MODELLI PER LA STRUTTURA A TERMINE DEI TASSI

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1 Alma Maer Sudiorum Universià di Bologna FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Maemaica Maeria di Tesi: Maemaica per le applicazioni economiche e finanziarie MODELLI PER LA STRUTTURA A TERMINE DEI TASSI Tesi di Laurea di CHIARA CASTELLETTI Relaore Chiar.mo Prof. ANDREA PASCUCCI Sessione III anno accademico

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3 Alla mia famiglia e a mio nonno Mario

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5 Tu lo sai bene: non i riesce qualcosa, sei sanco, e non ce la fai più. E d un rao inconri nella folla lo sguardo di qualcuno -uno sguardo umanoed è come se i fossi accosao a un divino nascoso. E uo divena improvvisamene più semplice A. Tarkovskij

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7 Indice Inroduzione 3 1 Modello di Black&Scholes Elemeni di calcolo socasico Inegrale socasico di processi semplici Processi e formula di Iô Modelli a empo coninuo per i derivai Porafoglio auofinanziane e di arbiraggio Modello di Black&Scholes Valuazione neurale al rischio Compleezza-Assenza di arbiraggio Tassi d ineresse e bonds Zero coupon bond Tassi d ineresse Definizioni Relazioni ra df(,t), dp(,t) e dr() La curva yield Modelli per il asso shor Nozioni generali L equazione della sruura a ermine Modelli maringala per il asso shor Q-dinamiche

8 2 INDICE Inversione della yield curve Sruura a ermine affine Generalià sui modelli maringala Alcuni modelli sandard Il modello di Vasiček Il modello di Ho-Lee Il modello di Cox, Ingersoll e Ross (CIR) Il modello di Hull-Whie Modelli per il asso forward L approccio Heah-Jarrow-Moron (HJM) Modelli maringala Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano Una sruura di volailià della forma γ(r,, T) = ξ(, T)γ(r,, ) Un raameno analiico La forma funzionale della sruura a ermine La sruura di volailià di un modello CIR generalizzao A Richiami di probabilià 79 Bibliografia 81

9 Inroduzione Agli inizi degli anni 70, Fischer Black, Myron Scholes e Rober Meron hanno dao un fondamenale conribuo alla eoria di valuazione delle opzioni, sviluppando il modello eorico per la deeminazione dei prezzi. Queso modello ha avuo un enorme influenza sui problemi di pricing (valuazione dei conrai) e di hedging (elaborazione di una sraegia finanziaria per coprirsi dai rischi). Quesa eoria è basaa sul conceo di arbiraggio, cioè sulla possibilià di avere un guadagno posiivo senza rischi. Fin dal momeno della sua pubblicazione nel 1973, il modello di Black&Scholes è divenuo molo popolare. In seguio queso è sao eseso in modo da poer essere usao per valuare le opzioni su value, le opzioni su indici, e le opzioni su fuures, fino al enaivo di esenderlo anche al caso dei derivai su assi d ineresse. I derivai su assi d ineresse sono srumeni derivai il cui soosane è il asso d ineresse. Per esempio, un bond è un conrao in cui si paga 1 dollaro al empo della scadenza. I primi modelli di valuazione delle opzioni su assi d ineresse assumevano che la disribuzione probabilisica dei assi, dei prezzi dei bond fosse log-normale. Tali modelli però non offrivano una descrizione del modo in cui i assi d ineresse e i prezzi dei bond si modificano nel empo in dipendenza dalla scadenza. In quesa esi preseneremo alcuni approcci che mirano a superare quesi limii. Vedremo come possono essere cosruii i cosiddei modelli della sruura a ermine, i quali descrivono l evoluzione della curva yield nel empo. Esamineremo quindi i modelli in cui viene specificao il comporameno del asso shor e del forward. Nel primo capiolo innanziuo preseniamo il modello di Black&Scholes per la deerminazione del prezzo e la coperura di un derivao. 3

