teret rlevato uo stesso goro su due dfferet laborator. Laboratoro A Laboratoro B La meda artmetca d cascua delle due dstrbuzo è par a 7 mut, ache se le due dstrbuzo rsultao molto dfferet tra loro. La caratterstca che dffereza le due dstrbuzo è deomata varabltà che, come defto precedeza, modaltà. rappreseta l atttude d u carattere ad assumere dfferet Rcorramo pertato al calcolo d uo de pù semplc dc d varabltà assoluta quale lo scarto quadratco medo per evdezare la dfferete struttura delle due dstrbuzo. 0 ( ) 0 Calcolo scarto quadratco dstrbuzoe tempo d coessoe ad Iteret laboratoro A X Statstca - 9CFU

15 3 Varabltà ,90 Calcolo scarto quadratco dstrbuzoe tempo d coessoe ad Iteret laboratoro B ( X Totale ,3 Il calcolo dello scarto quadratco medo evdeza la maggore varabltà della dstrbuzoe osservata sul laboratoro A rspetto a quella dello stesso carattere rlevato sul laboratoro B. 8 Statstca - 9CFU

16 3 Varabltà Eserczo Sa X= casso settmaale (mglaa d euro) osservato el reparto d profumera d u cetro commercale X : 5; 7; 6; 4; 7; 3; 4; 0 L casso medo settmaale rsulta par a : 8 96 mglaa d euro 8 8 Lo Scarto quadratco medo come oto è par a: 8 ( ) 8 8 ( ) 8 X Totale mglaa d euro mglaa euro 8 83 Statstca - 9CFU

17 3 Varabltà Eserczo 3 Sa X =ore dedcate all attvtà sportva og settmaa d u collettvo d 3 doe Ore N doe Attvtà Sportva Per l calcolo del tempo medo dedcato all attvtà sportva, dello scarto quadratco medo è ecessaro dvduare l valore cetrale della classe. Ore Attvtà Sportva N doe Valore Cetrale ' ' N ' 3,5 3 ore ( ) N 0 3 =,936 ore 84 Statstca - 9CFU

18 3 Varabltà Eserczo 4 Sa X la varable troto pubblctaro (mglaa d euro) d 5 emttet radofoche. X= 330; 50; 70; 470 ;40 S vuole msurare se l troto è equdstrbuto o cocetrato tra le emttet radofoche. X A q=a/a p=/ (p-q) ,35 0, 0, ,3 0,4 0, ,5 0,6 0, ,745 0,8 0, Total 0,3 Utlzzamo l dce d cocetrazoe d G: ( p q) 0,3 R 0,55 p Come s evce dal valore dell dce d cocetrazoe l troto pubblctaro tra le 5 emttet radofoche rsulta prossmo ad ua stuazoe d equdstrbuzoe. 85 Statstca - 9CFU

19 q 3 Varabltà Eserczo 5 I cosum d eerga elettrca el 000 per categora d utlzzator ( mlard d Kw) è la seguete Utlzzator Kw Agrcoltura,6 Idustra 00 Trasport 5.9 Commerco e 4,5 servz Illumazoe,5 pubblca Us domestc 38, Calcolare l valore del rapporto d cocetrazoe d G e costrure la curva d Lorez Utlzzator Kw p=/ A q=a/a (p-q) Illumazoe pubblca,50 0,7.50 0,0 0,5 Agrcoltura,60 0, ,04 0,30 3 Trasport 5,90 0, ,06 0,44 4 Commerco e servz 4,50 0, ,5 0,5 5 Us domestc 38,0 0, ,38 0,45 6 Idustra 00, ,00 Total,50,85 R ( p q) p,85 0,74.5,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 Area d Cocetazoe 0,0 0,00 0,00 0,0 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00 p 86 Statstca - 9CFU

20 3 Varabltà Eserczo 6 Sa X = temperatura meda goralera ( C) u carattere quattatvo osservato ell ultma settmaa d geao del 009 due dfferet ctta Temp L Aqula X Pescara Y S vuole dvduare quale delle due dstrbuzo preseta maggore varabltà A tale proposto bsoga osservare che: a) sebbee tutt valor sao espress ella stessa utà d msura, l cofroto della varabltà attraverso u dce d varabltà assoluto o è opportuo quato le due dstrbuzo presetao testà mede dfferet tra loro; b) o è possble utlzzare l coeffcete d varazoe quato ua delle due dstrbuzo ha u valore medo par a 0. Occorre pertato calcolare ua msura d varabltà rspetto al massmo ad esempo V r Ma( ) Procedamo aztutto per l calcolo dello scarto quadratco medo per cascua dstrbuzoe Temp L Aqula ( ) X ( ) 38, Statstca - 9CFU