10 4 Inroduzione Nel secondo capiolo sudieremo i paricolari problemi che compaiono quando applichiamo la eoria di arbiraggio al mercao dei bond. Poiché il mercao dei bond coniene un numero infinio di ioli (un bond per ogni scadenza) il nosro obieivo è sudiare le relazioni ra ui i differeni bond. Vedremo quindi che dai prezzi bond possiamo ricavare le dinamiche del asso forward e viceversa, invece le dinamiche del asso shor possono essere oenue sia dai prezzi bond che dal asso forward. Nel erzo capiolo modelleremo una famiglia di bond priva di arbiraggio parendo dalle dinamiche del asso shor. Lo scopo è cercare la relazione che ci deve essere in un mercao privo di arbiraggio ra i processi di prezzo dei bond con diversa scadenza. Arriviamo, così, a una delle più imporani equazioni nella eoria dei assi d ineresse, chiamaa equazione della sruura a ermine. La seconda pare del erzo capiolo è incenraa sui modelli maringala per il asso shor, fra i più comuni e uilizzai nella praica Vasiček, Cox-Ingersoll e Ross (CIR), Ho-Lee e Hull-Whie, che specificano le Q-dinamiche per r. Il capiolo si chiude con l equazione della sruura a ermine affine, imporane in quano riconduce ad espressioni analiiche per i prezzi dei bond di risoluzione più facile rispeo a quelle dei modelli maringala ciai sopra. Nel quaro capiolo sudieremo i modelli per il asso forward, in paricolare l approccio Heah-Jarrow-Moron (HJM), in cui si uilizza l inera curva del asso forward come variabile esplanaoria di ua la suura a ermine. La curva del asso forward osservaa {f (0, T); T 0} viene usaa come condizione iniziale, queso di conseguenza permee una corrispondenza perfea ra i prezzi bond eorici e quelli osservai, quindi non risula necessario inverire la curva yield. Inolre preseniamo un risulao imporane che è la condizione HJM sul drif per eviare possibilià di arbiraggio, e abbiamo modellizzao il asso forward direamene soo la probabilià maringala Q. Nel quino capiolo analizzeremo una paricolare classe di modelli HJM basai sul asso spo Markoviano. In paricolare forniremo due condizioni (sudiae da Jeffrey [15]) che indicano le resrizioni pose sulla sruura a ermine iniziale e la sruura di volailià. Nell ambio della classe di modelli HJM che soddisfano le condizioni di Jeffrey, forniamo poi soluzioni analiiche al problema della valuazione del prezzo del bond. Infine preseniamo un modello di CIR generalizzao in cui possono essere rovae formule esplicie

11 Inroduzione 5 per i bond in ermini di soluzioni di una paricolare equazione di Volerra.

12 6 Inroduzione

13 Capiolo 1 Modello di Black&Scholes 1.1 Elemeni di calcolo socasico Sia dao uno spazio di probabilià (Ω, F, P). Definizione 1.1. Un processo socasico è una famiglia X = (X ) [0,+ [ di variabili aleaorie X : Ω R N, 0 Un processo socasico può essere uilizzao per descrivere un fenomeno aleaorio che si evolve nel empo: per esempio si può pensare alla v.a. X in R come al prezzo di un iolo rischioso al empo. Definizione 1.2. Una filrazione F = (F ) 0 in (Ω, F, P) è una famiglia crescene di soo-σ-algebre di F. Dao un processo socasico X = (X ) [0,+ [, poniamo F X = σ(x s 0 s ) = σ({xs 1 (H) 0 s, H B}) Chiaramene, se 0 s, allora Fs X F X F, e dunque F X = (F X ) [0,+ [ è una filrazione dea filrazione associaa a X. Si può pensare a F X come alle informazioni su X disponibili fino al empo. Definizione 1.3. Si dice Moo Browniano reale di puno iniziale x 0 R, un qualsiasi processo socasico W = (W ) [0,+ [ ale che 7

14 8 1. Modello di Black&Scholes 1. P(W 0 = 0) = 1; 2. per ogni ω Ω, la funzione W (ω) è coninua; < 2 <... < n, W n W n 1,..., W 2 W 1 sono indipendeni (incremeni indipendeni); 4. per ogni, h 0, la v.a. W +h W ha disribuzione normale N 0,h ed è indipendene da F W (incremeni sazionari). Noazione: nel seguio W denoerà un moo Browniano di puno iniziale l origine. Esempio 1.1. (moo Browniano come modello di iolo rischioso) Sia W un moo Browniano di puno iniziale l origine. Un primo modello a empo coninuo per il prezzo di un iolo rischioso S è il seguene: S = S 0 (1 + µ) + σw, 0 (1.1) Nella (1.1) S 0 indica il prezzo iniziale del iolo, µ indica il asso di rendimeno aeso e σ indica la rischiosià del iolo o volailià. Se σ = 0, la dinamica (1.1) è deerminisica e corrisponde ad una legge di capializzazione semplice con asso privo di rischio pari a µ. Se σ > 0, la dinamica (1.1) è socasica e S = (S ) 0 è un processo socasico normale nel senso che S N S0 (1+µ),σ 2 0 (1.2) Da (1.2) segue che E(S ) = S 0 (1 + µ) ossia l andameno aeso di S corrisponde alla dinamica deerminisica priva di rischio. Inolre σ è direamene proporzionale alla varianza e quindi alla rischiosià del iolo. La eoria d inegrazione socasica è collegaa alla eoria delle maringale, e la moderna eoria dei derivai è basaa principalmene sulla eoria maringala. Sia dao uno spazio di probabilià (Ω, F, P, F) dove F = (F ) [0,+ [ indica una filrazione. Definizione 1.4. Si dice che un processo socasico M è una maringala se, per ogni [0, + [, si ha:

15 1.2 Inegrale socasico di processi semplici 9 1. M è F -misurabile, e in al caso si dice che il processo socasico M è F-adaao 2. M L 1 (Ω, P) 3. E(M F s ) = M s q.s. per ogni 0 s Le prime due sono proprieà di ipo ecnico, menre la proprieà essenziale che caraerizza una maringala è la erza. Quesa in paricolare implica che il valore aeso di una maringala M è cosane nel empo, infai: E(M ) = E(E(M F 0 )) = E(M 0 ), Inegrale socasico di processi semplici Sia dao un moo Browniano W su uno spazio di probabilià (Ω, F, P). Nel seguio indichiamo con F la filrazione Browniana. In queso paragrafo e nel seguene diamo una raccia della cosruzione dell inegrale di Iô T 0 u dw (1.3) Per garanire l esisenza di ale inegrale socasico, è necessario imporre opporune ipoesi sul processo u. Definizione 1.5. Il processo socasico u appariene alla classe Λ 2 se u è F-adaao, ossia u è F -misurabile per ogni 0 per ogni T > 0, esise ed è finio T 0 E(u2 )d Definizione 1.6. Un processo u Λ 2 si dice semplice se è della forma u = N e k χ [k 1, k [ k=1 dove 0 0 < 1 < < N e e k sono v.a. su (Ω, F, P).

16 10 1. Modello di Black&Scholes Esempio 1.2. Inegrando il processo semplice u = χ [0,[, si oiene Riprendendo l Esempio 1.1, si ha W = 0 dw s S = S µds + 0 σdw s, > 0. Il seguene eorema coniene alcune imporani proprieà dell inegrale di Iô di processi semplici. Teorema 1.1. Per ogni u, v Λ 2 semplici, α, β R e 0 a < b < c si ha: (1) linearià: (2) addiivià: (αu + βv )dw = α u dw + β v dw ; (3) media nulla: c u dw = b u dw + c a a b ( ) E u dw = 0, u dw ; ed anche (4) isomeria di Iô: ( b c ) E u dw v dw = 0; a b (5) il processo socasico: è una maringala rispeo a F. ( ( b ) 2 ) ( b E u dw = E a X = 0 u s dw s, 0, a ) u 2 d ;

17 1.3 Processi e formula di Iô 11 Finora abbiamo definio l inegrale in (1.3) nel caso u Λ 2 processo socasico semplice. Consideriamo ora un generico u Λ 2 che possiamo schemaizzare come segue: Approssimiamo u con una successione di processi semplici u n.c. b lim n + a E[{u n (s) u(s)} 2 ]ds = 0. Per ogni n l inegrale b a u n(s)dw(s) è una variabile socasica ben definia z n, ed esise una variabile socasica z.c. lim z n = z (in L 2 ). n + Ora definiamo l inegrale socasico come b a u(s)dw(s) = lim n + b a u n (s)dw(s). Quindi enunciamo il seguene eorema che esende al caso generale le proprieà dell inegrale socasico di processi semplici. Teorema 1.2. Le proprieà (1-5) del Teorema 1.1 valgono per ogni u, v Λ 2. Osservazione 1.3. E possibile definire l inegrale socasico per un processo u che soddisfa solo la condizione debole ( b P a ) u 2 (s)ds < + = 1 Per un qualunque u generico non abbiamo garanio che valgono le proprieà (3) e (4). La proprieà (5) è, uavia, ancora valida. 1.3 Processi e formula di Iô Definizione 1.7. Un processo X della forma X = X 0 + u s ds con u, v Λ 2, si dice un processo di Iô. v s dw s, > 0, (1.4)