21 3 Varabltà Temp Pescara Y ( ) ( y y) 8 y, Procedamo a questo puto alla costruzoe della dstrbuzoe massmate per l carattere temperatura goralera osservata a L Aqula X ma = 3, ,33 V 0,673 rappreseta l dce d varabltà relatvo otteuto come rapporto tra lo r 3,464 scarto quadratco medo della dstrbuzoe e quello massmo calcolato sulla dstrbuzoe mass mate della varabltà. Aalogamete s procede per l calcolo della secoda dstrbuzoe massmate: Y 5,33 8 4, , ,67 3,99 y ma =, V y r,069,44 0, Statstca - 9CFU

22 3 Varabltà L dce d varabltà relatvo assume u valore pù elevato per la dstrbuzoe della temperatura osservata a Pescara per cu è possble cocludere che tale dstrbuzoe preseta maggore varabltà. 89 Statstca - 9CFU

23 3 Varabltà 3. varabltà Esercz d autovalutazoe RACCOMANDAZIONE: Gl esercz d autovalutazoe soo utl per la verfca del lvello d coosceza degl argomet solo dopo aver assmlato cocett espost ella parte metodologca. Ua msura della varabltà deve: A) Crescere all aumetare della dsuguaglaza tra le modaltà della dstrbuzoe. B) Dmure all aumetare della dsuguaglaza tra le modaltà della dstrbuzoe. C) No varare all aumetare della dsuguaglaza tra le modaltà della dstrbuzoe. D) Poter assumere valor egatv asseza d varabltà.. Rsposta esatta: A La varabltà msura l'atttude del feomeo ad assumere dverse modaltà. Da u puto d vsta operatvo, occorre defre ua msura della varabltà e questo può avvere medate la costruzoe d dc statstc che devoo possedere due propretà essezal: essere ull, asseza d varabltà, quado term della dstrbuzoe soo ugual tra loro assumere valor ftamete grad relazoe al grado d varabltà de term della dstrbuzoe. La varaza è ulla se: A) La meda artmetca è ulla. B) Le modaltà soo ugual tra loro e ugual alla meda artmetca. C) La meda artmetca cocde co lo scarto quadratco medo. D) La meda artmetca è massma.. Rsposta esatta: B La varaza è sempre o egatva quato è ua meda d scart dalla meda al quadrato. Essa assume valore mmo 0 quado tutte le modaltà soo ugual tra loro e ugual alla meda artmetca per cu tutt gl scart soo ull. La varaza aumeta all aumetare della dffereza de valor osservat. La varaza o ammette u massmo assoluto perché gl scart dalla meda artmetca possoo essere ftamete grad. 3. Qual è l utà d msura della varaza? A) No ha utà d msura. B) Ha la stessa utà d msura del carattere. C) Ha la stessa utà d msura del carattere rapportata al umero delle osservazo. D) Ha l uta d msura del carattere elevata al quadrato. 3. Rsposta esatta: D 90 Statstca - 9CFU

24 3 Varabltà La varaza e lo scarto quadratco medo soo tra gl dc pù utlzzat Statstca per stetzzare la varabltà d ua dstrbuzoe. Va sottoleata ua certa dffcoltà ella terpretazoe della varaza che derva dal fatto che essa è espressa ella stessa utà d msura della varable osservata elevata al quadrato. Ad esempo, ua varaza d ua dstrbuzoe relatva alla varable statura msurata cm rsulterà espressa cm. Da qu u maggore utlzzo dello scarto quadratco medo come msura della varabltà assoluta d ua dstrbuzoe. 4. La varaza d u carattere può essere otteuta come dffereza tra: A) Il quadrato della meda quadratca e l quadrato della meda artmetca. B) La meda quadratca e l quadrato della meda artmetca. C) Il quadrato della meda quadratca e la meda artmetca. D) La meda quadratca e la meda artmetca. 4. Rsposta esatta: A Dato u seme d osservazo (o modaltà d u carattere X) artmetca, la formula della varaza è la seguete: Per la dstrbuzoe d frequeza d u carattere X, co modaltà frequeze, tal che,...,,...,, avet meda,...,, la sua formula è, vece, la seguete:, e rspettve U espressoe alteratva pù semplce della varaza che e faclta l calcolo è la seguete: Ovvero, la varaza è data dal quadrato della meda quadratca meo l quadrato della meda artmetca: 5. S può msurare la varabltà d u carattere qualtatvo co la varaza? A) S, sempre. B) Dpede dall utà d msura del carattere. C) No, la varaza è adatta solo per caratter quattatv. D) S, se l carattere è qualtatvo ordable. 9 Statstca - 9CFU