18 12 1. Modello di Black&Scholes Noazione: la (1.3) viene soliamene scria nella seguene forma differenziale : dx = u d + v dw (1.5) Riprendendo l Esempio 1.1, scriviamo ds = µd + σdw Dao un processo socasico Y si definisce il processo variazione quadraica di Y nel modo seguene Y = lim s 0 + N (Y k Y k 1 ) 2, in L 2 (Ω, P) k=1 ammesso che ale limie esisa e dove s indica una scomposizione di [0, ]. Lemma 1.4. Sia X un processo di Iô della forma (1.4). Allora Y = 0 v 2 s ds o, in ermini differenziali, d Y = v 2 d. Possiamo ora enunciare (nel caso unidimensionale) il principale risulao della eoria del calcolo socasico. Teorema 1.5 (Formula di Iô). Siano X nella (1.4) un processo di Iô e f = f(, x) C 2 (R 2 ). Allora il processo socasico Y, definio da Y = f(, X ), è un processo di Iô e vale dy = f(, X )d + x f(, X )dx xxf(, X )d X (1.6) Osservazione 1.6. Nella (1.5), f e x f indicano le derivae parziali di f rispeo alle variabili reali e x. La formula di Iô è valida assumendo l esisenza delle sole derivae parziali f e xx f coninue. Le ipoesi di regolarià su f si possono uleriormene indebolire.

19 1.4 Modelli a empo coninuo per i derivai Modelli a empo coninuo per i derivai In queso paragrafo preseniamo il modello di Black&Scholes per la deerminazione del prezzo e la coperura di un derivao. Nel seguio (Ω, F, P) indica uno spazio di probabilià su cui è definio un moo Browniano W di puno iniziale l origine e con filrazione Browniana F Porafoglio auofinanziane e di arbiraggio Consideriamo un mercao in cui ci siano N ioli (azioni, bonds) S 1,..., S N e assumiamo che siano processi di Iô. Si definisce sraegia un processo h = (h 1,..., h N ), con h k processo di Iô; inolre il processo V = N h k S k, k=1 è deo porafoglio. Dunque V indica il valore del porafoglio e h k il numero dei ioli k-esimi in porafoglio al empo (è ammesso che h k sia negaivo). Noiamo che, per ipoesi, h è un processo adaao a F, ossia la sraegia di invesimeno viene decisa in base alle informazioni disponibili al momeno. Definizione 1.8. Un porafoglio V si dice auofinanziane se vale dv = N k=1 h k dv k (1.7) Si dice che un porafoglio auofinanziane V è un porafoglio di arbiraggio se i) V 0 = 0, ed esise ale che ii) P(V 0) = 1, iii) P(V > 0) > 0. Definizione 1.9. Un mercao si dice compleo se opzione H L 2 (Ω, F) esise un porafoglio auofinanziane replicane, ovvero.c. V T = H.

20 14 1. Modello di Black&Scholes Modello di Black&Scholes Consideriamo un mercao in cui ci siano re ioli: -un iolo non rischioso (bond) con dinamica B = B 0 e r dove r è il asso d ineresse privo di rischio; -un iolo rischioso (sock) S modellizzao da un moo Browniano ds = µs d + σs dw, (1.8) con asso di rendimeno aeso µ e volailià σ; -un derivao H con scadenza T e payoff ϕ(s T ). Ipoesi 1.1. Assumiamo che esisa una funzione f = f(, s) C 2 (R 2 ) ale che H = f(, S ) per [0, T]. Il nosro scopo è la valuazione del prezzo e alla coperura del derivao, più precisamene siamo ineressai a cosruira un modello che ci permea di deerminare la funzione f e un porafoglio auofinanziane V = α S + β B, che replichi il derivao, ossia ale che P(V T = H T ) = 1 (1.9) Ipoesi 1.2. Principio di Non Arbiraggio (PNA) Nel mercao (B, S, H) non esisono porafogli di arbiraggio. Lemma 1.7. Assumendo il PNA, se U e W sono porafogli auofinanziani ali che P(U T = W T ) = 1 per un cero T > 0, allora si ha anche P(U = W ) = 1 per ogni [0, T]. Come immediaa conseguenza, per ogni porafoglio replicane V deve valere la seguene condizione V = H q.s. [0, T]. (1.10) Il porafoglio V è auofinanziane se vale dv = α ds + β db (1.11)