25 3 Varabltà 5. Rsposta esatta: C La varaza è uo degl dc d varabltà pù utlzzat. Tale dce retra ella categora degl dc d dspersoe che msurao la varabltà del carattere tramte ua stes d msure d dverstà tra og terme della dstrbuzoe ed ua meda (scostamet med). La varaza, la cu formula è la seguete: è la meda de quadrat degl scart dalla meda artmetca. Per questa msura della dspersoe la dverstà tra ua modaltà e la meda artmetca vee msurata elevado al quadrato la dffereza tra due valor. Data la sua espressoe formale, che rchede operazo algebrche tra le modaltà, è facle ture che s tratta d u dce adatto solo per caratter quattatv. Quado la dverstà cocere gl attrbut d ua mutable s parla d eterogeetà. 6. Cooscedo la varaza d ua dstrbuzoe è possble rcavare la devaza? A) S, sempre. B) S, se s coosce l umero delle osservazo. C) No. S, se s coosce lo scarto quadratco medo. 6. Rsposta esatta: B La devaza è u dce assoluto della varabltà che rappreseta d fatto l umeratore della varaza. Idcado co X l carattere cosderato, co l umero d utà del collettvo osservato, co le sgole osservazo del carattere e co la loro meda artmetca, la devaza è data dalla seguete espressoe: Dev ( X ) Per ua dstrbuzoe d frequeza l espressoe precedete s podera co le frequeze k Dev ( X ) La varaza s ottee rapportado la devaza al umero delle osservazo Dev ( X ) Ne cosegue che data la varaza d ua dstrbuzoe sarà possble rcavare la devaza solo se s coosce l umero delle osservazo, come rsulta dalla relazoe sotto dcata: Dev( X ) * 7. Var c(x) è par A) c Var ( X ) B) Var (X ) C) c Var(X ) Var( X ) D) Var( c) 9 Statstca - 9CFU

26 3 Varabltà 7. Rsposta esatta: A Ua ota propretà della varaza è la seguete: Var ( cx ) c Var ( X ) Dmostrazoe S dch co la meda del carattere X. È oto che la meda d (cx)=c. Rcordado che la varaza è la meda degl scart dalla meda al quadrato s potrà scrvere: Var( cx ) c c c c Var( X ) 8. Lo scostameto semplce medo dalla meda artmetca A) È u dce d dspersoe. B) È u dce d dsuguaglaza. C) È u tervallo d varazoe. D) No retra essua delle categore d dc d varabltà precedetemete dcate. 8. Rsposta esatta: A Tra le msure d varabltà, e pù precsamete tra gl dc d dspersoe, trovamo gl scostamet semplc med che s ottegoo come meda artmetca delle dffereze, valore assoluto, tra valor osservat ed ua meda. A secoda della meda scelta s può otteere uo specfco scostameto semplce medo. Ad esempo, se come meda sceglamo la meda artmetca, s ha lo scostameto semplce medo dalla meda artmetca. Dato u seme d modaltà d u carattere X (,,..., s ), avete meda artmetca, lo scostameto semplce medo dalla meda artmetca ha la seguete espressoe: S Nel caso d ua dstrbuzoe d frequeze lo scostameto semplce medo dalla meda artmetca sarà dato da: S k 9. Se s vuole pervere ad ua stes d msure d dverstà d tutt term della dstrbuzoe tra loro è opportuo calcolare A) La dffereza semplce meda co rpetzoe. B) Il coeffcete d varazoe. C) L dce d cocetrazoe. D) La dffereza terquartle. 9. Rsposta esatta: A Le dffereze mede soo dc d varabltà cu o s cosdera la dspersoe de term rspetto ad ua meda, ma la dsuguaglaza de term fra loro. La dffereza semplce meda co rpetzoe s ottee cofrotado tutt term a due a due (o escludedo eppure l cofroto d u terme co se stesso). La dffereza semplce meda co rpetzoe è defta dalla seguete formula: R j j 93 Statstca - 9CFU

27 3 Varabltà Al deomatore d questo dce fgurao ache le dffereze ulle geerate dal cofroto d cascua modaltà co se stessa. Se, vece, s escludoo le dffereze ulle d og valore co se stesso, s può calcolare la dffereza semplce meda seza rpetzoe la cu espressoe è: j j ( ) 0. Sao e R, rspettvamete, la dffereza semplce meda e la dffereza semplce meda co rpetzoe delle modaltà d u carattere statstco X, qual è la relazoe tra due dc d varabltà? A) B) C) D) R R R R 0. Rsposta esatta: B La dffereza semplce meda ha la seguete espressoe: j j ( ) Se, vece, s vogloo coteggare ache le dffereze ulle d og valore co se stesso, allora le dffereze da valutare soo. Rapportado la somma delle dffereze a tale umero s calcola la dffereza semplce meda co rpetzoe, che per u seme d dat è espressa dalla seguete formula: R j j Tra la dffereza semplce co rpetzoe e quella seza rpetzoe esste u ovva relazoe: R È facle ture che quado l collettvo è d umerostà suffcetemete elevata, l rapporto tede ad scché la dffereza tra l dce co rpetzoe e quello seza rpetzoe tede ad aullars.. Sa dato u carattere X, sao Q, Q,,e Q 3, rspettvamete, l prmo, l secodo e l terzo quartle della dstrbuzoe, qual è l esatta espressoe della dffereza terquartle? Q Q A) B) Q3 Q C) Q3 Q Q3 Q D) 94 Statstca - 9CFU

28 3 Varabltà. Rsposta esatta: B La dffereza terquartle è u dce d varabltà assoluta, otteuto dalla dffereza tra l terzo e l prmo quartle, coè tra quella modaltà che rappreseta l lmte superore de prm ¾ della dstrbuzoe e quella che rappreseta l lmte superore del prmo quarto della stessa, mettedo evdeza l addesameto de valor osservat ella parte cetrale della dstrbuzoe. Nell'tervallo così determato cade la metà de cas osservat. Questo dce d varabltà è rcompreso ella categora degl tervall d varazoe, che s basao sulla dffereza tra due partcolar valor della dstrbuzoe. Questo dce d varabltà, rspetto al campo d varazoe, è meo sesble all flueza de valor cosddett aomal. Ua varate della dffereza terquartle è data dalla semdffereza terquartle otteuta dvdedo la dffereza terquartle per due (d cu alla rsposta errata D).. Il campo d varazoe è uguale: A) Alla dffereza tra l terzo ed l prmo quartle. B) Al rapporto tra lo scarto quadratco medo e la meda artmetca. C) Alla dffereza tra l valore massmo ed l valore mmo assuto dal carattere. D) Al rapporto tra la varaza e la meda artmetca.. Rsposta esatta: C Dato u seme d valor osservat,,...,, ordat seso crescete, l campo d varazoe è otteuto come dffereza tra l pù grade e l pù pccolo d tal valor: W Il mmo del campo d varazoe è 0 e questo s verfca solo se tutte le utà presetao lo stesso valore. È evdete che tale dce, basados solo su degl valor osservat è ua msura della varabltà puttosto approssmatva. Gl coveet ell uso d tale dce soo dovut aztutto al fatto che spesso le dstrbuzo hao come modaltà estreme delle class aperte, d cosegueza la scelta del valore rappresetate la modaltà estrema sarà fcata da u certo grado d arbtraretà; oltre, poché esso tee coto solo de valor estrem, altro coveete è la sua sesbltà alla preseza ella dstrbuzoe d fattor eccezoal (dat aomal), coè d dat che s dscostao maera otevole dal resto delle osservazo. L uco prego d questo dce rsede ella semplctà d calcolo. 3. Gl dc d varabltà relatva s ottegoo: A) Attraverso la radce quadrata degl dc d varabltà assoluta B) Moltplcado gl dc d varabltà assoluta per ua costate C) Rapportado l dce assoluto ad ua meda oppure al suo massmo D) Rapportado l dce assoluto al umero delle osservazo 3. Rsposta esatta: C Gl dc varabltà relatva s ottegoo rapportado u dce d varabltà assoluta ad ua meda oppure al massmo che l dce d varabltà assoluto può assumere (dstrbuzoe massmate). I tal modo l'utà d msura scompare e s ottee u valore umerco, dpedete da essa, doeo a cosetre cofrot tra dstrbuzo d varabl espresse co utà d msura dverse. Ifatt, è opportuo utlzzare gl dc d varabltà relatva quado s ha la ecesstà d cofrotare le varabltà d due dstrbuzo secodo caratter msurat utà d msura dverse o trasformabl ua stessa utà d msura oppure cofrotare le varabltà d due dstrbuzo secodo caratter msurat ella stessa utà d msura ma co testà mede dfferet. 95 Statstca - 9CFU