21 1.4 Modelli a empo coninuo per i derivai 15 Ora, sosiuendo l espressione (1.7) di S nella (1.10), si ha dv = (α µs + β rb )d + α σs dw D alra pare, per la formula di Iô e abbreviando f = f(t, S ), si ha dh = fd + s fds ssfd S ( ) = f + µs s f + σ2 S 2 2 ssf d + σs s fdw Per oenere un porafoglio replicane è sufficiene imporre che V abbia la sessa dinamica di H: in paricolare è sufficiene imporre l uguaglianza dei ermini in d e dw di V e H. Uguagliando i ermini in dw, ricaviamo Uguagliando i ermini in d e uilizzando la (1.12), oeniamo α = s f(, S ) (1.12) f + σ2 S 2 2 ssf rβ B = 0 (1.13) Ora uilizziamo il PNA e osserviamo che, per la (1.10), si ha β = V α S B = f(, S ) S s f(, S ) B, q.s. (1.14) e quindi, sosiuendo la (1.14) nella (1.13), oeniamo f(, S ) + rs s f(, S ) + σ2 S 2 2 ssf(, S ) rf(, S ) = 0, q.s. (1.15) L equazione (1.15) è risola da f per ogni possibile valore di e S. Dunque f è soluzione della seguene equazione differenziale f(, s) + rs s f(, s) + σ2 s 2 2 ssf(, s) rf(, s) = 0, (1.16) per (, s) ]0, T[ ]0, + [, con condizione finale f(t, s) = ϕ(s), s ]0, + [ (1.17) La (1.16) è dea equazione di Black&Scholes. Il problema (1.16)-(1.17) ammee un unica soluzione f che può essere deerminaa nella maggior pare dei casi con meodi numerici. Le formule (1.12)-(1.14) forniscono una sraegia replicane (α, β) in ermini di f. Di conseguenza è possibile calcolare il valore V 0 del porafoglio replicane e, dalla (1.10), ricavare infine il prezzo del derivao H 0.

22 16 1. Modello di Black&Scholes 1.5 Valuazione neurale al rischio Nell ipoesi che il mercao sia privo di arbiraggi, nel modello di Black&Scholes il prezzo di un derivao H è oenuo deerminando la funzione f che esprime in ogni isane H in ermini di e S. Si noi che il problema (1.16)-(1.17), e quindi f, non dipende dal rendimeno aeso µ del soosane. Queso fao si può in pare spiegare osservando che f non è il prezzo del derivao in ermini assolui, bensì la funzione che esprime ale prezzo in ermini di e S. Chiamiamo P probabilià oggeiva (o del mondo reale) e assumiamo la seguene dinamica per S nella probablià P ds = µ(, S )S d + σ(, S )S dw (1.18) Supponiamo ora che esisa una misura di probabilià Q su (Ω, F) e un moo Browniano W in (Ω, F, Q), e consideriamo un alro iolo S che soddisfi l equazione ds = rs d + σ(, S )S dw, ossia una SDE analoga alla (1.18), con µ r. Nel seguio indichiamo con E Q l aesa nella misura Q e con (F ) la filrazione associaa al moo Browniano W. Torniamo al problema della deerminazione del prezzo di un derivao su S, consideriamo il modello di Black&Scholes e assumiamo che µ e σ in (1.18) siano cosani. Il risulao cruciale è la seguene prima formulazione del eorema di Girsanov. Teorema 1.8. Sia λ R. Esise una misura di probabilià Q, equivalene a P, ale che il processo socasico W definio da è un moo Browniano su (Ω, F, Q). W = W + λ, 0 (1.19) Osserviamo che ( ds = µs d + σs dw = rs d + σs dw + µ r ) σ d avendo poso λ = µ r σ = rs d + σs dw,

23 1.5 Valuazione neurale al rischio 17 ed essendo W il processo socasico in (1.19). Il paramero λ è deo il prezzo di mercao del rischio in quano indica il rapporo ra il premio sul rendimeno aeso µ r richieso per assumersi il rischio e la volailià σ. Il caso λ = 0 ossia µ = r indica la neuralià del rischio. Il Teorema 1.8 garanisce l esisenza di una misura di probabilià Q, dea misura maringala equivalene, rispeo alla quale S è un moo Browniano geomerico 1 con rendimeno aeso r. Dunque nella misura Q il soosane ha una dinamica che non descrive le osservazioni reali, ma è ale che gli invesiori sono neurali al rischio. Possiamo allora riassumere i risulai precedeni nel seguene eorema. Teorema 1.9. Esise una misura di probabilià Q, equivalene a P, ale che il soosane ha la seguene dinamica in Q: ds = rs d + σs dw Inolre S B, H B sono maringale e vale la seguene formula di valuazione neurale del rischio H = E Q (e r(t ) ϕ(s T ) F ), [0, T] In paricolare H 0 = E Q (e rt ϕ(s T )) Il risulao precedene può essere eseso al caso (1.18) uilizzando una versione generale del eorema di Girsanov. Teorema (Teorema di Girsanov) Sia W un moo Browniano sullo spazio (Ω, F, P) con filrazione Browniana (F ). Sia u un processo adaao ale che esisa in [0, T] la soluzione L di { dl = u L dw L 0 = 1 (1.20) 1 Dai S 0, µ, σ R, il processo socasico è deo moo Browniano geomerico. S = S 0 exp ) ) ((µ σ2 + σw 2