29 3 Varabltà 4. La dstrbuzoe massmate vee utlzzata A) Per calcolare l coeffcete d varazoe. B) Per calcolare la dffereza terquartle. C) Per calcolare gl dc d varabltà relatv al massmo. D) Per calcolare la relazoe tra lo scostameto semplce medo e lo scostameto quadratco medo. 4. Rsposta esatta: C Gl dc d varabltà relatv al massmo varao tra 0 e. Tale categora d dc d varabltà relatva s ottegoo rapportado l dce d varabltà assoluto al valore massmo che lo stesso può assumere. Ess soo strettamete dpedet dalle potes base alle qual s determa l massmo dell dce, coè dalle potes che soo state poste alla base della costruzoe della dstrbuzoe massmate. Uo de metod pù utlzzat per la costruzoe della dstrbuzoe massmate parte dal presupposto che l massmo grado d varabltà s ha quado l carattere assume due sole modaltà estreme ( e ) co rspettve frequeze par a P e a (N-P), tal che l testà meda del carattere, rappresetata dalla meda artmetca, rest mmutata. L mposzoe d varaza della meda artmetca, da u lato cosete d determare uvocamete le due frequeze assolute P e (N-P) tramte le qual rsalre al massmo dell dce d varabltà assoluto prescelto e dall altro cosete d cocetrare tutta l attezoe sulla varabltà della dstrbuzoe, vsto che l testà meda vee mateuta costate. 5. Il coeffcete d varazoe è defto A) Per caratter qualtatv. B) Per caratter quattatv tal che 0. C) Per tutt tp d caratter. D) Per caratter quattatv tal che Rsposta esatta: D II coeffcete d varazoe è u dce relatvo d varabltà, otteuto attraverso l rapporto tra lo scarto quadratco medo e la meda, moltplcato per 00. Esso cosete l cofroto tra dstrbuzo ache d tpo molto dverso o dpededo dall utà d msura e dall orde d gradezza della varable. Il coeffcete d varazoe è ormalmete utlzzato solo quado tutt valor della dstrbuzoe soo postv, come, per esempo, el caso delle varabl statura, età, peso, salaro. Ifatt per caratter che assumoo valor egatv e postv, la meda artmetca o rappreseta l orde d gradezza effettvo (s pes a que caratter che hao meda ulla ache se, realtà, presetao valor molto grad e molto pccol ma che fra loro s compesao). Qud l coeffcete d varazoe possede alcue lmtazo, partcolare o è defto per caratter quattatv tal che 0, perché o è possble terpretare ua varabltà egatva, é dvdere u umero per zero. 6. Il rapporto d cocetrazoe d G A) È u dce d dsuguaglaza. B) È u dce d varabltà assoluta. C) È u dce d varabltà relatvo alla meda. D) È u dce d varabltà relatvo al massmo. 6. Rsposta esatta: D La ecesstà d msurare la cocetrazoe d u carattere X derva dalla trasferbltà dell ammotare del carattere da ua utà statstca ad u altra. 96 Statstca - 9CFU