24 18 1. Modello di Black&Scholes Se vale la condizione E(L T ) = 1, (1.21) definiamo la misura di probabilià Q su F T mediane dq dp = L T in F T Allora il processo socasico (W ) [0,T] definio da dw = dw u d, ossia W = W è un moo Browniano nello spazio (Ω, F T, Q). 0 u s ds,

25 1.6 Compleezza-Assenza di arbiraggio Compleezza-Assenza di arbiraggio Fino a queso momeno abbiamo viso cosa succede in un modello con un solo iolo soosane (S = sock), in queso paragrafo daremo alcune regole empiriche generali per deerminare se un cero modello è compleo e/o privo di arbiraggio. Consideriamo un modello con M ioli commerciai più il iolo privo di rischio (cioè in oale M + 1 ioli). Assumiamo che i processi di prezzo dei ioli soosani siano guidai da R sorgeni random. Non riusciamo a dare una definizione precisa di cosa cosiuisce una sorgene random, diciamo solo che il ipico esempio è un processo di Wiener. Se, per esempio, abbiamo 5 processi di Wiener indipendeni, che guidano i nosri prezzi, allora R = 5. Sia R il numero di sorgeni random fissao, allora ogni iolo soosane aggiuno al modello ci darà una poenziale opporunià di creare un porafoglio di arbiraggio, così per avere un mercao privo di arbiraggio il numero M di ioli soosani dovrà essere piccolo rispeo al numero R di sorgeni random. D alra pare vediamo che ogni nuovo iolo soosane aggiuno al modello ci fornisce la possibilià di replicare un derivao, così la compleezza richiede che M sia grande rispeo ad R. Non possiamo formulare un risulao preciso, uavia la seguene regola empirica è esremamene uile, e verrà uilizzaa più avani nella eoria dei assi d ineresse. Osservazione Denoiamo con M il numero dei ioli soosani nel modello escluso il iolo privo di rischio e denoiamo con R il numero di sorgeni random. Allora abbiamo le segueni relazioni: 1. il modello è privo di arbiraggio M R 2. il modello è compleo M R 3. il modello è compleo e privo di arbiraggio M = R Prendiamo, ad esempio, il modello di Black&Scholes, dove abbiamo un iolo soosane S più il iolo privo di rischio, M = 1, e un processo di Wiener, R = 1, quindi M = R. Usando l osservazione sopra, oeniamo che il modello di Black&Scholes è privo di arbiraggio e compleo.

26 20 1. Modello di Black&Scholes

27 Capiolo 2 Tassi d ineresse e bonds In queso capiolo inizieremo a sudiare i paricolari problemi che compaiono quando proviamo ad applicare la eoria di arbiraggio al mercao bond. Inroduciamo quindi le nozioni fondamenali per poer sviluppare l analisi su ali modelli. 2.1 Zero coupon bond Proposizione 2.1. Uno zero coupon bond con daa di maurià T anche chiamao un T-bond, è un conrao in cui si paga 1 dollaro al empo di maurià T. Il prezzo al empo di un bond con daa di scadenza T è denoao da p(, T). L accordo che il pagameno alla scadenza, noo come principal value o face value (valore nominale), è uguale a 1, è fao per convenienza di calcolo. I coupon bonds danno al possessore un flusso di pagameno durane l inervallo [0, T]. Quesi srumeni hanno la proprieà comune di fornire al possessore un movimeno di cassa deerminisico, e per queso moivo sono conosciui come srumeni a reddio fisso. Per garanire l esisenza di un mercao di bond sufficienemene ricco e regolare, supponiamo che: Ipoesi esise un mercao per T-bond per ogni T > 0 2. la relazione p(, ) = 1 vale per ui i 1 1 Ipoesi necessaria per eviare l arbiraggio 21

28 22 2. Tassi d ineresse e bonds 3. fissao, il prezzo bond p(, T) è differenziabile rispeo al empo di maurià T Per ogni e T fissai il prezzo bond p(, T) è una variabile aleaoria e, per ogni risulao nello spazio campione soosane, la dipendenza su quese variabili è molo differene. Per un valore fissao di, p(, T) è una funzione di T. Quesa funzione fornisce il prezzo, al empo fissao, per bond di ue le possibili scadenze. Il grafico di quesa funzione è chiamao la curva di prezzo bond a o sruura a ermine a. Di solio è un grafico molo regolare, cioè per ogni, p(, T) è differenziabile in T. Per una scadenza fissaa T, p(, T) (come una funzione di ) è un processo scalare socasico. Queso processo dà i prezzi del bond, a empi differeni, con scadenza fissaa T, e la raieoria è ipicamene molo irregolare (come un processo di Wiener). Dall Ipoesi 2.1 segue che il mercao dei bond coniene un numero infinio di ioli (un ipo di bond per ogni scadenza). L obieivo principale è quello di sudiare le relazioni ra ui quesi bond differeni. 2.2 Tassi d ineresse Definizioni Supponiamo di essere al empo, fissiamo alri due puni nel empo, S e T, con < S < T. Vogliamo sooscrivere al empo un conrao che ci permee di fare un invesimeno di 1 dollaro al empo S e avere un asso deerminisico di riorno, deerminao dal conrao al empo sull inervallo [S, T]. Queso può essere facilmene realizzao nel seguene modo: 1. Al empo vendiamo un S-bond. Queso ci rende p(, S) dollari. 2. Usiamo quesa rendia per comprare esaamene p(,s) p(,t) T-bond. In queso modo il nosro invesimeno neo al empo è uguale a 0.

29 2.2 Tassi d ineresse Al empo S l S-bond maura e siamo obbligai a pagare un dollaro. 4. Al empo T i T-bond maurano a un dollaro al pezzo, ricevendo l imporo di p(,s) p(,t) dollari. 5. L invesimeno di un dollaro, basao su un conrao a, al empo S ha fruao p(,s) p(,t) dollari al empo T. 6. Quindi al empo, abbiamo fao un conrao garanendo un asso d ineresse privo di rischio sul fuuro inervallo [S, T]. Tale asso d ineresse è chiamao asso forward. Inroduciamo i assi d ineresse e in paricolare useremo due modi per quoare i assi forward: assi coninuamene composi o come assi semplici. Il asso forward semplice (o asso Libor) L = L(; S, T) è la soluzione dell equazione 1 + (T S)L = p(, S) p(, T), invece il asso forward coninuamene composo R = R(; S, T) è la soluzione dell equazione e R(T S) = p(, S) p(, T) Il asso semplice è usao nel mercao, invece quello coninuamene composo è usao in conesi eorici. Riassumendo: Definizione 2.1. Il asso forward semplice per [S, T] limiao a, chiamao anche asso forward Libor, è definio come: p(, T) p(, S) L(; S, T) = (T S)p(, T) Definizione 2.2. Il asso semplice spo per [S, T], chiamao anche asso spo Libor, è definio come p(s, T) 1 L(S, T) = (T S)p(S, T) Definizione 2.3. Il asso forward coninuamene composo per [S, T] limiao a è definio come R(; S, T) = lg p(, T) lg p(, S) T S

30 24 2. Tassi d ineresse e bonds Il asso fisso composo che ci permee di replicare p(,s) p(,t) 1 e R(T S) = p(, S) p(, T) R(T S) = lg p(, T) lg p(, S) lg p(, T) lg p(, S) R(; T, S) = (T S) è il asso forward composo Definizione 2.4. Il asso spo coninuamene composo R(S, T) per il periodo [S, T] è definio come lg p(s, T) R(S, T) = T S Definizione 2.5. Il asso forward isananeo con maurià T, limiao a, è definio da lg p(, T) f(, T) = T Definizione 2.6. Il asso shor isananeo al empo è definio da r() = f(, ) Noiamo che i assi spo sono assi forward quando il empo limie coincide con l inizio dell inervallo su cui il asso d ineresse è efficace, cioè a = S. Il asso forward isananeo è il limie asso forward coninuamene composo quando S T. Queso può così essere inerpreao come il asso d ineresse meno rischioso, conrao a, sull inervallo infiniesimale [T, T + d]. Definizione 2.7. Il processo money accoun è definio da { db() = r()b()d cioè Lemma 2.2. Per s T abbiamo e in paricolare B(0) = 1 { } B = exp r(s)ds 0 p(, T) = p(, s) exp { T } f(, u)du, S { T } p(, T) = exp f(, s)ds