30 3 Varabltà Uo degl dc pù utlzzat per la msura della cocetrazoe è quello trodotto dal G e defto attraverso la seguete espressoe: R p q S tratta d u dce admesoale che assume valor ell tervallo [0,], cu estrem corrspodoo rspettvamete al caso d equdstrbuzoe ed a quello d massma cocetrazoe. La cocetrazoe vara tra due valor estrem: cocetrazoe ulla (o equdstrbuzoe) quado l ammotare complessvo è dstrbuto tra le utà statstche modo uguale e cocetrazoe massma quado l tero ammotare complessvo del carattere è posseduto da ua sola utà statstca metre le altre e soo sprovvste. Ne cas termed, v sarao utà statstche che possedoo l carattere msura superore e altre msura ferore alla meda.. Il rapporto d cocetrazoe trodotto da G è u dce d varabltà relatvo al massmo. È facle verfcare, fatt, che l deomatore è l massmo del umeratore poché corrspode al caso d cocetrazoe massma cu q 0 per da a e q p. 7. I caso d equdstrbuzoe d u carattere la curva d cocetrazoe cocde co A) La bsettrce del prmo quadrate d u sstema ortogoale cartesao. B) Ua parabola. C) Ua retta avete pedeza egatva. D) U tragolo. 7. Rsposta esatta: A Sao,,..., le modaltà dsposte seso o decrescete d u carattere trasferble X= reddto, co.... Ua rappresetazoe grafca della cocetrazoe del carattere è otteuta calcolado: - le frazo cumulate de prm reddter: p co,,..., - le frazo cumulate del reddto posseduto da prm reddter: q j j La rappresetazoe grafca delle fuzo suddette è forta dalla spezzata d cocetrazoe o curva d Lorez. Essa s ottee poedo, u sstema d ass cartesa, sull asse delle ascsse le frazo cumulate de reddter p e sull asse delle ordate le frazo cumulate del reddto q. p j j 97 Statstca - 9CFU

31 3 Varabltà Nel caso d equdstrbuzoe s ha che p =q e qud put s dspogoo sulla bsettrce del I quadrate. Il segmeto che usce put d coordate (0,0) e (,) vee chamato segmeto d equdstrbuzoe. Se o v è equdstrbuzoe put d coordate (p,q ) s trovao el tragolo d vertc (0,0), (,0) e (,). Uedo tal put s ottee ua lea chamata spezzata d cocetrazoe o curva d Lorez. I geerale quato è maggore la cocetrazoe del carattere tato pù la spezzata d cocetrazoe rsulta vca all asse dell ascsse e qud tato è pù grade l area della superfce compresa fra l segmeto d equdstrbuzoe e la spezzata d cocetrazoe. 8. I caso d equdstrbuzoe d u carattere quale valore assume l rapporto d cocetrazoe d G: A) B) 0 C) No ammette mmo assoluto D) No ammette massmo assoluto 8. Rsposta esatta: B Uo degl dc pù utlzzat per msurare la cocetrazoe è l rapporto d cocetrazoe d G la cu espressoe è la seguete: R p q Tale dce vale 0 caso d equdstrbuzoe; caso d massma cocetrazoe; è compreso tra 0 e elle stuazo termede. Il mmo dell dce (zero) s ha caso d equdstrbuzoe. Ifatt se l carattere è equdstrbuto, l ammotare complessvo dello stesso è rpartto part ugual tra le utà statstche, per cu le modaltà ad esse afferet assumoo tutte valore uguale alla meda artmetca, qud...,. I questo caso rsulta p q per og,,...,. e qud p 98 Statstca - 9CFU

32 3 Varabltà p q =0. S avrà cocetrazoe massma se l ammotare complessvo del carattere è attrbuto ad ua sola utà che e possede msura par a metre le restat - e posseggoo 0, coè se..., 0 e. I questo caso rsulta p per og,,..., q q..., q 0 e q Ne cas termed l carattere è tato pù cocetrato quado maggore è la dffereza tra p q Statstca - 9CFU

33 3 Varabltà VERIFICA Idcare se le seguet affermazo soo vere o false. La dffereza terquartle è sempre <0.5. La devazoe stadard è sempre more dello scostameto semplce medo dalla medaa. 3 La dffereza terquartle può essere calcolata solo per dat postv. 4 Il coeffcete d varazoe dpede dall utà d msura. 5 Il campo d varazoe è sempre maggore o uguale alla dffereza terquartle. 6 U dce d varabltà deve assumere l suo valore mmo se e solo se tutte le modaltà osservate soo ugual a zero. 7 Nel calcolo della varaza, gl scart pù elevat (tra valor osservat e la meda) acqustao molta pù mportaza rspetto agl scart pù pccol. 8 La devaza è l umeratore della devazoe stadard. 9 Il coeffcete d varazoe o è adatto ad aalzzare ua dstrbuzoe che preset ache valor egatv. 0 Gl scostamet semplc med s ottegoo come meda artmetca de quadrat delle dffereze tra valor osservat e ua meda. Quado u carattere è equdstrbuto, la varabltà è massma. La stuazoe d massma cocetrazoe s ha quado l tero ammotare del carattere è posseduto da ua sola utà. 3 L area d cocetrazoe evdeza la dffereza tra l grado d cocetrazoe osservato e la stuazoe d equdstrbuzoe. V F 00 Statstca - 9CFU

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