31 2.3 Relazioni ra df(,t), dp(,t) e dr() 25 Un modello per il mercao bond può essere cosruio in diversi modi: possiamo specificare le dinamiche del asso shor, o le dinamiche di ui i possibili bond oppure le dinamiche di ui i assi forward (in queso caso possiamo usare il lemma precedene per oenere prezzi bond). Nella prossima sezione vediamo come quesi meodi sono in relazione l uno con l alro. 2.3 Relazioni ra df(,t), dp(,t) e dr() Considereremo le dinamiche della seguene forma: Dinamiche del asso shor dr() = a()d + b()dw() (2.1) Dinamiche del prezzo bond dp(, T) = p(, T)m(, T)d + p(, T)v(, T)dW() (2.2) Dinamiche del asso forward df(, T) = α(, T)d + σ(, T)dW() (2.3) Il processo W() è un moo Browniano unidimensionale. I processi a() e b() sono processi scalari adaai, invece m(, T), v(, T), σ(, T) e α(, T) sono processi adaai paramerizzai dal empo di maurià T. L equazione del prezzo bond (2.2) e l equazione del asso forward (2.3) sono equazioni differenziali socasiche scalari (in -variabile) per ogni empo di maurià T fissao. Così (2.2) e (2.3) sono enrambi sisemi infinii dimensionali di SDE. Sudiamo le relazioni che si devono verificare ra i prezzi bond e i assi d ineresse e per fare queso abbiamo bisogno di alcuni presupposi. Ipoesi Per ogni ω, fissai ue le funzioni m(, T), v(, T), α(, T) e σ(, T) sono assune essere differenziabili in T. Quesa T-derivaa parziale è denoaa da m T (, T), ec.

32 26 2. Tassi d ineresse e bonds 2. Tui i processi sono assuni abbasanza regolari per poer differenziare soo il segno d inegrale e per poer scambiare l ordine d inegrazione. Proposizione Se p(, T) soddisfa la (2.2), allora per le dinamiche del asso forward abbiamo df(, T) = α(, T)d + σ(, T)dW() dove α e σ sono dai da { α(, T) = vt (, T)v(, T) m T (, T) σ(, T) = v T (, T) (2.4) 2. Se f(, T) soddisfa la (2.3), allora il asso shor soddisfa dr() = a()d + b()dw() dove { a() = ft (, ) + α(, ) b() = σ(, ) (2.5) 3. Se f(,t) soddisfa la (2.3), allora p(, T) soddisfa dp(, T) = p(, T) {r(, T) + A(, T) + 12 } S(, T) 2 d + p(, T)S(, T)dW() dove denoa la norma Euclidea, e A(, T) = T α(, s)ds S(, T) = T σ(, s)ds (2.6) Idea della dimosrazione 1. Si ha che T f(, s)ds = lg p(, T) considero Y (, T) = lg p(, T)

33 2.3 Relazioni ra df(,t), dp(,t) e dr() 27 Dalla formula di Iô: dy (, T) = = 1 p(, T) dp(, T) + 1 ( 1 ) v 2 (, T)p 2 (, T)d = 2 p(, T) 2 [ m(, T) 1 ] 2 v2 (, T) d + v(, T)dW avendo sosiuio dp(, T) = p(, T)[m(, T)d + v(, T)dW ]. Inolre: T f(, s)ds = Y (, T) = 0 ( m(s, T) 1 ) 2 v2 (S, T) ds 0 v(s, T)dW s Y (0, T) derivando rispeo alla seconda variabile ( ) m v f(, T) = (S, T) (S, T)v(S, T) d + T T Ne segue che 0 ( m f(, T) = T 1 2 ) v T v 2. Inegriamo le dinamiche del asso forward per oenere Ora possiamo scrivere r() = f(0, ) + 0 α(s, )ds + α(s, ) = α(s, s) + σ(s, ) = σ(s, s) + e inserendo quese nella (2.7), abbiamo r() = f(0, ) σ(s, s)dw s + s s α(s, s)ds + 0 s 0 d v T dw 0 v T (S, T)dW s σ(s, )dw(s) (2.7) α T (s, u)du σ T (s, u)du 0 s α T (s, u)duds + σ T (s, u)dudw s Cambiando l ordine d inegrazione e idenificando i ermini oeniamo il risulao.